Livro - Elementos de Máquinas

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Curitiba
2022
Elementos de 
Máquinas 
Ana Rita Villela Costa
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Ficha Catalográfica elaborada pela Editora Fael.
C837e Costa, Ana Rita Villela
Elementos de Máquinas / Ana Rita Villela Costa. – Curitiba: Fael, 
2022. 
296 p.
ISBN 978-65-990685-2-2
1. Máquinas - Projetos I. Título
CDD 621.816
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Valmera Fatima Simoni Ciampi
Coordenação Editorial Angela Krainski Dallabona
Revisão Editora Coletânea
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Imagem da Capa Ser Educacional
Arte-Final Hélida Garcia Fraga
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Sumário
Carta ao Aluno | 5
1. Introdução aos elementos de máquinas | 7
2. Elementos de transmissão de potência | 31
3. Transmissão por correias | 55
4. Transmissão, eixos e árvores | 81
5. Transmissão por engrenagens cilíndricas | 107
6. Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim | 135
7. Elementos elásticos: molas | 159
8. Embreagens, freios e acoplamentos | 187
9. Elementos de fixação | 213
10. Elementos de apoio | 237
Gabarito | 263
Referências | 293
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Prezado(a) aluno(a),
Cada página desse livro foi pensada para que você, estu-
dante, possa compreender melhor os conceitos de elementos de 
máquinas. Esses elementos são amplamente utilizados em boa 
parte das máquinas e equipamentos que utilizamos na indústria e 
em nosso dia a dia.
Podemos dividi-los em “famílias”, sendo elas: a de elemen-
tos de transmissão de potência, a de elementos elásticos, a de 
elementos de fixação e a de elementos de apoio. Começamos a 
nossa jornada conhecendo melhor os componentes de cada famí-
lia, com suas peculiaridades e suas principais aplicações e carac-
terísticas. Partimos então para os conceitos de cargas variáveis, 
Carta ao Aluno
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Elementos de Máquinas
fadiga e concentração de tensão. Esses conceitos são importantes para 
compreendermos melhor o dimensionamento dos componentes.
Os elementos de transmissão de potência podem ser de dois tipos: 
flexíveis e rígidos, sendo que nos flexíveis estão as correias e nos rígidos 
estão os eixos, as engrenagens, os freios, as embreagens e os acoplamen-
tos. Todos eles foram explorados em suas aplicações e no seu dimensio-
namento e seleção.
As molas são consideradas elementos elásticos e têm ampla aplica-
ção na indústria e no nosso dia a dia. Para se ter uma ideia, utilizamos as 
molas desde camas elásticas até válvulas de segurança. Elas podem ser de 
compressão, de tração ou de torção e há diversos tipos no mercado. Nesse 
livro você vai conhecer diversas delas.
Os elementos de fixação são aqueles responsáveis por unir duas ou 
mais peças, e podem ser de fixação permanente ou de fixação móvel. 
Os mais conhecidos são os parafusos, as porcas, os rebites e as soldas.
Por fim, vamos tratar dos elementos que têm a função de apoio, sendo 
os mais conhecidos os mancais de rolamento e os mancais de desliza-
mento, mas há também as buchas e guias.
É com essa proposta que convido você a conhecer mais a fundo os 
elementos de máquinas, que estão presentes em muitas máquinas, equipa-
mentos e ao nosso redor.
A autora.
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1
Introdução aos 
elementos de 
máquinas 
Alguma vez você já planejou fazer uma viagem ou comprar 
um carro? Se ainda não, em breve poderá precisar pensar em algo 
assim. No desenvolvimento de um novo produto, tudo começa 
com o projeto. Mas o que é projeto? É aquilo que tem início, 
meio e fim. Os projetos podem ser bem definidos no início ou 
podem ter algumas incertezas a serem definidas durante o desen-
volvimento, mas um fato é certo: um bom projetista deve ter a 
capacidade de tomar decisões.
Neste capítulo, vamos conhecer um pouco mais de projeto de 
máquinas e tratar de fatores de segurança e critérios de resistência.
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Elementos de Máquinas
– 8 –
1.1 Introdução ao projeto de máquinas
O PMBOK é considerado a “Bíblia do conhecimento em gerencia-
mento de projetos”, sendo a base de conhecimento do Project Manage-
ment Institute (PMI), que tem mais de 500 mil associados em mais de 180 
países. A primeira versão oficial do PMBOK foi lançada em 1987, estando 
atualmente na sexta versão (2017).
Esse material define projeto como um esforço temporário empreendido 
para criar um produto, serviço ou resultado único. O término do projeto pode 
ser determinado quando os objetivos forem alcançados, quando não for mais 
possível alcançá-los ou, ainda, quando o projeto não tiver mais serventia.
Os projetos de engenharia envolvem, basicamente, todas as discipli-
nas vistas no curso. Por exemplo, o projeto de um mancal de rolamento 
envolve fenômenos de transporte, atrito, seleção de materiais, processos 
de fabricação, lubrificação, cálculos numéricos, entre outros. Cada com-
ponente a ser projetado envolve um vasto conhecimento de várias áreas, 
mas o projeto é elaborado em etapas até se chegar a um projeto pronto. 
Pode-se dizer que as etapas acontecem conforme a Figura 1.1.
Figura 1.1 – Etapas do projeto
Fonte: elaborada pela autora.
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Introdução aos elementos de máquinas 
Começamos com a identificação de uma necessidade, que pode ser um 
problema em uma máquina existente ou a criação de uma nova máquina ou 
de um sistema. Com a necessidade identificada, partimos para a definição 
do problema, em que devem ser definidas as características do projeto, as 
entradas, as saídas, o espaço que irá ocupar etc. Com isso, inicia-se a sín-
tese, que é também chamada de projeto conceitual, em que são definidos os 
conceitos fundamentais, como as principais dimensões, o material e o pro-
cesso de fabricação. Nessa etapa, várias possibilidades podem ser testadas, 
modificadas, descartadas e refeitas, sendo muito importante no projeto, pois 
é como se fosse a concepção dele. A fase de análise e otimização, apesar de 
se mostrar linear na figura, está intimamente ligada à etapa de síntese, pois 
pode se repetir diversas vezes até se chegar a um conceito ideal.
Chegando ao conceito, a próxima fase é fazer uma avaliação em que 
protótipos e modelos devem ser testados e analisados para garantir a quali-
dade do projeto. Deseja-se responder às perguntas: o produto é confiável? 
É viável economicamente? A manutenção é possível? Entre outros ques-
tionamentos (BUDYNAS, 2011). Após todas essas etapas, chega a hora 
de “vender o peixe”, ou seja, fazer a apresentação do projeto ao cliente 
(podendo ser externo ou interno). Essa etapa é muito importante, pois se o 
projeto não for aprovado todo o trabalho terá sido em vão.
1.1.1 Considerações de projeto
Os elementos mecânicos têm algumas características que devem ser 
levadas em consideração na elaboração do projeto. A resistência mecâ-
nica, por exemplo, pode afetar o elemento e até mesmo todo o conjunto. 
O Quadro 1.1 apresenta algumas dessas considerações de projeto (que não 
estão em ordem de importância).
Quadro 1.1 – Considerações de projeto
Funcionalidade Confiabilidade Vida útil Lubrificação
Resistência/
tensão Fabricabilidade Ruído Manutenção
Distorção/
rigidez Utilidade Estilo Volume
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Elementos de Máquinas
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Funcionalidade Confiabilidade Vida útil Lubrificação
Desgaste Custo Forma Propriedade térmicas
Corrosão Atrito Tamanho Reciclável
Segurança Peso Controle Reuso
Fonte: elaborado pela autora.
Outras considerações podem ser identificadas no decorrer do desen-
volvimento do projeto.
1.1.2 Elaboração do projeto
Nos anos 1990, os desenhos técnicos eram elaborados manualmente, 
com o uso de lápis, papel e uma mesa especial chamada de prancheta. Atu-
almente, os desenhos de projeto são elaborados com o uso de ferramentas 
computacionais.
1.1.2.1 Ferramentas computacionais
Computed Aided Design (CAD) nada mais é que desenho assistido 
por computador. Mas o que é isso? É uma forma de realizar um desenho 
técnico com a ajuda de um computador, que surgiu lá pelos anos 1960 com 
o editor gráfico chamado Sketchpad, criado pelo cientista Ivan Suther-
land, funcionando com um tipo de caneta que desenhava direto na tela 
da máquina. Os programas evoluíram, e hoje há alguns exemplos mais 
utilizados: AutoCAD, SolidWorks e Catia.
Além do desenho assistido por computador, há a possibilidade 
de realizar simulações e testes em modelos por meio de Computer 
Aided Engineering (CAE), sendo o CAD considerado um subcon-
junto do CAE. Alguns tipos de programa aptos a fazer simulações 
são análise por elementos finitos (FEA), que são capazes de realizar 
análises de tensão e deflexão, programas de dinâmica dos fluidos 
(CFD++, FIDAP e Fluent), programas para análise de transferência 
de calor (ANSYS) e para simulações de forças dinâmicas e movi-
mento de mecanismos (ADAMS).
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Introdução aos elementos de máquinas 
Cabe ressaltar que o computador é apenas uma ferramenta para auxi-
liar no “trabalho pesado”, mas não substitui o raciocínio humano, por isso 
precisamos conhecer os conceitos por trás dos programas e dos aplicativos 
disponíveis para podermos elaborar os projetos de engenharia.
1.1.3 Processamento de soluções
Quando for necessária a apresentação de uma solução para um pro-
blema, Budynas (2011) recomenda as etapas mostradas na Figura 1.2.
Figura 1.2 – Processamento de soluções
Fonte: elaborada pela autora.
Na primeira etapa (entenda o problema), deve-se compreender per-
feitamente o enunciado do problema. Na próxima etapa (identifique o 
conhecido), listar as informações conhecidas e relevantes. Na terceira fase 
(identifique o desconhecido), enumerar o que precisa ser determinado para 
se chegar a uma solução, elaborando um planejamento. Na fase seguinte 
(enuncie as hipóteses e decisões), levantar as hipóteses possíveis para 
solucionar o problema. Na quinta fase (analise o problema), utilizar o pla-
nejamento e as hipóteses levantadas, pesquisando tabelas, equações e rea-
lizando os cálculos necessários, atestando a credibilidade da solução. Por 
fim (apresente sua solução), ter habilidade para apresentar a solução de 
forma que os interlocutores fiquem interessados em colocá-la em prática.
Caso os resultados tenham sido insatisfatórios algumas etapas, 
estas podem ser repetidas mais de uma vez, já que os processos são 
interativos e iterativos.
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Elementos de Máquinas
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1.1.4 Fontes de pesquisa
Para a realização dos cálculos e das definições das considerações de 
projetos, certos dados precisam ser consultados. Na Engenharia, algumas 
informações são normalizadas, definidas por normas técnicas nacionais ou 
internacionais. A família de normas nacionais mais conhecida é definida 
pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT); já as normas 
internacionais são diversas, e as instituições mais relevantes que as defi-
nem estão listadas no Quadro 1.2.
Quadro 1.2 – Associações internacionais de normas técnicas
Sigla Descrição
AA Aluminunn Association
AGMA American Gear Manufacterers Association
AISC American Institute of Steel Construction
AISI American Iron and Steel Institute
ANSI American National Standard Institute
ASME American Society of Mechanical Engineers
ASTM American Society of Testing and Materials
AWS American Welding Society
ISO International Standards Organization
SAE Society of Automotive Engineers
Fonte: elaborado pela autora.
Alguns exemplos de normas são: API – 610 – Centrifugal Pumps for 
Petroleum, Petrochemical, and Natural Gas Industries, que regulamenta o 
dimensionamento e a seleção de bombas centrífugas para a área de Petró-
leo e Gás; ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section VIII, Division 
1, para a construção de vasos de pressão; e ASTM A36 (SS400, S275) 
Structural Carbon Steel, para aço carbono estrutural.
Em algum momento você vai se deparar com uma dessas siglas e já 
vai saber que se trata de uma padronização de dados ou considerações de 
projeto. Então fique atento.
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Introdução aos elementos de máquinas 
1.1.5 Custos
Os custos em um projeto são muito importantes, pois podem ser fato-
res decisivos para continuá-lo ou pará-lo. Os valores de mão de obra e 
matérias-primas sofrem grandes variações ao longo do tempo, e quando 
um projeto se estende os custos que foram estimados no início podem ter 
tido fortes alterações quando ele for, finalmente, colocado em prática.
Uma maneira inteligente de manter os custos sob controle é pro-
curar otimizar a matéria-prima, selecionando materiais com tamanhos 
padronizados. Por exemplo, caso um engenheiro que escolheu uma 
barra de aço AISI 1020 laminada a quente, de seção transversal qua-
drada, com 52 milímetros de lado (fora de padrão), queira reduzir os 
custos, pode trocá-la por uma barra padronizada de 50 milímetros ou 
60 milímetros. Caso ele insista na barra de 52 milímetros, precisará 
laminá-la e usiná-la a partir de uma barra de 60 milímetros, o que 
aumentará o preço do produto.
1.2 Fatores de segurança e análise de esforços
Ao desenvolver um projeto, é preciso definir os materiais que serão 
utilizados. As características dos materiais são encontradas em ensaios 
destrutivos de amostras sob condições controladas cujos resultados são 
valores aproximados e relativos às amostras. Dos resultados, faz-se 
uma inferência estatística para se chegar aos números encontrados nas 
tabelas de materiais. Esses valores devem ser utilizados com cuidado, 
pois o material real pode não ter exatamente as mesmas característi-
cas encontradas nas amostras, portanto devem ser considerados como 
valores mínimos.
Em casos específicos, como no projeto de veículos, aeronaves e outras 
obras de engenharia que exigem maior segurança, os ensaios são realiza-
dos em modelos reais ou em protótipos, para que os resultados tenham 
maior confiabilidade. Existem alguns ensaios que levantam as caracterís-
ticas de resistência dos materiais; um dos mais conhecidos e utilizados é o 
ensaio de tração (NORTON, 2013).
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Elementos de Máquinas
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1.2.1 Ensaio de tração
A American Society of Testing and Materials (ASTM) define normas 
e procedimentos para testar amostras para uma variedade de medidas de 
propriedades de materiais. O ensaio de tração é um dos mais utilizados e 
consiste, basicamente, em exercer uma força de tração em um corpo de 
prova padrão e por meio dos resultados determinar a tensão e a deforma-
ção do material. Os corpos de prova são fabricados do mesmo material 
para o qual se deseja obter os valores de referência e têm as extremidades 
com diâmetro maior (onde são fixados à máquina de tração) e centro com 
diâmetro menor padronizado, conforme a Figura 1.3.
Figura 1.3 – Corpode prova do ensaio de tração
Fonte: elaborada pela autora.
No corpo de prova, o diâmetro (do) é padronizado. Os dois pontos 
azuis marcam um comprimento abstrato (lo) que vai servir de referência 
para que o alongamento possa ser medido durante o teste. O corpo de 
prova é fixado à máquina e estendido até o completo rompimento. Durante 
o teste, a força e a distância entre as marcas são constantemente medidas, 
e no fim a máquina gera um gráfico de tensão e deformação
A tensão específica, ou simplesmente tensão, é definida pela força por 
unidade de área, e para o corpo de prova sob tensão é dada por:
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Introdução aos elementos de máquinas 
� � � P
Ao
Onde: σ = tensão [MPa]
P = força [N]
Ao = área [mm2]
A deformação específica, ou simplesmente deformação, é a razão 
entre a mudança de comprimento e o comprimento inicial; ou seja:
� �
�
�
�l l
l
o
o
Onde: lo = comprimento inicial
 l = comprimento sob a força P
Note que a deformação será adimensional, já que divide uma medida 
de comprimento por outra.
O módulo de elasticidade, ou módulo de Young, é a relação entre a 
tensão e a deformação, representado por:
E � ��
�
Essa medida tem a mesma unidade da tensão e representa a rigidez do 
material em sua região elástica.
Onde: E = módulo de elasticidade
	 	 σ = tensão
	 	 ε = deformação
O limite elástico separa a região elástica e plástica do material. Des-
tacamos que na região elástica o material volta à condição inicial após a 
retirada da força, e na região plástica o material adquire uma nova condi-
ção mesmo após a retirada da força.
A Figura 1.4 apresenta os dados encontrados nas curvas de tensão-
-deformação do limite elástico (A), que é o ponto em que termina a fase 
elástica; o limite de proporcionalidade (A’), que é a região onde ocorre o 
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Elementos de Máquinas
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escoamento; o limite de resistência à tração (B), que é o limite máximo 
que o material suporta antes da ruptura; e o limite de ruptura (C), que é o 
ponto onde o material se rompe no ensaio de tração.
Observe que o limite de ruptura, aparentemente, é menor que o limite de 
tração, mas isso ocorre porque a área do corpo de prova é reduzida à medida 
que o material é tracionado. Na “vida real”, o limite de ruptura é maior do que 
o de tração, após a correção da tensão, considerando a área reduzida.
Figura 1.4 – Gráfico de tensão-deformação
Fonte: Atlan Coelho.
1.2.2 Ductilidade e fragilidade
Você sabe quando um material é dúctil? Vamos fazer um teste? Pegue 
um clipe de papel e o desdobre. Ele toma a forma que foi dada sem que-
brar, certo? Veja a Figura 1.5.
Figura 1.5 – Clipe antes e depois de ser dobrado
Fonte: elaborada pela autora.
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Introdução aos elementos de máquinas 
Essa é uma característica que determina que o clipe é fabricado de 
um material dúctil, que tem capacidade de grandes deformações antes de 
se romper. O que você acha que aconteceria com um lápis de madeira ao 
tentarmos dobrá-lo? Ele se quebraria e não ficaria dobrado. Nesse caso, 
o material é frágil e não aceita grandes deformações antes de se romper.
Os metais podem ser dúcteis ou frágeis, dependendo do processo de 
fabricação pelo qual passaram. Por exemplo, a conformação a frio pode 
aumentar a fragilidade e reduzir a ductilidade de um metal. Outras análi-
ses possíveis são por meio de ensaios de flexão e de torção.
1.2.2.1 Ensaio de flexão
A Figura 1.6 apresenta os efeitos de um ensaio de flexão em que uma 
força é aplicada no centro de um corpo de prova. Em (a) está apresentado 
o efeito em um material dúctil, em que o metal é flexionado para depois 
se romper. Já em (b), após a aplicação da força o material se rompe antes 
mesmo de sofrer uma flexão.
Figura 1.6 – Ensaio de flexão
Fonte: elaborada pela autora.
Vimos até aqui que podemos encontrar os valores de tensão e resis-
tência dos materiais por meio de ensaios mecânicos destrutivos realizados 
em corpos de prova, mas, ao extrapolarmos esses dados para os materiais 
reais, podem surgir algumas incertezas. Segundo Budynas (2011) as incer-
tezas podem ser listadas como:
 2 composição do material e efeito da variação em propriedades;
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Elementos de Máquinas
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 2 variações nas propriedades de ponto a ponto no interior de uma 
barra de metal em estoque;
 2 efeitos sobre as propriedades de processar o material no local ou 
nas proximidades;
 2 efeito de tratamento térmico sobre as propriedades;
 2 intensidade e distribuição do carregamento;
 2 intensidade de concentração de tensão;
 2 efeito da corrosão;
 2 efeito do desgaste;
 2 quanto ao número de fatores que causam incertezas.
Engenheiros precisam lidar com essas incertezas, mas há métodos 
matemáticos para isso. Segundo Budynas (2011), o método determinístico 
estabelece um fator de projeto e depois o aplica para determinar o novo 
parâmetro de projeto. Nesse caso, o fator de projeto (nd) é determinado por:
n
parâme de de função
parâme máximo admissível
d �
Se o parâmetro for a carga máxima admissível, temos que:
carga máxima admissível
carga de de função
nd
�
1.2.3 Fator de projeto e fator de segurança
Após a finalização do projeto, pode acontecer alguma aproximação 
do material utilizado, afetando o fator de projeto, que passa a ser chamado 
de fator de segurança e tem a mesma definição do fator de projeto, mas 
difere em termos numéricos.
Vimos o fator de projeto relacionado à perda de função, mas quando 
se trata de tensão não há variação linear, então pode-se reescrever a equa-
ção do fator de projeto em relação à tensão:
n resistência de perda de função
tensãoadmssível
S
oud
� �
�
� � � �
� � �� � ��
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 18_Livro_Elementos de Máquinas.indb 18 20/05/2022 14:08:2020/05/2022 14:08:20
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Introdução aos elementos de máquinas 
A resistência (S) e a tensão devem ter a mesma unidade, assim como 
devem se referir ao mesmo ponto da peça.
Exemplo 1
Considere que a carga máxima em uma estrutura seja conhecida com 
uma incerteza de 15% e que a carga que provoca falha seja conhecida com 
uma incerteza de 20%. Se a carga nominal que causa falha é igual a 10 kN, 
determine o fator de projeto e a carga máxima admissível que compensará 
as incertezas absolutas.
Solução:
Utilizaremos a equação n parâmetrode perdade função
parâmetromáximoadmissíveld
=
� � � �
� �
, em que a 
carga máxima admissível deve ser acrescida de 100 20 80 0 8 
para aumentar, fazemos 1
0 8,
. Já a carga máxima admissí-
vel deve ser reduzida de 100 15 115 1 15, ; para redu-
zir, fazemos 1
1 15,
. Substituindo esses valores na equação, temos 
nd = =
1 0 80
1 1 15
1 4
/ ,
/ ,
, , então calculamos a redução da carga máxima, onde: 
kN� �cargamáximaadmissível tensãonominal
n
N
d ,
,�10 000
1 4
7 1 .
Observe que a carga máxima admissível é menor (7,14 kN) que a 
carga conhecida nominalmente (10 kN), presente nas tabelas. Com esse 
cálculo, tem-se maior segurança no dimensionamento do projeto.
Exemplo 2
Uma barra com seção transversal circular é carregada sob tração com 
uma força de 10 kN e está submetida a uma tensão. Considerando que o 
material tem resistência de 168 N/mm² e fator de projeto igual a 3, deter-
mine o diâmetro mínimo de uma barra circular maciça. Determine tam-
bém o fator de segurança para uma barra de diâmetro comercial1.
1 Alguns diâmetros comerciais em milímetros: … 5,0; 5,5; 6,0; 6,5; 7,0; 8,0; 9,0; 10,0; 
11,0; 12,0; 14,0; 16,0; 18,0; 20,0…
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 19_Livro_Elementos de Máquinas.indb 19 20/05/2022 14:08:2320/05/202214:08:23
Elementos de Máquinas
– 20 –
Solução:
Para a seção circular, a área é calculada por A d� � .
2
4
. Para o fator de 
segurança, temos n
S
d � �
. Colocando a tensão em evidência, temos � � �
S
nd
 
. Temos também que a equação da tensão é dada por 
� � � F
A . Então, jun-
tando as equações, temos:
N
.
S
n
F
A dd
168
3
10 000
4
2
Utilizando as partes da equação que contém números, temos 
168
3
4 10 000
2
�
� �x
d
.
.�
. Fazendo a multiplicação cruzada, temos 
� . . .168 3 4 10 0002d x x� � � . Isolando o diâmetro, temos d
x2 12 10 000
168.
. 
Tirando a raiz, temos d .
.
120 000
168
. E então d = 15,07 mm. Escolhemos 
um diâmetro comercial de 16 mm, imediatamente superior, e com esse 
valor recalculamos o fator de segurança, sendo:
n S d
Fd
�
� . .
.
2
4
Substituindo os valores, temos:
nd �
� �
� �
�
� . .
. .
,
168 16
4 10 000
3 37
2
Observe que após a escolha do diâmetro da barra (com valor acima 
do que foi calculado) o fator de projeto real (fator de segurança) ficou 
maior (3,37) do que o fator de projeto inicial (3).
1.3 Critérios de resistência
A situação ideal é que as máquinas, os componentes e os elementos 
não falhem, mas sabemos que em algum momento eles falharam ou irão 
falhar. Cabe ao projetista ou ao engenheiro garantir que o projeto não falhe 
ou que, se ocorrer uma falha, seja previsível em seus estudos e cálculos.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 20_Livro_Elementos de Máquinas.indb 20 20/05/2022 14:08:3020/05/2022 14:08:30
– 21 –
Introdução aos elementos de máquinas 
Você se lembra de alguma máquina ou componente que tenha 
sofrido alguma falha? Se sofreu, estava sujeito a qual tipo de carrega-
mento? Tração? Compressão? Flexão? Torção? Será que a falha foi por 
conta do projeto ou devido a problemas na fabricação? São tantas per-
guntas e tantos questionamentos, mas vamos com calma e conseguire-
mos entender os critérios de resistência.
Trataremos aqui de três tipos de tensão: tração direta, compressão 
direta e cisalhamento puro (MOTT, 2015). A Figura 1.7 apresenta a repre-
sentação, no plano cartesiano, de tensões desses tipos aplicadas a cubos.
Figura 1.7 – Elementos de tensão para três tipos de tensão
Fonte: elaborada pela autora.
As tensões de tração e compressão são aplicadas perpendicular-
mente às faces dos cubos, sendo que a tração tende a “esticar” o elemento, 
enquanto a compressão tende a esmagá-lo. Já a tensão de cisalhamento 
tende a rasgar ou girar o elemento, então para que fique em equilíbrio as 
tensões devem estar em binários.
O sentido e o sinal do giro provocado pela tensão de cisalhamento são uma 
convenção, e não uma regra. Aqui convencionaremos da seguinte maneira:
 2 tensões de cisalhamento positivas tendem a girar o elemento no 
sentido horário;
 2 tensões de cisalhamento negativas tendem a girar o elemento no 
sentido anti-horário.
Na Figura 1.7 temos que τxy é positiva, pois tende a girar o ele-
mento no sentido horário, e τyx é negativa, pois tende a girar o elemento 
no sentido anti-horário.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 21_Livro_Elementos de Máquinas.indb 21 20/05/2022 14:08:3020/05/2022 14:08:30
Elementos de Máquinas
– 22 –
1.3.1 Tensões diretas: tração e compressão
“Tensão pode ser definida como a resistência interna oferecida por 
uma unidade de área de um material a uma carga aplicada externamente. 
As tensões normais (σ) são tanto de tração (positivas) quanto de compres-
são (negativas)” (MOTT, 2015, p. 106).
1.3.1.1 Tensão direta de tração ou compressão
A tensão direta é a resistência pela área; logo, temos que:
� �
F
A
Onde: σ = tensão direta de tração
F = força
A = área
A unidade da tensão é a unidade de força por área. Essas unidades 
variam de acordo com o sistema de unidades utilizado, como o sistema 
internacional e o sistema norte-americano.
Tabela 1.1 – Unidades de tensão
Sistema norte-americano Sistema internacional
Unidade Nome Unidade Nome
lb/pol2 Psi N/m2 Pa (Pascal)
Kips/pol2 Ksi N/mm2 MPa (MegaPascal)
Conversões Conversões
1,0 kip = 1000 lb 1 MPa = 106 Pa
1,0 ksi = 1000 psi
Fonte: elaborada pela autora.
Para a utilização da equação, existem algumas condições (MOTT, 2015):
 2 o elemento sob carregamento deve ser reto;
 2 a linha de atuação da carga deve passar através do centroide da 
seção transversal do elemento;
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 22_Livro_Elementos de Máquinas.indb 22 20/05/2022 14:08:3020/05/2022 14:08:30
– 23 –
Introdução aos elementos de máquinas 
 2 o elemento deve ter uma seção transversal uniforme próximo de 
onde a tensão está sendo calculada;
 2 o material deve ser homogêneo e isotrópico.
Exemplo 3
Uma força de tração de 9.000 N é aplicada a uma barra redonda de 
10 mm de diâmetro, como mostra a Figura 1.8. Calcule as tensões de 
tração diretas na barra.
Figura 1.8 – Barra redonda sob tração
Fonte: elaborada pela autora.
Solução:
Dados:
 2 Força (F = 9.000 N)
 2 Diâmetro da seção (d = 10 mm)
A tensão de tração deve ser calculada pela equação:
� �
F
A
A área do cilindro deve ser calculada por:
A d mm. .
2 2
2
4
10
4
78 5
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 23_Livro_Elementos de Máquinas.indb 23 20/05/2022 14:08:3120/05/2022 14:08:31
Elementos de Máquinas
– 24 –
Substituindo ambos os valores na equação da tensão, temos:
F
A
N
mm
.9 000
78 5 2
MP114 6 a
A tensão no ponto A foi de 114,6 MPa, mas pode estar em qualquer 
lugar da barra, visto que idealmente a tensão é uniforme. O resultado é 
mostrado na Figura 1.9.
Figura 1.9 – Elemento com tensão de tração direta
Fonte: elaborada pela autora.
1.3.2 Deformação sob carregamento axial direto
O alongamento decorrente da carga de tração axial direta ou da carga 
de compressão axial direta pode ser calculado pela equação:
.
.
.F L
E A
L
E
Onde: F = carga axial direta
 L = comprimento original do elemento
 E = módulo de elasticidade do material
 A = área da seção transversal do elemento
	 	 σ = tensão de tração
Exemplo 4
Para a barra redonda da Figura 1.10, calcule a deformação total, con-
siderando que o comprimento original da barra é de 3.500 mm, ela é feita 
de aço e tem módulo de elasticidade de 207 GPa.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 24_Livro_Elementos de Máquinas.indb 24 20/05/2022 14:08:3120/05/2022 14:08:31
– 25 –
Introdução aos elementos de máquinas 
Solução:
Dados:
 2 F = 9.000 N
 2 d = 10 mm
 2 comprimento inicial (L = 3.500 mm);
 2 módulo de elasticidade (E = 207 GPa)
Utilizando a equação da deformação e o valor da tensão calculada no 
exemplo 3 (σ = 114.6 MPa), temos:
m mx N6 10 3
mm
x N
. / .
/
L
E
m
m
114 500
207 10
1 93
6 2
9 2
A barra sofreu deformação de 1,93 mm.
1.3.3 Tensão de cisalhamento direta
Quando uma tesoura corta um papel, ela faz uma força de baixo para 
cima e de cima para baixo. A tensão de cisalhamento direta ocorre quando 
há a tendência de cortar o elemento. O método para calcular a tensão de 
cisalhamento é semelhante ao de cálculo das tensões diretas de tração e 
compressão, porém o tipo de tensão é de cisalhamento, e não normal.
A tensão de cisalhamento é representada pela letra grega Tau (τ), e a 
equação de cálculo é:
� � � F
A
Onde: τ = tensão de cisalhamento
 F = força de cisalhamento
 A = área no cisalhamento
Presumiremos que essa tensão de cisalhamento seja distribuída de 
maneira uniforme transversalmente à área de cisalhamento, mas o nome 
mais adequado dela é cisalhamento médio.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 25_Livro_Elementos de Máquinas.indb 25 20/05/2022 14:08:3220/05/2022 14:08:32
Elementos de Máquinas
– 26 –
Exemplo 5
Um eixo está fixado por uma chaveta em um cubo de uma roldana 
que está ligada a outra semelhante por uma correia. Na Figura 1.10, (a) 
mostra a vista da roldana, enquanto (b) mostra a vista ampliada do cubo 
e do eixo. A força F é transmitida do eixo para o cubo da roldana através 
de uma chaveta quadrada. O eixo tem diâmetro de 3 polegadas e transmite 
um torque de 15.000lb.pol. A chaveta tem lado de 0,5 polegada e com-
primento de 1,75 polegada. Calcule a força sobre a chaveta e a tensão de 
cisalhamento causada por essa força.
Figura 1.10 – Roldana, eixo, cubo e chaveta
Fonte: elaborada pela autora.
Solução:
Dados:
 2 torque (T = 15.000 lb.pol)
 2 dimensões da chaveta (0,5 x 0,5 x 1,75 pol)
 2 diâmetro do eixo (D = 3 pol)
 2 raio do eixo (r = D/2 = 3/2 = 1,5 pol)
O torque é T = F x r, então:
F T
r
lb pol
pol
lb� � �.15 000
1 5
10 000
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 26_Livro_Elementos de Máquinas.indb 26 20/05/2022 14:08:3220/05/2022 14:08:32
– 27 –
Introdução aos elementos de máquinas 
A área da chaveta é o lado vezes o comprimento; logo:
A x pol� �0 5 1 75 0 875 2, ,
Com os dados da força e da área, temos como calcular a tensão de 
cisalhamento, dada por:
lblb . ,F
A pol
pol10 000
0 875
11 428 52
2
Essa tensão de cisalhamento ( 5 �� lb. ,11 428 pol ) será uniforme em 
todas as partes da secção transversal da chaveta.
1.3.4 Tensões normais para vigas em flexão
A viga é um elemento que carrega cargas transversais a seu eixo. Para o 
cálculo de tensões normais em vigas, devemos considerar as seguintes hipóteses:
 2 a viga está submetida à flexão pura;
 2 o material é homogêneo e isotrópico;
 2 o material obedece à lei de Hooke;
 2 a viga é reta e tem seção transversal constante ao longo do comprimento;
 2 a viga tem um eixo de simetria no plano de flexão;
 2 seções planas da viga permanecem planas durante a flexão.
A flexão máxima na viga ocorrerá no ponto mais distante do eixo neutro 
da seção. Para o cálculo dessa flexão máxima, utilizamos a seguinte equação:
�máx
Mc
I
�
Onde: M = momento fletor na secção
 c = distância do eixo central da extremidade do elemento
I = momento de inércia da seção transversal em relação 
ao eixo neutro
Para um projeto, é conveniente encontrar o módulo da secção (em 
alguns livros chamado de Z e em outros, de S), onde:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 27_Livro_Elementos de Máquinas.indb 27 20/05/2022 14:08:3320/05/2022 14:08:33
Elementos de Máquinas
– 28 –
S ou Z I
c
� � �=
A equação da flexão máxima pode ser escrita como:
�máx
M
S ou Z
�
� �
Em muitos casos, é dada a flexão máxima e solicitado o módulo da 
secção; dessa forma, temos:
S ou Z M
máx
� � ��
�
Exemplo 6
A Figura 1.11 apresenta uma viga com um tubo no centro. A carga 
decorrente do tubo é de 54 kN. As distâncias a e b são 1,2 e 1,5 metro, res-
pectivamente. Determine o módulo da seção exigida para a viga, sabendo 
que a tensão decorrente da flexão é de 200 MPa.
Figura 1.11 – Viga com tubo
Fonte: elaborada pela autora.
Solução:
Dados:
 2 F = 54 kN = 54.000 N
 2 a = 1,2 m = 1.200 mm
 2 b = 1,5 m = 1.500 mm
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 28_Livro_Elementos de Máquinas.indb 28 20/05/2022 14:08:3520/05/2022 14:08:35
– 29 –
Introdução aos elementos de máquinas 
	2 σmáx = 200
 2 MPa = 200 N/mm2
O momento fletor máximo é definido por:
N mM R a Fba
a b
N mm mm
máx
. .
1
54 000 1200 1500
1200 1500
336 000 000. . m
Com esse valor, calculamos o módulo da secção, onde:
S M N mm
N mm
mm m36 000 000
200
180 000 0 182
3 2. .
Caso seja necessário especificar a viga, devemos procurar em tabelas que 
apresentem o módulo da secção e escolher o valor mais próximo, para maior.
O vídeo “Tensão Admissível e Fator de Segurança | Resistência 
dos Materiais | Aula 10” mostra como utilizar o coeficiente de 
segurança em projetos relativos à resistência dos materiais.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=aIjjWlSyeu4>. 
Acesso em: 18 nov. 2021.
Atividades
1. Por que a etapa de apresentação é tão importante no desenvolvi-
mento de um projeto?
2. Uma barra redonda com 15 mm de diâmetro está sujeita a 
uma força de tração de 15.000 N. Calcule as tensões de tração 
diretas na barra.
3. Um material pode ser dúctil ou frágil. No ensaio de tração, 
como podemos reconhecer que um material é dúctil ou frágil 
apenas visualmente?
4. Uma barra redonda com 12 mm de diâmetro e 3.200 mm de 
comprimento está sujeita a uma força de tração de 14.000 N. A 
barra é feita de aço e tem módulo de elasticidade de 207 GPa. 
Nessas condições, calcule a deformação total.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 29_Livro_Elementos de Máquinas.indb 29 20/05/2022 14:08:3620/05/2022 14:08:36
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 30_Livro_Elementos de Máquinas.indb 30 20/05/2022 14:08:3620/05/2022 14:08:36
2
Elementos de 
transmissão de 
potência 
Você já percebeu que praticamente todas as máquinas e os 
equipamentos apresentam diversos elementos que compõem 
sua estrutura e ajudam em seu funcionamento? Os elementos de 
transmissão de potência são de grande importância nessa ques-
tão. De alguma forma, todos os elementos de máquinas devem 
estar sincronizados entre si, pois o funcionamento de um ele-
mento influencia, direta ou indiretamente, o de outro. Por exem-
plo, um equipamento movido por um motor elétrico ou por um 
motor de combustão interna que gera potência em forma de tor-
que motriz de rotação de um eixo, que vem acompanhado de 
outros elementos, como mancais, engrenagens, polias de correias 
e rodas dentadas de corrente.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 31_Livro_Elementos de Máquinas.indb 31 20/05/2022 14:08:3620/05/2022 14:08:36
Elementos de Máquinas
– 32 –
2.1 O que são os elementos de 
transmissão de potência
São os grandes elementos que formam as máquinas e podem ser 
de diversos tipos, como acoplamentos, freios, embreagens, redutores e 
motorredutores de velocidade, correias, polias, correntes, eixos, engrena-
gens e rolamentos.
2.1.1 Acoplamentos, freios e embreagens
Como o próprio nome diz, o acoplamento serve para acoplar ou unir 
diferentes elementos e é usualmente utilizado para conectar duas máqui-
nas. Sua funcionalidade está relacionada com a transmissão de energia/
movimento de uma máquina para outra, e a utilização desse elemento 
apresenta diversas vantagens, como redução de vibrações, de desalinha-
mentos e de choques (NORTON, 2013).
Nessa mesma categoria estão os freios e as embreagens, que, por 
terem similaridades, são tratados no mesmo grupo. A principal diferença 
dos freios e das embreagens para o acoplamento é que naqueles há a jun-
ção das partes apenas quando acionados e os acoplamentos, em sua maio-
ria, mantêm-se unidos às partes durante todo o funcionamento.
A Figura 2.1 mostra um acoplamento realizando a ligação entre 
diferentes sistemas.
Figura 2.1 – Acoplamento de uma bomba centrífuga
Fonte: Stock.adobe.com/alexlmx
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 32_Livro_Elementos de Máquinas.indb 32 20/05/2022 14:08:3820/05/2022 14:08:38
– 33 –
Elementos de transmissão de potência 
2.1.2 Redutores e motorredutores de velocidade
Redutores são responsáveis por reduzir a velocidade de um ele-
mento acionador; dessa forma, a saída final (torque) é aumentada para 
que a potência seja transmitida. Além disso, os redutores de velocidade 
têm influência na modificação da força da máquina. Em contrapartida, os 
motorredutores são sistemas mecânicos com uma engrenagem para reali-
zar a redução de potência. Uma grande aplicação dos motorredutores é em 
sistemas que necessitam de movimentação rotativa com elevado torque 
(COLLINS; BUSBY; STAAB, 2019). A Figura 2.2 apresenta um motorre-
dutor para conhecimento visual.
Figura 2.2 – Redutor de velocidade
Fonte: Stock.adobe.com/westermak15
2.1.3 Polias e correias
As polias assumem o formato circular e se acoplam aos eixos moto-
res, movidas por máquinas e normalmente utilizadas para transferir ener-
gia de movimento. Outro ponto importante a se destacar é que as polias 
vêm acompanhadas de outro elemento essencial para seu funcionamento: 
as correias (MOTT, 2015).
Uma das principais funções das correias é realizar a estabilização 
de sistemas mecânicos, ajudando a manter o sincronismo de rotação das 
diferentes peças envolvidas (MOTT, 2015). Uma importante função das 
correias éa transmissão de força entre engrenagens ou entre polias. Uma 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 33_Livro_Elementos de Máquinas.indb 33 20/05/2022 14:08:3820/05/2022 14:08:38
Elementos de Máquinas
– 34 –
das aplicações mais conhecidas de polias e correias é no motor de veículos 
(Figura 2.3).
Figura 2.3 – Motor veicular com polia e correia
Fonte: Stock.adobe.com/goce risteski
2.1.4 Correntes
As correntes se assemelham às correias em relação à funcionalidade 
e ao encaixe, contudo apresentam maior precisão e são mais adequadas/
recomendadas quando se trabalha com engrenagens ou rodas dentadas. 
Sua transmissão pode ser realizada tanto em sentido horário quanto anti-
-horário (COLLINS; BUSBY; STAAB, 2019). Um bom exemplo de apli-
cação de correntes é em bicicletas (Figura 2.4).
Figura 2.4 – Aplicação de corrente
Fonte: Stock.adobe.com/Nomad_Soul
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 34_Livro_Elementos de Máquinas.indb 34 20/05/2022 14:08:4020/05/2022 14:08:40
– 35 –
Elementos de transmissão de potência 
2.1.5 Eixos
Eixos mecânicos são fundamentais para a rotação e a transmissão de 
movimento entre diferentes elementos, sendo normalmente fabricados de 
ferro fundido maciço no formato de cilindro. Sua principal função é atuar 
na passagem de energia rotativa entre máquinas. Alguns elementos, como 
rolamentos e acoplamentos, devem ser adquiridos com base no diâmetro 
do eixo, por isso é importante conhecer todos os elementos de máquinas 
envolvidos no projeto (NORTON, 2013).
2.1.6 Engrenagens
Esse elemento de máquina é provavelmente um dos mais conhecidos. 
São componentes rígidos que transmitem energia de forma contínua, uti-
lizados na geração e no controle de potência em um sistema de máquinas. 
Diversos são os tipos de engrenagem existentes, podendo variar em tama-
nho, número e formato de dentes (NORTON, 2013); os mais conhecidos 
são cilíndricos de dentes retos, cilíndricos de dentes helicoidais e cônicos. 
As engrenagens podem ser encontradas de grandes máquinas até peque-
nos mecanismos, como o de um relógio (Figura 2.5).
Figura 2.5 – Engrenagens de um relógio
Fonte: Stock.adobe.com/Denis Tabler
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 35_Livro_Elementos de Máquinas.indb 35 20/05/2022 14:08:4120/05/2022 14:08:41
Elementos de Máquinas
– 36 –
2.1.7 Rolamentos
Esse elemento apresenta como principais funcionalidades o apoio ao 
movimento e o suporte de carga, fazendo parte dos chamados elementos 
de apoio. Seu encaixe acontece no eixo do motor, mas existem diferentes 
tipos de rolamento que devem ser aplicados de acordo com as condições 
de trabalho. Várias são as classificações de rolamento para as mais diver-
sas aplicações, podendo atuar em ambientes severos (MOTT, 2015). Além 
disso, sua forma construtiva pode assumir diferentes formas, como rola-
mentos de esfera, de rolo e de agulha.
Figura 2.6 – Rolamentos
Fonte: Stock.adobe.com/blacklionder
Além dos elementos de potência, existem os elásticos (molas), os de 
fixação (parafusos, rebites e soldas) e os de apoio (rolamentos e mancais 
de deslizamento). Os elásticos são representados pelas molas, que têm a 
função de armazenar energia e absorver ou amortecer choques e vibrações 
(DE FRANCESCHI; ANTONELLO, 2014). Sabe aquele brinquedo com 
um palhaço que pula de dentro de uma caixa? Quando se comprime a 
mola e se coloca o palhaço na caixa, é exercida uma força sobre a mola, 
fornecendo potência para ela. Quando a tampa é aberta, a força da mola 
faz o palhaço ser lançado para fora da caixa, e é nisso que está a graça da 
brincadeira (MOTT, 2015).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 36_Livro_Elementos de Máquinas.indb 36 20/05/2022 14:08:4320/05/2022 14:08:43
– 37 –
Elementos de transmissão de potência 
As molas podem ser de compressão, de tração ou de torção. As de 
compressão têm espiras que, quando comprimidas, deixam o espaço entre 
elas reduzido. As de tração, além das espiras, têm olhais para que possam 
exercer sua função, ou seja, para que possam ser esticadas (tracionadas). 
Já as de torção, além das espiras, têm braços de alavanca, pois é por meio 
deles que é possível a aplicação da torção.
Quando falamos de fixação, precisamos pensar: o que vai ser fixado 
precisa ser solto em algum momento? A fixação deve ser permanente ou 
móvel? Mas o que é uma fixação permanente? Estamos falando de soldas 
e rebites onde dois metais são unidos de forma permanente. A eliminação 
da fixação causa a destruição da peça ou da união (DE FRANCESCHI; 
ANTONELLO, 2014). Em algumas aplicações, isso é até interessante, 
mas, em outros tipos, é preciso pensar em separar os componentes sem 
destruir as peças. Para isso existe a fixação móvel com parafusos e porcas.
Outro ponto que deve ser observado é que “No projeto de máquinas, 
a maioria dos elementos de fixação é feita de aço por causa da alta resis-
tência, da rigidez elevada e da boa ductilidade, usinabilidade e maleabili-
dade.” (MOTT, 2015, p. 732).
Os elementos de apoio são mancais, buchas e guias. Os mancais 
podem ser de deslizamento ou de rolamento.
Nos de deslizamento, as partes envolvidas estão em contato direto 
uma com a outra, então, para reduzir o atrito entre elas, a lubrificação é 
fundamental. O estudo da lubrificação abrange conhecimentos de química, 
termodinâmica, transferência de calor e mecânica dos fluidos (BUDY-
NAS; NISBETT, 2016). Já os mancais de rolamento são utilizados para 
permitir o movimento relativo entre dois elementos, além de sustentar 
uma carga. Seus elementos rolantes podem ser esferas, cilindros ou roletes 
cônicos (MOTT, 2015).
2.2 Cargas variáveis e fadiga
Um dos grandes desafios do projeto de máquinas, equipamentos e 
componentes é realizar o correto dimensionamento para que suportem 
todas as cargas aplicadas. As cargas consideradas nos ensaios de tração 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 37_Livro_Elementos de Máquinas.indb 37 20/05/2022 14:08:4320/05/2022 14:08:43
Elementos de Máquinas
– 38 –
e compressão são chamadas de cargas estáticas, mas, na maioria das 
vezes, as máquinas e os componentes estão sujeitos a cargas dinâmicas, 
que vão e vem durante um intervalo de tempo e são chamadas de cargas 
variáveis ou de fadiga.
Você já deve ter ouvido falar em fadiga relacionada ao cansaço. Pode-
mos fazer uma analogia quanto às cargas variáveis, como se o componente 
ficasse “cansado” de tanto sofrer os efeitos de vai e vem, mas é claro que 
os conceitos vão bem além disso.
Por volta de 1800, os eixos de um vagão ferroviário começaram a 
falhar após um pequeno período em serviço. Apesar de serem feitos de 
aço dúctil, eles exibiam características de fraturas frágeis e repentinas. 
William John Macquorn Rankine (1820-1872) publicou um artigo em 
1843 chamado “As causas da ruptura inesperada de munhões de eixos 
ferroviários” no qual afirmava que o material havia “cristalizado” e se 
tornado frágil devido às tensões flutuantes. Os eixos haviam sido bem 
projetados para a época, o que gerou um grande mistério. Cargas dinâ-
micas eram, portanto, um fenômeno novo, resultantes da introdução das 
máquinas movidas a vapor (ABRAHÃO, 2008).
A primeira investigação científica foi realizada pelo engenheiro 
August Wöhler (1819-1914) com testes feitos por 12 anos em laboratório 
com eixos até a falha sob carregamento alternado. Em 1870, ele publicou 
as descobertas que identificavam o número de ciclos de tensão variando 
no tempo como os causadores da falha e a existência de uma tensão limite 
de resistência à fadiga para aços.
Dessa forma, a chamada curva de Wöhler é um gráfico log-log que rela-
ciona o ciclo de vida (N) com a resistência à fadiga (S). Esses dados foram 
obtidos de forma experimental, indicando que alguns metais ferrosos têm um 
limite de resistência à fadiga enquanto outros materiais não têm limite.
2.2.1 Fases da falha por fadiga
A fadiga ocorre, basicamente, em três fases:
1. nucleação da trinca;
2. formação de linhas de praia;
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 38_Livro_Elementosde Máquinas.indb 38 20/05/2022 14:08:4320/05/2022 14:08:43
– 39 –
Elementos de transmissão de potência 
3. ruptura frágil e brusca.
Inicialmente, é formada uma pequena fissura na peça, a qual nem 
sempre é detectada a olho nu. Com o aumento da concentração de tensão, 
vão se formando linhas concêntricas em torno da fissura inicial, e por fim 
a peça não resiste e sofre uma fratura frágil e repentina que a faz se partir. 
A Figura 2.7 é uma representação esquemática de um eixo em corte com 
as fases da fadiga.
Figura 2.7 – Fases da falha por fadiga
Fonte: elaborada pela autora.
2.2.2 Critérios de projeto para fadiga
O projeto, quando leva em conta a fadiga, tem alguns métodos de 
cálculo para determinar a vida do material (ROSA, 2002):
 2 projeto para vida infinita – é o enfoque mais clássico da análise 
de fadiga e deve ser usado quando as tensões atuantes estiverem 
suficientemente abaixo da tensão limite de fadiga (exemplos: 
eixos de motores, molas de válvulas de motor de combustão e 
engrenagens industriais);
 2 projeto para vida finita – quando o carregamento cíclico é 
imprevisível ou inconstante, o uso de cargas máximas faz o 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 39_Livro_Elementos de Máquinas.indb 39 20/05/2022 14:08:4320/05/2022 14:08:43
Elementos de Máquinas
– 40 –
elemento ficar superdimensionado, então, nesses casos, uti-
liza-se o projeto de vida finita por meio dos métodos tensão-
-vida (σ-N) ou deformação-vida (ε-N) (exemplos: mancais de 
rolamento, reservatórios pressurizados, componentes automo-
bilísticos e motores a reação);
 2 projeto para falha em segurança – foi desenvolvido pela indústria 
aeronáutica porque a falha em uma aeronave pode ser catastró-
fica, então o projeto não tolera altos coeficientes de segurança, 
o que poderia aumentar o peso do material, por isso é preciso 
prever bloqueadores de propagação das trincas para que o ele-
mento não chegue ao rompimento (exemplos: fuselagens e asas 
de avião, pontes e cascos de navio);
 2 projeto com tolerância ao dano – melhoria do projeto para falha 
em segurança, que, por meio da engenharia da fratura, analisa o 
material para que a fissura não cresça e não ocorra a falha por 
fadiga; é utilizado em materiais com baixa velocidade de propa-
gação de trinca e com alta tenacidade (exemplos: fuselagens e 
asas de avião, reservatórios, tubulações e oleodutos).
2.2.3 Cálculo para vida finita
No cálculo para vida finita, considera-se que os valores da ten-
são alternante aplicada contra o número de ciclos da vida podem ser 
tão curtos como 10 ciclos ou tão longos como 109 ciclos, e a escala 
usada é normalmente logarítmica, ao menos no eixo horizontal. Os 
resultados mostram que uma estimativa bastante razoável da curva 
σ-N para os aços forjados sob flexão rotativa é considerar uma reta 
em coordenadas logarítmicas, ligando os pontos 0 8, .σ R em 103 ciclos 
e 0 5, .σ R em 106 ciclos. Isso implica uma tensão limite de fadiga (σF) 
de 0 5, .σ R , obtida a partir de 106 ciclos, o que é uma aproximação con-
servativa, considerando que a faixa de pontos experimentais se situa 
acima da curva assim prevista.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 40_Livro_Elementos de Máquinas.indb 40 20/05/2022 14:08:4520/05/2022 14:08:45
– 41 –
Elementos de transmissão de potência 
Figura 2.8 – Gráfico de vida finita (log-log)
Fonte: elaborada pela autora.
As curvas σN citadas são tratadas como lineares quando em coorde-
nadas logarítmicas. Esse fato leva à possibilidade de se obter uma equação 
que represente exatamente a estimativa da curva σN considerada, que será, 
no caso, a equação de uma reta em coordenadas logarítmicas. Esta pode 
ser posta sempre na forma da equação, sendo, no entanto, válida apenas 
dentro do intervalo de 103 a 106 ciclos, que é o campo de validade da apro-
ximação da curva σN que corresponde ao intervalo de vida finita:
� F
c mxN�10
c log N
F
�
� ��
�
2
m log N
F
1
3
Onde: σN = tensão alternante
	 	 σF = tensão limite de fadiga de um corpo de prova
 N = número de ciclos
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 41_Livro_Elementos de Máquinas.indb 41 20/05/2022 14:08:4720/05/2022 14:08:47
Elementos de Máquinas
– 42 –
 c = constante dependente de σN e σF
 m = constante dependente de σN e σF
Vamos ver alguns exemplos de aplicação?
Exemplo 1
Estime a curva σ-N para a flexão rotativa do aço SAE-4340, cuja 
resistência à tração é de 1200 MPa.
Solução:
Para flexão a rotativa, fazemos:
� �N R� 0 8, .
Onde: σR = 1200 MPa
Então a tensão alternante é dada por:
N x MPa0 8 1200 960
E a tensão limite da fadiga é encontrada por:
F R x MPa0 5 0 5 1200 600, .
Para construirmos o gráfico (Figura 2.9), temos os pontos (103; 960 
MPa) e (106; 600 MPa).
Figura 2.9 – Gráfico do exemplo 1
Fonte: elaborada pela autora.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 42_Livro_Elementos de Máquinas.indb 42 20/05/2022 14:08:4820/05/2022 14:08:48
– 43 –
Elementos de transmissão de potência 
Exemplo 2
Para o aço SAE-4340, determine a resistência à fadiga de um corpo de 
prova correspondente a uma vida de 50 x 103 ciclos de tensões alternadas.
Solução:
Dados: σN = 960 MPa
		 σF = 600 MPa
 N = 50 x 103 ciclos
Para determinar o limite de tensão de fadiga de um corpo de prova, 
utilizamos a equação:
� F
c mxN�10
E precisamos encontrar os valores de C e m:
c log N
F
�
� ��
�
2
c log�
� �
�
960
600
3 186
2
,
m log N
F
1
3
m log1
3
960
600
0 068
Substituindo na equação, temos:
� F x�
�
10 50 000
3 186 0 068, ,
( . )
F x1534 6 0 479
MPaF � 735 3,
Exemplo 3
Qual é a resistência à fadiga de um corpo de prova rotativo feito 
de aço (σR = 520 MPa) correspondente a uma vida de 75 x 104 ciclos 
de tensões alternadas?
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 43_Livro_Elementos de Máquinas.indb 43 20/05/2022 14:08:5220/05/2022 14:08:52
Elementos de Máquinas
– 44 –
Solução:
σR = 520 MPa é a resistência à tração. A partir desse valor, encontra-
mos a tensão alternante e a tensão de limite à fadiga, onde:
� �N R� 0 8, .
E:
N x MPa MPa0 8 520 416
E a tensão de limite à fadiga por:
F R x MPa0 5 0 5 520 260, .
Com esses valores, encontramos a resistência à fadiga de um corpo 
de prova a uma vida de 750.000 ciclos:
� F
c mxN�10
E precisamos encontrar os valores de C e m:
c log N
F
�
� ��
�
2
c log�
� �
�
416
260
2 82
2
,
m log N
F
1
3
m log1
3
416
260
0 068
Substituindo na equação, temos:
� F x�
�
10 750 000
2 82 0 068, ,
( . )
F x660 69 0 598
MPaF � 263 3,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 44_Livro_Elementos de Máquinas.indb 44 20/05/2022 14:08:5720/05/2022 14:08:57
– 45 –
Elementos de transmissão de potência 
Esses cálculos são válidos apenas para corpos de prova que estão 
sujeitos a cargas cíclicas com amplitudes constantes. Para peças mecâni-
cas reais, existem vários aspectos que influenciam os resultados obtidos 
com os corpos de prova, como:
 2 acabamento superficial;
 2 tamanho;
 2 confiabilidade;
 2 temperatura;
 2 geometria;
 2 carga.
Para cada um desses parâmetros existem tabelas e gráficos que devem 
ser consultados para a determinação do fator de modificação. Esses fatores são 
nomeados por k e um coeficiente. O limite de resistência à fadiga da peça será:
� �F i Fk k k k k' . . . .� �1 2 3 4
Onde: k1,k2 … ki são os fatores de correção do limite de fadiga
	 	 σF’ = tensão limite de fadiga da peça
	 	 σF = tensão limite de fadiga do corpo de prova
Não veremos com detalhes todos os fatores de correção, pois envol-
vem muitas tabelas e gráficos.
2.3 Concentração de tensões
Vimos que a geometria das peças altera a resistência à fadiga, mas 
você sabe por quê? Os corpos de prova são peças com geometria simétrica 
e sem mudanças de dimensão. As peças reais têm rasgos, rebaixos e ele-
vados, e todas essas mudanças de geometria são necessárias para o correto 
funcionamento do elemento. Imagine um eixo árvore em que são conecta-
das engrenagens de vários tamanhos. Imagine também uma corrente den-tada conectada a várias rodas dentadas, e assim por diante (MOTT, 2015).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 45_Livro_Elementos de Máquinas.indb 45 20/05/2022 14:08:5820/05/2022 14:08:58
Elementos de Máquinas
– 46 –
Qualquer descontinuidade na peça altera a distribuição de tensão em 
volta dela. A essas descontinuidades é dado o nome de concentração de 
tensões (BUDYNAS; NISBETT, 2016), as quais causam a tensão verda-
deira na peça, que será superior aos valores encontrados com as equações 
simples. Para definir quais desses valores são verdadeiros, são utilizados 
fatores de concentração de tensão, chamados de ki:
� �máx nomki� . e � �máx nomki� .
O valor de ki vai depender da geometria, do tipo da descontinuidade 
e do tipo de tensão.
A aplicação da concentração de tensões é recomendada nos seguintes 
casos (MOTT, 2015):
 2 materiais frágeis, pois tensões elevadas podem levar à fratura;
 2 a flexão de um elemento sujeito à tração tende a provocar tensões 
locais muito altas, o que pode provocar aumento de trincas e des-
continuidades superficiais, levando o elemento à ruptura por fadiga;
 2 a concentração de tensão é mais elevada nas regiões em que há 
mudança abrupta de geometria, por isso os projetistas buscam 
evitar cantos vivos, por exemplo.
Os fatores de concentração de tensões são apresentados, geralmente, 
em forma de gráficos que levam em consideração alguns parâmetros de 
geometria, como as relações entre diâmetros, larguras e raios de filete. O 
fator ki está representado no eixo vertical enquanto o outro parâmetro está 
representado no eixo horizontal.
Segundo Mott (2015), há quatro tipos gerais de gráficos de concen-
tração de tensões, e algumas considerações devem ser feitas a respeito de 
cada um deles:
1. placa plana em degraus em tensão – leva em consideração a lar-
gura maior (w), a largura menor (t) e o raio do filete. É apresen-
tada como uma família de curvas que relaciona as razões ( t
w
) 
com ( r
t
), conforme mostra a Figura 2.10.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 46_Livro_Elementos de Máquinas.indb 46 20/05/2022 14:09:0020/05/2022 14:09:00
– 47 –
Elementos de transmissão de potência 
Figura 2.10 – Gráfico de placa plana em degraus em tensão
Fonte: Atlan Coelho.
2. barra circular em flexão – leva em consideração o diâmetro maio 
maior (D), o diâmetro menor (d) e o raio do filete. É apresentada 
como uma família de curvas que relaciona as razões ( D
d
) com ( r
d
), 
conforme mostra a Figura 2.11.
Figura 2.11 – Gráfico da barra circular em flexão
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 47_Livro_Elementos de Máquinas.indb 47 20/05/2022 14:09:0120/05/2022 14:09:01
Elementos de Máquinas
– 48 –
3. barra circular em torção com um orifício central – o eixo horizon-
tal é a razão entre o diâmetro do orifício (d) e o diâmetro da barra 
(D) e o eixo vertical do fator ki, como mostra a Figura 2.12.
Figura 2.12 – Gráfico da barra circular em torção com um orifício central
Fonte: Atlan Coelho.
1. placa plana em tensão com um orifício central – o eixo horizontal 
é a razão entre o diâmetro do orifício (d) e a largura da placa (w). 
A espessura da placa é chamada de (t) e a área da rede é dada por:
A w d t–
A Figura 2.13 mostra o gráfico dessa condição.
Figura 2.13 – Gráfico da placa plana em tensão com um orifício central
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 48_Livro_Elementos de Máquinas.indb 48 20/05/2022 14:09:0120/05/2022 14:09:01
– 49 –
Elementos de transmissão de potência 
Os dados apresentados nos gráficos são aproximados, e o uso para 
projetos finais não é aconselhável, mas podem ser aplicados para cálculos 
teóricos aproximados, que são nosso objetivo.
Exemplo 4
Calcule a tensão máxima em uma placa plana em tensão submetida à 
tração axial de 9000 N cujas dimensões estão apresentadas na Figura 2.14.
Figura 2.14 – Placa plana sob tensão de tração axial
Fonte: Atlan Coelho.
Solução:
O primeiro passo é achar o valor do fator de concentração de tensão. 
A condição dada é de placa plana em degraus em tensão.
Dados: w = 10,0 mm
 t = 8,0 mm
 r = 1,5 mm
 b = 6,0 mm
Para encontrarmos o valor, utilizaremos o gráfico da Figura 2.10, no 
qual na lateral direita está a família de curvas com as relações ( t
w
) e no 
eixo horizontal a relação ( r
t
), então calculamos:
t
w
= =
8 0
10 0
0 8
,
,
,
r
t
= =
1 5
8 0
0 187
,
,
,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 49_Livro_Elementos de Máquinas.indb 49 20/05/2022 14:09:0420/05/2022 14:09:04
Elementos de Máquinas
– 50 –
Entramos com esses valores no gráfico, conforme a Figura 2.15. 
Observe que o valor t
w
= 0 8, não faz parte do gráfico, então fazemos uma 
interpolação. Com esse valor e o valor r
t
, encontramos o valor aproxi-
mado de k =1 85, .
Figura 2.15 – Gráfico com resolução do exemplo 1
Fonte: Atlan Coelho.
Agora calculamos a área para a seção pequena, cuja largura é de 8,0 mm:
A t b mm mm mm. ,8 0 6 0 48
Calculamos a tensão nominal por:
nom
F
A
N
mm
N
mm
MPa9000
48
187 5 187 52 2, ,
Para acharmos a tensão máxima, multiplicamos a tensão nominal 
pelo coeficiente de concentração de tensão:
máx nomki MPa MPa. , . ,1 85 187 5 346 8
A máxima tensão ocorre justamente no filete, tanto na parte supe-
rior quanto na inferior. Quanto menor for o raio do filete, maior será a 
concentração de tensão.
Exemplo 5
Uma barra tem espessura de 2 mm, largura maior de 40 mm, largura 
menor de 34 mm e raio de filete entre as larguras de 1 mm. Essa barra 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 50_Livro_Elementos de Máquinas.indb 50 20/05/2022 14:09:0720/05/2022 14:09:07
– 51 –
Elementos de transmissão de potência 
está carregada axialmente com uma força constante de 10 kN. Deseja-se 
executar um furo de 4 mm no centro da área de largura maior para passar 
um cabo, porém há disponível uma broca de 8 mm. Uma fissura é mais 
provável no orifício menor ou maior?
Solução:
Como a barra tem espessura de 2 mm, consideraremos como uma 
placa e utilizaremos a condição de placa plana em tensão com um orifício 
central. Usaremos as duas situações: furo com d = 4,0 mm e d = 8,0 mm.
Começamos encontrando os fatores de concentração de tensão de 
ambos os furos. O gráfico da Figura 2.16 apresenta o fator para o furo de 
4,0 mm em azul e o fator para o furo de 8,0 mm em vermelho.
Para furo de 4,0 mm:
d
w
� � ,4
40
0 1
Para furo de 8,0 mm:
d
w
= =
8
40
0 2,
Figura 2.16 – Gráfico com resolução do exemplo 2
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 51_Livro_Elementos de Máquinas.indb 51 20/05/2022 14:09:0820/05/2022 14:09:08
Elementos de Máquinas
– 52 –
Agora calculamos a tensão nominal para os diâmetros de 4,0 e 
8,0 mm, onde:
Para 4,0 mm: A w d t� �� �.
A mm40 4 2 36 2 72 2. .
o
F
A
N
mm
N
mm
10 000
72
138 888 1392 2
Para 8,0 mm:
� �� �w d t.
A mm40 8 2 32 2 64 2. .
o
F
A
N
mm
N mm10 000
64
156 252
2/
Utilizando os valores dos fatores de concentração de tensão e das 
tensões nominais, encontramos a tensão máxima:
Para 4,0 mm:
máx oki x N mm. , /2 5 139 347 5
2
Para 8,0 mm:
máx oki x N mm. , , ,2 3 156 25 359 375
2
Isso indica que uma fissura provável ocorrerá no furo com 8,0 mm de diâ-
metro, apesar de a concentração de tensões ser maior quando o furo tem 4,0 mm 
de diâmetro. A tensão nominal cresce quando o furo tem 8,0 mm de diâmetro.
Atividades
1. Quais são as principais diferenças e semelhanças entre acopla-
mentos, freios e embreagens?
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 52_Livro_Elementos de Máquinas.indb 52 20/05/2022 14:09:1020/05/2022 14:09:10
– 53 –
Elementos de transmissão de potência 
2. Qual é a resistência à fadiga de um corpo de prova rotativo feito 
de aço (σR = 760 MPa) correspondente a uma vida de 60 x 104 
ciclos de tensões alternadas?
3. Explique, com suas palavras, as fases da falha por fadiga:
4. Calcule a tensão máxima em uma placa plana em tensão subme-
tida à tração axial de 8500 N cujas dimensões são:2 espessura da placa = 5 mm
 2 largura maior = 15 mm
 2 largura menor = 11,4 mm
 2 raio do filete = 1,4 mm
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 53_Livro_Elementos de Máquinas.indb 53 20/05/2022 14:09:1020/05/2022 14:09:10
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 54_Livro_Elementos de Máquinas.indb 54 20/05/2022 14:09:1020/05/2022 14:09:10
3
Transmissão 
por correias
Certo dia, alguém estava circulando tranquilamente com seu 
carro quando ele subitamente parou. A pessoa abriu o capô do veí-
culo e se deu conta de que a correia do motor estava solta. Essa é 
uma história fictícia, mas, se a manutenção adequada não for feita, 
as correias podem se romper e causar grandes prejuízos. Neste 
capítulo, conheceremos um pouco mais do elemento de máquina 
correia, mas antes veremos alguns conceitos importantes.
Para dimensionar as correias, é preciso fazer alguns cálculos, 
porém, para chegar aos cálculos específicos para cada tipo de ele-
mento de máquina é necessário entender alguns conceitos funda-
mentais, como o movimento circular e a torção, pois quase todas 
as máquinas e equipamentos sofrem uma ou ambas as solicitações.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 55_Livro_Elementos de Máquinas.indb 55 20/05/2022 14:09:1020/05/2022 14:09:10
Elementos de Máquinas
– 56 –
3.1 Movimento circular
O movimento circular é aquele em que uma partícula executa uma 
trajetória circular de raio r e tem determinado deslocamento angular em 
determinado tempo. Os parâmetros a serem considerados no movimento 
circular são: velocidade angular, período, frequência, rotação e velocidade 
tangencial (MELCONIAN, 2019). Vejamos cada um deles.
Consideremos uma partícula P que se desloca do ponto P1 em um 
tempo t1 para o ponto P2 em um tempo t2, conforme a Figura 3.1.
Figura 3.1 – Movimento circular
Fonte: adaptada de Melconian (2019, p. 11).
a) A velocidade angular é dada pela relação entre a variação angu-
lar e a variação do tempo:
�
�
�
�
�t
Onde: 𝜔 = velocidade angular (rad/s)
	 	 𝛥𝛗 = variação angular (rad)
	 	 𝛥t = variação do tempo (s)
b) O período é o tempo necessário para que a partícula complete 
uma volta no movimento circular. Sabe-se que o círculo tem 
perímetro de 2𝜋 rad, então o período é dado por:
T 2
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 56_Livro_Elementos de Máquinas.indb 56 20/05/2022 14:09:1120/05/2022 14:09:11
– 57 –
Transmissão por correias
Onde: T = período (segundos)
	 	 𝜋 = constante trigonométrica (3,1415…)
	 	 𝜔 = velocidade angular (rad/s)
c) A frequência é o inverso do período e representa o número 
de ciclos que a partícula descreve em um movimento circular 
durante 1 segundo e é dada por:
f
T
� �
1
2
�
�
Onde: f = frequência (Hz)
 T = período (s)
	 	 𝜔 = velocidade angular (rad/s)
	 	 𝜋 = constante trigonométrica (3,1415…)
d) a rotação é o número de ciclos que uma partícula em movimento 
circular faz em 1 minuto. Como a frequência é em segundos e a 
rotação em minutos, temos que:
60n f.�
Como:
f � �
�2
Então:
n .60
2
Reduzindo, temos:
n .30
Onde: n = rotações (rpm)
	 	 𝜔 = velocidade angular (rad/s)
	 	 𝜋 = constante trigonométrica (3,1415…)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 57_Livro_Elementos de Máquinas.indb 57 20/05/2022 14:09:1320/05/2022 14:09:13
Elementos de Máquinas
– 58 –
e) A velocidade tangencial é sempre tangente ao movimento; ela 
muda de direção a cada instante, mas seu módulo é constante. A 
Figura 3.2 apresenta a representação de velocidades tangenciais.
Figura 3.2 – Velocidade tangencial
Fonte: adaptada de Melconian (2019, p. 12).
A relação entre a velocidade tangencial e a velocidade angular está no 
raio do movimento circular:
v r
�
�
v r.
Isolando a velocidade angular:
.n
30
Substituindo a equação anterior:
v n r. .
30
Onde: v = velocidade tangencial (m/s)
 r = raio (m)
 n = rotação (rpm)
	 	 𝜋 = constante trigonométrica (3,1415…)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 58_Livro_Elementos de Máquinas.indb 58 20/05/2022 14:09:1420/05/2022 14:09:14
– 59 –
Transmissão por correias
Exemplo 1
Um motor elétrico tem rotação de 1800 rpm. Determine as seguintes 
características do motor (MELCONIAN, 2019):
a) velocidade angular
b) período
c) frequência
Solução:
a) velocidade angular (𝜔)
Dado: n = 1.800 rpm
Para acharmos a velocidade angular, usaremos a equação da rotação:
n .30
Substituindo os valores:
1800 30.
Isolando a velocidade angular:
�
�
�
1800
30
.
� � rad s60 /
b) período (T)
O período é definido por:
T 2
Substituindo a velocidade angular:
T .
.
2
60
Que resulta em:
T 1
30
�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 59_Livro_Elementos de Máquinas.indb 59 20/05/2022 14:09:1520/05/2022 14:09:15
Elementos de Máquinas
– 60 –
0� s0334,
c) frequência (f)
A frequência é o inverso do período, então:
f 11
30
�
30� Hz
Conhecendo as relações entre frequência, período, rotação e veloci-
dade angular, saberemos as relações de transmissão de correias. Na Figura 
3.3 são dadas as duas condições de transmissão por correia: redutora de 
velocidade e ampliadora de velocidade.
Figura 3.3 – Relação de transmissão por correias
Fonte: Atlan Coelho.
A relação de transmissão é dada por:
i d
d
f
f
n
n
M
M
T
T
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
Onde: i = relação de transmissão (adimensional)
As demais relações estão representadas na Tabela 3.1
Tabela 3.1 – Características das polias
Diâmetro (m) Velocidade angular (rad/s)
Frequência 
(Hz)
Rotação 
(rpm)
Torque 
(N.m)
Polia 1 d1 (menor) 𝜔1 f1 n1 MT1
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 60_Livro_Elementos de Máquinas.indb 60 20/05/2022 14:09:1520/05/2022 14:09:15
– 61 –
Transmissão por correias
Diâmetro (m) Velocidade angular (rad/s)
Frequência 
(Hz)
Rotação 
(rpm)
Torque 
(N.m)
Polia 2 d2 (maior) 𝜔2 f2 n2 MT2
Fonte: elaborada pela autora.
3.2 Torção
Você sabe quando uma peça está sob torção? O esforço de torção 
ocorre quando uma peça sofre um torque em uma extremidade e um con-
tratorque na extremidade oposta, como mostrado na Figura 3.4.
Figura 3.4 – Peça sob a ação de torção simples
Fonte: Atlan Coelho.
Para as transmissões mecânicas, algumas relações devem ser defini-
das, entre elas o torque (MT), a potência (P), a relação torque x potência 
e a força tangencial (FT). A Tabela 3.2 apresenta as referidas equações: o 
raio é representado por (r), a velocidade angular por (𝜔), a rotação por (n) 
e a velocidade tangencial por (vp).
Tabela 3.2 – Relações de torque, potência e força tangencial
Parâmetro Torque (MT) Potência (P) Torque x potência
Força tangencial 
(FT)
Equação M F rT T= . P F vT P.� M
P
nT
�
30
�
. F
M
r
P
v
P
rT
T
p
� � �
�.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 61_Livro_Elementos de Máquinas.indb 61 20/05/2022 14:09:1820/05/2022 14:09:18
Elementos de Máquinas
– 62 –
Parâmetro Torque (MT) Potência (P) Torque x potência
Força tangencial 
(FT)
Símbolo da 
unidade N.m
Nm/s = 
J/s = W N.m N
Unidade Newton-metro Watts Newton-metro Newton
Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo 2
A transmissão por correia representada na Figura 3.5 é acionada 
por um motor elétrico com potência P = 4,5 kW com rotação de 1.750 
rpm. Sabendo-se que a polia 1 é a polia motora do sistema, que a polia 
1 tem 100 mm de diâmetro e a polia 2 tem 250 mm de diâmetro, des-
prezando as perdas calcule o torque da polia 1 e a velocidade angular 
da polia 2 (MELCONIAN 2019).
Figura 3.5 – Transmissão por correia com polia motora e movida
Fonte: Atlan Coelho.
Solução:
O torque da polia 1 é calculado por:
M PT � �1
Onde: P = potência (4.500 W)
	 	 ω1 = velocidade angular da polia 1 (ω1 = 1.750 rpm)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 62_Livro_Elementos de Máquinas.indb 62 20/05/2022 14:09:1820/05/2022 14:09:18
– 63 –
Transmissão por correias
Transformando em rad/s:
w 1750
60
2 58 33. ,
Substituindo os valores:
MT , .
,4500
58 33
24 55� N.m
Para a velocidade angular da polia 2:
d1 = 100 mm
d2 = 250 mm
2
1
2
1
100
250
58 33 23 33d
d
rads. . , . /
Respostas: MT1 = 24,55 N.m e ω2 = 23,33π rad/s
3.3 Conceitos de correias
Quando falamos de transmissão por correia, qual é a aplicação que 
vem primeiro à mente? Eu penso logo no motor do carro. Mas por quê? 
Ele tem um sistema de transmissão por correia que interliga o motor, o 
alternador e a bomba d’água (Figura 3.6).
Figura 3.6 – Motor e correias
a) Foto do motor b) Sistema de transmissão
Fonte: Stock.adobe.com/THINK; Atlan Coelho.
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Elementos de Máquinas
– 64 –
3.3.1 Principais tipos de correia e aplicações
Quando se compara a transmissão por correia com as transmissões 
por corrente ou por engrenagens, pode-se elencar algumas vantagens e 
desvantagens, como mostrado no Quadro 3.1.
Quadro 3.1 – Vantagens e desvantagens das correias
Vantagens Desvantagens
1 Pouco ruído 1 Maiores dimensões e maior força axial
2 Absorção e amortecimento de choques 2
Maior escorregamento na 
transmissão de força
3 Disposição simples 3 Alongamento da correia que aumenta com o tempo de uso
4 Utilização múltipla (cruzada, inclinada, vários eixos etc.) 4
Variação do alongamento com 
temperatura e umidade
5 Mais economia por conta da simplicidade 5
Variação do coeficiente de 
atrito com poeira, detritos, 
óleo e umidade
6 Desacoplamento fácil
7 Simples variação da relação de multiplicação
Fonte: elaborado pela autora.
Existem vários tipos de correia, como planas, em V, em duplo V, com 
ranhuras e dentadas (Figura 3.7).
Figura 3.7 – Tipos de correia
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 64_Livro_Elementos de Máquinas.indb 64 20/05/2022 14:09:2120/05/2022 14:09:21
– 65 –
Transmissão por correias
Fonte: Atlan Coelho.
As correias tipo dentadas e síncronas são utilizadas em polias com ranhu-
ras em V padrão. As correias em V industrial e a correia em V múltipla têm 
perfil em V, o que faz que a correia fique bem apertada dentro da ranhura da 
polia e que torques elevados sejam transmitidos sem a correia deslizar.
Vejamos algumas utilizações práticas:
 2 correia dentada – é muito utilizada nas transmissões veiculares, e 
sua grande vantagem é não ter deslizamento. Como desvantagem 
dessa aplicação está o fato de que a correia, por ser fabricada em 
borracha, está sujeita a perder a eficiência devido ao aquecimento;
Figura 3.8 – Aplicação de correia dentada
Fonte: Stock.adobe.com/Evgeny Korshenkov
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 65_Livro_Elementos de Máquinas.indb 65 20/05/2022 14:09:2220/05/2022 14:09:22
Elementos de Máquinas
– 66 –
 2 correia plana – tem ampla utilização, podendo ser usada 
também para transporte de cargas e esteiras de exercícios. 
A versatilidade desse tipo de correia está na possibilidade de 
emendá-la, o que torna possível seu uso em distâncias relati-
vamente longas. Outra vantagem é o uso como embreagem, 
já que permite deslizamento.
Figura 3.9 – Aplicação da correia plana
Fonte: Stock.adobe.com/olly
As correias trabalham em conjunto com as polias, que devem acompa-
nhar a geometria das correias. Por exemplo, a correia em V é muito utilizada 
na indústria e em aplicações veiculares, sendo padronizadas (Tabela 3.3).
Tabela 3.3 – Tipos padronizados de correia em V
Geometria 
da correia 
em V
Seção de 
correia
Largura 
(mm)
Espessura 
(mm)
Diâmetro 
mínimo de 
roldana (mm)
Intervalo de 
kW, uma ou 
mais correias
A 12 8,5 75 0,2 - 7,5
B 16 11 135 0,7 - 18,5
C 22 13 230 11 - 75
D 30 19 325 37 - 186
E 38 25 540 75 e acima
Fonte: adaptada de Budynas (2016).
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– 67 –
Transmissão por correias
Atualmente, as correias planas são fabricadas com um núcleo elás-
tico impregnado com borracha e apresentam algumas vantagens sobre 
as transmissões por engrenagens ou por correias em V. Uma trans-
missão por correia em V pode chegar a 98% de eficiência, enquanto 
as transmissões por correia plana têm eficiência entre 70% e 96%. 
Outra vantagem das correias planas são o baixo ruído e a alta absorção 
das vibrações torcionais, sendo, nesse aspecto, mais eficientes que as 
transmissões por correia em V (MOTT, 2015).
Em geral, diferentes máquinas e elementos apresentam diferen-
tes valores de eficiência. Contudo, é possível generalizar a eficiência 
mecânica dos elementos de acordo com sua categoria, para poupar 
tempo e facilitar os cálculos.
Tabela 3.4 – Relação de rendimento com tipo de elemento de máquina
Elemento de máquina Rendimento
Correias
Correia plana 0,96 a 0,97
Correia em V 0,97 a 0,98
Engrenagens
Engrenagens fundidas 0,92 a 0,93
Engrenagens usinadas 0,96 a 0,98
Polias e correias 0,95 a 0,98
Mancais
Rolamento 0,98 a 0,99
Deslizamento 0,96 a 0,98
Corrente de rolo 0,97 a 0,98
Fonte: adaptada de Ceará (2011).
As informações apresentadas na Tabela 3.4 não são uma regra, então 
é possível realizar cálculos para determinar a eficiência mecânica de 
acordo com o sistema específico.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 67_Livro_Elementos de Máquinas.indb 67 20/05/2022 14:09:2420/05/2022 14:09:24
Elementos de Máquinas
– 68 –
3.4 Dimensionamento de 
transmissão por correias
As transmissões por correia mais utilizadas podem ser de correias 
planas ou em V. O dimensionamento da correia plana é um pouco mais 
simples que o da correia em V, como veremos.
3.4.1 Dimensionamento de correias planas
As correias planas podem trabalhar abertas ou cruzadas, e o dimen-
sionamento abrange os cálculos do ângulo de contato ou abraçamento (𝜃) 
e o comprimento total da correia (L). A Figura 3.10 apresenta as configu-
rações aberta e cruzada.
Figura 3.10 – Configurações das correias planas abertas e cruzadas
Fonte: Atlan Coelho.
Primeiro, analisaremos a configuração das correias abertas. Uma cor-
reia faz a ligação entre duas polias, uma de menor diâmetro (𝐷) e outra de 
maior diâmetro; além disso, cada polia apresenta uma velocidade tangen-
cial (v) e um número de rotações (N).
A relação que podemos realizar é:
v v v
1 2
= =
� �
1 1 2 2
. .r r�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 68_Livro_Elementos de Máquinas.indb 68 20/05/2022 14:09:2520/05/2022 14:09:25
– 69 –
Transmissão por correias
Sendo que ω é a velocidade angular e r é o raio das polias. Sabemos 
que a velocidade angular pode ser obtida pela equação:
�
�
�
� � �
2
2
1
2
2
1
1
2
.
.
N
N
D
D
N
N
Dessa forma e de acordo o princípio da conservação de energia:
P P P
1 2
= =
P N T N T� �2 2
1 1 2 2
. . . . . .� �
N
N
T
T
D
D
1
2
2
1
2
1
= =
Chegamos à equação de transmissão do mecanismo, também cha-
mada de relação de transmissão:
i N
N
D
D
= =1
2
2
1
Além desses cálculos básicos, há os ângulos 𝜃D, 𝜃d, dados por:
D sen
D d
C
2
2
1.
d sen
D d
C
2
2
1.
Onde: D = diâmetro da polia maior
 d = diâmetro da polia menor
 C = distância entre centros
	 	 𝜃 = ângulo de contato
O comprimento da correia é dado pela soma dos dois arcos mais duas 
vezes a distância entre centros (C):
L C D d D dD d. .4
1
2
2 2
1 2
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 69_Livro_Elementos de Máquinas.indb 69 20/05/2022 14:09:3020/05/2022 14:09:30
Elementos de Máquinas
– 70 –
Onde: 𝜃D= ângulo de contato da polia maior
	 	 𝜃d = ângulo de contato da polia menor
Caso os ângulos de contato não sejam conhecidos, outra forma de 
calcular o comprimento da correia é pela equação:
L l D D
D D
l
2 1 57
41 2
1 2
2
Onde: L = comprimento da correia (mm)
 D1 = diâmetro da polia maior (mm)
 D2 = diâmetro da polia menor (mm)
 l = distância entre centros das polias (mm)
Vamos a um exemplo?
Exemplo 3
Devemos determinar o comprimento de uma correia com base em 
duas polias predeterminadas por seu sistema, com distância entre centros 
igual a 600 mm. Para realizar essa tarefa, temos os seguintes dados: o 
diâmetro da polia menor é igual a 30 mm e o diâmetro da polia maior 
é igual a 60 mm. A rotação