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Logaritmo
Texto de Apoio
1 Definição
Sejam b e N números reais positivos com b 6= 1, definimos “o logaritmo de N na
base b” como sendo o expoente x,
logbN = x,
ao qual se deve elevar a base b de modo que a potência bx seja igual a N . Isto é,
logbN = x ⇔ bx = N,
onde, N é o logaritmando, b é a base e x é o logaritmo.
Observação 1. O símbolo ⇔ significa “se, e somente se” e expressa uma dupla
implicação, ou seja, se partimos da afirmação P podemos deduzir a afirmação Q e
se partirmos da afirmativa Q pode-se deduzir a afirmativa P . Neste caso dizemos
que as afirmações P e Q são equivalentes.
Consequências da Definição
• logb b = 1
Se x é tal que logb b = x, então bx = b. Como b1 = b,
concluímos que x = 1.
• logb 1 = 0
Se x é tal que logb 1 = x, então bx = 1. Como b0 = 1,
concluímos que x = 0.
• logb bk = k, com k ∈ R
Se x é tal que logb bk = x, então bx = bk. Assim, concluímos
que x = k.
• blogb a = a, com b ∈ R+ − {1}
Se x é tal que logb a = x, então bx = a. Assim, substituindo
x por logb a, temos que blogb a = a.
1
Observação 2. Quando a base do logaritmo é 10, é comum omitirmos a base, ou
seja, escrevermos logN no lugar de log10N .
Vejamos a seguir alguns exemplos:
Exemplo 1. Usando a definição vamos calcular o valor de:
a) log2 0, 25
Observemos que 0, 25 = 1
4
= 1
22
= 2−2. Portanto log2 0, 25 = log2 2−2 e,
usando o terceiro item de Consequências da Definição, temos que
log2 2
−2 = −2.
b) 92+log9 3
Usando as propriedades de potênciação temos que
92+log9 3 = 92 · 9log9 3,
mas, sabemos que 9log9 3 = 3, logo
92 · 9log9 3 = 92 · 3 = 243.
Exemplo 2. Encontraremos o valor do logaritmo de 8 3
√
4 na base 5
√
2. Para isso,
devemos achar um valor x tal que
log 5√2
(
8
3
√
4
)
= x.
Assim, pela definição, x dever ser um número real tal que:(
5
√
2
)x
= 8
3
√
4.
Agora, escrevendo todas as potências na base 2 e aplicando propriedades de poten-
ciação temos que: (
2
1
5
)x
= 23 · 3
√
22,
assim,
2
x
5 = 23 · 2
2
3 ,
logo,
2
x
5 = 23+
2
3 = 2
11
3 .
Igualando os expoentes, concluímos que:
x
5
=
11
3
,
ou seja,
x =
55
3
Portanto,
log 5√2
(
8
3
√
4
)
=
55
3
.
2
2 Propriedades Operacionais
Sejam α, β, r e b números reais positivos, com b 6= 1, os logaritmos satisfazem
as seguintes propriedades:
1. logb (αβ) = logb (α) + logb (β)
Fazendo x = logb (α) e y = logb (β) , temos que bx = α e by = β, com isto,
podemos concluir que
αβ = bx · by,
ou seja,
αβ = bx+y,
que é equivalente a dizer que:
logb (αβ) = x+ y.
Portanto, substituindo x e y, temos que
logb (αβ) = logb (α) + logb (β) .
2. logb (αr) = r · logb (α)
Fazendo x = logb (α) e y = logb (αr) , temos que bx = α e by = αr, assim,
substituindo α por bx, temos que
(bx)r = by,
isto é,
brx = by,
ou seja,
rx = y.
Agora, substituindo x e y temos que
r · logb (α) = logb (αr)
3. logb
(
α
β
)
= logb (α)− logb (β)
Fazendo x = logb (α) e y = logb (β) , temos que bx = α e by = β, com isto,
podemos concluir que
α
β
=
bx
by
,
logo,
α
β
= bx−y,
que é equivalente a dizer que
logb
(
α
β
)
= x− y.
3
Agora, substituindo x e y temos que
logb
(
α
β
)
= logb (α)− logb (β) .
4. Mudança de base: Sejam b, β ∈ R+−{1}, podemos mudar a base β do logβ (α)
para b da seguinte maneira:
logβ (α) =
logb (α)
logb (β)
.
De fato, fazendo x = logβ (α) , y = logb (α) e z = logb (β) , temos que
βx = α, by = α e bz = β. Assim,
βx = by
e
(bz)x = by,
logo, bzx = by, portanto,
zx = y.
Agora, substituindo x, y e z, concluímos que
logb (β) · logβ (α) = logb (α) .
Assim,
logβ (α) =
logb (α)
logb (β)
,
como queríamos mostrar.
3 Logaritmo Natural
A base do logaritmo pode ser qualquer número real b, com b > 0 e b 6= 1. Em
particular, quando usamos o número irracional e (chamado número de Euler ou
número neperiano, cujo valor é aproximadamente e ≈ 2, 718281...) temos o logeN.
Este logaritmo na base e é chamado de logaritmo natural de N e é denotado por
lnN. Formalmente escrevemos
logeN = lnN.
O número de Euler é bastante usado na disciplina de Cálculo.
4
4 Aplicações do Logaritmo
Quando tratamos de valores muito grandes, utilizar o logaritmo facilita cálculos
e construções de gráficos. Assim, o cálculo de pH, crescimento populacional e de
bactérias, escalas de decibéis e Richter, são exemplos onde o logaritmo é utilizado.
A seguir, apresentamos um exemplo de aplicação de logaritmo:
Exemplo 3. A massa de certo material radioativo num instante t, em anos, é dada
pela expressão m(t) = n · 10−kt. A massa inicial desse material é de 500g e daqui a
20 anos cairá em 20%. Com as informações dadas podemos determinar o valor de
k. Vejamos como:
Sabemos que no instante t = 0 a massa é de 500g, substituindo esses valores na
expressão, temos que
m(0) = n · 10−k·0 ⇒ 500 = n · 100 ⇒ 500 = n.
Sabemos também que se t = 20, a massa inicial se reduz em 20%, ou seja, m(20) =
80% ·m(0), ou seja,
500 · 10−k·20 = 0.8 · 500,
e assim,
10−20k =
8
10
.
Aplicando agora a definição de logaritmo, temos que
log10
(
8
10
)
= −20k
e, usando as propriedades operacionais, concluímos que
log10 (8)− log10 (10) = −20k,
assim,
20k = log10 (10)− log10 (8) = 1− log10
(
23
)
= 1− 3 log10 (2) .
Portanto, o valor de k é:
k =
1− 3 log10 (2)
20
.
5
Referências
[1] IEZZI, G., Matemática: Volume único, 5ª ed., São Paulo, 2011.
[2] MADEIROS, V,CALDEIRA, A, SILVA, L, MACHADO, M, Pré-Cálculo, São
Paulo, 2008.
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