Livro - Elementos de Máquinas

Prévia do material em texto

Curitiba
2022
Elementos de 
Máquinas 
Ana Rita Villela Costa
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 1_Livro_Elementos de Máquinas.indb 1 20/05/2022 14:08:1620/05/2022 14:08:16
Ficha Catalográfica elaborada pela Editora Fael.
C837e Costa, Ana Rita Villela
Elementos de Máquinas / Ana Rita Villela Costa. – Curitiba: Fael, 
2022. 
296 p.
ISBN 978-65-990685-2-2
1. Máquinas - Projetos I. Título
CDD 621.816
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Valmera Fatima Simoni Ciampi
Coordenação Editorial Angela Krainski Dallabona
Revisão Editora Coletânea
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Imagem da Capa Ser Educacional
Arte-Final Hélida Garcia Fraga
00_Element_Maq.indd 200_Element_Maq.indd 2 20/05/2022 14:38:3020/05/2022 14:38:30
Sumário
Carta ao Aluno | 5
1. Introdução aos elementos de máquinas | 7
2. Elementos de transmissão de potência | 31
3. Transmissão por correias | 55
4. Transmissão, eixos e árvores | 81
5. Transmissão por engrenagens cilíndricas | 107
6. Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim | 135
7. Elementos elásticos: molas | 159
8. Embreagens, freios e acoplamentos | 187
9. Elementos de fixação | 213
10. Elementos de apoio | 237
Gabarito | 263
Referências | 293
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 3_Livro_Elementos de Máquinas.indb 3 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 4_Livro_Elementos de Máquinas.indb 4 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
Prezado(a) aluno(a),
Cada página desse livro foi pensada para que você, estu-
dante, possa compreender melhor os conceitos de elementos de 
máquinas. Esses elementos são amplamente utilizados em boa 
parte das máquinas e equipamentos que utilizamos na indústria e 
em nosso dia a dia.
Podemos dividi-los em “famílias”, sendo elas: a de elemen-
tos de transmissão de potência, a de elementos elásticos, a de 
elementos de fixação e a de elementos de apoio. Começamos a 
nossa jornada conhecendo melhor os componentes de cada famí-
lia, com suas peculiaridades e suas principais aplicações e carac-
terísticas. Partimos então para os conceitos de cargas variáveis, 
Carta ao Aluno
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 5_Livro_Elementos de Máquinas.indb 5 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
– 6 –
Elementos de Máquinas
fadiga e concentração de tensão. Esses conceitos são importantes para 
compreendermos melhor o dimensionamento dos componentes.
Os elementos de transmissão de potência podem ser de dois tipos: 
flexíveis e rígidos, sendo que nos flexíveis estão as correias e nos rígidos 
estão os eixos, as engrenagens, os freios, as embreagens e os acoplamen-
tos. Todos eles foram explorados em suas aplicações e no seu dimensio-
namento e seleção.
As molas são consideradas elementos elásticos e têm ampla aplica-
ção na indústria e no nosso dia a dia. Para se ter uma ideia, utilizamos as 
molas desde camas elásticas até válvulas de segurança. Elas podem ser de 
compressão, de tração ou de torção e há diversos tipos no mercado. Nesse 
livro você vai conhecer diversas delas.
Os elementos de fixação são aqueles responsáveis por unir duas ou 
mais peças, e podem ser de fixação permanente ou de fixação móvel. 
Os mais conhecidos são os parafusos, as porcas, os rebites e as soldas.
Por fim, vamos tratar dos elementos que têm a função de apoio, sendo 
os mais conhecidos os mancais de rolamento e os mancais de desliza-
mento, mas há também as buchas e guias.
É com essa proposta que convido você a conhecer mais a fundo os 
elementos de máquinas, que estão presentes em muitas máquinas, equipa-
mentos e ao nosso redor.
A autora.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 6_Livro_Elementos de Máquinas.indb 6 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
1
Introdução aos 
elementos de 
máquinas 
Alguma vez você já planejou fazer uma viagem ou comprar 
um carro? Se ainda não, em breve poderá precisar pensar em algo 
assim. No desenvolvimento de um novo produto, tudo começa 
com o projeto. Mas o que é projeto? É aquilo que tem início, 
meio e fim. Os projetos podem ser bem definidos no início ou 
podem ter algumas incertezas a serem definidas durante o desen-
volvimento, mas um fato é certo: um bom projetista deve ter a 
capacidade de tomar decisões.
Neste capítulo, vamos conhecer um pouco mais de projeto de 
máquinas e tratar de fatores de segurança e critérios de resistência.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 7_Livro_Elementos de Máquinas.indb 7 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
Elementos de Máquinas
– 8 –
1.1 Introdução ao projeto de máquinas
O PMBOK é considerado a “Bíblia do conhecimento em gerencia-
mento de projetos”, sendo a base de conhecimento do Project Manage-
ment Institute (PMI), que tem mais de 500 mil associados em mais de 180 
países. A primeira versão oficial do PMBOK foi lançada em 1987, estando 
atualmente na sexta versão (2017).
Esse material define projeto como um esforço temporário empreendido 
para criar um produto, serviço ou resultado único. O término do projeto pode 
ser determinado quando os objetivos forem alcançados, quando não for mais 
possível alcançá-los ou, ainda, quando o projeto não tiver mais serventia.
Os projetos de engenharia envolvem, basicamente, todas as discipli-
nas vistas no curso. Por exemplo, o projeto de um mancal de rolamento 
envolve fenômenos de transporte, atrito, seleção de materiais, processos 
de fabricação, lubrificação, cálculos numéricos, entre outros. Cada com-
ponente a ser projetado envolve um vasto conhecimento de várias áreas, 
mas o projeto é elaborado em etapas até se chegar a um projeto pronto. 
Pode-se dizer que as etapas acontecem conforme a Figura 1.1.
Figura 1.1 – Etapas do projeto
Fonte: elaborada pela autora.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 8_Livro_Elementos de Máquinas.indb 8 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
– 9 –
Introdução aos elementos de máquinas 
Começamos com a identificação de uma necessidade, que pode ser um 
problema em uma máquina existente ou a criação de uma nova máquina ou 
de um sistema. Com a necessidade identificada, partimos para a definição 
do problema, em que devem ser definidas as características do projeto, as 
entradas, as saídas, o espaço que irá ocupar etc. Com isso, inicia-se a sín-
tese, que é também chamada de projeto conceitual, em que são definidos os 
conceitos fundamentais, como as principais dimensões, o material e o pro-
cesso de fabricação. Nessa etapa, várias possibilidades podem ser testadas, 
modificadas, descartadas e refeitas, sendo muito importante no projeto, pois 
é como se fosse a concepção dele. A fase de análise e otimização, apesar de 
se mostrar linear na figura, está intimamente ligada à etapa de síntese, pois 
pode se repetir diversas vezes até se chegar a um conceito ideal.
Chegando ao conceito, a próxima fase é fazer uma avaliação em que 
protótipos e modelos devem ser testados e analisados para garantir a quali-
dade do projeto. Deseja-se responder às perguntas: o produto é confiável? 
É viável economicamente? A manutenção é possível? Entre outros ques-
tionamentos (BUDYNAS, 2011). Após todas essas etapas, chega a hora 
de “vender o peixe”, ou seja, fazer a apresentação do projeto ao cliente 
(podendo ser externo ou interno). Essa etapa é muito importante, pois se o 
projeto não for aprovado todo o trabalho terá sido em vão.
1.1.1 Considerações de projeto
Os elementos mecânicos têm algumas características que devem ser 
levadas em consideração na elaboração do projeto. A resistência mecâ-
nica, por exemplo, pode afetar o elemento e até mesmo todo o conjunto. 
O Quadro 1.1 apresenta algumas dessas considerações de projeto (que não 
estão em ordem de importância).
Quadro 1.1 – Considerações de projeto
Funcionalidade Confiabilidade Vida útil Lubrificação
Resistência/
tensão Fabricabilidade Ruído Manutenção
Distorção/
rigidez Utilidade Estilo Volume
_Livro_Elementosde Máquinas.indb 9_Livro_Elementos de Máquinas.indb 9 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
Elementos de Máquinas
– 10 –
Funcionalidade Confiabilidade Vida útil Lubrificação
Desgaste Custo Forma Propriedade térmicas
Corrosão Atrito Tamanho Reciclável
Segurança Peso Controle Reuso
Fonte: elaborado pela autora.
Outras considerações podem ser identificadas no decorrer do desen-
volvimento do projeto.
1.1.2 Elaboração do projeto
Nos anos 1990, os desenhos técnicos eram elaborados manualmente, 
com o uso de lápis, papel e uma mesa especial chamada de prancheta. Atu-
almente, os desenhos de projeto são elaborados com o uso de ferramentas 
computacionais.
1.1.2.1 Ferramentas computacionais
Computed Aided Design (CAD) nada mais é que desenho assistido 
por computador. Mas o que é isso? É uma forma de realizar um desenho 
técnico com a ajuda de um computador, que surgiu lá pelos anos 1960 com 
o editor gráfico chamado Sketchpad, criado pelo cientista Ivan Suther-
land, funcionando com um tipo de caneta que desenhava direto na tela 
da máquina. Os programas evoluíram, e hoje há alguns exemplos mais 
utilizados: AutoCAD, SolidWorks e Catia.
Além do desenho assistido por computador, há a possibilidade 
de realizar simulações e testes em modelos por meio de Computer 
Aided Engineering (CAE), sendo o CAD considerado um subcon-
junto do CAE. Alguns tipos de programa aptos a fazer simulações 
são análise por elementos finitos (FEA), que são capazes de realizar 
análises de tensão e deflexão, programas de dinâmica dos fluidos 
(CFD++, FIDAP e Fluent), programas para análise de transferência 
de calor (ANSYS) e para simulações de forças dinâmicas e movi-
mento de mecanismos (ADAMS).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 10_Livro_Elementos de Máquinas.indb 10 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
– 11 –
Introdução aos elementos de máquinas 
Cabe ressaltar que o computador é apenas uma ferramenta para auxi-
liar no “trabalho pesado”, mas não substitui o raciocínio humano, por isso 
precisamos conhecer os conceitos por trás dos programas e dos aplicativos 
disponíveis para podermos elaborar os projetos de engenharia.
1.1.3 Processamento de soluções
Quando for necessária a apresentação de uma solução para um pro-
blema, Budynas (2011) recomenda as etapas mostradas na Figura 1.2.
Figura 1.2 – Processamento de soluções
Fonte: elaborada pela autora.
Na primeira etapa (entenda o problema), deve-se compreender per-
feitamente o enunciado do problema. Na próxima etapa (identifique o 
conhecido), listar as informações conhecidas e relevantes. Na terceira fase 
(identifique o desconhecido), enumerar o que precisa ser determinado para 
se chegar a uma solução, elaborando um planejamento. Na fase seguinte 
(enuncie as hipóteses e decisões), levantar as hipóteses possíveis para 
solucionar o problema. Na quinta fase (analise o problema), utilizar o pla-
nejamento e as hipóteses levantadas, pesquisando tabelas, equações e rea-
lizando os cálculos necessários, atestando a credibilidade da solução. Por 
fim (apresente sua solução), ter habilidade para apresentar a solução de 
forma que os interlocutores fiquem interessados em colocá-la em prática.
Caso os resultados tenham sido insatisfatórios algumas etapas, 
estas podem ser repetidas mais de uma vez, já que os processos são 
interativos e iterativos.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 11_Livro_Elementos de Máquinas.indb 11 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
Elementos de Máquinas
– 12 –
1.1.4 Fontes de pesquisa
Para a realização dos cálculos e das definições das considerações de 
projetos, certos dados precisam ser consultados. Na Engenharia, algumas 
informações são normalizadas, definidas por normas técnicas nacionais ou 
internacionais. A família de normas nacionais mais conhecida é definida 
pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT); já as normas 
internacionais são diversas, e as instituições mais relevantes que as defi-
nem estão listadas no Quadro 1.2.
Quadro 1.2 – Associações internacionais de normas técnicas
Sigla Descrição
AA Aluminunn Association
AGMA American Gear Manufacterers Association
AISC American Institute of Steel Construction
AISI American Iron and Steel Institute
ANSI American National Standard Institute
ASME American Society of Mechanical Engineers
ASTM American Society of Testing and Materials
AWS American Welding Society
ISO International Standards Organization
SAE Society of Automotive Engineers
Fonte: elaborado pela autora.
Alguns exemplos de normas são: API – 610 – Centrifugal Pumps for 
Petroleum, Petrochemical, and Natural Gas Industries, que regulamenta o 
dimensionamento e a seleção de bombas centrífugas para a área de Petró-
leo e Gás; ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section VIII, Division 
1, para a construção de vasos de pressão; e ASTM A36 (SS400, S275) 
Structural Carbon Steel, para aço carbono estrutural.
Em algum momento você vai se deparar com uma dessas siglas e já 
vai saber que se trata de uma padronização de dados ou considerações de 
projeto. Então fique atento.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 12_Livro_Elementos de Máquinas.indb 12 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
– 13 –
Introdução aos elementos de máquinas 
1.1.5 Custos
Os custos em um projeto são muito importantes, pois podem ser fato-
res decisivos para continuá-lo ou pará-lo. Os valores de mão de obra e 
matérias-primas sofrem grandes variações ao longo do tempo, e quando 
um projeto se estende os custos que foram estimados no início podem ter 
tido fortes alterações quando ele for, finalmente, colocado em prática.
Uma maneira inteligente de manter os custos sob controle é pro-
curar otimizar a matéria-prima, selecionando materiais com tamanhos 
padronizados. Por exemplo, caso um engenheiro que escolheu uma 
barra de aço AISI 1020 laminada a quente, de seção transversal qua-
drada, com 52 milímetros de lado (fora de padrão), queira reduzir os 
custos, pode trocá-la por uma barra padronizada de 50 milímetros ou 
60 milímetros. Caso ele insista na barra de 52 milímetros, precisará 
laminá-la e usiná-la a partir de uma barra de 60 milímetros, o que 
aumentará o preço do produto.
1.2 Fatores de segurança e análise de esforços
Ao desenvolver um projeto, é preciso definir os materiais que serão 
utilizados. As características dos materiais são encontradas em ensaios 
destrutivos de amostras sob condições controladas cujos resultados são 
valores aproximados e relativos às amostras. Dos resultados, faz-se 
uma inferência estatística para se chegar aos números encontrados nas 
tabelas de materiais. Esses valores devem ser utilizados com cuidado, 
pois o material real pode não ter exatamente as mesmas característi-
cas encontradas nas amostras, portanto devem ser considerados como 
valores mínimos.
Em casos específicos, como no projeto de veículos, aeronaves e outras 
obras de engenharia que exigem maior segurança, os ensaios são realiza-
dos em modelos reais ou em protótipos, para que os resultados tenham 
maior confiabilidade. Existem alguns ensaios que levantam as caracterís-
ticas de resistência dos materiais; um dos mais conhecidos e utilizados é o 
ensaio de tração (NORTON, 2013).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 13_Livro_Elementos de Máquinas.indb 13 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
Elementos de Máquinas
– 14 –
1.2.1 Ensaio de tração
A American Society of Testing and Materials (ASTM) define normas 
e procedimentos para testar amostras para uma variedade de medidas de 
propriedades de materiais. O ensaio de tração é um dos mais utilizados e 
consiste, basicamente, em exercer uma força de tração em um corpo de 
prova padrão e por meio dos resultados determinar a tensão e a deforma-
ção do material. Os corpos de prova são fabricados do mesmo material 
para o qual se deseja obter os valores de referência e têm as extremidades 
com diâmetro maior (onde são fixados à máquina de tração) e centro com 
diâmetro menor padronizado, conforme a Figura 1.3.
Figura 1.3 – Corpode prova do ensaio de tração
Fonte: elaborada pela autora.
No corpo de prova, o diâmetro (do) é padronizado. Os dois pontos 
azuis marcam um comprimento abstrato (lo) que vai servir de referência 
para que o alongamento possa ser medido durante o teste. O corpo de 
prova é fixado à máquina e estendido até o completo rompimento. Durante 
o teste, a força e a distância entre as marcas são constantemente medidas, 
e no fim a máquina gera um gráfico de tensão e deformação
A tensão específica, ou simplesmente tensão, é definida pela força por 
unidade de área, e para o corpo de prova sob tensão é dada por:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 14_Livro_Elementos de Máquinas.indb 14 20/05/2022 14:08:1720/05/2022 14:08:17
– 15 –
Introdução aos elementos de máquinas 
� � � P
Ao
Onde: σ = tensão [MPa]
P = força [N]
Ao = área [mm2]
A deformação específica, ou simplesmente deformação, é a razão 
entre a mudança de comprimento e o comprimento inicial; ou seja:
� �
�
�
�l l
l
o
o
Onde: lo = comprimento inicial
 l = comprimento sob a força P
Note que a deformação será adimensional, já que divide uma medida 
de comprimento por outra.
O módulo de elasticidade, ou módulo de Young, é a relação entre a 
tensão e a deformação, representado por:
E � ��
�
Essa medida tem a mesma unidade da tensão e representa a rigidez do 
material em sua região elástica.
Onde: E = módulo de elasticidade
	 	 σ = tensão
	 	 ε = deformação
O limite elástico separa a região elástica e plástica do material. Des-
tacamos que na região elástica o material volta à condição inicial após a 
retirada da força, e na região plástica o material adquire uma nova condi-
ção mesmo após a retirada da força.
A Figura 1.4 apresenta os dados encontrados nas curvas de tensão-
-deformação do limite elástico (A), que é o ponto em que termina a fase 
elástica; o limite de proporcionalidade (A’), que é a região onde ocorre o 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 15_Livro_Elementos de Máquinas.indb 15 20/05/2022 14:08:1920/05/2022 14:08:19
Elementos de Máquinas
– 16 –
escoamento; o limite de resistência à tração (B), que é o limite máximo 
que o material suporta antes da ruptura; e o limite de ruptura (C), que é o 
ponto onde o material se rompe no ensaio de tração.
Observe que o limite de ruptura, aparentemente, é menor que o limite de 
tração, mas isso ocorre porque a área do corpo de prova é reduzida à medida 
que o material é tracionado. Na “vida real”, o limite de ruptura é maior do que 
o de tração, após a correção da tensão, considerando a área reduzida.
Figura 1.4 – Gráfico de tensão-deformação
Fonte: Atlan Coelho.
1.2.2 Ductilidade e fragilidade
Você sabe quando um material é dúctil? Vamos fazer um teste? Pegue 
um clipe de papel e o desdobre. Ele toma a forma que foi dada sem que-
brar, certo? Veja a Figura 1.5.
Figura 1.5 – Clipe antes e depois de ser dobrado
Fonte: elaborada pela autora.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 16_Livro_Elementos de Máquinas.indb 16 20/05/2022 14:08:2020/05/2022 14:08:20
– 17 –
Introdução aos elementos de máquinas 
Essa é uma característica que determina que o clipe é fabricado de 
um material dúctil, que tem capacidade de grandes deformações antes de 
se romper. O que você acha que aconteceria com um lápis de madeira ao 
tentarmos dobrá-lo? Ele se quebraria e não ficaria dobrado. Nesse caso, 
o material é frágil e não aceita grandes deformações antes de se romper.
Os metais podem ser dúcteis ou frágeis, dependendo do processo de 
fabricação pelo qual passaram. Por exemplo, a conformação a frio pode 
aumentar a fragilidade e reduzir a ductilidade de um metal. Outras análi-
ses possíveis são por meio de ensaios de flexão e de torção.
1.2.2.1 Ensaio de flexão
A Figura 1.6 apresenta os efeitos de um ensaio de flexão em que uma 
força é aplicada no centro de um corpo de prova. Em (a) está apresentado 
o efeito em um material dúctil, em que o metal é flexionado para depois 
se romper. Já em (b), após a aplicação da força o material se rompe antes 
mesmo de sofrer uma flexão.
Figura 1.6 – Ensaio de flexão
Fonte: elaborada pela autora.
Vimos até aqui que podemos encontrar os valores de tensão e resis-
tência dos materiais por meio de ensaios mecânicos destrutivos realizados 
em corpos de prova, mas, ao extrapolarmos esses dados para os materiais 
reais, podem surgir algumas incertezas. Segundo Budynas (2011) as incer-
tezas podem ser listadas como:
 2 composição do material e efeito da variação em propriedades;
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 17_Livro_Elementos de Máquinas.indb 17 20/05/2022 14:08:2020/05/2022 14:08:20
Elementos de Máquinas
– 18 –
 2 variações nas propriedades de ponto a ponto no interior de uma 
barra de metal em estoque;
 2 efeitos sobre as propriedades de processar o material no local ou 
nas proximidades;
 2 efeito de tratamento térmico sobre as propriedades;
 2 intensidade e distribuição do carregamento;
 2 intensidade de concentração de tensão;
 2 efeito da corrosão;
 2 efeito do desgaste;
 2 quanto ao número de fatores que causam incertezas.
Engenheiros precisam lidar com essas incertezas, mas há métodos 
matemáticos para isso. Segundo Budynas (2011), o método determinístico 
estabelece um fator de projeto e depois o aplica para determinar o novo 
parâmetro de projeto. Nesse caso, o fator de projeto (nd) é determinado por:
n
parâme de de função
parâme máximo admissível
d �
Se o parâmetro for a carga máxima admissível, temos que:
carga máxima admissível
carga de de função
nd
�
1.2.3 Fator de projeto e fator de segurança
Após a finalização do projeto, pode acontecer alguma aproximação 
do material utilizado, afetando o fator de projeto, que passa a ser chamado 
de fator de segurança e tem a mesma definição do fator de projeto, mas 
difere em termos numéricos.
Vimos o fator de projeto relacionado à perda de função, mas quando 
se trata de tensão não há variação linear, então pode-se reescrever a equa-
ção do fator de projeto em relação à tensão:
n resistência de perda de função
tensãoadmssível
S
oud
� �
�
� � � �
� � �� � ��
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 18_Livro_Elementos de Máquinas.indb 18 20/05/2022 14:08:2020/05/2022 14:08:20
– 19 –
Introdução aos elementos de máquinas 
A resistência (S) e a tensão devem ter a mesma unidade, assim como 
devem se referir ao mesmo ponto da peça.
Exemplo 1
Considere que a carga máxima em uma estrutura seja conhecida com 
uma incerteza de 15% e que a carga que provoca falha seja conhecida com 
uma incerteza de 20%. Se a carga nominal que causa falha é igual a 10 kN, 
determine o fator de projeto e a carga máxima admissível que compensará 
as incertezas absolutas.
Solução:
Utilizaremos a equação n parâmetrode perdade função
parâmetromáximoadmissíveld
=
� � � �
� �
, em que a 
carga máxima admissível deve ser acrescida de 100 20 80 0 8 
para aumentar, fazemos 1
0 8,
. Já a carga máxima admissí-
vel deve ser reduzida de 100 15 115 1 15, ; para redu-
zir, fazemos 1
1 15,
. Substituindo esses valores na equação, temos 
nd = =
1 0 80
1 1 15
1 4
/ ,
/ ,
, , então calculamos a redução da carga máxima, onde: 
kN� �cargamáximaadmissível tensãonominal
n
N
d ,
,�10 000
1 4
7 1 .
Observe que a carga máxima admissível é menor (7,14 kN) que a 
carga conhecida nominalmente (10 kN), presente nas tabelas. Com esse 
cálculo, tem-se maior segurança no dimensionamento do projeto.
Exemplo 2
Uma barra com seção transversal circular é carregada sob tração com 
uma força de 10 kN e está submetida a uma tensão. Considerando que o 
material tem resistência de 168 N/mm² e fator de projeto igual a 3, deter-
mine o diâmetro mínimo de uma barra circular maciça. Determine tam-
bém o fator de segurança para uma barra de diâmetro comercial1.
1 Alguns diâmetros comerciais em milímetros: … 5,0; 5,5; 6,0; 6,5; 7,0; 8,0; 9,0; 10,0; 
11,0; 12,0; 14,0; 16,0; 18,0; 20,0…
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 19_Livro_Elementos de Máquinas.indb 19 20/05/2022 14:08:2320/05/202214:08:23
Elementos de Máquinas
– 20 –
Solução:
Para a seção circular, a área é calculada por A d� � .
2
4
. Para o fator de 
segurança, temos n
S
d � �
. Colocando a tensão em evidência, temos � � �
S
nd
 
. Temos também que a equação da tensão é dada por 
� � � F
A . Então, jun-
tando as equações, temos:
N
.
S
n
F
A dd
168
3
10 000
4
2
Utilizando as partes da equação que contém números, temos 
168
3
4 10 000
2
�
� �x
d
.
.�
. Fazendo a multiplicação cruzada, temos 
� . . .168 3 4 10 0002d x x� � � . Isolando o diâmetro, temos d
x2 12 10 000
168.
. 
Tirando a raiz, temos d .
.
120 000
168
. E então d = 15,07 mm. Escolhemos 
um diâmetro comercial de 16 mm, imediatamente superior, e com esse 
valor recalculamos o fator de segurança, sendo:
n S d
Fd
�
� . .
.
2
4
Substituindo os valores, temos:
nd �
� �
� �
�
� . .
. .
,
168 16
4 10 000
3 37
2
Observe que após a escolha do diâmetro da barra (com valor acima 
do que foi calculado) o fator de projeto real (fator de segurança) ficou 
maior (3,37) do que o fator de projeto inicial (3).
1.3 Critérios de resistência
A situação ideal é que as máquinas, os componentes e os elementos 
não falhem, mas sabemos que em algum momento eles falharam ou irão 
falhar. Cabe ao projetista ou ao engenheiro garantir que o projeto não falhe 
ou que, se ocorrer uma falha, seja previsível em seus estudos e cálculos.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 20_Livro_Elementos de Máquinas.indb 20 20/05/2022 14:08:3020/05/2022 14:08:30
– 21 –
Introdução aos elementos de máquinas 
Você se lembra de alguma máquina ou componente que tenha 
sofrido alguma falha? Se sofreu, estava sujeito a qual tipo de carrega-
mento? Tração? Compressão? Flexão? Torção? Será que a falha foi por 
conta do projeto ou devido a problemas na fabricação? São tantas per-
guntas e tantos questionamentos, mas vamos com calma e conseguire-
mos entender os critérios de resistência.
Trataremos aqui de três tipos de tensão: tração direta, compressão 
direta e cisalhamento puro (MOTT, 2015). A Figura 1.7 apresenta a repre-
sentação, no plano cartesiano, de tensões desses tipos aplicadas a cubos.
Figura 1.7 – Elementos de tensão para três tipos de tensão
Fonte: elaborada pela autora.
As tensões de tração e compressão são aplicadas perpendicular-
mente às faces dos cubos, sendo que a tração tende a “esticar” o elemento, 
enquanto a compressão tende a esmagá-lo. Já a tensão de cisalhamento 
tende a rasgar ou girar o elemento, então para que fique em equilíbrio as 
tensões devem estar em binários.
O sentido e o sinal do giro provocado pela tensão de cisalhamento são uma 
convenção, e não uma regra. Aqui convencionaremos da seguinte maneira:
 2 tensões de cisalhamento positivas tendem a girar o elemento no 
sentido horário;
 2 tensões de cisalhamento negativas tendem a girar o elemento no 
sentido anti-horário.
Na Figura 1.7 temos que τxy é positiva, pois tende a girar o ele-
mento no sentido horário, e τyx é negativa, pois tende a girar o elemento 
no sentido anti-horário.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 21_Livro_Elementos de Máquinas.indb 21 20/05/2022 14:08:3020/05/2022 14:08:30
Elementos de Máquinas
– 22 –
1.3.1 Tensões diretas: tração e compressão
“Tensão pode ser definida como a resistência interna oferecida por 
uma unidade de área de um material a uma carga aplicada externamente. 
As tensões normais (σ) são tanto de tração (positivas) quanto de compres-
são (negativas)” (MOTT, 2015, p. 106).
1.3.1.1 Tensão direta de tração ou compressão
A tensão direta é a resistência pela área; logo, temos que:
� �
F
A
Onde: σ = tensão direta de tração
F = força
A = área
A unidade da tensão é a unidade de força por área. Essas unidades 
variam de acordo com o sistema de unidades utilizado, como o sistema 
internacional e o sistema norte-americano.
Tabela 1.1 – Unidades de tensão
Sistema norte-americano Sistema internacional
Unidade Nome Unidade Nome
lb/pol2 Psi N/m2 Pa (Pascal)
Kips/pol2 Ksi N/mm2 MPa (MegaPascal)
Conversões Conversões
1,0 kip = 1000 lb 1 MPa = 106 Pa
1,0 ksi = 1000 psi
Fonte: elaborada pela autora.
Para a utilização da equação, existem algumas condições (MOTT, 2015):
 2 o elemento sob carregamento deve ser reto;
 2 a linha de atuação da carga deve passar através do centroide da 
seção transversal do elemento;
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 22_Livro_Elementos de Máquinas.indb 22 20/05/2022 14:08:3020/05/2022 14:08:30
– 23 –
Introdução aos elementos de máquinas 
 2 o elemento deve ter uma seção transversal uniforme próximo de 
onde a tensão está sendo calculada;
 2 o material deve ser homogêneo e isotrópico.
Exemplo 3
Uma força de tração de 9.000 N é aplicada a uma barra redonda de 
10 mm de diâmetro, como mostra a Figura 1.8. Calcule as tensões de 
tração diretas na barra.
Figura 1.8 – Barra redonda sob tração
Fonte: elaborada pela autora.
Solução:
Dados:
 2 Força (F = 9.000 N)
 2 Diâmetro da seção (d = 10 mm)
A tensão de tração deve ser calculada pela equação:
� �
F
A
A área do cilindro deve ser calculada por:
A d mm. .
2 2
2
4
10
4
78 5
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 23_Livro_Elementos de Máquinas.indb 23 20/05/2022 14:08:3120/05/2022 14:08:31
Elementos de Máquinas
– 24 –
Substituindo ambos os valores na equação da tensão, temos:
F
A
N
mm
.9 000
78 5 2
MP114 6 a
A tensão no ponto A foi de 114,6 MPa, mas pode estar em qualquer 
lugar da barra, visto que idealmente a tensão é uniforme. O resultado é 
mostrado na Figura 1.9.
Figura 1.9 – Elemento com tensão de tração direta
Fonte: elaborada pela autora.
1.3.2 Deformação sob carregamento axial direto
O alongamento decorrente da carga de tração axial direta ou da carga 
de compressão axial direta pode ser calculado pela equação:
.
.
.F L
E A
L
E
Onde: F = carga axial direta
 L = comprimento original do elemento
 E = módulo de elasticidade do material
 A = área da seção transversal do elemento
	 	 σ = tensão de tração
Exemplo 4
Para a barra redonda da Figura 1.10, calcule a deformação total, con-
siderando que o comprimento original da barra é de 3.500 mm, ela é feita 
de aço e tem módulo de elasticidade de 207 GPa.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 24_Livro_Elementos de Máquinas.indb 24 20/05/2022 14:08:3120/05/2022 14:08:31
– 25 –
Introdução aos elementos de máquinas 
Solução:
Dados:
 2 F = 9.000 N
 2 d = 10 mm
 2 comprimento inicial (L = 3.500 mm);
 2 módulo de elasticidade (E = 207 GPa)
Utilizando a equação da deformação e o valor da tensão calculada no 
exemplo 3 (σ = 114.6 MPa), temos:
m mx N6 10 3
mm
x N
. / .
/
L
E
m
m
114 500
207 10
1 93
6 2
9 2
A barra sofreu deformação de 1,93 mm.
1.3.3 Tensão de cisalhamento direta
Quando uma tesoura corta um papel, ela faz uma força de baixo para 
cima e de cima para baixo. A tensão de cisalhamento direta ocorre quando 
há a tendência de cortar o elemento. O método para calcular a tensão de 
cisalhamento é semelhante ao de cálculo das tensões diretas de tração e 
compressão, porém o tipo de tensão é de cisalhamento, e não normal.
A tensão de cisalhamento é representada pela letra grega Tau (τ), e a 
equação de cálculo é:
� � � F
A
Onde: τ = tensão de cisalhamento
 F = força de cisalhamento
 A = área no cisalhamento
Presumiremos que essa tensão de cisalhamento seja distribuída de 
maneira uniforme transversalmente à área de cisalhamento, mas o nome 
mais adequado dela é cisalhamento médio.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 25_Livro_Elementos de Máquinas.indb 25 20/05/2022 14:08:3220/05/2022 14:08:32
Elementos de Máquinas
– 26 –
Exemplo 5
Um eixo está fixado por uma chaveta em um cubo de uma roldana 
que está ligada a outra semelhante por uma correia. Na Figura 1.10, (a) 
mostra a vista da roldana, enquanto (b) mostra a vista ampliada do cubo 
e do eixo. A força F é transmitida do eixo para o cubo da roldana através 
de uma chaveta quadrada. O eixo tem diâmetro de 3 polegadas e transmite 
um torque de 15.000lb.pol. A chaveta tem lado de 0,5 polegada e com-
primento de 1,75 polegada. Calcule a força sobre a chaveta e a tensão de 
cisalhamento causada por essa força.
Figura 1.10 – Roldana, eixo, cubo e chaveta
Fonte: elaborada pela autora.
Solução:
Dados:
 2 torque (T = 15.000 lb.pol)
 2 dimensões da chaveta (0,5 x 0,5 x 1,75 pol)
 2 diâmetro do eixo (D = 3 pol)
 2 raio do eixo (r = D/2 = 3/2 = 1,5 pol)
O torque é T = F x r, então:
F T
r
lb pol
pol
lb� � �.15 000
1 5
10 000
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 26_Livro_Elementos de Máquinas.indb 26 20/05/2022 14:08:3220/05/2022 14:08:32
– 27 –
Introdução aos elementos de máquinas 
A área da chaveta é o lado vezes o comprimento; logo:
A x pol� �0 5 1 75 0 875 2, ,
Com os dados da força e da área, temos como calcular a tensão de 
cisalhamento, dada por:
lblb . ,F
A pol
pol10 000
0 875
11 428 52
2
Essa tensão de cisalhamento ( 5 �� lb. ,11 428 pol ) será uniforme em 
todas as partes da secção transversal da chaveta.
1.3.4 Tensões normais para vigas em flexão
A viga é um elemento que carrega cargas transversais a seu eixo. Para o 
cálculo de tensões normais em vigas, devemos considerar as seguintes hipóteses:
 2 a viga está submetida à flexão pura;
 2 o material é homogêneo e isotrópico;
 2 o material obedece à lei de Hooke;
 2 a viga é reta e tem seção transversal constante ao longo do comprimento;
 2 a viga tem um eixo de simetria no plano de flexão;
 2 seções planas da viga permanecem planas durante a flexão.
A flexão máxima na viga ocorrerá no ponto mais distante do eixo neutro 
da seção. Para o cálculo dessa flexão máxima, utilizamos a seguinte equação:
�máx
Mc
I
�
Onde: M = momento fletor na secção
 c = distância do eixo central da extremidade do elemento
I = momento de inércia da seção transversal em relação 
ao eixo neutro
Para um projeto, é conveniente encontrar o módulo da secção (em 
alguns livros chamado de Z e em outros, de S), onde:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 27_Livro_Elementos de Máquinas.indb 27 20/05/2022 14:08:3320/05/2022 14:08:33
Elementos de Máquinas
– 28 –
S ou Z I
c
� � �=
A equação da flexão máxima pode ser escrita como:
�máx
M
S ou Z
�
� �
Em muitos casos, é dada a flexão máxima e solicitado o módulo da 
secção; dessa forma, temos:
S ou Z M
máx
� � ��
�
Exemplo 6
A Figura 1.11 apresenta uma viga com um tubo no centro. A carga 
decorrente do tubo é de 54 kN. As distâncias a e b são 1,2 e 1,5 metro, res-
pectivamente. Determine o módulo da seção exigida para a viga, sabendo 
que a tensão decorrente da flexão é de 200 MPa.
Figura 1.11 – Viga com tubo
Fonte: elaborada pela autora.
Solução:
Dados:
 2 F = 54 kN = 54.000 N
 2 a = 1,2 m = 1.200 mm
 2 b = 1,5 m = 1.500 mm
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 28_Livro_Elementos de Máquinas.indb 28 20/05/2022 14:08:3520/05/2022 14:08:35
– 29 –
Introdução aos elementos de máquinas 
	2 σmáx = 200
 2 MPa = 200 N/mm2
O momento fletor máximo é definido por:
N mM R a Fba
a b
N mm mm
máx
. .
1
54 000 1200 1500
1200 1500
336 000 000. . m
Com esse valor, calculamos o módulo da secção, onde:
S M N mm
N mm
mm m36 000 000
200
180 000 0 182
3 2. .
Caso seja necessário especificar a viga, devemos procurar em tabelas que 
apresentem o módulo da secção e escolher o valor mais próximo, para maior.
O vídeo “Tensão Admissível e Fator de Segurança | Resistência 
dos Materiais | Aula 10” mostra como utilizar o coeficiente de 
segurança em projetos relativos à resistência dos materiais.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=aIjjWlSyeu4>. 
Acesso em: 18 nov. 2021.
Atividades
1. Por que a etapa de apresentação é tão importante no desenvolvi-
mento de um projeto?
2. Uma barra redonda com 15 mm de diâmetro está sujeita a 
uma força de tração de 15.000 N. Calcule as tensões de tração 
diretas na barra.
3. Um material pode ser dúctil ou frágil. No ensaio de tração, 
como podemos reconhecer que um material é dúctil ou frágil 
apenas visualmente?
4. Uma barra redonda com 12 mm de diâmetro e 3.200 mm de 
comprimento está sujeita a uma força de tração de 14.000 N. A 
barra é feita de aço e tem módulo de elasticidade de 207 GPa. 
Nessas condições, calcule a deformação total.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 29_Livro_Elementos de Máquinas.indb 29 20/05/2022 14:08:3620/05/2022 14:08:36
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 30_Livro_Elementos de Máquinas.indb 30 20/05/2022 14:08:3620/05/2022 14:08:36
2
Elementos de 
transmissão de 
potência 
Você já percebeu que praticamente todas as máquinas e os 
equipamentos apresentam diversos elementos que compõem 
sua estrutura e ajudam em seu funcionamento? Os elementos de 
transmissão de potência são de grande importância nessa ques-
tão. De alguma forma, todos os elementos de máquinas devem 
estar sincronizados entre si, pois o funcionamento de um ele-
mento influencia, direta ou indiretamente, o de outro. Por exem-
plo, um equipamento movido por um motor elétrico ou por um 
motor de combustão interna que gera potência em forma de tor-
que motriz de rotação de um eixo, que vem acompanhado de 
outros elementos, como mancais, engrenagens, polias de correias 
e rodas dentadas de corrente.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 31_Livro_Elementos de Máquinas.indb 31 20/05/2022 14:08:3620/05/2022 14:08:36
Elementos de Máquinas
– 32 –
2.1 O que são os elementos de 
transmissão de potência
São os grandes elementos que formam as máquinas e podem ser 
de diversos tipos, como acoplamentos, freios, embreagens, redutores e 
motorredutores de velocidade, correias, polias, correntes, eixos, engrena-
gens e rolamentos.
2.1.1 Acoplamentos, freios e embreagens
Como o próprio nome diz, o acoplamento serve para acoplar ou unir 
diferentes elementos e é usualmente utilizado para conectar duas máqui-
nas. Sua funcionalidade está relacionada com a transmissão de energia/
movimento de uma máquina para outra, e a utilização desse elemento 
apresenta diversas vantagens, como redução de vibrações, de desalinha-
mentos e de choques (NORTON, 2013).
Nessa mesma categoria estão os freios e as embreagens, que, por 
terem similaridades, são tratados no mesmo grupo. A principal diferença 
dos freios e das embreagens para o acoplamento é que naqueles há a jun-
ção das partes apenas quando acionados e os acoplamentos, em sua maio-
ria, mantêm-se unidos às partes durante todo o funcionamento.
A Figura 2.1 mostra um acoplamento realizando a ligação entre 
diferentes sistemas.
Figura 2.1 – Acoplamento de uma bomba centrífuga
Fonte: Stock.adobe.com/alexlmx
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 32_Livro_Elementos de Máquinas.indb 32 20/05/2022 14:08:3820/05/2022 14:08:38
– 33 –
Elementos de transmissão de potência 
2.1.2 Redutores e motorredutores de velocidade
Redutores são responsáveis por reduzir a velocidade de um ele-
mento acionador; dessa forma, a saída final (torque) é aumentada para 
que a potência seja transmitida. Além disso, os redutores de velocidade 
têm influência na modificação da força da máquina. Em contrapartida, os 
motorredutores são sistemas mecânicos com uma engrenagem para reali-
zar a redução de potência. Uma grande aplicação dos motorredutores é em 
sistemas que necessitam de movimentação rotativa com elevado torque 
(COLLINS; BUSBY; STAAB, 2019). A Figura 2.2 apresenta um motorre-
dutor para conhecimento visual.
Figura 2.2 – Redutor de velocidade
Fonte: Stock.adobe.com/westermak15
2.1.3 Polias e correias
As polias assumem o formato circular e se acoplam aos eixos moto-
res, movidas por máquinas e normalmente utilizadas para transferir ener-
gia de movimento. Outro ponto importante a se destacar é que as polias 
vêm acompanhadas de outro elemento essencial para seu funcionamento: 
as correias (MOTT, 2015).
Uma das principais funções das correias é realizar a estabilização 
de sistemas mecânicos, ajudando a manter o sincronismo de rotação das 
diferentes peças envolvidas (MOTT, 2015). Uma importante função das 
correias éa transmissão de força entre engrenagens ou entre polias. Uma 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 33_Livro_Elementos de Máquinas.indb 33 20/05/2022 14:08:3820/05/2022 14:08:38
Elementos de Máquinas
– 34 –
das aplicações mais conhecidas de polias e correias é no motor de veículos 
(Figura 2.3).
Figura 2.3 – Motor veicular com polia e correia
Fonte: Stock.adobe.com/goce risteski
2.1.4 Correntes
As correntes se assemelham às correias em relação à funcionalidade 
e ao encaixe, contudo apresentam maior precisão e são mais adequadas/
recomendadas quando se trabalha com engrenagens ou rodas dentadas. 
Sua transmissão pode ser realizada tanto em sentido horário quanto anti-
-horário (COLLINS; BUSBY; STAAB, 2019). Um bom exemplo de apli-
cação de correntes é em bicicletas (Figura 2.4).
Figura 2.4 – Aplicação de corrente
Fonte: Stock.adobe.com/Nomad_Soul
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 34_Livro_Elementos de Máquinas.indb 34 20/05/2022 14:08:4020/05/2022 14:08:40
– 35 –
Elementos de transmissão de potência 
2.1.5 Eixos
Eixos mecânicos são fundamentais para a rotação e a transmissão de 
movimento entre diferentes elementos, sendo normalmente fabricados de 
ferro fundido maciço no formato de cilindro. Sua principal função é atuar 
na passagem de energia rotativa entre máquinas. Alguns elementos, como 
rolamentos e acoplamentos, devem ser adquiridos com base no diâmetro 
do eixo, por isso é importante conhecer todos os elementos de máquinas 
envolvidos no projeto (NORTON, 2013).
2.1.6 Engrenagens
Esse elemento de máquina é provavelmente um dos mais conhecidos. 
São componentes rígidos que transmitem energia de forma contínua, uti-
lizados na geração e no controle de potência em um sistema de máquinas. 
Diversos são os tipos de engrenagem existentes, podendo variar em tama-
nho, número e formato de dentes (NORTON, 2013); os mais conhecidos 
são cilíndricos de dentes retos, cilíndricos de dentes helicoidais e cônicos. 
As engrenagens podem ser encontradas de grandes máquinas até peque-
nos mecanismos, como o de um relógio (Figura 2.5).
Figura 2.5 – Engrenagens de um relógio
Fonte: Stock.adobe.com/Denis Tabler
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 35_Livro_Elementos de Máquinas.indb 35 20/05/2022 14:08:4120/05/2022 14:08:41
Elementos de Máquinas
– 36 –
2.1.7 Rolamentos
Esse elemento apresenta como principais funcionalidades o apoio ao 
movimento e o suporte de carga, fazendo parte dos chamados elementos 
de apoio. Seu encaixe acontece no eixo do motor, mas existem diferentes 
tipos de rolamento que devem ser aplicados de acordo com as condições 
de trabalho. Várias são as classificações de rolamento para as mais diver-
sas aplicações, podendo atuar em ambientes severos (MOTT, 2015). Além 
disso, sua forma construtiva pode assumir diferentes formas, como rola-
mentos de esfera, de rolo e de agulha.
Figura 2.6 – Rolamentos
Fonte: Stock.adobe.com/blacklionder
Além dos elementos de potência, existem os elásticos (molas), os de 
fixação (parafusos, rebites e soldas) e os de apoio (rolamentos e mancais 
de deslizamento). Os elásticos são representados pelas molas, que têm a 
função de armazenar energia e absorver ou amortecer choques e vibrações 
(DE FRANCESCHI; ANTONELLO, 2014). Sabe aquele brinquedo com 
um palhaço que pula de dentro de uma caixa? Quando se comprime a 
mola e se coloca o palhaço na caixa, é exercida uma força sobre a mola, 
fornecendo potência para ela. Quando a tampa é aberta, a força da mola 
faz o palhaço ser lançado para fora da caixa, e é nisso que está a graça da 
brincadeira (MOTT, 2015).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 36_Livro_Elementos de Máquinas.indb 36 20/05/2022 14:08:4320/05/2022 14:08:43
– 37 –
Elementos de transmissão de potência 
As molas podem ser de compressão, de tração ou de torção. As de 
compressão têm espiras que, quando comprimidas, deixam o espaço entre 
elas reduzido. As de tração, além das espiras, têm olhais para que possam 
exercer sua função, ou seja, para que possam ser esticadas (tracionadas). 
Já as de torção, além das espiras, têm braços de alavanca, pois é por meio 
deles que é possível a aplicação da torção.
Quando falamos de fixação, precisamos pensar: o que vai ser fixado 
precisa ser solto em algum momento? A fixação deve ser permanente ou 
móvel? Mas o que é uma fixação permanente? Estamos falando de soldas 
e rebites onde dois metais são unidos de forma permanente. A eliminação 
da fixação causa a destruição da peça ou da união (DE FRANCESCHI; 
ANTONELLO, 2014). Em algumas aplicações, isso é até interessante, 
mas, em outros tipos, é preciso pensar em separar os componentes sem 
destruir as peças. Para isso existe a fixação móvel com parafusos e porcas.
Outro ponto que deve ser observado é que “No projeto de máquinas, 
a maioria dos elementos de fixação é feita de aço por causa da alta resis-
tência, da rigidez elevada e da boa ductilidade, usinabilidade e maleabili-
dade.” (MOTT, 2015, p. 732).
Os elementos de apoio são mancais, buchas e guias. Os mancais 
podem ser de deslizamento ou de rolamento.
Nos de deslizamento, as partes envolvidas estão em contato direto 
uma com a outra, então, para reduzir o atrito entre elas, a lubrificação é 
fundamental. O estudo da lubrificação abrange conhecimentos de química, 
termodinâmica, transferência de calor e mecânica dos fluidos (BUDY-
NAS; NISBETT, 2016). Já os mancais de rolamento são utilizados para 
permitir o movimento relativo entre dois elementos, além de sustentar 
uma carga. Seus elementos rolantes podem ser esferas, cilindros ou roletes 
cônicos (MOTT, 2015).
2.2 Cargas variáveis e fadiga
Um dos grandes desafios do projeto de máquinas, equipamentos e 
componentes é realizar o correto dimensionamento para que suportem 
todas as cargas aplicadas. As cargas consideradas nos ensaios de tração 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 37_Livro_Elementos de Máquinas.indb 37 20/05/2022 14:08:4320/05/2022 14:08:43
Elementos de Máquinas
– 38 –
e compressão são chamadas de cargas estáticas, mas, na maioria das 
vezes, as máquinas e os componentes estão sujeitos a cargas dinâmicas, 
que vão e vem durante um intervalo de tempo e são chamadas de cargas 
variáveis ou de fadiga.
Você já deve ter ouvido falar em fadiga relacionada ao cansaço. Pode-
mos fazer uma analogia quanto às cargas variáveis, como se o componente 
ficasse “cansado” de tanto sofrer os efeitos de vai e vem, mas é claro que 
os conceitos vão bem além disso.
Por volta de 1800, os eixos de um vagão ferroviário começaram a 
falhar após um pequeno período em serviço. Apesar de serem feitos de 
aço dúctil, eles exibiam características de fraturas frágeis e repentinas. 
William John Macquorn Rankine (1820-1872) publicou um artigo em 
1843 chamado “As causas da ruptura inesperada de munhões de eixos 
ferroviários” no qual afirmava que o material havia “cristalizado” e se 
tornado frágil devido às tensões flutuantes. Os eixos haviam sido bem 
projetados para a época, o que gerou um grande mistério. Cargas dinâ-
micas eram, portanto, um fenômeno novo, resultantes da introdução das 
máquinas movidas a vapor (ABRAHÃO, 2008).
A primeira investigação científica foi realizada pelo engenheiro 
August Wöhler (1819-1914) com testes feitos por 12 anos em laboratório 
com eixos até a falha sob carregamento alternado. Em 1870, ele publicou 
as descobertas que identificavam o número de ciclos de tensão variando 
no tempo como os causadores da falha e a existência de uma tensão limite 
de resistência à fadiga para aços.
Dessa forma, a chamada curva de Wöhler é um gráfico log-log que rela-
ciona o ciclo de vida (N) com a resistência à fadiga (S). Esses dados foram 
obtidos de forma experimental, indicando que alguns metais ferrosos têm um 
limite de resistência à fadiga enquanto outros materiais não têm limite.
2.2.1 Fases da falha por fadiga
A fadiga ocorre, basicamente, em três fases:
1. nucleação da trinca;
2. formação de linhas de praia;
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 38_Livro_Elementosde Máquinas.indb 38 20/05/2022 14:08:4320/05/2022 14:08:43
– 39 –
Elementos de transmissão de potência 
3. ruptura frágil e brusca.
Inicialmente, é formada uma pequena fissura na peça, a qual nem 
sempre é detectada a olho nu. Com o aumento da concentração de tensão, 
vão se formando linhas concêntricas em torno da fissura inicial, e por fim 
a peça não resiste e sofre uma fratura frágil e repentina que a faz se partir. 
A Figura 2.7 é uma representação esquemática de um eixo em corte com 
as fases da fadiga.
Figura 2.7 – Fases da falha por fadiga
Fonte: elaborada pela autora.
2.2.2 Critérios de projeto para fadiga
O projeto, quando leva em conta a fadiga, tem alguns métodos de 
cálculo para determinar a vida do material (ROSA, 2002):
 2 projeto para vida infinita – é o enfoque mais clássico da análise 
de fadiga e deve ser usado quando as tensões atuantes estiverem 
suficientemente abaixo da tensão limite de fadiga (exemplos: 
eixos de motores, molas de válvulas de motor de combustão e 
engrenagens industriais);
 2 projeto para vida finita – quando o carregamento cíclico é 
imprevisível ou inconstante, o uso de cargas máximas faz o 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 39_Livro_Elementos de Máquinas.indb 39 20/05/2022 14:08:4320/05/2022 14:08:43
Elementos de Máquinas
– 40 –
elemento ficar superdimensionado, então, nesses casos, uti-
liza-se o projeto de vida finita por meio dos métodos tensão-
-vida (σ-N) ou deformação-vida (ε-N) (exemplos: mancais de 
rolamento, reservatórios pressurizados, componentes automo-
bilísticos e motores a reação);
 2 projeto para falha em segurança – foi desenvolvido pela indústria 
aeronáutica porque a falha em uma aeronave pode ser catastró-
fica, então o projeto não tolera altos coeficientes de segurança, 
o que poderia aumentar o peso do material, por isso é preciso 
prever bloqueadores de propagação das trincas para que o ele-
mento não chegue ao rompimento (exemplos: fuselagens e asas 
de avião, pontes e cascos de navio);
 2 projeto com tolerância ao dano – melhoria do projeto para falha 
em segurança, que, por meio da engenharia da fratura, analisa o 
material para que a fissura não cresça e não ocorra a falha por 
fadiga; é utilizado em materiais com baixa velocidade de propa-
gação de trinca e com alta tenacidade (exemplos: fuselagens e 
asas de avião, reservatórios, tubulações e oleodutos).
2.2.3 Cálculo para vida finita
No cálculo para vida finita, considera-se que os valores da ten-
são alternante aplicada contra o número de ciclos da vida podem ser 
tão curtos como 10 ciclos ou tão longos como 109 ciclos, e a escala 
usada é normalmente logarítmica, ao menos no eixo horizontal. Os 
resultados mostram que uma estimativa bastante razoável da curva 
σ-N para os aços forjados sob flexão rotativa é considerar uma reta 
em coordenadas logarítmicas, ligando os pontos 0 8, .σ R em 103 ciclos 
e 0 5, .σ R em 106 ciclos. Isso implica uma tensão limite de fadiga (σF) 
de 0 5, .σ R , obtida a partir de 106 ciclos, o que é uma aproximação con-
servativa, considerando que a faixa de pontos experimentais se situa 
acima da curva assim prevista.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 40_Livro_Elementos de Máquinas.indb 40 20/05/2022 14:08:4520/05/2022 14:08:45
– 41 –
Elementos de transmissão de potência 
Figura 2.8 – Gráfico de vida finita (log-log)
Fonte: elaborada pela autora.
As curvas σN citadas são tratadas como lineares quando em coorde-
nadas logarítmicas. Esse fato leva à possibilidade de se obter uma equação 
que represente exatamente a estimativa da curva σN considerada, que será, 
no caso, a equação de uma reta em coordenadas logarítmicas. Esta pode 
ser posta sempre na forma da equação, sendo, no entanto, válida apenas 
dentro do intervalo de 103 a 106 ciclos, que é o campo de validade da apro-
ximação da curva σN que corresponde ao intervalo de vida finita:
� F
c mxN�10
c log N
F
�
� ��
�
2
m log N
F
1
3
Onde: σN = tensão alternante
	 	 σF = tensão limite de fadiga de um corpo de prova
 N = número de ciclos
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 41_Livro_Elementos de Máquinas.indb 41 20/05/2022 14:08:4720/05/2022 14:08:47
Elementos de Máquinas
– 42 –
 c = constante dependente de σN e σF
 m = constante dependente de σN e σF
Vamos ver alguns exemplos de aplicação?
Exemplo 1
Estime a curva σ-N para a flexão rotativa do aço SAE-4340, cuja 
resistência à tração é de 1200 MPa.
Solução:
Para flexão a rotativa, fazemos:
� �N R� 0 8, .
Onde: σR = 1200 MPa
Então a tensão alternante é dada por:
N x MPa0 8 1200 960
E a tensão limite da fadiga é encontrada por:
F R x MPa0 5 0 5 1200 600, .
Para construirmos o gráfico (Figura 2.9), temos os pontos (103; 960 
MPa) e (106; 600 MPa).
Figura 2.9 – Gráfico do exemplo 1
Fonte: elaborada pela autora.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 42_Livro_Elementos de Máquinas.indb 42 20/05/2022 14:08:4820/05/2022 14:08:48
– 43 –
Elementos de transmissão de potência 
Exemplo 2
Para o aço SAE-4340, determine a resistência à fadiga de um corpo de 
prova correspondente a uma vida de 50 x 103 ciclos de tensões alternadas.
Solução:
Dados: σN = 960 MPa
		 σF = 600 MPa
 N = 50 x 103 ciclos
Para determinar o limite de tensão de fadiga de um corpo de prova, 
utilizamos a equação:
� F
c mxN�10
E precisamos encontrar os valores de C e m:
c log N
F
�
� ��
�
2
c log�
� �
�
960
600
3 186
2
,
m log N
F
1
3
m log1
3
960
600
0 068
Substituindo na equação, temos:
� F x�
�
10 50 000
3 186 0 068, ,
( . )
F x1534 6 0 479
MPaF � 735 3,
Exemplo 3
Qual é a resistência à fadiga de um corpo de prova rotativo feito 
de aço (σR = 520 MPa) correspondente a uma vida de 75 x 104 ciclos 
de tensões alternadas?
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 43_Livro_Elementos de Máquinas.indb 43 20/05/2022 14:08:5220/05/2022 14:08:52
Elementos de Máquinas
– 44 –
Solução:
σR = 520 MPa é a resistência à tração. A partir desse valor, encontra-
mos a tensão alternante e a tensão de limite à fadiga, onde:
� �N R� 0 8, .
E:
N x MPa MPa0 8 520 416
E a tensão de limite à fadiga por:
F R x MPa0 5 0 5 520 260, .
Com esses valores, encontramos a resistência à fadiga de um corpo 
de prova a uma vida de 750.000 ciclos:
� F
c mxN�10
E precisamos encontrar os valores de C e m:
c log N
F
�
� ��
�
2
c log�
� �
�
416
260
2 82
2
,
m log N
F
1
3
m log1
3
416
260
0 068
Substituindo na equação, temos:
� F x�
�
10 750 000
2 82 0 068, ,
( . )
F x660 69 0 598
MPaF � 263 3,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 44_Livro_Elementos de Máquinas.indb 44 20/05/2022 14:08:5720/05/2022 14:08:57
– 45 –
Elementos de transmissão de potência 
Esses cálculos são válidos apenas para corpos de prova que estão 
sujeitos a cargas cíclicas com amplitudes constantes. Para peças mecâni-
cas reais, existem vários aspectos que influenciam os resultados obtidos 
com os corpos de prova, como:
 2 acabamento superficial;
 2 tamanho;
 2 confiabilidade;
 2 temperatura;
 2 geometria;
 2 carga.
Para cada um desses parâmetros existem tabelas e gráficos que devem 
ser consultados para a determinação do fator de modificação. Esses fatores são 
nomeados por k e um coeficiente. O limite de resistência à fadiga da peça será:
� �F i Fk k k k k' . . . .� �1 2 3 4
Onde: k1,k2 … ki são os fatores de correção do limite de fadiga
	 	 σF’ = tensão limite de fadiga da peça
	 	 σF = tensão limite de fadiga do corpo de prova
Não veremos com detalhes todos os fatores de correção, pois envol-
vem muitas tabelas e gráficos.
2.3 Concentração de tensões
Vimos que a geometria das peças altera a resistência à fadiga, mas 
você sabe por quê? Os corpos de prova são peças com geometria simétrica 
e sem mudanças de dimensão. As peças reais têm rasgos, rebaixos e ele-
vados, e todas essas mudanças de geometria são necessárias para o correto 
funcionamento do elemento. Imagine um eixo árvore em que são conecta-
das engrenagens de vários tamanhos. Imagine também uma corrente den-tada conectada a várias rodas dentadas, e assim por diante (MOTT, 2015).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 45_Livro_Elementos de Máquinas.indb 45 20/05/2022 14:08:5820/05/2022 14:08:58
Elementos de Máquinas
– 46 –
Qualquer descontinuidade na peça altera a distribuição de tensão em 
volta dela. A essas descontinuidades é dado o nome de concentração de 
tensões (BUDYNAS; NISBETT, 2016), as quais causam a tensão verda-
deira na peça, que será superior aos valores encontrados com as equações 
simples. Para definir quais desses valores são verdadeiros, são utilizados 
fatores de concentração de tensão, chamados de ki:
� �máx nomki� . e � �máx nomki� .
O valor de ki vai depender da geometria, do tipo da descontinuidade 
e do tipo de tensão.
A aplicação da concentração de tensões é recomendada nos seguintes 
casos (MOTT, 2015):
 2 materiais frágeis, pois tensões elevadas podem levar à fratura;
 2 a flexão de um elemento sujeito à tração tende a provocar tensões 
locais muito altas, o que pode provocar aumento de trincas e des-
continuidades superficiais, levando o elemento à ruptura por fadiga;
 2 a concentração de tensão é mais elevada nas regiões em que há 
mudança abrupta de geometria, por isso os projetistas buscam 
evitar cantos vivos, por exemplo.
Os fatores de concentração de tensões são apresentados, geralmente, 
em forma de gráficos que levam em consideração alguns parâmetros de 
geometria, como as relações entre diâmetros, larguras e raios de filete. O 
fator ki está representado no eixo vertical enquanto o outro parâmetro está 
representado no eixo horizontal.
Segundo Mott (2015), há quatro tipos gerais de gráficos de concen-
tração de tensões, e algumas considerações devem ser feitas a respeito de 
cada um deles:
1. placa plana em degraus em tensão – leva em consideração a lar-
gura maior (w), a largura menor (t) e o raio do filete. É apresen-
tada como uma família de curvas que relaciona as razões ( t
w
) 
com ( r
t
), conforme mostra a Figura 2.10.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 46_Livro_Elementos de Máquinas.indb 46 20/05/2022 14:09:0020/05/2022 14:09:00
– 47 –
Elementos de transmissão de potência 
Figura 2.10 – Gráfico de placa plana em degraus em tensão
Fonte: Atlan Coelho.
2. barra circular em flexão – leva em consideração o diâmetro maio 
maior (D), o diâmetro menor (d) e o raio do filete. É apresentada 
como uma família de curvas que relaciona as razões ( D
d
) com ( r
d
), 
conforme mostra a Figura 2.11.
Figura 2.11 – Gráfico da barra circular em flexão
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 47_Livro_Elementos de Máquinas.indb 47 20/05/2022 14:09:0120/05/2022 14:09:01
Elementos de Máquinas
– 48 –
3. barra circular em torção com um orifício central – o eixo horizon-
tal é a razão entre o diâmetro do orifício (d) e o diâmetro da barra 
(D) e o eixo vertical do fator ki, como mostra a Figura 2.12.
Figura 2.12 – Gráfico da barra circular em torção com um orifício central
Fonte: Atlan Coelho.
1. placa plana em tensão com um orifício central – o eixo horizontal 
é a razão entre o diâmetro do orifício (d) e a largura da placa (w). 
A espessura da placa é chamada de (t) e a área da rede é dada por:
A w d t–
A Figura 2.13 mostra o gráfico dessa condição.
Figura 2.13 – Gráfico da placa plana em tensão com um orifício central
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 48_Livro_Elementos de Máquinas.indb 48 20/05/2022 14:09:0120/05/2022 14:09:01
– 49 –
Elementos de transmissão de potência 
Os dados apresentados nos gráficos são aproximados, e o uso para 
projetos finais não é aconselhável, mas podem ser aplicados para cálculos 
teóricos aproximados, que são nosso objetivo.
Exemplo 4
Calcule a tensão máxima em uma placa plana em tensão submetida à 
tração axial de 9000 N cujas dimensões estão apresentadas na Figura 2.14.
Figura 2.14 – Placa plana sob tensão de tração axial
Fonte: Atlan Coelho.
Solução:
O primeiro passo é achar o valor do fator de concentração de tensão. 
A condição dada é de placa plana em degraus em tensão.
Dados: w = 10,0 mm
 t = 8,0 mm
 r = 1,5 mm
 b = 6,0 mm
Para encontrarmos o valor, utilizaremos o gráfico da Figura 2.10, no 
qual na lateral direita está a família de curvas com as relações ( t
w
) e no 
eixo horizontal a relação ( r
t
), então calculamos:
t
w
= =
8 0
10 0
0 8
,
,
,
r
t
= =
1 5
8 0
0 187
,
,
,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 49_Livro_Elementos de Máquinas.indb 49 20/05/2022 14:09:0420/05/2022 14:09:04
Elementos de Máquinas
– 50 –
Entramos com esses valores no gráfico, conforme a Figura 2.15. 
Observe que o valor t
w
= 0 8, não faz parte do gráfico, então fazemos uma 
interpolação. Com esse valor e o valor r
t
, encontramos o valor aproxi-
mado de k =1 85, .
Figura 2.15 – Gráfico com resolução do exemplo 1
Fonte: Atlan Coelho.
Agora calculamos a área para a seção pequena, cuja largura é de 8,0 mm:
A t b mm mm mm. ,8 0 6 0 48
Calculamos a tensão nominal por:
nom
F
A
N
mm
N
mm
MPa9000
48
187 5 187 52 2, ,
Para acharmos a tensão máxima, multiplicamos a tensão nominal 
pelo coeficiente de concentração de tensão:
máx nomki MPa MPa. , . ,1 85 187 5 346 8
A máxima tensão ocorre justamente no filete, tanto na parte supe-
rior quanto na inferior. Quanto menor for o raio do filete, maior será a 
concentração de tensão.
Exemplo 5
Uma barra tem espessura de 2 mm, largura maior de 40 mm, largura 
menor de 34 mm e raio de filete entre as larguras de 1 mm. Essa barra 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 50_Livro_Elementos de Máquinas.indb 50 20/05/2022 14:09:0720/05/2022 14:09:07
– 51 –
Elementos de transmissão de potência 
está carregada axialmente com uma força constante de 10 kN. Deseja-se 
executar um furo de 4 mm no centro da área de largura maior para passar 
um cabo, porém há disponível uma broca de 8 mm. Uma fissura é mais 
provável no orifício menor ou maior?
Solução:
Como a barra tem espessura de 2 mm, consideraremos como uma 
placa e utilizaremos a condição de placa plana em tensão com um orifício 
central. Usaremos as duas situações: furo com d = 4,0 mm e d = 8,0 mm.
Começamos encontrando os fatores de concentração de tensão de 
ambos os furos. O gráfico da Figura 2.16 apresenta o fator para o furo de 
4,0 mm em azul e o fator para o furo de 8,0 mm em vermelho.
Para furo de 4,0 mm:
d
w
� � ,4
40
0 1
Para furo de 8,0 mm:
d
w
= =
8
40
0 2,
Figura 2.16 – Gráfico com resolução do exemplo 2
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 51_Livro_Elementos de Máquinas.indb 51 20/05/2022 14:09:0820/05/2022 14:09:08
Elementos de Máquinas
– 52 –
Agora calculamos a tensão nominal para os diâmetros de 4,0 e 
8,0 mm, onde:
Para 4,0 mm: A w d t� �� �.
A mm40 4 2 36 2 72 2. .
o
F
A
N
mm
N
mm
10 000
72
138 888 1392 2
Para 8,0 mm:
� �� �w d t.
A mm40 8 2 32 2 64 2. .
o
F
A
N
mm
N mm10 000
64
156 252
2/
Utilizando os valores dos fatores de concentração de tensão e das 
tensões nominais, encontramos a tensão máxima:
Para 4,0 mm:
máx oki x N mm. , /2 5 139 347 5
2
Para 8,0 mm:
máx oki x N mm. , , ,2 3 156 25 359 375
2
Isso indica que uma fissura provável ocorrerá no furo com 8,0 mm de diâ-
metro, apesar de a concentração de tensões ser maior quando o furo tem 4,0 mm 
de diâmetro. A tensão nominal cresce quando o furo tem 8,0 mm de diâmetro.
Atividades
1. Quais são as principais diferenças e semelhanças entre acopla-
mentos, freios e embreagens?
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 52_Livro_Elementos de Máquinas.indb 52 20/05/2022 14:09:1020/05/2022 14:09:10
– 53 –
Elementos de transmissão de potência 
2. Qual é a resistência à fadiga de um corpo de prova rotativo feito 
de aço (σR = 760 MPa) correspondente a uma vida de 60 x 104 
ciclos de tensões alternadas?
3. Explique, com suas palavras, as fases da falha por fadiga:
4. Calcule a tensão máxima em uma placa plana em tensão subme-
tida à tração axial de 8500 N cujas dimensões são:2 espessura da placa = 5 mm
 2 largura maior = 15 mm
 2 largura menor = 11,4 mm
 2 raio do filete = 1,4 mm
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 53_Livro_Elementos de Máquinas.indb 53 20/05/2022 14:09:1020/05/2022 14:09:10
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 54_Livro_Elementos de Máquinas.indb 54 20/05/2022 14:09:1020/05/2022 14:09:10
3
Transmissão 
por correias
Certo dia, alguém estava circulando tranquilamente com seu 
carro quando ele subitamente parou. A pessoa abriu o capô do veí-
culo e se deu conta de que a correia do motor estava solta. Essa é 
uma história fictícia, mas, se a manutenção adequada não for feita, 
as correias podem se romper e causar grandes prejuízos. Neste 
capítulo, conheceremos um pouco mais do elemento de máquina 
correia, mas antes veremos alguns conceitos importantes.
Para dimensionar as correias, é preciso fazer alguns cálculos, 
porém, para chegar aos cálculos específicos para cada tipo de ele-
mento de máquina é necessário entender alguns conceitos funda-
mentais, como o movimento circular e a torção, pois quase todas 
as máquinas e equipamentos sofrem uma ou ambas as solicitações.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 55_Livro_Elementos de Máquinas.indb 55 20/05/2022 14:09:1020/05/2022 14:09:10
Elementos de Máquinas
– 56 –
3.1 Movimento circular
O movimento circular é aquele em que uma partícula executa uma 
trajetória circular de raio r e tem determinado deslocamento angular em 
determinado tempo. Os parâmetros a serem considerados no movimento 
circular são: velocidade angular, período, frequência, rotação e velocidade 
tangencial (MELCONIAN, 2019). Vejamos cada um deles.
Consideremos uma partícula P que se desloca do ponto P1 em um 
tempo t1 para o ponto P2 em um tempo t2, conforme a Figura 3.1.
Figura 3.1 – Movimento circular
Fonte: adaptada de Melconian (2019, p. 11).
a) A velocidade angular é dada pela relação entre a variação angu-
lar e a variação do tempo:
�
�
�
�
�t
Onde: 𝜔 = velocidade angular (rad/s)
	 	 𝛥𝛗 = variação angular (rad)
	 	 𝛥t = variação do tempo (s)
b) O período é o tempo necessário para que a partícula complete 
uma volta no movimento circular. Sabe-se que o círculo tem 
perímetro de 2𝜋 rad, então o período é dado por:
T 2
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 56_Livro_Elementos de Máquinas.indb 56 20/05/2022 14:09:1120/05/2022 14:09:11
– 57 –
Transmissão por correias
Onde: T = período (segundos)
	 	 𝜋 = constante trigonométrica (3,1415…)
	 	 𝜔 = velocidade angular (rad/s)
c) A frequência é o inverso do período e representa o número 
de ciclos que a partícula descreve em um movimento circular 
durante 1 segundo e é dada por:
f
T
� �
1
2
�
�
Onde: f = frequência (Hz)
 T = período (s)
	 	 𝜔 = velocidade angular (rad/s)
	 	 𝜋 = constante trigonométrica (3,1415…)
d) a rotação é o número de ciclos que uma partícula em movimento 
circular faz em 1 minuto. Como a frequência é em segundos e a 
rotação em minutos, temos que:
60n f.�
Como:
f � �
�2
Então:
n .60
2
Reduzindo, temos:
n .30
Onde: n = rotações (rpm)
	 	 𝜔 = velocidade angular (rad/s)
	 	 𝜋 = constante trigonométrica (3,1415…)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 57_Livro_Elementos de Máquinas.indb 57 20/05/2022 14:09:1320/05/2022 14:09:13
Elementos de Máquinas
– 58 –
e) A velocidade tangencial é sempre tangente ao movimento; ela 
muda de direção a cada instante, mas seu módulo é constante. A 
Figura 3.2 apresenta a representação de velocidades tangenciais.
Figura 3.2 – Velocidade tangencial
Fonte: adaptada de Melconian (2019, p. 12).
A relação entre a velocidade tangencial e a velocidade angular está no 
raio do movimento circular:
v r
�
�
v r.
Isolando a velocidade angular:
.n
30
Substituindo a equação anterior:
v n r. .
30
Onde: v = velocidade tangencial (m/s)
 r = raio (m)
 n = rotação (rpm)
	 	 𝜋 = constante trigonométrica (3,1415…)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 58_Livro_Elementos de Máquinas.indb 58 20/05/2022 14:09:1420/05/2022 14:09:14
– 59 –
Transmissão por correias
Exemplo 1
Um motor elétrico tem rotação de 1800 rpm. Determine as seguintes 
características do motor (MELCONIAN, 2019):
a) velocidade angular
b) período
c) frequência
Solução:
a) velocidade angular (𝜔)
Dado: n = 1.800 rpm
Para acharmos a velocidade angular, usaremos a equação da rotação:
n .30
Substituindo os valores:
1800 30.
Isolando a velocidade angular:
�
�
�
1800
30
.
� � rad s60 /
b) período (T)
O período é definido por:
T 2
Substituindo a velocidade angular:
T .
.
2
60
Que resulta em:
T 1
30
�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 59_Livro_Elementos de Máquinas.indb 59 20/05/2022 14:09:1520/05/2022 14:09:15
Elementos de Máquinas
– 60 –
0� s0334,
c) frequência (f)
A frequência é o inverso do período, então:
f 11
30
�
30� Hz
Conhecendo as relações entre frequência, período, rotação e veloci-
dade angular, saberemos as relações de transmissão de correias. Na Figura 
3.3 são dadas as duas condições de transmissão por correia: redutora de 
velocidade e ampliadora de velocidade.
Figura 3.3 – Relação de transmissão por correias
Fonte: Atlan Coelho.
A relação de transmissão é dada por:
i d
d
f
f
n
n
M
M
T
T
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
Onde: i = relação de transmissão (adimensional)
As demais relações estão representadas na Tabela 3.1
Tabela 3.1 – Características das polias
Diâmetro (m) Velocidade angular (rad/s)
Frequência 
(Hz)
Rotação 
(rpm)
Torque 
(N.m)
Polia 1 d1 (menor) 𝜔1 f1 n1 MT1
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 60_Livro_Elementos de Máquinas.indb 60 20/05/2022 14:09:1520/05/2022 14:09:15
– 61 –
Transmissão por correias
Diâmetro (m) Velocidade angular (rad/s)
Frequência 
(Hz)
Rotação 
(rpm)
Torque 
(N.m)
Polia 2 d2 (maior) 𝜔2 f2 n2 MT2
Fonte: elaborada pela autora.
3.2 Torção
Você sabe quando uma peça está sob torção? O esforço de torção 
ocorre quando uma peça sofre um torque em uma extremidade e um con-
tratorque na extremidade oposta, como mostrado na Figura 3.4.
Figura 3.4 – Peça sob a ação de torção simples
Fonte: Atlan Coelho.
Para as transmissões mecânicas, algumas relações devem ser defini-
das, entre elas o torque (MT), a potência (P), a relação torque x potência 
e a força tangencial (FT). A Tabela 3.2 apresenta as referidas equações: o 
raio é representado por (r), a velocidade angular por (𝜔), a rotação por (n) 
e a velocidade tangencial por (vp).
Tabela 3.2 – Relações de torque, potência e força tangencial
Parâmetro Torque (MT) Potência (P) Torque x potência
Força tangencial 
(FT)
Equação M F rT T= . P F vT P.� M
P
nT
�
30
�
. F
M
r
P
v
P
rT
T
p
� � �
�.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 61_Livro_Elementos de Máquinas.indb 61 20/05/2022 14:09:1820/05/2022 14:09:18
Elementos de Máquinas
– 62 –
Parâmetro Torque (MT) Potência (P) Torque x potência
Força tangencial 
(FT)
Símbolo da 
unidade N.m
Nm/s = 
J/s = W N.m N
Unidade Newton-metro Watts Newton-metro Newton
Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo 2
A transmissão por correia representada na Figura 3.5 é acionada 
por um motor elétrico com potência P = 4,5 kW com rotação de 1.750 
rpm. Sabendo-se que a polia 1 é a polia motora do sistema, que a polia 
1 tem 100 mm de diâmetro e a polia 2 tem 250 mm de diâmetro, des-
prezando as perdas calcule o torque da polia 1 e a velocidade angular 
da polia 2 (MELCONIAN 2019).
Figura 3.5 – Transmissão por correia com polia motora e movida
Fonte: Atlan Coelho.
Solução:
O torque da polia 1 é calculado por:
M PT � �1
Onde: P = potência (4.500 W)
	 	 ω1 = velocidade angular da polia 1 (ω1 = 1.750 rpm)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 62_Livro_Elementos de Máquinas.indb 62 20/05/2022 14:09:1820/05/2022 14:09:18
– 63 –
Transmissão por correias
Transformando em rad/s:
w 1750
60
2 58 33. ,
Substituindo os valores:
MT , .
,4500
58 33
24 55� N.m
Para a velocidade angular da polia 2:
d1 = 100 mm
d2 = 250 mm
2
1
2
1
100
250
58 33 23 33d
d
rads. . , . /
Respostas: MT1 = 24,55 N.m e ω2 = 23,33π rad/s
3.3 Conceitos de correias
Quando falamos de transmissão por correia, qual é a aplicação que 
vem primeiro à mente? Eu penso logo no motor do carro. Mas por quê? 
Ele tem um sistema de transmissão por correia que interliga o motor, o 
alternador e a bomba d’água (Figura 3.6).
Figura 3.6 – Motor e correias
a) Foto do motor b) Sistema de transmissão
Fonte: Stock.adobe.com/THINK; Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 63_Livro_Elementos de Máquinas.indb 63 20/05/2022 14:09:2120/05/2022 14:09:21
Elementos de Máquinas
– 64 –
3.3.1 Principais tipos de correia e aplicações
Quando se compara a transmissão por correia com as transmissões 
por corrente ou por engrenagens, pode-se elencar algumas vantagens e 
desvantagens, como mostrado no Quadro 3.1.
Quadro 3.1 – Vantagens e desvantagens das correias
Vantagens Desvantagens
1 Pouco ruído 1 Maiores dimensões e maior força axial
2 Absorção e amortecimento de choques 2
Maior escorregamento na 
transmissão de força
3 Disposição simples 3 Alongamento da correia que aumenta com o tempo de uso
4 Utilização múltipla (cruzada, inclinada, vários eixos etc.) 4
Variação do alongamento com 
temperatura e umidade
5 Mais economia por conta da simplicidade 5
Variação do coeficiente de 
atrito com poeira, detritos, 
óleo e umidade
6 Desacoplamento fácil
7 Simples variação da relação de multiplicação
Fonte: elaborado pela autora.
Existem vários tipos de correia, como planas, em V, em duplo V, com 
ranhuras e dentadas (Figura 3.7).
Figura 3.7 – Tipos de correia
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 64_Livro_Elementos de Máquinas.indb 64 20/05/2022 14:09:2120/05/2022 14:09:21
– 65 –
Transmissão por correias
Fonte: Atlan Coelho.
As correias tipo dentadas e síncronas são utilizadas em polias com ranhu-
ras em V padrão. As correias em V industrial e a correia em V múltipla têm 
perfil em V, o que faz que a correia fique bem apertada dentro da ranhura da 
polia e que torques elevados sejam transmitidos sem a correia deslizar.
Vejamos algumas utilizações práticas:
 2 correia dentada – é muito utilizada nas transmissões veiculares, e 
sua grande vantagem é não ter deslizamento. Como desvantagem 
dessa aplicação está o fato de que a correia, por ser fabricada em 
borracha, está sujeita a perder a eficiência devido ao aquecimento;
Figura 3.8 – Aplicação de correia dentada
Fonte: Stock.adobe.com/Evgeny Korshenkov
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 65_Livro_Elementos de Máquinas.indb 65 20/05/2022 14:09:2220/05/2022 14:09:22
Elementos de Máquinas
– 66 –
 2 correia plana – tem ampla utilização, podendo ser usada 
também para transporte de cargas e esteiras de exercícios. 
A versatilidade desse tipo de correia está na possibilidade de 
emendá-la, o que torna possível seu uso em distâncias relati-
vamente longas. Outra vantagem é o uso como embreagem, 
já que permite deslizamento.
Figura 3.9 – Aplicação da correia plana
Fonte: Stock.adobe.com/olly
As correias trabalham em conjunto com as polias, que devem acompa-
nhar a geometria das correias. Por exemplo, a correia em V é muito utilizada 
na indústria e em aplicações veiculares, sendo padronizadas (Tabela 3.3).
Tabela 3.3 – Tipos padronizados de correia em V
Geometria 
da correia 
em V
Seção de 
correia
Largura 
(mm)
Espessura 
(mm)
Diâmetro 
mínimo de 
roldana (mm)
Intervalo de 
kW, uma ou 
mais correias
A 12 8,5 75 0,2 - 7,5
B 16 11 135 0,7 - 18,5
C 22 13 230 11 - 75
D 30 19 325 37 - 186
E 38 25 540 75 e acima
Fonte: adaptada de Budynas (2016).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 66_Livro_Elementos de Máquinas.indb 66 20/05/2022 14:09:2420/05/2022 14:09:24
– 67 –
Transmissão por correias
Atualmente, as correias planas são fabricadas com um núcleo elás-
tico impregnado com borracha e apresentam algumas vantagens sobre 
as transmissões por engrenagens ou por correias em V. Uma trans-
missão por correia em V pode chegar a 98% de eficiência, enquanto 
as transmissões por correia plana têm eficiência entre 70% e 96%. 
Outra vantagem das correias planas são o baixo ruído e a alta absorção 
das vibrações torcionais, sendo, nesse aspecto, mais eficientes que as 
transmissões por correia em V (MOTT, 2015).
Em geral, diferentes máquinas e elementos apresentam diferen-
tes valores de eficiência. Contudo, é possível generalizar a eficiência 
mecânica dos elementos de acordo com sua categoria, para poupar 
tempo e facilitar os cálculos.
Tabela 3.4 – Relação de rendimento com tipo de elemento de máquina
Elemento de máquina Rendimento
Correias
Correia plana 0,96 a 0,97
Correia em V 0,97 a 0,98
Engrenagens
Engrenagens fundidas 0,92 a 0,93
Engrenagens usinadas 0,96 a 0,98
Polias e correias 0,95 a 0,98
Mancais
Rolamento 0,98 a 0,99
Deslizamento 0,96 a 0,98
Corrente de rolo 0,97 a 0,98
Fonte: adaptada de Ceará (2011).
As informações apresentadas na Tabela 3.4 não são uma regra, então 
é possível realizar cálculos para determinar a eficiência mecânica de 
acordo com o sistema específico.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 67_Livro_Elementos de Máquinas.indb 67 20/05/2022 14:09:2420/05/2022 14:09:24
Elementos de Máquinas
– 68 –
3.4 Dimensionamento de 
transmissão por correias
As transmissões por correia mais utilizadas podem ser de correias 
planas ou em V. O dimensionamento da correia plana é um pouco mais 
simples que o da correia em V, como veremos.
3.4.1 Dimensionamento de correias planas
As correias planas podem trabalhar abertas ou cruzadas, e o dimen-
sionamento abrange os cálculos do ângulo de contato ou abraçamento (𝜃) 
e o comprimento total da correia (L). A Figura 3.10 apresenta as configu-
rações aberta e cruzada.
Figura 3.10 – Configurações das correias planas abertas e cruzadas
Fonte: Atlan Coelho.
Primeiro, analisaremos a configuração das correias abertas. Uma cor-
reia faz a ligação entre duas polias, uma de menor diâmetro (𝐷) e outra de 
maior diâmetro; além disso, cada polia apresenta uma velocidade tangen-
cial (v) e um número de rotações (N).
A relação que podemos realizar é:
v v v
1 2
= =
� �
1 1 2 2
. .r r�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 68_Livro_Elementos de Máquinas.indb 68 20/05/2022 14:09:2520/05/2022 14:09:25
– 69 –
Transmissão por correias
Sendo que ω é a velocidade angular e r é o raio das polias. Sabemos 
que a velocidade angular pode ser obtida pela equação:
�
�
�
� � �
2
2
1
2
2
1
1
2
.
.
N
N
D
D
N
N
Dessa forma e de acordo o princípio da conservação de energia:
P P P
1 2
= =
P N T N T� �2 2
1 1 2 2
. . . . . .� �
N
N
T
T
D
D
1
2
2
1
2
1
= =
Chegamos à equação de transmissão do mecanismo, também cha-
mada de relação de transmissão:
i N
N
D
D
= =1
2
2
1
Além desses cálculos básicos, há os ângulos 𝜃D, 𝜃d, dados por:
D sen
D d
C
2
2
1.
d sen
D d
C
2
2
1.
Onde: D = diâmetro da polia maior
 d = diâmetro da polia menor
 C = distância entre centros
	 	 𝜃 = ângulo de contato
O comprimento da correia é dado pela soma dos dois arcos mais duas 
vezes a distância entre centros (C):
L C D d D dD d. .4
1
2
2 2
1 2
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 69_Livro_Elementos de Máquinas.indb 69 20/05/2022 14:09:3020/05/2022 14:09:30
Elementos de Máquinas
– 70 –
Onde: 𝜃D= ângulo de contato da polia maior
	 	 𝜃d = ângulo de contato da polia menor
Caso os ângulos de contato não sejam conhecidos, outra forma de 
calcular o comprimento da correia é pela equação:
L l D D
D D
l
2 1 57
41 2
1 2
2
Onde: L = comprimento da correia (mm)
 D1 = diâmetro da polia maior (mm)
 D2 = diâmetro da polia menor (mm)
 l = distância entre centros das polias (mm)
Vamos a um exemplo?
Exemplo 3
Devemos determinar o comprimento de uma correia com base em 
duas polias predeterminadas por seu sistema, com distância entre centros 
igual a 600 mm. Para realizar essa tarefa, temos os seguintes dados: o 
diâmetro da polia menor é igual a 30 mm e o diâmetro da polia maior 
é igual a 60 mm. A rotaçãoda máquina ligada à menor polia é de 1.000 
rpm, enquanto o torque é de 2.000 N.m. Além do comprimento, determine 
a rotação da polia motora (polia maior), o torque da polia movida (polia 
maior) e a potência do sistema.
Solução:
 Dados: diâmetro da polia menor (D1 = 30 mm)
 diâmetro da polia maior (D2 = 60 mm)
 distância entre as polias (l = 600 mm)
 rotação da polia menor (N1 = 1.000 rpm)
 torque da polia menor (T1 = 2.000 N.m)
Iniciaremos os cálculos pela rotação da polia maior, e para isso utili-
zaremos a equação:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 70_Livro_Elementos de Máquinas.indb 70 20/05/2022 14:09:3020/05/2022 14:09:30
– 71 –
Transmissão por correias
D
D
N
N
2
1
1
2
=
Substituindo os valores dados:
60
30
1000
2
m
N
�
mm rp
mm
Fazendo a multiplicação cruzada:
N mmx rpm
mm2
30 1000
60
�
N2 = 500 rpm
Agora encontraremos o torque da polia maior utilizando a equação:
N
N
T
T
1
2
2
1
=
Substituindo os valores:
rp
rp
1000
500 2000
2
.
m
m
T
N m
�
Fazendo a multiplicação cruzada:
T N m x rpm
rpm2
2 000 1000
500
�
2 4� N m000. .
Para encontrarmos a potência, utilizaremos a equação:
P N T N T� �2 2
1 1 2 2
. . . . . .� �
Substituindo os valores:
P rpm N m rpm N m2 1000 2000 2 500 4 000. . . . .
P = 12.566.370,61 W
Dividindo por 106, acharemos o valor em megawatts:
P = 12,6 MW
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 71_Livro_Elementos de Máquinas.indb 71 20/05/2022 14:09:3320/05/2022 14:09:33
Elementos de Máquinas
– 72 –
Por fim, encontraremos o comprimento da correia, que é calculado 
com a equação:
L l D D
D D
l
2 1 57
41 2
1 2
2
Substituindo os valores:
L x
x
2 600 1 57 30 60
1000 500
4 600
2
L = 1200 + 141,3 + 104,16
L = 1445,46 mm
Com isso, encontramos os dados solicitados e temos as respostas:
Comprimento da correia (L = 1445,46 mm)
Rotação da polia maior (N2 = 500 rpm)
Torque da polia maior (T2 = 4.000 N.m)
Potência (P = 12,6 MW)
As correias em V, ao contrário das correias planas, só podem traba-
lhar em árvores paralelas. Para o correto dimensionamento das correias 
em V, é preciso conhecer os seguintes dados: tipo de motor, potência do 
motor, rotação do motor, tipo de máquina ou equipamento, rotação da 
máquina ou do equipamento, distância entre centros e tempo de trabalho 
diário da máquina ou do equipamento (MELCONIAN, 2019).
Para a realização dos cálculos e a seleção, são utilizadas equações, 
tabelas e gráficos. Para facilitar o entendimento, vejamos o passo a passo.
1º passo: cálculo da potência projetada de acordo com o tipo do 
motor e as condições de serviço:
P P fp motor s= .
Onde: Pp = potência projetada (CV)
 Pmotor = potência do motor (CV)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 72_Livro_Elementos de Máquinas.indb 72 20/05/2022 14:09:3420/05/2022 14:09:34
– 73 –
Transmissão por correias
fs = fator de serviço tabelado que depende do tipo de motor e da 
máquina e da condição de trabalho (adimensional)
2º passo: seleção do perfil da correia – pode ser feita pelo diâmetro 
mínimo da polia menor (Tabela 3.3) ou por meio de gráficos disponibi-
lizados pelos fabricantes, em que entra-se com a potência projetada e a 
rotação máxima e seleciona-se o perfil da correia (A, B, C, D ou E).
3º passo: diâmetro das polias – relacionado à potência projetada e 
à maior rotação, então consulta-se uma tabela do fabricante e verifica-se 
o menor diâmetro para a potência do motor e a maior rotação. Caso haja 
limitação para o tamanho de uma das polias, deve-se definir qual será a 
polia maior e qual será a menor.
A relação entre os diâmetros das polias motora e movida é dada por:
�d D n
n
. 1
2
Onde: n1 = rotação da polia 1 (rpm)
 n2 = rotação da polia 2 (rpm)
4º passo: cálculo do comprimento da correia (L) – geralmente se 
atribui uma distância entre centros (C), conforme informado no problema 
ou nos dados de tabela. Com esse dado e com os diâmetros das polias, 
calcula-se o comprimento da correia com:
2 1L C D d
D d
C
57
4
2
5º passo: ajuste do comprimento da correia – as correias em V têm 
tamanhos padronizados por tabelas. Com o valor calculado, devemos con-
sultar a tabela e encontrar o valor mais próximo. Então é calculado o com-
primento de ajuste da correia (lA):
l l D dA C� � �� �1 57,
Onde: lA = ajuste do comprimento
 lC = comprimento tabelado
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 73_Livro_Elementos de Máquinas.indb 73 20/05/2022 14:09:3520/05/2022 14:09:35
Elementos de Máquinas
– 74 –
Com esse valor, calcula-se o fator de correção da distância entre 
centros (h):
D d
lA
−
Com esse valor, acessa-se a Tabela 4.6 de Melconian (2019, p.59) 
e encontra-se o valor de h, com o qual achamos a distância entre centros 
ajustada (C(a)):
C
l h D d
a
A
2
6º passo: capacidade de transmissão de potência por correia (Ppc) 
– dada pelo produto da soma da potência básica (Pb) com a potência adi-
cional (Pa) pelos fatores de correção de comprimento (fcc) e de arco de 
contato (fcac):
P P P f fpc b a cc cac� �� �. .
Os valores das potências básica e adicional são encontrados nas tabe-
las 4.7 a 4.14 de Melconian (2019, p. 60-67), nas quais a potência básica é 
dada pela rotação máxima e pelo diâmetro da polia e a potência adicional 
é dada pela relação de redução e pela rotação.
O fcc é encontrado nas tabelas 4.15 e 4.16 de Melconian (2019, p. 
68-69), entrando apenas com o modelo da correia (exemplo: A60 ⇒ fcc = 
0,97). Para o cálculo do fcac:
D d
C a
�
� �
Na Tabela 4.17 de Melconian (2019, p. 69), encontramos o fator de 
correção. Com todos os fatores, calculamos o Ppc.
7º passo: cálculo do número de correias necessárias (nco).
Com o valor do Ppc, encontramos a relação:
n
P
Pco
p
pc
=
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 74_Livro_Elementos de Máquinas.indb 74 20/05/2022 14:09:3720/05/2022 14:09:37
– 75 –
Transmissão por correias
Onde: Pp = potência projetada
 Ppc = capacidade de transmissão de potência
Se o valor de nco for maior que 1, então há necessidade de mais de uma 
correia, e o valor deve ser aproximado para maior (exemplo: se nco = 1,6, 
então há a necessidade de duas correias). Podem ainda ser solicitados os cál-
culos do torque e de força tangencial, que já foram discutidos neste capítulo.
O cálculo da correia em V pode parecer um pouco complexo, mas é 
como se fosse uma receita de bolo: basta juntar os ingredientes, consultar 
o modo de fazer, colocar para assar (pensar um pouco) e pronto!
Exemplo 4
Um motor elétrico de CA bobinado, de 6 CV com velocidade de rota-
ção de 1.800 rpm, deve ser usado para acionar uma bomba centrífuga que 
opera 24 horas. A bomba gira a 900 rpm, e a distância entre centros deve 
ser de 800 mm. Determine:
a) potência projetada
b) perfil da correia
c) diâmetro das polias
d) comprimento da correia
Solução:
Dados: N1 = 1.800 rpm
 N2 = 900 rpm
 C = 800 mm
 Pm = 6 CV
 motor elétrico CA bobinado
 trabalhando por 24 horas
a) Potência projetada
É encontrada pela equação:
�Pp fs Pm
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 75_Livro_Elementos de Máquinas.indb 75 20/05/2022 14:09:3720/05/2022 14:09:37
Elementos de Máquinas
– 76 –
Para encontrarmos o fator de serviço, podemos utilizar a tabela da 
Figura 3.11.
Figura 3.11 – Tabela de fator de serviço
Tipo de Transmissor
Motor CA torque elevado
Motor CA torque normal Motor CC bobinado ou de
Motor CC em derivação enrolamento composto
Motor cilindros múltiplos Motor de 4 cilindros ou (-)
Tipo de máquina 
acionada
< 6h 
por dia
6-15 h 
por dia
> 15 h
por dia
< 6 h
por dia
6 - 15 h
por dia
> 15 h
por dia
Carregamento 
sem choque
Agitadores, 
transportadores 
leves, bombas 
centrífugas, ventoinhas 
e ventiladores 
abaixo de 10 HP
1,0 1,1 1,2 1,1 1,2 1,3
Carregamento 
de choque leve
Geradores, ferramentas 
de máquinas, 
misturadores, 
ventoinhas e 
ventiladores acima 
de 10 HP
1,1 1,2 1,3 1,2 1,3 1,4
Carregamento de 
choque moderado
Elevadores de 
caçamba, bombas 
de pistão, moinhos 
de martelo, 
transportadores 
pesados1,2 1,3 1,4 1,4 1,5 1,6
Carregamento de 
choque pesado
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 76_Livro_Elementos de Máquinas.indb 76 20/05/2022 14:09:3720/05/2022 14:09:37
– 77 –
Transmissão por correias
Tipo de Transmissor
Motor CA torque elevado
Motor CA torque normal Motor CC bobinado ou de
Motor CC em derivação enrolamento composto
Motor cilindros múltiplos Motor de 4 cilindros ou (-)
Trituradores, moinho 
de bolas, guindastes, 
moinhos de borracha
1,3 1,4 1,5 1,5 1,6 1,8
Fonte: elaborada pela autora a partir de Mott (2015, p. 285).
Observe que o valor encontrado na tabela se refere a um motor CA, 
sem choques, e que trabalha a mais de 15 horas por dia: fs = 1,3.
Então encontramos:
6 71 3� �Pp fs Pm x CV CV� 8
7 8Pp CV� ,
b) Perfil da correia
Entramos no gráfico da Figura 3.12 com os valores da rotação 
 (N = 1.800 rpm) e da potência projetada encontrada antes (Pp = 7,8 CV).
Figura 3.12 – Gráfico do perfil da correia
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 77_Livro_Elementos de Máquinas.indb 77 20/05/2022 14:09:3720/05/2022 14:09:37
Elementos de Máquinas
– 78 –
Vimos pelo gráfico que a correia em V terá perfil tipo A.
c) Diâmetro das polias
Para encontrarmos o diâmetro da polia, utilizaremos a tabela da 
Figura 3.13, em que entraremos com o valor mais próximo da potência 
do motor e da rotação, então encontraremos o diâmetro mínimo da polia 
motora em polegadas.
Figura 3.13 – Tabela de seleção do diâmetro da polia motora
CV do 
Motor
RPM do motor (50 e 60 ciclos) CV do 
Motor575 690 870 1160 1750 3450
1/2 - - 2,2 - - - 1/2
3/4 - - 2,4 2,2 - - 3/4
1 3,0 2,5 2,4 2,4 2,2 - 1
1 1/2 3,0 3,0 2,4 2,4 2,4 2,2 1 1/2
2 3,8 3,0 3,0 2,4 2,4 2,4 2
3 4,5 3,8 3,0 3,0 2,4 2,4 3
5 4,5 4,5 3,8 3,0 3,0 2,4 5
7 1/2 5,2 4,5 4,4 3,8 3,0 3,0 7 1/2
10 6,0 5,2 4,4 4,4 3,8 3,0 10
15 6,8 6,0 5,2 4,4 4,4 3,8 15
20 8,2 6,8 6,0 5,2 4,4 4,4 20
Fonte: adaptada de Melconian (2019, p. 53).
Observe que entramos na coluna da esquerda com a potência de 7,5 
CV indo em direção à coluna com a rotação mais próxima (1.750 rpm), 
então fazemos o cruzamento e encontramos d = 3 polegadas. Precisamos 
fazer a conversão de unidades de polegadas para milímetros:
d = 3,0 pol x 25,4 = 76,2 mm
i N
N
= = =1
2
1800
900
2
D = d.i
D = 76,2 x 2
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 78_Livro_Elementos de Máquinas.indb 78 20/05/2022 14:09:3820/05/2022 14:09:38
– 79 –
Transmissão por correias
D = 152,4 mm
d = 76,2 mm
d) Comprimento da correia
Utilizaremos a equação e substituiremos os valores encontrados 
nas outras etapas:
2 1L C D d
D d
C
57
4
2
1 5 4 7
4 7
L , ,
,
2 800 7 152 6 2
152 6 2
4 800
2
L
x
� � � � � � �1 600 1 57 228 6
76 2
3 200
2
. , ,
,
L � � �1 600 358 9 1 81. , ,
1� mm960 7. ,
Assim temos as respostas do problema resumidas:
a) potência projetada (Pp = 7,8 CV)
b) perfil da correia (Perfil A)
c) diâmetro das polias (D = 152,4 mm e d = 76,2 mm)
d) comprimento da correia (L = 1.960,7 mm)
O vídeo “Cálculo de Correia de Transmissão” mostra o passo a 
passo do cálculo de uma transmissão por correia em que um motor 
de 1 CV e 1.730 rpm deve acionar, via correia, um compressor de 
810 rpm. É mostrado como utilizar as diversas tabelas de cálculo.
Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=sNWkJawDGEA>. Acesso em: 5 abr. 2022.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 79_Livro_Elementos de Máquinas.indb 79 20/05/2022 14:09:4020/05/2022 14:09:40
Elementos de Máquinas
– 80 –
Atividades
1. Um compressor de ar deve ser acionado por um motor elétrico. 
A polia do motor tem 600 mm, enquanto a do compressor tem 
900 mm de diâmetro. Sabe-se que a rotação do motor é de 1.800 
rpm e o torque do motor é de 15 N.m. Considere a eficiência das 
polias de 95%. Calcule o valor de rotação do compressor de ar, 
a relação de redução, o torque no compressor e a potência dis-
ponível no sistema:
2. Um motor elétrico tem rotação de 1.600 rpm. Determine as 
seguintes características do motor:
a) velocidade angular
b) período
c) frequência
3. Cite três vantagens e três desvantagens das correias em relação 
às engrenagens e às correntes:
4. Uma correia de configuração reta liga duas polias, a menor com 
20 mm de diâmetro e a maior com 50 mm de diâmetro. Sabendo 
que a distância entre centros é de 100 mm, calcule os ângulos de 
contato da polia maior e da menor e encontre o comprimento da 
correia em função dos ângulos de contato, dos diâmetros e da 
distância entre centros:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 80_Livro_Elementos de Máquinas.indb 80 20/05/2022 14:09:4020/05/2022 14:09:40
4
Transmissão, 
eixos e árvores
Você pode estar se perguntando: por que árvore? Conhece-
mos árvore como aquela planta que tem tronco e sustenta galhos, 
folhas e frutos. Quanto mais robusto for o tronco, maior é a sus-
tentação, não é mesmo? Mas o que isso tem a ver com a árvore 
citada aqui? Isso é o que veremos neste capítulo, em que conhe-
ceremos as funções e as características dos eixos e das árvores de 
transmissão e aprenderemos a dimensionar esses elementos tão 
importantes para o funcionamento de máquinas e equipamentos 
que estão por toda parte.
4.1 Introdução
Talvez os eixos sejam os elementos de transmissão mais 
importantes, pois têm a função de suportar os demais elementos 
(engrenagens, polias, entre outros), geralmente sendo longos e com 
seção circular, podendo ser fixos ou rotativos. Quando são fixos, 
não transmitem torque, servem apenas para suportar os demais ele-
mentos e podem ser tratados como uma viga estática. Quando são 
rotativos, estão sujeitos a flexão, que veremos com detalhes mais 
adiante. A Figura 4.1 apresenta o desenho de um eixo de trem.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 81_Livro_Elementos de Máquinas.indb 81 20/05/2022 14:09:4020/05/2022 14:09:40
Elementos de Máquinas
– 82 –
Figura 4.1 – Desenho do eixo de um trem
EIXO
Fonte: adaptada de elements.envato.com/PixelSquid360
As árvores podem ser rotativas ou estacionárias e têm montados nelas 
elementos para a transmissão de potência, estando sujeitas a flexão, tor-
ção, cisalhamento e carregamento axial. Um exemplo típico de árvore é a 
caixa de marcha de um veículo (Figura 4.2).
Figura 4.2 – Caixa de marcha veicular
ÁRVORE
Fonte: adaptada de Aconcágua/CC BY 3.0
Tanto os eixos quanto as árvores são fabricados em aço ou ligas de 
aço, pois esses materiais têm boa resistência mecânica, o que é essencial 
para o bom funcionamento desses elementos.
4.2 Conceitos de eixos e árvores
O eixo é um componente presente em praticamente todas as apli-
cações em que há transmissão de potência. Está presente na suspensão 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 82_Livro_Elementos de Máquinas.indb 82 20/05/2022 14:09:4120/05/2022 14:09:41
– 83 –
Transmissão, eixos e árvores
dos carros, nos redutores de velocidade e até nos eletrodomésticos. Geral-
mente, o eixo carrega componentes que transmitem potência, como engre-
nagens, polias de correias ou correntes dentadas que exercem esforços nos 
eixos. O projeto de um eixo é muito afetado pela geometria da aplicação 
desse elemento, que pode ter engrenagens ou polias e pode estar assentado 
em mancais de rolamento ou deslizamento, então há muitas variáveis que 
devem ser consideradas (NORTON, 2013).
As árvores estão sujeitas a esforços de flexão, tração, compressão 
ou torção, atuando isoladamente ou de forma combinada. Já os eixos não 
estão sujeitos a esforços de torção.
Sempre que possível, os elementos de transmissão de potência, como 
engrenagens e polias, devem estar localizados próximos aos mancais, para 
reduzir os momentos fletores e, consequentemente, as deflexões e as tensões 
(MOTT, 2015). Na engenharia, existem várias formas de fixar os elementos 
transmissores de potência no eixo. Geralmente, o eixo tem rebaixos onde os 
elementos são encostados, e a fixação pode ser por chaveta, pinos ou outras.
A Figura 4.3 apresenta um eixo com as diversas opções de fixação e 
alguns elementos(roda dentada, engrenagem e polia). Observe que o eixo 
está apoiado em mancais de rolamento em suas extremidades e que a polia 
está bem próxima do mancal.
Figura 4.3 – Eixo com elementos transmissores de potência
Fonte: Atlan Coelho.
Outro fator importante no projeto de eixos e árvores é a escolha dos 
materiais de fabricação. A deflexão não é afetada diretamente pela resis-
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 83_Livro_Elementos de Máquinas.indb 83 20/05/2022 14:09:4120/05/2022 14:09:41
Elementos de Máquinas
– 84 –
tência, e sim pela elasticidade. Para resistir às tensões de carregamento, é 
muito importante a correta seleção do tipo de aço e do tratamento térmico 
a que ele será sujeito. Muitos eixos são fabricados com aços de baixo ou 
médio carbono, estirados a frio ou laminados a quente, tais como os aços 
AISI 1020-1050 (BUDYNAS, 2019).
A Figura 4.4 apresenta a divisão de aços de baixo, médio e alto car-
bono e dos aços de baixa e alta liga.
Figura 4.4 – Classificação dos aços
Fonte: elaborada pela autora.
Você sabe o que significa dizer que um aço é do tipo AISI-1020? 
Segundo Shackelford (2008), os dois primeiros dígitos (10) da nomen-
clatura significam que é um aço carbono, e os dois últimos dígitos (20) 
indicam que o aço tem 0,20% de carbono em sua composição. Se tem 
menos de 5% de outros elementos, que não o carbono, é considerado 
um aço de baixa liga, e os que têm mais de 5% de outros elementos são 
considerados de alta liga.
O aço carbono de baixo carbono e baixa liga é muito utilizado na mecânica 
devido ao baixo custo, à boa ductilidade e à boa usinabilidade. É um material 
usado para fabricação desde esferas de rolamentos até chapas de veículos.
No caso dos projetos de eixos, começaremos especificando um eixo 
de baixo e médio carbono e fazemos os cálculos necessários; se a resistên-
cia for mais importante que a deflexão, então pode-se especificar aços com 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 84_Livro_Elementos de Máquinas.indb 84 20/05/2022 14:09:4120/05/2022 14:09:41
– 85 –
Transmissão, eixos e árvores
maiores resistências, como AISI- 1340-50, 3140-50, 4140, 4340, 5140 e 
8650. A Tabela 4.1 apresenta as descrições gerais dos tipos de aço (AISI-
-SAE) de acordo com a nomenclatura; assim, por exemplo, um aço 1340 
tem teor de manganês entre 1% e 1,65% e 0,40% de carbono.
Tabela 4.1 – Nomenclatura dos aços
Nomenclatura Descrição
10XX Aço carbono comum
11XX Teores diferenciados de enxofre (S)
12XX Teores diferenciados de (S) e fósforo (P)
13XX Teor de manganês (Mn) (1,0 a 1,65%)
15XX Altor teor de Mn (1,6 a 1,9%)
2XXX Aço ao níquel
3XXX Aço ao níquel e cromo
4XXX Aço ao molibidênio
40XX Molibdênio (Mo) 0,15-0,3%
41XX Mo, Cromo (Cr)
43XX Mo, Cr, Níquel (Ni)
5XXX Aço ao cromo
6XXX Aço ao cromo e vanádio
8XXX Aço ao níquel, cromo e molibidênio
Fonte: adaptada de Telecurso (2000).
Quanto à fabricação dos eixos, por aplicação, podemos dizer que 
eixos com pequenas solicitações são fabricados em aço carbono, já o 
eixo-árvore de máquinas e automóveis é fabricado em aço-níquel. Eixos-
-árvore utilizados em altas rotações ou para bombas e turbinas são fabri-
cados em cromo-níquel, e eixos para vagões são fabricados em aço-man-
ganês (TELECURSO, 2000).
4.2.1 Tipos de eixo
Os eixos podem ser de diversos tipos:
a) eixo maciço – tem seção transversal circular maciça, com 
degraus para apoiar os elementos e extremidade chanfrada para 
evitar rebarbas. As arestas são arredondadas para evitar grande 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 85_Livro_Elementos de Máquinas.indb 85 20/05/2022 14:09:4120/05/2022 14:09:41
Elementos de Máquinas
– 86 –
concentração de tensão. Esses eixos são utilizados quando são 
exigidos grandes esforços.
b) eixo vazado – é muito utilizado em máquinas-ferramenta para 
facilitar a fixação de peças longas para usinagem, mas também é 
empregado em motores de avião devido à redução de seu peso.
c) eixo cônico – deve ser utilizado em outra peça que tenha for-
mato cônico, para que ambas se ajustem perfeitamente. Uma 
chaveta em formato de meia-lua é utilizada nesse tipo de eixo, 
para evitar a rotação relativa.
d) eixo roscado – tem rebaixos e furos roscados, o que faz que 
possa trabalhar como elemento de transmissão e como prolon-
gador. É utilizado na fixação de rebolos para retificação interna, 
entre outras aplicações.
e) eixo ranhurado – apresenta várias ranhuras longitudinais que 
têm a função de engrenamento do eixo com uma peça que tenha 
os sulcos correspondentes. Por conta desse engrenamento, esses 
eixos são utilizados para transmitir grandes forças.
f) eixo estriado – é utilizado em barras de direção de automóveis e em 
alavancas de máquinas. As ranhuras presentes no eixo têm a função 
de evitar a rotação relativa das peças durante seu funcionamento.
Figura 4.5 – Tipos de eixo
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 86_Livro_Elementos de Máquinas.indb 86 20/05/2022 14:09:4120/05/2022 14:09:41
– 87 –
Transmissão, eixos e árvores
Agora que conhecemos algumas informações dos eixos, partiremos para 
os cálculos, que são muito importantes para o correto dimensionamento e a 
utilização desse elemento fundamental para muitas máquinas e equipamentos.
4.3 Dimensionamento de eixos árvores
4.3.1 Potência no eixo
Começaremos definindo a potência no eixo, que é o produto do tor-
que pela velocidade angular:
P T� .�
A potência (P) é dada em Watt se for no sistema internacional e em hp 
se estiver no sistema inglês. A velocidade angular (ω) fica em radianos por 
segundo se no sistema internacional (Newton-metro = N.m) ou no sistema 
inglês (libra-pé = lb.ft). Tanto o torque quanto a velocidade angular podem 
variar com o tempo, mas na maioria das máquinas pode-se considerar 
esses dados constantes. Usamos a potência média (NORTON, 2013):
P Tmédia médio média� .�
Para a conversão das unidades, pode-se consultar a Tabela 4.2.
Tabela 4.2 – Conversão de unidade de potência
Potência
Multiplicar por isto para obter isto
hp x 550 = ft-lb/s
hp x 33000 = ft-lb/min
hp x 6600 = in-lb/s
hp x 745,7 = Watts
N-m/s x 8,7873 = In-lb/s
Fonte: adaptada de Norton (2013, p. 24).
Exemplo 1
Calcule a potência média, em hp, de um eixo cujo torque médio é de 
120 lb.ft e a velocidade angular média é de 20 rad/s.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 87_Livro_Elementos de Máquinas.indb 87 20/05/2022 14:09:4320/05/2022 14:09:43
Elementos de Máquinas
– 88 –
Solução:
Calculamos a potência pela equação da potência média:
P lb ft rad smédia �120 20 /
P lb ft smédia � 2 400 . /
Para converter para hp, dividimos por 550:
P lb ft
s
hp
lb ft smédia
� 2 400 1
550
. .
/
�4 3 hp6
Exemplo 2
Determine o torque de um motor de 25 hp que gira a 1.800 rpm.
Solução:
Fazemos a conversão de unidades:
x W25 745 7 18 642 5. ,hp atts�
Então utilizamos a equação:
P Tmédia médio média� .�
Convertendo a velocidade angular de rpm para rad/s:
rp1800 2
60
60 188 49,mx rad
s
rad
s
Substituindo os valores:
W T ra18 642 5 188 49. , /d s�
T = 18642 5
188 49
,
,
, .N m98 9�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 88_Livro_Elementos de Máquinas.indb 88 20/05/2022 14:09:4520/05/2022 14:09:45
– 89 –
Transmissão, eixos e árvores
4.3.2 Cargas no eixo
Os eixos trabalham em formas de carregamento bem variáveis, sendo 
que a carga em eixos em rotação tem, basicamente, três tipos:
 2 torção – devido ao torque transmitido;
 2 flexão – devido às cargas transversais dos elementos apoiados 
no eixo (engrenagens, polias etc.);
 2 combinação de ambos os tipos.
Se a linha de centro do eixo for vertical, pode também haver forças 
axiais. Essas cargas variam com o tempo e podem ocorrer de forma com-
binada, gerando tensões multiaxiais complexas. Apesar de as cargas axiais 
estarem presentes, elas são muito pequenas em comparação com a flexão 
e a torção nas partes críticas do eixo. As tensões normais são geradas pelo 
momento de torçor, e a tensão cisalhante é gerada pela torção.
4.3.3 Tensões no eixo
As tensõesde flexão alternada e média estão na superfície externa e 
são encontradas por:
� a f
ak
M c
I
� .
.
E:
�m fm
mk
M c
I
� .
.
Onde kf e kfm são fatores de concentração de tensão de fadiga para fle-
xão alternada e média, respectivamente. Podemos considerar os eixos com 
seção transversal sólida e circular e nessas condições podemos considerar 
a dimensão c o momento de inércia (I) como:
c r d� �
2
E:
I d.
4
64
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 89_Livro_Elementos de Máquinas.indb 89 20/05/2022 14:09:4620/05/2022 14:09:46
Elementos de Máquinas
– 90 –
Substituindo esses valores nas equações das tensões:
�
�a f
ak
M
d
� .
.
.
32
3
E:
�
�m fm
mk
M
d
� .
.
.
32
3
Onde: d = diâmetro da parte de interesse do eixo
As tensões torcionais alternantes e média são:
� a fs
ak
T r
J
� .
.
E:
�m fsm
mk
T r
J
� .
.
Onde kfs e kfsm são os fatores de concentração de tensão torcional 
de fadiga para as componentes alternante e média, respectivamente. Para 
uma seção transversal sólida e circular, podemos considerar:
r d�
2
E:
J d.
4
32
Substituindo nas equações das tensões torcionais alternante e média:
�
�a fs
ak
T
d
� .
.
.
16
3
E:
�
�m fsm
mk
T
d
� .
.
.
16
3
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 90_Livro_Elementos de Máquinas.indb 90 20/05/2022 14:09:5020/05/2022 14:09:50
– 91 –
Transmissão, eixos e árvores
Para a carga de tração axial (Fz), caso haja, haverá apenas a compo-
nente média, que pode ser encontrada por:
�
�m axial fm
z
fm
zk F
A
k F
d� �
� �. .
.
.
4
2
4.3.4 Projeto do eixo
Para o projeto do eixo deve-se levar em consideração tanto as defle-
xões como as tensões. Vimos que as tensões podem ser calculadas por cada 
seção individualmente, mas a deflexão (que pode ser mais crítica que a ten-
são) só pode ser calculada já considerando a geometria completa do eixo.
Para minimizar os grandes esforços nos eixos, alguns pontos podem 
ser considerados (NORTON, 2013):
 2 os trechos em balanço devem ser minimizados e o eixo deve ser 
o menor possível, com o objetivo de minimizar as tensões e as 
deflexões no eixo;
 2 deve-se dar preferência ao eixo biapoiado em vez de em 
balanço, pois a estrutura biapoiada tem deflexão menor que 
uma estrutura em balanço;
 2 o eixo vazado, apesar de ter melhor relação rigidez/massa, é 
mais caro e tem diâmetro maior;
 2 se a maior preocupação for minimizar as deflexões, deve-se 
optar por eixo em baixo carbono.
4.3.5 Projeto para flexão alternada e torção fixa
Detalharemos aqui o método ASME para o Projeto de Eixos de 
Transmissão publicado como B 106.1M-1985. Essa norma mostra uma 
forma simplificada de cálculo do diâmetro do eixo e parte do princípio de 
que o carregamento tem flexão alternada e torque fixo. Partindo da relação 
de Von Mises e fazendo diversas substituições, chega-se à equação:
d
N
k
M
S
k
T
S
f
f
a
f
fsm
m
y
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
32 3
4
2 2
1 2
/ ��
�
�
�
1 3/
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 91_Livro_Elementos de Máquinas.indb 91 20/05/2022 14:09:5220/05/2022 14:09:52
Elementos de Máquinas
– 92 –
Onde: d = diâmetro da seção específica (mm)
Nf = coeficiente de segurança (adimensional)
Kf = fator de concentração de tensão de fadiga para flexão alternada
Ma = momento devido à flexão (N.mm)
Sf = limite de resistência a fadiga (Mpa)
kfsm = fator de concentração de tensão torcional de fadiga (adimensional)
Tm = torque (N.mm)
Sy = limite de resistência à tração (MPa)
Por padronização da ASME, é considerado que kfsm é igual a 1 quando 
o eixo é metálico, então:
d
N
k
M
S
T
S
f
f
a
f
m
y
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
32 3
4
2 2
1 2
/
��
1 3/
Essa norma dá valores mais conservativos; caso a torção seja dife-
rente de zero, não é recomendada a utilização desta, que é uma simplifica-
ção, mas pode ser usada de forma teórica.
O cálculo do limite de resistência à fadiga da peça (Sf) depende de 
alguns fatores. Por ensaios, tem-se para o limite de resistência à fadiga do 
corpo de prova os seguintes valores para aços:
0 5S f Sy seSy MPa1400
S f MPa seSy MPa700 1400
Onde: S’f = limite de resistência à fadiga do corpo de prova
Sy = limite de resistência à tração
Quando tratamos de uma peça real, e não de um corpo de prova, 
alguns fatores devem ser levados em consideração para a determinação do 
limite de resistência à fadiga da peça:
Sf = Csuperf.Ctamanho.Cconf.Ctemp.Ccarreg.Cdiv.Sf
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 92_Livro_Elementos de Máquinas.indb 92 20/05/2022 14:09:5320/05/2022 14:09:53
– 93 –
Transmissão, eixos e árvores
Onde: Sf = limite de resistência à fadiga da peça (MPa)
Csuperf = coeficiente de modificação devido ao acabamento superficial
Ctamanho = coeficiente de modificação devido ao tamanho da peça
Cconf = coeficiente de modificação devido à confiabilidade
Ctemp = coeficiente de modificação devido à temperatura
Ccarreg = coeficiente de modificação devido ao carregamento
Cdiv = coeficiente de modificação devido a outros fatores
S’f = limite de resistência à fadiga do corpo de prova [MPa]
Observação: todos os coeficientes são adimensionais, o que não altera 
a unidade do limite de resistência à fadiga; ou seja, se o limite do corpo de 
prova estiver em MPa, o limite da peça também estará.
Vejamos cada um desses coeficientes de modificação.
Acabamento superficial (Csuperf): quanto melhor for o acabamento 
superficial da peça, maior será o coeficiente, sendo 1,0 para super-
fície polida e decrescendo até uma superfície mais rugosa. Pode-se 
usar a seguinte relação:
1 1C a S seC usarCsuperf y
b
superf suprf
Os valores de “a” e “b” podem ser encontrados na Tabela 4.3.
Tabela 4.3 – Fatores de cálculo do fator de acabamento superficial
Acabamento superficial Fator “a” Fator “b”
Retificado 1,58 -0,085
Usinado ou laminado a frio 4,51 -0,265
Laminado a quente 57,7 -0,718
Forjado 272 -0,995
Fonte: Budynas (2019, p. 291).
Tamanho (Ctamanho): pode-se considerar, de forma simplificada, os valo-
res de Ctamanho em relação ao diâmetro do eixo conforme a Tabela 4.4.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 93_Livro_Elementos de Máquinas.indb 93 20/05/2022 14:09:5320/05/2022 14:09:53
Elementos de Máquinas
– 94 –
Tabela 4.4 – Fator de tamanho
Diâmetro Ctamanho
d ≤ 7,6 mm 1,0
7,6 ≤ d ≤ 50 mm 0,85
d ≥ 50 mm 0,75
Fonte: adaptada de Budynas (2019).
 2 Confiabilidade (Cconf): o fator de confiabilidade é reduzido quanto 
maior for a confiabilidade desejada. Inicia-se com a confiabili-
dade de 50%, quando o fator é 1,0 e será reduzido à medida que 
a confiabilidade desejada aumentar, conforme a Tabela 4.5.
Tabela 4.5 – Fator de confiabilidade
Confiabilidade (%) Cconf
50 1,000
90 0,897
95 0,868
99 0,814
99,9 0,753
99,99 0,702
Fonte: adaptada de Budynas (2019, p. 296).
 2 Temperatura (Ctemp): para temperaturas abaixo de 300 °C, pode-se 
considerar que a resistência à fadiga não sofrerá alteração devido à 
temperatura. Para valores acima dessa temperatura, é preciso verifi-
car os valores (não utilizaremos temperaturas elevadas).
 2 Carregamento (Ccarreg): o fator de carregamento está relacionado 
ao tipo de carga a que o eixo está sujeito, sendo que quando o car-
regamento é por flexão o fator é 1,0; para cargas normais, o fator 
é 0,7; e para cargas combinadas deve-se considerar o fator 1,0.
 2 Outros (Cdiv): esses efeitos não são muito bem definidos e podem 
ser relativos a corrosão, presença de revestimentos metálicos, 
pulverização de metais, entre outras situações que não são exa-
tamente o que foi tratado nos outros fatores.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 94_Livro_Elementos de Máquinas.indb 94 20/05/2022 14:09:5320/05/2022 14:09:53
– 95 –
Transmissão, eixos e árvores
Exemplo 3
Qual é o limite de resistência à fadiga de um eixo aço 1020 (Sy = 410 
MPa), sujeito a flexão, com diâmetro de 55 mm e laminado a frio?
Solução:
Para o aço, o limite de resistênciaà fadiga do corpo de prova é:
0 5S f y� x S
Temos que:
S f MPa�205
Precisamos encontrar o limite de resistência da peça, considerando os 
coeficientes modificadores de acordo com a equação:
Sf = Csuperf.Ctamanho.Cconf.Ctemp.Ccarreg.Cdiv.S’f
Começamos encontrando o coeficiente devido ao acabamento super-
ficial e temos que o eixo é usinado. Então utilizamos a equação:
C a Ssuperf y
b
� � �.
Pela Tabela 4.3, temos que a = 4,51 e b = -0,265. Substituindo na 
equação:
Csuperf � � �
�
4 51 410
0 265
, .
,
�0 9Csuperf , 1
Pela Tabela 4.4, para d ≥ 50 mm temos que Ctamanho = 0,75.
Como a confiabilidade e a temperatura não foram mencionadas, con-
sideramos ambas iguais a 1,0. O carregamento é flexão, então Ccarreg = 1,0.
Para outros fatores, como nada foi mencionado, pode ser considerado 
1,0, então:
Sf MPa, . , . , . , . , . , .0 91 0 75 1 0 1 0 1 0 1 0 205
Sf MPa�139 9,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 95_Livro_Elementos de Máquinas.indb 95 20/05/2022 14:09:5520/05/2022 14:09:55
Elementos de Máquinas
– 96 –
Exemplo 4
Calcule o diâmetro de um eixo usinado em SAE-1020 (Sy = 410 MPa) 
que está conectado a um motor elétrico de 5 hp com rotação de 1.700 rpm e 
sofre um momento de 30.000 N.mm. Considere coeficiente de segurança de 
2,5, confiabilidade de 90% e fator de concentração de tensão de fadiga para 
flexão alternada de 1,33.
Solução:
O diâmetro é encontrado pela equação:
d
N
k
M
S
T
S
f
f
a
f
m
y
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
32 3
4
2 2
1 2
/
��
1 3/
Dados: Nf = 2,5
Ma = 30.000 N.mm
Sy = 410 MPa
Kf = 1,33
Precisamos encontrar Sf e torque T.
Para o cálculo do Sf, temos que para o aço o limite de resistência à 
fadiga do corpo de prova é:
0 5S f x Sy�
E que:
S f MPa�205
Precisamos encontrar o limite de resistência da peça, considerando os 
coeficientes modificadores de acordo com a equação:
Sf = Csuperf.Ctamanho.Cconf.Ctemp.Ccarreg.Cdiv.S’f
Começamos encontrando o coeficiente devido ao acabamento super-
ficial e temos que o eixo é usinado. Utilizamos a equação:
C a Ssuperf y
b
� � �.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 96_Livro_Elementos de Máquinas.indb 96 20/05/2022 14:09:5720/05/2022 14:09:57
– 97 –
Transmissão, eixos e árvores
Pela Tabela 4.3, temos que a = 4,51 e b = -0,265. Substituindo 
na equação:
Csuperf � � �
�
4 51 410
0 265
, .
,
Csuperf ,�0 91
Pela Tabela 4.4, para 7,6 ≤ d ≤ 50 mm temos que Ctamanho = 0,85.
A confiabilidade de 90% corresponde a um fator de confiabilidade de 
0,897 (Tabela 4.5). O carregamento e a temperatura não foram menciona-
dos, então consideramos ambos como 1,0. Para outros fatores, como nada 
foi mencionado, pode ser considerado 1,0 então:
Sf MPa, . , . , . , . , . , .0 91 0 85 0 897 1 0 1 0 1 0 205
�Sf MPa142 23
O próximo passo é encontrar o torque:
P Tmédia médio média� .�
A potência está em hp e tem de ser convertida para Watts, e a veloci-
dade angular está em rpm e deve ser convertida para rad/s.
Então:
T
P
médio
média
média
�
�
O fator de conversão da potência, encontramos na Tabela 4.2:
T hp x
x
N mmédio
5 745 7
1700 2
60
3728 5
178
20 94, , .
Para usarmos em N.mm, multiplicamos esse valor por 1.000 e temos 
que T = 20.940 N.mm. Podemos substituir na equação do diâmetro:
d x� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
32 2 5
1 33
30 000
142 23
3
4
20 940
410
2 2
,
,
.
,
.
� ��
�
�
�

�
�
�
�
�
1 2
1 3
/
/
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 97_Livro_Elementos de Máquinas.indb 97 20/05/2022 14:10:0020/05/2022 14:10:00
Elementos de Máquinas
– 98 –
d x� 25 46 2843
d mm19 33�
Como já utilizamos o fator de tamanho para 7,6 ≤ d ≤ 50 mm, não é 
preciso ajustar os cálculos, então o diâmetro calculado é:
mm19 33,�
Estamos supondo que esse é um eixo maciço e o diâmetro é onde há 
maior solicitação de cargas. Se fôssemos comprar um aço para usinar o 
eixo, precisaríamos encontrar o diâmetro comercial imediatamente superior.
Caso o momento não tenha sido informado, é preciso recorrer à resistência 
dos materiais para o cálculo do momento fletor, que não veremos neste livro.
4.3.6 Chavetas
Chavetas são elementos de máquinas que podem ter duas funções: de 
fixação e de transmissão de potência. Imagine que você está projetando 
uma polia que vai trabalhar acoplada a um eixo. As chavetas são peças 
metálicas em formato retangular ou semicircular e encaixadas em rasgos 
chamados de rasgos de chaveta. A polia é fixada no eixo através de uma 
chaveta. Mas há outra forma de fixar um elemento em um eixo, por meio 
dos eixos estriados.
4.3.6.1 Tipos de chaveta
As chavetas são muito utilizadas na união de cubo e engrenagem, 
de eixo e polia e em diversas aplicações. São classificadas em três tipos 
principais (TELECURSO, 2000):
 2 de cunha;
 2 paralelas;
 2 de disco.
As chavetas de cunha têm como característica se parecerem com uma 
cunha, por isso têm esse nome. Dividem-se em:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 98_Livro_Elementos de Máquinas.indb 98 20/05/2022 14:10:0020/05/2022 14:10:00
– 99 –
Transmissão, eixos e árvores
 2 longitudinais;
 2 transversais.
As chavetas em cunha longitudinais são aplicadas nas extensões 
de eixos para unir roldanas, volantes, rodas etc. e podem ser de vários 
tipos, como planas, encaixadas, meia-cana, embutidas e tangenciais. 
Já as chavetas transversais são usadas em transmissão de movimento 
rotativo e retilíneo alternativo.
Por outro lado, as chavetas paralelas têm as faces paralelas e não 
têm cabeça, com suas extremidades podendo ser retas ou arredondadas 
e, ainda, ter parafusos para ajudar na fixação. Há também a chaveta tipo 
meia-lua, conhecida como woodruff, que é empregada, geralmente, em 
eixos cônicos (MOTT, 2015).
Estrias podem ser caracterizadas como várias chavetas usinadas dire-
tamente no eixo. Uma das principais vantagens é que, devido às estrias 
serem usinadas, não há o movimento relativo das peças durante a trans-
missão do movimento (MOTT, 2015).
4.3.6.2 Dimensionamento e seleção de chavetas e estrias
Antes de começarmos a tratar do dimensionamento, conheceremos 
um pouco melhor as geometrias das peças que desejamos dimensionar. O 
cálculo das chavetas é normalizado, então cada tipo de chaveta segue uma 
norma específica, sendo:
 2 chaveta plana – DIN 6885;
 2 chaveta inclinada – DIN 6886;
 2 chaveta inclinada com cabeça – DIN 6887;
 2 chaveta meia-lua – DIN 6888;
 2 chaveta tangencial – DIN 271.
A Figura 4.6 apresenta a geometria da chaveta plana conforme 
DIN 6885, mostrando as principais dimensões da chaveta utilizadas 
nos cálculos de dimensionamento.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 99_Livro_Elementos de Máquinas.indb 99 20/05/2022 14:10:0120/05/2022 14:10:01
Elementos de Máquinas
– 100 –
Figura 4.6 – Geometria da chaveta
Onde:
b = Largura da Chaveta
d = Diâmetro do eixo
h = Altura da Chaveta
t1 = Profundidade 
do rasgo no eixo
t2 = Profundidade 
do rasgo no cubo
Fonte: Atlan Coelho.
No dimensionamento das chavetas, o objetivo é calcular o compri-
mento mínimo da chaveta, e para isso alguns passos devem ser seguidos 
(MELCONIAN, 2019).
1º passo: definição da geometria da chaveta
Como dado de entrada no projeto, é preciso saber o diâmetro do eixo 
(d) onde a chaveta será acoplada. Esse é o dado de entrada na tabela DIN 
6885, na qual são encontrados os dados da chaveta (b, h e t1).
Tabela 4.6 – Tabela DIN 6885 para chaveta plana
Diâmetro do 
eixo, d (mm)
Dimensões da 
chaveta (mm)
Profundidade 
do rasgo no 
eixo (mm)
Profundidade 
do rasgo no 
cubo (mm)
Arredondamento 
no fundo do 
rasgo, r (mm)
Acima 
de Até
Largura, 
b
Altura, 
h t1
Tol. 
Adm. t2
Tol. 
Adm. Máximo Mínimo
6 8 2 2 1,2 +0,1 1 +0,1 0,16 0,08
8 10 3 3 1,8 +0,1 1,4 +0,1 0,16 0,08
10 12 4 4 2,5 +0,1 1,8 +0,1 0,16 0,08
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 100_Livro_Elementos de Máquinas.indb 100 20/05/2022 14:10:0120/05/2022 14:10:01
– 101 –
Transmissão, eixos e árvores
Diâmetro do 
eixo,d (mm)
Dimensões da 
chaveta (mm)
Profundidade 
do rasgo no 
eixo (mm)
Profundidade 
do rasgo no 
cubo (mm)
Arredondamento 
no fundo do 
rasgo, r (mm)
Acima 
de Até
Largura, 
b
Altura, 
h t1
Tol. 
Adm. t2
Tol. 
Adm. Máximo Mínimo
12 17 5 5 3 +0,1 2,3 +0,1 0,25 0,16
17 22 6 6 3,5 +0,1 2,8 +0,1 0,25 0,16
22 30 8 7 4 +0,2 3,3 +0,2 0,25 0,16
Fonte: Deutsches… (1956).
2º passo: cálculo do torque na árvore (MT)
O torque na árvore é calculado por:
M P
nT
�
30 000.
.
�
Onde: MT = torque na árvore (N.mm)
P = potência no eixo (W)
n = rotação do eixo (rpm)
3º passo: cálculo da força tangencial (FT)
A força tangencial é calculada por:
F M
rT
T=
Onde: FT = força tangencial (N)
r = Raio do eixo = d/2 (mm)
4º passo: dimensionamento do comprimento da chaveta
O comprimento deve ser verificado quanto ao cisalhamento e quanto 
à pressão de contato (esmagamento). O comprimento selecionado deve ser 
mais alto que o maior dos valores encontrados nos dois cálculos.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 101_Livro_Elementos de Máquinas.indb 101 20/05/2022 14:10:0220/05/2022 14:10:02
Elementos de Máquinas
– 102 –
Cisalhamento
O cálculo do comprimento, conforme o esforço de cisalhamento, é 
realizado por:
l F
bc
T�
.�
Onde: lc = comprimento da chaveta quanto ao cisalhamento (mm)
FT = força tangencial (N)
b = largura da chaveta (mm)
𝜏 = tensão admissível de cisalhamento (relativo ao material de cons-
trução da chaveta) (N/mm2)
Pressão de contato (esmagamento)
O cálculo do comprimento, conforme a pressão de contato (esmaga-
mento), é realizado por:
l F
h te
T
d 1
Onde: le = comprimento da chaveta quanto ao esmagamento (mm)
𝜎d = pressão média de contato (relativo ao material de construção da 
chaveta) (N/mm2)
h = altura da chaveta (mm)
t1 = profundidade do rasgo no eixo (mm)
No fim do cálculo é feita uma comparação entre os dois compri-
mentos encontrados (lc e le), e o valor a ser considerado será o maior 
valor. Geralmente usa-se no comprimento da chaveta o mesmo do com-
primento do cubo, porém se no cálculo o comprimento mínimo for supe-
rior ao comprimento do cubo deve-se utilizar mais de uma chaveta para a 
união (MELCONIAN, 2019).
Exemplo 5
O eixo-árvore de uma máquina tem diâmetro de 25 mm e seu mate-
rial é SAE 1050. O eixo irá transmitir uma potência de 3 kW (~/4,0 CV), 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 102_Livro_Elementos de Máquinas.indb 102 20/05/2022 14:10:0320/05/2022 14:10:03
– 103 –
Transmissão, eixos e árvores
girando a uma rotação de 1.730 rpm, por meio de engrenagem chavetada 
ao eixo. Dimensione a chaveta para a transmissão (utilizar chaveta plana).
Dados do material: σd = 100 N/mm2
τ = 60 N/mm2
Solução:
Seguimos o passo a passo do cálculo:
1º passo: geometria da chaveta
Pela Tabela 4.6, encontramos os valores da geometria da chaveta. 
Como o eixo tem 25 mm de diâmetro, entramos na coluna da esquerda 
com o diâmetro do eixo entre 22 mm e 30 mm e localizamos os dados 
de largura (b = 8 mm), altura (h = 7 mm) e profundidade do rasgo do 
eixo (h1 = 4 mm).
2º passo: cálculo do torque (MT)
M P
nT
�
30 000.
.
�
P é a potência (em W), então 3 kW = 3.000 W; n é a rotação em rpm 
(1.730 rpm). Substituindo os valores:
MT �
30 000 3 000
1730
.
.
.
�
MT4 1� �MT . , .16 559 6 560 N mm
3º passo: cálculo da força tangencial (FT)
F M
rT
T=
r d /� 2
r /25 2�
r mm12 5�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 103_Livro_Elementos de Máquinas.indb 103 20/05/2022 14:10:0520/05/2022 14:10:05
Elementos de Máquinas
– 104 –
Substituindo o MT encontrado e o raio:
FT =
16 560
12 5
.
,
FT N1324 8,�
4º passo: dimensionamento do comprimento da chaveta
Cisalhamento
l F
bc
T�
.�
Substituindo os valores (FT = 1324,8 N), (b = 8 mm), (τ = 60 N/mm2):
l
xc
=
1324 8
8 60
,
lc mm2 76,�
Esmagamento
l F
h te
T
d 1
Substituindo os valores (FT = 1324,8 N), (h = 7 mm), (σd = 100 N/mm2) 
e (t1 = 4 mm):
le
1324 8
100 7 4
,
4 4�le mm,
O comprimento mínimo da chaveta será de 4,4 mm pois le > lc. 
Acima de 4,4 mm, qualquer valor pode ser utilizado, mas costuma-se ado-
tar o comprimento da chaveta igual ao comprimento do cubo.
O fator de concentração de tensão por fadiga é determinado 
de acordo com o tipo de fixação dos elementos no eixo ou por 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 104_Livro_Elementos de Máquinas.indb 104 20/05/2022 14:10:0820/05/2022 14:10:08
– 105 –
Transmissão, eixos e árvores
variação geométrica, sendo que a fixação pode ser por chave-
tas e ranhuras ou por interferência. Já as variações geométricas 
podem ser por adoçamento, anel elástico ou furo de cavilha. 
Para ver mais detalhes, assista ao vídeo “Fatores de concen-
tração de tensão usados no dimensionamento de eixos de 
transmissão de potência”
Disponível em: <Erro! A referência de hiperlink não é válida.
https://www.youtube.com/watch?v=Lok3cVhami4&list=PLd10
Go8vsVYj--cKKBCNS9sDlnVK_PWSJ&index=72>. Acesso em: 
7 abr. 2022.
Atividades
1. Calcule a potência média de um eixo cujo torque médio é de 40 N.m 
e a rotação é de 1.800 rpm:
2. Qual é o limite de resistência à fadiga de um eixo de aço 1030 
(Sy = 525 MPa), sujeito a flexão, com diâmetro de 47 mm e 
laminado a quente?
3. Calcule o diâmetro de um eixo usinado em SAE-1030 
(Sy = 525 MPa) que está conectado a um motor elétrico de 3 hp 
com rotação de 1.740 rpm e sofre um momento de 30.000 N.mm. 
Considere coeficiente de segurança de 2,4, confiabilidade de 
90% e fator de concentração de tensão de fadiga para flexão 
alternada de 2,2.
4. O eixo-árvore de uma máquina encontra-se chavetado a uma 
engrenagem para transmitir um torque de 10 kW (13,4 CV) 
girando com rotação de 1.500 rpm. O diâmetro do eixo é 30 mm. 
Determine o comprimento mínimo da chaveta. Dados do mate-
rial: σd = 100 N/mm2 e τ = 60 N/mm2.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 105_Livro_Elementos de Máquinas.indb 105 20/05/2022 14:10:0820/05/2022 14:10:08
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 106_Livro_Elementos de Máquinas.indb 106 20/05/2022 14:10:0820/05/2022 14:10:08
5
Transmissão por 
engrenagens 
cilíndricas
Neste material, abordaremos os elementos de transmissão 
de potência que são considerados rígidos, categoria em que 
existem dois grandes representantes: engrenagens e acopla-
mentos. No decorrer do capítulo, falaremos bastante de engre-
nagens e de suas classificações, então os acoplamentos serão 
tratados em outra ocasião.
5.1 Engrenagens cilíndricas 
de dentes retos
As engrenagens podem ser classificadas com base em dife-
rentes critérios, a depender da aplicação nas máquinas. Contudo, 
como forma de padronizar essa classificação, são divididas de 
acordo com a disposição dos eixos, a forma do dente e a posição 
relativa do centro de rotação (BUDYNAS; NISBETT, 2016):
 2 quanto à disposição dos eixos – cilíndricas, quando os 
eixos de rotação são paralelos; cônicas, quando os eixos 
de rotação são concorrentes; ou com eixos reversos;
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 107_Livro_Elementos de Máquinas.indb 107 20/05/2022 14:10:0820/05/2022 14:10:08
Elementos de Máquinas
– 108 –
Figura 5.1 – Disposição das engrenagens quanto à disposição dos eixos
a) Cilíndrica b) Cônica c) Eixo reverso
Fonte: adaptada de Envato/PixelSquid360
 2 quanto à forma do dente – com dentes retos, helicoidais ou espi-
rais (Figura 5.2);
Figura 5.2 – Formato dos dentes das engrenagens
a) Dentes retos b) Dentes helicoidais
Fonte: adaptada de stock.adobe.com/BillionPhotos.com/simone_n
 2 quanto à posição relativa dos centros instantâneos de rotação – 
exteriores e interiores (Figura 5.3).
Figura 5.3 – Engrenagens quanto à posição do centro
a) Posição externa b) Posição interna
Fonte: adaptada de Wikimedia Commons.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 108_Livro_Elementos de Máquinas.indb 108 20/05/2022 14:10:1120/05/2022 14:10:11
– 109 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
A seguir, discutiremos com mais detalhes as engrenagens mais popu-
lares e comumente utilizadas na indústria.5.1.1 Engrenagens cilíndricas de dentes retos
As engrenagens cilíndricas de dentes retos ou frontais apresentam 
dentes paralelos entre si e são usualmente empregadas na transmissão de 
movimento com potências médias. Esse tipo de engrenagem é um dos 
mais comuns na indústria (BUDYNAS; NISBETT, 2016).
A Figura 5.4 ilustra uma engrenagem de dentes retos com o nome dos 
elementos que a formam, com conceitos que serão importantes quando 
estudarmos o dimensionamento.
Figura 5.4 – Engrenagem cilíndrica de dentes retos
Fonte: Atlan Coelho.
Pela figura, podemos observar que uma engrenagem cilíndrica de 
dentes retos é composta de um corpo principal, que contém os dentes pro-
priamente ditos, e um cubo chavetado para o encaixe do eixo. Além disso, 
são apresentados o rasgo da chaveta, a altura da cabeça, a altura do pé e a 
raiz, conceitos que discutiremos posteriormente.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 109_Livro_Elementos de Máquinas.indb 109 20/05/2022 14:10:1120/05/2022 14:10:11
Elementos de Máquinas
– 110 –
5.2 Geometria das engrenagens
As engrenagens têm um padrão de dentes que podem ser internos ou 
externos, bem como apresentam a funcionalidade principal de transmitir 
movimento entre eixos diferentes. Uma das vantagens de sua aplicação 
é que possibilitam reduzir ou aumentar o número de rotações e alterar o 
sentido da rotação de um eixo para outro.
A cinemática das engrenagens busca aproveitar a máxima eficiência 
do trabalho mecânico útil realizado pelo sistema. Outra grande vantagem 
da utilização das engrenagens é permitir a transmissão do movimento 
entre eixos cruzados, paralelos ou mesmo em 90 graus, sendo uma pos-
sibilidade para montar sistemas com máquinas em diferentes alocações 
(COLLINS; BUSBY; STAAB, 2006).
Toda a cinemática das engrenagens, ou seja, o movimento de rotação 
desses elementos, acontece quando as rodas são engrenadas; em outras 
palavras, os dentes das engrenagens envolvidas no processo entram em 
contato, permitindo a rotação (COLLINS; BUSBY; STAAB, 2006). Outro 
ponto importante a ser destacado é que engrenagens de um mesmo con-
junto podem apresentar dimensões diferentes. Nesse caso, a engrenagem 
de maior diâmetro é chamada de coroa e a de menor diâmetro recebe o 
nome de pinhão.
As engrenagens podem funcionar transmitindo movimento de duas 
formas. A primeira é por meio do engrenamento indireto, em que uma 
corrente é utilizada para conectar duas ou mais engrenagens e realizar a 
transmissão de movimento. A segunda é pelo engrenamento direto, em 
que não são utilizadas correntes, e o acoplamento entre dentes é a ação 
responsável pela transmissão de movimentos (NORTON, 2013).
As engrenagens podem ser fabricadas por meio de diferentes pro-
cessos mecânicos. Podemos citar, por exemplo, a fundição, que utiliza 
o metal no estado líquido para a criação de engrenagens já no formato 
necessário. Outra possibilidade é utilizar máquinas, como fresas, para dar 
o formato esperado. Quanto ao material, podem ser fabricadas de ferro 
fundido, alumínio, aço-liga, cromo-níquel ou polímeros, como náilon, a 
depender da utilização.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 110_Livro_Elementos de Máquinas.indb 110 20/05/2022 14:10:1120/05/2022 14:10:11
– 111 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
Para compreender o dimensionamento da engrenagem, observe 
a Figura 5.5.
Figura 5.5 – Partes de uma engrenagem de dentes retos
Fonte: Atlan Coelho.
Todas as siglas presentes na Figura 5.5 compõem as equações utili-
zadas no dimensionamento. Para sua construção, é necessário considerar 
uma série de dados (MOTT, 2015):
1. número de dentes (Z);
2. diâmetro externo (de); módulo (m);
3. diâmetro primitivo (dp);
4. diâmetro interno (di);
5. altura do dente (h);
6. altura da cabeça (a);
7. altura do pé do dente (b);
8. passo (p).
Começaremos discutindo o módulo, que é a medida que indica a 
relação entre o diâmetro primitivo e o número de dentes, apresentada 
pela equação:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 111_Livro_Elementos de Máquinas.indb 111 20/05/2022 14:10:1220/05/2022 14:10:12
Elementos de Máquinas
– 112 –
m dp
Z
=
Onde: m = módulo
 dp = diâmetro primitivo
 Z = número de dentes
Com o módulo e o número de dentes é possível determinar a ferra-
menta que será utilizada no processo de fresamento da engrenagem. Além 
disso, o módulo auxilia nos cálculos que veremos a seguir.
Vamos determinar a equação para o cálculo do diâmetro externo. 
Para isso, necessitamos do diâmetro primitivo mais duas vezes a altura da 
cabeça do dente, que será numericamente igual ao módulo. O cálculo do 
diâmetro externo é apresentado na equação:
de dp m
Onde: de = diâmetro externo
 dp = diâmetro primitivo
 m = módulo
A altura total do dente de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos 
é igual a 2 módulos mais 1/6 de um módulo. Isso pode ser representado 
matematicamente da seguinte forma:
h m m m� � � 1
6
Portanto:
h m≅ 2 2, .
Onde: h = altura total do dente
 m = módulo
Para que possamos calcular a altura do pé do dente da engrenagem, 
devemos considerar a soma do módulo mais 1/6 do módulo:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 112_Livro_Elementos de Máquinas.indb 112 20/05/2022 14:10:1420/05/2022 14:10:14
– 113 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
b m m� �1 1
6
Portanto:
b m= 7
6 e b m� � �1 167, .
Onde: b = altura do pé do dente
 m = módulo
Já o diâmetro interno é igual ao diâmetro primitivo menos duas vezes 
a altura do pé do dente, como na equação:
di dp b� � 2
Como b m�1 167 , podemos escrever:
di dp m� � � �2 1 67,
di dp m2 33
Como dp m Z� , também é possível fazermos a substituição:
di m z m� �. , .2 33
Colocando m em evidência:
di m Z 2 33
Onde: di = diâmetro interno
 m = módulo
 Z = número de dentes
Agora, vamos entender o que é o passo e como esse termo é calculado. 
Passo nada mais é que a medida do arco da circunferência do diâmetro pri-
mitivo que corresponde a um dente e a um vão da engrenagem. É calculado 
a partir do perímetro da circunferência do diâmetro primitivo (dp� ) divi-
dido pelo número de dentes da engrenagem. Matematicamente, temos:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 113_Livro_Elementos de Máquinas.indb 113 20/05/2022 14:10:1920/05/2022 14:10:19
Elementos de Máquinas
– 114 –
p
dp
Z
�
� �.�
Como dp m Z� , podemos escrever:
p
m Z
Z
. .
Como Z Z �1:
p m� .�
Onde: p = passo
 m = módulo
	 	 π = Pi (3,1415…)
Sabendo que uma engrenagem jamais trabalhará sozinha, uma infor-
mação importante que devemos obter é a distância entre eixos, medida 
que se baseia no ponto de contato entre as engrenagens. A distância entre 
os centros (d) é igual à metade do diâmetro primitivo da primeira engrena-
gem mais a metade do diâmetro primitivo da segunda engrenagem:
d dp dp1 2
2
Onde: d = distância entre centros da engrenagem
 dp1 = diâmetro primitivo da engrenagem 1
 dp2 = diâmetro primitivo da engrenagem 2
Para se ter uma ideia melhor das equações de dimensionamento de 
engrenagens cilíndricas de dentes retos, veja o quadro das Figuras 5.6 e 5.7.
Figura 5.6 – Fórmulas de dimensionamento de engrenagens de dentes retos – Parte 1
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 114_Livro_Elementos de Máquinas.indb 114 20/05/2022 14:10:2120/05/2022 14:10:21
– 115 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
Fonte: elaborada pela autora.
Figura 5.7 – Fórmulas de dimensionamento de engrenagens de dentes retos – Parte 2
Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo 1
Imagine que você trabalha em uma empresa em que máquinas antigas 
estão em pleno funcionamento na área operacional. Um dia, a engrenagem 
de uma dessas máquinas antigas quebra e você deve ser capaz de deter-
minar os dados para substituí-la corretamente. Para isso, você junta os 
fragmentos da engrenagem e conta o número de dentes: 60. Depois, mede 
o diâmetro externo e obtém 124 mm. Com base na situação apresentada 
e nos dados fornecidos, calcule o módulo, o diâmetro interno, o passo e o 
diâmetro primitivoda engrenagem.
Solução:
Dados: Z = 60
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 115_Livro_Elementos de Máquinas.indb 115 20/05/2022 14:10:2120/05/2022 14:10:21
Elementos de Máquinas
– 116 –
 de = 124 mm
Utilizamos inicialmente a equação do diâmetro externo:
de dp m2
Sabemos que o diâmetro primitivo é dado por:
dp�m Z
Realizando a substituição:
de m Z 2
Substituindo de e Z:
124 60 2m
m�2
Com o módulo calculado, podemos obter o diâmetro interno:
2 3di m Z 3
di 2 6 330 2–
di mm115 34�
O passo é obtido por:
p m� ��
6 22 3� �p mm14 8
Por fim, substituindo os valores na equação do diâmetro primitivo:
2 6� �dp mm0 120
Respostas: módulo (m = 2), diâmetro interno (di = 115,34 mm), passo 
(p = 6,28 mm) e diâmetro primitivo (dp = 120 mm).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 116_Livro_Elementos de Máquinas.indb 116 20/05/2022 14:10:2220/05/2022 14:10:22
– 117 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
Exemplo 2
Durante uma parada programada, um operador percebe que uma 
engrenagem está com os dentes danificados e precisa trocá-la. Ele verifica 
que a engrenagem tem 60 dentes e que a altura dos dentes é de 8,8 mm. 
Com base nesses dados o operador deseja obter:
a) módulo (m)
b) diâmetro primitivo da engrenagem (dp)
c) passo da engrenagem (p)
d) diâmetro interno da engrenagem (di)
e) diâmetro externo da engrenagem (de)
Solução:
Dados: Z = 60 dentes
 h = 8,8 mm
a) Módulo (m)
Utilizamos a equação:
h m= 2 2, .
Onde: h = 8,8 mm
Substituindo:
8 8 2 2, , .= m
m � ,
,
8 8
2 2
m� �=4
b) Diâmetro primitivo da engrenagem (dp)
Para o cálculo do dp utilizamos a equação:
m dp
Z
=
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 117_Livro_Elementos de Máquinas.indb 117 20/05/2022 14:10:2720/05/2022 14:10:27
Elementos de Máquinas
– 118 –
Substituindo o módulo encontrado na letra a) (m = 4) e o número de 
dentes (Z = 60):
4
60
=
dp
Isolando dp:
dp x�60 4
mm240�
c) Passo da engrenagem (p)
O passo da engrenagem é encontrado pela equação:
p m.� ��
O módulo foi encontrado na letra a) (m = 4):
p .�4 �
Fazendo π = 3,14:
p . ,�4 3 14
mm12 56,�
d) Diâmetro interno da engrenagem (di)
Encontramos o diâmetro interno pela equação:
di m Z� �� �2 33,
Onde: m = 4 (encontrado na letra a)
Z = 60
Substituindo os valores na equação:
di � �� �4 60 2 33,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 118_Livro_Elementos de Máquinas.indb 118 20/05/2022 14:10:3020/05/2022 14:10:30
– 119 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
di � � �4 57 67,
230di mm� 68,
e) Diâmetro externo da engrenagem (de)
O diâmetro externo é calculado pela equação:
de dp m� � 2.
Onde: dp = 240 mm (encontrado na letra b)
 m = 4 (encontrado na letra a)
Substituindo os valores:
de x� �240 2 4
de � �240 8
248de mm�
No próximo tópico veremos as engrenagens cilíndricas de dentes 
helicoidais, seus tipos e suas fórmulas de dimensionamento.
5.3 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais
Muitas das informações necessárias para o dimensionamento de 
engrenagens cilíndricas helicoidais se assemelham às apresentadas para o 
cálculo do dimensionamento de engrenagens cilíndricas de dentes retos. 
Por esse motivo, abordaremos as equações de forma mais sucinta.
Antes de iniciarmos o dimensionamento, discutiremos a inclinação dos 
dentes, para a qual existem três configurações básicas (NIEMANN, 1971):
1. roda de baixa rotação – ângulo de inclinação de 10°;
2. roda de média rotação – ângulo de inclinação de 30°;
3. roda de alta rotação – ângulo de inclinação de 45°
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 119_Livro_Elementos de Máquinas.indb 119 20/05/2022 14:10:3320/05/2022 14:10:33
Elementos de Máquinas
– 120 –
Com o ângulo obtido, vamos aos cálculos de dimensionamento para 
engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais. Observe a Figura 5.8.
Figura 5.8 – Vista de uma engrenagem cilíndrica de dentes helicoidais
Fonte: Atlan Coelho.
Vejamos os termos relacionados ao dimensionamento da engrena-
gem, conforme destacam Budynas e Nisbett (2016); na sequência, abor-
daremos as respectivas equações.
 2 De: diâmetro externo
 2 Di: diâmetro interno
 2 Dp: diâmetro primitivo
 2 Pa: passo aparente
 2 Pr: passo real
 2 ma: módulo aparente
 2 m: módulo
 2 h: altura total do dente
 2 N: número de dentes da engrenagem
 2 Ph: passo da hélice (distância reta, paralela ao eixo, que corres-
ponde ao avanço completo da hélice de um dos dentes)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 120_Livro_Elementos de Máquinas.indb 120 20/05/2022 14:10:3420/05/2022 14:10:34
– 121 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
 2 α: ângulo de inclinação do dente da roda em relação a seu 
eixo geométrico
Todas essas informações podem ser necessárias em diversos momen-
tos. Podemos citar, por exemplo, a conferência de um sistema que já 
existe, averiguando se as engrenagens estão corretamente dimensionadas, 
superdimensionadas ou dimensionadas de forma inadequada. Podemos 
citar, ainda, situações em que será necessário projetar engrenagens a partir 
do “zero” para um novo projeto.
Vejamos as equações necessárias, iniciando com a equação para o 
número de dentes:
N Dp
ma
= �
Onde: N = número de dentes
 Dp = diâmetro primitivo
 ma = módulo aparente
Para o módulo aparente, temos:
ma Dp
N
=
Ou:
ma m
cos
� �
�
Onde: m = módulo
	 	 α = ângulo de inclinação do dente da roda
 ma = módulo aparente
 Dp = diâmetro primitivo
 N = número de dentes
Para o passo aparente, temos:
Pa Pr
cos
� �
�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 121_Livro_Elementos de Máquinas.indb 121 20/05/2022 14:10:3620/05/2022 14:10:36
Elementos de Máquinas
– 122 –
Ou:
Pa Dp
cos
.
Onde: Pa = passo aparente
 Pr = passo real
 Dp = diâmetro primitivo
	 	 α = ângulo de inclinação do dente da roda
Enquanto, para o passo real, temos:
PaPr cos
Ou:
Pr m
Onde: Pr = passo real
 Pa = passo aparente
 m = módulo
	 	 α = ângulo de inclinação do dente da roda
O módulo é fornecido por:
m ma cos� . �
Onde: m = módulo
 ma = módulo aparente
	 	 α = ângulo de inclinação do dente da roda
O cálculo do diâmetro primitivo é:
Dp N ma= .
Ou:
Dp N Pa.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 122_Livro_Elementos de Máquinas.indb 122 20/05/2022 14:10:3720/05/2022 14:10:37
– 123 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
Onde: Dp = diâmetro primitivo
 N = número de dentes
 Pa = passo aparente
O cálculo do diâmetro externo é dado por:
De Dp m� � 2
Onde: De = diâmetro externo
 Dp = diâmetro primitivo
 m = módulo
Já o diâmetro interno é calculado por:
Di m N
cos
m. ,2 33
Onde: Di = diâmetro interno
 m = módulo
 N = número de dentes
	 	 α = ângulo de inclinação do dente da roda
O passo da hélice é calculado por:
Ph Dp
tg
.
Onde: Ph = passo da hélice
 Dp = diâmetro primitivo
	 	 α = ângulo de inclinação do dente da roda
Dessa forma, é possível encontrar todos os valores necessários para 
realizar a modelagem de uma engrenagem cilíndrica de dentes helicoidais.
Exemplo 3
Imagine que você deseja projetar uma engrenagem cilíndrica de 
dente helicoidal para ser a engrenagem de um motorredutor. As informa-
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 123_Livro_Elementos de Máquinas.indb 123 20/05/2022 14:10:3820/05/2022 14:10:38
Elementos de Máquinas
– 124 –
ções iniciais do projeto, de acordo com o espaço disponível, são: diâmetro 
do eixo do motor igual a 50 mm, módulo da engrenagem igual a 5 e uso do 
sistema em rotação média. Com base nesses dados, determine os seguintes 
valores: módulo aparente, passo aparente, passo real, diâmetro primitivo, 
diâmetro externo, altura do dente, passo da hélice e número de dentes.
Solução:
Como o sistema será de baixa rotação, o ângulo de inclinação do 
dente da roda em relação ao eixo geométrico é de 30°. Com isso, podemos 
começar calculando o valor do módulo aparente:
ma m
cos
� �
�
Substituindo os valores:
7 6ma
o ,
5
30
5
0 866
5 7
cos
Podemos, agora, utilizar a equação do diâmetro interno para calcular 
o número de dentes (N):
Di mN
cos
m. ,2 33
Isolando N:
N
Di m cos
m
, .2 33
Substituindo os valores:
N
cos o, .50 2 33 5 30
5
N 10 67 11
Com as informações obtidas, temos que o diâmetro primitivo é igual a:
Dp N ma= .
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 124_Livro_Elementos de Máquinas.indb 124 20/05/2022 14:10:4020/05/2022 14:10:40
– 125 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
Substituindo os valores encontrados (N = 11 e ma = 6):
Dp mm� �11 6 66
O diâmetro externo é:
De Dp m� � 2
Substituindo os valores (Dp = 66 mm e m = 5):
De � � � �66 2 5
De mm66 10 76
A altura do dente é:
h m= 2 167, .
Para m = 5:
h x mm2 167 5 11
O passo real pode ser calculado por:
Pr m
E:
Pr 5 15 70
O passo aparente é:
Pa Pr
cos
� �
�
Substituindo os valores (Pr = 15,70 e α = 30º):
Pa
o
, ,15 70
30
18 12
cos
Por fim, o passo da hélice é:
Ph Dp
tg
.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 125_Livro_Elementos de Máquinas.indb 125 20/05/2022 14:10:4320/05/2022 14:10:43
Elementos de Máquinas
– 126 –
Substituindo os valores (Dp = 66 mm e α = 30º):
Ph
tg
mm
o
.66
30
359 13
Respostas: módulo aparente (ma = 6), passo aparente (Pa = 18,12), 
passo real (Pr = 15,70), diâmetro primitivo (Dp = 66 mm), diâmetro 
externo (De = 76 mm), altura do dente (h = 11 mm), passo da hélice 
(Ph = 359,13 mm) e número de dentes (N = 11).
Exemplo 4
Imagine que você está desenvolvendo uma nova engrenagem cilíndrica 
de dentes helicoidais para o projeto de uma caixa de marcha de carro. Para que 
o dimensionamento ocorra da melhor forma possível, é necessário realizá-
-lo com muito cuidado. As informações iniciais do projeto são: o diâmetro 
interno necessário será de 30 mm, o módulo será igual a 2 e a roda será de 
média rotação. Com base nas informações apresentadas, faça o dimensiona-
mento de uma engrenagem cilíndrica de dentes helicoidais, determinando os 
seguintes valores: módulo aparente, passo aparente, passo real, diâmetro pri-
mitivo, diâmetro externo, altura do dente, passo da hélice e número de dentes.
Solução:
Como o problema é referente a uma engrenagem de média rota-
ção, então o ângulo de inclinação do dente da roda em relação ao eixo 
geométrico é de 30°. Com isso, podemos começar calculando o valor 
do módulo aparente:
ma m
cos
� �
�
Substituindo os valores:
ma
o ,
2
30
2
0 866
2 3
cos
Podemos, agora, utilizar a equação do diâmetro interno para calcular 
o número de dentes (N):
Di m N
cos
m. ,2 33
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 126_Livro_Elementos de Máquinas.indb 126 20/05/2022 14:10:4420/05/2022 14:10:44
– 127 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
Isolando N:
N
Di m cos
m
, .2 33
Substituindo os valores (Di = 30 mm; α = 30º e m = 2):
N
cos o, .30 2 33 2 30
2
N dentes�15
Com as informações obtidas, temos que o diâmetro primitivo é igual a:
Dp N ma= .
Substituindo os valores (N = 15 e ma = 2,3):
Dp mm15 2 3 34 5. ,
O diâmetro externo é:
De Dp m� � 2
Substituindo os valores (Dp = 34,5 mm e m = 2):
De � � � �34 5 2 4,
De mm34 5 4 38 5, ,
A altura do dente é:
h m= 2 2, .
Para m = 5:
h mm� �2 2 2 4 4, .
O passo real pode ser calculado por:
Pr m
Pr 2 6 28
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 127_Livro_Elementos de Máquinas.indb 127 20/05/2022 14:10:4820/05/2022 14:10:48
Elementos de Máquinas
– 128 –
O passo aparente é:
Pa Pr
cos
� �
�
Substituindo os valores (Pr = 6,28 e α = 30º):
Pa
o
, ,6 28
30
7 25
cos
Por fim, o passo da hélice é:
Ph Dp
tg
.
Substituindo os valores (Dp = 38,5 mm e α = 30º):
Ph
tg
mm
o
, .38 5
30
209 5
Respostas: módulo aparente (ma = 2,3), passo aparente (Pa = 7,25), 
passo real (Pr = 6,28), diâmetro primitivo (Dp = 34,5 mm), diâmetro 
externo (De = 38,5 mm), altura do dente (h = 4,4 mm), passo da hélice 
(Ph = 209,5 mm) e número de dentes (N = 15 dentes).
As engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais necessitam de 
bastante atenção e um bom plano de manutenção para garantir o total 
desempenho. Muitas vezes, a carga aplicada é tão alta e a constância 
de trabalho é tão grande que a coroa e o pinhão sofrem um nível ele-
vado de desgaste e precisam ser trocados. Esse tipo de engrenagem 
é aplicado desde em automóveis até redutores de velocidade, sendo, 
portanto, um elemento de suma importância. É fundamental refletir a 
respeito do plano de manutenção correto para esse tipo de elemento, 
como troca de óleo, severidade de trabalho e limpeza, a fim de garantir 
eficiência mecânica e segurança aos funcionários.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 128_Livro_Elementos de Máquinas.indb 128 20/05/2022 14:10:4820/05/2022 14:10:48
– 129 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
Para cálculos mais complexos de engrenagens helicoidais, há de se 
considerar três ângulos de interesse:
1. o ângulo de hélice ψ (o mesmo que o ângulo α apresentado nas 
equações de dimensionamento vistas);
2. o ângulo de pressão normal ϕn;
3. o ângulo de pressão transversal ϕt..
É função do projetista especificar o ângulo de hélice e um dos ângulos de 
pressão. O outro ângulo de pressão pode ser computado pela seguinte relação:
tg
tg
cost
n� �
�
Por exemplo, se o catálogo de um fabricante oferece engrenagens 
helicoidais com um ângulo de pressão normal de 14,5º e um ângulo de 
hélice de 45º, então o ângulo de pressão transversal pode ser encontrado 
da seguinte forma:
tg
tg
cost
n� �
�
tg
tg
cost
� �
� �
� �
�
14 5
45
0 3657
, º
º
,
�t tg� � � ��1 0 3657 20 09, , º
Pode-se compreender melhor os conceitos envolvidos na geometria 
da engrenagem helicoidal observando a Figura 5.9, que mostra uma cre-
malheira helicoidal básica, com os planos normal e transversal e a decom-
posição de forças. Uma cremalheira é uma engrenagem linear, ou engre-
nagem reta (não confundir com engrenagem de dente reto). Nesse caso, 
podemos dizer que ela corresponde a uma engrenagem cuja circunferência 
de base foi levada ao limite, o que a torna uma linha reta. Usaremos esse 
conceito para compreender a geometria dos dentes helicoidais.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 129_Livro_Elementos de Máquinas.indb 129 20/05/2022 14:10:5120/05/2022 14:10:51
Elementos de Máquinas
– 130 –
Figura 5.9 – Cremalheira helicoidal mostrando os planos e a decomposição de forças
Fonte: Atlan Coelho.
O passo transversal pt é a hipotenusa do triângulo reto ABC (Figura 
5.9), sendo que, dessa forma, equivale a:
p
p
cost
n�
�
O passo axial px pode ser definido como a hipotenusa do triângulo 
reto BCD, por isso é dado pela equação:
p
p
senx
n�
�
pt corresponde ao passo circular pc, medido no plano de referência 
de uma engrenagem circular, isto é, uma engrenagem cuja circunferência 
de base é bem definida. O passo diametral é mais comumente utilizado na 
definição do tamanho do dente e está relacionado ao passo circular por:
p N
d p pd c t
� � �
� �
Nesse caso, N é o número de dentes e d é o diâmetro de referência.
O passo diametral no plano normal é dado por:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 130_Livro_Elementos de Máquinas.indb 130 20/05/2022 14:10:5220/05/2022 14:10:52
– 131 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
p
p
cosnd
d�
�
O módulo, em unidades métricas, é dado por:
m d
N
=
O módulo m, para engrenagens helicoidais, é válido para o plano 
transversal da engrenagem. O módulo normal mn é o inverso do passo 
diametral no plano normal e é reportado em milímetros, dado por:
m m cosn � � �
É necessário estar atento às unidades no momento de calcular 
a geometria das engrenagens, uma vez que cálculos realizados em 
polegadas são comumente encontrados na literatura. Não se esqueça de 
fazer as conversões necessárias, lembrando que uma polegada equivale 
a 25,4 milímetros.
Exemplo 5
Uma engrenagem cilíndrica de dentes helicoidais tem um passo dia-
metral normal igual a 12, um ângulo de pressão normal de 20º, 48 den-
tes, uma largura de face de 1,50 polegada e um ângulo de hélice de 45º. 
Calcule o passo normal, o passo axial e o diâmetro de referência.
Observação: trabalhe com polegadas, e não com milímetros.
Solução:Começando pelo passo normal:
p p cosn t� � (1)
Como não temos pt, há outra equação que podemos utilizar:
p
pt d
�
�
(2)
Ainda assim, não temos o valor de pd. Podemos buscar alguma equa-
ção que relacione pd com pnd. Dessa forma:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 131_Livro_Elementos de Máquinas.indb 131 20/05/2022 14:10:5420/05/2022 14:10:54
Elementos de Máquinas
– 132 –
p p cosd nd� � (3)
Substituindo (3) em (2), temos que:
p
p cost nd
�
�
� (4)
Substituindo (4) em (1), obtemos, enfim, uma equação para o 
passo normal:
p
p cos
cos
pn nd nd
� � �
�
�
�
�
0 2618, "
O passo axial pode ser confirmado na obtenção da solução para 
a equação:
p
p
sen senx
n� �
� �
�
�
0 2618
45
0 370
,
º
, "
Por fim, o diâmetro de referência d é obtido pela equação que rela-
ciona o número de dentes da engrenagem N com o passo circular pd:
p N
dd
=
d N
p p cos cosd nd
� � �
� �
�
48 48
12 45
5 657
� º
, "
Vimos neste capítulo os tipos de engrenagens e tratamos as engre-
nagens cilíndricas de dentes retos, bem como seu dimensionamento. Por 
fim, estudamos algumas características das engrenagens cilíndricas de 
dentes helicoidais, sua geometria básica e seus ângulos importantes em 
um dimensionamento mais complexo.
Para saber mais de engrenagens, tipos, partes, engrenagens 
cilíndricas, cônicas e cremalheiras, assista ao vídeo “Telecurso 
2000 - Elementos de Máquinas - 32 Engrenagens I”.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 132_Livro_Elementos de Máquinas.indb 132 20/05/2022 14:10:5820/05/2022 14:10:58
– 133 –
Transmissão por engrenagens cilíndricas
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=udn-
-kRpSdhQ&t=9s>. Acesso em: 9 abr. 2022.
Atividades
1. Um operador de uma fábrica está diante de algumas engrena-
gens de dentes retos cuja avaliação foi solicitada pelo chefe. Ele 
pega uma engrenagem aleatoriamente e percebe que ela tem 90 
dentes e diâmetro externo de 272 mm. O chefe quer saber qual é 
o módulo e qual é o diâmetro primitivo da engrenagem:
2. A engrenagem de uma máquina antiga quebra e você deve ser 
capaz de determinar os dados dela para substituí-la corretamente. 
Para isso, você junta os fragmentos da engrenagem e conta o 
número de dentes: 52. Depois, você mede o eixo e obtém 100 
mm. Com base na situação apresentada e nos dados fornecidos, 
calcule os valores aproximados do módulo, do passo e do diâ-
metro primitivo:
3. Um operador de uma fábrica nota que a engrenagem helicoi-
dal de uma máquina muito importante quebrou. Comunicado, 
o chefe pede que ele calcule a engrenagem a ser substituída. 
O operador então observa que a máquina tem rotação média 
e a engrenagem tem diâmetro externo de 44 mm e módulo 2. 
Baseando-se nos dados que o operador tem, a engrenagem sele-
cionada tem quantos dentes?
4. Em um dia agradável, um motorista passeia de carro quando de 
repente o veículo quebra. O homem abre o capô e descobre que 
uma engrenagem helicoidal está com os dentes danificados e a 
ponto de quebrar. Então, ele para em uma oficina e o mecânico 
diz que é preciso trocar a engrenagem por uma nova, com 15 
dentes e diâmetro primitivo de 50 mm. Para que funcione em 
alta rotação, o valor do módulo deve ser igual a quanto? Utilize 
duas casas decimais nos cálculos.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 133_Livro_Elementos de Máquinas.indb 133 20/05/2022 14:10:5820/05/2022 14:10:58
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 134_Livro_Elementos de Máquinas.indb 134 20/05/2022 14:10:5820/05/2022 14:10:58
6
Transmissão por 
engrenagens cônicas 
e coroa sem-fim
Neste capítulo, trataremos de um tipo específico de engre-
nagem: cônica. Veremos também o conjunto coroa e parafuso 
sem-fim. Abordaremos as principais características desses ele-
mentos, bem como as formas de dimensioná-los.
6.1 Engrenagens cônicas
As engrenagens cônicas compreendem elementos que, 
de acordo com Mott (2015), são utilizados na transferência de 
movimento entre eixos não paralelos, geralmente a 90 graus 
(dispostos perpendicularmente) um do outro. Norton (2010) 
complementa que, da mesma forma que as engrenagens cilín-
dricas de dentes retos e de dentes helicoidais são baseadas em 
cilindros rolantes, as engrenagens cônicas se baseiam em cones 
rolantes (Figura 6.1).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 135_Livro_Elementos de Máquinas.indb 135 20/05/2022 14:10:5920/05/2022 14:10:59
Elementos de Máquinas
– 136 –
Figura 6.1 – Cilindros rolantes
Fonte: elaborada pela autora.
Na figura da esquerda, os vértices dos cones não são coincidentes, 
mas na figura da direita os vértices se encontram. O ângulo entre os eixos 
e a superfície dos cones pode ter quaisquer valores compatíveis, desde 
que os vértices dos cones se intersectem. Se não houver intersecção, há 
uma diferença de velocidade na junção. Como o vértice do cone tem raio 
zero, a velocidade, nesse ponto, também é zero. Outros pontos, ao longo 
da superfície do cone, têm velocidade não nula.
As aplicações das engrenagens cônicas são bem diversificadas, 
podendo ser ferroviárias, marinhas, automotivas, em torres de refrigera-
ção, usinas elétricas, entre outras. Algumas aplicações de destaque são:
 2 diferenciais, que transmitem torque a dois semieixos rotacio-
nando em velocidades diferentes;
 2 principal mecanismo de furadeiras manuais, acionado por 
engrenagens cônicas – conforme a manivela que pressiona 
a broca é girada na direção vertical, as engrenagens cônicas 
mudam a rotação do mandril para uma rotação horizontal, 
possibilitando a furação;
 2 engrenagens cônicas espirais – componentes importantes em 
sistemas de propulsão de aeronaves de asas rotativas, como heli-
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 136_Livro_Elementos de Máquinas.indb 136 20/05/2022 14:10:5920/05/2022 14:10:59
– 137 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
cópteros, pois direcionam o movimento no sentido vertical, a 
partir de um motor com um eixo horizontal, permitindo que o 
rotor do helicóptero gire.
Como todas as engrenagens, sua utilização tem vantagens e desvan-
tagens. O Quadro 6.1 mostra algumas das vantagens e das desvantagens 
das engrenagens cônicas.
Quadro 6.1 – Vantagens e desvantagens das engrenagens cônicas
Vantagens Desvantagens
Possibilidade de alteração 
no ângulo de operação. Exige montagem precisa.
Operação silenciosa e com 
vibração reduzida.
Os rolamentos nos eixos que 
carregam as engrenagens cônicas 
devem suportar forças elevadas.
Arranjo de engrenagens 
cônicas compacto.
A eficiência é reduzida em 
comparação com engrenagens 
cilíndricas de dentes retos.
Fonte: adaptado de Norton (2013) e Mott (2015).
Quanto à geometria, as engrenagens cônicas podem ser cônicas de den-
tes retos, cônicas de dentes espirais (ou helicoidais) e hipoides. As engre-
nagens cônicas de dentes retos são as mais comuns e indicadas para velo-
cidades de até 1.000 ft/min, ou 5 m/s, para casos em que o nível do ruído 
não é relevante. Sua popularização se deve à possibilidade de a engrenagem 
assumir diferentes tamanhos, bem como pelo baixo custo de produção.
Uma das grandes dificuldades de quando se trata de engrenagens cônicas 
envolve o correto dimensionamento de seus dentes. As engrenagens cônicas 
com dentes helicoidais ou espirais são indicadas para sistemas cuja veloci-
dade é considerada alta. Além disso, são recomendadas para sistemas em que 
o nível de ruído tem alta importância. Esse tipo de engrenagem é frequente-
mente utilizado e desejado em automóveis devido à boa performance.
6.1.1 Geometria das engrenagens cônicas
As características das engrenagens cônicas variam de acordo com o 
tipo de dente de que é composta. Vimos que os dentes das engrenagens côni-
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 137_Livro_Elementos de Máquinas.indb 137 20/05/2022 14:10:5920/05/2022 14:10:59
Elementos de Máquinas
– 138 –
cas mais utilizadas podem ser retos, espirais e hipoides. A Tabela 6.1 apresenta 
as principais características das engrenagens cônicas pelo tipo de dente.
Tabela6.1 – Características das engrenagens cônicas por tipo de dente
Parâmetro Cônicas retas Cônicas espirais Hipoides
Arranjo 
dos eixos
Eixos 
cruzados Eixos cruzados
Eixos não 
cruzados, não 
paralelos
Razão de 
engrenamento 3:2 a 5:1 3:2 a 4:1 10:1 a 200:1
Eficiência 93-97% 95-99% 80-95%
Aplicação Diferencial, prensa móvel
Tratores, caixa 
de redução
Caminhões de 
porte grande
Resistência Média Alta Alta
Durabilidade Baixa Alta Alta
Ruído e 
vibração
Médio, menor 
do que nas 
ECDRs*
Baixo, menos que 
as cônicas retas
Baixo, menos 
ruídos que as 
cônicas espirais
Custo Baixo Médio Médio
* Engrenagem cilíndrica de dentes retos.
Fonte: adaptada de Norton (2010), Norton (2013) e Mott (2015).
A nomenclatura das engrenagens cônicas segue algumas conven-
ções já vistas para as engrenagens cilíndricas (de dentes retos e helicoi-
dais), embora um novo ângulo seja introduzido, que é o ângulo do cone. 
“Engrenagem” e “coroa” continuam sendo termos intercambiáveis e se 
referem à engrenagem maior. A engrenagem menor continua sendo cha-
mada de pinhão.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 138_Livro_Elementos de Máquinas.indb 138 20/05/2022 14:10:5920/05/2022 14:10:59
– 139 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
Figura 6.2 – Partes da engrenagem cônica
Fonte: Atlan Coelho.
As características distintas da engrenagem cônica são:
 2 ae – ângulo externo;
 2 ap – ângulo primitivo;
 2 ai – ângulo interno;
 2 ac – ângulo do cone complementar;
 2 L – largura do dente.
Em uma engrenagem cônica, o diâmetro externo (De) pode ser 
medido, o número de dentes (Z) pode ser contado e o ângulo primitivo (δ) 
pode ser calculado. Na Figura 6.3 é possível ver a posição dessas cotas.
Figura 6.3 – Cotas da engrenagem cônica
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 139_Livro_Elementos de Máquinas.indb 139 20/05/2022 14:10:5920/05/2022 14:10:59
Elementos de Máquinas
– 140 –
Vamos agora definir as fórmulas para os cálculos do dimensiona-
mento das engrenagens cônicas.
O diâmetro externo (De) é encontrado pela equação:
De Dp M cos� � 2. . �
Onde: De = diâmetro externo
 Dp = diâmetro primitivo
 M = módulo
	 	 δ = ângulo primitivo
Para o cálculo do diâmetro primitivo:
Dp M Z= .
Onde: Dp = diâmetro primitivo
 M = módulo
 Z = número de dentes
Para o cálculo do ângulo primitivo:
tag Z
Za
� � �
Onde: δ = ângulo primitivo
Z = número de dentes da engrenagem que será construída
Za = número de dentes da engrenagem que será acoplada
Partindo dessas três equações, podemos chegar à equação com a qual se 
pode calcular o módulo (M). Substituindo a equação de Dp na equação do De:
De M Z M cos� �. .2 �
Reescrevendo e isolando em função do módulo:
M De
Z cos
�
� 2. �
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 140_Livro_Elementos de Máquinas.indb 140 20/05/2022 14:11:0320/05/2022 14:11:03
– 141 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
Onde: M = módulo
 Z = número de dentes da engrenagem
	 	 δ = ângulo primitivo
Exemplo 1
Um projetista deseja obter as informações para a construção de uma 
engrenagem cônica. Ele sabe que a engrenagem tem diâmetro externo de 
63,88 mm, deve ter 30 dentes e ser acoplada a outra engrenagem com 120 
dentes. Nessas condições, encontre o módulo da engrenagem a ser construída.
Solução:
O primeiro passo é calcular o ângulo primitivo da engrenagem:
tag Z
Za
� � �
Dados: Z = 30
 Za = 120
tag 30
120
0 25
E:
tg , o1 0 25 14 03
Com o valor do ângulo primitivo, podemos calcular o módulo:
M De
Z cos
�
� 2. �
Onde: Z = 30
 De = 63,88 mm
	 	 δ = 14,03º
Substituindo os valores na equação:
M �
� � �
63 88
30 2 14 03
,
. ,cos
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 141_Livro_Elementos de Máquinas.indb 141 20/05/2022 14:11:0520/05/2022 14:11:05
Elementos de Máquinas
– 142 –
M �
� � �
63 88
30 2 0 97
,
. ,
M �
�
� �
63 88
30 1 94
63 88
31 94
2
,
,
,
,
M� �=2
Vamos definir, agora, os ângulos da cabeça e do pé do dente. A Figura 6.4 
apresenta a configuração da cabeça e pé do dente com os respectivos ângulos.
Figura 6.4 – Ângulos da cabeça e do pé do dente
γ - ângulo da cabeça do dente
ψ	- ângulo do pé do dente
δ	- ângulo primitivo
Fonte: Atlan Coelho.
O ângulo da cabeça do dente (γ) é definido pela equação:
tg sen
Z
.2
tg .sen
Z
1 2
Onde: γ = ângulo da cabeça do dente
	 	 δ = ângulo primitivo
 Z = número de dentes da engrenagem
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 142_Livro_Elementos de Máquinas.indb 142 20/05/2022 14:11:0920/05/2022 14:11:09
– 143 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
O cálculo do ângulo do pé do dente depende do ângulo de pressão. 
Há duas opções.
Para ângulo de pressão α = 14,5º ou 15º:
tg sen
Z
, .2 33
. .tg sen
Z
1 2 33ψ�
Para ângulo de pressão α = 20º:
tg sen
Z
, .2 5
. .tg sen
Z
1 2 5
Onde: ψ = ângulo do pé do dente
	 	 δ = ângulo primitivo
 Z = número de dentes da engrenagem
Exemplo 2
Calcule os ângulos do pé e da cabeça do dente com os mesmos dados 
do Exemplo 1, sabendo que o ângulo de pressão é de 14,5º.
Solução:
Dados: Z = 30
		 δ = 14,03º
		 α = 14,5º
Para calcular o ângulo da cabeça do dente:
tg
. ,sen1 2 14 03
30
tg
. ,1 2 0 2424
30
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 143_Livro_Elementos de Máquinas.indb 143 20/05/2022 14:11:1020/05/2022 14:11:10
Elementos de Máquinas
– 144 –
tg 1 0 01616
� � 0 920,
Para calcular o ângulo da cabeça na condição do ângulo de pressão 
igual a 14,5º:
. .tg sen
Z
1 2 33ψ�
. . ,
tg
sen1 2 33 14 03
30
ψ�
. . ,
tg 1
2 33 0 2424
30
ψ�
,tg 1 0 01883ψ�
�1 08oψ�
Para a construção da engrenagem cônica, é preciso conhecer mais 
dois ângulos, mostrados nas Figuras 6.5 e 6.6.
Figura 6.5 – Ângulos de inclinação do carro superior
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 144_Livro_Elementos de Máquinas.indb 144 20/05/2022 14:11:1120/05/2022 14:11:11
– 145 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
O ângulo ω é utilizado para o torneamento da superfície cônica do 
material da engrenagem, sendo o mesmo ângulo do carro superior do torno 
que irá realizar o torneamento cônico do material. Esse ângulo é a soma do 
ângulo primitivo (δ) com o ângulo da cabeça do dente (γ):
� � �� �� �
Outro ângulo que deve ser conhecido é σ, que representa quanto o 
fresador deve inclinar o cabeçote divisor para fresar a engrenagem cônica. 
Esse ângulo está representado na Figura 6.6.
Figura 6.6 – Ângulo de inclinação do cabeçote divisor
Fonte: Atlan Coelho.
Esse ângulo representa o ângulo primitivo menos o ângulo do pé do dente:
� �� �� �
Para finalizar os cálculos da geometria da engrenagem cônica, deve-
mos encontrar a altura total do dente:
h a b� �
Onde: h = altura total do dente
 a = altura da cabeça do dente
 b = altura do pé do dente
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 145_Livro_Elementos de Máquinas.indb 145 20/05/2022 14:11:1220/05/2022 14:11:12
Elementos de Máquinas
– 146 –
A altura da cabeça do dente é igual ao módulo, e a altura do pé do 
dente depende do ângulo de pressão:
a M=
Para ângulo de pressão igual a 14,5º ou 15º:
b M=1 17, .
Para ângulo de pressão igual a 20º:
b M=1 25, .
Outra característica geométrica das engrenagens cônicas é que elas 
raramente são fabricadas com adendos iguais no pinhão e na engrenagem. 
Um pinhão de adendo alongo é usado com a porcentagem de aumento 
variando de zero, na razão 1:1, até mais de 50%, em razões de engrena-
mento mais elevadas. O dente do pinhão, por consequência, acaba sendo 
mais forte do que o da engrenagem.
A razão de engrenamento, por sua vez, representa a redução na velo-
cidade (ou aumento, se for o caso) e é afetada diretamente pela geometria 
das engrenagens cônicas. Se o número de dentes no pinhão é 15 e o número 
de dentes na engrenagem é 60, temos uma razão de engrenamento igual a:
m
N
NG
g
p
= =
60
15
Essa razão representa uma redução de velocidade igual a 4. Ainda, 
podemos calcular o diâmetro primitivo para o pinhãoda seguinte forma:
d
N
p
m Np
p
d
p� � �
Onde: m = módulo
 Np = número de dentes do pinhão
E para a engrenagem (coroa):
d
N
p
m Ng
g
d
g� � �
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 146_Livro_Elementos de Máquinas.indb 146 20/05/2022 14:11:1620/05/2022 14:11:16
– 147 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
Digamos que o módulo escolhido para as engrenagens citadas foi 
de m = 3. Podemos obter, respectivamente, o diâmetro do pinhão e da 
engrenagem com:
d m N mm mmp p 3 15 45
d m N mm mmg g 3 60 180
A montagem com eixo biapoiado é preferida para que o eixo suporte 
melhor os carregamentos axiais em engrenagens cônicas. Esse tipo de 
montagem é difícil, tanto no pinhão quanto na coroa, ficando, geralmente, 
o eixo do pinhão em balanço e o da coroa, biapoiado.
6.2 Coroa sem-fim
O engrenamento sem-fim serve para descrever um par que consiste 
em um parafuso ou rosca sem-fim acoplado (ou somente sem-fim) a 
uma roda ou coroa sem-fim (também chamada de engrenagem sem-fim). 
Vários motivos podem levar o projetista a optar por uma engrenagem do 
tipo sem-fim; o primeiro e principal é a alta taxa de redução.
Uma engrenagem sem-fim pode ter uma relação de redução bastante 
alta com pouco esforço. Tudo o que se deve fazer é adicionar circunfe-
rência à coroa, que pode ser usada, portanto, para aumentar muito o tor-
que ou reduzir muito a velocidade. Em engrenagens convencionais, nor-
malmente, vários estágios são necessários para se obter o mesmo nível 
de redução de uma única engrenagem sem-fim. Dessa forma, é possível 
afirmar que as engrenagens sem-fim são compactas. Razões (ou relações) 
entre 3:1 e 100:1 são facilmente obtidas.
Outro motivo para se usar uma engrenagem sem-fim é a incapacidade 
de realizar o acionamento inverso, ou a capacidade de autotravamento. 
Devido ao atrito entre o parafuso e a coroa, é praticamente impossível que 
a coroa com força aplicada a ela inicie o movimento do parafuso sem-
-fim. Em uma engrenagem padrão, a entrada e a saída podem ser giradas 
independentemente, uma vez que a força suficiente seja aplicada, e isso 
exige a adição de um contrarrecuo (dispositivo mecânico de segurança 
que permite que o eixo tenha um único sentido de rotação), aumentando a 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 147_Livro_Elementos de Máquinas.indb 147 20/05/2022 14:11:1620/05/2022 14:11:16
Elementos de Máquinas
– 148 –
complexidade do conjunto. Nas engrenagens sem-fim, o sem-fim aciona o 
sistema, mas a coroa não.
Para entender a geometria e o dimensionamento desse sistema de 
engrenamento, observe a Figura 6.7. O parafuso com rosca sem-fim pode 
ter uma ou mais entradas que influenciam todo o sistema.
Figura 6.7 – Entradas do parafuso sem-fim
Fonte: Atlan Coelho.
O número de entradas de um parafuso tem influência direta na trans-
missão do movimento. Por exemplo, se um parafuso apresenta uma única 
entrada e está acoplado a uma coroa de 60 dentes, então a cada volta do 
parafuso a coroa irá girar apenas um dos dentes. Logo, a coroa, tendo 60 
dentes, precisa de 60 voltas do parafuso para uma volta completa da coroa. 
Dessa forma, a rotação por minuto da coroa é 60 vezes menor que a rota-
ção do parafuso. Agora, considerando que o parafuso sem-fim apresenta 
um giro de 1.800 rpm, a coroa deverá girar o equivalente a 1.800 rpm 
dividido por 60, o que resulta em 30 rpm (MOTT, 2015).
Ademais, considerando um novo sistema composto por uma coroa com 
60 dentes e um parafuso sem-fim de duas entradas, a cada volta do parafuso 
teremos dois giros dos dentes da coroa; assim, 30 voltas do parafuso serão 
suficientes para fazer um giro completo da coroa. Portanto, a rotação por 
minuto da coroa é 30 vezes menor que a rotação por minuto do parafuso 
com rosca sem-fim. Dessa forma, em um sistema no qual o parafuso sem-
-fim gira a 1.800 rpm, a coroa irá girar o equivalente a 1.800 dividido por 30, 
resultando em 60 rpm. A rotação da coroa pode ser expressa pela equação:
Nc Np Ne
Zc
�
.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 148_Livro_Elementos de Máquinas.indb 148 20/05/2022 14:11:1720/05/2022 14:11:17
– 149 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
Onde: Nc = rotação da coroa
 Np = rotação do parafuso
 Ne = número de entradas do parafuso
 Zc = número de dentes da coroa
Considerando o exemplo citado, temos: na primeira situação, a coroa 
tem 60 dentes e o parafuso uma entrada; supondo que a rotação do para-
fuso seja 1.800 rpm, a rotação da coroa será de quanto?
Nc rpm� �. .1 800 1
60
30
Na segunda situação, se houver duas entradas no parafuso, teremos:
Nc rpm� �. .1 800 2
60
60
Ainda considerando a Figura 6.7, pode-se observar outros termos 
importantes: o passo (P) e o avanço (Ph). Segundo Collins e Pacheco (2013), 
a relação que deve existir entre passo e avanço é a fornecida pela equação:
Ph Ne P= .
Onde: Ph = avanço
 Ne = número de entradas do parafuso
 P = passo
O módulo é outra informação bastante importante em casos que 
envolvem o dimensionamento do parafuso com rosca sem-fim e coroa. 
Para o cálculo do passo, utilizamos a seguinte equação:
M de De E.2
4
Onde: de = diâmetro externo do parafuso
 De = diâmetro externo da coroa
 E = distância entre os centros do parafuso e da coroa
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 149_Livro_Elementos de Máquinas.indb 149 20/05/2022 14:11:1720/05/2022 14:11:17
Elementos de Máquinas
– 150 –
Além das informações mencionadas, podemos calcular as seguintes 
informações referentes à coroa:
 2 M – módulo;
 2 Zc – número de dentes;
 2 Dp – diâmetro primitivo;
 2 De – diâmetro externo;
 2 l – largura da roda;
 2 R – raio;
 2 δ – ângulo dos chanfros da coroa;
 2 a – altura da cabeça do dente;
 2 b – altura do pé do dente;
 2 h – altura total do dente;
 2 β – ângulo da hélice;
 2 E – distância entre eixos da coroa e da rosca sem-fim
Para o parafuso sem-fim, podemos calcular:
 2 de – diâmetro externo;
 2 dp – diâmetro primitivo;
 2 γ – ângulo do flanco do filete.
A Figura 6.8 apresenta os parâmetros que podem ser calculados.
Figura 6.8 – Parâmetros de coroa e sem-fim
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 150_Livro_Elementos de Máquinas.indb 150 20/05/2022 14:11:1820/05/2022 14:11:18
– 151 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
De acordo com Collins e Pacheco (2013), as equações para o cálculo 
das incógnitas apresentadas são:
P M� .�
D De R cos2 2 1� � �� �. �
De Dp M� � 2.
E Dp dp
2
Dp M Zc
cos
.
Dp De M� � 2.
dp de M� � 2.
R E De� �
2
cos dp
de
� � �
cos M Z
Dp
.
h a b� �
Onde: a = M
 b = depende do ângulo de pressão
Para ângulo de pressão igual a 14,5º ou 15º:
b M=1 167, .
h M= 2 167, .
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 151_Livro_Elementos de Máquinas.indb 151 20/05/2022 14:11:2520/05/2022 14:11:25
Elementos de Máquinas
– 152 –
Para ângulo de pressão igual a 20º:
b M=1 25, .
h M= 2 25, .
Exemplo 3
Considere, em um sistema coroa e parafuso sem-fim, que você pre-
cisa encontrar o número de dentes do parafuso, o passo da coroa, o diâ-
metro primitivo da coroa e o diâmetro primitivo do parafuso a partir dos 
seguintes dados:
 2 a rotação da coroa é igual a 1.000 rpm;
 2 o número de entradas do parafuso sem-fim deve ser igual a 1;
 2 a rotação esperada do parafuso deve ser igual a 10.000 rpm;
 2 o módulo-padrão é igual a 6;
 2 o diâmetro externo da coroa é igual a 300 mm;
 2 o diâmetro externo do parafuso é de 30 mm;
 2 a distância entre eixos é igual a 450 mm.
Solução:
Primeiro encontramos o número de dentes da coroa:
Nc Np Ne
Zc
�
.
Dados: Ne = 1
 Nc = 1.000 rpm
 Np = 10.000 rpm
Substituindo na equação:
1000 10 000 1� . .
Zc
Zc � �.
.
10 000
1 000
10
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 152_Livro_Elementos de Máquinas.indb 152 20/05/2022 14:11:2720/05/2022 14:11:27
– 153 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
10ZC �
O passo da coroa é encontrado pela equação:
P M� .�
Dado: M = 6
Substituindo:
P � 6.�
P mm�18 85
Paraencontrarmos o diâmetro primitivo da coroa, utilizaremos 
a equação:
Dp De M� � 2.
Dados: De = 300 mm
 M = 6
Substituindo os valores:
Dp x mm300 2 6 300 12 288
Para o cálculo do diâmetro primitivo do parafuso, podemos usar 
a equação:
dp de M� � 2.
Dados: dp = 30 mm
 M = 6 mm
Substituindo os valores:
dp x� �30 2 6
dp � �30 12
dp = 18 mm
Com as informações encontradas, é possível realizar o esboço de um 
projeto mecânico de um conjunto que contém uma coroa e um parafuso 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 153_Livro_Elementos de Máquinas.indb 153 20/05/2022 14:11:3120/05/2022 14:11:31
Elementos de Máquinas
– 154 –
sem-fim. É necessário reforçar que algumas informações devem vir do 
projeto, como a rotação que se espera/precisa e a distância entre eixos.
Exemplo 4
Você é o responsável pelo setor de manutenção de uma empresa. 
Certo dia, uma coroa de 80 dentes quebra. Essa coroa era engrenada com 
um parafuso com rosca sem-fim. Ao analisar o parafuso com rosca sem-
-fim, você consegue as seguintes informações: módulo da coroa = 3; diâ-
metro primitivo = 22 mm; diâmetro externo = 28 mm; ângulo da hélice = 
7,5°; ângulo de pressão = 15°; há apenas uma entrada no parafuso. Além 
disso, apesar de a coroa estar quebrada, com o auxílio de um paquímetro 
você consegue obter o diâmetro externo: 200 mm. Com base nas informa-
ções, considere que você precisa mandar produzir outra coroa para repor 
a peça quebrada. Assim, calcule o diâmetro primitivo, o passo e a altura 
total do dente da coroa.
Solução:
Dados: M = 3
 dp = 22 mm
 de = 28 mm
		 β = 7,5º
 ângulo de pressão = 15º
 De = 200 mm
Começaremos calculando o diâmetro primitivo da coroa:
Dp De M� � 2.
Substituindo os valores:
Dp x mm200 2 3 200 6 194
194Dp mm�
O passo deve ser calculado pela equação:
P M� .�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 154_Livro_Elementos de Máquinas.indb 154 20/05/2022 14:11:3320/05/2022 14:11:33
– 155 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
Substituindo:
P � 3.�
mm9 42,�
A altura do dente tem um cálculo diferente, a depender do ângulo de 
pressão. Como foi dado o ângulo de pressão igual a 15º:
h M= 2 167, .
3 6h mm, .2 167 5
6 5 mm� ,
6.3 Rendimento de transmissões
Você sabia que todo elemento mecânico apresenta um rendimento a 
ser considerado? Isso acontece devido à eficiência da transmissão e das 
perdas de energia que existem durante o percurso. De forma bastante sim-
ples, a eficiência mecânica nos elementos de máquinas pode ser calculada 
utilizando a seguinte equação (MOTT, 2015):
Ef P útil
P motriz
�
.
Onde: Ef = eficiência energética/rendimento
Pútil = potência disponível após a transmissão na árvore movida
Pmotriz = potência de acionamento na árvore motora
A conversão entre as unidades mais usuais de potência é: 
1 kW = 1,341 hp.
Em geral, diferentes máquinas e elementos apresentam diferentes 
valores de eficiência, contudo é possível generalizar a eficiência mecânica 
dos elementos de acordo com a categoria, para poupar tempo e facilitar os 
cálculos. Dessa forma, a eficiência, por processo de fabricação das engre-
nagens, é fornecida na Tabela 6.2.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 155_Livro_Elementos de Máquinas.indb 155 20/05/2022 14:11:3520/05/2022 14:11:35
Elementos de Máquinas
– 156 –
Tabela 6.2 – Eficiência de elementos de máquinas
Elemento de máquina Rendimento
Engrenagens
Engrenagens fundidas 0,92 a 0,93
Engrenagens usinadas 0,96 a 0,98
Fonte: adaptada de Ceará (2011).
Vale salientar que as informações apresentadas na Tabela 6.2 não são 
uma regra e é possível realizar cálculos para determinar a eficiência mecâ-
nica de acordo com o sistema específico.
Exemplo 5
Supondo que um elemento tenha rendimento de 96% e a potência útil 
do sistema seja de 3 kW, qual é a potência motriz?
Solução:
O rendimento pode ser calculado pela equação:
Ef P útil
P motriz
�
.
Onde:
P m
0 96 3000�
otriz
W
P motriz W.
,
�
3000
0 96
Potência motora = 3125 W.
. ,P m kW�3 125
Exemplo 6
Supondo que um elemento tenha rendimento de 95% e a potência 
motriz seja de 180 hp, qual é a potência útil do elemento?
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 156_Livro_Elementos de Máquinas.indb 156 20/05/2022 14:11:3520/05/2022 14:11:35
– 157 –
Transmissão por engrenagens cônicas e coroa sem-fim
Solução:
Utilizando a equação:
Ef P útil
P motriz
�
.
Substituindo os valores:
0 95
180
,
.
=
P útil
hp
Então:
Pútil x�180 0 95,
Pútil hp�171
Vimos neste capítulo as características das engrenagens cônicas, 
suas vantagens e suas desvantagens, bem como sua geometria, as equa-
ções e o dimensionamento. Vimos também algumas características do 
sistema coroa e parafuso sem-fim, sua geometria e as equações para o 
dimensionamento. Por fim, falamos um pouco da eficiência mecânica 
dos diversos elementos de máquina.
A transmissão de parafuso sem-fim e coroa apresenta algu-
mas características semelhantes à transmissão dentada, mas a 
transmissão sem-fim tem dentes helicoidais, o que é um grande 
diferencial. Entre as vantagens de se utilizar esse sistema, há a 
possibilidade de serem obtidos altos valores de relação de trans-
missão, suavização de vibrações e de ruídos e deslocamentos pre-
cisos. Como desvantagem, há o baixo rendimento e a necessidade 
de produzir o parafuso com material antifricção. Para visualizar o 
funcionamento do parafuso sem-fim e da coroa, acesse: <https://
commons.wikimedia.org/wiki/File:Worm_Gear.gif>.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 157_Livro_Elementos de Máquinas.indb 157 20/05/2022 14:11:3620/05/2022 14:11:36
Elementos de Máquinas
– 158 –
Atividades
1. Sabendo que uma engrenagem cônica tem módulo 4, trabalha 
com eixos a 90º, tem 54 dentes, a engrenagem que será acoplada 
tem 180 dentes e o ângulo de pressão é 20º, calcule o ângulo da 
cabeça do dente:
2. Um projetista deseja obter as informações para a construção de 
uma engrenagem cônica. Ele sabe que a engrenagem tem diâme-
tro externo de 115 mm, deve ter 54 dentes com ângulo de hélice 
de 10º e ser acoplada a outra engrenagem com 180 dentes. Nes-
sas condições, encontre o diâmetro primitivo da engrenagem:
3. Considere um conjunto de coroa e parafuso sem-fim em que a 
coroa tem 50 dentes e o parafuso rosca sem-fim é de uma entrada 
com diâmetro externo do parafuso de 28 mm, diâmetro externo 
da coroa de 104,4 mm, espaço entre centros de 62,2 mm e ângulo 
de pressão de 20º. Nessas condições, calcule o diâmetro primi-
tivo da coroa e do parafuso:
4. Supondo que um elemento exerça uma potência motriz de 180 hp 
e uma potência útil de 100 kW, qual é a eficiência do elemento?
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 158_Livro_Elementos de Máquinas.indb 158 20/05/2022 14:11:3620/05/2022 14:11:36
7
Elementos 
elásticos: molas
Suponha que você esteja passeando de carro por uma estrada 
não muito boa. Se você estiver em um veículo com suspensão 
dura, vai sentir todas as ondulações da pista, mas se estiver em 
um confortável nem vai sentir direito que está em uma estrada 
ruim. Sabe por quê? Porque o carro confortável tem um sistema 
de suspensão composto por uma mola e um amortecedor que 
absorve os choques da pista.
Absorver choques é uma das funções dos elementos elásti-
cos. Outras funções são armazenar energia, exercer força e pro-
porcionar flexibilidade. Neste capítulo, estudaremos os tipos de 
mola, seus dimensionamentos e suas aplicações.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 159_Livro_Elementos de Máquinas.indb 159 20/05/2022 14:11:3720/05/2022 14:11:37
Elementos de Máquinas
– 160 –
7.1 Introdução aos elementos elásticos
São chamados de elementos elásticos aqueles que são capazes de pro-
ver força ou armazenar energia. Você já viu algum filme de faroeste? Sabe 
aquelas portas de saloon, chamadas de porta vai e vem? Veja a Figura 7.1.
Figura 7.1 – Porta vai e vem
Fonte: Stock.adobe.com/eshma
Esse tipo de porta tem um sistema de molas que dá a força para osci-
lar ao ser empurrada e mantém o movimentobasculante até que toda a 
força seja anulada pelo atrito entre o material e o ar.
7.1.1 Tipos de mola
As molas podem ser classificadas pelo sentido e pela natureza da 
força exercida sobre elas. Quanto ao uso, podem ser de compressão, tra-
ção, radial ou torque. O Quadro 7.1 apresenta os tipos de mola de acordo 
com a natureza da força exercida sobre elas.
Quadro 7.1 – Classificação das molas
Uso Tipo de mola
Compressão
Molas helicoidais de compressão
Mola Belleville
Mola de torção, com força atuando na 
extremidade do braço de torque
Mola plana, como uma viga em balanço ou uma mola de lâminas
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 160_Livro_Elementos de Máquinas.indb 160 20/05/2022 14:11:3820/05/2022 14:11:38
– 161 –
Elementos elásticos: molas
Uso Tipo de mola
Tração
Mola helicoidal de extensão
Mola de torção, com força atuando na 
extremidade do braço de torque
Mola plana, como uma viga em balanço ou uma mola de lâminas
Mola de barra de tensão (caso específico 
da mola de compressão)
Mola de força constante
Radial Mola Garter, faixa elastomérica de mola
Torque Mola de torção, mola de potência
Fonte: Mott (2015, p. 691).
As molas helicoidais de compressão geralmente são feitas de um fio 
redondo enrolado em torno de um centro. Quando a mola está em repouso, 
o comprimento total é chamado de comprimento livre; quando ela sofre 
compressão, o comprimento é reduzido e é chamado de comprimento 
sólido. Molas helicoidais de compressão e retas cilíndricas são as mais 
utilizadas. A Figura 7.2 apresenta algumas configurações de molas heli-
coidais de compressão (passo constante, cônica, barril, ampulheta e passo 
variável).
Figura 7.2 – Tipos de molas de compressão
Fonte: Atlan Coelho.
A mola helicoidal de extensão tem as espiras bem próximas umas das 
outras quando está em repouso e separadas quando sofre um esforço de tração:
a mola de barra de tensão apresenta uma mola helicoidal de com-
pressão padrão com dois dispositivos de fio com alça inseridos por 
dentro dela. Com esse projeto, a força de tração pode ser exercida 
puxando-se as alças, ao mesmo tempo que a mola é comprimida. 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 161_Livro_Elementos de Máquinas.indb 161 20/05/2022 14:11:3820/05/2022 14:11:38
Elementos de Máquinas
– 162 –
Esse tipo de mola faz uma interrupção definitiva quando a de com-
pressão é comprimida à altura sólida. (MOTT 2015)
A mola de torção exerce um torque quando uma força é aplicada em 
suas extremidades. Esse tipo de mola é utilizado em pregadores de roupas 
e na porta de saloon (MOTT, 2015). A Figura 7.3 apresenta exemplos des-
ses três tipos de molas sendo: helicoidal de extensão, de barra de tração e 
helicoidal de torção.
Figura 7.3 – Tipos de mola
Fonte: adaptada de Mott (2015, p. 692).
7.1.2 Aplicação de molas
As molas helicoidais retas são as mais amplamente utilizadas, mas há 
vários outros tipos aplicados em objetos diversos. A Figura 7.4 apresenta 
alguns tipos de mola e exemplos de aplicações.
Figura 7.4 – Aplicações de molas
 - Cama elástica
- Aparelhos de ginástica
- Balanças
Prendedores de roupas
- Portas automáticas
- Eletrodomésticos
- Suspensão de ônibus
- Suspensão de caminhão
Helicoidal de tração Torção Feixe de Molas
Fonte: elaborada pela autora com elementos de Stock.adobe.com.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 162_Livro_Elementos de Máquinas.indb 162 20/05/2022 14:11:4320/05/2022 14:11:43
– 163 –
Elementos elásticos: molas
7.1.3 Propriedades das molas
Quando um projeto exige rigidez, a deflexão é desprezível, mas, 
quando exige flexibilidade, esta pode ser fornecida por elementos com 
a geometria controlada engenhosamente. A mola, em sua essência, é um 
elemento que tem flexibilidade e capacidade de absorver energia pela apli-
cação de forças, porém esse carregamento gera tensões e deflexões nela.
Em uma mola com diâmetro nominal D, diâmetro do arame d e uma 
força F aplicada em suas extremidades (Figura 7.5), supomos que foi 
cortada ao meio e o efeito da porção removida está representado pelas 
reações internas resultantes, em que a porção cortada teria uma força de 
cisalhamento e um torque T F D= / (BUDYNAS, 2016).
Figura 7.5 – Tensão na mola helicoidal
Fonte: Atlan Coelho.
Chegamos à tensão de cisalhamento da mola, dada por:
�
�
� K FD
ds
.
.
8
3
Onde: 𝜏 = tensão de cisalhamento da mola (N/mm2)
 F = força axial atuante (N)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 163_Livro_Elementos de Máquinas.indb 163 20/05/2022 14:11:4520/05/2022 14:11:45
Elementos de Máquinas
– 164 –
 D = diâmetro médio da mola (mm)
 d = diâmetro do arame (mm)
 Ks = fator de corrosão de cisalhamento (adimensional)
Podemos definir a relação entre o diâmetro da mola (D) e o diâmetro 
da espira (d) dada por C, chamado de índice de mola:
C D
d
�=
Rearranjando a primeira equação em função de C:
�
�
� K FC
ds
.
.
8
2
O termo Ks é chamado de fator de correção da tensão de cisalhamento 
e é dado por:
K C
Cs
2 1
2
Essa equação serve para fio reto, quando o fator de curvatura é levado 
em consideração, então temos o fator de Whal (KW) dado por:
K C
C CW
4 1
4 4
0 615,
Onde: KW = fator de Whal (adimensional)
Nesse caso, a tensão fica definida por:
�
�
� K FC
dW
.
.
8
2
A deflexão da mola é dada por:
y
F D N
d G
a. . .
.
8 3
4�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 164_Livro_Elementos de Máquinas.indb 164 20/05/2022 14:11:4720/05/2022 14:11:47
– 165 –
Elementos elásticos: molas
Colocando em função de C:
y
F C N
d G
a. . .
.
8 3
�
Onde: y = deflexão da mola (mm)
 F = carga axial atuante (N)
 Na = número de espiras ativas
 G = módulo de elasticidade do material (N/mm2)
7.2 Molas de compressão
Na maioria das aplicações da engenharia que utilizam molas estão as 
molas helicoidais de compressão. Neste tópico, abordaremos os tipos de 
molas helicoidais de compressão, os materiais de fabricação, o dimensio-
namento, a seleção e a aplicação.
7.2.1 Tipos e aplicações
As molas helicoidais de compressão são formadas por espiras que 
podem ser do tipo redondo, quadrado, circular e fabricadas de aço, bronze, 
latão, cobre, borracha. As molas mais comuns são feitas de aços-liga, 
que devem ter características especiais, como alto limite de elasticidade, 
grande resistência mecânica e à fadiga.
Quanto à forma, as molas helicoidais mais comuns são de fio redondo 
envolto em uma forma cilíndrica. As extremidades das molas podem ser 
de quatro tipos: extremidade plana enrolada à direita; extremidade em 
esquadro, esmerilhadas e enrolada à esquerda; extremidades em esquadro 
ou fechadas, não esmerilhadas e enroladas para a direita; e extremidades 
planas, esmerilhadas e enroladas para a esquerda (Figura 7.6).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 165_Livro_Elementos de Máquinas.indb 165 20/05/2022 14:11:4820/05/2022 14:11:48
Elementos de Máquinas
– 166 –
Figura 7.6 – Tipos de extremidade de molas helicoidais
Fonte: Atlan Coelho.
Para aplicações importantes, observe que a mola deve ser em esquadro 
e esmerilhada, pois assim é possível uma melhor transferência de carga.
7.2.2 Parâmetros de molas
7.2.2.1 Diâmetro de mola
Podemos definir os diâmetros presentes na mola como diâmetro externo 
(OD), diâmetro interno (ID), diâmetro de mola (DW) e diâmetro médio (Dm). 
É justamente este último o utilizado para os cálculos de mola (MOTT, 2015).
As relações entre os diâmetros são dadas por:
OD D Dm W�� � �
ID D Dm W�� � �
Figura 7.7 – Diâmetros da mola helicoidal
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 166_Livro_Elementos de Máquinas.indb 166 20/05/2022 14:11:4920/05/2022 14:11:49
– 167 –
Elementos elásticos: molas
7.2.2.2 Comprimentos de mola
Uma mola helicoidal tem quatro níveis de comprimento: comprimento 
livre (Lf), quando está parada; comprimento instalado (Li), quando uma carga 
inicial ou de instalação é aplicada na mola; comprimento operacional (Lo), 
que é o comprimento mínimo que a mola consegue alcançar durante a opera-
ção; e ocomprimento sólido (Ls), quando a mola está completamente fechada, 
ou seja, as espiras estão bem próximas umas das outras (Figura 7.8).
Figura 7.8 – Comprimentos da mola helicoidal
Fonte: Atlan Coelho.
7.2.2.3 Número de espiras
As molas têm espiras que podem ser ativas, que sofrem deformação 
quando é aplicada uma força sobre a mola, e inativas, que não sofrem 
deformação quando a força é aplicada na mola. O total de espiras é repre-
sentado por N e as espiras ativas, por Na. Nos cálculos de tensão e defle-
xão entram apenas as espiras ativas.
Em uma mola de extremidade em esquadro e esmerilhada, as espiras 
das extremidades são inativas, então para o cálculo é usado (MOTT, 2015):
Na N 2� –
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 167_Livro_Elementos de Máquinas.indb 167 20/05/2022 14:11:4920/05/2022 14:11:49
Elementos de Máquinas
– 168 –
7.2.3 Dimensionamento de molas de compressão
O dimensionamento das molas de compressão helicoidais envolve 
os cálculos de alguns parâmetros, como tensão, deflexão, passo da mola, 
cargas máximas admitidas, tensão máxima admitida, comprimento livre, 
comprimento sólido e ângulo de inclinação das espiras.
7.2.3.1 Flexibilidade e rigidez da mola
Para entendermos o grau de flexibilidade (φ) de um elemento flexível, 
devemos levar em consideração um valor constante representado pela rela-
ção entre o deslocamento provocado no eixo y a partir do ponto de aplicação 
da força atuante. Devemos, também, considerar a força atuante e a intensi-
dade P da força atuante. Além disso, devemos levar em conta a rigidez de 
uma mola designada por uma constante da mola K, que nada mais é que o 
inverso da flexibilidade, o qual pode ser determinado por meio de uma rela-
ção entre a intensidade da força atuante e o deslocamento dela.
As equações discutidas podem ser escritas da seguinte forma 
(COLLINS, 2013):
 2 Flexibilidade: 
y
P
�
 2 Rigidez: � � P
y
1
Exemplo 1
Imagine que você deseja realizar o dimensionamento de uma mola e 
para isso necessita determinar, consequentemente, as propriedades dela. 
Dois dos principais parâmetros são a flexibilidade e a rigidez. Para deter-
miná-los, você tem uma situação em que a mola deve suportar a aplicação 
de 1.000 N de força. Além disso, é esperado que a mola tenha uma variação 
ao se comprimir até 50 mm, sendo que o valor inicial dela é de 350 mm.
Solução:
Para determinar o valor da flexibilidade, é necessário realizar a divi-
são do valor de deformação pelo valor da força. A deformação dada é de 
50 mm, então a flexibilidade é:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 168_Livro_Elementos de Máquinas.indb 168 20/05/2022 14:11:4920/05/2022 14:11:49
– 169 –
Elementos elásticos: molas
x m5 1 /y
P
N0 05
1000
0 5
N
m
Como a rigidez é o inverso da flexibilidade, basta considerar rigidez = 1/φ, 
o que resultará em 20.000 N/m, que dividido por 1.000 resulta em 20 kN/m.
A Figura 7.9 mostra uma mola com passo (P), comprimento livre (l), 
diâmetro da espira (d), diâmetro médio da mola (Dm), raio médio da mola 
(Rm), diâmetro externo da mola (OD) e força axial atuante (F).
Figura 7.9 – Representação de uma mola helicoidal
Fonte: Atlan Coelho.
Para facilitar o entendimento, o processo de dimensionamento foi 
separado em passos nos quais são mostradas as equações e as tabelas 
envolvidas em cada etapa.
1º passo: cálculo da tensão cisalhante
A tensão cisalhante é calculada pela equação:
�
�
� K FC
dW
.
.
8
2
Normalmente a força (F), o diâmetro da espira (d) e o diâmetro da 
mola (D) são dados no problema. Precisa-se calcular o índice de mola (C) 
e o fator de Whal (Kw):
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 169_Livro_Elementos de Máquinas.indb 169 20/05/2022 14:11:5020/05/2022 14:11:50
Elementos de Máquinas
– 170 –
C D
d
�=
K C
C CW
4 1
4 4
0 615,
Com esses valores, calcula-se a tensão cisalhante.
2º passo: cálculo da deflexão por espira
A deflexão por espira é calculada por:
y
F C N
dxG
a. . .8
3
�
y
N
F C
dxGa
=
8
3
. .
Onde: y/Na = deflexão por espira ativa (mm/espira ativa)
 F = força axial atuante (N)
 C = índice de mola (adimensional)
 G = módulo de elasticidade transversal do material (N/mm2)
 d = diâmetro do arame (mm)
3º passo: determinação do passo, do comprimento livre (l) e do 
comprimento sólido (ls)
O passo da mola é a distância entre o centro de uma espira e a espira 
adjacente. As boas práticas do cálculo de molas recomendam que o passo 
da mola leve em consideração uma folga de 15% da deflexão da mola para 
o cálculo do passo, então:
p d y
N
y
Na a
, .0 15
Onde: P = passo da mola (mm)
 d = diâmetro do arame (mm)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 170_Livro_Elementos de Máquinas.indb 170 20/05/2022 14:11:5220/05/2022 14:11:52
– 171 –
Elementos elásticos: molas
O número de espiras ativas depende do tipo da extremidade da mola. 
O comprimento livre, o comprimento sólido e o número de espiras ati-
vas de uma mola helicoidal dependem do tipo da extremidade da mola. 
Os tipos de extremidade e as referidas equações estão representados na 
Tabela 7.1, onde (p) é o passo e (d) é o diâmetro do arame.
Tabela 7.1 – Comprimentos da mola de acordo com o tipo da extremidade
Tipos de extremidades Espiras Comprimento da mola
Em ponta
 
Total Inativas livre, l sólida, ls
N = Na 0 l = p..Na + d ls = d(Na +1)
Em ponta 
esmerilhada N = Na 0 l = p..Na ls = d.Na
Em esquadro N = Na + 2 2 l = p.Na + 3d ls = d(Na + 3)
Em esquadro 
e esmerilhada
 
N = Na 
+ 2 2 l = p.Na + 2d ls = d(Na + 2)
Fonte: adaptada de Melconian (2019, p. 182) com ilustrações de Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 171_Livro_Elementos de Máquinas.indb 171 20/05/2022 14:11:5220/05/2022 14:11:52
Elementos de Máquinas
– 172 –
4º passo: cálculo da deflexão máxima
A deflexão máxima é dada pela diferença entre o comprimento livre 
(l) e o comprimento sólido (ls):
y l lmáx s� ��
5º passo: carga máxima atuante (mola fechada)
A carga máxima atuante é calculada por:
F
y d G
xC xNmáx
máx
a
. .
�
8 3
O cálculo da força máxima é também utilizado no cálculo da 
tensão máxima.
6º passo: tensão máxima atuante (mola fechada)
A tensão máxima atuante é calculada por:
�
�máx
máx WF C K
xd
�
8
2
. . .
O valor da tensão máxima atuante encontrado deve ser menor que 
a tensão encontrada em tabelas de tensões admissíveis e tensão com 
mola fechada.
7º passo: deflexão da mola
Devemos multiplicar a deflexão por espira pelo número de espiras 
ativas (Na) para obtermos a deflexão (y).
8º passo: constante elástica da mola
Com a força axial atuante (F) e a deflexão da mola (y), encontramos 
a constante da mola (K):
K F
y
�� =
Onde: K = constante da mola (N/mm2)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 172_Livro_Elementos de Máquinas.indb 172 20/05/2022 14:11:5420/05/2022 14:11:54
– 173 –
Elementos elásticos: molas
 F = força (N)
 y = deflexão da mola (mm)
9º passo: ângulo de inclinação da espira
Segundo Mott (2015), o ângulo de inclinação da espira não deve 
ultrapassar 12º, senão pode causar tensões de compressão indesejáveis no 
fio da mola. O ângulo deve ser calculado por:
.
arctg P
D
Onde: 𝜆 = ângulo de inclinação da espira (º)
 P = passo da mola (mm)
 D = diâmetro médio da mola (mm)
	 	 𝜋 = constante trigonométrica (3,14…)
Exemplo 2
A mola helicoidal representada na figura é confeccionada em aço, tem 
extremidade em esquadro, diâmetro médio de 56 mm e diâmetro do aro de 
5,6 mm. O número de espiras ativas é 16, e o número total de espiras é 18. A 
carga axial que atua na mola é de 380 N (Gaço = 78.400 N/mm2). Determine:
a) tensão de cisalhamento atuante (τ)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 173_Livro_Elementos de Máquinas.indb 173 20/05/2022 14:11:5520/05/2022 14:11:55
Elementos de Máquinas
– 174 –
b) deflexão por espira ativa (y/Na)
c) passo da mola (p)
d) comprimento livre da mola (l)
e) comprimento da mola fechada (ls)
f) deflexão máxima da mola (ymáx)
Solução:
Dados: D = 56 mm
 d = 5,6 mm
 Na = 16
 Nt= 18
 F = 380 N
 Gaço = 78.400 N/mm2
Extremidade em esquadro
a) Tensão de cisalhamento atuante (τ)
A tensão cisalhante é encontrada pela equação:
�
�
� K FC
dW
.
.
8
2
Temos que F = 380 N e d = 5,6, então precisamos encontrar C:
C D
da
mm� � �
,
56
5 6
10
E KW:
K C
C CW
4 1
4 4
0 615,
KW
4 10 1
4 10 4
0 615
10
,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 174_Livro_Elementos de Máquinas.indb 174 20/05/2022 14:11:5620/05/2022 14:11:56
– 175 –
Elementos elásticos: molas
kW ,1 1445�
Substituindo os dados na equação:
�
�
�
� �
1 1445
8 380 10
5 6
2
, .
. ,
x x
, /N mm353 15 2�
b) Deflexão por espira ativa (y/Na)
Encontramos a deflexão por espira na equação:
y
Na
F C
d G
=
8
3
. .
.
Substituindo os valores:
y
Na
x x
x
�
� � � �
� � � �
8 380 10
5 6 78 400
3
, .
y
Na
= 6 92,
c) Passo da mola (p)
O passo da mola é encontrado pela equação:
p d y
N
y
Na a
, .0 15
Substituindo os valores:
6 9p , . ,5 6 2 0 15 6 92
mm�13 56,
d) Comprimento livre da mola (l)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 175_Livro_Elementos de Máquinas.indb 175 20/05/2022 14:12:0220/05/2022 14:12:02
Elementos de Máquinas
– 176 –
O cálculo do comprimento livre depende do tipo de extremidade da 
mola. Foi dado que a mola tem extremidade em esquadro, então consulta-
mos a Tabela 7.1 e calculamos o comprimento livre por:
l p Na d� �. .3
Na N 2� –
2 1� �Na 18 6–
Substituindo os valores:
l � � � � � � � �13 56 16 3 5 6, . . ,
mm� 233 76,
e) Comprimento da mola fechada (ls)
Esse valor também depende da extremidade da mola. Pela Tabela 7.1, 
temos que:
ls d Na� �� �3
Substituindo os valores:
ls x� � � �� �5 6 16 3,
ls mm�106 4,
f) Deflexão máxima da mola (ymáx)
A deflexão máxima é a diferença entre o comprimento livre e o com-
primento da mola fechada, logo:
y l lsmáx � �
Substituindo:
ymáx � �233 76 106 4, ,
mmmáx �127 36,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 176_Livro_Elementos de Máquinas.indb 176 20/05/2022 14:12:0720/05/2022 14:12:07
– 177 –
Elementos elásticos: molas
7.3 Molas de tração
Você já pulou em uma cama elástica ou praticou pilates? Se sim, você 
observou como esses equipamentos funcionam? Eles são formados por 
molas de tração nas extremidades da cama para que a lona possa subir e 
descer a cada movimento de tração das molas.
A seguir, realizaremos uma comparação entre as molas de compres-
são e as molas de tração. Será que elas são muito diferentes? Abordare-
mos também o dimensionamento das molas de tração, que é diferente do 
dimensionamento das molas de compressão.
7.3.1 Comparação entre molas de 
compressão e de tração
As molas de compressão armazenam energia em uma situação de 
força de compressão, já as molas de tração, chamadas também de molas 
de extensão, são alongadas com a aplicação de uma força de tração. Para 
que essa aplicação seja possível, as molas são dotadas de extremidades 
em forma de alça ou gancho. O uso de uma peça roscada ou de um gancho 
torna o custo final das molas bem elevado, então para baratear os custos 
existem algumas alternativas (Figura 7.10).
Figura 7.10 – Tipos de extremidade de molas de tração
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 177_Livro_Elementos de Máquinas.indb 177 20/05/2022 14:12:0720/05/2022 14:12:07
Elementos de Máquinas
– 178 –
A presença de alça ou gancho nas molas de tração é uma das princi-
pais diferenças entre as molas de tração e as de compressão. Como seme-
lhança, ambas são do tipo helicoidal, formadas por um arame enrolado em 
forma de espiras. Nas molas de compressão, o comprimento livre consi-
dera a distância entre as espiras. Nas molas de tração, as espiras vizinhas 
são bem próximas no comprimento livre, e quando a força de tração é 
aplicada as espiras se separam (BUDYNAS, 2016).
7.3.2 Dimensionamento das molas de tração
A mola de tração tem alguns parâmetros que devem ser discutidos antes 
de apresentarmos seu dimensionamento. A Figura 7.11 apresenta a geometria 
da mola de tração, com comprimento livre, que é composto pelo comprimento 
do corpo mais o comprimento do gancho e do laço; o comprimento do corpo; 
o diâmetro interno; o diâmetro externo; e o diâmetro do arame.
Figura 7.11 – Geometria da mola de tração
Fonte: Atlan Coelho.
As tensões no corpo da mola de tração são calculadas como nas molas de 
compressão, porém nas de tração devem ser consideradas a flexão e a torção no 
gancho. Para isso, são determinadas a flexão no ponto A e a torção no ponto B 
(Figura 7.12), onde r1 é o raio do gancho, r2 é o raio da curvatura do gancho, F 
é a força de tração, D é o diâmetro do gancho e d é o diâmetro do arame.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 178_Livro_Elementos de Máquinas.indb 178 20/05/2022 14:12:0820/05/2022 14:12:08
– 179 –
Elementos elásticos: molas
Figura 7.12 – Flexão e torção no gancho
Fonte: Atlan Coelho.
Agora veremos o dimensionamento da mola de tração, apresentado 
em um passo a passo para facilitar o entendimento.
1º passo: cálculo da tensão máxima de tração em A
A tensão em A é devida à flexão e ao carregamento axial, dada por:
�
� �A A
F K D
d d
� ��
��
�
��
.
. .
16 4
3 2
Onde: 𝜎A = tensão máxima de tração em A (MPa)
F = força de tração (N)
KA = fator de correção de tensão de flexão para a curvatura (adi-
mensional)
D = diâmetro do gancho (mm)
d = diâmetro do arame (mm)
Para o cálculo da tensão, precisamos calcular o fator de correção 
(KA), que depende do fator de curvatura (C1):
K C C
C CA
�
� �
�� �
4 1
4 1
1
2
1
1 1
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 179_Livro_Elementos de Máquinas.indb 179 20/05/2022 14:12:0920/05/2022 14:12:09
Elementos de Máquinas
– 180 –
C1 é calculado por:
C r
d1
1
2
=
Onde: C1 = fator de curvatura de A (adimensional)
d = diâmetro do arame (mm)
2º passo: cálculo da máxima torção em B
A tensão máxima de torção no ponto B é dada por:
�
�B B
K FD
xd
� .
8
3
Para o cálculo da torção, precisamos calcular o fator de correção 
(KB), que depende do fator de curvatura (C2):
K C
CB
�
�
�
4 1
4 4
2
2
C2 é calculado por:
C r
d2
22=
3º passo: relação carga-deflexão
As molas de tração geralmente são submetidas a uma força de tração 
inicial (Fi), e a relação carga-deflexão é dada por:
F Fi ky� �
Onde: F = força máxima (N)
Fi = carga inicial (N)
k = razão da mola (N/mm) dada pela equação:
k d G
D Na
�
4
38
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 180_Livro_Elementos de Máquinas.indb 180 20/05/2022 14:12:1320/05/2022 14:12:13
– 181 –
Elementos elásticos: molas
4º passo: comprimento livre da mola
O comprimento livre da mola é calculado pela equação:
L C N db0 2 1� � �� �
Onde: C = índice da mola (C = D/d)
Nb = número de espiras do corpo
5º passo: número equivalente de voltas ativas (Na)
O número de espiras ativas é igual ao número de voltas da mola mais 
a razão entre os módulos de elasticidade de cisalhamento (G) e o de elas-
ticidade de tração (E), definido pela equação:
N N G
Ea b
� �
Onde: Na = número de espiras ativas
Nb = número de voltas da mola
G = módulo de elasticidade de cisalhamento (N/mm2)
E = módulo de elasticidade de tração (N/mm2)
6º passo: comprimento da mola
O comprimento da mola é dado pela soma do comprimento livre com 
a deflexão máxima, em que a deflexão máxima é calculada por:
y
F F
kmáx
máx i�
�
E o comprimento da mola é dado por:
L L ymáx0
7º passo: verificação das condições iniciais de pré-carga
“A tração inicial em uma mola de extensão é criada no processo 
de enrolamento ao torcer o fio como se fosse enrolada em um mandril.” 
(BUDYNAS, 2016, p. 528). Por causa de limitações no processo, existe 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 181_Livro_Elementos de Máquinas.indb 181 20/05/2022 14:12:1520/05/2022 14:12:15
Elementos de Máquinas
– 182 –
um intervalo preferido de tensão torcional, que pode ser obtido pela tensão 
de torção não corrigida e é dado por:
i exp C
C231
0 105
6 9 4 3
6 5,
. .
,
Onde: 𝜏i = intervalo preferido da tensão de torção não corrigida(MPa)
 C = índice da mola
 Exp = ex
Para saber se a tensão inicial está dentro desse intervalo preferido, 
devemos achar o valor da tensão inicial não corrigida:
i não corrigida
iF D
d
8
3
Exemplo 3
Uma mola de tração tem diâmetro 5,4 mm, diâmetro de arame 0,9 
mm e força de tração inicial de 5 N. Verifique as condições iniciais de 
pré-carga.
Solução:
Dados: D = 5,4 mm
 d = 0,8 mm
 Fi = 5 N
1º passo: achar o valor de C (índice de mola)
C D
d
�=
� �6 7C ,
,
5 4
0 8
5
2º passo: calcular a tensão inicial não corrigida
co( i não rrigida i
F D
d
8
3
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 182_Livro_Elementos de Máquinas.indb 182 20/05/2022 14:12:1620/05/2022 14:12:16
– 183 –
Elementos elásticos: molas
co(
,
,i não rrigida
8 5 5 4
0 8 3
i nãocorrigida MPa134 3
3º passo: encontrar o intervalo preferido
i C
C231
0 105
6 9 4 3
6 5exp ,
. .
,
i
231
0 105 6 75
6 9 4
6 75 3
6 5exp , ,
. .
,
,
–
i ,113 23 61
23i MPa113 61 136 61
i MPa113 23 61 89 39,
Como o valor da tensão não corrigida foi de 134,3 MPa e o intervalo 
vai de 91,45 MPa a 135, 25 MPa, a tensão inicial está dentro do intervalo 
preferido.
As molas de tração são diferentes das molas de compressão pois o 
gancho, presente na primeira, é uma fonte de concentração de tensão e a 
parte mais frágil da mola. Um rompimento por falha de projeto pode cau-
sar acidentes graves, podendo atingir as pessoas em torno de onde a mola 
está sendo aplicada (BUDYNAS, 2016). Por essa razão, é muito impor-
tante que o engenheiro seja muito criterioso na elaboração dos cálculos.
Exemplo 4
Uma mola de tração de aço estirado a frio tem 0,8 mm de diâmetro e 
diâmetro médio de 5,4 mm. O número de voltas do corpo é de 12,1. A mola 
está sujeita a uma tração inicial de 5 N e a uma força de tração máxima de 
25 N (BUDYNAS, 2016). Calcule o comprimento total da mola.
Dados: G = 79.000 N/mm2
 E = 198.000 N/mm2
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 183_Livro_Elementos de Máquinas.indb 183 20/05/2022 14:12:1720/05/2022 14:12:17
Elementos de Máquinas
– 184 –
Solução:
Começamos calculando C:
C = =5 4
0 8
6 75
,
,
,
E o número de espiras ativas:
12 12 1 0N N G
Ea b
, ,1 79000
198000
39 12 49
Agora calculamos k:
k d G
D N
N mm
a. .
, .
. , ,
/
4
3
4
35
0 8 79000
8 5 4 12 49
2 05
E o comprimento livre (Lo):
L C N do b2 1
Lo 2 6 75 1 12 1 0 8, ,–
19L mmo � 68
Então achamos a deformação máxima:
9 7y F F
kmáx
máx i
,
25 5
2 05
5
L Lo ymáx�� ��� �
9 75 2L ,19 68 9 4 mm
As molas podem ser de vários tipos, de acordo com a força que atua 
nelas e com a aplicação de cada uma. Aprendemos a dimensionar uma 
mola helicoidal de compressão, podendo calcular a tensão e a deflexão e 
determinar o passo e o ângulo das espiras. Com esses dados, é possível 
escolher no mercado a mola que mais se adequa à aplicação ou planejar a 
fabricação de uma mola especialmente para determinado uso.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 184_Livro_Elementos de Máquinas.indb 184 20/05/2022 14:12:1920/05/2022 14:12:19
– 185 –
Elementos elásticos: molas
Quanto às molas de tração, a tensão e a torção no gancho devem ser 
levadas em conta no cálculo, já que essa parte da mola é a que sofre maior 
esforço. Outros cálculos também são necessários para o dimensionamento 
desse tipo de mola, como o comprimento livre, o comprimento total e a 
verificação da tensão inicial da mola.
O vídeo “Cálculo envolvendo molas” apresenta o cálculo sim-
plificado do comprimento de uma mola helicoidal usando como 
base o diâmetro médio da mola, o comprimento efetivo do espi-
ral e o número de espiras ativas. No exemplo apresentado, a 
mola tem diâmetro médio de 20 mm e 9 espiras ativas, sendo 
encontrado o comprimento efetivo de 305,6 mm.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=E-
-G9xCz7H7Q>. Acesso em: 14 abr. 2022.
Atividades
1. Encontre os valores de flexibilidade e rigidez de uma mola que 
apresenta força de 600 N aplicada sobre ela, sendo que passou 
de um estado inicial de 300 mm para um estado final de 290 mm:
2. Uma mola helicoidal tem diâmetro de arame de 5,4 mm, 20 espi-
ras, passo de 6 mm e extremidade em esquadro. Calcule o com-
primento livre e o comprimento sólido da mola que está sujeita 
a compressão:
3. Uma mola helicoidal é confeccionada em aço, tem extremidade 
em esquadro e esmerilhada, diâmetro médio de 54 mm e diâme-
tro do aro de 5,4 mm. O número total de espiras é 20. A carga 
axial que atua na mola é de 420 N (Gaço = 78.400 N/mm2). Deter-
mine o comprimento livre da mola:
4. Uma mola de tração de aço estirado a frio tem 0,7 mm de diâme-
tro e diâmetro médio de 6,4 mm. O número de voltas do corpo 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 185_Livro_Elementos de Máquinas.indb 185 20/05/2022 14:12:1920/05/2022 14:12:19
Elementos de Máquinas
– 186 –
é 10,2. A mola está sujeita a uma tração inicial de 6 N e uma 
força de tração máxima de 27 N. (Dados: G = 79.000 N/mm2 e 
E = 198.000 N/mm2). Nessas condições, o comprimento total da 
mola (L) é igual a.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 186_Livro_Elementos de Máquinas.indb 186 20/05/2022 14:12:1920/05/2022 14:12:19
8
Embreagens, freios 
e acoplamentos
Imagine que você está aprendendo a dirigir e o instrutor 
ensina que o veículo (com câmbio mecânico) tem três pedais: o 
acelerador, que tem a função de aumentar a velocidade do carro; 
a embreagem, que conecta e desconecta as engrenagens da caixa 
de marcha, permitindo a mudança delas; e o freio, que tem a fun-
ção de reduzir a velocidade do carro, pará-lo e mantê-lo parado. 
É disso que trataremos neste capítulo.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 187_Livro_Elementos de Máquinas.indb 187 20/05/2022 14:12:1920/05/2022 14:12:19
Elementos de Máquinas
– 188 –
8.1 Introdução aos conceitos 
de freios e embreagens
Quando um sistema está em movimento e este precisa ser controlado, 
são utilizados basicamente dois tipos de elementos: freios e embreagens. 
Por terem funções similares, freios, embreagens e acoplamentos são geral-
mente tratados em conjunto. O freio tem a função de parar, reduzir a velo-
cidade ou manter um sistema móvel na posição estacionária. A embreagem 
tem a função de acoplar ou desacoplar um sistema do motor principal.
Embreagens e freios podem ser classificados quanto à forma como 
transferem energia entre os elementos; nesse caso, podem ser de contato 
positivo, de atrito, sobrevelocidade e centrífugas. Desses, os mais comuns 
são por atrito, utilizados nos veículos (NORTON, 2013). Quanto à forma de 
acoplamento, podem ser hidráulicos, pneumáticos, elétricos e automáticos.
Figura 8.1 – Tipos de freio e embreagem
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 188_Livro_Elementos de Máquinas.indb 188 20/05/2022 14:12:2020/05/2022 14:12:20
– 189 –
Embreagens, freios e acoplamentos
8.2 Embreagens
Desde o início da civilização, estamos criando e descobrindo dis-
positivos para facilitar a vida. Uma das mais importantes criações foi a 
roda, que serviu para transportar grandes cargas que o homem não tinha 
capacidade de carregar ou empurrar sozinho. Até aí, tudo bem, mas como 
fazê-las parar? Para isso foram criados os freios, que têm a função de 
igualar as velocidades angulares de dois corpos, sendo que no freio uma 
das partes tem velocidade nula. As embreagens têm atuação semelhante, 
diferenciando que ambos os corpos têm alguma velocidade angular.
8.2.1 Embreagem de contato positivo
Nesse tipo de engrenagem, o contato entre as partes é feito por dentes 
ou serras que são acopladas com contato mecânico (Figura 8.2).
Figura 8.2 – Embreagem de contato positivo
Fonte: Atlan Coelho.
A Figura 8.2 mostra os dentes da engrenagem, que são respon-
sáveis pelo contato positivo. Esse tipo de embreagem tem algumas 
limitações, como só poder ser utilizado em baixas velocidades – no 
máximo 60 rpm para embreagem de mandíbula, que tem agarras qua-
dradas ou em espiral, e no máximo 300 rpm para embreagem de dentes, 
com dentes de serra ou deoutras formas. Devido à pouca dissipação 
de calor, esse tipo não é recomendado para uso como freio. Por outro 
lado, tem a vantagem de reduzir o escorregamento devido à conexão 
entre as partes (dentes ou serras) (NORTON, 2013).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 189_Livro_Elementos de Máquinas.indb 189 20/05/2022 14:12:2020/05/2022 14:12:20
Elementos de Máquinas
– 190 –
8.2.2 Embreagens de atrito
Esses são os tipos mais comumente utilizados, compostos de duas ou 
mais superfícies que são pressionadas entre si por uma força normal com 
o objetivo de criar um torque de atrito. Esses tipos de embreagem e freio 
podem ser classificados pela geometria das superfícies de atrito e pela 
forma como são acionados.
8.2.2.1 Embreagem a disco
Na embreagem a disco, há superfícies em formato de discos planos, 
em que um disco é o acionador e o outro é o acionado. É aplicada uma 
força axial unindo os discos e gerando um torque atrito.
Figura 8.3 – Embreagem a disco
Fonte: Atlan Coelho.
8.2.2.2 Freio a disco
O freio a disco é composto 
de um disco fixo, da parte que 
deve ser controlada e de uma 
espécie de pinça chamada de 
caliper, que é presa a uma parte 
do disco e é acionada contra 
ele por uma força hidráulica ou 
pneumática. Esse é o tipo de freio 
mais utilizado nas rodas diantei-
ras dos veículos de passeio. Fonte: Stock.adobe.com/baranq
Figura 8.4 – Freio a disco
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 190_Livro_Elementos de Máquinas.indb 190 20/05/2022 14:12:2220/05/2022 14:12:22
– 191 –
Embreagens, freios e acoplamentos
8.2.2.3 Embreagem ou freio de cone
Esse tipo de freio e embreagem é semelhante ao de disco, com a dife-
rença de que as superfícies são em forma de cone.
Figura 8.5 – Embreagem ou freio de cone
Fonte: Atlan Coelho.
8.2.2.4 Freio a tambor
Nesse tipo de freio, pastilhas curvas são forçadas à superfície interna 
ou externa de um tambor, exercendo uma força tangencial com o objetivo 
de interromper a carga. O tipo de tambor com sapatas internas é utilizado 
em alguns veículos mais simples, no freio das rodas traseiras. Por ser um 
freio mais barato que o a disco, já foi muito utilizado em veículos e ainda 
é usado em carros mais baratos.
Figura 8.6 – Freio a tambor de sapatas internas
Fonte: Stock.adobe.com/norikko
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 191_Livro_Elementos de Máquinas.indb 191 20/05/2022 14:12:2520/05/2022 14:12:25
Elementos de Máquinas
– 192 –
8.2.3 Embreagens de sobrevelocidade
Esse tipo de embreagem é aplicado quando é desejado que só haja rota-
ção em um sentido. É utilizado em guinchos para evitar que a carga caia no 
caso de falta de energia. Existem outras embreagens de sentido único, como 
de escovas, que parecem um rolamento de esferas, mas no lugar das esfe-
ras têm escovas com formatos irregulares que giram bem em uma direção, 
porém na direção contrária emperram e evitam o movimento contrário.
Figura 8.7 – Embreagem de sobrevelocidade com escovas
Fonte: Atlan Coelho.
8.2.4 Embreagem e freios magnéticos
Esse tipo não tem contato direto entre as partes, com a vantagem de 
não ocorrer o desgaste das peças, sendo acionado por correntes e fluxos 
magnéticos. Podem ser:
 2 partícula magnética – em que o espaço entre as partes é preen-
chido com partículas magnéticas;
 2 histerese magnética – que não tem qualquer contato entre as par-
tes rotativas, portanto tem atrito zero quando desacoplada;
 2 corrente de redemoinho – semelhante às de histerese.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 192_Livro_Elementos de Máquinas.indb 192 20/05/2022 14:12:2520/05/2022 14:12:25
– 193 –
Embreagens, freios e acoplamentos
8.2.5 Materiais de fabricação de embreagens e freios
As partes metálicas de embreagens e freios são geralmente de ferro 
fundido cinzento ou aço. Já as partes de desgaste (pastilhas, discos) são 
forradas com materiais que tenham bom coeficiente de atrito, além de boa 
resistência a compressão e a temperaturas elevadas, já que o atrito gera 
calor. Durante muito tempo, o asbesto foi utilizado para esse fim, mas foi 
banido por ser cancerígeno.
A Tabela 8.1 mostra alguns parâmetros de materiais em atrito contra 
o aço ou o ferro fundido, a seco e embebidos em óleo.
Tabela 8.1 – Coeficiente de atrito contra aço ou ferro fundido
Material
Coeficiente de 
atrito dinâmico
Pressão 
máxima
Temperatura 
máxima
Seco Em óleo kPa oC
Moldado 0,25 - 0,45 0,06 - 0,09 1030 - 2070 204 - 260
Tecido 0,25 - 0,45 0,08 - 0,10 345 - 690 204 - 260
Metal sinterizado 0,15 - 0,45 0,05 - 0,08 1030 - 2070 232 - 677
Ferro fundido ou 
aço endurecido 0,15 - 0,25 0,03 - 0,06 690 - 720 260
Fonte: adaptada de Norton (2013, p. 969).
8.3 Freios
Para a correta seleção e o dimensionamento de freios e embreagens, 
deve-se levar em consideração alguns parâmetros. Segundo Mott (2015), 
os seguintes pontos devem ser observados em um projeto:
 2 torque para acelerar ou desacelerar o sistema;
 2 tempo para realizar a alteração na velocidade;
 2 número de ciclos por unidade de tempo (liga/desliga);
 2 inércia rotacional ou translacional das peças;
 2 dados do ambiente (temperatura, refrigeração etc.);
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 193_Livro_Elementos de Máquinas.indb 193 20/05/2022 14:12:2520/05/2022 14:12:25
Elementos de Máquinas
– 194 –
 2 capacidade de dissipar energia;
 2 tamanho e configuração das peças;
 2 tipo de acionamento;
 2 vida útil e confiabilidade do sistema;
1) custo e disponibilidade.
Apesar dos diversos parâmetros citados, neste capítulo enfatizaremos 
a força de acionamento e o torque transmitido (capacidade de frenagem). 
Cada literatura apresenta a análise estática e a dinâmica dos sistemas de 
freio e embreagens de forma peculiar; aqui consideraremos as análises 
realizadas por Budynas e Nisbett (2016).
O sistema simplificado de embreagem ou freio na Figura 8.8 apre-
senta duas massas com momentos de inércia I1 e I2 e velocidades angulares 
ω1 e ω2. A diferença entre freio e embreagem é que na embreagem ambas 
as partes têm movimento e no freio uma das partes fica parada, ou seja, 
uma das velocidades angulares é igual a zero.
Figura 8.8 – Sistema de freio ou embreagem
Fonte: Atlan Coelho.
Devido à semelhança entre freios e embreagens, analisaremos os 
freios, pois, como uma das velocidades angulares será anulada, facilitará 
o entendimento do estudo.
São quatro os tipos de freios por atrito:
 2 de tambor com sapatas internas;
 2 de tambor com sapatas externas;
 2 de tambor com cinta externa;
 2 a disco.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 194_Livro_Elementos de Máquinas.indb 194 20/05/2022 14:12:2620/05/2022 14:12:26
– 195 –
Embreagens, freios e acoplamentos
Estudaremos o dimensionamento do freio a tambor com sapatas 
internas, cuja análise estática deve ter três etapas:
1. avaliar a distribuição de pressão entre as superfícies de atrito, ou 
seja, localizar onde está a pressão máxima;
2. determinar a relação entre a pressão máxima e a pressão em um 
ponto qualquer;
3. aplicar as condições de equilíbrio estático para determinar a 
força de acionamento necessária e o torque transmitido.
Começaremos a análise por um sistema mais simples, de sapata articulada.
Figura 8.9 – Sapata articulada
Fonte: Atlan Coelho.
A Figura 8.9 mostra um freio simples tipo sapata articulada, com-
posto de um corpo em formato de alavanca com um pivô na parte superior 
e uma sapata de freio na parte inferior. Na análise, consideramos o movi-
mento da esquerda para direita e as forças e as dimensões mostradas no 
diagrama de corpo livre:
 2 a = distância entre o centro do pivô (A) e o solo
 2 b = distância entre a força e a linha de centro do pivô
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 195_Livro_Elementos de Máquinas.indb 195 20/05/2022 14:12:2620/05/2022 14:12:26
Elementos de Máquinas
– 196 –
 2 F = força de frenagem
 2 N = força normal
 2 f.N = força de atrito
 2 f = coeficiente de atrito da sapata
 2 Rx = reação no pivô na direção do eixo x
 2 Ry = reação no pivô na direçãodo eixo y
 2 A = ponto no centro do pivô
Definiremos outros parâmetros:
 2 Pa = pressão máxima
 2 P = pressão em um ponto qualquer
Considerando que o ponto qualquer coincida com o ponto de pressão 
máxima, temos que:
P Pa= �
E:
N P Aa= .
Onde: A = área de contato da sapata
Agora verificaremos o momento em relação ao ponto A, consi-
derando o giro no sentido anti-horário com sinal positivo e no sentido 
horário como negativo.
� � � � �M F b f N a N bA . . . . 0
Isolando a força e substituindo N em função da pressão máxima (Pa), 
chegamos à equação:
F
P A b f a
b
a�
�� �. . .
Podemos fazer algumas conclusões:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 196_Livro_Elementos de Máquinas.indb 196 20/05/2022 14:12:2920/05/2022 14:12:29
– 197 –
Embreagens, freios e acoplamentos
 2 Se b f a.� , então a força será igual a zero e teremos uma condi-
ção de autobloqueio do freio;
 2 Se b f a.� , ou seja, a força for positiva, então teremos uma situ-
ação de autoacionamento em que a força de atrito auxilia na fre-
nagem e o sistema mantém a pressão que foi aplicada nos freios 
sem causar problemas ao sistema.
8.3.1 Freio de tambor com sapatas internas
Como mencionado, esse tipo de freio é 
muito utilizado nas rodas traseiras dos veícu-
los de passeio, sendo composto de um tam-
bor, um sistema de acionamento, que pode 
ser hidráulico, centrífugo, magnético, pneu-
mático ou anel extensível, e sapatas, que são 
os elementos que geram a força de atrito para 
realizar a parada do sistema. A Figura 8.10 
apresenta um freio de tambor com sapatas 
internas e acionamento centrífugo.
Para a análise estática do freio a tambor com sapatas internas, consi-
deremos a Figura 8.11.
Figura 8.11 – Geometria da sapata interna
Fonte: Atlan Coelho.
Figura 8.10 – Freio a tambor com 
sapatas internas
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 197_Livro_Elementos de Máquinas.indb 197 20/05/2022 14:12:3020/05/2022 14:12:30
Elementos de Máquinas
– 198 –
Para entender os parâmetros dessa configuração, temos que:
 2 a = distância do pivô até o centro do tambor
 2 F = força de acionamento
	2 θ2 = posição angular da sapata
 2 dθ = posição angular infinitesimal da sapata
 2 r = raio do tambor
Consideremos que a sapata seja articulada, atuando por giro, cujas 
forças são mostradas na Figura 8.12.
Figura 8.12 – Distribuição das forças na sapata
Fonte: Atlan Coelho.
Consideremos um ponto qualquer na sapata, no qual estão aplicadas 
a força normal e a força de atrito. Vamos definir mais alguns parâmetros:
 2 b = largura de face da sapata (não aparece na figura)
 2 c = distância entre o ponto de aplicação da força e o centro do pivô
	2 θ1 = posição angular da área de fricção (que não precisa, neces-
sariamente, ser do mesmo tamanho da sapata)
 2 dN = porção infinitesimal da força normal
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 198_Livro_Elementos de Máquinas.indb 198 20/05/2022 14:12:3020/05/2022 14:12:30
– 199 –
Embreagens, freios e acoplamentos
Na situação apresentada, onde ocorre a pressão máxima? Quando a 
posição angular da sapata está a 90º do centro do pivô e o seno do ângulo 
de pressão máxima é igual a uma unidade. Dessa forma, temos a relação:
P
r sen
P
r sen
a
a. .� �
�
Então, em um ponto qualquer, a pressão de acionamento é definida por:
P
P sen
sen
a
a
.
Os gráficos da Figura 8.13 mostram que, por ser uma função senoi-
dal, a pressão máxima ocorre a 90º do centro do pivô se a sapata ultrapas-
sar os 90º ou no ponto onde a sapata termina.
Figura 8.13 – Gráfico da pressão máxima
Fonte: Atlan Coelho.
Vimos até aqui as etapas para localizar a pressão máxima e relacionar 
a pressão em um ponto qualquer com a pressão máxima, agora vamos 
determinar a força de acionamento (F) e o torque transmitido (T).
Voltando à Figura 8.12, localizaremos a força normal infinitesimal (dN):
dN P dA= .
Ou seja, dN é igual à pressão vezes uma área infinitesimal. A defini-
ção para dA é:
dA r d b� . .�
A área de atrito é uma porção infinitesimal da posição vezes a largura 
de face vezes o raio. Substituindo dA em dN, temos:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 199_Livro_Elementos de Máquinas.indb 199 20/05/2022 14:12:3220/05/2022 14:12:32
Elementos de Máquinas
– 200 –
dN P r b d� . . . �
Já vimos a relação entre P e Pa, então, substituindo em dN:
dN
P r b sen d
sen
a
a
. . .
Devemos aplicar o equilíbrio estático para encontrar a equação 
da força de acionamento. Fazendo o momento em relação ao ponto A 
(centro do pivô):
M F c M MA f n 0
Isolando a força:
F
M M
c
n f�
�
�
Onde: F = força de acionamento
Mn = momento da força normal em relação ao centro do pivô (A)
Mf = momento da força de atrito em relação ao centro do pivô (A)
Para que não haja autotravamento do freio, é preciso que Mn > Mf. Se 
houver inversão de sentido de giro, haverá mudança de sinal no momento 
da força de atrito, então teremos:
F
M M
c
n f�
�
�
Para encontrar as equações para Mn e Mf, devemos voltar à Figura 
8.12 e observar as distâncias entre dN e A, dadas por a sen. ; então o 
momento Mn é dado por:
M dN a senn � . . �
Substituímos dN pela equação que encontramos e passamos as cons-
tantes para fora, integramos a outra parte da equação:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 200_Livro_Elementos de Máquinas.indb 200 20/05/2022 14:12:3520/05/2022 14:12:35
– 201 –
Embreagens, freios e acoplamentos
M
P b r a
sen
sen dn
a
a
� �
. . .
. .
�
� �
�
�
1
2
2
Utilizando um raciocínio parecido, encontramos a equação de Mf, 
em que a distância de f.dN para o centro do pivô é:
r a cos–
Então:
M f dN r a cosf � �� �. . . �
Substituímos dN pela equação que encontramos e passamos as cons-
tantes para fora, integramos a outra parte da equação:
M
f P b r
sen
sen r a cos df
a
a
� �� ��
. . .
. . . .
�
� � �
�
�
1
2
O torque é encontrado multiplicando a força friccional (f.dN) pelo 
raio do tambor:
T f dN r= . .
Substituindo dN:
T
f P b r cos cos
sen
a
a
. . . .2 1 2
Exemplo 1
O freio mostrado na Figura 8.14 tem 300 mm de diâmetro e é acio-
nado por um mecanismo que exerce a mesma força F em cada sapata. As 
sapatas são idênticas e têm largura de face de 32 mm. O forro tem coefi-
ciente de atrito de 0,32 e pressão máxima de 1.000 kPa. Calcule:
a) força acionadora
b) capacidade de frenagem
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 201_Livro_Elementos de Máquinas.indb 201 20/05/2022 14:12:3820/05/2022 14:12:38
Elementos de Máquinas
– 202 –
Figura 8.14 – Embreagem dupla
Fonte: Atlan Coelho.
Solução:
Dados: b = 32 mm
f = 0,32
Pa = 1.000 kPa
D = 300
r = 150 mm
c = 110 + 112 = 212 mm
a) Força acionadora
Há duas sapatas idênticas, que chamaremos de direita e esquerda. Se 
analisarmos a força de atrito na sapata da direita e na sapata da esquerda, 
como mostrado em vermelho na Figura 8.15, e considerarmos a sapata 
da direita, ela gera um momento no sentido horário, o que gera o auto-
acionamento (a componente da força de atrito em verde está ajudando a 
frenagem); já na sapata da esquerda a componente da força de atrito está 
tendendo a descolar a sapata do tambor, então podemos concluir que a 
pressão máxima não vai ser igual para ambos os lados, pois a sapata da 
direita terá maior contribuição na força.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 202_Livro_Elementos de Máquinas.indb 202 20/05/2022 14:12:3920/05/2022 14:12:39
– 203 –
Embreagens, freios e acoplamentos
Figura 8.15 – Engrenagem dupla – distribuição de forças
Fonte: Atlan Coelho.
Agora calculamos a força pela sapata da direita:
F
M M
c
n f�
�
�
Para o cálculo de Mn e Mf, é necessário usar a pressão máxima, e 
como vimos a sapata da direita tem maior contribuição para a frenagem, 
então nela utilizaremos a pressão máxima igual a 1.000 kPa. Precisamos 
definir os limites de integração, e para facilitar o cálculo podemos deslo-
car o eixo em 30º e considerar o zero no centro do pivô da sapata direita:
1 0�
2 126º�
a º�90
Falta definir o valor de a (distância entreo centro do tambor e o cen-
tro do pivô). Considerando o triângulo retângulo de base 50 e altura 112 
(destacado em vermelho), podemos encontrar o valor de a, que será a 
hipotenusa do triângulo:
a mm112 50 122 72 2
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 203_Livro_Elementos de Máquinas.indb 203 20/05/2022 14:12:4020/05/2022 14:12:40
Elementos de Máquinas
– 204 –
Com todos os dados definidos, partimos para o cálculo de Mn:
M
P b r a
sen
sen dn
a
a
� �
. . .
. .
�
� �
�
�
1
2
2
Onde:
Pa kPa x Pa1000 103
� �b mm m32 1000 0 032
� �a mm m, /122 7 1000 0 1227
� �c mm m212 1000 0 212
� �r mm m150 1000 0 150
� �1 0 2 126 90a�
sen �1a
Substituindo os valores na equação de Mn:
M
x x
sen dn
1000 10 0 032 0 150 0 1227
1
126
3
0
2
2. , . ,
. .
A resolução da integral do tipo sen2θ.dθ é dada por:
1
2
1
2
2
2
1
4
2sen d sen
Juntando a parte constante com a resolução da integral:
M
x x
senn
1000 10 0 032 0 150 0 1227
1 2
126
180
1
4
2 12
3 . , . ,
. . 66
0
126
º
Mn N m788 .�
Para calcular Mf, utilizamos a equação:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 204_Livro_Elementos de Máquinas.indb 204 20/05/2022 14:12:4320/05/2022 14:12:43
– 205 –
Embreagens, freios e acoplamentos
M
f P b r
sen
sen r a cos df
a
a
� �� ��
. . .
. . . .
�
� � �
�
0
2
Resolvendo a integral:
0
0
2
0
2
2
21
2
sen r a cos d rcos a sen. .
M
f P b r
sen
r rcos a senf
a
a
� � ��
�
�
�
�
�
. . .
. .
�
� �
2
2
2
2
Substituindo os valores:
M
x x
xf
0 32 1000 10 0 032 0 150
1
0 150 0 150
3, . . ,
, , .cos 1126 0 1227
2
1262, .sen
304Mf N m� .
Com esses valores e c, encontramos a força:
F 788 304
212
2 28 kN
b) Capacidade de frenagem
A capacidade de frenagem é a soma do torque da sapata direita com a 
sapata esquerda, porém como vimos a pressão máxima não será a mesma 
para as duas sapatas, mas a força sim. Utilizamos a pressão máxima para 
o cálculo do torque da sapata direita:
T
f P b r cos cos
senD
a
a
�
�� �. . . .2 1 2� �
�
Substituindo os valores:
T
x cos cos
D
0 32 1000 10 0 032 0 150 0 126
1
3 2, . . , . ,
366TD N m� .
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 205_Livro_Elementos de Máquinas.indb 205 20/05/2022 14:12:4620/05/2022 14:12:46
Elementos de Máquinas
– 206 –
Para o cálculo do torque esquerdo, precisamos definir a pressão 
máxima que está atuando na sapata, então, sabendo que a força é a mesma, 
podemos fazer uma relação com uma simples regra de três:
Mn
Pa
Mn
Pa
D
D
E
E
=
Mn PaE E=
788
1000
.
Fazendo o mesmo para Mf:
M Paf E=
304
1000
.
Utilizando a equação da força para a sapata esquerda (somamos Mn 
com Mf, pois a componente do atrito está contra a frenagem):
F
M M
c
n f�
�
�
Substituímos os valores de Mn e Mf em função da pressão 
máxima esquerda:
2 28
788
1000
304
1000
212
. .Pa PaE E
Pa kPaE �
Agora encontramos o torque em relação à sapata esquerda:
T
x cos cos
E
0 32 443 10 0 032 0 150 0 126
1
3 2, . . , . , .
162TE N m� .
Logo, a capacidade de frenagem é igual a TD TE�� + , então:
N m366 162 528 .
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 206_Livro_Elementos de Máquinas.indb 206 20/05/2022 14:12:5020/05/2022 14:12:50
– 207 –
Embreagens, freios e acoplamentos
8.4 Acoplamentos
oplamentos são elementos empregados na transmissão de movimento 
entre eixos ou eixos-árvore. Além de unir dois eixos de equipamentos ou 
máquinas, têm as seguintes funções:
 2 absorver choques;
 2 compensar desalinhamentos entre eixos;
 2 transmitir torque;
 2 reduzir vibrações;
 2 não forçar os rolamentos de motores ou mancais;
 2 permitir a manutenção no eixo motriz ou no eixo movido 
individualmente;
 2 absorver dilatações de eixos do motor e do sistema.
Quanto ao tipo, os acoplamentos podem ser fixos, elásticos, 
móveis ou hidráulicos.
8.4.1 Acoplamentos fixos
Os acoplamentos fixos não conseguem compensar desalinhamentos e 
são torcionalmente rígidos, não têm flexibilidade e não absorvem choques 
nem vibrações. Os tipos mais comuns são os acoplamentos de flange, de 
luva de compressão e de discos e pratos. São utilizados em aplicações que 
exigem grandes potências.
8.4.2 Acoplamentos flexíveis
Os acoplamentos flexíveis, em sua maioria, são formados por duas 
peças rígidas com um elemento flexível ou flutuante e absorvem pequenos 
desalinhamentos, por isso é recomendável que as partes estejam o mais 
alinhadas possível. Podem, ainda, ser elásticos e não elásticos.
Dentro dos acoplamentos elásticos estão os de pinos, os de garras, 
os de fita de aço, entre outros. Já os flexíveis não elásticos compensam 
desalinhamento radial, axial e angular, são torcionalmente rígidos e não 
absorvem choques nem vibrações. Além disso, são capazes de manter o 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 207_Livro_Elementos de Máquinas.indb 207 20/05/2022 14:12:5020/05/2022 14:12:50
Elementos de Máquinas
– 208 –
sincronismo entre as máquinas acopladas. O mais conhecido deles é cha-
mado de junta cardan ou junta universal, um acoplamento usado na liga-
ção de árvores que formam um ângulo permanente entre si.
Em uma visão geral, o cardan é composto de dois eixos tubulares, 
um primário, centrado à fonte motriz, e outro secundário, centrado ao 
eixo de tração. As extremidades contam com articulações denominadas 
juntas móveis universais, que podem ter rolamentos, mangas de ligação, 
grampos ou anéis de pressão e guarda-pós para acompanhar o movimento 
unilateral deles. Uma das aplicações mais conhecidas dessa junta é na 
suspensão dos veículos (Figura 8.16).
Figura 8.16 – Junta cardan ou universal
Fonte: Stock.adobe.com/HENADZY
8.4.3 Acoplamentos móveis
Os acoplamentos móveis têm a possibilidade de se acoplar e desaco-
plar do elemento, mas só transmitem o movimento quando acoplados. É 
uma função parecida com a das embreagens.
8.4.4 Dimensionamento de acoplamentos
O dimensionamento de acoplamentos flexíveis é relativamente sim-
ples. Na seleção de acoplamentos flexíveis, é imprescindível considerar, 
além do tipo de acoplamento:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 208_Livro_Elementos de Máquinas.indb 208 20/05/2022 14:12:5120/05/2022 14:12:51
– 209 –
Embreagens, freios e acoplamentos
 2 o momento da máquina acionadora;
 2 o grau de irregularidade do sistema;
 2 a magnitude das massas a serem aceleradas;
 2 o desalinhamento durante a operação.
Depois de escolhido o tipo de acoplamento, os fabricantes disponibi-
lizam métodos para dimensionar a peça. Vejamos o método utilizado pela 
PTI-Falk, no qual se calcula o torque pela equação:
T C P
nN
= .
Onde: TN = torque nominal (N.m)
P = potência (kW ou CV)
C = constante de ajuste de unidades: Se P [kW], C = 9.550 e se P 
[CV], C = 7.121
n = rotação (rpm)
Após o cálculo do torque nominal, devemos usar alguns fatores rela-
tivos à aplicação:
 2 Sz = fator de frequência de partida
 2 SA = fator de serviço
 2 Sθ = fator de temperatura
 2 ST = fator de funcionamento
T T xS xS xS xSmáx N z A T� � �
Tabela 8.2 – Fatores modificadores do torque nominal
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 209_Livro_Elementos de Máquinas.indb 209 20/05/2022 14:12:5220/05/2022 14:12:52
Elementos de Máquinas
– 210 –
Fonte: Catálogo PTI-Falk.
Após encontrar o torque máximo, entra-se com esse valor no catá-
logo do fabricante para selecionar um acoplamento, desde que o torque 
aplicado (do catálogo) seja maior que o torque máximo encontrado.
Vimos o dimensionamento do freio a tambor com sapatas inter-
nas. No vídeo “EleMaq – Livro Shigley – Capítulo 16 – Freios e 
Embreagens – Parte 04” são apresentados os métodos de dimen-
sionamento do freio a tambor com sapatas externas, freio com 
cinta externa e freio a disco.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=feKTY9
LGdGk&list=WL&index=53&t=939s>. Acesso em: 16 abr. 2022.
Atividades
1. Um freio a tambor com sapatas internas está instalado em um 
tambor de 240 mm de diâmetro. A distância entre o pivô da 
sapata e o centro do tambor é de 100 mm, a largura de face 
da sapata é igual a 30 mm, a pressãomáxima é de 1.000 kPa. 
A sapata está localizada indo do ângulo de 0º a 80º, sendo nessa 
extremidade que a força está sendo aplicada. O coeficiente de 
atrito é 0,32. Nessas condições, calcule a capacidade de frena-
gem do sistema:
2. Um freio duplo com sapatas idênticas, uma na direita e outra 
na esquerda, está sujeito a forças iguais nas extremidades das 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 210_Livro_Elementos de Máquinas.indb 210 20/05/2022 14:12:5220/05/2022 14:12:52
– 211 –
Embreagens, freios e acoplamentos
sapatas e o freio gira no sentido anti-horário. Nessa condição, a 
pressão máxima ocorrerá em qual das sapatas? Por quê?
3. Um freio a tambor com sapatas internas está instalado em um 
tambor com 400 mm de diâmetro e gira no sentido horário. O 
raio da sapata é de 150 mm. A sapata está localizada em θ1 = 0º 
e θ2 = 90º, onde a força de 3 kN está sendo aplicada. Sabendo 
que o momento normal é 800 N.m, qual é o valor do momento 
da força de atrito?
4. Um acoplamento está unindo uma bomba centrífuga, de carga uni-
forme, a um motor elétrico com potência de 100 CV e 1.800 rpm. 
A bomba trabalha 24 horas por dia e tem frequência de partida 
de 12/h. A temperatura de trabalho é de 80 ºC. Nessas condições, 
encontre o torque máximo que o acoplamento suporta.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 211_Livro_Elementos de Máquinas.indb 211 20/05/2022 14:12:5220/05/2022 14:12:52
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 212_Livro_Elementos de Máquinas.indb 212 20/05/2022 14:12:5220/05/2022 14:12:52
9
Elementos 
de fixação
Suponha que você está querendo montar uma caixa. Se for 
de papelão, você faz as dobraduras e para fechar precisa de algo 
para uni-las, que pode ser cola, grampos, fita adesiva. Se a caixa 
for de madeira, talvez você prefira fechar com outro material, 
como pregos ou taxas. Na mecânica, é comum que seja necessá-
ria a união de chapas, barras ou perfis, e para isso são utilizados 
os elementos de fixação. Neste capítulo, conheceremos os tipos 
de elementos de fixação, detalharemos alguns e aprenderemos a 
calcular e selecionar outros.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 213_Livro_Elementos de Máquinas.indb 213 20/05/2022 14:12:5320/05/2022 14:12:53
Elementos de Máquinas
– 214 –
9.1 Tipos de elementos de fixação
Os elementos de fixação podem ser classificados em permanentes e 
móveis. Os permanentes são caracterizados pela destruição da união após 
a retirada, sendo solda e rebite os mais comuns. Já os elementos móveis 
podem ser retirados a qualquer momento sem a destruição da peça ou da 
união, e os mais comuns são parafusos, porcas, arruelas, pinos, chavetas, 
estrias e cavilhas.
Suponha que você precise montar o portão da garagem de casa. Você 
sabe que não vai precisar desmontá-lo depois, então pode escolher um ele-
mento de fixação permanente, como solda ou rebite. Agora suponha que 
você esteja montando o berço do seu filho que acabou de nascer. Quando 
ele estiver com uns 2 anos, vai passar a dormir em uma cama. Se você uti-
lizar um elemento de fixação permanente na montagem do berço, quando 
precisar desmontá-lo terá de destruí-lo. Não faz sentido, não é mesmo? 
Nesse caso, são utilizados parafusos, porcas e pinos para a montagem. 
Assim também acontece com muitas construções mecânicas, para que não 
sejam destruídas toda vez que forem desmontadas.
Muitos tipos de elemento de fixação móvel são utilizados de acordo 
com a união desejada. Pino e cavilha servem para unir peças articuladas, 
já contrapino ou cupilha são utilizados para fixar um pino. Parafuso são 
compostos de cabeça e parte roscada e têm diversas aplicações. Porcas e 
arruelas trabalham em conjunto com parafusos. Chavetas podem acumu-
lar a função de união e transmissão (TELECURSO, 2000).
9.1.1 Fixação permanente
Os elementos de fixação permanentes são as soldas e os rebites. 
Comparando a obtenção de peças por meio de fundição ou solda, tem-
-se que as soldas em máquinas têm redução de praticamente a metade 
do peso de peças fundidas. O uso da solda, em muitos casos, dispensa a 
utilização de modelos, o que faz que as peças tenham o custo e o prazo 
de entrega reduzidos. Recomenda-se o uso de soldas na fabricação de 
caixa de redutores e de estruturas de máquinas e na construção de ala-
vancas e polias (NIEMANN, 1971).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 214_Livro_Elementos de Máquinas.indb 214 20/05/2022 14:12:5320/05/2022 14:12:53
– 215 –
Elementos de fixação
9.1.1.1 Fixação por solda
A soldagem é um tipo de fixação permanente. Os processos de sol-
dagem podem ocorrer por fusão, quando tanto o metal de adição quanto o 
metal base se fundem; por pressão, quando não há fusão e a união ocorre 
por uma grande pressão capaz de produzir uma tensão no metal de base; 
ou por brasagem, em que apenas o metal de adição se funde e o metal de 
base não sofre fusão.
9.1.1.2 Fixação por rebites
O rebite é um elemento de fixação composto de um corpo metálico e 
uma cabeça que pode ter formatos variados. Algumas das aplicações dos 
rebites são (NIEMANN, 1971):
 2 estruturas de aço de elevada resistência (edifícios, pontes e guindastes);
 2 junções de caldeiraria que exijam estanqueidade (caldeiras, 
reservatórios e tubos sujeitos a altas pressões);
 2 aplicações diversas que exijam estanqueidade (recipientes de 
pequenas alturas, tubos de descarga e tubulação sem pressão);
 2 junções de chapas de revestimento de alta responsabilidade 
(construção de aviões e carrocerias de ônibus).
9.1.2 Fixação móvel
Se você observar a parte de baixo de um liquidificador, uma bate-
deira, uma sanduicheira ou um forno elétrico, certamente vai encontrar 
algum ou alguns tipos de parafusos de fixação. O parafuso é o elemento 
de fixação mais popular e pode ser encontrado em algumas das situações 
a seguir (NIEMANN, 1971):
 2 como fixação, para junções desmontáveis;
 2 como tensores, para aplicar tensões;
 2 como obturadores, para fechar orifícios;
 2 como ajustadores, para eliminar folgas ou compensar desgastes;
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 215_Livro_Elementos de Máquinas.indb 215 20/05/2022 14:12:5320/05/2022 14:12:53
Elementos de Máquinas
– 216 –
 2 como parafusos micrométricos, para deslocamentos bem 
pequenos (micrômetro);
 2 como parafusos de prensas e morsas, para prender peças;
 2 como parafusos de movimento retilíneo ou rotativo;
 2 como parafusos para pequenos deslocamentos por meio de 
roscas grossas.
Figura 9.1 – Tipos de parafuso
Fonte: Atlan Coelho.
Além dos parafusos, outros elementos são utilizados para a fixação 
como cupilhas, porcas, arruelas e chavetas.
9.2 Elementos de fixação móveis: parafusos
Suponha que você esteja de mudança e precise desmontar a cama 
para que ela passe pela porta do quarto. A primeira ação é verificar qual ou 
quais são os elementos de fixação. São parafusos? Pinos? Pregos? Prova-
velmente são parafusos, mas você ainda tem um problema: se a cama esti-
ver firme, significa que eles estão bem apertados e você não vai conseguir 
tirá-los apenas com as mãos, então vai precisar de uma ferramenta. Para 
saber qual é a ferramenta adequada, você precisa checar como é a cabeça 
dos parafusos. São sextavadas? Têm fendas? Ou são do tipo “estrela”? 
Para cada opção há uma ferramenta apropriada.
9.2.1 Principais tipos de parafuso de fixação
Parafusos são elementos de fixação compostos de um corpo roscado 
que pode ou não ter cabeça. Quando o parafuso não tem cabeça, é cha-
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 216_Livro_Elementos de Máquinas.indb 216 20/05/2022 14:12:5320/05/2022 14:12:53
– 217 –
Elementos de fixação
mado de estojo ou prisioneiro. Os parafusos podem ser fixados em um 
furo já roscado (parafusos máquina) ou podem produzir o próprio furo 
(parafusos para madeira e autoaterraxantes).
Em relação ao corpo, podem ser cilíndricos, cônicos ou prisioneiros. 
Quanto ao formato da cabeça, podem ser sextavados, quadrados, redon-
dos, abaulados, cilíndricos, escareados, entre outros. A cabeça tambémpode ter diversos tipos de dispositivo de atarraxamento, como sextavado, 
fenda, sextavado interno e recartilhado.
Os parafusos podem trabalhar em furos passantes, nos quais há a 
necessidade de uso de porcas, ou em furos não passantes, em que são 
rosqueados direto na peça.
Figura 9.2 – Parafusos de máquina com variados tipos de cabeça
Fonte: Atlan Coelho.
Os parafusos também podem ser fabricados com diversos tipos de 
material, sendo o aço o mais comum, mas podendo ser latão, alumínio, 
níquel, titânio e outras ligas, a depender da aplicação desejada.
A liga de Níquel Titânio (NiTi) possui a propriedade de memó-
ria de forma, que é a habilidade de retornar à sua forma (não defor-
mada) após uma deformação aparentemente plástica por meio do 
aquecimento. Assim, um parafuso com tal propriedade funcionaria 
como um absorvedor de cargas variáveis, sofrendo grandes deforma-
ções que são recuperadas, ao contrário do parafuso convencional que 
gera uma união de elevada rigidez. (MARTINS et al., 2014, p. 01)
Por exemplo, parafusos de níquel e suas ligas (Monel e Inconel) são 
resistentes à corrosão em temperaturas elevadas e robustos a temperaturas 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 217_Livro_Elementos de Máquinas.indb 217 20/05/2022 14:12:5320/05/2022 14:12:53
Elementos de Máquinas
– 218 –
muito baixas (MOTT, 2015). Em seguida, veremos com mais detalhes o 
dimensionamento dos parafusos e suas respectivas roscas.
9.2.2 Dimensionamento e seleção 
de parafusos de fixação
O dimensionamento leva em consideração a classificação dos para-
fusos, que é normalizada. As normas mais conhecidas são as normas da 
American Society for Testing and Materials (ASTM), da Sociedade de 
Engenheiros Automotivos (SAE) e a métrica de aços; as duas primeiras 
estão no Sistema Americano de Unidades (pol-Psi) e a métrica está no 
Sistema Internacional de Unidades (mm-MPa).
A classificação SAE numera as classes de 1 a 8,2. Já a classificação 
ASTM indica o código ASTM do material, e a classe métrica numera as 
classes de 4,6 a 12,9. A Tabela 9.1 apresenta a equivalência de algumas 
das classes das três normas.
Tabela 9.1 – Equivalência das classes SAE, ASTM e métrica
Classe SAE Classe ASTM Classe métrica
J429 Classe 1 A307 Classe A Classe 4,6
J429 Classe 1 Classe 5,8
J429 Classe 5 A449, A325 Classe 8,8
J429 Classe 1 A354 Classe BD, A490 Classe 10,9
- A574 Classe 12,9
Fonte: Mott (2015, p. 734).
As roscas dos parafusos também são normalizadas e podem estar no 
sistema americano, sendo grossas (UNC) ou finas (UFC), ou no sistema 
métrico, em que também são classificadas em grossas e finas. A Tabela 9.2 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 218_Livro_Elementos de Máquinas.indb 218 20/05/2022 14:12:5320/05/2022 14:12:53
– 219 –
Elementos de fixação
apresenta um fragmento da cada uma das tabelas, em que a superior é a do 
sistema americano e a inferior é do sistema métrico.
Tabela 9.2 – Tabelas de roscas no sistema americano e no sistema métrico
A. Dimensões de rosca norte-americanas, tamanhos numerados
Roscas grossas: UNC Roscas finas: UNF
Diâmetro 
principal 
básico, D 
(pol)
Tamanho – 
roscas por 
polegada, n
Área de 
tensão de 
tração (pol2)
Tamanho – 
roscas por 
polegadas, 
n
Área de 
tensão de 
tração (pol2)
0,0600 ---- ---- 0 - 80 0,00180
0,0730 1 - 64 0,00263 1 - 72 0,00278
0,0860 2 - 56 0,00370 2 - 64 0,00394
Roscas grossas Roscas finas
Designação básica da rosca
Diâmetro 
principal 
básico, D 
(pol)
DP(mm) X 
Passo (mm)
Área de 
tensão 
de tração 
(mm2)
DP(mm) 
X Passo 
(mm)
Área de 
tensão 
de tração 
(mm2)
1 M1 X 0,25 0,460 ---- ----
1,6 M1,6 X 0,35 1,27 M16 X 0,2 1,57
2 M2 x 0,4 2,07 M2 X 0,25 2,45
Fonte: adaptado de Mott (2015, p. 736-737).
O cálculo de parafuso e dimensionamento da rosca leva em conside-
ração alguns parâmetros:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 219_Livro_Elementos de Máquinas.indb 219 20/05/2022 14:12:5420/05/2022 14:12:54
Elementos de Máquinas
– 220 –
 2 área de tensão de tração;
 2 força tensora;
 2 torque de aperto.
1º passo: área de tensão de tração
A área de tensão de tração nos parafusos representa a área real cor-
tada por um plano transversal. No sistema americano, o passo é dado por 
1/n e no sistema métrico é fornecido diretamente. As equações para o cál-
culo da área de tensão de tração são diferentes para as roscas americanas 
e para a rosca métrica:
a) área da tensão de tração para rosca americana (UNC e UNF)
A D pt 0 7854 0 9743
2, . ,
Onde: D = diâmetro principal (pol)
d = passo da rosca (pol)
b) área da tensão de tração para rosca métrica
A D pt 0 7854 0 9382
2, . ,
Onde: D = diâmetro principal (mm)
d = passo da rosca (mm)
2º passo: força tensora
A força tensora é aquela exercida entre duas peças que estão unidas 
por um parafuso passante ou não passante. A tensão admissível devido à 
força tensora máxima é definida por 75% da resistência de prova máxima 
(encontrada nas tabelas de classes):
a pR.0 75
A carga de prova é dada pelo produto da tensão admissível devido à 
força tensora pela área de tensão de tração:
C Ap a t� � .
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 220_Livro_Elementos de Máquinas.indb 220 20/05/2022 14:12:5520/05/2022 14:12:55
– 221 –
Elementos de fixação
Onde: 𝜎a = tensão admissível devido à força tensora (PSI ou MPa)
Cp = carga de prova (lb ou N)
At = área de tensão de tração (pol2 ou mm2)
Rp = tensão de prova (PSI ou MPa)
A carga de prova é encontrada nas tabelas de classe dos parafu-
sos, sendo que nas classes americanas a carga de prova está em PSI 
(lb /pol2) e na classe métrica a carga de prova é apresentada em MPa 
(megapascal = N/mm2).
3º passo: torque de aperto
“A força tensora é gerada no parafuso por meio de um torque de 
aperto na porca ou na própria cabeça do parafuso” (MOTT, 2015, p. 737). 
O torque de aperto tem uma relação aproximada com a força de tração 
axial no parafuso e é dado por:
T KDCp=
Onde: Cp = carga de prova (lb ou N)
D = diâmetro normal das roscas (pol ou mm)
K = constante que depende de lubrificação (0,15 em situação normal 
e 0,20 para rosca limpa e seca)
Exemplo 1
Um conjunto de três parafusos serve para gerar uma força de aperto 
de 54 kN entre dois componentes de uma máquina. A carga é comparti-
lhada igualmente entre os três parafusos. Especifique os parafusos adequa-
dos, incluindo a classe do material se cada um for tensionado a 75% de sua 
resistência de prova. Em seguida, calcule o torque de aperto necessário.
Solução:
A carga de prova de cada parafuso deve ser Cp = 13,5 kN. Especi-
ficamos um parafuso passante feito de aço da classe métrica 8,8 (tabela 
19.3 - MOTT, 2015, p. 734) com resistência de prova de 600 MPa. Então 
a tensão admissível é:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 221_Livro_Elementos de Máquinas.indb 221 20/05/2022 14:12:5520/05/2022 14:12:55
Elementos de Máquinas
– 222 –
a MPa0 75 600
a MPa450� � 
Como a carga de prova é dada pelo produto da tensão admissível 
devido à força tensora pela área de tensão de tração:
C Ap a t� � .
Logo, a área de tração exigida para o parafuso é dada por:
A
C
t
p
a
�
�
A N
MPat
�
13 500
450
At mm30 ��
Na tabela 19.5 (MOTT, 2015, p. 737), verificamos que a rosca M8 x 
1,25 (a indicação significa M de métrica; o primeiro número é o diâmetro 
em mm depois do x é o valor do passo) tem a área de tensão requerida 
(36,6 mm2 > 30 mm2). O torque de aperto exigido é:
T KDCp=
T x m N0 15 8 10 13 5003, .
N m2, .16�
Com esses dados, é possível selecionar em um catálogo de fornece-
dor o parafuso que mais se adéque à aplicação exigida.
9.3 Elementos de fixação 
permanentes: rebites e soldas
Imagine que o cabo de uma panela quebrou e você vai precisar con-
sertá-lo. Para que fique bem fixo e não solte mais, você pode utilizar sol-
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 222_Livro_Elementos de Máquinas.indb 222 20/05/2022 14:12:5820/05/2022 14:12:58
– 223 –
Elementos de fixação
dagem ou rebitagem. A solda é uma boa solução, mas,devido ao aqueci-
mento da área, pode gerar alterações nas superfícies da panela.
9.3.1 Tipos de rebite
Rebites são elementos de máquinas de fixação permanentes feitos de 
aço, cobre, latão ou alumínio, aplicáveis em diversas situações. As pro-
teções das asas de aviões utilizam rebites, assim como a carroceria de 
ônibus é feita com rebites.
Os rebites são compostos de uma cabeça e um corpo cilíndrico. As 
dimensões são determinadas por normas, e os modelos variam de acordo com 
o tipo da cabeça (Quadro 9.1), o qual tem influência na aplicação do rebite.
Quadro 9.1 – Tipos de rebite
Tipo de rebite Formato da cabeça Emprego
Cabeça redonda 
larga Largamente utilizados 
devido à resistência 
que oferecemCabeça redonda 
estreita
Cabeça escareada 
chata larga Empregados em 
uniões que não 
admitem saliênciasCabeça escareada 
chata estreita
Cabeça escareada 
com calota Empregados em 
uniões que admitem 
pequenas saliênciasCabeça tipo panela
 
Cabeça cilíndrica
Usados em uniões de 
chapas com espessura 
máxima de 7 mm
Fonte: Telecurso (2000, p. 18).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 223_Livro_Elementos de Máquinas.indb 223 20/05/2022 14:12:5820/05/2022 14:12:58
Elementos de Máquinas
– 224 –
Além do rebites do Quadro 9.1, existem outros com nomes especiais, 
como de tubo, explosivo e um dos mais populares, de repuxo, conhecido 
como rebite pop, que é introduzido e fixado por um único lado.
9.3.2 Dimensionamento de rebites
O dimensionamento de rebites deve levar em consideração o mate-
rial de fabricação. Para a confecção de estruturas de aço, caldeiraria e 
reservatórios, utiliza-se um aço tenaz (NIEMANN, 1971). Outros fatores 
que devem ser considerados são as dimensões do rebite e onde ele será 
aplicado, sabendo que as dimensões são normalizadas. A Figura 9.3 apre-
senta dois exemplos de rebite, de cabeça redonda e de cabeça escareada, 
listando as dimensões: D (diâmetro da cabeça), d (diâmetro do corpo), 
k (espessura da cabeça) e L (comprimento útil do rebite). Os rebites de 
cabeça redonda, por exemplo, são padronizados: o diâmetro do corpo (d) 
vai de 1,6 mm a 6 mm e o comprimento útil (L) vai de 30 mm até 40 mm.
Figura 9.3 – Dimensões de rebites de cabeça redonda e cabeça escareada
Fonte: Atlan Coelho.
Para selecionar o melhor rebite é preciso, além de definir o material 
adequado, calcular o diâmetro do rebite (d), o diâmetro do furo onde o 
rebite será aplicado (dF) e o comprimento útil do rebite. Vejamos quais 
são os cálculos necessários para escolher o rebite mais apropriado.
1º passo: cálculo do diâmetro do rebite (d)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 224_Livro_Elementos de Máquinas.indb 224 20/05/2022 14:12:5820/05/2022 14:12:58
– 225 –
Elementos de fixação
O diâmetro do rebite deve ser calculado levando em consideração as 
espessuras das chapas a serem unidas. Para o cálculo, considera-se a chapa 
de menor diâmetro, pois assim é mais conservador:
d s, .1 5
Onde: d = diâmetro do rebite
< s = menor espessura
1,5 = constante ou valor predeterminado
Exemplo 2
Para rebitar duas chapas de aço, uma com espessura de 7 mm e outra 
com espessura de 5 mm, qual é o diâmetro do rebite?
Solução:
Como utilizamos a menor espessura:
1 5d mm, . 5
7 5 mm,�
2º passo: cálculo do diâmetro do furo
O diâmetro do furo é dado pelo produto do diâmetro do rebite por 
uma constante:
d dF � � �. ,1 06
Onde: dF = diâmetro do furo
d = diâmetro do rebite
1,06 = constante ou valor predeterminado
Exemplo 3
Qual deve ser o diâmetro do furo para um rebite com diâmetro de 7,5 mm?
Solução:
Usando a equação citada, em que d = 7,5 mm, temos:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 225_Livro_Elementos de Máquinas.indb 225 20/05/2022 14:12:5920/05/2022 14:12:59
Elementos de Máquinas
– 226 –
6 7d� mm, .7 5 1 0 95
3º passo: cálculo do comprimento útil do rebite (L)
O cálculo do comprimento útil do rebite é dado por:
L y d S
Onde: L = comprimento útil do rebite
y = constante determinada pelo tipo de cabeça do rebite
S = soma das espessuras das chapas
O valor de y para cabeça redonda e cilíndrica é igual a:
y ,1 5�
O valor de y para cabeça escareada é igual a:
y ,1 0�
Exemplo 4
Calcule o comprimento útil de um rebite de cabeça redonda com diâ-
metro de 6,5 mm para rebitar duas chapas com 5 mm de espessura e 7 mm 
de espessura.
Solução:
Como a cabeça é redonda, temos que:
y =1 5,
A soma das espessuras é 5 7S 12, então temos:
L y d S
L , ,1 5 6 5 12
mm�21 75,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 226_Livro_Elementos de Máquinas.indb 226 20/05/2022 14:13:0120/05/2022 14:13:01
– 227 –
Elementos de fixação
9.3.3 Processos de rebitagem
No processo de rebitagem, o rebite é inserido em um furo, unindo duas 
chapas, ficando a cabeça do rebite em uma das extremidades das chapas e a 
ponta do rebite na outra extremidade, a qual forma outra cabeça unindo as 
duas chapas. A Figura 9.4 apresenta essa sequência de atividades.
Figura 9.4 – Etapas da rebitagem
Fonte: Atlan Coelho.
Observe que a etapa de formação da cabeça pode acontecer de forma 
manual ou mecânica. No processo manual padrão, são usadas duas ferra-
mentas: um contraestampo que fica sob a chapa e um repuxador onde a parte 
lisa do rebite é introduzida; com a ajuda de um martelo, a cabeça é estam-
pada até que o rebite preencha todo o furo. Para dar um formato “boleado” 
na cabeça, utiliza-se um martelo de bola. O acabamento é feito com uma 
ferramenta chamada estampo, para a cabeça receber o formato final.
Figura 9.5 – Processo de estampagem manual
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 227_Livro_Elementos de Máquinas.indb 227 20/05/2022 14:13:0120/05/2022 14:13:01
Elementos de Máquinas
– 228 –
Já o processo mecânico é realizado com um martelo pneumático ou 
uma rebitadeira hidráulica ou pneumática. O martelo pneumático é com-
posto de um pistão ou êmbolo que empurra a ferramenta na extremidade 
do martelo. Já a rebitadeira tem formato de C e é composta de duas garras, 
sendo uma fixa e outra móvel, ambas com estampos nas extremidades.
A rebitagem pode também ocorrer a quente ou a frio. No processo a 
quente, o rebite é aquecido em forno para facilitar o processo, e o material 
indicado é o aço. Recomenda-se o uso da rebitagem a quente quando o 
diâmetro do rebite é superior a 6,35 mm. A rebitagem a frio é mais simples 
e barata, recomendada para rebites com diâmetro inferior a 6,35 mm e 
para materiais mais moles, como alumínio.
Mesmo com todos os cuidados na hora da rebitagem, alguns problemas 
podem acontecer, como mostrado no Quadro 9.2. Se esses defeitos forem 
detectados durante o processo, é necessária a retirada do rebite; após os ajus-
tes, uma nova operação deve ser realizada. Os rebites podem ser retirados por 
esmerilhadeira, com talhadeira, punção ou até mesmo com uma simples lima.
Quadro 9.2 – Possíveis defeitos de rebitagem
Defeitos de rebitagem
Causa Descrição Efeito
Mal preparo 
das chapas
Furos fora de eixo 
causando degraus Diminui a resistência do corpo
Chapas mal encostadas
Engrossamento da seção 
do corpo do rebite, 
reduzindo a resistência
Diâmetro do furo > 
diâmetro do rebite
Rebite assume um eixo 
inclinado, reduzindo a 
pressão de aperto
Má execução das 
operações e fases 
de rebitagem
Aquecimento excessivo 
do rebite
Com a contração do material, 
o rebite pode folgar, podendo 
haver deslizamento das chapas
Rebitagem descentralizada
As cabeças ficam 
descentralizadas, o que faz 
perder o aperto das chapas
Comprimento do corpo do 
rebite é pequeno em relação 
à espessura das chapas
A segunda cabeça não 
tem material suficiente 
e fica incompleta
Fonte: Telecurso (2000).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 228_Livro_Elementos de Máquinas.indb 228 20/05/2022 14:13:0120/05/2022 14:13:01
– 229 –
Elementos de fixação
Exemplo 5
Você está trabalhando em um novo projeto e precisa rebitar duas cha-
pas, sendo uma com espessura de 6 mm e outra com espessura de 3 mm. 
No almoxarifado só há rebitesde cabeça escareada. Calcule o diâmetro do 
rebite, o diâmetro do furo e o comprimento útil do rebite.
Solução:
Para o diâmetro do rebite, temos que:
d s, .1 5
A menor espessura é de 3 mm, então:
3 4d mm, .1 5 5 mm
Para o diâmetro do furo, temos que:
d� d. ,1 06
6 4d� , . ,4 5 1 0 77 4 8 mm
Para o comprimento do rebite de cabeça escareada:
L y d S
y = 1,0 e S é a soma das espessuras ( 6 3S 9) então:
9 1L 4 5 3 5 mm
9.3.4 Soldas
Uma simples definição encontrada em literaturas mais antigas 
defende que o termo “soldagem” se refere ao “processo de união de metais 
por fusão” (MARQUES, 2009, p. 18). No entanto, é preciso ressaltar que, 
atualmente, os metais não são soldáveis apenas por fusão, uma vez que 
existem processos de soldagem por pressão.
É importante ter ciência de que a maioria dos processos de soldagem 
pode ser separado em duas categorias:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 229_Livro_Elementos de Máquinas.indb 229 20/05/2022 14:13:0220/05/2022 14:13:02
Elementos de Máquinas
– 230 –
1. soldagem por pressão – realizada por meio da aplicação de uma 
pressão suficiente (geralmente auxiliada por calor) para haver a 
união dos metais; não há contribuição de outro material;
2. soldagem por fusão – realizada por meio da aplicação de calor 
nas superfícies, as quais se fundem na área de contato, com ou 
sem a adição de outro metal.
A soldagem pode ser por fusão, em estado sólido, por brasagem ou 
tipo solda branda, sendo que os processos mais utilizados na indústria são 
por fusão. A divisão dos tipos de solda está distribuída na Figura 9.6.
Figura 9.6 – Tipos de solda
Fonte: elaborada pela autora.
A soldagem permite a união de peças da maioria das ligas metálicas 
comumente utilizadas, desde peças com espessura inferior a 1 mm até 
estruturas com grandes dimensões. Por ser um processo versátil, a solda-
gem pode ser utilizada para aplicações em campo, por exemplo no alto 
das estruturas de um telhado e no chão de fábrica, onde as condições de 
trabalho são muito controladas.
Além disso, a soldagem é um processo economicamente viável, 
pois apresenta custo competitivo para os diferentes requisitos de qua-
lidade, podendo ser aplicada na produção de peças simples, que não 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 230_Livro_Elementos de Máquinas.indb 230 20/05/2022 14:13:0220/05/2022 14:13:02
– 231 –
Elementos de fixação
exigem grande responsabilidade, como peças de decoração, e nos pro-
dutos em que a falha de um componente soldado pode gerar grandes 
danos, como em vasos de pressão. No entanto, o processo de soldagem 
apresenta algumas limitações.
Por ser um procedimento de união permanente, não deve ser utilizado 
em situações em que há a necessidade de desmonte. Além disso, prati-
camente todos os processos de soldagem exigem a aplicação de energia 
térmica ou mecânica na região da junta a ser soldada, o que pode gerar 
uma série de efeitos mecânicos, como o aparecimento de distorções e de 
tensões residuais. Defeitos metalúrgicos também podem ocorrer, como 
mudanças na microestrutura e alterações nas propriedades das peças, o 
que pode prejudicar o desempenho dos componentes soldados e causar a 
falha prematura (MARQUES; MODENESI; BRACARENSE, 2009).
Nos processos de soldagem por fusão, um material é adicionado para a 
formação da solda, o metal de adição, que é fundido durante o procedimento 
por uma fonte de calor e se mistura com determinada quantidade de metal 
de base, que também é fundido, formando o que chamamos de poça de 
fusão. A Figura 9.7 mostra como ocorre o processo de soldagem por fusão. 
O produto desse processo de soldagem é conhecido como junta soldada.
Figura 9.7 – Processo de soldagem
Fonte: Commons.wikimedia.org/Spangineer (CC BY 3.0)
Outro aspecto importante a ser considerado é que todo processo de sol-
dagem requer certo tipo de energia. Segundo Kiminami, Castro e Oliveira 
(2018), as fontes de energia na soldagem podem ser classificadas em quatro 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 231_Livro_Elementos de Máquinas.indb 231 20/05/2022 14:13:0220/05/2022 14:13:02
Elementos de Máquinas
– 232 –
categorias: elétricas, mecânicas, químicas e radiantes. Na fonte química, o 
calor usado para fundir os metais na junta é gerado por meio da reação de um 
gás combustível combinado com oxigênio, a fim de produzir uma chama.
A maior parte do calor produzido pelo arco é transferida para a poça 
de metal quando eletrodos consumíveis são usados, ou seja, o calor trans-
ferido é menor quando o eletrodo não é consumível. Nesses processos, o 
eletrodo é feito de carbono ou tungstênio, e o metal de adição é fornecido 
por outros meios. Eletrodos consumíveis, portanto, produzem maior efici-
ência térmica do que os não consumíveis. O principal objetivo dos proces-
sos de soldagem comercial é fazer o trabalho o mais rápido possível, sem 
sacrificar a qualidade da junta. Para que isso ocorra, altas temperaturas 
no arco elétrico devem ser mantidas. Segundo Marques, Modenesi e Bra-
carense (2009), o calor gerado em um arco elétrico pode ser estimado a 
partir de parâmetros elétricos por meio da equação a seguir:
Q V xl xt= �� ��
Onde: Q = energia térmica gerada em joules (J)
V = queda de potencial no arco em Volts (V)
I = corrente elétrica no arco em ampères (A)
t = tempo de operação em segundos (s)
Podemos utilizar essa equação para determinar o consumo, em reais, 
de um processo de soldagem, sendo uma ferramenta usada para a defini-
ção do custo de produção de um produto.
Exemplo 6
Imagine que você deseja determinar o custo mensal de produção de 
determinado item. Para isso, marcou que o processo de solda por corrente 
elétrica, por peça, demora em torno de 8 segundos. O processo utilizado 
gasta 80 ampères e necessita de uma potência de 110 V. Além disso, dia-
riamente, são produzidas 50 unidades do produto analisado, e a fábrica 
funciona 20 dias por mês.
Solução:
Para determinar o custo do processo, começamos aplicando a equação:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 232_Livro_Elementos de Máquinas.indb 232 20/05/2022 14:13:0320/05/2022 14:13:03
– 233 –
Elementos de fixação
Q V xl xt= �� ��
Q x x�110 80 8
Q J� 70 400
O calor para a produção de uma peça é de 70.400 J. Já o calor para 50 
processos diários é igual a:
Q J x peças J� �70 400 50 3 520 000
Com o calor de um dia de produção determinado, multiplicamos o 
valor por 20 dias:
� �Q xdias20 3 520 000 20 70 400 000. . . .
Agora devemos realizar uma conversão de energia (joule para kWh), 
dividindo o valor de calor obtido por x J3 6 106 :
10
Q
x
kWh� �. .70 400 000
3 6
19 556
Uma vez que temos a energia mensal consumida, basta multiplicar-
mos pelo valor do kWh da região. Supondo que o valor seja de R$ 0,80, 
então o custo mensal para produzir 50 itens diários, durante 20 dias, é:
C x R� �19 55 0 80 15 64,
A corrente é diretamente proporcional à energia de soldagem, por-
tanto um aumento na corrente de soldagem gera maior energia, o que 
provoca o crescimento da temperatura no arco elétrico. Isso tornaria 
a velocidade de soldagem mais rápida. No entanto, quando a solda-
gem manual é usada, há um limite prático para a corrente, que está na 
ordem de 101 A a 102 A.
Em altas temperaturas de trabalho, os metais quimicamente tratados 
são altamente reativos com os principais constituintes do ar (oxigênio e 
nitrogênio). Se o metal líquido da poça de fusão entra em contato com 
esses componentes, são formados óxidos e nitretos que, ao se solidifica-
rem, prejudicam a resistência mecânica e a tenacidade da junta. Por essa 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 233_Livro_Elementos de Máquinas.indb 233 20/05/2022 14:13:0520/05/2022 14:13:05
Elementos de Máquinas
– 234 –
razão, todos os processos de soldagem a arco fornecem um mecanismo de 
proteção para o arco e para a poça de fusão a partir de um gás de proteção 
ou de revestimentos adequados. A proteção do arco pode ser obtida por 
meio de várias técnicas. Qualquer que seja o método de proteção,a inten-
ção é fornecer uma atmosfera de gás inerte, vapor ou escória que impeça 
ou minimize o contato do metal fundido com o meio ambiente.
Vimos alguns tipos e características de soldagem e uma equação que 
determina a quantidade de calor que um processo de soldagem pode con-
sumir. Com base nessas informações, podemos realizar a conversão do 
calor em joule para eletricidade e calcular o gasto financeiro com a solda. 
Vimos também outro elemento de fixação permanente, o rebite, e conhe-
cemos mais um pouco de parafusos, que são elementos de fixação móveis.
O vídeo “Como calcular o esforço de torção (torque) nos para-
fusos” mostra o passo a passo de cálculo do torque de um 
parafuso de rosca métrica (M5 x 0,8 - 5.6), explicando todos os 
passos, mostrando um catálogo de fornecedor e fazendo a com-
paração do cálculo com os valores tabelados.
Disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=SjNpYpedxJE>. Acesso em: 17 abr. 2022.
Atividades
1. A área de tensão de tração nos parafusos representa a área real 
cortada por um plano transversal. Suponha que você tenha em 
mãos um parafuso métrico cuja nomenclatura de rosca é M8 x 2,5. 
Calcule a área de tensão de tração desse parafuso.
2. Um parafuso-máquina com código métrico (M4 x 0,5) e classe 
métrica 9,8 (tensão de prova = 650 MPa) está fixado a uma 
chapa, e um operador deseja saber a força de prova de tração 
nesse parafuso. Calcule a força de prova de tração em kN.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 234_Livro_Elementos de Máquinas.indb 234 20/05/2022 14:13:0520/05/2022 14:13:05
– 235 –
Elementos de fixação
3. Você está trabalhando em um novo projeto e precisa rebitar 
duas chapas, sendo uma com espessura de 8 mm e outra com 
espessura de 5 mm. No almoxarifado só há rebites de cabeça 
redonda. Calcule o diâmetro do rebite, o diâmetro do furo e o 
comprimento útil do rebite.
4. Uma indústria fez um levantamento de gastos de energia com 
os processos existentes na fábrica. O estudo foi iniciado com 
a solda elétrica. Notou-se que o processo de fabricação de uma 
peça leva 5 segundos, gasta 80 ampères e necessita de uma 
potência de 220 V. Sabe-se que a fábrica produz 60 peças por 
dia durante 20 dias úteis e o preço do kWh é igual a R$ 0,80. 
(Dado: 3,6 x 106 J = 1 kWh). Qual é o custo mensal (em reais) 
da fábrica com a fabricação dessas 60 peças?
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 235_Livro_Elementos de Máquinas.indb 235 20/05/2022 14:13:0520/05/2022 14:13:05
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 236_Livro_Elementos de Máquinas.indb 236 20/05/2022 14:13:0520/05/2022 14:13:05
10
Elementos 
de apoio
Você sabe o que são elementos de apoio e para que ser-
vem? São essenciais em sistemas que utilizam rodas e eixos, 
tendo a função de reduzir o atrito entre os componentes. Os 
elementos de apoio são constituídos por guias, buchas e man-
cais, que servem de suporte para os eixos, podendo ser de desli-
zamento ou de rolamento. Você sabe onde cada elemento desse 
deve ser usado? Sabe dimensionar um rolamento ou um mancal 
de deslizamento? É isso que vamos aprender neste capítulo, no 
qual conheceremos os principais tipos de elementos de apoio, 
a aplicação de cada um deles, o dimensionamento dos mancais 
de rolamento, os cuidados com a montagem dos rolamentos e o 
dimensionamento dos mancais de deslizamento.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 237_Livro_Elementos de Máquinas.indb 237 20/05/2022 14:13:0520/05/2022 14:13:05
Elementos de Máquinas
– 238 –
10.1 Tipos de elementos de apoio
Imagine que você voltou no tempo e está fazendo um passeio em uma 
carruagem antiga, com rodas de madeira. Depois de um tempo rodando, elas 
costumavam ficar desgastadas no engate com o eixo porque havia atrito entre 
a roda e o eixo. Quando as rodas de madeira foram substituídas pelas de metal, 
o problema continuou. Qual foi a solução encontrada? A colocação de um 
anel de metal entre a roda e o eixo (TELECURSO, 2000). A função dos ele-
mentos de apoio é, justamente, reduzir o atrito entre elementos que giram.
10.1.1 Principais tipos de elementos de apoio
Os elementos de apoio são divididos em quatro tipos: buchas, guias, 
mancais de deslizamento e mancais de rolamento. As buchas são o ele-
mento de apoio mais antigo. Na carruagem antiga citada, o anel que foi 
colocado entre a roda e o eixo para reduzir o atrito era uma bucha.
As buchas têm formato cilíndrico ou cônico e podem ser de fric-
ção radial, para esforços radiais, ou fricção axial, para esforços axiais. 
As buchas radiais são utilizadas quando o eixo trabalha na horizontal e as 
buchas axiais, quando o eixo trabalha na vertical. Já as buchas cônicas são 
utilizadas quando o esforço é combinado, ou seja, radial e axial. Outro tipo 
muito utilizado é o chamada bucha-guia, que tem a função de orientar o 
posicionamento de uma ferramenta (TELECURSO, 2000).
Outro elemento de apoio é a guia, que tem a função de manter a 
trajetória de determinada peça. Para manter funcionando uma janela de 
correr feita de alumínio sem que saia do alinhamento, são utilizadas guias, 
que podem ter diversos formatos de acordo com a utilização. As guias de 
deslizamento podem ser cilíndricas, de faces paralelas, rabo de andorinha 
ou prismáticas em V (Figura 10.1).
Figura 10.1 – Tipos de guia
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 238_Livro_Elementos de Máquinas.indb 238 20/05/2022 14:13:0520/05/2022 14:13:05
– 239 –
Elementos de apoio
Fonte: Atlan Coelho.
O próximo elemento de apoio é conhecido como mancal, semelhante 
a bucha, mas com a função de apoiar eixos, podendo ser de deslizamento 
ou de rolamento. Os mancais de deslizamento constituem uma bucha fixada 
em um suporte fixo, utilizados em máquinas pesadas ou em equipamentos 
com baixa rotação. Para permitir o bom uso do mancal de deslizamento, a 
lubrificação entre as partes girantes é um fator muito importante. Já os man-
cais de rolamento são utilizados quando há altas velocidades e é necessário 
baixo atrito, tendo vantagens e desvantagens, como mostra o Quadro 10.1.
Quadro 10.1 – Vantagens e desvantagens dos mancais de rolamento
Vantagens Desvantagens
Menor atrito e aquecimento Maior sensibilidade a choques
Baixa exigência de lubrificação Maiores custos de fabricação
Intercambiabilidade internacional Tolerância pequena para carcaça e alojamento do eixo
Não há desgaste do eixo
Não suporta cargas tão elevadas 
durante a vida útil, como os 
mancais de deslizamento
Ocupa maior espaço radial
Fonte: adaptado de Franceschi e Antonello (2014, p. 44-45).
10.1.2 Aplicações dos elementos de apoio
Se você for curioso e olhar a roda de um carro, vai encontrar um rola-
mento. Nas bombas centrífugas, nos motorredutores e em muitos outros 
equipamentos, também vai encontrar um ou mais rolamentos. Até em um 
liquidificador pode encontrar um mancal de rolamento. Já se abrir uma 
janela vai encontrar uma guia.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 239_Livro_Elementos de Máquinas.indb 239 20/05/2022 14:13:0520/05/2022 14:13:05
Elementos de Máquinas
– 240 –
Veja alguns exemplos de aplicações:
 2 rolamento de roda de carro – uma das aplicações mais conheci-
das dos rolamentos é na roda de carro, com o objetivo de prender 
a roda no eixo, evitando o atrito. Nas rodas estão presentes tam-
bém as buchas que servem de guia;
 2 rolamento de roda de skate – skates são constituídos de uma 
prancha de madeira ou fibra e quatro rodinhas que utilizam rola-
mentos entre o eixo e elas para que o movimento seja mais suave 
e o atrito seja reduzido.
10.2 Mancais de rolamento
A roda de um carro é fixada no eixo, e enquanto o veículo anda ele 
fica fixo e a roda gira. Nesse caso, o mancal deve apoiar o eixo na roda, 
mas também deve favorecer o movimento de rotação. O mancal mais 
apropriado é o de rolamento, pois tem a função de sustentar a carga e 
permitir o movimento relativo entre eles.
10.2.1 Tipos de rolamento
Os mancais de rolamento são também chamados apenas de rola-
mentos, elementos formados basicamentepor um anel externo, um anel 
interno, uma pista de elementos rolantes e um elemento de sustentação. A 
Figura 10.2 apresenta um rolamento de esferas com suas principais partes.
Figura 10.2 – Partes de um rolamento
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 240_Livro_Elementos de Máquinas.indb 240 20/05/2022 14:13:0620/05/2022 14:13:06
– 241 –
Elementos de apoio
Os rolamentos são classificados de acordo com o tipo de carga que 
suportam (radial, axial ou combinada) e com os elementos rolantes (esfe-
ras, rolos, agulhas). A depender da aplicação, podem ser de vários tipos, 
como de carreira de esfera, autocompensador de esferas, de contato angu-
lar com uma carreira de esferas, de rolo cilíndrico, autocompensador de 
duas carreiras de rolos, de rolos cônicos e de agulhas.
O Quadro 10.2 apresenta alguns tipos de rolamento e a capacidade de 
carga radial e axial, além da capacidade de desalinhamento. Observa-se 
que o rolamento de rolo cilíndrico, por exemplo, tem boa capacidade de 
suportar cargas radiais e baixa capacidade de suportar cargas axiais.
Quadro 10.2 – Tipos de rolamento e capacidade de carga radial, axial e 
de desalinhamento
Tipo de rolamento Capacidade de carga radial
Capacidade de 
carga axial
Capacidade de 
desalinhamento
Rolamento de 
esferas com 
fileira única e 
sulco profundo
Boa Razoável Razoável
Rolamento de 
esferas com 
fileira dupla e 
sulco profundo
Excelente Boa Razoável
Rolamento de 
contato angular Boa Excelente Baixa
Rolamento de 
rolete cilíndrico Excelente Baixa Razoável
Rolamento agulha Excelente Baixa Baixa
Rolamento de 
rolete esférico Excelente Razoável/boa Excelente
Rolamento de 
rolete cônico Excelente Excelente Baixa
Fonte: Mott (2015, p. 584).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 241_Livro_Elementos de Máquinas.indb 241 20/05/2022 14:13:0620/05/2022 14:13:06
Elementos de Máquinas
– 242 –
A Figura 10.3 mostra alguns tipos de rolamento. O de esfera com 
fileira dupla e sulco profundo (a) tem excelente capacidade de carga radial, 
melhor que o de fileira única, pois o acréscimo de uma fileira de esferas 
aumenta a capacidade de carga radial. O de contato angular (b) suporta 
cargas axiais apenas de um lado. O de rolos cilíndricos (c) tem excelente 
capacidade de carga radial, mas baixa capacidade de suportar carga axial, 
e o de agulha (d), na verdade, é um rolamento de rolos cilíndricos com 
cilindros de pequenos diâmetros, muito utilizado em aplicações onde o 
espaço radial é reduzido.
Figura 10.3 – Tipos de rolamento
Fonte: Atlan Coelho.
Quanto ao material de fabricação, os rolamentos podem ser de aço-
-liga especialmente desenvolvido para rolamentos (SAE 52100 contendo 
alto teor de carbono, impurezas minimizadas e temperado para resistir 
a tensões muito altas); para serviços mais leves podem ser de aço inox. 
Quanto aos elementos rolantes, podem ser fabricados de materiais cerâ-
micos (nitreto de silício, óxido de zircônio, óxido de alumínio). Ligas de 
titânio e níquel também podem ser utilizadas quando é desejada grande 
resistência à corrosão (MOTT, 2015).
Os defeitos mais comuns em rolamentos ocorrem por desgaste, 
fadiga ou falhas mecânicas. O desgaste pode ser causado por várias 
razões, entre elas deficiência na lubrificação, presença de partículas 
abrasivas na carreira de elementos rolantes, corrosão e desgaste por 
patinação (girar em falso) ou por brinelamento.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 242_Livro_Elementos de Máquinas.indb 242 20/05/2022 14:13:0620/05/2022 14:13:06
– 243 –
Elementos de apoio
A falha por fadiga pode ocorrer por mal dimensionamento onde o rola-
mento excede a vida útil calculada. As falhas mecânicas geralmente ocorrem 
por erros na montagem ou mal uso do rolamento (TELECURSO, 2000).
10.2.2 Dimensionamento de mancais de rolamento
Para a correta seleção do rolamento, deve-se conhecer:
 2 medidas do eixo;
 2 diâmetro interno do rolamento (d);
 2 diâmetro externo do rolamento (D);
 2 largura do rolamento (L);
 2 tipo de solicitação;
 2 tipo de carga;
 2 rotação (n);
 2 tipo de lubrificação.
Os fabricantes de rolamentos os identificam por um código de núme-
ros no qual o primeiro dígito representa o tipo de rolamento; o segundo, 
a largura; o terceiro, o diâmetro; e os últimos, o diâmetro do furo multi-
plicado por 5 (Figura 10.4). Esses números podem ter prefixos e sufixos 
indicando outras características do produto.
Figura 10.4 – Nomenclatura de rolamentos
Fonte: adaptada de Telecurso (2000, p. 123) com ilustração de Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 243_Livro_Elementos de Máquinas.indb 243 20/05/2022 14:13:0620/05/2022 14:13:06
Elementos de Máquinas
– 244 –
O tipo de solicitação a que um rolamento está submetido é fundamen-
tal para o dimensionamento e a seleção. Há duas situações: carga estática, 
que ocorre quando o rolamento está parado ou quando a rotação é inferior 
a 10 rpm, e carga dinâmica, que ocorre quando a rotação do rolamento é 
superior a 10 rpm.
Quando o rolamento estiver sob o efeito de carga estática, o dimensio-
namento deve ser realizado por meio da capacidade de carga estática (Co):
C fs Po o= .
Onde: Co = capacidade de carga estática (kN)
 fs = fator de esforços estáticos (adimensional)
 Po = carga estática equivalente (kN)
O fator de esforços estáticos é definido como:
 2 � �1 5 2 5fs para exigências elevadas;
 2 1 0 1 5,� fs� para exigências normais;
 2 � �0 7 1 0,fs para exigências reduzidas
A carga estática equivalente é determinada em função das cargas 
radiais e axiais que atuam de forma simultânea no rolamento. Quando 
apenas uma das cargas está atuando, então a carga equivalente é igual a 
esta, mas quando ambas as cargas atuam no rolamento a carga estática 
equivalente é dada por:
P X F Y Fo o r o a� �. .
Onde: Po = carga estática equivalente (kN)
 Xo = fator radial (adimensional)
 Fr = carga radial (kN)
 Yo = fator axial (adimensional)
 Fa = carga axial (kN)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 244_Livro_Elementos de Máquinas.indb 244 20/05/2022 14:13:0820/05/2022 14:13:08
– 245 –
Elementos de apoio
Quando o rolamento atua com rotação maior que 10 rpm, deve ser 
dimensionado pela capacidade de carga dinâmica:
C
f
f
Pe
n
.�
Onde: C = capacidade de carga dinâmica (kN)
 fe = fator de esforços dinâmicos (adimensional)
 fn = fator de rotação (adimensional)
 P = carga dinâmica equivalente (kN)
A carga dinâmica equivalente é determinada em função das cargas 
radiais e axiais que atuam de forma simultânea no rolamento. Quando 
apenas uma das cargas está atuando, a carga equivalente é igual à que está 
atuando. Quando ambas as cargas atuam no rolamento, a carga dinâmica 
equivalente é dada por:
P x F y Fr a� �. .
Onde: P = carga dinâmica equivalente (kN)
 x = fator radial (adimensional)
 Fr = carga radial (kN)
 y = fator axial (adimensional)
 Fa = carga axial (kN)
Os valores de x e y variam de acordo com o tipo de rolamento, com 
a configuração dele e com a relação entre a carga axial e a carga radial 
atuantes no rolamento. A Tabela 10.1 apresenta alguns valores de cálculo 
para a carga dinâmica equivalente.
Tabela 10.1 – Relação de carga para carga dinâmica equivalente
Rolamentos de rolos cilíndricos
Relação de carga Carga dinâmica equivalente
0 4Fa Fr � 3 0P Fr Fa.0 9 69
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 245_Livro_Elementos de Máquinas.indb 245 20/05/2022 14:13:0920/05/2022 14:13:09
Elementos de Máquinas
– 246 –
Rolamentos de rolos cilíndricos
Relação de carga Carga dinâmica equivalente
0 5Fa Fr � 3 0P Fr Fa.0 9 45
Fa Fr �0 6 6 0P Fr Fa.0 9 33
Fa Fr �0 7 6 0P Fr Fa.0 9 22
Rolamentos de esfera
0 8Fa Fr � P Fr Fa, . , .0 4 0 8
Fonte: adaptada de Melconian (2019).
O fator de esforços dinâmicos (fe) está associado à aplicação do equi-
pamento e às condições usuais de carga. A literatura relata diversos valo-
res já tabelados. Podemos considerar, de maneira simplificada, os seguin-
tes (MELCONIAN, 2019):
 2 máquinasleves: �1 2fe�
 2 máquinas médias: �2 3 5,fe�
 2 máquinas pesadas: �3 5 6fe�
O fator de rotação (fn) está associado ao tipo de rolamento (esferas ou 
rolos cilíndricos) e à velocidade com que o rolamento gira. A Tabela 10.2 
apresenta alguns valores relacionados.
Tabela 10.2 – Fator de rotação (fn)
fn (Esfera) fn (Rolos)
N (rpm) fn N (rpm) fn
50 0,874 50 0,885
100 0,693 100 0,719
200 0,55 200 0,584
400 0,437 400 0,475
500 0,405 500 0,444
1200 0,303 1200 0,341
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 246_Livro_Elementos de Máquinas.indb 246 20/05/2022 14:13:1120/05/2022 14:13:11
– 247 –
Elementos de apoio
fn (Esfera) fn (Rolos)
N (rpm) fn N (rpm) fn
1600 0,275 1600 0,313
Fonte: adaptada de Melconian (2019).
Quando o rolamento está exposto a altas temperaturas, há de se 
considerar um fator de temperatura no cálculo da carga dinâmica equivalente:
C
f
f f
Pe
n t
.�
Onde: C = capacidade de carga dinâmica (kN)
 fe = fator de esforços dinâmicos (adimensional)
 fn = fator de rotação (adimensional)
 ft = fator de temperatura (adimensional)
 P = carga dinâmica equivalente (kN)
O fator de temperatura (ft) depende da temperatura de trabalho do 
rolamento e só é alterado para temperaturas acima de 200 ºC. A Tabela 
10.3 apresenta esses valores.
Tabela 10.3 – Fatores de temperatura (ft)
Temperatura máxima de serv (ºC) ft
150 1,0
200 0,73
250 0,42
300 0,22
Fonte: adaptada de Melconian (2019).
Outro ponto importante no dimensionamento do rolamento é a 
determinação da vida útil dele. “A vida útil do rolamento compreende 
o período em que ele desempenha corretamente a sua função. A vida 
útil termina quando ocorre o desgaste causado pela fadiga do material.” 
(MELCONIAN, 2019, p. 206). Para o cálculo da vida útil, temos:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 247_Livro_Elementos de Máquinas.indb 247 20/05/2022 14:13:1120/05/2022 14:13:11
Elementos de Máquinas
– 248 –
L a a a Lna h= 1 2 3. . .
Onde: Lna = duração até a fadiga (h)
a1 = fator de probabilidade de falha (adimensional) (Tabela 10.4)
a2 = fator de material (adimensional) (1,0 para aço; 1,2 para aço tra-
tado termicamente)
a3 = fator de condição de serviço (adimensional) (1,0 para serviço 
normal; 0,6 para serviço severo)
Lh = vida nominal do rolamento (h) (de 10.000 a 100.000 h)
Tabela 10.4 – Fator de probabilidade de falha
Probabilidade de falha (%) Fator a1
1 1,0
2 0,62
3 0,53
4 0,44
5 0,33
10 0,21
Fonte: adaptada de Melconian (2019).
Exemplo 1
Um eixo de transmissão (máquina média fe = 3,0 e temperatura 
< 150 ºC) gira a 1.600 rpm e deve trabalhar com um rolamento de rolos 
cilíndricos que está sujeito a 25 kN de carga radial e 15 kN de carga 
axial. Calcule a capacidade de carga dinâmica equivalente do rola-
mento (C). Calcule também a vida útil desse rolamento (Lna) sabendo 
que a probabilidade de falha é de 10%, o rolamento é fabricado em aço, 
a vida nominal é de 50.000 h e a condição de serviço é severa.
Solução:
Dados: Fr = 25 kN
 Fa = 15 kN
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 248_Livro_Elementos de Máquinas.indb 248 20/05/2022 14:13:1220/05/2022 14:13:12
– 249 –
Elementos de apoio
 fe = 3,0
 n = 1.600 rpm
 Lh = 50.000 h
Como o rolamento está sujeito a carga radial e axial, devemos definir 
a proporção da carga:
15Fa Fr ,25 0 6
Pela Tabela 10.1:
6 0P Fr Fa.0 9 33
Então:
6 25 0P kN kN0 9 33 15
P kN�28 95
Para o fator de rotação (fn), consultamos a Tabela 10.2 (n = 1.600 
rpm) e encontramos fn = 0,313. Como a temperatura é menor que 150 ºC, 
o rolamento não está sujeito a altas temperaturas:
C
f
f
Pe
n
.�
C kN
,
. ,� 3
0 313
28 95
kN�277 46,
Para o cálculo da vida útil:
L a a a Lna h= 1 2 3. . .
O fator a1 refere-se à probabilidade de falha, e encontramos esse 
valor na Tabela 10.4. Para uma probabilidade de falha de 10%, a1 = 0,21. 
O fator a2 refere-se ao material (para aço comum, a2 = 1,0). O fator a3 
refere-se à condição de serviço (para serviço severo, a3 = 0,6):
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 249_Livro_Elementos de Máquinas.indb 249 20/05/2022 14:13:1320/05/2022 14:13:13
Elementos de Máquinas
– 250 –
Lna h0 21 1 0 0 6 50 000, . , . , .
Lna .�6 300 h
Exemplo 2
Um rolamento de esfera, trabalhando em um equipamento de médio 
porte (fe = 3,0), funciona com rotação de 500 rpm e está sujeito a uma 
carga radial de 30 kN e temperatura de trabalho < 150 ºC. Nessas condi-
ções, calcule o valor da capacidade de carga dinâmica do rolamento.
Solução:
Pela Tabela 10.2, encontramos, para um rolamento de esfera com 
400 rpm, fn = 0,405. Para uma temperatura menor que 150 ºC, temos que 
ft = 1,0. Como a carga é apenas radial:
� �P Fr kN30
Logo:
C fe
fn
P�
Substituindo os valores:
C kN,
,
3 0
0 405
30�
kN222 22,�
10.2.3 Montagem de rolamentos
Vimos a importância do correto dimensionamento do rolamento para 
determinada aplicação, mas existem outros fatores que são fundamentais 
para que o rolamento funcione bem. São os processos de manuseio, mon-
tagem, instalação e lubrificação.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 250_Livro_Elementos de Máquinas.indb 250 20/05/2022 14:13:1420/05/2022 14:13:14
– 251 –
Elementos de apoio
10.2.3.1 Lubrificação
Sabemos que praticamente todo equipamento mecânico que tem 
movimento precisa ser lubrificado para evitar o contato metal-metal 
e reduzir o desgaste. A lubrificação nos rolamentos tem as seguintes 
funções (MOTT, 2015):
 2 fornecer uma película de baixa fricção entre os elementos rolan-
tes e as pistas do rolamento e em importantes pontos de contato;
 2 fornecer proteção contra a corrosão dos componentes do rolamento;
 2 ajudar a dissipar o calor da unidade;
 2 ajudar a eliminar os contaminantes e a umidade do rolamento.
Os rolamentos podem ser lubrificados com graxa ou óleo. Os óleos 
geralmente são minerais, puros e estáveis. As graxas são misturas de óleos 
lubrificantes e agentes espessantes como lítio e bário. A escolha do tipo cor-
reto de lubrificante leva em consideração muitos fatores, por isso é impor-
tante consultar o fabricante do rolamento para tomar a melhor decisão. 
Alguns rolamentos feitos totalmente de cerâmica podem trabalhar sem lubri-
ficação, o que é muito interessante para a aplicação na indústria alimentícia, 
em dispositivos aeroespaciais ou em instalações a alto vácuo (MOTT, 2015).
Para rolamentos que trabalham a altas velocidades e com serviço 
pesado, é fundamental que uma película de óleo seja mantida na super-
fície dos elementos rolantes. Embora essa película seja de apenas alguns 
micrômetros, a insuficiência de lubrificação é uma das principais causas 
de falha prematura em rolamentos de contato angular (MOTT, 2015).
Os dados para avaliar a espessura da película em rolamentos de esfera 
dependem de alguns fatores, como:
 2 geométricos (diâmetro da esfera, número de esferas);
 2 de materiais do rolamento (módulo de elasticidade das esferas 
e da pista);
 2 do lubrificante (viscosidade);
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 251_Livro_Elementos de Máquinas.indb 251 20/05/2022 14:13:1420/05/2022 14:13:14
Elementos de Máquinas
– 252 –
 2 operacionais (velocidade angular, carga radial, carga axial).
Para que os rolamentos tenham vida útil longa, é importante que a 
lubrificação seja realizada de forma correta e que a película de óleo seja 
constantemente verificada. “Na lubrificação a banho de óleo a troca do 
óleo se faz a cada ano se a temperatura atinge no máximo 50ºC e sem con-
taminação, acima de 100ºC, quatro vezes ao ano, acima de 120ºC uma vez 
por mês e acima de 130ºC uma vez por semana ou a critério do fabricante” 
(TELECURSO, 2000, p. 135).
10.2.3.2 Melhores práticas de montagem 
e desmontagem de rolamentos
Um fator de “sucesso” na utilização de um rolamento é a forma como 
ele é montado no equipamento. Antes da montagem, é importante consul-
tar o catálogo do fabricante, pois nele há recomendações e a forma correta 
de realizar a montagem. Alguns cuidados devem ser tomados:
 2 verificar as dimensões do eixo e do cubo;
 2verificar as tolerâncias exigidas;
 2 usar o lubrificante recomendado pelo fabricante;
 2 cuidar para que os elementos rolantes não sofram golpes durante 
a montagem (NIEMANN, 1971).
Em uma instalação típica, o furo do rolamento faz um ajuste de inter-
ferência no eixo enquanto o diâmetro externo da pista faz um ajuste des-
lizante no furo da carcaça. Na montagem do rolamento em um eixo, ele 
precisa ser fixado ao eixo para facilitar a montagem e a desmontagem.
10.3 Mancais de deslizamento
Você sabia que os mancais de deslizamento são compostos de um 
elemento cilíndrico que está em contato com a máquina a ser acionada e a 
uma parte fixa chamada mancal? Como não há elementos rolantes, a lubri-
ficação exerce um papel fundamental para evitar o contato metal-metal.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 252_Livro_Elementos de Máquinas.indb 252 20/05/2022 14:13:1420/05/2022 14:13:14
– 253 –
Elementos de apoio
10.3.1 Tipos de mancais de deslizamento
Qual é o melhor mancal, o de rolamento ou o de deslizamento? A res-
posta não é tão simples. Às vezes, o de rolamento é melhor, às vezes o de 
deslizamento é melhor, e em outras ocasiões ambos podem ser utilizados. 
Então, quando devemos escolher o mancal de deslizamento? Nas seguin-
tes situações o de deslizamento é mais adequado (NIEMANN, 1971):
 2 quando o nível de ruído deve ser baixo;
 2 quando há fortes impactos e vibrações;
 2 quando se deseja mancais bipartidos ou diâmetros pequenos;
 2 quando os mancais de deslizamento satisfazem e suas desvanta-
gens não são decisivas.
Os mancais de deslizamento são formados por uma parte externa cha-
mada mancal e pela parte interna chamada bucha de deslizamento, e entre eles 
há uma folga e uma camada de lubrificante chamada película (MOTT, 2015).
Figura 10.5 – Geometria do mancal de deslizamento
Fonte: Atlan Coelho.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 253_Livro_Elementos de Máquinas.indb 253 20/05/2022 14:13:1520/05/2022 14:13:15
Elementos de Máquinas
– 254 –
Os mancais de deslizamento podem trabalhar com três tipos de lubri-
ficação (MOTT, 2015):
 2 marginal;
 2 de película mista;
 2 de película completa (hidrodinâmica).
A lubrificação hidrodinâmica é quando as partes móveis e imóveis do 
sistema estão separadas por uma película completa de lubrificante que sus-
tenta a carga. Essa lubrificação não depende da introdução de lubrificante 
sob pressão, e sim da existência de um suprimento constante de lubrifi-
cante, por isso é também chamada de lubrificação de película completa. 
A lubrificação marginal é quando há contato entre alguma parte móvel 
com a imóvel; já a lubrificação de película mista é uma situação interme-
diária entre a lubrificação marginal e a de película completa.
O material de fabricação do mancal de deslizamento deve atender 
a algumas condições, tendo boa resistência mecânica à fadiga, coefi-
ciente de atrito baixo, boa incrustabilidade para evitar a incrustação de 
impurezas, boa condutividade térmica para manter baixa a tempera-
tura do lubrificante, boa usinabilidade e boa resistência à corrosão. Os 
materiais mais utilizados são metais com base de chumbo e estanho, 
ligas de alumínio, nylon (onde a lubrificação é problemática) e teflon, 
que pode ser usado puro ou combinado com cobre ou fibra de vidro 
(MELCONIAN, 2019).
10.3.2 Dimensionamento do mancal de deslizamento
Existem vários métodos de dimensionamento de mancais de desli-
zamento, a depender do autor. Aqui, focaremos o método de dimensiona-
mento de Melconian (2019).
Exemplo 3
Dimensione o mancal do virabrequim de um automóvel, o qual atuará 
com lubrificação forçada com rotação de 2.000 rpm submetido à ação de uma 
força de 20 kN. O diâmetro da árvore é de 60 mm, conforme a Figura 10.6.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 254_Livro_Elementos de Máquinas.indb 254 20/05/2022 14:13:1520/05/2022 14:13:15
– 255 –
Elementos de apoio
Figura 10.6 – Mancal do virabrequim do automóvel
Fonte: Atlan Coelho.
O mancal tem as seguintes características:
 2 material: bucha de bronze ao chumbo;
 2 temperatura ambiente: ta = 50 ºC;
 2 coeficiente de atrito: 𝜇 = 0,0025;
 2 relação largura/diâmetro: b/d = 0,5;
 2 folga do mancal: 𝜑 = 0,002;
 2 espessura da película lubrificante: h = 5 𝜇m.
Dimensione:
a) velocidade periférica da árvore (v);
b) pressão admissível (p);
c) largura do mancal (b);
d) diâmetro externo da bucha (De);
e) espessura da fenda do lubrificante (hr);
f) potência de atrito (Pat);
g) vazão do lubrificante (Q);
h) temperatura final do lubrificante (tf).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 255_Livro_Elementos de Máquinas.indb 255 20/05/2022 14:13:1520/05/2022 14:13:15
Elementos de Máquinas
– 256 –
Solução:
a) velocidade periférica da árvore (v)
A velocidade periférica da árvore é encontrada usando a equação:
v r n. .
30
Onde: v = velocidade periférica da árvore (rad/s)
r = raio da árvore (m)
n = rotação (rpm)
Substituindo os valores (r = d/2 = 60/2 = 30 mm = 0,03 m) e n = 2.000 rpm:
v . , .0 03 2000
30
, /m s6 28�
b) pressão admissível (p)
A pressão admissível é dada por:
p
pv máx
v
�� �
� �
O valor de (pv)máx é encontrado na Tabela 10.5.
Tabela 10.5 – Características do bronze
v (m/s) p (N/mm2) (pv)máx (N/mm2.m/s) Observação
8 - 30 Lubrificação forçada
3,5 - 2,0 a 3,0 Lubrificação com anel de óleo
0,9 - 2,0 a 3,0 Lubrificação a graxa
0,5 - 1,5 a 2,0 Utilização em rodas
0,3 - 1,5 a 2,0 Utilização em tambores e polias
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 256_Livro_Elementos de Máquinas.indb 256 20/05/2022 14:13:1620/05/2022 14:13:16
– 257 –
Elementos de apoio
v (m/s) p (N/mm2) (pv)máx (N/mm2.m/s) Observação
0,05 15,0 - Utilização em articulações
- 40,0 - Utilização em máquinas manuais
Fonte: Melconian (2019, p. 335).
Como o exercício indica que a lubrificação é forçada, utilizaremos 
(pv)máx = 30 N/mm2.m/s:
p N mm m s
m s
. /
/
�
30
6 28
2
4 8, /N mm� �
c) largura do mancal (b)
Foi dado no problema que a relação entre a largura do mancal e o 
diâmetro é b/d = 0,5. Se d = 60 mm:
60b . ,� 0 5
mm30�
d) diâmetro externo da bucha (De)
O diâmetro externo da bucha é calculado por:
De d, .1 5�
1 5 6De mm, . 0�
90De mm�
e) espessura relativa de fenda do lubrificante (hr)
A espessura relativa da fenda do lubrificante é calculada pela razão 
entre a espessura da película lubrificante (h) pela folga do mancal (𝜑) 
multiplicada pelo raio:
h h
rr
�
�.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 257_Livro_Elementos de Máquinas.indb 257 20/05/2022 14:13:1720/05/2022 14:13:17
Elementos de Máquinas
– 258 –
Substituindo os valores (h = 5 𝜇m = 0,005 mm, r = 30 mm e 𝜑 = 0,002):
h mm
mmr
0 005
0 002 30, .
hr adimensional0 08,
f) potência de atrito (Pat)
A potência de atrito é dada pelo produto da força pela velocidade e 
pelo coeficiente de atrito:
P F vat � �. .
Onde: Pat = potência de atrito (W)
𝜇 = coeficiente de atrito (adimensional)
F = força (N)
v = velocidade periférica (m/s)
Substituindo os valores:
P N m sat 0 0025 20 000 6 28, . . ,
314 W�
f) vazão do lubrificante (Q)
A vazão do lubrificante é calculada pela equação:
Q d b n. . .
, .
2
19 2
Onde: Q = vazão do lubrificante (mm3/s)
d = diâmetro da árvore (mm)
b = largura do mancal (mm)
𝜇 = coeficiente de atrito (adimensional)
n = rotação (rpm)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 258_Livro_Elementos de Máquinas.indb 258 20/05/2022 14:13:1920/05/2022 14:13:19
– 259 –
Elementos de apoio
𝜃 = coeficiente de aquecimento (adimensional)
O coeficiente de aquecimento é encontrado na Figura 10.7, em que 
na esquerda há o gráfico para aplicação geral e na direita o valor do coe-
ficiente para o exercício. No eixo das abscissas, entramos com o valor da 
espessura de fenda do lubrificante (hr) e vamos até a curva da relação lar-
gura diâmetro (b/d) correspondente, e então no eixo das ordenadas encon-
tramos o valor do coeficiente de aquecimento, que nesse caso é 𝜃 = 6.
Figura 10.7 – Coeficiente de aquecimento
Fonte: Atlan Coelho.Substituindo os valores na equação:
Q . . , .
, .
�
60 30 0 0025 2000
19 2 6
2
. , l dm m5 3 / ,mm ml s4 687 4 687 1 1 3 106 3m
g) temperatura final do lubrificante (tf)
A temperatura final do lubrificante será igual à temperatura de 
saída do óleo menos a temperatura de entrada do óleo mais a tempera-
tura ambiente:
t t t tf s e a� �� ����
Onde: tf = temperatura final do óleo (ºC)
ts = temperatura de saída do óleo (ºC)
te = temperatura de entrada do óleo (ºC)
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 259_Livro_Elementos de Máquinas.indb 259 20/05/2022 14:13:2020/05/2022 14:13:20
Elementos de Máquinas
– 260 –
ta = temperatura ambiente (ºC)
A variação da temperatura (𝛥t) é dada por:
t t t pms e
Onde: pm = pressão média (N/mm2)
𝜃 = coeficiente de aquecimento (adimensional)
𝛽 = coeficiente térmico do lubrificante (N/mm2.ºC)
Quando ts vai de 20 ºC a 110 ºC e te vai de 35 ºC a 55 ºC:
5 2N m/ .º1 6 m C
A pressão média é encontrada pela razão entre a força e a área:
pm F
b d.
�
Calculamos inicialmente a pressão média (b = 30 mm, d = 60 mm e 
F = 20.000 N):
pm N
mm mm
.
�
20 000
30 60
1 �pm N mm/11�
Agora 𝛥t:
t pm
1 6t , .
,
11
1 65
t C�40
Então a temperatura final será a soma da temperatura ambiente com 𝛥t:
t t tf a� �� ��
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 260_Livro_Elementos de Máquinas.indb 260 20/05/2022 14:13:2220/05/2022 14:13:22
– 261 –
Elementos de apoio
tf C C40 50
t C90f
Finalizamos nosso estudo, no qual vimos que os elementos de apoio 
podem ser guias, buchas e mancais. Também aprendemos a dimensionar 
um mancal de rolamento, podendo calcular a capacidade de carga estática 
ou dinâmica e determinar a vida útil dos rolamentos. Com esses dados cal-
culados, é possível escolher no mercado o rolamento que mais se adequa 
à aplicação. Vimos, também, considerações e cuidados na montagem e na 
lubrificação dos rolamentos.
Quanto aos mancais de deslizamento, podemos calcular a velocidade 
periférica e a pressão admissível, bem como a temperatura final do óleo. 
Outros cálculos também são necessários para o dimensionamento desse 
tipo de mancal, como o da vazão do lubrificante.
O vídeo “Mancais de Rolamentos – Engenharia Carga Rápida 
– aula de bolso em 7min” apresenta as principais características 
de mancais de deslizamento e rolamento e um passo a passo 
do dimensionamento de um rolamento para ser utilizado em 
uma ponte rolante, assim como a seleção do rolamento em um 
catálogo de fabricante, o que ajuda a entender melhor o dimen-
sionamento e a seleção desses elementos. Disponível em: <Erro! 
A referência de hiperlink não é válida.https://www.youtube.
com/watch?v=oVEMs3WHzeo>. Acesso em: 19 abr. 2022.
Atividades
1. Calcule a carga dinâmica do rolamento de esfera, que trabalha 
em equipamento de médio porte sujeito a uma força radial igual 
a 30 kN e rotação de 200 rpm. Temperatura de trabalho máxima 
é de 150 ºC (considere fe = 3,0):
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 261_Livro_Elementos de Máquinas.indb 261 20/05/2022 14:13:2220/05/2022 14:13:22
Elementos de Máquinas
– 262 –
2. Calcule a vida útil de um rolamento com vida nominal de 
40.000 horas, probabilidade de falha de 3%, elemento cons-
truído com aço e condições severas de serviço:
3. Os mancais de rolamentos são elementos de apoio que ajudam a 
reduzir o atrito de escorregamento que pode ocorrer quando um 
eixo gira dentro de um furo. Os tipos dos rolamentos variam de 
acordo com o tipo de elemento girante e a carga que suportam. 
A figura a seguir apresenta quatro tipos de rolamento. Indique a 
sequência correta dos tipos de rolamento:
4. O mancal de deslizamento de um motor elétrico em bucha de 
bronze ao chumbo com rotação de 1.100 rpm está submetido 
a uma carga radial de 6 kN. O diâmetro do rotor é de 80 mm. 
Considere a lubrificação em anel de óleo, coeficiente de atrito de 
0,0025 e relação b/d = 0,75. Calcule a pressão admissível (p) e 
a pressão média (pm).
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 262_Livro_Elementos de Máquinas.indb 262 20/05/2022 14:13:2220/05/2022 14:13:22
Gabarito
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 263_Livro_Elementos de Máquinas.indb 263 20/05/2022 14:13:2220/05/2022 14:13:22
Elementos de Máquinas
– 264 –
1. Introdução aos elementos de máquinas
1. A etapa de apresentação do projeto é muito importante pois é o 
momento que o projetista apresenta o trabalho realizado e mos-
tra a necessidade de implantação do projeto. Caso ele não con-
siga mostrar a importância do projeto, todo o trabalho e o custo 
durante as etapas terão sido desperdiçados.
2. Dados:
 2 força (F = 15.000 N)
 2 diâmetro da seção (d = 15 mm)
A tensão de tração deve ser calculada pela equação � �
F
A
.
A área do cilindro deve ser calculada por 
A
d
mm
. .2
4
152
4
176 71 �.
Substituindo ambos os valores na equação da tensão, temos:
F
A
N
mm²
15 000
176 71
MP84 88 a
3. Um material dúctil tem um módulo de elasticidade maior do que 
um material frágil, então, quando um material dúctil é sujeito 
a um ensaio de tração, ele se deforma elasticamente na região 
central em forma de um cone que vai reduzindo a área até o 
rompimento. Já um material frágil tem baixo módulo de elastici-
dade, o material se rompe de forma abrupta e a área central fica 
praticamente reta, o que faz ser possível a identificação visual do 
material dúctil e frágil.
4. Dados:
 2 força (F = 14.000 N)
 2 diâmetro da seção (d = 12 mm)
A tensão de tração deve ser calculada pela equação � � F
A
.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 264_Livro_Elementos de Máquinas.indb 264 20/05/2022 14:13:2420/05/2022 14:13:24
– 265 –
Gabarito
A área do cilindro deve ser calculada por 
A
d
mm
. .
²
2
4
122
4
113 09 .
Substituindo ambos os valores na equação da tensão, temos:
F
a
N
mm²
14 000
113 09
MP123 79 a
Utilizando a equação da deformação e o valor da tensão calculada 
( MP123 79 a), temos:
2 3m m
mm
x N
x N
. , / ² . .
²
L
E
m
m
123 79 106 200
207 109 2
1 91
A barra sofreu deformação de 1,91 mm.
2. Elementos de transmissão de potência 
1. Tanto os acoplamentos quanto os freios e as embreagens são 
utilizados para juntar dois componentes. A diferença entre eles 
é que os acoplamentos trabalham o tempo todo conectados, 
enquanto os freios e as embreagens são acoplados ou desacopla-
dos durante o funcionamento do sistema.
2. σR = 760 MPa é a resistência à tração. A partir desse valor, encon-
tramos a tensão alternante e a tensão de limite à fadiga, onde:
� �N R� 0 8, .
E:
N x MPa MPa0 8 760 608
E a tensão de limite à fadiga por:
F R x MPa0 5 0 5 760 380, .
Com esses valores, encontramos a resistência à fadiga de um corpo 
de prova a uma vida de 600.000 ciclos:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 265_Livro_Elementos de Máquinas.indb 265 20/05/2022 14:13:2620/05/2022 14:13:26
Elementos de Máquinas
– 266 –
� F
c mxN�10
Precisamos encontrar os valores de C e m:
c log N
F
�
� ��
�
2
c log�
� �
�
608
380
2 988
2
,
m log N
F
1
3
m lo1
3
608
380
0 068
Substituindo na equação, temos:
� F x�
�
10 600 000
2 98 0 068, ,
( . )
F x972 74 0 404
MPaF � 392 98,
3. As fases da falha começam pela nucleação. Uma trinca minús-
cula pode surgir na peça a partir de algum defeito superficial, 
uma marca de ferramenta ou até mesmo uma corrosão. Muitas 
vezes, a nucleação não é vista a olho nu. Quando a trinca começa 
a aumentar, ocorre a marca de praia, fase em que a trinca cresce 
e é a mais demorada do processo. Então, finalmente, a peça sofre 
uma quebra brusca, e a aparência da quebra é de uma fratura 
frágil, mesmo que a peça seja dúctil.
4. O primeiro passo é achar o valor do fator de concentração de 
tensão. A condição dada é de placa plana sob tensão.
Dados: w = 15,0 mm
 t = 11,4 mm
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 266_Livro_Elementos de Máquinas.indb 266 20/05/2022 14:13:3020/05/2022 14:13:30
– 267 –
Gabarito
 r = 1,4 mm
 b = 5,0 mm
Para encontrarmos o valor, utilizaremos o gráfico da Figura2.10, em 
que na lateral direita está a família de curvas com as relações ( t
w
) e no 
eixo horizontal a relação ( r
t
), então calculamos:
0 7� �t
w
,
,
11 4
15 0
6
r
t
� �
,
,
1 4
11 4
0 122
Entrando no gráfico, encontramos um valor aproximado de Ki = 2 0, .
Calculamos a área para a seção pequena, cuja largura é de 11,4 mm:
0 54 5A t b mm mm mm11 7
Então calculamos a tensão nominal por:
nom
F
A
N
mm
N
mm
MPa8500
57
149 12 149 122 2, ,
Para acharmos a tensão máxima, multiplicamos a tensão nominal 
pelo coeficiente de concentração de tensão:
máx nomki MPa. , . ,2 0 149 12 298 24 MPa
3. Transmissão por correias
1. Começaremos determinado a relação de redução por meio 
da equação:
� �i D
D
:�2
1
900
600
1 5 1
i� � �=1 5 1, :
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 267_Livro_Elementos de Máquinas.indb 267 20/05/2022 14:13:3520/05/2022 14:13:35
Elementos de Máquinas
– 268 –
Em seguida, determinamos o torque pela equação:
T
T
D
D
2
1
2
1
900
600
= = ⇒ 
T
2
15
1 5= ,
T x x15 1 5 0 95��
2� N m1 37, .�
O próximo passo é determinar a rotação pela equação:
N
N
D
D
1
2
2
1
=
N m
m2
1800
0 6
0 9
= .
,
,
2 1 rpm200.�
Por fim, determinaremos a potência pela equação:
P N T. . .2
21P rpm N m. .2 1200 37
161 kW� 1,
2. Solução:
a) velocidade angular (𝜔)
Dado: rotação n = 1.600 rpm
Para acharmos a velocidade angular, usaremos a equação 
da rotação:
n .30
Substituindo os valores:
1 600 30.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 268_Livro_Elementos de Máquinas.indb 268 20/05/2022 14:13:4020/05/2022 14:13:40
– 269 –
Gabarito
Isolando a velocidade angular:
�
�
�
1600
30
.
, /53 rad s� 33� ��
b) período (T)
O período é definido por:
T 2
Substituindo a velocidade angular:
T .
, .
2
53 33
T
,
1
26 65
�
� s0 0375,
c) frequência (f)
A frequência é o inverso do período, então:
f
,
1
1
26 65
�
26 Hz65,�
3. As correias produzem menos ruído. Também têm a vantagem de 
poderem trabalhar cruzadas, o que as correntes não permitem. 
As correias, geralmente, são mais baratas. Como desvantagem, 
as correias se alongam com o tempo de uso, são menos resisten-
tes a altas temperaturas e geram maior escorregamento.
4. Para encontrarmos os ângulos de contato, usaremos as equações:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 269_Livro_Elementos de Máquinas.indb 269 20/05/2022 14:13:4120/05/2022 14:13:41
Elementos de Máquinas
– 270 –
D sen
D d
C
2
2
1.
Substituindo os valores:
D sen x
2 50 20
2 100
1.
D
o� 20 4,
d sen
D d
C
2
2
1.
Substituindo os valores:
d sen2
50 20
2 100
1·
·
d 14 11
0,
Para encontrarmos o comprimento, utilizamos a equação:
L C D d D dD d. .4
1
2
2 2
1 2
Substituindo os valores:
L x , ,4 100 50 20 1
2
50 20 4 20 14 112 2
1 2
L 197 7 370
� mm567 7,
4. Transmissão, eixos e árvores
1. Calculamos a potência pela equação da potência média:
P Tmédia � .�
P N m rpm x rad
smédia
40 1800 2
60
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 270_Livro_Elementos de Máquinas.indb 270 20/05/2022 14:13:4320/05/2022 14:13:43
– 271 –
Gabarito
7 5� �Pmédia W kW7540
2. Para o aço, o limite de resistência à fadiga do corpo de prova é:
0 5S f x Sy�
0 5� �S f x ,525 262 5
Precisamos encontrar o limite de resistência da peça, considerando os 
coeficientes modificadores de acordo com a equação:
�Sf Csuperf CtamanhoCconf CtempCcarreg Cdiv S f. . . . . .
Começamos encontrando o coeficiente devido ao acabamento super-
ficial e temos que o eixo é laminado a quente. Utilizamos a equação:
C a Ssuperf y
b
� � �.
Pela Tabela 4.3, temos que a = 57,7 e b = -0,718. Substituindo 
na equação:
Csuperf � � �
�
57 7 410
0 718
, .
,
�Csuperf ,0 64
Pela Tabela 4.4, para 7,6 ≥d ≥ 50 mm temos que Ctamanho = 0,85.
Como a confiabilidade e a temperatura não foram mencionadas, consi-
dera-se ambas iguais a 1,0. O carregamento é flexão, então Ccarreg = 1,0.
Para outros fatores, como nada foi mencionado, pode-se considerar 1,0:
Sf MPa, . , . , . , . , . , .0 64 0 85 1 0 1 0 1 0 1 0 262 5
Sf MPa�142 8,
3. Para o aço, o limite de resistência à fadiga do corpo de prova é:
0 5S f x Sy�
0 5� �S f x ,525 262 5
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 271_Livro_Elementos de Máquinas.indb 271 20/05/2022 14:13:4620/05/2022 14:13:46
Elementos de Máquinas
– 272 –
Precisamos encontrar o limite de resistência da peça, considerando os 
coeficientes modificadores de acordo com a equação:
Sf Csuperf CtamanhoCconf CtempCcarreg Cdiv S f. . . . . .�
Começamos encontrando o coeficiente devido ao acabamento super-
ficial e temos que o eixo é laminado a quente. Utilizamos a equação:
C a Ssuperf y
b
� � �. �
Pela Tabela 4.3, temos que a = 57,7 e b = -0,718. Substituindo 
na equação:
Csuperf � � �
�
57 7 410
0 718
, .
,
Csuperf ,� 40 6
Pela Tabela 4.4, para 7,6 ≥d ≥ 50 mm, estimado, temos que:
Ctamanho = 0 85,
A confiabilidade de 90% corresponde a um fator de confiabilidade de 
0,897 (Tabela 4.5). O carregamento e a temperatura não foram menciona-
dos, então consideramos ambos como 1,0. Para outros fatores, como nada 
foi mencionado, pode ser considerado 1,0:
Sf MPa, . , . , . , . , . , .0 64 0 85 0 897 1 0 1 0 1 0 262 5
f MPa128�
O próximo passo é encontrar o torque. Na equação:
P Tmédia médio média� .�
A potência está em hp e deve ser convertida para Watts; a velocidade 
angular está em rpm e deve ser convertida para rad/s. Então:
T
P
médio
média
média
�
�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 272_Livro_Elementos de Máquinas.indb 272 20/05/2022 14:13:5020/05/2022 14:13:50
– 273 –
Gabarito
O fator de conversão da potência, encontramos na Tabela 4.2:
T hp x
x
N mmédio
3 745 7
1740 2
60
2237 1
182 2
12 28, ,
,
.
Para usarmos em N.mm, multiplicamos esse valor por 1.000 e temos 
que T = 12.280 N.mm. Agora podemos substituir na equação do diâmetro:
d x� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
32 2 4
2 2
30 000
128
3
4
12 280
525
2 2
1 2
,
,
. .
/
�
��
�
�

�
�
�
�
�
1 3/
d x� ,24 44 516 153
d mm23 3�
Como já utilizamos o fator de tamanho para 7,6 ≥d ≥ 50 mm, não é 
preciso ajustar os cálculos, então o diâmetro calculado é:
mm23 3,�
4. Pela Tabela 4.6, encontramos os valores da geometria da cha-
veta. Como o eixo tem 25 mm de diâmetro, entramos na coluna 
da esquerda com o diâmetro do eixo entre 22 mm e 30 mm e 
localizamos os dados de largura (b = 8 mm), altura (h = 7 mm) e 
profundidade do rasgo do eixo (h1 = 4 mm).
Cálculo do torque (MT):
M P
nT
�
30 000.
.
�
P é a potência (em W), então 10 kW = 10.000 W; n é a rotação em 
rpm (1500 rpm). Substituindo os valores:
MT �
30 000 10 000
1500
.
.
.
�
MT� �MT .63 661 63 660 N mm
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 273_Livro_Elementos de Máquinas.indb 273 20/05/2022 14:13:5320/05/2022 14:13:53
Elementos de Máquinas
– 274 –
F M
rT
T=
r = d/2, então r = 30/2 , r = 15 mm. Substituindo o MT encontrado e 
o raio:
FT =
63 660
15
.
F� N�4244
Cisalhamento:
l F
bxc
T�
�
Substituindo os valores (FT = 4244 N), (b = 8 mm), (τ = 60 N/mm2):
l
xc
=
4244
8 60
lc mm8 84,�
Esmagamento:
l F
h te
T
d 1
Substituindo os valores (FT = 4244 N), (h = 7 mm), (σd = 100 N/mm2) 
e (t1 = 4 mm):
le
4244
100 7 4
le mm14 14,�
O comprimento mínimo da chaveta é de:
mm14 14,�
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 274_Livro_Elementos de Máquinas.indb 274 20/05/2022 14:13:5620/05/2022 14:13:56
– 275 –
Gabarito
5. Transmissão por engrenagens cilíndricas
1. Primeiramente, encontramos o módulo pela fórmula do diâme-
tro externo:
de dp m2
Como dp = m.z, substituindo na equação do diâmetro externo temos:
de m z m2
Colocando o m (módulo) em evidência:
de m z 2
Substituindo o valor do diâmetro externo (de) e o número de 
dentes (z):
272 90 2m
m m272 90 2 90 272 2–
270m /� 90
m�= 3
Com o valor do módulo (m) encontramos o diâmetro primitivo:
dp m z.�
3 9dp x� 0
mm�270
2. Foram dados no problema o diâmetro do eixo que corresponde 
ao diâmetro interno da engrenagem (di = 100 mm) e o número 
de dentes (Z = 52).Utilizando a equação do diâmetro interno:
2 3di m Z 3–
Substituindo os valores:
100 52 2 33m –
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 275_Livro_Elementos de Máquinas.indb 275 20/05/2022 14:14:0120/05/2022 14:14:01
Elementos de Máquinas
– 276 –
2 33 2m ,100 52 01–
m� �=2
Para o passo:
p m= .
2 3p . ,� 14
p� �=6 28,
Para o diâmetro primitivo:
Z dp m/�
52 2/dp�
� �dp x52 2 104
104 mm�
3. Como está indicado que a rotação é média, então o ângulo de 
inclinação do dente da roda em relação ao eixo geométrico é de 
30°. Com isso, calculamos o módulo aparente (ma), onde:
ma m cos�
ma cos º2 30
2 3ma� ,
Para o cálculo do número de dentes, utilizamos a equação:
N Dp ma�
Já temos o valor de ma e precisamos achar o valor do diâmetro 
primitivo (Dp) pela equação do diâmetro externo (De). Onde:
De Dp m2
Dp De m2
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 276_Livro_Elementos de Máquinas.indb 276 20/05/2022 14:14:0420/05/2022 14:14:04
– 277 –
Gabarito
Dp 44 4� –
Dp mm�40
Substituindo:
N Dp ma/�
N ,40 2 3�
17N 17 39
dentes�17
4. Para que a rotação seja alta, o ângulo dos dentes deve ser 45º 
e cos(45º) = 0,707 (para duas casas decimais = 0,71). Temos, 
como dados, o diâmetro primitivo e o número de dentes, então 
encontramos o módulo aparente (ma) por:
N Dp ma/�
E:
ma Dp N�
Substituindo os valores:
ma mm /� 50 15
3 3ma ,� 3
O módulo é dado por:
m ma cos.
Em que:
3 3m , . ,� 3 0 71
m� �=2 36,
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 277_Livro_Elementos de Máquinas.indb 277 20/05/2022 14:14:0620/05/2022 14:14:06
Elementos de Máquinas
– 278 –
6. Transmissão por engrenagens 
cônicas e coroa sem-fim
1. Dados: M = 4
 Z = 54
 Za = 180
	 	 θ = 20º
Iniciamos pelo cálculo do ângulo primitivo:
tg Z
Za
� � �
Substituindo os valores:
tg 54
180
tg� � 0 3,
tg 1 0 3
� �16 69, o
Agora podemos calcular o ângulo solicitado. O ângulo da cabeça (γ) 
é calculado por:
tg sen
Z
.2
Substituindo os valores:
tg
sen. ,2 16 69
54
tg� � 0 016,
tg 1 0 016
� 0 60, º
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 278_Livro_Elementos de Máquinas.indb 278 20/05/2022 14:14:1020/05/2022 14:14:10
– 279 –
Gabarito
2. Dados: Z = 54
 Za = 180
 De = 115 mm
	 	 β = 10º
Iniciamos pelo cálculo do ângulo primitivo:
tg Z
Za
� � �
Substituindo os valores:
tg 54
180
tg� � 0 3,
tg 1 0 3
o�16 69,
O diâmetro primitivo é calculado por:
Dp M Z
cos
.
Porém, não temos o valor do módulo, que deve ser calculado por:
M De
Z cos.2
Substituindo os valores:
M
.
115
54 2 10cos
M
. ,
115
54 2 0 95
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 279_Livro_Elementos de Máquinas.indb 279 20/05/2022 14:14:1220/05/2022 14:14:12
Elementos de Máquinas
– 280 –
M � �
,
115
55 9
2
Com o valor do módulo, encontramos o diâmetro primitivo:
Dp .2 54
10cos
Dp �
,
108
0 98
Dp mm�110 2,
3. Dados: Z = 50
 De = 104,4 mm
 de = 28 mm
 E = 62,2
Iniciamos calculando o módulo:
M de De E� � � 2
4
.
Substituindo os valores:
M �
� � � �28 104 4 2 62 2
4
, . ,
M � �132 4 124 4
4
, ,
M = =8
4
2
Agora podemos calcular os diâmetros primitivos, sendo o da coroa 
calculado por:
De Dp M� � 2
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 280_Livro_Elementos de Máquinas.indb 280 20/05/2022 14:14:1520/05/2022 14:14:15
– 281 –
Gabarito
Colocando Dp em evidência:
Dp De M� � 2
Substituindo os valores:
Dp x� �104 4 2 2,
104 4 4Dp� –
100Dp mm� 4,
Para o cálculo do diâmetro primitivo do parafuso, usamos um racio-
cínio semelhante, mas com o diâmetro externo do parafuso:
de dp M� � 2
Colocando dp em evidência:
dp de M� � 2
Substituindo os valores:
dp x� �28 2 2
dp�28 4–
mm24�
4. Dados: potência motriz = 180 hp
potência útil = 100 kW
Para calcular a eficiência, as potências devem estar na mesma uni-
dade. Utilizamos, então, a conversão de unidades, em que 1 kW = 1,34 hp:
x h100 1 341 134 1 p�
Agora podemos calcular a eficiência:
ef P útil
P motriz
hp
hp
� � �
. , ,134 1
180
0 745
74 5, %
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 281_Livro_Elementos de Máquinas.indb 281 20/05/2022 14:14:2320/05/2022 14:14:23
Elementos de Máquinas
– 282 –
7. Elementos elásticos: molas
1. Para determinar o valor da flexibilidade, é necessário realizar 
a divisão do valor de deformação pelo valor da força. Consi-
derando um estado inicial de 300 e um estado final de 290, a 
deformação é de 10 mm. A flexibilidade será:
/y
P
0 01
600
16 10 6 m N
N
m
Como a rigidez é o inverso da flexibilidade, basta aplicar rigidez 
= 1/φ, o que resultará em 62.500 N/m.
2. As equações para o cálculo do comprimento livre e do compri-
mento sólido dependem do tipo de extremidade da mola (Tabela 
7.1). Como a extremidade é em esquadro, usamos as equações 
da penúltima linha da tabela e temos que:
N Na 2
Como N = 20:
2 1� �Na 20 8–
A equação do comprimento livre é:
l p Na d3
Substituindo os valores:
8 3l ,6 1 5 4
l ,108 16 2
124 2,�
O comprimento sólido é calculado por:
ls d Na 2
Substituindo os valores:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 282_Livro_Elementos de Máquinas.indb 282 20/05/2022 14:14:2420/05/2022 14:14:24
– 283 –
Gabarito
ls 5 4 18 3
ls ,5 4 21
ls mm113 4,�
3. Precisamos encontrar C:
C D
da
mm� � �
,
54
5 4
10
Agora encontraremos a relação de deformação por espira ativa (y/Na):
y
Na
F C
d G
=
8
3
. .
.
Substituindo os valores:
y
Na
�
� � � �
� � � �
8 420 10
5 4 78 400
3
. .
, . .
y
Na
= 7 93,
Agora precisamos encontrar o passo da mola pela equação:
p d y
N
y
Na a
, .0 15
Substituindo os valores:
7 9p , . ,5 4 3 0 15 7 93
p mm�14 51
As equações para o cálculo do comprimento livre e do comprimento 
sólido dependem do tipo de extremidade da mola (Tabela 7.1). Como a 
extremidade é em esquadro e esmerilhada, usamos as equações da última 
linha da tabela.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 283_Livro_Elementos de Máquinas.indb 283 20/05/2022 14:14:2820/05/2022 14:14:28
Elementos de Máquinas
– 284 –
A equação do comprimento livre é:
l p Na d2
Substituindo os valores:
l , . . ,14 51 18 2 5 4
10l 261 18 8
mm271 98,�
4. Começamos calculando C:
C = =6 4
0 7
9 14
,
,
,
E o número de espiras ativas:
2 010 10N N G
Ea b
, ,2 79000
198000
39 10 5
Agora calculamos k:
k d G
D N x
N mm
a. .
, .
, ,
/
4
3
4
35
0 7 79000
8 6 2 10 59
0 94
E o comprimento livre (Lo):
L C N do b2 1
Lo 2 9 14 1 10 2 0 7, ,–
19L mmo � 24
Então achamos a deformação máxima por:
22y F F
kmáx
máx i
,
27 6
0 94
34
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 284_Livro_Elementos de Máquinas.indb 284 20/05/2022 14:14:3020/05/2022 14:14:30
– 285 –
Gabarito
L Lo ymáx�� ��� �
L ,19 24 34 41 58 mm22
8. Embreagens, freios e acoplamentos
1. Dados: diâmetro do tambor = 240 mm
� �r mm m240 2 0 120�120 1000
distância do pivô ao centro do tambor = 100 mm
1000� �a mm m100 0 1
largura da sapata = 30 mm
� �b mm m30 0 0301000
pressão máxima = Pa kPa x Pa�1000 103
força aplicada em 80º
� �2 80ºa� 
1 0º�� 
f = 0,32
Encontrar a capacidade de frenagem é o mesmo que calcular o torque:
T
f P b r cos cos
sen
a
a
�
�� �. . . .2 1 2� �
�
Substituindo os valores:
T
x
s
0 32 1000 10 0 030 0 120 0 803 2 0 0, . . , . , . cos cos
een 800
� �T 115 99 116 N m
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 285_Livro_Elementos de Máquinas.indb 285 20/05/2022 14:14:3320/05/2022 14:14:33
Elementos de Máquinas
– 286 –
2. A situação informada no problema é semelhante ao Exemplo 1, 
com a diferença de que o tambor gira no sentido anti-horário. 
Pela distribuição de forças, vimos no Exemplo 1 que a pressão 
máxima ocorre na sapata da direita, porém quando invertemos o 
sentido de giro a maior pressão ocorre na sapata esquerda:
3. O raio da sapata irá coincidir com a distância entre a aplicação 
da força e o centro do tambor ( 1000� �c mm m150 0 150 ). Foi dada 
a força de 3 kN e o momento da força normal (Mn = 800 N.m). 
Para encontrar o momento da força de tração (Mf), utilizamos a 
equação da força com giro no sentido horário:
F Mn Mf
C
�
��
Substituindo os valores:3000 800
0 150,
Mf
Isolando Mf:
Mf x800 3000 0 150,
Mf N m�350 .
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 286_Livro_Elementos de Máquinas.indb 286 20/05/2022 14:14:3420/05/2022 14:14:34
– 287 –
Gabarito
4. O primeiro passo é calcular o torque nominal:
T C P
nN
= .
Dados: P = 100 CV (como a potência está em CV, então a cons-
tante é C = 7.121)
n = 1800 rpm
Substituindo os valores:
T CV
rpm
N mN 7121
100
1800
395 6.
Precisamos encontrar o torque máximo, que depende de fatores que 
estão na Tabela 8.2:
T T xS xS xS xSmáx N z A T� � �
 2 Sz é o fator de frequência de partida e foi dado em 12/h: Sz = 1,0.
 2 SA é o fator de serviço que depende da máquina acionadora (no 
caso, motor elétrico) e do tipo de carga (uniforme) então: SA = 1,4.
 2 Sθ é o fator de temperatura, e para T = 80º temos que: Sθ = 1,2.
 2 ST é o fator de funcionamento e depende do tempo que a 
máquina opera. Foi dado que a máquina opera 24 horas por 
dia, então ( >16h): ST = 1,1.
Substituindo na equação do torque máximo:
4 10 1� �6 1 2 1T x x x xmáx , ,395 1 731 06
Tmáx � 731 06, .N m
9. Elementos de fixação
1. Dados: D = 8 mm
 p = 2,5 mm
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 287_Livro_Elementos de Máquinas.indb 287 20/05/2022 14:14:3620/05/2022 14:14:36
Elementos de Máquinas
– 288 –
Utilizamos a equação para o cálculo de área de tensão de tração no 
sistema métrico:
A D pt 0 7854 0 9382
2, . ,
Substituindo os valores de D e p:
At 0 7854 8 0 9382 2 5
2, . , . ,
1 �At mm25,�
2. Calcula-se a área de tensão de tração para roscas métricas por:
A D pt 0 7854 0 9382
2, . ,
Sabendo que D = 4 mm e p = 0,5 mm:
At 0 7854 4 0 9382 0 5
2, . , ,
9 �At mm�9 7
Sabe-se que a carga de prova é dada por:
C Ap a t� � .
Com o valor da resistência de carga dado por 650 MPa, encontra-se 
a tensão admissível por:
a pR.0 75
487a 0 75 650 5
Com esse valor, finalmente encontra-se a carga de prova:
Cp � � �487 5 9 79, . ,
Cp 4772�
N ,4 77 kN�
3. Para o diâmetro do rebite, temos que:
d s, .1 5
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 288_Livro_Elementos de Máquinas.indb 288 20/05/2022 14:14:3920/05/2022 14:14:39
– 289 –
Gabarito
A menor espessura é de 5 mm, então:
5 7d mm, .1 5 5 mm
Para o diâmetro do furo, temos que:
dF d. ,1 06
8 06 7dF , . ,7 5 1 0 95 mm
Para o comprimento do rebite de cabeça redonda:
L y d S
y = 1,5 e S é a soma das espessuras ( 8 5S 13), então:
241113L , .1 5 7 5 25 13 25 mm
4. Para determinar a quantidade de calor por peça:
5 8� �Q V x I xt V x Ax s J�220 80 8 000
O próximo passo é encontrar o calor para 60 processos no dia. Para isso:
x J88 000 60 5 280 000�
Devemos, agora, encontrar o calor para 1 mês de produção. Multipli-
cando por 20 dias, é igual a 105.600.00 J. Para converter o calor mensal 
em kWh, basta dividir pelo valor de conversão de x J3 6 106 = 29,33 kWh. 
Por fim, multiplica-se esse valor pelo preço da energia: R$ 23,40.
10. Elementos de apoio
1. Pela Tabela 10.2, temos que, para rotação de 200 rpm e rola-
mento de esferas, fn = 0,55. Como a temperatura máxima é de 
150 ºC, então ft = 1,0. O fator fe é igual a 3. A carga é apenas 
radial, então:
P Fr kN30� �
Utilizando a fórmula da carga dinâmica:
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 289_Livro_Elementos de Máquinas.indb 289 20/05/2022 14:14:4020/05/2022 14:14:40
Elementos de Máquinas
– 290 –
Co P x fe fn ft/ .
Substituindo os valores:
Co x x/ ,30 3 0 55 1
Co 163 63,�
2. A vida útil do rolamento é calculada por:
Lnh Lh a a a. . .� � � �
Onde a1 é relativo à probabilidade de falha. Pela Tabela 10.4, temos 
que, para 3%, a1 = 0,53. O fator a2 é relativo ao material, e para o aço 
comum a2 = 1,0. O fator a3 é relativo ao serviço, e para serviço severo 
a3 = 0,6. Substituindo na equação:
0 0 6 10 53 1� �Lnh x x x .40 000 2 720 h
3. I: composto de dupla camada de esferas, chamado de rolamento 
de esferas dupla de sulco profundo. II: tem como elemento 
rolante uma camada de esferas dispostas angularmente, sendo 
chamado de rolamento de esferas de contato angular. III: tem 
elementos rolantes em formato de cilindros e é chamado de 
rolamento de rolos cilíndricos. IV: é composto de cilindros bem 
finos, chamado de rolamento tipo agulha.
4. A pressão admissível é calculada por:
p
pv máx
v
�� �
� �
A velocidade (v) é encontrada por:
v r n. .
30
Onde:
2 8 0 0� �� �r d mm m0 2 40 4
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 290_Livro_Elementos de Máquinas.indb 290 20/05/2022 14:14:4220/05/2022 14:14:42
– 291 –
Gabarito
n é a rotação = 1.100 rpm. Então:
v . , .0 04 1100
30
v m s/�4 6
(pv)máx está na Tabela 10.5, na segunda linha (lubrificação a banho 
de óleo), e o valor vai de 2 a 3. Como é o máximo e estamos tratando de 
(pv) máx, escolhemos 3:
p
,
�
3
4 6
0 6, /� N mm5 �
A pressão média é dada por:
pm F
b d.
�
Foi dado o valor de F (6 kN = 6000 N) e o valor de d = 80 mm. Para 
encontrar o valor de b, usamos a relação b/d = 0,75 dada na questão, então:
b d. ,0 75�
5 6b . ,80 0 7 0
Substituindo os valores:
pm
.
�
6000
80 60
, /5pm N mm1 2 ��
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 291_Livro_Elementos de Máquinas.indb 291 20/05/2022 14:14:4320/05/2022 14:14:43
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 292_Livro_Elementos de Máquinas.indb 292 20/05/2022 14:14:4320/05/2022 14:14:43
Referências
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 293_Livro_Elementos de Máquinas.indb 293 20/05/2022 14:14:4420/05/2022 14:14:44
Elementos de Máquinas
– 294 –
ABRAHÃO, R. R. R. et al. Fadiga de materiais: uma revisão bibliográ-
fica. Encontro Interno, v. 8, 2008.
BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 
8 ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 
Porto Alegre: AMGH, 2019.
BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 
10. ed. Porto Alegre: AMGH, 2016.
CEARÁ (Estado). Secretaria da Educação. Elementos de máquinas. 
Ceará: Escola Estadual de Educação Profissional: 2011. Disponível em: 
https://www.seduc.ce.gov.br/wp-content/uploads/sites/37/2011/10/meca-
nica_elementos_de_maquinas.pdf. Acesso em: 6 dez. 2021.
COLLINS, J. A.; BUSBY, H. R.; STAAB, G. H. Projeto mecânico de 
elementos de máquinas: uma perspectiva de prevenção da falha. Rio de 
Janeiro: LTC, 2013.
COLLINS, J. A.; BUSBY, H. R.; STAAB, G. H. Projeto mecânico de 
elementos de máquinas: uma perspectiva de prevenção da falha. Rio de 
Janeiro: LTC, 2019.
COLLINS, J. A.; BUSBY, H. R.; STAAB, G. H. Projeto mecânico de 
elementos de máquinas: uma perspectiva de prevenção da falha. Rio de 
Janeiro: LTC, 2006.
DE FRANCESCHI, A.; ANTONELLO, M. G. Elementos de máquinas. 
Santa Maria: EdTech, 2014.
DEUTSCHES INSTITUT FÜR NORMUNG. DIN 6885. Berlin: 1956.
FRANCESCHI, A.; ANTONELLO, M. G. Elementos de máquinas. 
Santa Maria: Universidade Federal de Santa Maria, Colégio Técnico 
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 294_Livro_Elementos de Máquinas.indb 294 20/05/2022 14:14:4420/05/2022 14:14:44
– 295 –
Referências
Industrial de Santa Maria: Rede e-Tec Brasil, 2014. Disponível em: 
https://www.ufsm.br/app/uploads/sites/342/2020/04/ELEMENTOS-DE-
-M%C3%81QUINAS.pdf. Acesso em: 30 dez. 2021.
KIMINAMI, C. S.; CASTRO, W. B. de; OLIVEIRA, M. F de. Intro-
dução aos processos de fabricação de produtos metálicos. São Paulo: 
Blucher, 2018.
MARQUES, P. V.; MODENESI, P. J.; BRACARENSE, A. Q. Soldagem: 
fundamentos e tecnologia. 3. ed. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2009.
MARTINS, L. V. et al. Fresamento De Roscas De Niquel-Titânio Para 
Fabricação De Corpos De Prova De Tração. XXI Congresso Nacional de 
Estudantes de Engenharia Mecânica. Rio de Janeiro, 2014.
MELCONIAN, S. Elementos de máquinas. ed. rev., atual. e ampl. 
Saraiva Educação SA, 2019.
MOTT, R. L. Elementos de máquinas em projetos mecânicos. 5 ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
MOTT, R. L.; VAVREK, E. M.; WANG, J. Machine elements in mechan-
ical design. Nova York: Pearson, 2018.
NIEMANN, G. Elementos de máquinas. São Paulo: Blucher, 1971.3 v.
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: 
AMGH, 2010.
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. 4. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2013.
PTI. The Power Transmission Industries. Catálogo de acoplamentos. 
2014. Disponível em: http://korbras.com.br/acoplamentos.pdf. Acesso 
em: 4 jan. 2022.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 295_Livro_Elementos de Máquinas.indb 295 20/05/2022 14:14:4420/05/2022 14:14:44
Elementos de Máquinas
– 296 –
ROSA, E. Análise de Resistência Mecânica. UFSC: 2002.
SHACKELFORD, J. F. Introdução à ciência dos materiais para enge-
nheiros. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
TELECURSO. Curso profissionalizante. Elementos de máquinas. vol. 2. 
Rio de Janeiro: Ed. Globo, 2000.
_Livro_Elementos de Máquinas.indb 296_Livro_Elementos de Máquinas.indb 296 20/05/2022 14:14:4420/05/2022 14:14:44