Slides de Aula I - Tópicos de Informática

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Profa. Isabel Espinosa
UNIDADE I
Tópicos de Matemática 
 Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
 Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, vetores ou 
ainda outras matrizes.
Matrizes 
a11 a12 a13 . . . a1n
Amxn = a21 a22 a23 . . . a2n = (aij)mxn
. . . .
. . . . 
. . . .
am1 am2 am3 . . .amn
Am x n lê-se “matriz m por n”
m linhas n colunas
Matrizes 
O elemento aij de uma matriz
a13 = da linha 1 coluna 3
a32 = da linha 3 coluna 2
a44 = da linha 4 coluna 4
Matrizes 
0 52 39 10
14 2 -34 8
9 153 0 22
0 - 6 57 0
Igualdade: 
Amxn = ( ai j ) Brxs = ( bi j )
A = B  m = r e n = s e a i j = b i j
Matrizes 
Exemplo 1:
Determine a, b, c para A = B, 
a = 
b = 
c =
Matrizes 
23 ln2 - 5/2
2 25 1
a b - 10/4
2 32 c
A= B = 
Exemplo 2:
Determine os valores de x e y de modo que as matrizes A e B sejam iguais. 
Matrizes 
2x + 1 4 
6 y 
x2 100
A3x2 =
1 4 
x – 2y -3 
0 10
B3x2 =
 A = B 
Logo x = 0 e y = -3 
Matrizes 
2x + 1 = 1 
4 = 4 (V)
y = - 3 
x2 = 0 
x – 2 y = 6 
10 = 100 (V)
 Visualizando as diagonais
 DP: ai j , com I = j 
Matrizes 
diagonal secundária diagonal principal
(DS) (DP)
0 -3 1 
2 1 2
1 4 3
 Adição:
A = (aij)mxn e B = (bij)mxn
A + B = (aij + bij)mxn
Operações com Matrizes 
Exemplo:
A B A + B
Operações com Matrizes 
1 -2
6 0
2 -5
+ = = 
0 4
-2 -5
7 10
1 2
4 -5
9 5
 Multiplicação por escalar:
A = (aij)mxn e ∝ ∈ IR
∝ A = (∝ aij)mxn
Operações com Matrizes 
Multiplicação por escalar: determine -3A
Operações com Matrizes 
Os valores de x e y para que as matrizes A e B sejam iguais é:
a) x = 2 e y = 1
b) x = 4 e y = -1
c) x = - 4 e y = 1
d) x = - 1 e y =4
e) x = -2 e y = 1
Interatividade
-2 2x
y3 0 
A2x2=
-2 8
-1 0 
B2x2=
Os valores de x e y para que as matrizes A e B sejam iguais é:
a) x = 2 e y = 1
b) x = 4 e y = -1
c) x = - 4 e y = 1
d) x = - 1 e y =4
e) x = -2 e y = 1
2 x = 8 → 
y3 = - 1 →
Resposta
-2 2x
y3 0 
A2x2=
-2 8
-1 0 
B2x2=
Transposta:
AT =
2 x 3
Operações com matrizes 
notações: A*B, AB, A.B 
Operações com matrizes 
A = (aik)mxp
A . B = C = (cij) mxn
B = (bkj)pxn
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + aip bpj
(linha por coluna)
Operações com matrizes 
Exemplo 1: 
Determinar A . B e B . A, sendo
Operações com matrizes 
1 2
3 -1 
A =
2x2
3 1
4 3 
B =
2x2
a) Determinando A . B
Operações com matrizes 
1 2
3 -1 
A =
2x2
3 1
4 3 
B =
2x2
1 2
3 -1 
A.B = . = 
3 1
4 3 
11 7
5 0 
2x2
A.B = 
b) Determinando B . A
Operações com matrizes 
1 2
3 -1 
A =
2x2
3 1
4 3 
B =
2x2
1 2
3 -1 
B . A = . = 
3 1
4 3 
6 5
13 5 
2x2
A.B = A . B ≠ B . A
A inversível ↔ A . A-1 = I
Matrizes A e A-1 quadradas
Exemplo: determinar a inversa de A
Matrizes inversa
1 2
3 -1 
A =
a b
c d 
A-1 =
 A . A-1 = I2
Matrizes inversa
1 2
3 -1 
A.A-1 = . = 
a b
c d 
1 0
0 1
a + 2c = 1  a + 2 . 3a = 1 
3 a - c = 0  c = 3 a  c =
b + 2d = 0  b = - 2d  b = 
3 b - d = 1  3 . (-2d) - d = 1 
1/7 2/7
3/7 -1/7 
A-1 =
Uma empresa fabrica 3 tipos de cadeiras, 1, 2 e 3. Cada uma deve passar por 3 setores da 
empresa, montagem, acabamento e embalagem. A cadeira 1 passa 1 hora na montagem, 2 
horas no acabamento e 0,5 hora na embalagem; a cadeira 2 passa 2 hora na montagem, 1,5 
horas no acabamento e 0, 7 hora na embalagem; a cadeira 3 passa 1 hora na montagem, 2 
horas no acabamento e 0,5 hora na embalagem. 
Em um determinado mês foram produzidas 50 cadeiras tipo 1, 70 tipo 2 e 100 tipo 3. Utilizando 
o produto de matrizes determine quantas horas cada setor trabalhou neste mês.
Aplicações
Aplicações
1 2 3
1 2 1 Montagem
2 1,5 2 Acabamento
0,5 0,7 0,5 Embalagem
Setor x tipo 
A =
B = 
Aplicações
quantidade 
50 Tipo 1
70 Tipo 2
100 Tipo 3
tipo x quantidade 
Aplicações
Horas setor x tipo 
A =
tipo x quantidade 
B =
tipo x quantidade 
A . B = = 
Determine a matriz X de modo que X = 2A - BT + (1/2)C, dadas as matrizes
Interatividade
-2 3
-1 0
4 -5
A =
1 2 3
-2 1 0
B =
8 -6
0 4
4 2
C =
-3 5
- 4 1
5 -9 
a)
-1 5
- 4 1
7 -9
b)
-3 5
0 1
7 -7 
c)
3 5
0 1
1 -7
d)
3 5
0 1
0 7 
e)
Determine a matriz X de modo que X = 2A - BT + (1/2)C, dadas as matrizes
X = 2 - + (1/2)
Resposta
-2 3
-1 0
4 -5
A =
1 2 3
-2 1 0
B =
8 -6
0 4
4 2
C =
-3 5
- 4 1
5 -9 
a)
-1 5
- 4 1
7 -9
b)
-3 5
0 1
7 -7 
c)
3 5
0 1
1 -7
d)
3 5
0 1
0 7 
e)
-2 3
-1 0
4 -5
1 -2
2 1
3 0
8 -6
0 4
4 2
 A toda matriz quadrada M associa-se um número, det M.
Cálculo do det M:
1º caso: M é de ordem n = 1, então det M é o único elemento de M.
Exemplo: M = [4] 
Logo det M = 4.
Determinantes
2º caso: M é de ordem 2,
Determinantes
det M = = a11.a22 – (a12. a21)
a11 a12
a21 a22
DP
DS
M =
a11 a12
a21 a22
Exemplo:
Determinantes
M =
2 -1
3 5 
det M = = 
DP
DS
2 -1
3 5 
3º caso: M é de ordem n = 3, isto é,
Determinantes
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
M =
det M =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 Regra de Sarrus
Determinantes 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det M =
a11 a12
a21 a22
a31 a32
- - - + + +
Calcular o determinante das matrizes:
det A = = 
det A = - 4 
Determinantes
-1 2
3 -2
a) A =
-1 2
3 -2
regra de Sarrus: 
det A = -2
Determinantes
1 - 2 1
2 1 3
-2 1 -3
b) A =
1 - 2 1
2 1 3
-2 1 -3
1 - 2
2 1
-2 1
 Sistemas por escalonamento. 
Operações elementares:
 Permutação de equações.
 Multiplicação de uma equação por um número real não nulo.
 Substituição de uma equação por sua soma com outra, multiplicadas ou não por número real 
não nulo.
Sistemas lineares
 Resolução de sistemas por escalonamento.
E2 x - y + z = -1
- E1 -x - y + z = -1
E2 = E2 – E1
Sistemas lineares
x + y – z = 1
x - y + z = -1
2x + y – 3z = 2
E2 = E2 – E1
E3 = E3 – 2E1
x + y – z = 1
- y – z = 0
E3 = E2 –2 E3
E2 -2 y + 2 z = -2
-2E3 2 y + 2z = 0
E3 = E2 - 2E3
Sistemas lineares
x + y – z = 1
-2 y + 2z = -2
- y – z = 0
x + y – z = 1
-2 y + 2z = -2
Resolvendo o sistema: z = 
y = 
z = 
SPD, solução
Sistemas lineares
x + y – z = 1
-2 y + 2z = -2
4z = -2
O determinante de é igual a:
a) -13
b) -10
c) 13
d) -17
e) 10
Interatividade
1 -5 
3 -2 
M =
O determinante de é igual a:
a) -13
b) -10
c) 13
d) -17
e) 10
Resposta
1 -5 
3 -2 
M =
1 -5 
3 -2 
det M = =
Regra de Cramer:
 Sistema 2x2 
 Sistema 3x3
com D ≠ 0
Determinante na resolução de sistemas
Dx
D
x =
Dy
D 
y =
Dx
D
x =
Dy
D
y = Dz
D
z =
Resolver pela regra de Cramer o sistema: 
a)
Temos que: 
Determinante na resolução de sistemas
x + y = 4
x – y = - 2 1 1
1 -1 
D = =
1 4
1 -2
Dy = =
4 1
-2 -1
Dx ==
Portanto:
Logo, S = {(1,3)}
Determinante na resolução de sistemas
b)
Temos que: 
D = 4
Determinante na resolução de sistemas
x + y – z = 1
x - y + z = -1
2x + y – 3z = 2
1 1 -1
1 -1 1
2 1 -3
1 1
1 -1
2 1
D =
Dx = 0 
Determinante na resolução de sistemas
1 1 -1
-1 -1 1
2 1 -3
1 1
-1 -1 
2 1
Dx =
Dy = 2 
Determinante na resolução de sistemas
1 1 -1
1 -1 1
2 2 -3
1 1
1 -1 
2 2
Dy =
Dz = -2 
Determinante na resolução de sistemas
1 1 1
1 -1 -1
2 1 2
1 1
1 -1 
2 1
Dz =
D = 4
Dx = 0
Dy = 2
Dz = -2
Solução: x = ; y = ; z = 
Determinante na resolução de sistemas
Dx
D
x =
Dy
D
y = Dz
D
z =
João, Pedro e José compraram material elétrico para suas casas. Compraram lâmpadas, 
interruptores e tomadas.
João comprou 1 lâmpada, 3 interruptores e 3 tomadas gastando R$ R$ 81,00.
Pedro comprou 8 lâmpadas, 4 interruptores e 5 tomadas gastando R$ 161,00.
José comprou 10 lâmpadas, 5 interruptores e 7 tomadas gastando R$ 211,00.
Determine o valor de cada produto comprado.
Sistemas Lineares
João comprou 1 lâmpada, 3 interruptores e 3 tomadas gastando R$ 81,00.
Pedro comprou 8 lâmpadas, 4 interruptores e 5 tomadas gastando R$ 161,00.
José comprou 10 lâmpadas, 5 interruptores e 7 tomadas gastando R$ 211,00.
x = preço da lâmpada
y = preço do interruptor
z = preço da tomada
Sistemas Lineares
x + 3 y + 3 z = 81
8 x + 4 y + 5 z = 161
10 x + 5 y + 7 z = 211
Sistemas Lineares
x + 3 y + 3 z = 81
8 x + 4 y + 5 z = 161
10 x + 5 y + 7 z = 211
x + 3 y + 3 z = 81
-20 y – 19 z = - 487
- 25 y – 23 z = - 839
E2 = E2 – 8 E1
E3 = E3 – 10E1
 solução: lâmpada R$ 6,00
 interruptor R$ 12,00
 tomada R$ 13,00
Sistemas Lineares
x + 3 y + 3 z = 81
-20 y - 19 z = - 487
- 25 y – 23 z = - 839
x + 3 y + 3 z = 81
-20 y – 19 z = - 487
- 15 z = - 195
E3 = - 20 E3 + 25 E2
Seja então o valor de Ax é igual a:
a) 1
b) -2
c) 3
d) -1
e) 0
Interatividade
2x + y = 1
-x + y = 2 
Seja então o valor de Ax é igual a:
a) 1
b) -2
c) 3
d) -1
e) 0
Resposta
2x + y = 1
-x + y = 2 
1 1
2 1 
Ax = = - 1
ATÉ A PRÓXIMA!