AULA TESTES DE HIPÓTESES NÃO PARAMÉTRICOS 3

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TESTES DE HIPÓTESES 
NÃO PARAMÉTRICOS
• A aplicação desses testes não exige suposições quanto à
distribuição da população (em geral, distribuição Normal) da
qual se tenha retirado amostras para análises.
• Podem ser aplicadas a dados que se disponham simplesmente
da ordem, ou mesmo para estudo de variáveis nominais.
Podem ser realizados em pequenas amostras.
• Para realizar um teste de hipótese não paramétrico segue-se os
mesmos passos adotados nos testes paramétricos.
• Praticamente todo teste paramétrico tem um teste equivalente
não paramétrico.
• Nas situações em que se aplica um teste paramétrico, pode-se
aplicar um teste não paramétrico. O contrário não é válido
• Nas situações em que se pode utilizar ambos os testes
(paramétricos e não paramétricos), o teste paramétrico é mais
poderoso.
SOBRE TESTES NÃO PARAMÉTRICOS
ALGUNS TESTES NÃO 
PARAMÉTRICOS
• Teste de aderência do qui-quadrado
• Teste de independência do qui-quadrado
• Teste de Mann-Whitney para duas amostras
independentes
• Teste de Wilcoxon para duas amostras pareadas
TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-
QUADRADO (2)
Deve ser utilizado sempre que o pesquisador tiver o
interesse de verificar se a distribuição dos dados de uma
amostra está de acordo com alguma teoria.
Ex. 1 - A teoria postulada por Mendel (base da Genética)
estabelece que a segregação na distribuição das ervilhas
deve ocorrer na seguinte proporção: Amarelo-lisas (9/16);
amarelo-rugosa (3/16); verde-lisa (3/16) e verde-rugosa
(1/16). O pesquisador pode estar interessado em saber se o
seu experimento com ervilhas segue a mesma distribuição.
Ex. 2 – Um pesquisador está interessado em saber se
proporção de filhotes fêmeas e machos é a mesma para
uma porca submetida a melhoramento genético.
PASSOS PARA REALIZAR O TESTE DE 
ADERÊNCIA
Passo 1 – Formular as hipóteses
Ho: Os dados aderem (se ajustam) a teoria estipulada.
H1: Os dados não aderem (não se ajustam) a teoria estipulada.
Passo 2 – Calcular a estatística de teste
Determinar as frequências observadas (Oi) e esperadas (Ei) para
cada classe i e calcular a estatística de teste
em que r é número de classes da tabela, respectivamente.
Pode-se mostrar que a estatística de teste apresenta distribuição
amostral que segue uma qui-quadrado com r-1 graus de liberdade.
Passo 3 – Região crítica
Fixar o nível de significância ( ), determinar os graus de
liberdade gl = r-1 e com auxílio da tabela do qui-quadrado
determinar o qui-quadrado crítico (ou tabelado),
denotado por e, consequentemente, as áreas (regiões)
de aceitação (RA) e rejeição (RC).
Passo 4 – Regra de decisão.
Se aceitar a hipótese nula.
Passo 5 – Conclusão.
Exemplo
É bem conhecida a teoria que recém-
nascidos humanos apresentam,
aproximadamente, a mesma probabilidade
ao nascer de pertencer a qualquer gênero.
Verificar, com 95% de confiança, se a
distribuição de frequência de recém-
nascidos em uma cidade é a mesma para os
gêneros masculino e feminino, tendo como
base uma amostra aleatória de 100
nascimentos que ocorreram no último ano,
onde observou-se o nascimento de 65
meninos e 35 meninas.
Passo 1 - Hipóteses:
Ho- A proporção, por gênero, é a mesma
H1- A proporção, por gênero, não é a mesma.
Passo 2 - Cálculo da estatística de teste
Montar a tabela com as frequências observadas e esperadas.
Com base nos valores observados e esperados calcular a estatística
de teste
2 = (35-50)2/50 + (65-50)2/50 = 4.50 + 4.50 = 9.00
Meninas Meninos
Freq. Observada (O) 35 65
Freq. Esperada (E) 50 50
Passo 3 - Determinar o valor crítico (tabelado) e áreas de aceitação e
rejeição
Como  = 5%, r = 2 e gl = 2 – 1 = 1, então, pela tabela do qui-
quadrado, obtêm 2c = 3,84.
Passo 4 - Regra de decisão
Como 2 = 9 > 2c = 3,84, rejeita-se Ho.
Valor P. Como 2 = 9, pela tabela qui-quadrado, entrando na linha de
1 graus de liberdade, teremos que o valor-P será menor que 0.005
que é menor que o nível de significância de 5% e, portanto, rejeita-
se Ho.
Passo 5 - Conclusão
Com 95% de confiança rejeita-se a hipótese de que a proporção de
nascimentos, por gênero, foi a mesma no último ano nesta cidade.
TESTE DE INDEPENDÊNCIA DO 
QUI-QUADRADO (2)
Deve ser utilizado sempre que o pesquisador tiver o
interesse de verificar se duas populações têm a mesma
proporção de indivíduos com determinada
característica. Se isso for verdade, podemos dizer que a
ocorrência de indivíduos em uma população independe
da ocorrência de indivíduos da outra população.
Ex. 1 - A proporção de pessoas com câncer no pulmão é
a mesma entre fumantes e não fumantes, ou seja, o
pesquisador está interessado em saber se a presença de
câncer no pulmão independe do ato de fumar.
Ex. 2 – A proporção de indivíduos, por tipo sanguíneo é a
mesma entre as diferentes raças, ou seja, o pesquisador
tem interesse em saber se o tipo sanguíneo independe
da raça.
PASSOS PARA REALIZAR O TESTE DE 
INDEPENDÊNCIA
Passo 1 – Formular as hipóteses
Ho: A proporção de ocorrências em uma população independe das
ocorrências na outra população.
H1: A proporção de ocorrências em uma população depende das ocorrências
na outra população.
Passo 2 – Calcular a estatística de teste
Colocar em uma tabela de contingência de dupla entrada (matriz) os valores
das frequências observadas (Oij) e esperadas (Eij) para cada classe ij da tabela
(matriz) e calcular a seguinte estatística de teste
em que r é o número de linhas e c é o número de colunas da tabela de
contingência.
OBS: O valor esperado para cada classe é obtido a partir da multiplicação das
marginais dividida pelo total de indivíduos.
Passo 3 – Região crítica
Fixar o nível de significância ( ), determinar os graus de liberdade gl
= (r - 1)×(c - 1) e com auxílio da tabela do qui-quadrado determinar o
qui-quadrado crítico (ou tabelado) e, consequentemente, as áreas
(regiões) de aceitação (RA) e rejeição (RC).
Passo 4 – Regra de decisão.
Se , então aceitar a hipótese nula de independência.
Passo 5 – Conclusão
Exemplo
Um agrônomo quer saber se existe alguma relação entre
o tipo de solo e a presença de diferentes espécies de
uma planta. Os resultados obtidos pelo agrônomo são
apresentados na tabela de contingência a seguir:
Espécie
Tipo de Solo
A B C
ELI 70 44 86 200
ECH 50 30 45 125
EHO 10 6 34 50
EME 20 20 85 125
 150 100 250 500
Com base nos dados apresentados na tabela de
contingência teste, ao nível de 5% de significância, se a
distribuição de frequência das quatro espécies de
planta independe do tipo de solo.
Passo 1 - Hipóteses:
Ho: A espécie de planta independe do tipo de solo.
H1: A espécie de planta depende do tipo de solo.
Passo 2 - Cálculo da estatística de teste
Primeiramente, deve-se calcular os valores esperados para a estatística
de teste. E11 = 200 x 150/500 = 60
E12 = 200 x 100/500 = 40
E13 = 200 x 250/500 = 100
E21 = 125 x 150/500 = 37.5
E22 = 125 x 100/500 = 25
E23 = 125 x 250/500 = 62.5
E31 = 50 x 150/500 = 15
E32 = 50 x 100/500 = 10
E33 = 50 x 250/500 = 25
E41 = 125 x 150/500 = 37.5
E42 = 125 x 100/500 = 25
E43 = 125 x 250/500 = 62.5
Espécie
Tipo de Solo
A B C
ELI 70 44 86 200
ECH 50 30 45 125
EHO 10 6 34 50
EME 20 20 85 125
 150 100 250 500
Espécie Tipo de Solo
A B C
ELI 60 40 100
ECH 37.5 25 62.5
EHO 15 10 25
EME 37.5 25 62.5
Valores observados Valores esperados
Com base nos valores observados e esperados efetuar o
cálculo da estatística de teste
Passo 3 - Determinar o valor crítico (tabelado) e áreas de
aceitação e rejeição
Como  = 5% e gl = (4 - 1)×(3 – 1) = 6, então, pela tabela do
qui-quadrado, obtêm -se 2c = 12,6.
Passo 4 - Regra de decisão
-Como 2 = 37.88 > 2c = 12.6, rejeita-se Ho.
-Valor P. Como 2 = 37.88, pela tabela qui-quadrado,
entrando na linha de 6 graus de liberdade, teremos que o
valor-P será menor que 0.005 que é menor que o nível de
significância de 0.05 e, portanto, rejeita-se Ho.
Passo 5 - Conclusão
Com 95% de confiança pode-se afirmar que a espécie de
planta depende do tipo de solo.
Restrições de uso do teste de 
independência- Somente deve ser aplicado se a amostra tiver
mais de 20 elementos.
- O teste não deve ser usado se mais de 20%
das frequências esperadas forem abaixo de 5
ou se qualquer uma delas for inferior a 1.
- Em tabelas de contingência 2×2 deve-se fazer
a correção de Yates. Neste caso, a estatística de
teste é dada por
TESTE U DE MAN-WHITNEY
• É usado para testar se duas amostras independentes são
provenientes da mesma população. Por exemplo, um biólogo
está querendo verificar se existe diferença estatisticamente
significante quanto ao número de frutos de uma mesma espécie
de planta em dois tipos de solos (ácido e básico). Neste caso, as
plantas de um grupo (solo ácido) não são as mesmas plantas do
outro grupo (solo básico) e, portanto, tem-se duas populações
independentes. Além disso, a variável “numero de frutos”, por
ser uma contagem, pode não ter distribuição normal.
• O teste U de Man-Whitney é uma alternativa ao teste
paramétrico t de Student para igualdade de médias de
populações independentes, pois o teste não exige que a variável
aleatória na população tenha distribuição normal e, portanto,
pode ser aplicado tanto para variáveis intervalares como
ordinais.
• O teste t de Student compara as médias, enquanto o teste U de
Man-Whitney compara as medianas dos dois grupos.
PASSOS PARA REALIZAR O TESTE U DE MAN-
WHITNEY
Passo 1 – Formular as hipóteses
H0: Md1 = Md2 (Mediana da população do grupo 1 é igual a mediana da
população do grupo 2)
H1 : Md1 ≠ Md2 (Bilateral) ou Md1 > Md2 (Unilateral) ou Md1 < Md2
(Unilateral)
Passo 2 – Calcular a estatística de teste
A estatística de teste é baseada na ordem (posto) das observações.
Primeiramente, deve-se ordenar todos os valores dos dois grupos, ou seja,
o maior (ou menor) valor recebe o posto 1, o segundo maior (ou menor)
valor recebe o posto 2 e, assim, sucessivamente.
No caso de valores iguais, colocar o posto como se não houvesse empate
e, depois, extrair o ponto médio desses postos empatados. Valores iguais,
postos iguais.
Uma vez atribuído os postos, efetuar a soma dos postos do grupo 1 (R1) e
do grupo 2 (R2 ).
PASSOS PARA REALIZAR O TESTE U DE MAN-
WHITNEY
Passo 2 – Calcular a estatística de teste (Continuação)
Utilizar a soma dos postos do grupo 1 (R1) e do grupo 2 (R2 ) e calcular as
estatísticas U1 e U2 utilizando as fórmulas abaixo
em que n1 e n2 são os tamanhos das amostras 1 e 2, respectivamente.
O menor valor entre U1 e U2 será denominado de estatística U .
Se os tamanhos das amostras dos dois grupos forem grandes, U tem
distribuição aproximadamente normal e, portanto, pode-se utilizar a
seguinte estatística de teste:
Passos 3 e 4: Região crítica e regra de decisão
A hipótese é rejeitada se o valor observado da
estatística de teste cair na área de rejeição, ou
seja,
em que e são os valores tabelados (quantil
da distribuição normal padrão com média zero e
desvio padrão igual a um, em função e do nível de
significância ( ).
Passo 5: Conclusões
bilateraltesteumparazzo
2
||| 
oH
unilateraltesteumparazzo ||| 

2
z
z
Observações sobre o teste U de 
Man-Whitney
Para saber se os valores de U1 e U2 foram calculados
corretamente basta verificar se n1n2=U1+U2.
Se amostra não for suficientemente grande, ou seja,
maior que 25 para cada grupo, a aproximação normal
não pode ser utilizada. Neste caso deve-se consultar
tabelas específicas para o teste de Man-Whitney.
Para facilitar, neste curso vamos utilizar somente a
aproximação normal, mesmo que tenhamos amostras
inferiores a 25.
Exemplo
Um biólogo deseja fazer um estudo para verificar a
especificidade do fungo Gigaspora gigantea com as plantas
capim-marinho (Spartina sp) e quaresmeira (Tibouchina sp).
Foram coletadas 10 amostras de solo em volta da Spartina
sp e 12 amostras de solo em volta da Tibouchina sp e feita as
contagens da quantidade de fungos presentes. As contagens
de fungos no solo ao redor da Spartina sp foram: 303, 117,
116, 115, 93, 84, 78, 63, 63 e 55. As contagens de fungos no
solo ao redor da Tibouchina sp foram 305, 112, 110, 110,
95, 85, 74, 62, 60, 60, 53 e 40.
Esses dados apresentam evidências para indicar uma
especificidade estatisticamente significante do fungo
Gigaspora gigantea para as plantas Spartina sp e Tibouchina
sp, com 90% de confiança?
Passo 1 - Hipóteses:
Ho: As contagens medianas de fungos são as mesmas para
os dois tipos de plantas. Fungo não apresenta
especificidade
H1: As contagens medianas de fungos são diferentes para
os dois tipos de plantas. Fungo apresenta especificidade
Passo 2 - Cálculo da estatística de teste
Observe que temos duas amostras independentes (Spartina
sp e Tibouchina sp) e a variável “contagem de fungos” , por
ser uma contagem, não pode ser assumida como normal.
Assim, deve-se aplicar um teste não paramétrico, no caso,
o teste de Man-Whitney.
Para tal, o primeiro passo é atribuir os postos nos valores
das contagens.
Spartina Tibouchina
Valores Postos Postos 
corrigidos
Valores Postos Postos 
corrigidos
303 2 2 305 1 1
117 3 3 112 6 6
116 4 4 110 7* 7.5
115 5 5 110 8* 7.5
93 10 10 95 9 9
84 12 12 85 11 11
78 13 13 74 14 14
63 15 15.5** 62 17 17
63 16 15.5** 60 18*** 18.5
55 20 20 60 19*** 18.5
53 21 21
40 22 22
R1=100 R2 = 153
Calcular as estatísticas U1 e U2
Pegar o menor dos valores entre U1 e U2 e teremos U = 45.
Então calcular a estatística de teste
0,05 0,05
0
0,90
Passo 3: Determinar a área de rejeição e o respectivo valor
tabelado do quantil da distribuição normal
Assim, o valor crítico (z tabelado) é igual a 1,64 ou 1,64.
64,164,1
Passo 4: Tomada de decisão (comparar o valor observado e
valor tabelado)
- Como |z| < |Ztab| , ou seja, |0,99| < |-1,64|, aceita-se Ho.
ou
-Como valor observado da estatística de teste está contido
dentro da área de aceitação, aceita-se Ho.
ou
-Valor P. z=0.99, pela tabela Normal, corresponde p=0.8389.
Assim, o valor-P unilateral é dado por 1-0.8389 = 0.1611.
Logo, o valor-P é 0.3222 que é maior que o nível de
significância de 0.05 e, portanto, aceita-se Ho.
Passo 5: Conclusão
Podemos concluir, com 90% de confiança, que as medianas
das contagens do fungo Gigaspora gigantea são iguais para
as duas plantas Spartina sp e Tibouchina sp, ou seja, o fungo
não apresenta especificidade para essas duas plantas.
TESTE T DE WILCOXON
• O teste T de Wilcoxon é utilizado na análise de dados
emparelhados em situações em que o pesquisador deseja
determinar se duas condições (em geral, do tipo antes e
depois) são iguais. Por exemplo, um regime de
emagrecimento. Cada par, no caso, é formado pelo mesmo
indivíduo com peso antes e depois de realizado o regime.
• O teste T de Wicoxon é um teste alternativo ao teste t de
Student para amostras pareadas quando não pode-se garantir
que a variável aleatória apresenta distribuição normal.
• Para aplicar o teste de Wilcoxon, a variável aleatória pode ser
intervalar ou ordinal.
• A lógica do teste de Wilcoxon leva em consideração a posição
(posto) e a direção da diferença para cada par de observações.
PASSOS PARA REALIZAR O TESTE T DE WILCOXON
Passo 1 – Formular as hipóteses
H0: Mdd = 0 (A mediana das diferenças entre pares é igual a zero)
H1 : Mdd ≠ 0 (Bilateral) ou Mdd > 0 (Unilateral) ou Md1 < 0 (Unilateral)
Passo 2 – Calcular a estatística de teste
A estatística de teste é baseada na ordem (posto) das diferenças dos pares
de observações. Assim, primeiramente, deve-se calcular a diferença
existente em cada par de observação.
Em seguida, ordenar todas as diferenças, ou seja, a maior (ou menor)
diferença recebe o posto 1, a segunda maior (ou menor) valor recebe o
posto 2 e, assim, sucessivamente. Neste passo, ignorar se a diferença é
positiva ou negativa, ou seja, considere apenas o valor absoluto da
diferença.
No caso de valores iguais, colocar o posto como se não houvesse empate
e, depois, extrair a média desses postos. Valores iguais, postos iguais.
Uma vez atribuído os postos, efetuar a soma dos postos das diferenças
positivas (R1) e negativas 2 (R2 ).PASSOS PARA REALIZAR O TESTE U DE MAN-
WHITNEY
Passo 2 – Calcular a estatística de teste (Continuação)
O menor valor das somas R1 e R2, em módulo, será denominado de
estatística T.
Se as diferenças amostrais forem grandes, T tem distribuição
aproximadamente normal e, portanto, pode-se utilizar a seguinte
estatística de teste:
em que a média e o desvio-padrão das somas dos postos são dados por:
em que n é o número de diferenças.
Passos 3 e 4: Região crítica e regra de decisão
A hipótese é rejeitada se o valor observado da
estatística de teste cair na área de rejeição, ou
seja,
em que e são os valores tabelados (quantil
da distribuição normal padrão com média zero e
desvio padrão igual a um, em função e do nível de
significância ( ).
Passo 4: Conclusões
bilateraltesteumparazzo
2
||| 
oH
unilateraltesteumparazzo ||| 

2
z
z
Observações sobre o teste T de Wicoxon
Uma diferença igual a zero não é ordenada, mas sim
eliminada da análise e, portanto, a amostra fica
reduzida de um, para cada eliminação.
Se amostra das diferenças não for suficientemente
grande, ou seja, maior que 25, a aproximação normal
não pode ser utilizada. Neste caso deve-se consultar
tabelas apropriadas.
OBS: Neste curso, vamos utilizar somente a
aproximação normal, mesmo que tenhamos amostras
inferiores a 25.
Exemplo
Um médico quer investigar o uso do medicamento amiloride
como terapia para pacientes com fibrose cística. Acredita-se
que este medicamento possa auxiliar na melhora do fluxo de ar
nos pulmões ao atrasar a perda da função pulmonar que é
frequentemente associada com a doença. Uma medida de
função pulmonar é a capacidade vital forçada (FVC), ou seja, o
volume de ar que uma pessoa pode expelir dos pulmões em
seis segundos. O médico coletou uma amostra com 10
pacientes com fibrose cística e mediu a FVC antes do
tratamento e 25 dias após o uso contínuo de amiloride. Os
resultados foram os seguintes: Antes: 213, 95, 33, 440, 32, 28,
445, 178, 367, 140, 323 e 10. Depois: 224, 80, 75, 541, 74, 85,
293, 23, 525, 38, 508 e 255.
Esses dados tem evidências estatisticas para indicar que o
medicamento amiloride é eficaz (aumenta a FVC) no tratamento
da fibrose cística, com 95% de confiança?
Passo 1 - Hipóteses:
Ho: A mediana das diferenças de FVC antes e depois do uso do
medicamento é igual a zero. O medicamento não é efetivo.
H1: A mediana das diferenças de FVC antes e depois do uso do
medicamento é menor que zero. O medicamento é efetivo
Passo 2 - Cálculo da estatística de teste
Observe que temos duas amostras pareadas (a medida de FVC
foi realizada antes e depois do tratamento no mesmo indivíduo)
e não existem evidência que a variável “FVC” seja normal. Assim,
deve-se aplicar um teste não paramétrico, no caso, o teste T de
Wilcoxon.
Para tal, deve-se calcular as diferenças entre os pares, atribuir os
postos para essas diferenças e calcular as somas para os postos
das diferenças positivas e negativas.
Paciente FVC -
Antes
FVC-
Depois
Diferenças
(D-A)
Postos Postos 
positivos
Postos 
negativos
1 213 224 11 1 1
2 95 80 -15 2 -2
3 33 75 42 3 3
4 440 541 101 6 6
5 32 75 43 4 4
6 28 85 57 5 5
7 445 293 -152 8 -8
8 178 23 -155 9 -9
9 367 525 158 10 10
10 140 38 -102 7 -7
11 323 508 185 11 11
12 10 255 245 12 12
R1 = 52 R2=-26
Pegando o menor dos valores entre R1 e R2,
desconsiderando o sinal, teremos T = 26.
Calculando a média e o desvio-padrão da soma dos postos
obtemos:
Calculando a estatística de teste
Passos 3 e 4: Tomada de decisão (comparar o valor
observado e valor tabelado)
- O valor crítico tabelado com 5% de significância é dado
por Zc=1.64
Como |z| < |Ztab| , ou seja, |1.02| < |1.64|, aceita-se Ho.
ou
-Valor P. z = 1.02, pela tabela Normal, corresponde
p=0.8461. Assim, o valor-P unilateral é dado por 1-0.8461 =
0.1539. Logo, o valor-P é 0.3078 que é maior que o nível de
significância de 0.05 e, portanto, aceita-se Ho.
Passo 5: Conclusão
Podemos concluir, com 95% de confiança, que não existe
diferença entre as capacidades medianas de FVC antes e depois
do uso do medicamento amiloride, ou seja, o medicamento
parece não ser efetivo e, portanto, não adequado para tratar a
fibrose cística
“A vida requer que lhe seja
dada a cada dia e, se possível,
a cada hora, um novo
estímulo.”
Da sabedoria logosófica