1 EE-MAG2-E2 2022-2 - Solucao - Prof Renan Vasconcelos Bezerra Carvalho

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Universidade de Pernambuco 
Escola Politécnica de Pernambuco 
Disciplina: Eletromagnetismo 2 
Turma: E2 
Semestre: 2022.2 
Primeiro Escolar Final 
 
Instrução: utilize três casas decimais! 
 
1. (2,0) Um carro viaja a 90 𝑘𝑚/ℎ. Se o campo magnético terrestre é de 4,3 ×
10−5 𝑊𝑏/𝑚, calcule a tensão induzida no para-choque de 1,6 𝑚 de 
comprimento. Considere que o ângulo entre o campo magnético terrestre e a 
normal do carro é de 65°. 
 
Solução: 
𝑉𝑓𝑒𝑚 = ∫( �⃗� × �⃗� ) ∙ 𝑑𝑙 = ∫ (
 90
3,6
𝑎 𝑥 × 4,3 × 10
−5 × 𝑐𝑜𝑠 65°𝑎 𝑦) ∙ 𝑑𝑧𝑎 𝑧
1,6
0
 
 
𝑉𝑓𝑒𝑚 = 0,7269 𝑚𝑉 
 
2. (4,0) Um material não magnético tem uma impedância intrínseca de 
210∠30° Ω. Calcule: 
a. A tangente de perdas; 
b. A constante dielétrica; 
c. A permissividade complexa; 
d. A constante de atenuação em 1,2 𝑀𝐻𝑧. 
 
Solução: 
 
Letra a: 
𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛(2𝜃𝜂) 
𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛(2 × 30°) = √3 
Letra b: 
|𝜂| =
√
𝜇
𝜀
√1 + (
𝜎
𝜔𝜀)
24
 
 
210 =
120𝜋√
1
𝜀𝑟
√1 + √3
24
 
 
√
1
𝜀𝑟
=
210√4
4
120𝜋
 
 
 
𝜀𝑟 = (
120𝜋
210√4
4 )
2
= 1,61 
Letra c: 
𝜀𝑐 = 𝜀 (1 −
𝑗𝜎
𝜔𝜀
) = 𝜀𝑟𝜀0(1 − 𝑗 𝑡𝑎𝑛 𝜃) 
𝜀𝑐 = 1,61 ×
10−9
36𝜋
(1 − 𝑗√3) 
𝜀𝑐 = (1,42 − 𝑗2,47) × 10
−11 𝐹/𝑚 
Letra d: 
𝛼 = 𝜔√
𝜇𝜀
2
[√1 + (
𝜎
𝜔𝜀
)
2
− 1] = 𝜔√
𝜇𝜀
2
[√1 + (𝑡𝑎𝑛 𝜃)2 − 1] 
𝛼 =
2𝜋1,2 × 106
3 × 108
√
1 × 1,61
2
[√1 + (√3)
2
− 1] 
𝛼 = 0,02 𝑁𝑝/𝑚 
 
3. (4,0) Uma onda plana uniforme especificada por 
 
�⃗� 𝑖 = 9𝑐𝑜𝑠(𝜋 × 10
7𝑡 − 𝛽1𝑧) 𝑎 𝑥 𝑉/𝑚 
 
incide normalmente a partir do ar (𝑧 < 0) em um meio não-magnético (z > 0, 
𝜎 = 0,05 𝑆/𝑚 e εr = 9). Calcule: 
a. A expressão instantânea do campo elétrico transmitido; 
b. A expressão instantânea do campo elétrico refletido; 
c. A densidade de potência média temporal para a onda incidente; 
d. A densidade de potência média temporal para a onda transmitida. 
 
Nota: indicar o valor de 𝛽1! 
 
Solução: 
 
𝜂1 = 𝜂0 = 120𝜋 Ω 
 
𝛾1 = 𝛼1 + 𝑗𝛽1 = 0 + 𝑗
𝜔
𝑐
= 𝑗
𝜋 × 107
3 × 108
= 0,105 𝑟𝑎𝑑/𝑚 
 
𝜂2 = √
𝑗𝜔𝜇2
𝜎 + 𝑗𝜔𝜀2
= √
𝑗𝜋 × 107 × 4𝜋 × 10−7
0,05 + 𝑗𝜋 × 107 × 9 ×
10−9
36𝜋
= √
𝑗4𝜋2
0,05 + 𝑗2,5 × 10−3
 
 
𝜂2 = 28,082∠43,57° Ω = 20,346 + 𝑗19,355 Ω 
 
𝛾2 = 𝛼2 + 𝑗𝛽2 
 
 
𝛼2 = 𝜔√
𝜇𝜀
2
[√1 + (
𝜎
𝜔𝜀
)
2
− 1] =
𝜋107
3 × 108
√
1 × 9
2
[
 
 
 
√1 + (
0,05
𝜋107 × 9 ×
10−9
36𝜋
)
2
− 1
]
 
 
 
 
 
𝛼2 = 0,988 𝑁𝑝/𝑚 
 
𝛽2 = 𝜔√
𝜇𝜀
2
[√1 + (
𝜎
𝜔𝜀
)
2
+ 1] =
𝜋107
3 × 108
√
1 × 9
2
[
 
 
 
√1 + (
0,05
𝜋107 × 9 ×
10−9
36𝜋
)
2
+ 1
]
 
 
 
 
 
𝛽2 = 1,024 𝑟𝑎𝑑/𝑚 
 
Γ =
𝜂2 − 𝜂1
𝜂2 + 𝜂1
=
20,346 + 𝑗19,355 − 120𝜋
20,346 + 𝑗19,355 + 120𝜋
= 0,898∠174,12° = −0,893 + 𝑗0,092 
 
𝜏 = 1 + Γ = 1 − 0,893 + 𝑗0,092 = 0,107 + 𝑗0,092 = 0,141∠40,69° 
 
Letra a: 
�⃗� 𝑡 = 𝐸0𝑡𝑒
−𝛼2𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝜋 × 107𝑡 − 𝛽2𝑧) 𝑎 𝑥 
 
�⃗� 𝑡 = 0,141 × 9𝑒
−0,988𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝜋 × 107𝑡 − 1,024𝑧 + 40,69°)𝑎 𝑥 
 
�⃗� 𝑡 = 1,269𝑒
−0,988𝑧 𝑐𝑜𝑠(𝜋 × 107𝑡 − 1,024𝑧 + 40,69°)𝑎 𝑥 𝑉/𝑚 
 
Letra b: 
�⃗� 𝑟 = 𝐸0𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝜋 × 10
7𝑡 − 𝛽1𝑧) 𝑎 𝑥 
 
�⃗� 𝑟 = 9 × 0,898 𝑐𝑜𝑠(𝜋 × 10
7𝑡 − 0,105𝑧 + 174,12°) 𝑎 𝑥 𝑉/𝑚 
 
�⃗� 𝑟 = 8,082𝑐𝑜𝑠(𝜋 × 10
7𝑡 − 0,105𝑧 + 174,12°)𝑎 𝑥 𝑉/𝑚 
 
Letra c: 
�⃗� 𝑚𝑒𝑑𝑖(𝑧) =
𝐸0
2
2|𝜂|
𝑒−2𝛼𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝜂 𝑎 𝑧 =
92
2 × 120𝜋
𝑎 𝑧 = 0,107𝑎 𝑧 𝑊/𝑚
2 
 
Letra d: 
�⃗� 𝑚𝑒𝑑𝑡(𝑧) =
1,2692
2 × 28,082
𝑒−20,988𝑧 𝑐𝑜𝑠(43,57°)𝑎 𝑧 = 0,021𝑒
−20,988𝑧𝑎 𝑧 𝑊/𝑚
2 
 
�⃗� 𝑚𝑒𝑑𝑡(0) = 0,021𝑎 𝑧 𝑊/𝑚
2