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BANCO DO NORDESTE DO BRASIL
matemática
Análise Combinatória
Livro Eletrônico
JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas 
presenciais, telepresenciais e online de Matemá-
tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-
ceira e Estatística para processos seletivos em 
concursos públicos estaduais e federais. Além 
disso, é professor de Matemática e Raciocínio 
Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. 
É servidor público há mais de 20 anos. Autor de 
diversas obras e palestrante.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
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MATEMÁTICA
Análise Combinatória
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SUMÁRIO
Princípio de Contagem.................................................................................4
Apresentação do Professor ...........................................................................4
Princípios de Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações ........................7
Princípios de Contagem ...............................................................................7
Permutações ............................................................................................19
Arranjos ..................................................................................................28
Combinações ...........................................................................................31
Questões de Concurso ...............................................................................36
Gabarito ..................................................................................................41
Gabarito Comentado .................................................................................42
Autoavaliação ..........................................................................................53
Gabarito ..................................................................................................58
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PRINCÍPIO DE CONTAGEM
Neste módulo serão apresentados métodos para resolução de questões de con-
cursos públicos relacionados a problemas de Análise Combinatória – Princípios de 
Contagem (aditivo e multiplicativo). 
Propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio lógico e criativo, promo-
vendo maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a in-
terpretar tais questões por meio da prática. 
Serão abordados: arranjos, permutações ou combinações, são os três tipos 
principais de agrupamentos, podendo ser simples, com repetição ou circulares.
Apresentação do Professor
Olá, tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande alegria 
que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo com você, 
que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 16 anos de experiência 
em aulas presenciais e mais de 8 anos em aulas online, possuo 3 obras escritas, 
dentre elas podemos citar: Raciocínio Lógico Matemático – Fundamentos e Métodos 
Práticos, Editora JUSPODIVM, 2ª edição, 2018; outra obra com questões comenta-
das: Mais de 400 Questões Comentadas de Raciocínio Lógico – CESPE, 3ª edição, 
também pela Editora JUSPODIVM. E, por último, uma obra muito importante que é 
o Revisaço, com mais de 500 questões comentadas, sendo a 1ª edição. 
De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como as ban-
cas examinadoras exigem o assunto indicado nesta aula. 
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O assunto deste módulo é de suma importância, pois trata de um dos principais 
assuntos cobrados nas provas de concursos públicos, ainda mais se tratando da 
banca CESPE. 
Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois, além de 
aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo in-
terpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores 
métodos de resolução, uma vez que, no decorrer desses 16 anos como professor, 
me dediquei para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público 
nos diversos processos seletivos em todo do Brasil. 
No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem 
dado muito certo, que se trata de: 
1. exposição do assunto – conceitos – de forma esquematizada;
2. métodos e dicas de resolução rápida;
3. esquemas estratégicos;
4. questões comentadas;
5. autoavaliação. 
Nesta nossa primeira aula, iremos abordar os seguintes assuntos: 
• princípios de contagem: 
−	princípios de contagem (aditivo e multiplicativo) – análise combinatória. 
Propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio lógico e criativo, promo-
vendo maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a in-
terpretar as questões por meio da prática. 
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Antes de começarmos, vamos brincar um pouco, ok? E nada melhor que o bom 
ânimo	para	respondermos	um	desafio.	Vejamos:	
Quem é bom de cartas?
André tem um conjunto de cartas. Cada carta tem apenas um número em uma das 
faces e a foto de apenas um animal na outra. André dispôs quatro cartas sobre a 
mesa com as seguintes faces expostas: cisne, gato, número 7 e número 10, como 
se mostra:
André disse: “Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal 
mamífero”.
Para	verificar	se	a	afirmação	de	André	está	correta,	é
a)	suficiente	que	se	verifiquem	os	versos	das	cartas	B	e	C.
b)	suficiente	que	se	verifiquem	os	versos	das	cartas	A	e	C.
c)	suficiente	que	se	verifiquem	os	versos	das	cartas	A	e	D.
d)	suficiente	que	se	verifiquem	os	versos	das	cartas	B	e	D.
e)	necessário	que	se	verifiquem	os	versos	das	quatro	cartas.
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Princípios de Contagem, Arranjos, Permutações e Combinações
Vamos lá!
Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem; 
porém, quando aumentam o número de elementos dados e o número de elementos 
em cada agrupamento, o processo intuitivo de formá-los, para depois realizar sua 
contagem, torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por isso, partindo do con-
creto, tentar-se-á chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos 
são os agrupamentos que se quer realizar e quaissão eles.
Frente a essa realidade nos concursos públicos e à necessidade de agilidade 
para resolver as questões, a estratégia será a resolução de problemas de Análise 
Combinatória, com poucos cálculos, apenas aplicando dois princípios básicos: o 
princípio Aditivo e o princípio Multiplicativo. Então, dessa forma, vamos começar 
com	os	seguintes	princípios,	 logo	após	 iremos	definir	alguns	tipos	de	agrupa-
mentos. 
Princípios de Contagem
Os princípios de contagem, na matemática, incluem:
I. Princípio Aditivo: se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, E2, de 
N2 maneiras distintas, ..., EK, de Nk maneiras distintas, e se quaisquer dois eventos 
não podem ocorrer simultaneamente, então um dos eventos pode ocorrer em N1 + 
N2 + ... + Nk maneiras distintas.
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II. Princípio Multiplicativo: considere que E1, E2, ..., Ek são eventos que ocorrem 
sucessivamente; se o evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, o evento E2 
pode ocorrer de N2 maneiras distintas, ..., o evento Ek pode ocorrer de Nk maneiras 
distintas, então todos esses eventos podem ocorrer, na ordem indicada, em N1 × 
N2 × ... × Nk maneiras distintas.
O poder da palavra “POSSIBILIDADES”.
Princípio Multiplicativo: resolveremos algumas questões neste momento para 
que você possa entender o Princípio Multiplicativo. 
Exemplo 1: uma pessoa vai ao shopping e compra 3 blusas (B1, B2 e B3), 2 sapatos 
(S1 e S2) e 2 calças (C1 e C2). Logo ao chegar em casa, ele se pergunta: “De quantas 
maneiras distintas eu posso me arrumar com as compras realizadas?”. 
No esquema construído acima, temos 12 maneiras distintas dessa pessoa se arru-
mar. O raciocínio utilizado é o seguinte: quantas possibilidades tem-se para blusas? 
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Nesta situação temos 3. Quantas possibilidades tem-se para sapatos? Nesta situa-
ção temos 2. Quantas possibilidades tem-se para calças? Nesta situação temos 2. 
Logo, podemos concluir que: 
Pelo Princípio Multiplicativo, temos de multiplicar as POSSIBILIDADES. 
 3 × 2 × 2 = 12 (maneiras distintas) 
Possibilidades Possibilidades Possibilidades
O que devemos perceber é que temos de nos basear sempre na palavra “Possi-
bilidades”, pois ela trará o raciocínio correto. 
Vamos resolver algumas questões aplicando apenas o conceito do Princípio 
Multiplicativo, utilizando a palavra “POSSIBILIDADES”:
Fique ligado(a)! Não se esqueça de pronunciar a todo instante a expressão: QUAN-
TAS POSSIBILIDADES.
Nas	questões	com	termos	referentes	a	códigos,	senhas,	matrículas,	filas,	núme-
ros	telefônicos,	etc.,	enfim,	termos	que	indicam	ideia	de	ordem,	teremos	grupos	
nos	quais	a	ordem	importa,	ou	seja,	se	a	ordem	for	modificada,	teremos	um	novo	
agrupamento. (“A Ordem dos Elementos Altera a Natureza”). Nesses casos iremos 
multiplicar as possibilidades. 
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1. (ESAF) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma pro-
babilidade	de	vencer.	O	número	de	diferentes	maneiras	para	a	classificação	dos	3	
primeiros lugares é igual a:
a) 24.360.
b) 25.240.
c) 24.460.
d) 4.060.
e) 4.650.
Letra a.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. 
Para os três primeiros colocados, temos: 30 × 29 × 28 = 24.360 (maneiras dife-
rentes).
Nesse caso, as possibilidades vão diminuindo, uma vez que a possibilidade utiliza-
da (dupla de tênis) não tem como ser utilizada novamente (ninguém pode ocupar 
duas posições simultaneamente).
Possibilidades
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2. (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não po-
dem	começar	por	0.	Os	três	primeiros	números	constituem	o	prefixo.	Sabendo-se	
que	em	todas	as	farmácias	os	quatro	últimos	dígitos	são	zero	e	o	prefixo	não	tem	
dígitos repetidos, então, o número de telefones que podem ser instalados nas far-
mácias é igual a:
a) 504.
b) 720.
c) 684.
d) 648.
e) 842.
Letra d.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar.
Os números telefônicos possuem 7 algarismos, então temos 7 posições:
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
Restrições: os números não podem começar com zero e os quatro últimos alga-
rismos são iguais a zero. 
 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
 
Nesta posição, o zero 
não é possibilidade. Nestas 4 posições, 
somente o número 0 
é possibilidade.
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Preenchendo as posições, temos: 
 9 × 9 × 8 × 1 × 1 × 1 × 1 
 
Dessa forma, aplicando o Princípio Multiplicativo (multiplica as possibilidades), temos:
 9 × 9 × 8 × 1 × 1 × 1 × 1 = 648 (números telefônicos).
3. (CESPE) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuí-
das senhas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para 
se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de 3 letras 
(retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de 3 algarismos 
(escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas 
sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de al-
garismos, é igual a:
a) 26³ x 10³.
b) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8.
c) 26 x 25 x 24 x 10³.
d) 26³ x 10 x 9 x 8.
Não podemos ter algarismos repeti-
dos, logo a possibilidade que foi utiliza-
da não poderá ser usada novamente. 
Com esse pensamento, temos para a 
primeira posição 9 possibilidades, pois 
o zero não pode ser utilizado; na se-
gunda, temos 9 possibilidades, pois o 
zero neste caso voltou a ser possibi-
lidade e na terceira posição, temos 8 
possibilidades, uma vez que já foram 
usadas duas possibilidades.
Neste caso, todos os algarismosutiliza-
dos serão iguais a zero, logo percebe-
mos que não é o número zero que será 
colocado nas posições, e, sim, quantas 
possibilidades para a posição, portan-
to, temos 1 (uma) possibilidade para 
cada posição, isto é, o número zero.
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Letra c.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar.
As senhas são compostas por uma sequência de 3 letras (retiradas do alfabeto com 
26 letras), seguida de uma sequência de 3 algarismos (escolhidos entre 0 e 9). 
Os códigos possuem 6 posições, 3 letras (26 possibilidades) e 3 algarismos (10 
possibilidades):
____ ____ ____ e(x) ____ ____ ____ 
Número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a re-
petição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos.
Quanto às três primeiras posições, temos: 26 × 25 × 24. 
Quanto aos três últimos algarismos, temos: 10 × 10 × 10. 
Nestas 3 posições, temos: 26 possibili-
dades na primeira, 25 possibilidades na 
segunda, uma vez que uma já foi utili-
zada, e, por último, 24 possibilidades.
Nestas 3 posições, temos: 10 possibilidades 
na primeira, 10 possibilidades na segunda e, 
por último, 10 possibilidades. O número que 
foi utilizado pode ser utilizado novamente, 
logo, temos as mesmas possibilidades para 
as 3 posições.
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Concluindo: os códigos possuem 6 posições – 3 letras (26 possibilidades) e 3 alga-
rismos (10 possibilidades):
_26_× _25_ × __24__ e(x) _10__ × __10__× __10__ = 26×25×24×103.
4. (CESPE) Para	a	codificação	de	processos,	o	protocolo	utiliza	um	sistema	com	
cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, 
escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas pri-
meiras posições, julgue os itens que se seguem.
a) O	número	de	processos	que	podem	ser	codificados	por	esse	sistema	é	superior	
a 650.000.
b) O	número	de	processos	que	podem	ser	codificados	por	esse	sistema	utilizando-se	
letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000.
c) O	número	de	processos	que	podem	ser	codificados	por	esse	sistema	de	modo	que	
em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é inferior a 470.000.
Certo/Errado/Certo.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, as letras do código ocupam as duas primeiras posições. 
a) Certo.	O	número	de	processos	que	podem	ser	codificados	é	dado	por	5	símbo-
los, logo 5 posições: 
 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 676.000.
 
Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 26 possibilidades 
na segunda e, por último, 10 possibilidades nas três últimas posições. 
A letra e o número que foram utilizados podem ser utilizados novamen-
te, portanto, temos as mesmas possibilidades para as duas posições de 
letras e para as três posições de algarismos.
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b) Errado.
 26 × 1 × 10 × 10 × 10 = 26.000.
c) Certo.	Esse	 item	significa	que	as	 letras	e	os	algarismos	devem	ser	distintos.	
Logo, temos: 
 26 × 25 × 10 × 9 × 8 = 468.000.
5. (FCC)	Teófilo	foi	a	um	caixa	eletrônico	retirar	algum	dinheiro	e,	no	instante	em	
que foi digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos 
que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua senha não tinha algarismos repe-
tidos, era um número par e o algarismo inicial era 8.
Quantas	senhas	poderiam	ser	obtidas	a	partir	do	que	Teófilo	lembrou?
a) 224.
b) 210.
c) 168.
d) 144.
e) 96.
Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 1 possibilidade 
na segunda (devido as duas letras serem iguais, o que faz com que a 
segunda seja a mesma que a primeira) e nas três últimas posições, 10 
possibilidades, uma vez que a questão não exige que os códigos pos-
suam algarismos distintos.
Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 25 possibilidades 
na segunda (devido as duas letras não serem iguais, o que faz com que 
a possibilidade da segunda seja menor que a primeira, pois uma possi-
bilidade já foi utilizada) e, nas três últimas posições, 10 possibilidades 
na primeira, 9 na segunda e 8 na terceira, uma vez que a questão traz 
a ideia de que os códigos possuam algarismos distintos.
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Letra a.
Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada 
nova ordem, temos um novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. 
Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar. 
A senha a ser digitada possui 4 algarismos, logo teremos 4 posições: 
_____× _____× _____× _____= 
 1 × 8 × 7 × 4 = 224.
Nessas 4 posições, temos: algarismos distintos; o número formado é 
par (a restrição é na última posição, pois um número par é aquele que 
termina em {0, 2, 4, 6, 8}) e a senha começa com o número 8, ou 
seja, uma possibilidade.
Nessa posição, 
temos apenas 1 
(uma) possibi-
lidade que é o 
número 8.
Após preenchemos as 
posições que se tratam 
das restrições, vamos 
colocar as possibilidades 
sabendo que os algaris-
mos não se repetem.
Nessa posição, temos 
4 possibilidades, uma 
vez que o número 8 
já foi utilizado na pri-
meira posição.
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De acordo com o jornal espanhol El País, em 2009 o contrabando de armas 
disparou nos países da América Latina, tendo crescido 16% nos últimos 12 anos. 
O crime é apontado como o principal problema desses países, provocando uma 
grande quantidade de mortes. O índice de homicídios por 100.000 habitantes na 
América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 
65 na Colômbia, 50 na Guatemala.
Internet: <www.noticias.uol.com.br>.
Tendo como referência as informações apresentadas no textoacima, julgue o 
item que se segue.
6. (POLÍCIA FEDERAL/2009) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 ci-
dades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, 
para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 
maneiras diferentes de fazer essa escolha. 
Errado.
No item acima, temos que uma organização criminosa escolhe seis das dezessete 
cidades, ou seja, temos onze possibilidades para agrupar as seis cidades.
Pelo princípio multiplicativo: 462.
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Trata-se de uma questão de combinação, logo podemos utilizar a fórmula: 
É comum não utilizar todos os elementos para a construção de novos grupos, 
uma vez que, se todos forem utilizados, obteremos apenas um grupo. 
Obs.:� “A ordem dos elementos não altera a natureza.”
Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divi-
didas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, 
julgue os itens que se seguem. 
7. (POLÍCIA FEDERAL/2009) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 
5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. 
Errado.
Formamos agrupamentos com p elementos (p<m), de forma que os p elementos 
sejam distintos entre si apenas pela espécie.
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Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo 
de p elementos.
Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comis-
sões,	turmas	etc.,	enfim,	termos	que	indicam	ideia	de	conjunto,	teremos	grupos	
nos	quais	a	ordem	não	importa,	ou	seja,	se	a	ordem	for	modificada,	não	teremos	
um novo agrupamento. É comum não utilizar todos os elementos para construção 
de novos grupos, uma vez que, se todos forem utilizados, obteremos apenas um 
grupo (“A Ordem dos Elementos não Altera a Natureza”).
Respondendo pela fórmula, temos: 
Neste instante, iremos estudar os seguintes assuntos que fazem parte de Aná-
lise Combinatória: Permutação, Arranjos e Combinações.
Permutações
Na permutação, iremos utilizar todos os elementos (DISTINTOS) do grupo, re-
alizando	uma	permutação	(troca)	dos	elementos,	em	que	a	ordem	irá	influenciar.	
Obs.:� “A ordem altera a natureza.”
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Quando formamos agrupamentos com n elementos, de forma que os n elemen-
tos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com 
repetição ou circulares.
Permutação simples: são agrupamentos com todos os n elementos distintos.
Fórmula: P(n) = n!. Em que: n = número de elementos a serem permutados.
Cálculo para exemplo: P(5) = 5!= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Exemplo: seja C = {A, B, C} e n = 3. As permutações simples desses 3 elementos 
são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada 
grupo, mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no 
conjunto:
P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua 
família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apre-
sentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como “Os doze 
trabalhos de Hércules”. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Ne-
meia, capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto. Considere que 
a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze 
trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente alea-
tória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. 
Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue 
os itens subsequentes.
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8. (CESPE/2004) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia pre-
parar é superior a 12 × 10!
Certo.
O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 
12 x 10!
Pn = n! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 12! (Número má-
ximo de diferentes listas).
Simplificando	dos	dois	lados	da	igualdade:	12	×	11	>	12	
9. (CESPE/2004) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar 
o leão de Nemeia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.
Certo.
O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Ne-
meia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.
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A restrição é na primeira posição, ou seja, temos 1 (uma) possibilidade.
Simplificando	dos	dois	lados	da	desigualdade:
1 × 4 × 3 × 2 × 1 < 240 
24 < 240 
10. (CESPE/2004) O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a 
corça de Cerineia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira 
posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6.
Errado.
O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” 
na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior 
a 72 × 42 × 20 × 6.
Simplificando	dos	dois	lados	da	desigualdade:1	×	10	×	1	×	1	<	1	
Capturar a corça
de Cerineia
Capturar o Javali 
de Erimanto
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11. (CESPE/2004) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos 
“capturar a corça de Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas 
posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!.
Certo.
O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de 
Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer 
ordem, é inferior a 6! x 8!
Simplificando	dos	dois	lados	da	desigualdade:10 × 9 × 2 × 1 < 6! 
10 × 9 × 2 × 1 < 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 
180 < 720
Permutação com Repetição
Um bom exemplo para entendermos a permutação com repetição é a formação 
de anagramas em que as “palavras” ou “conjunto de letras” possuem letras repeti-
das. Com as 6 letras da palavra ARARAT? A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 
2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elemen-
Nas duas últimas posições, em qualquer ordem (a corça e o javali)
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tos do conjunto C={A, R, T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que 
contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem 
trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA,
AATRRA, AARRTA, ARAART, ARARAT, ARARTA,
ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR}
Na permutação com repetição, iremos utilizar todos os elementos (DISTIN-
TOS E NÃO DISTINTOS) do grupo, realizando uma permutação (troca) dos ele-
mentos,	 em	que	 a	 ordem	 irá	 influenciar	 parcialmente	 (algumas	 vezes,	 isto	 é,	
quando não forem os elementos repetidos). Agora, é importante ressaltar que 
alguns elementos são idênticos, o que não trará um novo agrupamento. Logo, 
devemos perceber que existirão grupos repetidos, então deveremos retirar aque-
les que se repetem. 
Obs.:� “A ordem de alguns elementos não altera a natureza.”
12. (CESPE/ADAPTADA) A respeito de contagem, que constitui um dos principais 
fundamentos da matemática, julgue o item a seguir.
O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas 
com as letras da palavra PAPILOSCOPISTA é inferior a 108. 
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Errado.
A palavra PAPILOSCOPISTA possui letras repetidas, que, se forem permutadas, não 
formarão um novo anagrama. Logo, trata-se de permutação com letras repetidas.
Calculando, temos: 
Haverá uma divisão para que possamos retirar as palavras que se repetem e, de 
acordo com a quantidade de letras repetidas, iremos calcular o fatorial, por exem-
plo: (letra P: 3×2×1); (letra O: 2×1); (letra A: 2×1); (letra I: 2×1); (letra S: 2×1)
14×13×11×10×9×7×6×5×4×3×2×1< 108 
13. (CESPE/ADAPTADA) Julgue o item que se segue quanto a diferentes formas de 
contagem.
Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, 
pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. 
Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e 
indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 
140 formas diferentes com essas faixas.
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Certo.
Na questão temos 7 faixas que deverão ser permutadas para se adquirir novas 
decorações, mas temos faixas de mesma cor, em que a troca de posição não pro-
duzirá decorações novas. Logo, é interessante fazermos uma analogia como uma 
palavra com letras repetidas, da seguinte maneira: 
V V V A A A B
Temos 7 letras (faixas) sendo permutadas: P7 = 7! = 7×6×5×4×3×2×1 
Sabendo que algumas decorações são as mesmas (devido a algumas faixas serem 
iguais), temos que retirar essas decorações que se repetem. Assim, se o princípio 
utilizado é a multiplicação que gera os novos agrupamentos, logo temos que dividir 
para retirar aquilo que se repete, da seguinte maneira: 
Número de decorações = , sendo que no denominador te-
mos 3x2x1(3!), que se refere às cores verdes que se repetem, e logo após 3x2x1 
(3!), que se refere às cores amarelas que se repetem.
Usaremos a seguinte estratégia: dividir pelo fatorial da quantidade de letras que 
se repetem. Isto é, temos nesta questão três letras “V” e três letras “A” repetidas. 
Calculando, temos: = 140 formas diferentes de decorações. 
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Permutação Circular
Será uma situação que ocorre quando temos grupos com n elementos distintos 
formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(n)=(n-1)!. 
Em que: (n-1) = número total de elementos a serem permutados.
Cálculo para exemplo: Pc(5)= 4!= 24
Exemplo: seja um conjunto com 4 pessoas K={A, B, C, D}. De quantos modos dis-
tintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retan-
gular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, 
teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, 
BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, 
DCBA}
Acontece que, junto a uma mesa “circular”, temos que:
ABCD = BCDA = CDAB = DABC
ABDC = BDCA = DCAB = CABD
ACBD = CBDA = BDAC = DACB
ACDB = CDBA = DBAC = BACD
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ADBC = DBCA = BCAD = CADB
ADCB = DCBA = CBAD = BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB}
Obs.:� vimos que na permutação circular a troca de alguns elementos não cria um 
novo agrupamento. Então, deveremos retirar aqueles que se repetem.
Obs.:� “A ordem de alguns elementos não altera a natureza.”
14. (CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 
participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para 
se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102.
Certo.
Nesta questão, temos uma permutação circular:
P6 = (6–1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos (p < n) de forma que os p ele-
mentos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie.
 
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www.grancursosonline.com.brArranjo simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo 
de p elementos.
Fórmula: A (n,p) = , n = número total de elementos/
 p = número de elementos a serem arranjados.
Cálculo para exemplo: A4,2 = = 12
4!
2!
15. (CESPE/ADAPTADA) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para 
serem protocolados. Um assistente da promotoria deve formar os códigos dos pro-
cessos, que devem conter, cada um deles, 7 caracteres. Os 3 primeiros caracteres 
são letras do conjunto {d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são números 
inteiros de 1024 a 1674.
Com base nessa situação, julgue o item subsequente. 
É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do códi-
go referente às 3 letras iniciais, sem que haja repetição de letra.
Errado.
Referente às três letras iniciais, temos o seguinte:
1º pela fórmula
Temos: n = 8, {d, f, h, j, l, m, o, q} e p = 3, {primeira parte do código}. 
2º pelo princípio multiplicativo
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8 × 7 × 6 = 336
 
16. (CESPE/BB/ADAPTADA) O número de países representados nos Jogos Pan-A-
mericanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 
3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas 
informações, julgue o item que se segue.
Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de 
cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o nú-
mero	de	possibilidades	diferentes	de	classificação	no	1º,	2º	e	3º	lugares	foi	igual	a	6.
Certo.
Referente às três primeiras posições: 
1º pela fórmula 
Temos: p = 3, {países	da	América	do	Norte}	e	n	=	3,	{três	primeiras	classificações}	
, sabendo que 0! = 1 
Temos 8 possibilidades para a primeira posição, 7 
possibilidades para a segunda e 6 possibilidades 
para a terceira posição, uma vez que não há re-
petição de caracteres.
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2º pelo princípio multiplicativo
3 × 2 × 1 = 6
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos (p < m), de forma que os p 
elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie.
Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada 
grupo de p elementos.
Fórmula: Cm,p = em que m = número total de elementos/
 p = número de elementos a serem combinados 
Cálculo para exemplo: C4,2 = = 6
4!
(4 – 2)!2!
Exemplo: seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações simples desses 4 
elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer 
elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão 
no conjunto:
Cs= {AB, AC, AD, BC, BD, CD}
Temos 3 possibilidades para a primeira posição, 
2 possibilidades para a segunda e 1 possibilidade 
para a terceira posição, uma vez que as possi-
bilidades vão diminuindo, pois não há como um 
atleta ocupar duas posições simultaneamente.
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Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, co-
missões,	turmas	etc.,	enfim,	termos	que	indicam	ideia	de	conjunto,	teremos	grupos	
nos	quais	a	ordem	não	importa,	ou	seja,	se	a	ordem	for	modificada,	não	teremos	
um novo agrupamento.
É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma 
vez que, se forem utilizados todos os elementos, obteremos apenas um grupo.”
Obs.:� “A ordem dos elementos não altera a natureza.”
Veja algumas questões envolvendo combinação: 
17. Em uma festa com 20 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez. Dessa 
forma, são possíveis quantos apertos de mão?
190.
Nessa questão, a ordem não altera a natureza, uma vez que se a pessoa “A” cum-
primentar a pessoa “B”, não torna necessário a pessoa “B” cumprimentar a pessoa 
“A”. Para que haja um aperto de mão, são necessárias duas pessoas (p = 2). 
Sendo assim, trata-se de combinação, podemos resolver de duas maneiras:
1ª pela fórmula
 apertos de mão.
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2ª sem fórmula
Para obter um aperto de mão, é necessária a presença de duas pessoas. Logo, 
iremos utilizar dois espaços: “_____X_____”; e para que possamos retirar os agru-
pamentos que se repetem, iremos dividir pelo fatorial da quantidade de espaços 
utilizados. 
, o numerador expressa 20 possibilidades para a primeira pessoa, e 
19 para a segunda pessoa. No denominador, temos 2 × 1, uma vez que representa 
o fatorial de 2 = 2!. O denominador tem a função de retirar os agrupamentos re-
petidos.
18. Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os ou-
tros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas havia na reunião, 
se foram trocados 55 apertos de mão?
11.
Esta questão apresenta a quantidade de apertos de mão e solicita a quantidade de 
pessoas presentes na reunião.
 
x2 – x = 110 – equação do 2º grau. x2 – x – 110 = 0, resolvendo a equação teremos:
S {–10, 11}, logo, iremos considerar a solução positiva. 
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19. (ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas 6 dezenas de um conjunto de 60 pos-
síveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ..., 60). Uma aposta simples (ou apos-
ta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que 
as 6 dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão 
entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apos-
tas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para 
ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja 
correto é:
a) 8.
b) 28.
c) 40.
d) 60.
e) 84.
Letra b.
Esta questão trata de uma combinação, uma vez que a ordem dos números não 
altera a aposta. Pedro sonhou com 8 números, sendo que 6 fazem parte de uma 
aposta simples. Logo, podemos ter:
 apostas simples 
diferentes (quantidade total)
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20. (CESPE/ADAPTADA) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética 
seguida de uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens.
Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas 
por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a 
quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior 
a 12.
Errado.
A questão indica a formação de comissões, na qual a ordem dos integrantes não 
altera a natureza da comissão. Sendo assim, trata-se de combinação.
 
Temos 10 comissões distintas.
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QUESTÕES DE CONCURSO
21. (CESPE/MPENAP/2015) Se, entre onze servidores previamente selecionados, 
forem	escolhidos:	 sete	 para	 compor	 determinada	 divisão,	 um	para	 chefiar	 essa	
divisão,	um	para	a	chefia	da	coordenação	correspondente,	um	para	a	diretoria	e	
um para a secretaria, haverá menos de 8.000 maneiras distintas de se fazer essas 
escolhas.
A partir dessas informações, julgue os itens seguintes considerando que, em cada 
fila,	a	ordem	das	pedras	é	definida	de	cima	para	baixo.	
22. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO/2015) O número de maneiras distintas de se obter 
uma	jogada	válida	em	que	as	primeiras	pedras	de	2	filas	sejam	amarelas	é	inferior	
a 700. 
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23. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO/2015) O número de maneiras distintas de se obter 
uma jogada válida é superior a 1.200. 
24. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO/2015) O número de maneiras distintas de se obter 
uma	jogada	válida	em	que	as	primeiras	pedras	de	cada	fila	sejam	sempre	verdes	
é inferior a 20.
Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção de um ór-
gão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis 
de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem 
das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordena-
dor, um relator e um técnico, julgue os próximos itens.
25. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) A quantidade de 
maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos servidores para a monta-
gem de uma equipe de análise é superior a 2.500.
26. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) Considerando-se 
que cada servidor do órgão possa participar de somente uma equipe de análise e 
que cada equipe não possa analisar mais que um programa de governo ao mesmo 
tempo,	é	correto	afirmar	que	a	capacidade	operacional	do	órgão	está	limitada	ao	
acompanhamento simultâneo de cinco programas de governo.
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27. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) A quantidade de 
maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanha-
dos pelo órgão é inferior a 4.000.
De um grupo de seis servidores de uma organização, três serão designados para o 
conselho de ética como membros titulares, e os outros três serão os seus respec-
tivos suplentes. Em caso de falta do membro titular no conselho, somente poderá 
assumir seu lugar o respectivo suplente. 
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.
28. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) Tão logo os 
membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem esco-
lhidos os suplentes.
29. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) O número de 
maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos su-
plentes é superior a 100.
O colegiado do Supremo Tribunal Federal (STF) é composto por 11 ministros, res-
ponsáveis por decisões que repercutem em toda a sociedade brasileira. No jul-
gamento de determinados processos, os ministros votam pela absolvição ou pela 
condenação dos réus de forma independente uns dos outros. A partir dessas in-
formações e considerando que, em determinado julgamento, a probabilidade de 
qualquer um dos ministros decidir pela condenação ou pela absolvição do réu seja 
a mesma, julgue os itens seguintes.
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30. (CESPE/TÉCNICO JUDICIÁRIO – TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO/STF/2013) 
Se, no julgamento de determinado réu, 8 ministros votarem pela absolvição e 3 
ministros votarem pela condenação, a quantidade de maneiras distintas de se atri-
buir os votos aos diferentes ministros será inferior a 170.
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o 
trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes 
imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassa-
gens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial 
ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informa-
ções, julgue o item.
31. (CESPE/AGENTE/PRF/2012) Se cada equipe for formada por 3 agentes, então, 
a partir dos 12 agentes da unidade, a quantidade de maneiras diferentes de se for-
mar essas equipes será superior a 200. 
Dez policiais federais – dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agen-
tes – foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas 
localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas 
equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por 
um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
32. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Se todos os policiais em questão estiverem habilita-
dos a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se 
organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais 
quatro passageiros – será superior a 100. 
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Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o 
trânsitopara, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes 
imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassa-
gens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial 
ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informa-
ções, julgue o item.
33. (CESPE/AGENTE/PRF/2012) Existem 12!/(3!)4 maneiras de se montar quatro 
equipes, cada uma delas com 3 agentes. 
34. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as 
referidas equipes. 
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 
12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 
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GABARITO
21. C
22. E
23. C
24. C
25. C
26. C
27. E
28. E
29. C
30. C
31. C
32. C
33. C
34. E
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 
12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 
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GABARITO COMENTADO
21. (CESPE/MPENAP/2015) Se, entre onze servidores previamente selecionados, fo-
rem	escolhidos:	sete	para	compor	determinada	divisão,	um	para	chefiar	essa	divisão,	
um	para	a	chefia	da	coordenação	correspondente,	um	para	a	diretoria	e	um	para	a	
secretaria, haverá menos de 8.000 maneiras distintas de se fazer essas escolhas.
Certo.
Temos uma questão de Combinação: 
Pelo princípio multiplicativo, temos: 
Pela fórmula, temos: C11,7 . C4,1. C3,1 . C2,1 .C1,1
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A partir dessas informações, julgue os itens seguintes considerando que, em cada 
fila,	a	ordem	das	pedras	é	definida	de	cima	para	baixo.	
22. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO/2015) O número de maneiras distintas de se obter 
uma	jogada	válida	em	que	as	primeiras	pedras	de	2	filas	sejam	amarelas	é	inferior	
a 700. 
Errado.
Os	valores	que	estão	nos	quadradinhos	significam	as	possibilidades	de	fichas	para	
aquele local. 
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23. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO/2015) O número de maneiras distintas de se obter 
uma jogada válida é superior a 1.200. 
Certo.
24. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO/2015) O número de maneiras distintas de se obter 
uma	jogada	válida	em	que	as	primeiras	pedras	de	cada	fila	sejam	sempre	verdes	
é inferior a 20.
Certo.
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Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção de um ór-
gão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis 
de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem 
das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordena-
dor, um relator e um técnico, julgue os próximos itens.
25. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) A quantidade de 
maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos servidores para a monta-
gem de uma equipe de análise é superior a 2.500.
Certo.
Nesse item temos que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, um 
relator e um técnico, ou seja, a ordem de escolha é importante devido ao cargo. 
Logo teremos o seguinte:
 15 × 14 × 13 = 2730
26. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) Considerando-se 
que cada servidor do órgão possa participar de somente uma equipe de análise e 
que cada equipe não possa analisar mais que um programa de governo ao mesmo 
tempo,	é	correto	afirmar	que	a	capacidade	operacional	do	órgão	está	limitada	ao	
acompanhamento simultâneo de cinco programas de governo.
Nessas posições temos 15 possibilidades para o 
primeiro servidor, 14 possibilidades para o segun-
do e 13 possibilidades para o terceiro servidor. 
Não há divisões pois a ordem altera a natureza.
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Certo.
Temos 15 programas de governo:
1 programa
2 programas
3 programas
4 programas
5 programas
6 programas
7 programas
8 programas
9 programas
10 programas
11 programas
12 programas
13 programas
14 programas
15 programas
Dessa	forma,	é	correto	afirmar	que	a	capacidade	operacional	do	órgão	está	limitada	
ao acompanhamento simultâneo de cinco programas de governo, cada programa 
por uma única equipe.
EQUIPE 01 
EQUIPE 02
EQUIPE 03
EQUIPE 04 
EQUIPE 05 
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27. (CESPE/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) A quantidade de 
maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanha-
dos pelo órgão é inferior a 4.000.
Errado.
Neste item, temos que a ordem da escolha dos programas de governo não altera a 
natureza, conforme fundamentação teórica.
Vejamos:
 30 × 29 × 28 = 4.060
 3 2 1 
De um grupo de seis servidores de uma organização, três serão designados para o 
conselho de ética como membros titulares, e os outros três serão os seus respec-
tivos suplentes. Em caso de falta do membro titular no conselho, somente poderá 
assumir seu lugar o respectivo suplente. 
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens.
28. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) Tão logo os 
membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem esco-
lhidos os suplentes.
Nessas posições temos 30 possibilidades para o pri-
meiro programa, 29 possibilidades para o segundo 
e 28 possibilidades para o terceiro programa. Há 
divisões pois a ordem não altera a natureza.
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Errado.
Para a escolha dos suplementes, é interessante perceber que a ordem importa, 
uma vez que, na falta do membro titular no conselho, somente poderá assumir seu 
lugar o respectivo suplente. 
 3 × 2 × 1 = 6
29. (CESPE/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/TCDF/2014) O número de 
maneiras de serem selecionados os três membros titulares e seus respectivos su-
plentes é superior a 100.
Certo.
 6 × 5 × 4 = 20 e (x) 3 × 2 × 1 = 6
 3 2 1 
Iremos multiplicar os resultados: 20 x 6 = 120 maneiras de serem selecionados.
Nessas posições temos 3 possibilidades para o pri-
meiro suplemente, 2 possibilidades para o segun-
do e 1 possibilidade para o terceiro suplemente. 
Não há divisões pois a ordem altera a natureza.
Nessas posições temos 3 possibilidades para o pri-
meiro suplemente, 2 possibilidades para o segun-
do e 1 possibilidade para o terceiro suplemente. 
Não há divisões pois a ordem altera a natureza.
Nessas posições temos 6 possibilidades para o pri-
meiro suplemente, 5 possibilidades para o segun-
do e 4 possibilidades para o terceiro suplemente. 
Há divisões pois a ordem não altera a natureza.
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O colegiado do Supremo Tribunal Federal (STF) é composto por 11 ministros, res-
ponsáveis por decisões que repercutem em toda a sociedade brasileira. No jul-
gamento de determinados processos, os ministros votam pela absolvição ou pela 
condenação dos réus de forma independente uns dos outros. A partir dessas in-
formações e considerando que, em determinado julgamento, a probabilidade de 
qualquer um dos ministros decidir pela condenação ou pela absolvição do réu seja 
a mesma, julgue os itens seguintes.
30. (CESPE/TÉCNICO JUDICIÁRIO – TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO/STF/2013) 
Se, no julgamento de determinado réu, 8 ministros votarem pela absolvição e 3 
ministros votarem pela condenação, a quantidade de maneiras distintas de se atri-
buir os votos aos diferentes ministros será inferior a 170.
Certo.
Podemos ilustrar a situação da seguinte maneira: A (absolvição) e C (condenação):
Temos uma permutação com repetição: AAAAAAAACCC
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para 
o trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes 
imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassa-
gens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial 
ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informa-
ções, julgue o item.
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31. (CESPE/AGENTE/PRF/2012) Se cada equipe for formada por 3 agentes, então, 
a partir dos 12 agentes da unidade, a quantidade de maneiras diferentes de se for-
mar essas equipes será superior a 200. 
Certo.
A questão trata de uma combinação em que teremos , isto é, uma equipe 
com 3 agentes, em que teremos pelo Princípio Multiplicativo as possibilidades mul-
tiplicadas no numerador e, como se trata de combinação, dividimos por fatorial 3 
no denominador para retirar as equipes repetidas.
Pela fórmula podemos ter: C12,3 
Dez policiais federais – dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agen-
tes – foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas 
localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas 
equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por 
um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
32. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Se todos os policiais em questão estiverem habilita-
dos a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se 
organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares – motorista e mais 
quatro passageiros – será superior a 100. 
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Certo.
São cinco posições, pelo Princípio Multiplicativo, temos:
______ x _______x _______x_______x______.
Para cada posição acima temos o seguinte: 
__5__ x __4___x __3___x__2___x__1___. = 120 Possibilidades
Podemos também concluir que se trata de uma permutação de 5 pessoas, isto é, 
P5= 5!
Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o trân-
sito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes impruden-
tes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassagens indevidas 
e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial ofensivo tão pe-
rigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informações, julgue o item.
33. (CESPE/AGENTE/PRF/2012) Existem 12!/(3!)4 maneiras de se montar quatro 
equipes, cada uma delas com 3 agentes. 
Certo.
A questão trata de uma combinação em que teremos , 
isto é, quatro equipes com 3 agentes, em que teremos pelo Princípio Multiplicativo 
as possibilidades multiplicadas no numerador e, como se trata de uma combinação, 
dividimos por fatorial 3 no denominador para retirar as equipes repetidas.
Pela fórmula podemos ter: 
C12,3. C9,3. C6,3 C3,3.
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34. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as 
referidas equipes. 
Errado.
Se as equipes devem ser formadas por um delegado, um perito, um escrivão e dois 
agentes, temos que realizar uma combinação:
C2,1 . C2,1 . C2,1 . C4,2 = 48
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AUTOAVALIAÇÃO
1. (CESPE/2016) Julgue o seguinte item, relativos a raciocínio lógico, a princípios 
de contagem e probabilidade e a operações com conjuntos.
Situação hipotética: A ANVISA, comobjetivo de realizar a regulação de um novo 
medicamento, efetua as análises laboratoriais necessárias. Essas análises são as-
sistidas por um grupo de 4 dos seus 8 técnicos farmacêuticos. Desses técnicos, 
3	possuem	cargo	de	chefia	de	equipe	e	por	 isso	não	 trabalham	 juntos.	Asserti-
va: Nessa situação, considerando que em cada uma das equipes participa sempre 
apenas um dos três técnicos farmacêuticos chefes, então a quantidade de equipes 
distintas com 4 técnicos farmacêuticos que poderão ser formadas é inferior a 25.
2. (CESPE/2016) 
A questão da mobilidade urbana é um dos problemas que mais preocupam a popu-
lação	de	grandes	centros,	como	a	cidade	de	São	Paulo.	A	figura	apresentada	mos-
tra as possibilidades de vias, em um centro urbano, para se deslocar de um ponto 
inicial	até	um	ponto	final,	passando	pelos	pontos	intermediários	A,	B,	C,	D,	E,	F,	G,	
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H	ou	I.	Cada	seta	indica	o	sentido	do	fluxo	de	uma	via	ligando	dois	desses	pontos.	
Dois	caminhos	que	permitem	o	deslocamento	desde	o	ponto	inicial	até	o	ponto	final	
são denominados distintos se um deles incluir pelo menos uma via distinta. Con-
siderando essas informações, a quantidade de caminhos distintos que permitem o 
deslocamento	do	ponto	inicial	até	o	ponto	final	é
a) inferior a 7.
b) igual a 7.
c) igual a 8.
d) igual a 9.
e) superior a 9.
3. (CESPE/2015) Em um campeonato de futebol amador de pontos corridos, do 
qual participam 10 times, cada um desses times joga duas vezes com cada ad-
versário, o que totaliza exatas 18 partidas para cada. Considerando-se que o time 
vencedor	do	campeonato	venceu	13	partidas	e	empatou	5,	é	correto	afirmar	que	
a quantidade de maneiras possíveis para que esses resultados ocorram dentro do 
campeonato é.
a) superior a 4.000 e inferior a 6.000.
b) superior a 6.000 e inferior a 8.000.
c) superior a 8.000.
d) inferior a 2.000.
e) superior a 2.000 e inferior a 4.000
4. (CESPE/2015) Determinado órgão público é composto por uma diretoria geral 
e quatro secretarias; cada secretaria é formada por três diretorias; cada diretoria 
tem quatro coordenações; cada coordenação é constituída por cinco divisões, com 
um chefe e sete funcionários subalternos em cada divisão.
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A respeito desse órgão público, julgue o item seguinte, sabendo que cada executivo 
e cada funcionário subalterno só pode ocupar um cargo nesse órgão.
Se, entre onze servidores previamente selecionados, forem escolhidos: sete para 
compor	determinada	divisão,	um	para	chefiar	essa	divisão,	um	para	a	chefia	da	
coordenação correspondente, um para a diretoria e um para a secretaria, haverá 
menos de 8.000 maneiras distintas de se fazer essas escolhas.
5. (CESPE/2015) As prestações de contas das campanhas dos 3 candidatos a go-
vernador de determinado estado foram analisadas por 3 servidores do TRE desse 
estado. Considerando que um servidor pode analisar nenhuma, uma ou mais de 
uma prestação de contas e que, por coincidência, cada um dos 3 candidatos é pa-
rente de um dos 3 servidores, julgue o item que se segue. 
A quantidade de maneiras distintas de se distribuírem as prestações de contas en-
tre os 3 servidores de modo que nenhum deles analise as contas de um parente é 
superior a 5.
6. (CESPE/2014) Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino 
e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras 
e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais polícia cada uma das quadras.
Com referência a essa situação, julgue o item subsequente.
Se	a	escala	dos	policiais	for	feita	de	modo	a	diversificar	as	duplas	que	policiam	as	
quadras, então, se determinada dupla policiar a quadra X em determinado dia, 
essa mesma dupla voltará a policiar a quadra X somente mais de seis meses após 
aquele dia.
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7. (CESPE/2014) Um grupo de 15 turistas que planeja passear pelo rio São Fran-
cisco, no Canyon do Xingó, em Sergipe, utilizará, para o passeio, três barcos: um 
amarelo, um vermelho e um azul. Cada barco tem capacidade máxima para 8 ocu-
pantes e nenhum deles deixará o porto com menos de 3 ocupantes.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.
A quantidade de maneiras distintas de distribuir os 15 turistas pelos 3 barcos, de 
forma que cada barco seja ocupado por exatamente 5 turistas, é superior a 22 × 32 
× 72 × 112.
8. (CESPE/2014) Um grupo de 15 turistas que planeja passear pelo rio São Fran-
cisco, no Canyon do Xingó, em Sergipe, utilizará, para o passeio, três barcos: um 
amarelo, um vermelho e um azul. Cada barco tem capacidade máxima para 8 ocu-
pantes e nenhum deles deixará o porto com menos de 3 ocupantes. 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. 
A quantidade de maneiras distintas de escolher 8 turistas para ocupar o barco azul 
e 7 para ocupar o barco amarelo é inferior a 82 × 72.
9. (CESPE/2014) Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a 
direção de um órgão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de 
governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores 
para a montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta 
por um coordenador, um relator e um técnico, julgue os próximos itens.
A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos referidos servidores 
para a montagem de uma equipe de análise é superior a 2.500.
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10. (CESPE/2014)	A	análise	de	requerimentos	de	certificação	de	entidades	educa-
cionais, no âmbito do Ministério da Educação, será realizada por uma equipe for-
mada por, no mínimo, um analista contábil, um analista educacional e um analista 
processual. 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos.
A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas 
processuais, é possível formar mais de 300 equipes distintas com exatamente um 
analista de cada especialidade em cada equipe.
11. (CESPE/2014) Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 
do sexo feminino, julgue o item abaixo.
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa repartição 
de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.
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