Tópicos especiais em elementos de máquinas

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Tópicos especiais
em elementos de
máquinas
Prof. Carlos Frederico de Matos Chagas
Descrição
Os aspectos fundamentais da aplicação da Análise dos Elementos Finitos como método para a solução
aproximada de problemas estruturais, bem como os conceitos e as aplicações do dimensionamento e da
tolerância geométrica.
Propósito
Apresentar a aplicação do Método de Elementos Finitos como ferramenta para a solução de problemas com
componentes mecânicos complexos, bem como a aplicação dos fundamentos e conceitos relacionados ao
dimensionamento e às tolerâncias geométricas.
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Objetivos
Módulo 1
Método dos elementos �nitos
Aplicar os conceitos de elementos finitos para cálculo das tensões e deformações sobre elementos de
um sistema mecânico em função do carregamento externo ou em virtude das restrições entre esses
elementos.
Módulo 2
Dimensionamento e tolerância geométrica
Aplicar os conceitos e a fundamentação do dimensionamento e da tolerância geométrica.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e entenda os conceitos que serão trabalhados ao longo deste
conteúdo.

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1 - Método dos elementos �nitos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar os conceitos de elementos �nitos para
cálculo das tensões e deformações sobre elementos de um sistema mecânico em função do
carregamento externo ou em virtude das restrições entre esses elementos.
Vamos começar!
Tópicos especiais em elementos de máquinas
Conheça os principais aspectos sobre elementos de máquinas que serão abordados neste módulo.

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Introdução ao Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos é um método para solução de problemas estruturais baseado na
discretização do contínuo, isto é, na divisão de um dado elemento mecânico em um número muito grande
de partes chamadas elementos. É de grande utilidade para estruturas complexas e teve a sua aplicação
cada vez mais difundida e popularizada com o aumento da capacidade de processamento dos
computadores.
Com os diversos estudos na área de Métodos dos Elementos Finitos, que vinham se desenvolvendo desde
1940, pesquisadores constataram a enorme dificuldade ou, até mesmo, a impossibilidade de resolver
problemas estruturais reais de forma manual. Tal dificuldade se devia à enorme quantidade de cálculos para
se chegar às soluções dos grandes sistemas de equações lineares. Desse modo, foi investido grande
esforço no desenvolvimento de Métodos dos Elementos Finitos nas áreas de formulações de elementos,
bem como na implementação, por meio do computador, de todo o processo de resolução.
Entre os maiores avanços da tecnologia computacional, podemos citar a rápida expansão dos recursos de
hardware, eficientes e precisas rotinas para resolução de matrizes, assim como computação gráfica, que
facilita a visualização dos estágios de pré-processamento da construção dos modelos, até mesmo a
geração automática de malha adaptativa e nos estágios de pós-processamento de revisão dos resultados
obtidos.
Curiosidade
Na década de 1960, o Método dos Elementos Finitos teve um grande desenvolvimento e, com o avanço da
tecnologia computacional, passou a ser prática corrente a análise de estruturas de geometria arbitrária,
constituídas por múltiplos materiais e sujeitas a qualquer tipo de carregamento.
Como o método é uma técnica numérica que discretiza o domínio de uma estrutura contínua, traz consigo
erros que são inevitáveis. Por isso, devido aos referidos erros somados às simplificações propostas pelo
engenheiro para as condições de contorno, aplicação das cargas, caracterização do material, entre outras
simplificações, podemos concluir que as soluções dos problemas de estruturas mecânicas reais
encontradas com a utilização do Método de Elementos Finitos são aproximadas. Com relação aos citados
erros, podemos dividi-los em:
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Erros computacionais
Erros de arredondamento e das formulações dos esquemas de integração numérica que são empregados. A
maior parte dos programas comerciais para elemento finito se concentra na redução de tais erros.
Erros de discretização
Erros na correspondência da geometria com a distribuição de deslocamentos devido às limitações
matemáticas dos elementos, são introduzidos com emprego de um número finito de elementos para
modelar a estrutura. A geometria e a distribuição deslocamento de estrutura real variam continuamente.
Veja abaixo um exemplo de erros de discretização. Para tal, será considerada uma estrutura de chapa fina
com espessura constante, conforme apresentada na imagem a:
Estrutura de chapa fina com espessura constante.
Estrutura de elemento finito.
A imagem b ilustra um modelo de elemento finito de uma estrutura em que são empregados elementos
triangulares simples de três nós e tensão plana. Esse tipo de geometria dos elementos apresenta dois tipos
de problemas básicos, para o caso do modelo idealizado. O elemento escolhido tem lados retos que
permanecem retos após a deformação e as resistências ao longo do elemento triangular com tensão plana
são constantes.
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Trata do caráter geométrico, está na modelagem das bordas curvas. Pode-se observar que a
superfície do modelo que apresenta uma curvatura acentuada parece modelada de forma
insuficiente, ao contrário da superfície do furo que parece estar modelada adequadamente.
Trata das resistências que, em várias regiões da estrutura real, mudam rapidamente. Nesse caso, a
aproximação por um elemento de resistência constante é capaz de fornecer apenas uma
aproximação da resistência média no centro do elemento. Desse modo, os resultados previstos por
esse modelo escolhido serão deficientes.
Logicamente, os resultados poderão ser melhorados com o aumento do número de elementos, ou seja,
discretizando a estrutura com uma densidade de malha maior.
Como alternativa, usar um elemento mais adequado à aplicação – como um quadrilátero de oito nós –
fornecerá resultados melhores. Em virtude das funções de interpolação de grau mais elevado, o elemento
quadrilátero de oito nós é capaz de modelar bordas curvas e fornecer uma função de grau mais elevado
para a distribuição de resistências.
Resolução pelo Método dos Elementos Finitos
Vejamos a solução de um problema unidimensional, utilizando o elemento linear de barra por meio da
aplicação do Método de Elementos Finitos. Tal elemento é carregado em tração ou compressão, com uma
área de seção transversal constante A, comprimento l e módulo de elasticidade E.
O elemento barra possui dois nós. Para um problema unidimensional como no nosso exemplo, cada nó terá
apenas um grau de liberdade, podendo ser modelado como uma mola simples com uma rigidez caraterística
(constante da mola). Veja na fórmula a seguir:
Primeiro problema 
Segundo problema 
K =
f
Δu
; com K =
A ∗ E
l
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Rotacione a tela. 
Vamos considerar um sistema de duas molas, conforme imagem abaixo, com as forças externas aplicadas
F1, F2 e F3, as molas (1) e (2), com suas respectivas constantes k1 e k2, além dos nós 1, 2 e 3 com os seus
respectivos deslocamentos, u1, u2 e u3.
Sistema de duas molas.Primeiramente, vamos separar a estrutura apresentada no sistema de duas molas em dois sistemas. Veja
os diagramas de corpo livre separados:
Diagramas de corpo livre separados.
Utilizando a equação da mola para cada elemento e colocando a formulação em forma matricial, {F}= [K] {D},
representando as matrizes de Força, Rigidez e Deslocamentos, respectivamente, teremos:
Elemento (1) 
Elemento 
A força total em cada nó é a força externa, e 
Combinando as duas matrizes em termos das forças externas, teremos:
 Sendo: f =  força no nó e Δu =  variação dos deslocamentos nos nós. 
−{ } = [ ]{ }
f1,1
f2,1
k1 −k1
−k1 k1
u1
u2
(2) − { } = [ ]{ }f2,2
f3,2
k2 −k2
−k2 k2
u2
u3
F1 = f1,1, F2 = f2,1 + f2,2 F3 = f3,2
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Rotacione a tela. 
A partir dessa formulação, conhecendo o valor da rigidez dos elementos, além dos dados de força aplicada
ou deslocamentos, encontraremos todas as incógnitas do problema.
O exemplo apresentado é bastante simples, mas contém os passos principais para a solução de um
problema estático a partir do Método dos Elementos Finitos. No entanto, normalmente, encontramos
estruturas mais complexas nos problemas reais, com vários graus de liberdade nos nós, diferentes
condições de contorno e cargas aplicadas não apenas em uma direção.
Sendo assim, passaremos a apresentar alguns conhecimentos importantes para a solução de problemas
com estruturas reais que possuem maior complexidade.
Geometria dos elementos
No Método de Elementos Finitos, são empregadas diversas formas geométricas de elementos para
aplicações específicas. Tais elementos podem ser dispostos nas seguintes categorias: lineares, de
superfície, sólidos e com finalidades especiais.
Sobre a Geometria dos Elementos, veja a seguir alguns dos elementos que estão presentes em diversos
softwares de Métodos de Elementos Finitos disponíveis no mercado:
Linear: Barra
Tem uma extremidade pivotada sob tração ou compressão, com dois nós.
= =
⎧⎪⎨⎪⎩F1F2F3⎫⎪⎬⎪⎭ ⎧⎪⎨⎪⎩ f1,1f2,1 + f2,2f3,2 ⎫⎪⎬⎪⎭ ⎡⎢⎣ k1 −k1 0−k1 (k1 + k2) −k20 −k2 k2 ⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩u1u2u3⎫⎪⎬⎪⎭
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Linear: Viga
Tem uma flexão, com dois nós.
Linear: Armação
Tem uma forma axial, torção e flexão, com ou sem reforço enrijecimento, com dois nós.
Superfície: Quadrilateral de quatro nós
Tem uma tensão ou deformação plana, axissimetria, chapa plana fina em flexão, com quatro nós.
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Superfície: Quadrilateral de oito nós
Tem uma tensão ou deformação plana, chapa fina ou armação em flexão, com oito nós.
Superfície: Triângulo de três nós
Tem uma tensão ou deformação plana, axissimetria, chapa plana fina em flexão, com três nós.
Superfície: Triângulo de seis nós
Tem uma tensão ou deformação plana, axissimetria, chapa plana fina em flexão, com seis nós.
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Sólido: Hexagonal de oito nós (t�olo)
Tem uma chapa grossa sólida, com oito nós.
Sólido: Pentagonal de seis nós (Cunha)
Tem uma chapa grossa sólida. Usado para transições, com seis nós.
Sólido: Tetraédrico de quatro nós (tetra)
Tem uma chapa grossa sólida. Usado para transições, com quatro nós.
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Finalidade Especial: Intervalo
Tem um deslocamento livre para intervalo de compressão prescrito, com dois nós.
Finalidade Especial: Gancho
Tem um deslocamento livre para intervalo de compressão prescrito, com dois nós.
Finalidade Especial: Rígido
Tem restrições rígidas entre nós, com nós variáveis.
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Nas imagens anteriores, vimos que a escolha da geometria dos elementos deve estar vinculada às suas
aplicações, conforme o problema estrutural real. Assim, podemos inferir que uma escolha incorreta pode
levar a resultados inadequados.
Sabe-se, ainda, que os elementos podem ser de uma, duas ou três dimensões, e de diferentes ordens. Esse
termo se refere à ordem da função utilizada para interpolar o deslocamento no interior do elemento,
normalmente uma função polinomial.
Exemplo
Quando a estrutura que se deseja analisar possui contornos curvos, os elementos de alta ordem são os
mais adequados, além de terem maior capacidade de representar estruturas complexas, fornecem os
melhores resultados em regiões com gradientes de tensão mais elevados.
No entanto, como ponto negativo, a elevação no grau dos elementos pode ocasionar um aumento
significativo do tempo de processamento do software. Por esse motivo, os analistas dão preferência,
inicialmente, ao emprego de elementos mais simples, para, em uma segunda etapa, aumentar a densidade
da malha ou a ordem dos elementos em busca de soluções mais adequadas.
Geração da malha
Primeiramente, vamos destacar algumas definições e informações:
É um conjunto de elementos e nós em que uma estrutura é discretizada.
É quando a malha aumenta à medida que forem acrescentados mais elementos e nós no interior de
uma região.
Malha 
Densidade 
Refinamento da malha 
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É quando ela é alterada visando chegar a melhores resultados. Geralmente acontecem quando a
densidade da malha é aumentada em regiões onde ocorrem gradientes de tensões elevados ou
quando zonas de transição geométrica recebem malhas mais suaves.
É quando seus resultados convergem para resultados exatos, conforme a malha é continuamente
refinada.
É quando a variação dos resultados de tensão máxima for ínfima, é razoável supor que a solução
convergiu.
Existem três formas básicas de gerar uma malha, veja:
Geração manual da malha
Com a malha sendo utilizada no início da utilização do Método dos Elementos Finitos. Atualmente, é rara a
sua utilização e, quando ocorre, é apenas para casos de pequenas modificações do modelo, visto que é
muito trabalhoso.
Geração semiautomática da malha
Com passar do tempo, os algoritmos computacionais foram sendo aprimorados, permitindo ao analista
gerar a malha automaticamente em regiões da estrutura subdividida por ele. Como essas regiões são
definidas pelos analistas e não pelo software, a técnica é considerada semiautomática.
Geração automática da malha
Com o objetivo de minimizar: o esforço dos modeladores e o tempo pré-processamento e chegar a uma
malha bem construída para utilização do Método dos Elementos Finitos. Com contorno completo definido,
os softwares disponibilizam esquemas para discretizá-la com determinado elemento, em sua aplicação.
Análise por elementos finitos 
Variação 
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A exemplo da importância da geração das malhas, com seus elementos e nós, podemos retornar ao modelo
de chapa fina, apresentado anteriormente. A imagem (a), a seguir, mostra os contornos da estrutura. A
imagem (b) apresenta os 294 elementos e 344 nós que foram gerados automaticamente pelo software.
Confira:
Contornos da estrutura.
A malha apresenta os 294 elementos e 344 nós, gerados automaticamente pelo software.
A imagem (c) apresenta as tensões de Von Mises após a aplicação do Método de Elementos Finitos para a
malha da imagem (b). Nota-se que a tensão máxima encontrada foi de 28,3 MPa, veja:
Tensões de Von Mises.
A imagem (d) mostra uma densidade de malha maior, gerada automaticamentepelo software, com 1008
elementos e 1096 nós. Os resultados das tensões de Von Mises estão apresentados na imagem (e), com a
tensão máxima de 28,9 MPa, ou seja, 1,8% maior do que a encontrada com a malha inicial, indicando uma
convergência nos resultados.
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Densidade de malha maior, gerada automaticamente pelo software - 1008 elementos e 1096 nós
Tensões de Von Mises - tensão máxima de 28,9 Mpa.
O aumento da densidade da malha, ou a ordem dos elementos, é chamado de refinamento, que pode ser
dividido em:
O refinamento h-adaptativo é mais comumente empregado e, em geral, a ordem do elemento é
limitada à segunda ordem.
O refinamento p-adaptativo permite que o grau da função polinomial que irá interpolar os elementos
possa ser aumentado até nove ou mais, permitindo verificar as variações locais de tensões.
O refinamento da malha deve ocorrer até que haja uma convergência no resultado das tensões máximas, ou
seja, são calculadas as tensões na estrutura para determinada malha e verificadas as regiões de maiores
tensões. Para essas regiões, são realizadas o refinamento da malha.
h-adaptativo 
p-adaptativo 
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Caso o cálculo com a nova malha resulte em tensões máximas próximas ao resultado apresentado com
emprego da malha anterior, isso significa que está havendo uma convergência nos resultados, não havendo
mais necessidade de novos refinamentos.
Resumindo
Nota-se que, para uma mesma estrutura, pode ser empregado o refinamento p-adaptativo com elementos
maiores e em menor quantidade, mas com ordem maior da função polinomial, ou mesmo um refinamento h-
adaptativo com elementos menores e em maior quantidade, alcançando os mesmos resultados.
Aplicação da carga
A aplicação da carga em uma estrutura discretizada pode ocorrer em seus nós ou elementos. Entretanto, as
cargas aplicadas nos elementos podem ser transferidas para os nós com a utilização de carga nodal
equivalente.
O analista deve atentar para os graus de liberdade dos nós, que são os movimentos de rotação e translação
independentes que podem existir em um nó.
Atenção!
Tais movimentos podem possuir, no máximo, três graus de liberdade translacionais e três rotacionais.
Muitos softwares de Análise de Elementos Finitos possuem uma grande variedade de modelos de
carregamento. Eles distribuirão determinado carregamento, com magnitude e direção desejada.
As cargas nos elementos incluem cargas estáticas devido à gravidade (peso), efeitos térmicos, cargas
superficiais, como pressão hidrostática e cargas dinâmicas devido à aceleração constante e à rotação em
regime permanente (aceleração centrífuga).
Relembrando
Cabe recordar que, conforme descrito, as cargas aplicadas aos elementos serão convertidas pelos
softwares em cargas nodais equivalentes, de acordo com uma função escolhida, sendo tratadas como
cargas concentradas aplicadas nos nós.
Podemos citar, ainda:
Carregamentos de pressão
P d li d fí i
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Cabe lembrar que, ao utilizarmos os softwares de Análise de Elementos Finitos, devemos ter bastante
atenção às unidades de medidas utilizadas como padrão e se são as que estamos acostumados a trabalhar.
É muito importante que o sistema de unidades seja o mais conveniente para o analista, pois muitos dos
erros ocorridos na engenharia estão relacionados com problemas de unidades de medida.
Condições de contorno
Na Análise de Elementos Finitos, a definição das condições de contorno de uma estrutura, ou qualquer outra
forma de restrição, pode ser considerada a etapa mais difícil do processo de análise. Nessa etapa, os erros
podem ocorrer por omissão ou por má interpretação do fenômeno físico a que a estrutura está sujeita.
As condições de contorno não devem permitir nem restringir deformações que, na situação real, não
ocorreriam. Desse modo, quando se verifica que uma estrutura possui alguma restrição física, isso não
significa que apresentará uma rigidez infinita. No entanto, quando se especifica em um modelo de Análise
de Elementos Finitos que um nó não pode se mover, ele se torna realmente fixo e infinitamente rígido,
tendendo a exagerar o efeito causado pela condição de contorno imposta.
Exemplo
Podem ser aplicados a uma superfície.
Acelerações de qualquer magnitude e direção
Podem ser aplicadas para representar a gravidade ou forças inerciais em um sistema
dinâmico.
Carregamentos de momento
Mais complexas de serem aplicadas, mais especificamente, se os elementos empregados
permitem apenas um grau de liberdade translacional.
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Com relação ao exagero do efeito causado pela aplicação de determinada condição de contorno, podemos
modelar eixos com mancais, como se estivessem apoiados. Os resultados da aplicação na condição de
contorno são conservadores em termos de tensões e deflexões. Ou seja, a solução preveria tensões e
deflexões maiores do que as ocorridas na realidade, em que a condição do apoio ideal deve estar entre o
apoiado e o fixo, permitindo algum tipo de movimento no nó.
Constatamos a seguir que a aplicação de diferentes condições de contorno chega-se a valores de deflexão
máxima significativamente diferentes. Vamos considerar uma travessa deslizante de seção transversal
retangular, apoiada em dois mancais com uma carga transversal aplicada no centro. A imagem (a)
representa a geometria da estrutura, veja:
Geometria da estrutura.
A imagem (b) apresenta o diagrama de corpo livre (DCL), considerando engastes entre os mancais e a
travessa. Já a imagem (c) apresenta o DCL considerando apoios simples.
Diagrama de corpo livre (DCL).
Considerando a força (F) de 250 lb no centro da viga deslizante e uma folga radial de 0,001 in para permitir o
deslizamento, a imagem de comparação a seguir apresenta os valores de deflexão máxima para solução
analítica, conforme os dois modelos anteriores constantes das imagens (b) e (c). Nesse caso, a linha
vermelha é o Diagrama de Corpo Livre com engaste nos mancais, com deflexão máxima encontrada de
-0,00036 in, e a linha preta representa o DCL com apoios simples nos mancais, resultando em deflexão
máxima de – 0,00090 in.
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Comparação entre as deflexões conforme condição de contorno escolhida.
Aplicando ao mesmo exemplo o Método dos Elementos Finitos para calcular as deflexões máximas para
fins de comparação com os valores de deflexão calculados por intermédio do método analítico, chegamos
aos valores ilustrados nas imagens de representação da geometria da estrutura e condições de contorno a
seguir:
Primeira representação da geometria da estrutura e condições de contorno.
A imagem (a) mostra a malha para o caso que simula os engastes dos mancais, com os nós de todos os
elementos que fazem contato com eles restritos nas direções x e y. A imagem (b) mostra a forma defletida e
a máxima deflexão encontrada pela Análise dos Elementos Finitos, −0,00032 in, valor muito próximo ao
encontrado pelo método analítico, -0,00036 in.
Observe as concentrações de tensão no ponto de aplicação da força e nos pontos A e B, onde as
extremidades internas dos mancais fazem contato com a travessa. Isso mostra o efeito das condições de
contorno nas tensões locais.
Segunda representação da geometria da estrutura e condições de contorno.
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A imagem(a) mostra o mesmo modelo representado na primeira representação (a), mas com as condições
de contorno alteradas de forma a simular um apoio simples em cada extremidade. Na extremidade
esquerda (A), um único nó no lado interno do mancal é fixado em x e y, para representar um pivô. Na
extremidade direita (B), um único nó é fixo em y para representar o apoio de rolo.
A imagem (b) mostra a forma defletida e a máxima deflexão da viga simplesmente apoiada, calculada por
meio da Análise de Elementos Finitos, −0,00099 in, muito próximo ao valor encontrado na solução analítica,
-0,00090 in. Observe as concentrações de tensão nos pontos de aplicação da força e nos pontos A' e B',
onde as quinas do mancal fazem contato com a travessa, mostrando o efeito das condições de contorno
nas tensões locais. Veja também que a extremidade superior da viga não faz contato com a superfície
interna superior do mancal, o que também se mostra consistente com a solução analítica.
Apesar de os valores de deflexão máxima calculados pelo método analítico e pelo Método dos Elementos
Finitos serem muito próximos, para ambas as situações de condições de contorno, a diferença entre eles é
bastante significativa – cerca de 3 (três) vezes. Sendo assim, cabe ao analista verificar qual das condições
de contorno é a que mais se adequa a situação real.
Atenção!
Neste caso, como há uma folga de 0,001 in entre o mancal e a travessa, não é razoável assumir que os
mancais impedem qualquer rotação da travessa no eixo z. Com isso, podemos concluir que o modelo com a
condição de contorno de apoio simples se adequa melhor à situação real da estrutura do que o modelo fixo-
fixo.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere o eixo escalonado de alumínio na imagem abaixo. As áreas das seções AB e BC são,
respectivamente, 64,5 mm² e 96,8 mm². Os comprimentos das seções AB e BC são, respectivamente,
250 mm e 300 mm. Uma força F = 4500 N é aplicada em B. Inicialmente, existe uma folga ε = 0,05 mm
entre a extremidade C e a parede rígida à direita.
Determine as reações nas paredes e a deflexão no ponto B. Considere E = 69 GPa e suponha que a
extremidade C atinja a parede. Verifique a veracidade dessa informação. Com base nas afirmações a
seguir, marque a resposta correta.
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I - atinge a parede;
II - não atinge a parede;
III - atinge a parede;
IV - não atinge a parede.
Parabéns! A alternativa C está correta.
O eixo escalonado pode ser modelado pelo sistema de duas molas, conforme a seguir:
FA = −2492 N ; FC = 0 N ; uB = 0 mm; C
FA = 0 N ; FC = 0 N ; uB = 0 mm; C
FA = −2492 N ; FC = −2004 N ; uB = 0, 14 mm; C
FA = 0 N ; FC = −2004 N ; uB = 0, 14 mm; C
A A afirmativa I é correta.
B A afirmativa II é correta.
C A afirmativa III é correta.
D A afirmativa VI é correta.
E As afirmativas I e II são corretas.
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Modelo representado por um sistema de duas molas.
Em que:
Para o cálculo das forças de reação nas paredes, além das forças internas do sistema, utilizaremos a
seguinte equação matricial:
Com e a hipótese de que , temos:
Da segunda equação, podemos chegar ao valor de u2:
Como , podemos afirmar que o ponto C atinge a parede.
As reações nas paredes são e podem ser calculadas a partir da primeira e terceira equações da
matriz.
Questão 2
Considerando os mesmos dados do exercício anterior, calcule as forças internas de cada elemento,
conforme a figura a seguir.
k1 = ( A∗El )AB =
64,5∗69000
250 = 17802N/mm
k2 = ( A∗El )BC =
96,8∗69000
300 = 22264N/mm
= = 103
⎧⎪⎨⎪⎩FAFBFC⎫⎪⎬⎪⎭ ⎧⎪⎨⎪⎩ f1,1f2,1 + f2,2f3,2 ⎫⎪⎬⎪⎭ ⎡⎢⎣ k1 −k1 0−k1 (k1 + k2) −k20 −k2 k2 ⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩u1u2u3⎫⎪⎬⎪⎭u1 = 0, FB = 4500 N u3 = 0, 05 mm= 103⎧⎪⎨⎪⎩ FA4500FC ⎫⎪⎬⎪⎭ ⎡⎢⎣ 17, 802 −17, 802 0−17, 802 40, 066 −22, 2640 −22, 264 22, 264 ⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩ 0u20, 05⎫⎪⎬⎪⎭4500 = 103 ∗ (−17, 802 ∗ 0 + 40, 066 ∗ u2 − 22, 264 ∗ 0, 05)u2 = ( 4500103 + 22, 264 ∗ 0, 0540, 066 ) = 0, 14mm = uBuB > ϵ FA FCFA = 103 (17, 802 ∗ 0 − 17, 802 ∗ u2 + 0 ∗ 0, 05) = 103(−17, 802 ∗ 0, 14) = −2492 NFC = 103 (0 ∗ 0 − 22, 264 ∗ u2 + 22, 264 ∗ 0, 05) = 103(−22, 264 ∗ 0, 14) = 2004 N
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Diagramas de corpo livre separados .
Parabéns! A alternativa D está correta.
Para o cálculo das forças internas, é necessário separar os elementos utilizando as seguintes equações
matriciais:
- Elemento AB - 
- Elemento BC - 
Assim:
Ou seja, 
A f1,1 = 0 N ; f2,1 = 2492 N ; f2,2 = 2492 N e f3,2 = 0 N
B f1,1 = 0 N ; f2,1 = 2004 N ; f2,2 = 2004 N e f3,2 = 0 N
C f1,1 = 2492 N ; f2,1 = −2492 N ; f2,2 = 2004 N e f3,2 = 0 N
D f1,1 = −2492 N ; f2,1 = 2492 N ; f2,2 = 2004 N e f3,2 = −2004 N
E f1,1 = 2492 N ; f2,1 = −2492 N ; f2,2 = −2004 N e f3,2 = 2004 N
{ } = [ ]{ }
f1,1
f2,1
k1 −k1
−k1 k1
u1
u2
{ } = [ ]{ }
f2,2
f3,2
k2 −k2
−k2 k2
u2
u3
{ } = [ ]{ } = 103 [ ]{ } = { }
f1,1
f2,1
k1 −k1
−k1 k1
u1
u2
17, 802 −17, 802
−17, 802 17, 802
0
0, 14
−2492
2492
f1,1 = −2492Nef2,1 = 2492N
{ } = [ ]{ } = 103 [ ]{ } = { }
f2,2
f3,2
k2 −k2
−k2 k2
u2
u3
22, 264 −22, 264
−22, 264 22, 264
0, 14
0, 05
2004
−2004
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Ou seja, e 
2 - Dimensionamento e tolerância geométrica
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar os conceitos e a fundamentação do
dimensionamento e da tolerância geométrica.
Vamos começar!
Geometria: Dimensões e tolerâncias
Conheça os principais aspectos sobre geometria que serão abordados neste módulo.
f2,2 = 2004N f3,2 = −2004N

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Introdução ao dimensionamento e tolerância
geométrica
A despeito do grande desenvolvimento verificado nos processos de fabricação e montagem a partir da
segunda metade do século XX, por mais precisos que tenham se tornado, não é possível produzir peças
perfeitas. Isso justifica a demanda por um sistema de dimensionamento e tolerância que facilite o projeto e
a fabricação de sistemas mecânicos e seus componentes, garantindo eficiência e redução de custos.
Durante a Segunda Guerra Mundial, os Estados Unidos fabricavam e enviavam peças sobressalentes para o
exterior para o esforço de guerra. Essas peças eram fabricadas de acordo com as especificações, mas não
podiam ser montadas. Após a guerra, um comitê formado por representantes do governo, da indústria e da
academia se debruçou sobre o problema das peças defeituosas para encontrar uma maneira de garantir a
montagem e o funcionamento corretos das peças.
O resultado foi o desenvolvimento do método conhecido como dimensionamento e
tolerância geométrica (GD&T da expressão em inglês) e da norma americana,
USASI Y14.5–1966.
Atualmente, a norma ASME Y14.5M–1994, da Sociedade Americana de
Engenheiros Mecânicos, é considerada o documento de referência para
especificação e aplicação adequada de GD&T.
Os métodos convencionais de tolerância têm sido usados desde meados do século XIX. Esses métodos
fazem um bom trabalho de dimensionamento e tolerância de “tamanhos”, e ainda são usados para isso, mas
fazem um trabalho ruim de localização e orientação de elementos dimensionais. GD&T é usado
extensivamente para localizar e orientar peças, e para muitas outras aplicações de tolerâncias.
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O que é GD&T – dimensionamento e tolerância
geométrica
As características do GD&T, ou dimensionamento e tolerância geométrica são:
É usada para especificar o tamanho, a forma, o perfil, a orientação e a localização de elementos em
uma peça. Desenhos com aplicação adequada de tolerância geométrica possibilitam a interpretação
uniforme e a montagem econômica.
É usada como ferramente, pois obriga o projetista a considerar a função, posição e a montagem de
cada peça, antes que possa aplicar adequadamente o método. Uma vez aplicada, a tolerância
geométrica permite que os projetistas especifiquem a maior tolerância possível resultando em
projetos de peças mais econômicas.
Nesse esquema de tolerância identifica todas as superfícies de referência e as peças e seus
elementos referenciados.
Desde meados do século XIX, a indústria vem utilizando o sistema de tolerância cartesiano (mais ou menos:
±) para desenhos de tolerância. Esse sistema tem várias limitações: o sistema de tolerância mais ou menos
gera campos de tolerância retangulares.
Um campo (ou zona) de tolerância é um limite dentro do qual o eixo que está em tolerância deve se localizar.
Zonas de tolerância retangulares têm uma distância variável das bordas ao centro. Na imagem de variação
Linguagem simbólica 
Ferramenta de projeto 
Comunicação da intenção do projeto 
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do centro da zona de tolerância, a seguir, da esquerda para a direita e de cima para baixo, a tolerância é de ±
0,005; nas diagonais, a tolerância é de ± 0,007.
Variação do centro da zona de tolerância às bordas no sistema de tolerâncias cartesianos.
No sistema cartesiano, não há como compensar a posição de um elemento em função da tolerância de
suas dimensões. Em outras palavras, se você fabrica uma peça em sua máxima dimensão, não há alteração
quanto à tolerância de localização daquele elemento.
Geralmente, no sistema de tolerância cartesiano, os planos de referências não são estabelecidos. Logo,
quando utilizamos o sistema GD&T, tiramos proveito das seguintes vantagens em relação ao sistema
cartesiano:
1. Zona de tolerância cilíndrica;
2. Condição de máximo material;
3. Planos de referências com ordem de precedência.
Zona de tolerância cilíndrica
A zona de tolerância cilíndrica está localizada e orientada em relação a um referencial especificado.
Observe, na próxima imagem, que a zona de tolerância é orientada perpendicularmente ao plano A e
localizada, com dimensões básicas, nos planos de referência B e C. As dimensões básicas não possuem
tolerância diretamente associada, eliminando o acúmulo de tolerância indesejável. O comprimento total do
eixo através do elemento é facilmente controlado porque a zona de tolerância cilíndrica se estende por todo
o elemento.
Ao contrário da zona de tolerância retangular, a zona de tolerância cilíndrica define uma distância uniforme
da posição verdadeira, o centro, até o limite da zona de tolerância. Quando uma zona de tolerância cilíndrica
de diâmetro 0,014 é especificada sobre a posição verdadeira, há uma tolerância de 0,007 da posição
verdadeira em todas as direções.
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Diferenças entre a zona de tolerância cilíndrica e a retangular.
Na imagem a seguir, uma zona de tolerância cilíndrica é circunscrita a uma zona de tolerância retangular.
Observa-se que a cilíndrica tem 57% mais área do que a retangular, ou seja, para uma mesma tolerância a
tolerância cilíndrica é maior que a retangular.
Comparação entre as áreas – zona de tolerância cilíndrica x retangular.
Símbolos, termos e regras para uso do GD&T
Símbolos, termos e regras são os fundamentos do dimensionamento e tolerância de tolerância (GD&T). Seu
praticante deve estar muito familiarizado com esses símbolos para saber usá-los. Alguns conceitos
preliminares ajudarão no entendimento do GD&T.
Todo corpo é limitado por uma superfície chamada superfície real para fins de aplicação do método GD&T.
Ela não corresponde exatamente à superfície geométrica prevista no projeto ou na superfície ideal. Na
prática, consideramos que a superfície geométrica não contém imperfeições ou erros de forma, posição ou
acabamento.
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Superfície geométrica retangular.
Na realidade, ao término de qualquer processo de fabricação, o corpo apresenta uma superfície efetiva com
algum grau de imperfeição, por mais preciso que seja o processo considerado. Essa superfície pode ser
“levantada” por meio de técnicas de medição, sendo a mais próxima da superfície real.
Imaginando uma superfície geométrica cortada por um plano perpendicular, como mostra a imagem,
teremos um perfil geométrico. Os erros – diferenças entre o perfil efetivo e o perfil geométrico de uma
superfície em exame – são classificados em:
Macrogeométricos
São conhecidos como erros de forma ou de posição, podem ser detectados por instrumentos como
relógios comparadores, micrômetros, esquadros, ou ainda por equipamentos eletrônicos.
Microgeométricos
São formados por sulcos ou marcas causadas nas superfícies pelo processo de usinagem, deformação
no tratamento térmico, tensões residuais de forjamento ou fundição. Podem ser detectados por
instrumentos, como rugosímetros e perfiloscópios, e também são conhecidos como rugosidade da
superfície.
Indicações de tolerâncias geométricas
Os elementos tolerados, tanto isolados como associados, podem ser linhas, superfícies ou pontos. Dizemos
que a tolerância se refere a um elemento isolado quando é independente dos demais elementos da peça.
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Quando a tolerância se refere a um elemento em relação a qualquer outro, dizemos tratar-se de elementos
associados.
Um desses elementos será o tolerado, e o outro será a referência. Os elementos de referência também
podem ser: linhas, superfícies, pontos ou ainda planos de simetria. Na verificação, o elemento de referência,
embora seja um elemento real da peça, é sempre considerado como ideal, isto é, isento de erros.
Alguns tipos de tolerância só se aplicam em elementos isolados, outros só se aplicam em elementos
associados. E há certas características aplicadas para os dois tipos de elementos, conforme a tabela a
seguir. De acordo com as normas técnicas sobre tolerância geométrica, o método GD&T prevê que as
tolerâncias podem ser relacionadas a:
É a variação admissível quanto a uma forma perfeita definida no projeto e pode ser de:
Retilineidade (retitude);
Planeza;
Circularidade;
Cilindricidade;
Perfil de linha qualquer;
Perfil de superfície qualquer.
É referente ao desvio angular admissível de um elemento da peça em relação à orientação ideal,
conforme prevista no desenho. Para essa tolerância, o desvio admissível pode ser de:
Paralelismo;
Perpendicularidade;
Inclinação.
Tolerância de forma 
Tolerância de orientação 
Tolerância de posição 
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É estabelecido o desvio admissível quanto à localização de um elemento da peça, em relação à sua
localização teórica, prescrita no projeto. Tal tolerância pode ser de:
Concentricidade;
Simetria;
Posição.
É o que diz respeito a desvios compostos de forma e posição em relação ao eixo de simetria da
peça, quando esta é submetida à rotação. A tolerância de batimento é classificada em:
Circular;
Total.
Podendo, ainda, ser classificada quanto à direção em: axial, radial, especificada ou qualquer.
Símbolos indicativos das tolerâncias geométricas
Cada tipo de tolerânciageométrica é designado por um símbolo que deve ser usado nos desenhos técnicos,
indicando as tolerâncias adequadamente conforme especificação. O quadro, a seguir, apresenta as
tolerâncias geométricas e seus respectivos símbolos.
Tolerância de batimento 
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Tipo de elemento Tipo de Tolerância
Característica
tolerada
Símbolo
Isolado Forma
Retilineidade
Planeza
Circularidade
Cilindricidade
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Tipo de elemento Tipo de Tolerância
Característica
tolerada
Símbolo
Isolado ou
Associado
Perfil
De linha qualquer
De superfície
qualquer
Associado Orientação
Paralelismo
Perpendicularismo
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Tipo de elemento Tipo de Tolerância
Característica
tolerada
Símbolo
Inclinação
Localização
Posição
Concentricidade
Simetria
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Tipo de elemento Tipo de Tolerância
Característica
tolerada
Símbolo
Movimento
Batimento
Batimento total
Tabela - Simbologia das tolerâncias geométricas.
Adaptado de Cogorno, 2006, p. 18.
Forma de indicação das tolerâncias geométricas nos
desenhos
Nos desenhos técnicos, a característica tolerada deve estar indicada em um quadro retangular, dividido em
duas ou mais partes. Nesse quadro, constam, da esquerda para a direita, na seguinte ordem:
1. Símbolo da característica a ser tolerada;
2. O valor da tolerância para dimensões lineares – se a zona de tolerância tiver forma circular ou
cilíndrica, esse valor deve ser precedido do símbolo de diâmetro (Ø);
3. Se necessário, identificação dos elementos tomados como referência por meio de letras.
Veja agora alguns exemplos de quadros de tolerância e diferentes possibilidades de indicação:
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Tolerância de circularidade
O símbolo indica tolerância de circularidade de um elemento isolado. O valor 0,1 indica que a tolerância é de
um décimo de milímetro.
Tolerância de retilineidade
O valor da tolerância de retilineidade também é de 0,1. O símbolo de diâmetro Ø antes do valor da tolerância
indica um campo de tolerância cilíndrico.
Tolerância de paralelismo
O símbolo indica tolerância de paralelismo que só aplica a elementos associados. Por isso, o terceiro campo
(A) identifica o elemento de referência (plano, eixo) para tolerância.
Há casos em que é necessário indicar mais de um elemento de referência. Os exemplos a seguir mostram
como deve ser feita a indicação nesses casos.
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Na sequência, a imagem apresenta uma indicação de tolerância de localização de 0,1 mm, com campo de
tolerância cilíndrica, com referenciais A, B e C. A ordem em que os referenciais aparecem nos quadros
corresponde à prioridade em relação aos seguintes. Na imagem, o referencial A (primário) tem prioridade
em relação ao B (secundário), que, por sua vez, tem prioridade em relação ao C (terciário).
Indicação de tolerância geométrica com mais de um referencial..
No exemplo, não há prioridade entre os referenciais, daí estarem indicados sem separação entre eles. A
tolerância indicada é de perpendicularidade.
Indicação para elementos associados sem referencial prioritário.
Caso a tolerância se aplique a vários elementos, o número de elementos aos quais a tolerância se refere
deve constar acima do quadro, seguido por um sinal de multiplicação. De modo alternativo, pode-se
escrever por extenso a quantidade de elementos a serem tolerados, como mostrado na imagem.
Indicação para elementos associados sem referencial prioritário.
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Há casos em que pode haver mais de uma tolerância para um mesmo elemento. Nesses casos, são
necessários tantos quadros quanto tolerâncias estabelecidas, exceto quando uma indicação de tolerância
engloba outra. Nesse caso, basta especificar a mais abrangente. Por exemplo, a condição de retitude está
contida na especificação de paralelismo, mas, ao contrário não é verdadeiro: a tolerância de retitude não
limita erros de paralelismo.
Outros símbolos conhecidos como modificadores podem aparecer no quadro de tolerância, ao lado do valor
numérico. Veja agora os símbolos modificadores e seus significados:
Símbolo modificador Significado
Condição de máximo material
Condição de mínimo material
Campo de tolerância projetado
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Símbolo modificador Significado
Estado livre
Plano tangente
SR Raio esférico
Ø Diâmetro
S Ø Diâmetro esférico
R Raio
SR Controle de raio
Tabela - Símbolos modificadores.
Adaptado de Cogorno, 2006.
Veja a definição de alguns deles:
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Condição de máximo material
Condição de um elemento de forma, para o qual todas as dimensões correspondem à máxima
quantidade de material na peça. Por exemplo, o menor diâmetro de um furo ou o maior diâmetro de um
eixo.
Condição de mínimo material
Condição de um elemento de forma, para o qual todas as dimensões correspondem à mínima
quantidade de material na peça. Por exemplo, o diâmetro maior do furo e o menor diâmetro do eixo.
Os símbolos (M) e (L) podem ser colocados após o valor de tolerância ou após a letra indicativa de
referência, ou ainda depois dos dois, veja:

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Posição dos símbolos modificadores.
É importante ressaltar que cotas básicas do desenho não devem ser toleradas. São chamadas de cotas
básicas as dimensões teoricamente exatas que determinam a posição, o perfil de uma linha ou de uma
superfície qualquer, ou a inclinação de um elemento. No desenho, elas são representadas conforme a
imagem.
Representação das cotas básicas no desenho.
Tolerância de forma
Todas as tolerâncias de forma se aplicam a elementos isolados, de tal maneira que essas tolerâncias são
independentes de todas as outras características. Quando a tolerância de tamanho não controla
adequadamente a forma de um elemento, uma tolerância de forma pode ser especificada como um
refinamento.
Exceto para tolerância de retilineidade de uma linha média ou de um plano médio, todas as tolerâncias de
forma controlam superfícies e são ligadas à superfície do elemento por meio de uma linha de chamada ou,
em alguns casos, uma linha de extensão. Zonas de tolerância cilíndricas ou condições de material não são
apropriados para controle de superfícies.
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Planeza
É caracterizada quando todos os elementos de linha dessa superfície estão em um mesmo plano. Numa
vista em que a superfície a ser controlada aparece como uma linha, um quadro de indicação é ligado à
superfície com uma linha de guia ou extensão, veja:
Tolerância de planeza.
O quadro de indicação da tolerância do elemento contém um símbolo de planeza e um número de
tolerância. A tolerância de planeza é um refinamento da tolerância de tamanho e deve ser menor.
O tamanho em cada local deve estar dentro dos limites de tamanho,sem exceder o limite da forma perfeita
em condições de máximo material. Entenda como se dão as superfícies:
Superfície controlada
A superfície sendo controlada, conforme imagem, deve estar entre dois planos paralelos separados
pela tolerância de planeza de 0,005 especificada no quadro.
Superfície da tolerância de tamanho
A superfície deve estar dentro da tolerância de tamanho, representada por dois planos paralelos
separados por 0,020.
A zona de tolerância de planeza não precisa ser paralela a qualquer outra superfície, conforme indicado na
vista lateral direita. A norma afirma que a tolerância de planeza deve ser menor do que a tolerância de

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tamanho, mas a tolerância de tamanho se aplica tanto à superfície superior quanto à inferior da peça.
O fabricante, provavelmente, usará apenas cerca da metade da tolerância de tamanho, produzindo a peça
com cerca de 1,010 de espessura. Devido às restrições de tamanho, toda a peça da imagem anterior deverá
estar contida entre 2 planos paralelos afastados 1,020.
Retilineidade
É uma condição em que um elemento de linha em uma superfície, uma linha média ou um elemento de linha
de um plano médio é uma linha reta. Em uma vista em que os elementos de linha controlados aparecem
como uma linha, um quadro de tolerância é ligado à superfície com uma linha de extensão, como veremos
na próxima imagem. O quadro de tolerância contém o símbolo de retilineidade e uma tolerância numérica.
A tolerância de retilineidade é um refinamento da tolerância de tamanho e deve ser
menor do que ela. O tamanho do elemento não pode exceder o limite de forma
perfeita no MMC.
Os elementos de linha sendo controlados devem estar entre duas linhas paralelas separadas pela tolerância
de 0,004 especificada no quadro de tolerância e paralelas à vista na qual elas são especificadas (vista
frontal). Esses mesmos elementos de linha devem estar dentro da tolerância de tamanho de 0,020. A zona
de tolerância de retilineidade não precisa ser paralela às superfícies ou eixo das respectivas peças, veja:
Tolerância de retilineidade.
Quando um quadro de tolerância de retilineidade está associado a uma dimensão de tamanho, a tolerância
de retilineidade se aplica à linha média de um cilindro, como na imagem A, ou um plano médio para uma
característica não cilíndrica, como na imagem B. O plano médio obtido a partir das superfícies do elemento
não cilíndrico pode dobrar, deformar ou torcer em qualquer direção afastada de um plano perfeito, mas não
deve exceder os limites da zona de tolerância, veja:
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Retilineidade da linha média e do plano médio associada às dimensões.
A verificação de retilineidade de uma característica de tamanho especificada na condição de máximo
material pode ser alcançado colocando a peça em um calibrador de forma completo, como mostra a
imagem abaixo. Se a peça passa pelo calibrador e satisfaz os requisitos de dimensão, é uma boa peça.
Verificação de retilineidade com calibrados.
Circularidade
A circularidade é uma condição de superfície:
Superfície de revolução
Todos os pontos da superfície intersectados por um plano perpendicular ao eixo de revolução são
equidistantes a esse eixo.
Esfera
Todos os pontos da superfície que interceptam um plano que passa pelo centro da esfera são equidistantes
ao centro.
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Um quadro de tolerância de característica é ligado à superfície do elemento por uma linha de chamada, seja
na vista circular de um cilindro, seja na vista longitudinal, como mostrado na imagem. O quadro de
tolerância de característica contém um símbolo de circularidade e um número de tolerância.
A tolerância à circularidade é um refinamento da tolerância de dimensão e deve ser menor do que essa
tolerância de tamanho. De fato, a tolerância geométrica deve ser menor do que a metade da tolerância
dimensional especificada para o diâmetro.
Tolerância de circularidade aplicada à superfície cilíndrica e cônica.
Cilindricidade
Cilindricidade é uma condição na qual todos os pontos da superfície de um cilindro são equidistantes ao
eixo. A superfície a ser controlada deve estar entre dois cilindros coaxiais em que a distância radial entre
eles seja igual à tolerância especificada no quadro de tolerância de características.
Ao contrário da circularidade, a tolerância de cilindricidade aplica-se aos elementos circulares e
longitudinais ao mesmo tempo. Cilindricidade é uma tolerância de forma composta que controla
simultaneamente a circularidade, a retidão e a conicidade de características cilíndricas. Observe agora a
indicação e interpretação da tolerância de cilindricidade.
Tolerância de cilindricidade.
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Elementos circulares em um plano perpendicular ao eixo da peça da superfície a ser controlada devem estar
entre dois círculos concêntricos, em que a distância radial entre eles é igual à tolerância especificada no
quadro de tolerância de características. Cada elemento circular é independente de todos os outros
elementos circulares. Isso significa que a peça pode parecer uma pilha de centavos que está desalinhada e,
ainda assim, satisfazer uma inspeção de circularidade.
Orientação
É o termo geral usado para descrever a relação angular entre elementos. Os controles de orientação, que
devem ter referência, incluem:
Paralelismo;
Perpendicularidade;
Inclinação.
Quando uma superfície plana é controlada com uma zona de tolerância de dois planos paralelos, toda a
superfície deve ficar entre dois planos. No paralelismo, na perpendicularidade e na inclinação, a orientação
de uma superfície plana é controlada com uma zona de tolerância de dois planos paralelos, que também
pode controlar a planeza caso essa tolerância tenha sido especificada.
Quando é desejável controlar apenas a orientação de elementos de linha na superfície, uma nota, como cada
elemento ou cada elemento radial, é colocado abaixo do quadro de tolerância do elemento.
Paralelismo, perpendicularidade e inclinação são, frequentemente, usados para refinar outros controles,
como o de posição.
Paralelismo
É a condição de uma superfície ou plano central, equidistante em todos os pontos de um plano de
referência. Também é a condição de um eixo, equidistante ao longo de seu comprimento de um ou mais
planos de referência ou um eixo de referência.
Em uma vista em que a superfície a ser controlada aparece como uma linha, um quadro de tolerância é
ligado à superfície com uma linha de extensão, conforme a imagem anterior.
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O quadro de tolerância contém:
um símbolo de paralelismo;
uma tolerância;
uma referência, pelo menos.
A superfície de referência é identificada com uma linha com triângulo na ponta. A tolerância de paralelismo
de uma superfície plana é um refinamento da tolerância dimensional e deve ser menor que essa tolerância.
A tolerância dimensional não pode exceder o limite da condição máxima do material (MMC), e a dimensão
em cada local deve estar dentro dos limites de tolerância.
A superfície sendo controlada na imagem deve estar entre dois planos paralelos separados pela tolerância
de paralelismo de 0,005 especificada no quadro de tolerância. A zona de tolerância também deve ser
paralela ao plano de referência. Além disso, a superfície deve estar dentro da tolerância dimensional, os dois
planos paralelos separados por 0,020. Essa peça inteira deve caber entre dois planos separadospor 1,020. A
superfície controlada não pode ultrapassar o limite de forma perfeita na condição de máximo material.
Como o controle de paralelismo se aplica a uma superfície, nenhum símbolo de condição de material se
aplica.
Tolerância de paralelismo.
Ao controlar o paralelismo de um elemento de tamanho, o quadro de tolerância está associado à dimensão
do elemento que está sendo controlado. Na imagem a seguir, o quadro de tolerância é ligado à extensão da
linha de dimensão. O quadro de tolerância contém:
um símbolo de paralelismo;
uma tolerância;
uma referência, pelo menos.
Se a característica dimensional for cilíndrica, a tolerância é geralmente precedida por um símbolo de
diâmetro, conforme imagem.
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A tolerância e a referência no quadro de tolerância se aplicam às características dimensionais,
independentemente do tamanho do elemento (RFS), uma vez que nenhum símbolo de condição do material
é especificado. O elemento de referência é identificado com um símbolo de elemento de referência.
Controle de paralelismo entre eixos.
Perpendicularidade
É a condição de uma superfície, eixo ou plano central que está em um ângulo de 90o em relação a um plano
ou eixo de referência. A superfície a ser controlada deve situar-se entre dois planos separados pela
tolerância de perpendicularidade de 0,010 especificada no quadro de tolerância na imagem. Além disso, a
zona de tolerância deve ser perpendicular ao plano de referência.
Os ângulos de 90o na peça também têm tolerância. A tolerância de angularidade do bloco de título controla
todos os ângulos, incluindo ângulos de 90o. Como o controle de perpendicularidade se aplica a uma
superfície, nenhum símbolo de condição do material se aplica.
Tolerância de perpendicularidade.
O símbolo do plano tangente (T) no quadro de tolerância do elemento especifica que a tolerância de
perpendicularidade se aplica ao plano tangente aos pontos altos da superfície. Mesmo que as
irregularidades da superfície excedam a tolerância de perpendicularidade, se um plano tangente aos pontos
altos de uma superfície cai dentro na zona de tolerância especificada, a superfície atende à tolerância, veja:
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Plano tangente no controle de perpendicularidade.
Inclinação
É a condição de uma superfície, eixo ou plano central em um ângulo especificado diferente de paralelo ou
perpendicular a um plano de referência ou eixo de referência.
A superfície sendo controlada deve estar entre dois planos paralelos separados pela tolerância de inclinação
de 0,010 especificada no quadro de tolerância. A zona de tolerância deve estar no ângulo básico de 30o
especificado em relação ao plano de referência. Todas as dimensões devem atender às tolerâncias
dimensionais e não podem ultrapassar o limite de forma perfeita na condição de máximo material.
Os ângulos de 90o da peça também possuem uma tolerância. A angularidade do bloco de tolerância
controla todos os ângulos, incluindo ângulos de 90o, a menos que especificado de outra forma.
Tolerância de inclinação.
Ao controlar a inclinação de um elemento dimensional, como um eixo, o quadro de tolerância está
associado à dimensão, sendo controlado. O quadro de tolerância contém um símbolo de inclinação, uma
tolerância numérica e, pelo menos, uma referência.
Se o elemento dimensional for cilíndrico, a tolerância numérica pode ou não ser precedida por um símbolo
de diâmetro, conforme mostrado na imagem seguinte. Se o símbolo do diâmetro precede a tolerância
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numérica, o eixo é controlado com uma zona de tolerância cilíndrica. Se não houver símbolo de diâmetro
antes da tolerância numérica, o eixo é controlado por dois planos paralelos.
Tolerância de inclinação para eixos.
Tolerância de localização
A tolerância de localização é uma tolerância composta que controla a localização e a orientação dos
elementos dimensionais ao mesmo tempo. É a mais utilizada das tolerâncias geométricas. A tolerância de
localização contribui significativamente para a função da peça, intercambiabilidade, otimização da
tolerância e comunicação da intenção do projeto.
Tolerância de posição
Os elementos que podem ser controlados quanto à posição são:
pontos;
retas;
planos.
Os tipos normalizados de tolerância de posição são:
posição de um ponto;
de uma linha ou de uma superfície plana;
concentricidade de dois eixos e simetria de um plano médio;
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de uma linha ou de um eixo.
A tolerância de posição propriamente dita refere-se aos desvios de posição de um ponto, de uma linha ou de
um plano em relação à sua posição teoricamente exata, que aparece indicada dentro em um quadro no
desenho.
A zona de tolerância correspondente é disposta simetricamente em torno da posição teoricamente exata.
Com isso, evita-se o acúmulo de erros provenientes da cotagem em cadeia com indicação somente de
tolerâncias dimensionais.
Como a tolerância de posição controla apenas elementos como:
pinos;
furos;
guias;
ranhuras.
O quadro de tolerância está sempre associado a uma tolerância dimensional. Na próxima imagem, o furo
está localizado e orientado com o controle de posição. Nesse caso, o quadro de tolerância é colocado sob a
nota local que descreve a tolerância de diâmetro e comprimento do furo.
A localização da verdadeira posição deste furo, a localização teoricamente perfeita do eixo, é especificada
com dimensões básicas. Uma vez que o quadro de tolerância é atribuído, uma zona de tolerância imaginária
é definida e a localização da posição determinada.
As referências A, B e C identificam como a peça deve ser posicionada para o processamento. O quadro de
tolerância é uma sentença na linguagem GD&T, por isso, deve ser especificado corretamente para comunicar
a intenção do projeto.
O quadro de tolerância abaixo indica uma zona de tolerância cilíndrica de 0,010 de diâmetro e que o
comprimento total é perfeitamente perpendicular ao plano de referência A, localizado a 2,000 polegadas
acima da referência B, e a 3,000 polegadas acima da referência C.
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Tolerância de posição.
Concentricidade
Dois elementos são concêntricos quando os seus eixos ocupam a mesma posição no plano. Para que se
possa verificar essa condição, a posição de um dos elementos deve ser tomada como referência.
A tolerância de concentricidade é o desvio permitido na posição do centro de um círculo, em relação ao
centro de outro círculo tomado como referência. A tolerância de concentricidade independe do tamanho e
da forma. A medição diferencial exclui tamanho e forma e controla os pontos médios ou linha central dos
elementos. O quadro de tolerância na imagem especifica um campo de tolerância cilíndrico de 0,005
polegadas de diâmetro, coaxial com o eixo de referência.
Tolerância concentricidade.
Medidas de diferenças são feitas ao longo e ao redor do elemento tolerado para determinar a localização de
seus pontos médios ou linha central. Se todos os pontos médios estiverem dentro da tolerância zona, o
elemento está em tolerância, veja:
Tolerância concentricidade – medição dos pontos médios.
Tolerância de simetria
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A simetria controla os pontos medianos de todos os pontos opostos ou localizados de forma
correspondente de duas ou mais superfícies. Os pontos médiosdesses pontos correspondentes, descritos
como uma “nuvem de pontos médios”, devem estar dentro de uma zona de tolerância definida por dois
planos paralelos igualmente dispostos em torno do plano central de referência. Isso significa que metade da
tolerância está em um lado do plano central, e metade, do outro lado.
A tolerância de simetria é independente do tamanho e da forma. A medição das diferenças exclui tamanho e
forma enquanto controla os pontos médios do elemento. O quadro de tolerância, na imagem que segue,
especifica uma zona de tolerância que consiste em dois planos paralelos separados por 0,010,
perpendiculares ao plano de referência A e igualmente dispostos em torno do plano de referência B.
Medidas diferenciais são tomadas entre as duas superfícies para determinar a localização dos pontos
médios. Se todos os pontos medianos estiverem dentro da zona de tolerância, o elemento está na
tolerância.
Campo de tolerância – tolerância de simetria.
Tolerância de batimento
Na usinagem de peças ou de elementos com forma de sólidos de revolução, como cilindros e cones
maciços (eixos) ou ocos (furos), ocorrem variações nas formas e posições, que resultam em erros, tais
como:
ovalização;
conicidade;
retitude;
excentricidade etc.
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Por se tratar de uma tolerância composta, a tolerância de batimento permite analisar simultaneamente uma
combinação de desvios de forma, de orientação e de posição. O valor da tolerância de batimento representa
a soma de todos esses desvios acumulados, que devem estar contidos dentro da tolerância especificada no
projeto. Dependendo do ponto onde a tolerância é verificada, é classificada como:
circular;
total.
A verificação dos erros só pode ser feita de modo indireto, a partir de outras referências que estejam
relacionadas ao eixo de simetria da peça inspecionada, porque é praticamente impossível determinar o eixo
de revolução verdadeiro.
Essa variação de referencial pode ocasionar acúmulo de erros, envolvendo a superfície medida, a superfície
de referência e a linha de centro teórica. Os erros compostos da forma ou de posição de uma superfície de
revolução em relação a um elemento de referência recebem o nome de desvios de batimento.
Tais erros são aceitáveis até certos limites, desde que não comprometam o funcionamento da peça. A
tolerância de batimento representa a variação máxima admissível da posição associada à forma de um
elemento, observada quando a peça sofre uma rotação completa em torno de um eixo de referência.
Batimento circular
O batimento circular se aplica a todos os elementos circulares de uma peça construídos ao redor de um eixo
de referência ou perpendicular a um eixo de referência, enquanto a peça gira 360o em torno desse eixo.
A tolerância se aplica independentemente a cada elemento de linha circular em cada posição de medição e
pode ser facilmente aplicada a cones e perfis curvos construídos ao redor de uma dada referência. O
batimento circular controla uma combinação de variações de circularidade e concentricidade.
Quando aplicado a superfícies em um ângulo de 90o em relação a um eixo de referência, o desvio circular
controla as variações na perpendicularidade de elementos circulares em relação ao eixo de referência. Veja
a indicação do batimento circular:
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Batimento circular.
Batimento total
O batimento total é um controle composto que se aplica a todos os elementos da superfície de uma peça
em torno de seu eixo de referência ou perpendicularmente a seu eixo de referência, quando a peça é girada
360o em torno desse eixo de referência. A tolerância de batimento total se aplica simultaneamente a todas
as posições de medição circular e de perfil.
Para superfícies construídas em torno de um eixo de referência, o batimento total controla uma combinação
de concentricidade, circularidade, retidão, inclinação, conicidade e variações de perfil da superfície.
Quando aplicado a superfícies em um ângulo de 90o em relação a um dado eixo, o batimento total controla a
combinação de tolerância de perpendicularidade ao eixo de referência e à planicidade. Observe agora a
indicação do batimento total:
Batimento total aplicado em torno de um eixo de referência e perpendicular a um eixo de referência.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
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Com relação às seguintes afirmativas sobre o método de dimensionamento e tolerância geométrica
(GD&T), avalie as afirmativas e marque a resposta correta.
I – Trata-se do sistema de tolerância conhecido como +.
II – Apesar de possuir algumas vantagens sobre o sistema cartesiano, + torna o produto final mais caro.
III – É um sistema que facilita a montagem das peças.
IV – Proporciona um campo de tolerância maior que o campo do sistema cartesiano.
Parabéns! A alternativa D está correta.
O sistema de tolerâncias conhecido como GD&T surgiu para reduzir os problemas de montagem de
peças fabricadas segundo o método cartesiano. Nesse sistema, são levados em consideração a forma,
a função e a montagem da peça, o que proporciona maior eficiência e competitividade para as peças
especificadas com GD&T. Além de facilitar a montagem, o sistema GD&T proporciona maiores campos
de tolerância.
Questão 2
Assinale a alternativa que contenha tipos de tolerância geométricas:
A Apenas a alternativa I está correta.
B Apenas a alternativa II está correta.
C Apenas as alternativas II e III estão corretas.
D Apenas as alternativas III e IV estão corretas.
E Apenas as alternativas II, III e IV estão corretas.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Os tipos de tolerância geométrica são de: forma, superfície, orientação, localização e movimento.
Considerações �nais
Tivemos a oportunidade de estudar o método de elementos finitos para análise de estruturas com foco nos
conceitos e nas definições do método, além de conhecer os conceitos de malha, elementos e nós, bem
como as hipóteses para o equacionamento.
Finalmente, estudamos o método de dimensionamento e tolerância geométrica, apresentando as
motivações para o desenvolvimento do método, as vantagens na utilização, além dos tipos e características
controladas por esse sistema. É importante ressaltar que os dois assuntos são amplos e profundos, e que
não há pretensão de esgotá-los nas discussões aqui apresentadas.
A Dimensão, tamanho, forma e orientação.
B Forma, orientação, localização e movimento.
C Largura, comprimento, profundidade e ângulo.
D Orientação, ângulo, linha e círculo.
E Colíndrica, quadrada, triangular e tridimensional.
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Podcast
Para encerrar, ouça um resumo dos principais tópicos abordados.

Referências
BUDYNAS, R. G.; NISBET, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
BUDYNAS, R. G.; NISBET, J. K. Shigley´s mechanical engineering design. 10. ed. Nova York: McGraw-Hill
Education, 2015.
COGORNO, G. R. Geometric dimensioning and tolerancing for mechanical design. McGraw-Hill, 2006.
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
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Confira a indicação que separamos especialmente para você!
Para se aprofundar nos assuntos estudados, pesquise a ABNT NBR6409 DE 05/1997 – Tolerâncias
geométricas – Tolerâncias de forma, orientação, posição e batimento – Generalidades, símbolos,
definições e indicações em desenho.