TCC_TEOREMA DA CATEGORA DE BAIRE

Prévia do material em texto

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO
CEARÁ
IFCE CAMPUS CANINDÉ
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
LUAN MARTINS ABREU
TEOREMA DA CATEGORIA DE BAIRE: APLICAÇÃO EM FUNÇÕES
CONTÍNUAS
CANINDÉ - CE
2022
LUAN MARTINS ABREU
TEOREMA DA CATEGORIA DE BAIRE: APLICAÇÃO EM FUNÇÕES CONTÍNUAS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
ao curso de Licenciatura em Matemática do
Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia do Ceará (IFCE) - Campus Ca-
nindé como requisito parcial para obtenção
do Título de Licenciado em Matemática.
Orientador: Prof. Me. João Luiz Ba-
tista de Melo Junior.
CANINDÉ - CE
2022
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação 
Instituto Federal do Ceará - IFCE
Sistema de Bibliotecas - SIBI
Ficha catalográfica elaborada pelo SIBI/IFCE, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
A162t Abreu, Luan.
 TEOREMA DA CATEGORIA DE BAIRE: APLICAÇÃO EM FUNÇÔES CONTÍNUAS / Luan Abreu. -
2023.
 40 f. : il. 
 Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) - Instituto Federal do Ceará, Licenciatura em
Matemática, Campus Canindé, 2023.
 Orientação: Prof. Me. João Luiz Batista de Melo Junior.
 1. Espaços Métricos. 2. Teorema da Categoria de Baire. 3. Funções monótonas. I. Titulo.
 CDD 510
LUAN MARTINS ABREU
TEOREMA DA CATEGORIA DE BAIRE: APLICAÇÃO EM FUNÇÕES CONTÍNUAS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
ao curso de Licenciatura em Matemática do
Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia do Ceará (IFCE) - Campus Ca-
nindé como requisito parcial para obtenção
do Título de Licenciado em Matemática.
Aprovado (a) em: 15/12/2022.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Me. João Luiz Batista de Melo Junior (Orientador)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE) - Campus
Canindé
Prof. Me. João Victor Maximiano Albuquerque
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE) - Campus
Canindé
Prof. Me. Elano Caio do Nascimento
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE) - Campus
Crateús
A Deus.
Aos meus pais.
Aos mestres.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por tudo.
A minha família, pelo incentivo.
Aos amigos e colegas de estudo, em especial aos que me acompanharam durante
a graduação, que vivenciaram comigo os desafios e me ajudaram a vencê-los, agradeço o
carinho, o apoio, o acolhimento, a paciência, os conselhos, os ensinamentos, as palavras
motivadoras.
Aos professores, que muito contribuíram com minha formação acadêmica, agradeço
os ensinamentos, as orientações, as lições de vida, os risos, a atenção. Vocês são verdadeiros
mestres.
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo principal a demonstração do Teorema da Categoria de
Baire, posteriormente mostraremos algumas aplicações do teorema em funções contínuas,
como a demonstração de que existem funções contínuas que não são monótonas em nenhum
de seus intervalos e essas funções são maioria comparadas as funções estudadas em um
curso de cálculo. Com isso mostraremos que o conjunto de funções contínuas que não são
cortadas por retas é residual no conjunto das funções contínuas. Portanto se faz necessário
desenvolver o conteúdo de espaços métricos com as partes necessárias para que seja
possível a demonstração do teorema principal e suas aplicações, tendo como embasamento
os livros Espaços Métricos(LIMA, 1983), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial
Differential Equantions”(BREZIS; BRÉZIS, 2011).
Palavras-chave: Teorema da Categoria de Baire. Funções Contínuas. Espaços Métricos.
Funções monótonas.
ABSTRACT
This work has as main objective the demonstration of the Baire Category Theorem, later
we will show some applications of the theorem in continuous functions as the demonstration
that there are continuous functions that are not monotonous in any of their intervals
and these functions are most compared to the studied functions in a calculus course,
for this purpose we will show that the set of continuous functions that are not cut by
lines is residual in the set of bounded continuous functions. Therefore, it is necessary
to develop the content of metric spaces with the necessary parts so that it is possible to
demonstrate the main theorem and its applications based on the books Metric Spaces
(LIMA, 1983), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equantions”
(BREZIS; BRÉZIS, 2011).
Keywords: Baire’s Category Theorem. Continuous Functions. Metric Spaces. monoto-
nous functions.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – (Figura do autor) gráficos do exemplo 1 e do exemplo 2. . . . . . . . . . . 35
Figura 2 – (Figura do autor) gráficos da função dente de serra f e da função g . . . . . 38
LISTA DE SÍMBOLOS
α Alfa
β Beta
δ Delta
C[a,b] Conjunto das funções contínuas f : [a,b]→ R
B(a,r) Bola aberta de centro a e raio r
X Fecho do conjunto X
(X,d) Espaço métrico X com métrica d
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 CONCEITOS BÁSICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Bolas e esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Distância de um ponto a um conjunto e distância entre dois
conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Linguagem básica da topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Espaços métricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Limites de sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 C[0,1] é completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 TEOREMA DA CATEGORIA DE BAIRE . . . . . . . . . . . 30
3.1 Aplicações do teorema da categoria de Baire . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Funções que não cortam retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Funções que não são monótonas em nenhum lugar . . . . . . 38
3.1.3 Funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum
ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10
1 INTRODUÇÃO
No decorrer do ensino fundamental e médio podemos ver algumas ideias de distância,
por exemplo, calcular distância no espaço ou simplesmente na reta. Quando buscamos
generalizar a ideia de distância para qualquer conjunto, a nossa percepção pode falhar
ao tentar visualizar tal coisa, mas é possível. Podemos ter essa generalização no estudo
de espaços métricos que é construído tendo como base o cálculo de distância. Podendo
relacionar essa área da Matemática a conceitos como funções, continuidade e com a
topologia de conjuntos dentre vários outros.Por conta disso o estudo de espaços métricos
possui várias aplicações no cotidiano e também na matemática, fora várias questões que
ainda estão em aberto. Nesse trabalho vamos estudar um teorema muito relevante tanto
para topologia como na análise funcional, que é chamado de Teorema da Categoria de
Baire. Com ele mostraremos a existência de funções contínuas que não são cortadas por
nenhuma reta e por consequência vamos conseguir provar que existem funções contínuas
que não são monótonas em nenhum lugar como também funções contínuas que não são
diferenciáveis em nenhum ponto e que elas são maiorias quando comparadas com as que
são diferenciáveis.
Para podermos realizar esse objetivo precisaremos de alguns resultados preliminares,
sendo eles resultados que estão presentes na topologia e no cálculo. Serão organizados e
apresentadosem 3 capítulos e depois disso, o Teorema da Categoria de Baire é enunciado
e demonstrado, embasados nos livros Espaços Métricos(LIMA, 1983), Functional Analysis,
Sobolev Spaces and Partial Differential Equantions”(BREZIS; BRÉZIS, 2011) e os artigos
(SCHNEIDER; SILVA, 2021) e (MARTINS, 2015).
O primeiro Capítulo será composto de conceitos necesários para a prova do teorema
principal juntamente com o que é necessário para as aplicações, sendo este capítulo dividido
em três seções. A primeira seção engloba a parte inicial de espaços métricos, segunda
seção a parte de topologia e a terceira a parte de espaços métricos completos.
No segundo Capítulo é apresentado alguns lemas importantes para a prova do
teorema principal e depois o enunciado do Teorema da Categoria de Baire, que por sua
vez é provado usando os conceitos básicos juntamente com os dois lemas no começo do
capítulo.
A seção 1 do capítulo 3 é destinada às aplicações do teorema da Categoria de Baire
em funções contínuas, sendo elas, mostrar que o conjunto de funções contínuas que não são
11
cortadas por nenhuma reta é residual, com isso podemos usar desse fato para mostrar que o
conjunto de função contínuas que não são monótonas em nenhum lugar também é residual,
por fim, a existência de funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto
e que essas funções também formam um conjunto residual. Derivando dessas aplicações
pode-se dizer que o conjunto de funções continuas que são não monótonas em nenhum
lugar é maioria comparadas aquelas funções que são monótonas em algum lugar o que
também é válido para as funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto.
12
2 CONCEITOS BÁSICOS
2.1 Espaços Métricos
Antes de trabalharmos no Teorema da Categoria de Baire, também conhecido
somente por Teorema de Baire e suas três aplicações em funções contínuas é necessário
que façamos uma pequena apresentação de alguns conteúdos básicos que nos ajudará no
decorrer da demonstração e aplicação do Teorema de Baire, tendo como bases os livros
Espaços Métricos (LIMA, 1983), Elementary real analysis (THOMSON; BRUCKNER;
BRUCKNER, 2008) e Sobolev Spaces and Partial Differential Equantions (BREZIS;
BRÉZIS, 2011).
Primeiro começaremos definindo o que é um espaço métrico e depois mostraremos
o que é uma métrica em um conjunto qualquer.
Definição 1. Um espaço métrico é um par (M,d), onde M é um conjunto com M ̸= ∅ e
d é uma métrica em M .
Sendo um conjunto M ̸= ∅, uma métrica em M é uma função d : M ×M → R, que
associa a cada par ordenado de elementos x,y ∈M um número real d(x,y), chamado a
distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as segintes condições para quaisquer
x,y,z ∈M :
1. d(x,x) = 0 e se x ̸= y então d(x,y) > 0
2. d(x,y) = d(y,x)
3. d(x,z) ⩽ d(x,y)+d(y,z)
Por facilidade, já que vamos usar o termo espaço métrico diversas vezes, usaremos
apenas "o espaço métrico M", deixando subentendido qual a métrica d que está sendo
considerada.
Exemplo 2.1. Uma das primeiras formas de medir distância é vista no ensino fundamental.
A distância entre dois pontos x,y ∈ R é calculada por d(x,y) = |x−y|. Pelas propriedades
de módulo é possivel verificar que R é de fato um espaço métrico, com essa distância
definida.
13
• Como |x−y|⩾ 0 então d(x,y)⩾ 0. Por outro lado, |x−y|= 0⇐⇒ x = y
• Como |x−y|= |y−x|, então d(x,y) = d(y,x)
• d(x,y) = |x− z|= |x+y−y− z|⩽ |x−y|+ |y− z|= d(x,y)+d(y,z) Logo, d(x,z) ⩽
d(x,y)+d(y,z)
Exemplo 2.2. No exemplo anterior vemos que a reta real é um espaço métrico. Podemos
expandir a mesma noção para o plano euclidiano sendo ele denotado por R2, no qual temos
para cada x,y ∈ R2 a notação x = (x1,x2) y = (y1,y2) com x1,x2,y1,y2 ∈ R. Definimos a
métrica usual por:
d(x,y) =
√
(x1−y1)2 +(x2−y2)2
Iremos mostrar que R2 é um espaço métrico, com o exemplo à seguir, que é mais
geral.
Exemplo 2.3. Este exemplo generaliza o exemplo anterior para Rn, cujos elementos são
da forma x = (x1,x2,x3, ...,xn) onde cada uma das n coordenadas são números reais. A
métrica usual que define distância entre dois pontos no Rn, é:
d(x,y) =
√
(x1−y1)2 +(x2−y2)2 + ...+(xn−yn)2
Apesar dessa métrica ser a usual temos outras diversas métricas como por exemplo:
d1(x,y) = |x1−y1|+ |x2−y2|+ ...+ |xn−yn|
d2(x,y) = max{|x1−y1|+ |x2−y2|+ ...+ |xn−yn|}
que são conhecidas como métrica da soma e métrica do máximo. Neste trabalho,
como não usaremos essas mátricas, somente iremos verificar que a métrica usual de fato,
satisfaz as condições de métrica. Ao leitor que tenha interesse nas outras duas métricas,
indicamos (LIMA, 1983).
14
•
d(x,y) =
√√√√ n∑
i=1
(xi−yi)2 ≥ 0
pela própria definição de raiz quadrada. Além disso,
d(x,y) =
√√√√ n∑
i=1
(xi−yi)2 = 0⇐⇒ (xi−yi)2 = 0,∀ i = 1,2, ...,n⇐⇒ xi−yi = 0∀ i = 1,2, ...,n⇐⇒ xi = yi,∀ i = 1,2, ...,n,
Portanto d(x,y) = 0⇐⇒ x = y.
• d(x,y) =
√∑n
i=1(xi−yi)2 =
√∑n
i=1(yi−xi)2 = d(y,x).
• Vamos verificar a desigualdade triangular
[d(x,z)]2 =
n∑
i=1
(xi− zi)2 =
n∑
i=1
(xi−yi +yi− zi)2 =
=
n∑
i=1
(xi−yi)2 +2
n∑
i=1
(xi−yi)(yi− zi)+
n∑
i=1
(yi− zi)2
aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz
[d(x,z)]2 ⩽
n∑
i=1
(xi−yi)2 +2
[
n∑
i=1
(xi−yi)2
] 1
2
[
n∑
i=1
(yi− zi)2
] 1
2
+
n∑
i=1
(yi− zi)2
=
n∑
i=1
(xi−yi)2 +2
[
n∑
i=1
(xi−yi)2
] 1
2
[
n∑
i=1
(zi−yi)2
] 1
2
+
n∑
i=1
(zi−yi)2
=
√√√√ n∑
i=1
(xi−yi)2 +
√√√√ n∑
i=1
(zi−yi)2
2
= [d(x,y)+d(z,y)]2
Assim, d(x,y) ⩽ d(x,y)+d(y,z). Portanto, d é métrica em Rn.
Exemplo 2.4. Qualquer conjunto não vazio M pode se tornar um espaço métrico. Basta
definir a métrica d : M ×M −→ R colocando d(x,x) = 0 e d(x,y) = 1 se x ̸= y. As três
condições de métrica podem ser verificas facilmente. Apesar de isto definir um espaço
métrico bastante simples, em geral esse processo é usado na obtenção de contraexemplos.
Exemplo 2.5. Seja (M,d) um espaço métrico, todo subconjunto S ⊂M pode ser conside-
rado, de modo natural, como espaço métrico: basta considerar a restrição de d a S×S, ou
seja, usar entre os elementos de S a mesma distância que eles possuíam como elementos de
15
M. Quando isto é feito, S chama-se um subespaço de M e a métrica de S diz-se induzida
pela de M .
As próximas definições serão importantes para o decorrer do nosso trabalho. Nós
as usaremos em algumas aplicações do Teorema de Baire.
Definição 2. Seja X um conjunto arbitrário. Uma função real f : X→R chama-se limitada
quando existe uma constante k > 0 tal que |f(x)|⩽ k para todo x ∈X. Indicaremos com
β(X;R) o conjunto das funções limitadas f : X→R. Temos que a soma, diferença e produto
de funções limitadas é limitada. A demonstrações desses fatos podem ser encontradas em
(LIMA, 1983).
Definiremos agora uma métrica em β(X;R).
Definição 3. Para todas f,g ∈ β(X;R),
d(f,g) = supx∈X |f(x)−g(x)|
Essa métrica é chamada de métrica da convergência uniforme, ou métrica do sup.
Aqui não faremos a demonstração de que, de fato, isto define uma métrica, pois em muitos
pontos teríamos que usar propriedades do supremo de um conjunto e fugiria aos objetivos
do nosso trabalho. Para o leitor mais interessado, indicamos (LIMA, 2014).
Definição 4. Uma função f:X→ Y é contínua em "a" com a ∈X, quando para todo ϵ > 0
dado, é possível obter δ > 0 tal que d(x,a) < δ⇒ d(f(x),f(a)) < ϵ. Diz que f:X → Y é
contínua quando ela é contínua em todos os pontos a ∈X. Usamos C[a,b] para denotar o
conjunto de funções reais contínuas em [a,b]. O conjunto C[a,b] é um espaço métrico com
a distância entre f e g é definida da mesma forma como no exemplo anterior, pois neste
espaço toda função é limitada, como pode ser visto em (LIMA, 2014).
Na seção 2.3.2, estudaremos uma propriedade importante do conjunto C[0,1].
2.1.1 Bolas e esferas
A noção de bola é fundamental para o decorrer dos nossos estudos até chegar em
nosso objetivo que é provar o Teorema da Categoria de Baire. Seja a um ponto no espaço
métrico M . Dado um número real r > 0, definimos a bola aberta de centro a e raio r como
16
sendo o conjunto B(a;r) de todos ospontos de M cuja distância ao ponto a é inferior a r:
B(a;r) = {x ∈M ;d(x,a) < r}
A bola fechada de centro a e raio r é o conjunto B[a;r] dos pontos de M cuja
distância ao ponto a é inferior ou igual a r:
B[a;r] = {x ∈M ;d(x,a) ⩽ r}
Por fim, tem-se a esfera que pode ser também chamada por casca da bola fechada.
A esfera de centro a e raio r é o conjunto S(a;r), formado pelos pontos x ∈M tais que
d(x,a) = r
S(a;r) = {x ∈M ;d(x,a) = r}
Observação: temos que B[a,r] = B(a,r)∪S(a,r), sendo a reunião disjunta.
Proposição 1. Dados os pontos a ̸= b no espaço métrico M, sejam r > 0 e s > 0 tais que
r + s ⩽ d(a,b). Então as bolas abertas B(a;r) e B(b;s) são disjuntas.
Demonstração. Se existisse algum ponto x ∈ B(a;r)∩B(b;s), teríamos d(a,x) < r e
d(b,x) < s. Daí d(a,b) ⩽ d(a,x)+d(x,b) < r + s ⩽ d(a,b), um absurdo.
Essa proposição também pode ser enunciada com bolas fechadas, tomando cuidado
para retirar a igualdade, já que neste caso, a desigualdade seria estritamente menor.
Corolário 2.1.0.1. Se r +s < d(a,b) então as bolas fechadas B[a;r] e B[b;s] são disjuntas.
Demonstração. Caso d(a,x) ⩽ r e d(b,x) ⩽ s, teríamos d(a,b) ⩽ d(a,x)+d(x,b) ⩽ r +s <
d(a,b). Então as bolas fechadas B[a;r] e B[b;s] estão contidas nas bolas abertas disjuntas
B(a;r′) e B(b;s′) respectivamente.
2.1.2 Conjuntos limitados
Definição 5. Um subconjunto X de um espaço métrico M chama-se limitado quando
existe uma constante c > 0 tal que d(x,y) ⩽ c para quaisquer x,y ∈X. O menor desses
números c é chamado o diâmetro de X.
17
diam(X) = sup{d(x,y);x,y ∈X}
Observação: Ao fazer consideraçõees sobre o diâmetro de um conjunto X, convém
supor que X ̸= ∅. Isto será admitido implicitamente.
Observação: Para indicar que X não é limitado, escreve-se diam(X) =∞.
2.1.3 Distância de um ponto a um conjunto e distância entre dois conjuntos
Definição 6. Sejam a um ponto e X um subconjunto não-vazio de um espaço métrico M .
Definiremos a distância do ponto a ao conjunto X como o número real
d(a,X) = infx∈Xd(a,x).
Definição de ínfimo para conjunto de distâncias segue a mesma noção de ínfimo de
um conjunto de números reais, logo pela definição, temos que:
1. d(a,X) ⩽ d(a,x) para todo x ∈X.
2. Se c ⩽ d(a,x) para todo x ∈X, então c ⩽ d(a,X).
Proposição 2. Seja M um espaço métrico. Dados a,b ∈M e um subespaço não vazio
X ⊂M vale o seguinte:
|d(a,X)−d(b,X)|⩽ d(a,b)
Demonstração. Devemos mostrar que
−d(a,b) ⩽ d(a,X)−d(b,X) ⩽ d(a,b)
.
Temos que para todo x ∈X,
d(a,X) ⩽ d(a,x) ⩽ d(a,b)+d(b,x).
18
Ou seja,
d(a,X)−d(a,b) ⩽ d(b,x)∀x ∈X.
Portanto vale
d(a,X)−d(b,X) ⩽ d(a,b)
para o segundo caso temos que obter
−d(a,b) ⩽ d(a,X)−d(b,X)
analogamente ao que fizemos, temos que para todo x ∈X,
d(b,X) ⩽ d(b,x) ⩽ d(a,b)+d(a,x).
que por sua vez recai em
d(b,X)−d(a,b) ⩽ d(a,x)→−d(a,b) ⩽ d(a,X)−d(b,X)
como queríamos demonstrar.
2.2 Linguagem básica da topologia
Esta seção é bastante relevante para o desenvolvimento da prova do Teorema da
Categoria de Baire. Veremos o conceito de conjunto aberto e conjunto fechado como
também definiremos o que é ponto interior, ponto de fronteira e ponto aderente.
2.2.1 Conjuntos abertos
Começaremos definindo o que é ponto interior e ponto de fronteira para depois
mostrar a definição de conjunto aberto e suas implicações que usaremos no decorrer do
trabalho.
Definição 7. Seja X um subconjunto de um espaço métrico M . Um ponto a ∈X diz-se
um ponto interior a X quando existe r > 0 tal que d(x,a) < r⇒ x ∈X, em outras palavras,
B(a,r)⊂X. Chama-se o interior de X em M ao conjunto intX formado pelos pontos
interiores a X.
Definição 8. A fronteira de X em M é o conjunto ∂X, formado pelos pontos b ∈M tais
que toda bola aberta de centro b contém pelo menos um ponto de X e um ponto de M −X.
19
Observação: Seja X um subconjunto de um espaço métrico M . Dado um ponto arbitrário
c ∈M , há três possibilidades que se excluem mutuamente: ou existe uma bola aberta de
centro c contida em X, ou existe uma bola aberta de centro c contida em M −X, ou toda
bola aberta de centro c contém pontos de X e de M−X. Logo todo conjunto X determina
a decomposição do espaço como reunião de três subconjuntos dois a dois disjuntos:
M = intX ∪∂X ∪ int(M −X)
Definição 9. Um subconjunto A de um espaço métrico M diz-se aberto em M quando
todos os seus pontos são interiores, isto é, intA = A. Assim, A⊂M é aberto se, e somente
se, A∩∂A = ∅
Proposição 3. Em qualquer espaço métrico M , uma bola aberta B(x,r) é um conjunto
aberto.
Demonstração: Seja x ∈ B(a;r). Então d(a,x) < r e portanto s = r− d(a,x) é um
número positivo. Afirmamos que B(x;s)⊂B(a;r). De fato, se y ∈B(x;s) então d(x,y) < s
e portanto d(a,y) ⩽ d(a,x)+d(x,y) < d(a,x)+ s = r. Logo y ∈B(a;r).
Corolário 2.2.0.1. Para todo X ⊂M,intX é aberto em M.
Demonstração: Seja a ∈ intX. Então existe r > 0 tal que B(a;r) ⊂ X. Para todo
x ∈B(a;r), como vimos acima, existe s > 0 tal que B(x,s)⊂B(a;r), donde B(x;s)⊂X.
Isto mostra que todo ponto x ∈B(a;r) é interior a X, ou seja, que B(a;r)⊂ intX. Logo
intX é aberto.
Podemos então dizer que intX é o maior aberto contido em X. Logo é valido falar
que se A é aberto e A⊂X então A⊂ intX.
Exemplo 2.6. Em todo espaço métrico M , o complementar de uma bola fechada B[a,r] é
um conjunto aberto A = M −B[a,r]. Com efeito, seja c ∈ A, isto é, d(a,c) > r. Tomemos
um número s > 0 tal que r + s < d(a,c). As bolas fechadas B[a,r] e B[c,s] são disjuntas.
Com maior razão, B[a,r]∩B(c,s) ̸= ∅, ou seja, B(c,s) ⊂M −B[a,r]. Logo todo ponto
c ∈ A é interior. É mais fácil ainda ver que o complementar de um ponto a ∈M é um
conjunto aberto M −{a} : se b ̸= a então a bola aberta B(b,r), com r = d(a,b), só contém
pontos em M −{a}. De modo geral, se F = {a1, ...,an} é qualquer subconjunto finito
de M , seu complementar M −F é aberto em M , pois se b ∈M −F então o número
20
r = min{d(b,a1), ...,d(b,an)} é positivo e a bola B(b,r) não contém nenhum dos pontos
a1, ...,an. Isto é, B(b,r)⊂M −F .
Proposição 4. Seja U a coleção dos subconjuntos abertos de um espaço métrico M . Então:
1. M ∈ U e ∅ ∈ U (O espaço inteiro e o conjunto vazio são abertos.)
2. Se A1, ...,An ∈ U então A1 ∩ ...∩An ∈ U. (A interseção de um número finito de
conjuntos abertos é um conjunto aberto. )
3. Se Aϵ ∈U para todo ϵ ∈ L então A =
⋃
ϵ∈L
Aϵ ∈U (A reunião de uma familia qualquer
de conjuntos abertos é um conjunto aberto.)
Demonstração: (1.) É claro que M é um aberto, pois dado qualquer ponto x ∈M , temos
B(x,r)⊂M , para qualquer raio r > 0, já que M é o espaço em que se definiu d. Al´m
disso, para mostrar que ∅ é aberto basta notar que um subconjunto X ⊂M só deixa de
ser aberto quando existe um ponto x ∈X tal que nenhuma bola de centro x está contida
em X. Como não existe x ∈ ∅, o conjunto vazio não viola a condição que define os abertos.
(2.), suponha que a ∈ A1, ...,a ∈ An. Como estes conjuntos são abertos, exístem r1 >
0, ..., rn > 0 tais que B(a;r1)⊂A1, ...,B(a;rn)⊂An. Seja r o menor dos números r1, ..., rn.
Então
B(a;r)⊂B(a;r1)⊂ A1, ...,B(a;r)⊂B(a;rn)⊂ An
daí
B(a;r)⊂ A1∩, ...,∩An.
Logo A1∩, ...,∩An é aberto.
(3.) Seja, por fim, a ∈ A. Existe um indice λ ∈ L tal que a ∈ Aλ. Como este conjunto é
aberto, há uma bola B(a;r) contida em Aλ. Logo B(a;r)⊂ A.
Corolário 2.2.0.2. Um subconjunto A⊂M é aberto se, e somente se, é uma reunião de
bolas abertas.
Demonstração: Se A = ∪Bλ é uma reunião de bolas abertas, então A é aberto em M,
em virtude da proposição 3 e do item (3.) da proposição 4. Reciprocamente, se A é aberto
21
então, para cada x∈A, podemos obter uma bola aberta Bx tal que x∈Bx ⊂A, o que se es-
creve também como {x} ⊂Bx ⊂A. Tomando reuniões, vem A =
⋃
x∈A{x} ⊂
⋃
x∈A Bx ⊂A.
Logo A = ⋃x∈A Bx, o que mostra que todo aberto é reunião de bolas abertas.
Observação: Pode-se dizer que as bolas abertas formam uma base de abertos para
o espaço métrico M.
2.2.2 Conjuntos fechados
Nessa seção adentraremos na parte de conjuntos fechados onde iremos definir o que
é um ponto ser aderente em um conjunto, com isso definiro que vem ser um conjunto
fechado e mostrar as relações com os conjuntos abertos.
Definição 10. Um ponto diz-se aderente a um conjunto X de um espaço métrico M
quando d(a,X) = 0. Outras maneiras equivalentes de dizer que a é aderente a X são:
1. para todo ε > 0, tem-se B(a,ε)∩X ̸= ∅.
2. para todo aberto A contendo a, tem-se A∩X ̸= ∅.
O fecho de um conjunto X em um espaço métrico M é o conjunto X dos pontos de M
que são aderentes a X.
Observação: Temos que ∅= ∅,M = M e X ⊂X para todo X ⊂M . É também claro que
X ⊂ Y →X ⊂ Y .
Exemplo 2.7. Em todo empaço métrico M temos que sempre B(a;r)⊂B[a;r], por conta
que se d(c,a) > r então, pondo s = d(c,a)−r, sabemos que d(x,c) > s para todo x∈B(a;r),
e portanto c não é aderente a B(a;r). Lembrando que pode ocorrer a igualdade dependendo
do espaço métrico.
Definição 11. Um subconjunto X ⊂M diz-se denso em M quando X = M, ou seja,
quando toda bola aberta em M contém algum ponto de X, ou ainda, para cada aberto
não-vazio A em M, tem-se A∩X ̸= ∅.
Proposição 5. Para todo ponto a e todo subconjunto não vazio X em um espaço métrico
M , tem-se d(a,X) = d(a,X)
22
Demonstração: Como X ⊂X, temos d(a,X) ⩽ d(a,X). Para provar que não vale o sinal
<, mostraremos que d(a,X) < m⇒ d(a,X) < m. Com efeito, se d(a,X) < m, então existe
x∈X tal que d(a,x) < m. Sendo x aderente a X, existe x∈X tal que d(x,x) < m−d(a,x).
Então a desigualdade do triângulo nos dá:
d(a,X) ⩽ d(a,x) ⩽ d(a,x)+d(x,x) < d(a,x)+m−d(a,x) = m,
como queríamos demonstrar.
Corolário 2.2.0.3. Para todo subconjunto X ⊂M , tem-se X = X
Demonstração: Com efeito a ∈X ⇒ d(a,X) = 0⇒ a ∈X.
Definição 12. Diz-se que um conjunto F ⊂M é fechado no espaço métrico M quando
seu complementar M −F é aberto em M. A proposição seguinte relaciona este conceito
com o de aderência.
Proposição 6. Dado F ⊂M , tem-se F = F se, e somente se, M−F é aberto. Em outras
palavras: um conjunto é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos aderentes.
Demonstração: Temos:
F = F ⇔ os pontos que não pertencem a F não são aderentes a F ;
⇔ para todo a ∈M −F, existe uma bola aberta B(a;r) que não contém pontos de F ;
⇔ para todo a ∈M −F, existe r > 0 tal que B(a;r)⊂M −F ;
⇔M −F é aberto.
Corolário 2.2.0.4. Para todo X ⊂M , seu fecho X é um conjunto fechado.
Observação: X é o menor subconjunto fechado de M que contém X, no seguinte sentido:
se F é fechado e X ⊂ F então X ⊂ F . De fato, X ⊂ F implica que X ⊂ F , ou sejá, X ⊂ F .
Proposição 7. Os subconjuntos fechados de um espaço métrico M gozam das seguintes
propriedades:
1. o conjunto vazio ∅ e o espaço inteiro M são fechados;
2. a reunião F = F1 ∪ F2 ∪ ...∪ Fn de um número finito de subconjuntos fechados
F1, ...,Fn ⊂M é um subconjunto fechado de M ;
23
3. a interseção F = ∩ε∈LFε de uma familia qualquer (Fε)ε∈L de subconjuntos fechados
Fε ⊂M é um subconjunto fechado de M .
Demonstração: (1.) X e ∅ são complementares dos conjuntos abertos ∅ e X, respectiva-
mente, logo são fechados.
(2.) Os conjuntos A1 = CF1, ...,An = CFn são abertos em M. Desse modo, A1∩ ...∩An =
CF1∩ ...∩CFn = C(F1∪ ...∪Fn) é aberto e portanto F1∪ ...∪Fn é fechado em M.
(3.) Seja Aλ = X −Fλ. Cada Aλ é aberto em X, logo, A = ∪Aλ é também aberto.
Como F = ∩Fλ = ∩(X−Aλ) = X−∪Aλ = X−A, segue-se que F é fechado.
2.3 Espaços métricos completos
Apresentaremos alguns resultados importantes desses espaços e a noção de limites
de sequência que por sua vez é essencial para chegarmos no Teorema da Categoria de
Baire.
2.3.1 Limites de sequência
Definição 13. Uma sequência num conjunto M é uma aplicação x : N→M, definida no
conjunto N = {1,2, ...,n, ...}. O valor que a sequência x assume no número n ∈ N será
indicado por xn, em vez de x(n), e será chamado de n-ésimo termo da sequência.
Para facilitar usaremos (xn) para representar uma sequência.
Observação: Uma subsequência de (xn) é uma restrição da aplicação n→ xn a um
subconjunto infinito N′ = {n1 < n2 < ... < nk, ...} de N. A subsequência é indicada pelas
notações (xn1 ,xn2 , ...,xnk , ...), (xn)n∈N′ ,(xnk)k∈N ou simplesmente (xnk)
Definição 14. Uma sequência (xn) no espaço métrico M chama-se limitada quando o
conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existe c > 0 tal que d(xm,xn) ⩽ c para
quaisquer m,n ∈ N.
Podemos concluir também que toda subsequência de uma sequência limitada é
também limitada.
24
Definição 15. Seja (xn) uma sequência num espaço métrico M . Diz-se que o ponto a∈M
é limite da sequência (xn) quando, para todo número ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se
obter um n0 ∈ N tal que se n > no, então d(xn,a) < ε.
Denotamos como limxn = a, podemos dizer que xn tende para a e escreve-se como
xn→ a.
Quando existe a = limxn ∈M , diz-se que a sequência de pontos xn ∈M é conver-
gente em M , e converge para a. Se não existe limxn em M, dizemos que a sequência é
divergente em M .
Proposição 8. Toda sequência convergente é limitada.
Demonstração. Seja limxn = a num espaço métrico M . Tomando ϵ = 1, obtemos n0 ∈N
tal que n > n0⇒ xn ∈B(a;1). Portanto o conjunto dos valores da sequência está contido
na reunião (x1, ...,xn0)∪B(a;1) de dois conjuntos limitados, logo é limitado.
Provaremos agora a unicidade do limite de uma sequência. Isto é, se uma sequência
convergir, ela converge para apenas um limite.
Proposição 9. Uma sequência não pode convergir para dois limites diferentes.
Demonstração. Seja (xn) uma sequência no espaço métrico M , sejam a,b ∈M tais
que a = limxn e b = limxn. Dado arbitrariamente ϵ > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0⇒
d(xn,a) < ϵ. Existe também n1 ∈ N tal que n > n1⇒ d(xn, b) < ϵ. Tomemos agora n ∈ N
maior do que n0 e do que n1. Então d(a,b) ⩽ d(a,xn) + d(xn, b) < 2ϵ. Segue-se que
0 ⩽ d(a,b) < 2ϵ para todo ϵ > 0. Isto acarreta d(a,b) = 0 e, portanto, a = b.
Proposição 10. Se limxn = a então toda subsequência de (xn) converge para a.
Demonstração: Seja N′ = {n1 < n2 < ... < nk < ...} um subconjunto infinito de N. Dado
qualquer ϵ > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0⇒ d(xn,a) < ϵ. Existe também k0 ∈ N tal que
nk0 > n0. Logo
k > k0⇒ nk > n0⇒ d(xnk ,a) < ϵ.
Portanto
lim
k→∞
xnk = limn∈Nxn = a
25
Definição 16. Uma sequência (xn) de números reais diz-se crescente quando se tem
x1 < x2 < ... < xn < ..., isto é, xn < xn+1 para todo n ∈N. Quando vale apenas xn ⩽ xn+1,
a sequência diz-se não-decrescente. Analogamente se definem sequências decrescentes e
não-crescente. Uma sequência de um desses quatros tipos é chamada monótona.
Proposição 11. Toda sequência monótona limitada de números reais é convergente.
Demonstração: Para fixar as idéias, seja (x1 ⩽ x2 ⩽ ... ⩽ xn ⩽ ...) a sequência limitada
em questão. Tomemos a = supn∈Nxn. Afirmamos que a = limxn. Com efeito, dado
arbitrariamente ϵ > 0, o número a− ϵ, sendo menor do que a, não pode ser cota superior
do conjunto dos valores xn. Logo existe n0 ∈ N tal que a− ϵ < xn0 ⩽ a. Então n > n0⇒
a− ϵ < xn0 ⩽ a < a+ ϵ⇒ a− ϵ < xn < a+ ϵ. Isto conclui a demonstração.
2.3.2 C[0,1] é completo
Para que possamos atingir o objetivo deste trabalho, é necessário determinar o que
um espaço métrico precisa para ser considerado completo e quais os resultados decorrem
desse fato. Precisamos então da definição de um tipo especial de sequência, as sequências
de Cauchy.
Definição 17. Uma sequência (xn) num espaço métrico M chama-se uma sequência de
Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que m,n > n0⇒ d(xm,xn) < ε
Proposição 12. Toda sequência de Cauchy é limitada.
Demonstração: Seja (xn) uma sequência de Cauchy no espaço métrico M. Dado ϵ = 1,
existe n0 ∈ N tal que m,n > n0 ⇒ d(xm,xn) < 1. Logo o conjunto {xn0+1,xn0+2, ...} é
limitado e tem diâmetro ⩽ 1. Segue-se que
{x1,x2, ...,xn, ...}= {x1, ...,xn0}∪{xn0+1,xn0+2, ...}
é limitado.
Proposição 13. Toda sequência convergente é de Cauchy.
Demonstração. Seja limxn = a, em um espaço métrico M. Então dado ϵ > 0. temos que
existe n0 ∈ N tal que
n > n0⇒ d(xn,x) <
ϵ
2 .
26
logo,
m,n > n0⇒ d(xm,xn) ⩽ d(xm,x)+d(x,xn) <
ϵ
2 +
ϵ
2 = ϵ
de onde (xn)é uma sequência de Cauchy.
Apesar de parecer, a recíproca não é válida, logo nem toda sequência de Cauchy é
convergente. Um exemplo típico desse fato é tomar o espaço métrico M = (0,1), com a
métrica induzida pela métrica usual da reta real e a sequência xn = 1/n. É claro que a
sequência (xn) é de Cauchy, pois dado ϵ > 0, basta tomarmos n0 > 1/ϵ e teremos, para
m > n > n0,
|xn−xm|=
1
n
− 1
m
<
1
n0
− 1
m
<
1
n0
< ϵ
No entanto, a sequência (xn) não converge, pois se convergisse teria que ser para 0, mas
0 ̸∈M .
Definição 18. Diz-se que o espaço métrico M é completo quando toda sequência de
Cauchy em M é convergente.
Exemplo 2.8. O espaço Q com a métrica usual de R não é completo. Cada sequência
de Cauchy em Q converge para algum número real, mas não necessariamente para um
elemento de Q. Por exemplo, a sequência {(1 + 1n)
n} é uma sequência de Cauchy de
números racionais, mas não convergem em Q. A demonstração desse fato pode ser visto
em (LIMA, 2014).
Já vimos acima que o espaços métricos M = (0,1) e Q não são completos. O maior
exemplo de espaço métrico completo é a reta real. No exemplo à seguir, usaremos o que é
feito em (LIMA, 2014), para exibir um caminho que se pode seguir para demonstrar isso.
Exemplo 2.9. O conjunto dos números reais é uma espaço métrico completo. Uma
forma de se demonstrar tal fato é observando-se primeiro que toda sequência limitada
de números reais possui uma subsequência convergente, fato conhecido como Teorema de
Bolzano-Weierstrass. Tomando então uma sequência de Cauchy (xn), pela Proposição
12, ela é limitada e portanto, possui uma subsequência convergindo para a ∈ R. Agora,
dado ϵ > 0, existe n0 ∈ N, tal que se n,m > n0, então |xm−xn| < ϵ/2. Como alguma
27
subsequência converge para a, existe k > n0, tal que |xk− a| < ϵ/2. Daí temos que, se
n > n0,
|xn−a| ≤ |xn−xk|+ |xk−a|<
ϵ
2 +
ϵ
2 = ϵ.
Portanto, (xn) converge para a.
Para o nosso objetivo, precisamos mostrar que o espaço métrico das funções reais
contínuas definidas no intervalo [0,1] é completo com a métrica da convergência uniforme.
Para isso, vamos seguir o que é feito em (LIMA, 2014). Primeiro começamos denotando
C[0,1] = {f : [0,1]−→ R | f é cont́inua}
e lembramos que a métrica em C[0,1] é dada por
d(f,g) = supx∈X |f(x)−g(x)|
Proposição 14. Seja (fn) uma sequência de funções em C[0,1] convergindo para f e seja
a ∈ [0,1]. Se, para cada n ∈ N, existe Ln = limx→afn(x), então a sequência dos números
(Ln) é convergente e converge para limx→af(x). Em outras palavras,
lim
n→∞[ limx→afn(x)] = limn→∞Ln = limx→af(x) = limx→a[ limn→∞fn(x)]
Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que (Ln) é sequência de Cauchy nos
Reais. Seja ϵ > 0. Como (fn) convergente, então sabemos que ela é de Cauchy em C[0,1].
Portanto, existe n0 ∈ N, tal que se m,n > n0, então
d(fm,fn) = sup
x∈X
|fm(x)−fn(x)|<
ϵ
3
daí,
|fm(x)−fn(x)|<
ϵ
3
para todo x ∈ [0,1]. Agora, fixemos m,n > n0. Como Ln = limx→afn(x) e Lm = limx→afm(x),
existe x ∈ [0,1] tal que
|Lm−fm(x)|<
ϵ
3 e |fn(x)−Ln|<
ϵ
3 .
Assim,
|Ln−Lm| ≤ |Lm−fm(x)|+ |fm(x)−fn(x)|+ |fn(x)−Ln|<
ϵ
3 +
ϵ
3 +
ϵ
3 = ϵ.
28
Isto mostra que (Ln) é sequência de Cauchy. Portanto, como R é completo, (Ln) converge.
Agora seja L = limLn. Vamos mostrar que limx→af(x) = L. Seja ϵ > 0. Analogamente ao
que argumentamos acima, existe n0 ∈ N, tal que se n > n0, então
|fn(x)−f(x)|<
ϵ
3 , ∀x ∈ [0,1]
e
|L−Ln|<
ϵ
3 .
Fixemos algum n > n0. Como limx→afn(x) = Ln, então existe δ > 0 tal que se x ∈ [0,1] e
0 < |x−a|< δ, então |fn(x)−Ln|<
ϵ
3 . Daí temos que para x ∈ [0,1] e 0 < |x−a|< δ, vale
|f(x)−L| ≤ |f(x)−fn(x)|+ |fn(x)−Ln|+ |Ln−L|<
ϵ
3 +
ϵ
3 +
ϵ
3 = ϵ.
Portanto, lim
x→af(x) = L.
O próximo resultado que vamos provar nos diz que se uma sequência (fn) de funções
em C[0,1] converge, então ela converge para uma função em C[0,1].
Proposição 15. Se uma sequência de funções (fn) em C[0,1] converge para f , então f
pertence a C[0,1].
Demonstração. Seja a ∈ [0,1] arbitrário. Como cada fn é contínua, temos limx→afn(x) =
fn(a). Portanto, pela proposição anterior, temos que
lim
x→af(x) = limx→a[ limn→∞fn(x)] = limn→∞[ limx→afn(x)] = limn→∞fn(a) = f(a).
Logo f é contínua em a. Como a é arbitrário, então f ∈ C[0,1].
A próxima proposição estabelece um resultado importante para o nosso trabalho,
nela nós mostramos finalmente que C[0,1] é um espaço completo. Usaremos este fato para
apresentar as nossas aplicações do Teorema de Baire.
Proposição 16. O espaço métrico C[0,1] é completo
Demonstração. Seja (fn) uma sequência de Cauchy em C[0,1]. Para cada x ∈ [0,1]
fixado, a sequência (fn(x)) é uma sequência de Cauchy de números reais, pois
|fm(x)−fn(x)| ≤ sup
x∈X
|fm(x)−fn(x)|= |fm−fn|
29
Assim, (fn(x)) é convergente e, para cada x ∈ [0,1], podemos definir f(x) = limn→∞fn(x).
Precisamos mostrar que fn converge para f . Dado ϵ > 0, existe n0 ∈N tal que se m,n > n0,
então |fm−fn|< ϵ. Assim, para todo x ∈ [0,1], vale que |fm(x)−fn(x)|< ϵ. Mantendo x
e n fixos nesta desigualdade e fazendo m←∞, obtemos
|f(x)−fn(x)|< ϵ
para todo x ∈ [0,1]. Assim, |f −fn|< ϵ, o que nos mostra que limfn = f .
30
3 TEOREMA DA CATEGORIA DE BAIRE
Neste tópico mostraremos a demonstração detalhadamente do Teorema da Categoria
de Baire. Ressaltando que usaremos como base os livros de Espaços Métricos e Análise
funcional como, por exemplo, (LIMA, 1983) e (BREZIS; BRÉZIS, 2011). Para a prova do
teorema usaremos dois lemas.
Lema 3.0.1. Seja X um espaço métrico e seja Y ⊂X, temos que intY = ∅ se, e somente
se, X−Y é denso em X.
Demonstração: Seja A = X−Y.
⇒ Por hipótese intY = ∅. Vamos mostrar que A é denso em X. Para isto, tomemos p∈X
e r > 0 qualquer e vamos mostrar que B(p,r)∩A ̸= ∅. Suponha então que B(p,r)∩A = ∅,
portanto B(p,r)⊂X−A = Y e daí, p ∈ intY, o que é absurdo, já que intY = ∅.
⇐ Suponha que A é denso em X. Vamos mostrar que intY = ∅. De fato, se intY ̸= ∅,
então existe p ∈ intY. Isto é, existe r > 0, tal que B(p,r)⊂ Y. Portanto,
B(p,r)∩ (X−Y ) = ∅ ou B(p,r)∩A = ∅.
Mas isto não pode ocorrrer, já que A é denso em X.
Observação:Seja (Xn)n⩾1 uma sequência de subconjuntos de X. Considere para cada
n ⩾ 1 An = X−Xn.
Veja que
∞⋂
n=1
An =
∞⋂
n=1
(X−Xn)
= X−
( ∞⋃
n=1
Xn
)
Portanto pelo lema 3.0.1 concluímos que int(⋃∞n=1 Xn) = ∅ se, e somente se ⋂∞n=1 An é
denso em X.
Lema 3.0.2. Seja X um espaço métrico e A⊂X um aberto não-vazio. Para todo p ∈ A,
existe s > 0, tal que B(p,s)⊂ A
31
Demonstração: Como A é aberto , p é ponto interior de A. Logo, existe r > 0, tal que
B(p,r)⊂ A. Tomando s = r2 , obtemos pelo exemplo 2.7
B(p,s)⊂ {x ∈ A/d(x,p) ⩽ s}
⊂ {x ∈ A/d(x,p) < r}
= B(p,r)⊂ A→B(p,s)⊂ A
Teorema da categoria de Baire: Seja X um espaço métrico completo e seja (Xn)n⩾1
uma sequência de subconjuntos fechados em X. Suponha que
IntXn = ∅. ∀ n ∈ N.
então
Int
( ∞⋃
n=1
Xn
)
= ∅
Demonstração: Seja An = X−Xn,∀n ∈ N. Pelo Lema 3.0.1 An é aberto e denso em X.
Seja G = ⋂∞n=1 An. Novamente, pelo Lema 3.0.1, basta mostrar que G é denso em X.
Tome B(p,r)⊂X, temos que mostrar que
B(p,r)∩G ̸= ∅.
Pelo Lema 3.0.2 podemos tomar p1 ∈B(p,r) e r1 > 0 tal que
B(p1, r1)⊂B(p,r).
Como A1 é denso, então A1∩B(p1, r1) ̸= ∅. Por A1 ser aberto temos que A1∩B(p1, r1) é
aberto. Agora tomemos p2 ∈ A1∩B(p1, r1) e r2 > 0 tais que

B(p2, r2)⊂ A1∩B(p1, r1)
r2 <
r1
2
Considere B(p2, r2), A2 é denso, então A2 ∩B(p2, r2) ̸= ∅. Como A2 é aberto. Existe
p3 ∈ A2∩B(p2, r2), r3 > 0, tais que
32

B(p3, r3)⊂ A2∩B(p2, r2)
r3 <
r2
2
Fazendo uso reiterado do Lema 3.0.2, conseguimos uma sequência de pontos (pn) em X e
números reais rn > 0 tais que

B(pn+1, rn+1)⊂ An∩B(pn, rn)
rn+1 <
rn
2
Mostraremos que a sequência (pn) é de Cauchy. Para mostrar que pn é de Cauchy devemos
mostrar que para todo ϵ > 0 dado, existe n0 ∈N tal que m,n > n0⇒ d(pm,pn) < ϵ. Temos
que
B(pn+1, rn+1)⊂B(pn, rn)⇒ d(pn,pn+1) < rn e rn+1 <
rn
2 .
Suponha que m > n ⩾ 1. Pela desigualdade triangular obtemos:
d(pm,pn) ⩽ d(pm,pm−1)+d(pm−1,pm−2)+ ...+d(pn+1,pn)< rm−1 + rm−2 + ...+ rn
<
r
2m−2 +
r
2m−3 + ...+
r
2n−1
= r2n−1
( 1
2m−2−n+1 + ...+
1
2 +1
)
= r2n−1
m−2−n+1∑
i=0
1
2i
<
r
2n−1
∞∑
i=0
1
2i
Podemos então reescrever da seguinte forma, sabendo que essa série é convergente
d(pm,pn) <
r
2n−1
(
1
1− 12
)
= 2r2n−1 =
r
2n−2 <
r
2n0−2 < ϵ
Dado ϵ > 0, seja n0 ∈ N tal que
d(pm,pn) <
r
2n0−2 < ϵ
.
Logo a sequência (pn) é de Cauchy e como X é completo existe q ∈X, tal que
33
lim
n→∞(pn) = q.
Vamos verificar que q ∈B(p,r) e também que q ∈ ⋂An = G. Temos que
p1 ∈B(p1, r1)
p2 ∈B(p2, r2)⊂B(p1, r1)
...
pn ∈B(pn, rn)⊂B(pn−1, rn−1)⊂ ·· · ⊂B(p2, r2)⊂B(p1, r1), portanto pn ∈B(p1, r1).
Daí, primeiro veja que (pn) ⊂ B(p1, r1)→ q ∈ B(p1, r1) ⊂ B(p,r). Agora, tomando a
subsequência (pn)n⩾2 → q, pelo o que foi visto acima, temos que (pn)n⩾2 ⊂ B(p2, r2),
portanto q ∈ B(p2, r2) ⊂ A1. Analogamente, a subsequência (pn)n⩾3→ q, mas veja que
(pn)n⩾2 ⊂ B(p3, r3) e portanto q ∈ B(p3, r3) ⊂ A2. Podemos dizer então, utilizando o
mesmo argumento, que q ∈ An ∀n ∈ N ou seja, temos que q ∈
⋂
An = G. Podemos então
concluir então que
q ∈B(p,r)∩G ̸= ∅
Isto termina a demonstração.
Existem outras formas de enunciar o teorema de Baire, que podem ser encontra-
das nos livros "espaços métricos"(LIMA, 1983) e Elementary real analysis (THOMSON;
BRUCKNER; BRUCKNER, 2008), podendo conter algumas diferenças nas demonstrações.
3.1 Aplicações do teorema da categoria de Baire
Para mostrarmos as aplicações do teorema teremos que enunciar algumas definições
necessárias para tal, são elas a definição de conjunto magro (conjunto de primeira categoria)
e conjunto residual.
Definição 19. Seja X ⊂ M. X é considerado magro quando é possivel ser escrito como
X=⋃∞i=1 Ai, onde IntAi = ∅.
Agora veremos a definição de um conjunto residual.
Definição 20. Conjunto Y é residual se Y=M−X, onde X é magro.
34
Em outras palavras um conjunto diz-se residual quando é complementar de um
conjunto magro.
3.1.1 Funções que não cortam retas
Mostraremos aplicações do teorema em funções contínuas. Para tal vamos relembrar
que no Cálculo que é estudado no decorrer da graduação trabalha com varias funções
contínuas conhecidas desde o ensino médio e pelos gráfico dessas funções podem passar
retas que as "cortam". Devemos então definir o que é uma "reta cortar uma função". O
significado disso é que em um determinado ponto do gráfico, existe uma linha que passa
por esse ponto e, em uma vizinhança desse ponto, o gráfico da função deve estar acima da
linha em um lado enquanto no outro lado deve estar abaixo da linha. A definição formal
para isso é:
Definição 21. Seja f : [a,b]→ R, e seja L : R→ R uma função cujo gráfico é uma linha
reta. Dizemos que L corta f ou f corta L, se existe x0 ∈ [a,b] e δ > 0 tal que f(x0) = L(x0)
e:
i. L(x)⩽ f(x) para todo x ∈ [x0− δ,x0]∩ [a,b] e
L(x)⩾ f(x) para todo x ∈ [x0,x0 + δ]∩ [a,b], ou
ii. L(x)⩾ f(x) para todo x ∈ [x0− δ,x0]∩ [a,b] e
L(x)⩽ f(x) para todo x ∈ [x0,x0 + δ]∩ [a,b]
Mostraremos um exemplo de uma função que é cortada por uma reta em um
determinado ponto.
Exemplo 3.1. Seja f uma função polinomial de grau 2 tal que f(x) = x2 +x−2 e seja L
uma reta na forma y = 0. L corta f em dois pontos distitos no intervalo [−3,2], sendo eles
as raízes da função f . Logo, tomando existe ϵ = 1 e o ponto x = 1 vemos que f é cortada
por L, já que:
L(x) ⩾ f(x) para todo x ∈ [1−1,1]∩ [−3,2] e
L(x) ⩽ f(x) para todo x ∈ [1,1+1]∩ [−3,2],
35
Figura 1 – (Figura do autor) gráficos do exemplo 1 e do exemplo 2.
L(x) ⩾ f(x) para todo x ∈ [1−1,1]∩ [−3,2] e
L(x) ⩽ f(x) para todo x ∈ [1,1+1]∩ [−3,2],
É fácil dar exemplos de funções contínuas que oscilam tanto próximo de um ponto
que é impossível para qualquer reta cortar a função nesse ponto.
Exemplo 3.2. Tome a função G onde G(x) =
√
|x|sen 1x . O gráfico dessa função está na
figura 1. É possivel analisar que quanto mais próximo do ponto (0,0) ocorre uma maior
oscilação da função e por conta disso é impossível tomar um intervalo tanto à esquerda de
(0,0) quanto à direita, tal que, nesse intevalo, G(x) esteja inteiramente acima do eixo x.
Logo não existe nenhuma reta que corte G no ponto (0,0). Por curiosidade, tirando esse
ponto, existem varias retas que cortam G.
É possível, com essa definição, encontrar funções contínuas que não são cortadas
por nenhuma reta em nenhum ponto. Definir essas funções ou até fazer seus gráficos é
de extrema dificuldade. Usando desses argumentos iremos provar que existem funções
contínuas que não são monótonas em nenhum intervalo. Para isso precisaremos de um
teorema, mas antes de enunciá-lo é necessário definir a notação à seguir. Seja f ∈ C[a,b] e
γ ∈ R. Defina a função f−γ como
f−γ(x) = f(x)−γx.
36
Assim f−γ é obtida de f subtraindo a função linear L(x) =−γx de f . Observe que
uma reta de inclinação γ cruza o gráfico de f em x0 se, e somente se, uma reta horizontal
correspondente cruza o gráfico de f−γ em x0.
Teorema 3.1.1. O conjunto
Z = {f ∈ C[a,b] : f não corta nenhuma reta}
é um subconjunto residual de C[a,b].
Demonstração: Expressaremos X−Z como uma união enumerável de conjuntos magros.
Observe que se f ∈X−Z, então existe pelo menos uma reta que corta f em algum ponto
x. Definiremos então os conjuntos An com n ∈N, de modo que f(ou −f) ∈An para algum
n.
An =
f ∈ C[a,b]| ∃γ ∈ [−n,n],x ∈ [a,b] tais que
f−γ(t) ⩽ f−γ(x)∀ t ∈ (x−
1
n
,x) e f−γ(t) ⩾ f−γ(x)∀ t ∈ (x,x+
1
n
)

Se f corta alguma reta, então f pertence a algum An para algum n ∈ N. Observe
que o número n desempenha dois papéis nesta definição. Para que uma função esteja em
An, deve haver pelo menos uma reta cuja inclinação esteja entre −n e n quando corta a
função. Além disso, 1n especifica o comprimento de um intervalo no qual essa reta deve
ficar acima ou abaixo da função.
Seja A = ∩∞n=1An. Mostraremos que para cada n ∈N, An é fechado e que o comple-
mentar de An é denso. Segue-se que cada An é magro e, portanto, A é um subconjunto
magro de C[a,b].
Vamos verificar se An é de fato fechado, para tal usaremos o teorema de Bolzano-
Weierstrass, que diz que toda sequência limitada de números reais possui subsequência
convergente e pode ser encontrado em (LIMA, 2014). Tome (fk)⊂ An tal que fk→ f no
espaço C[a,b]. Precisamos mostrar que f ∈ An. Para cada k ∈ N, a função fk é membro
de An, portanto existe γk ∈ [−n,n] e xk ∈ [a,b] tal que
f−γ(t) ⩽ f−γ(xk) quando t ∈ [a,b]∩ (xk−
1
n
,xk)
e
f−γ(t) ⩾ f−γ(xk) quando t ∈ [a,b]∩ (xk,xk +
1
n
)
37
Aplicando o teorema de Bolzano-Weierstrass nas sequências (xk) e (γk) teremos as
subsequências (xki) e (γki) de modo que elas convergem para algum x0 ∈ [a,b] e γ0 ∈ [−n,n]
respectivamente, como essas subsequências podem não compartilhar do mesmo índice,
então usaremos novamente o teorema Bolzano-Weierstrass para tomar uma subsequência
de (xki) e (γki) de forma que possam compartilhar dos mesmos índices. Portanto teremos
então as sequências (xkij)→ x0 e (γkij)→ γ0.
Agora resta convergir as sequências para ver se f ∈ An, temos então
f−γ0(t) ⩽ f−γ0(x0) quando t ∈ [a,b]∩ (x0−
1
n
,x0)
e
f−γ0(t) ⩾ f−γ0(x0) quando t ∈ [a,b]∩ (x0,x0 +
1
n
)
Onde é possivel ver que f se encaixa como elemento de An, Como isso é verdade
para todas as sequências convergentes escolhidas de An, concluímos que An é fechado em
C[a,b].
Mostraremos então que A = ∪∞n=1An é magro, pela definição de conjunto magro
devemos mostrar que para todo An tem-se que IntAn = ∅. Já sabemos que An é fechado
e portanto IntAn = IntAn, suponha que IntAn ̸= ∅, logo vai existir pelo menos um
g ∈ IntAn, tal que todos os elementos da bola B(g,δ)⊂ An com δ > 0 pertencem a An.
Vamos mostrar que existem elementos dentro da bola B(g,δ) que não pertencem a An, e
com isso IntAn = ∅. Tome a função f ∈B(g,δ) onde f é uma função parecida com dentes
de serrote com as inclinações dos dentes muito altas de modo f ̸∈An já que intuitivamente,
os segmentos de reta que compõem o gráfico de f têm a inclinação tão acentuada e existem
tantos desses segmentosque nenhuma linha cuja inclinação é limitada por -n e n pode
cruzar o gráfico conforme necessário para f estar em An, assim f ∈B(g,δ)−An, o que é
absurdo já que B(g,δ)⊂ An,. Logo IntAn = ∅. Podemos então concluir que A é magro.
Exatamente os mesmos argumentos mostram que o conjunto
B = {f ∈ C[a,b] :−f ∈ A}
também é magro, consequentemente A∪B também é magro e segue que
Z = C[a,b]− (A∪B)
Z é residual.
38
Figura 2 – (Figura do autor) gráficos da função dente de serra f e da função g
3.1.2 Funções que não são monótonas em nenhum lugar
A grande maioria das funções contínuas que encontramos em uma aula de Cálculo
são monótonas ou então são por partes monótonas. De fato, é extremamente difícil
imaginar uma função contínua que se comporte de maneira que não seja monótona em
algum intervalo. É possível provar a existência de funções contínuas que não são monótonas
em nenhum lugar no sentido da seguinte definição.
Definição 22. Uma função f : [a,b]→ R é dita monótona em nenhum canto se f não é
monótona em nenhum subintervalo [c,d] ⊂ [a,b].
Teorema 3.1.2. Em C[a,b], o conjunto das funções monótonas em nenhum canto é um
conjunto residual.
Demonstração: Quando uma função contínua f é monótona em um intervalo [c,d], fica
claro que existem muitas retas que cortam f . De fato, toda reta horizontal y = k para k
entre f(c) e f(d) deve cortar f . Desta forma, qualquer elemento do conjunto de funções
Z, discutido na aplicação anterior (Teorema 3.1.1), é uma função monótona em nenhum
canto. Assim, este teorema segue diretamente do Teorema 3.1.1, pois o conjunto das
funções monótonas em nenhum lugar contêm o conjunto residual Z e, portanto, também
devem ser residual.
39
3.1.3 Funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto
Quando estamos estudando o conteúdo de cálculo diferencial integral é visto alguns
exemplos de funções que não são diferenciáveis em nenhum lugar e tais funções não
são contínuas na maioria das vezes, existem funções que são contínuas, mas não são
diferenciável em certo ponto, por exemplo a função f = |x| que não é diferenciável no ponto
x = 0. De fato, pode se questionar se existe funções contínuas que não são diferenciáveis
em nenhum canto?.
Esse questionamento teve presente na Matemática por vários anos até que os
matemáticos Stefan Mazurkiewicz (1888-1945) e Stefan Banach (1892-1945) provaram em
publicações separadas que tais funções existem e que o conjunto dessas funções é residual.
Teorema 3.1.3. O conjunto das funções que não são diferenciáveis em nenhum ponto
forma um subconjunto residual em C[a,b].
Demonstração: Observe que se uma função contínua é diferenciável em um ponto
x0 ∈ (a,b), com f
′(x0) = δ,então qualquer reta cuja inclinação não seja δ e que passe por
(x0,f(x0)) cruzará f. Isso implica que cada membro da classe de funções Z discutida no
Teorema 3.1.1 não é diferenciável em nenhum ponto. Assim o teorema segue diretamente
do Teorema 3.1.1, uma vez que o conjunto de funções não diferenciáveis em nenhum lugar
contém o conjunto residual Z e, portanto, também deve ser residual.
40
4 CONCLUSÃO
A demonstração do Teorema da Categoria de Baire apresentado neste trabalho
foi inteiramente construída a partir dos conceitos de Espaços Métricos, embasados em
autores fenomenais. Os conceitos apresentados no decorrer dos capítulos tem como objetivo
tornar o texto de fácil compreensão para que alunos que estejam cursando a graduação
em Matemática possam entender mesmo sem possuir um primeiro contato com Espaços
Métricos.
Este trabalho teve como ponto principal o Teorema da Categoria de Baire e algumas
aplicações no conjunto de funções contínuas que não são cortadas por retas e decorrente
disso o resultado de que o conjunto de funções contínuas que não são monótonas em
nenhum lugar é residual em C[a,b]. Apesar de termos citado algumas poucas aplicações
neste trabalho, há várias outras aplicações em diversas áreas da Matemática que fazem do
teorema muito importante principalmente na Análise Funcional.
Além disso, o Teorema da Categoria de Baire se mostrou importante para a quebra
de um paradigma: a ideia de funções contínuas que não são monótonas em nenhum de
seus intervalos e que é de certa forma impossível a construção do gráfico destas funções e
ainda que essas funções são maioria comparadas as funções contínuas que são monótonas
em algum intervalo.
41
REFERÊNCIAS
BREZIS, H.; BRÉZIS, H. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differen-
tial equations. [S.l.]: Springer, 2011. v. 2.
LIMA, E. L. Espaços métricos. [S.l.]: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq
Rio de Janeiro, 1983. v. 4.
LIMA, E. L. Curso de Análise vol.1. [S.l.]: Instituto de Matemática Pura e Aplicada,
CNPq Rio de Janeiro, 2014. v. 10.
MARTINS, A. O. O teorema de baire. UFAL Campus Arapiraca, 2015.
SCHNEIDER, R. A. da C.; SILVA, V. C. O teorema de baire e uma aplicação no espaço
de funções. Cadernos do IME-Série Matemática, n. 16, p. 5–29, 2021.
THOMSON, B. S.; BRUCKNER, J. B.; BRUCKNER, A. M. Elementary real analysis.
[S.l.]: ClassicalRealAnalysis. com, 2008. v. 1.
	Folha de rosto
	Agradecimentos
	Resumo
	Abstract
	Sumário
	Introdução
	CONCEITOS BÁSICOS
	Espaços Métricos
	Bolas e esferas
	Conjuntos limitados
	Distância de um ponto a um conjunto e distância entre dois conjuntos
	Linguagem básica da topologia
	Conjuntos abertos
	Conjuntos fechados
	Espaços métricos completos
	Limites de sequência
	C[0,1] é completo
	Teorema da categoria de Baire
	Aplicações do teorema da categoria de Baire
	Funções que não cortam retas
	Funções que não são monótonas em nenhum lugar
	Funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto
	Conclusão
	Referências