Listas-SMA301

Prévia do material em texto

Lista de exerc´ıcios de SMA-301 - Ca´lculo I - Prof. Valdir Menegatto #1
1. Dentre as afirmac¸o˜es abaixo, ratifique as verdadeiras e deˆ um contra-exemplo para as
falsas.
(i) A soma de um racional com outro irracional e´ sempre um irracional.
(ii) Se a e b sa˜o nu´meros irracionais enta˜o (a+ b)/2 e´ irracional.
(iii) O produto de um nu´mero irracional por outro racional e´ sempre um nu´mero irra-
cional.
(iv) Se x e´ irracional enta˜o x−1 tambe´m e´.
(v) Se x e y sa˜o irracionais e x2 − y2 e´ um racional na˜o nulo enta˜o x + y e x − y sa˜o
ambos irracionais.
(vi) Existe um nu´mero real x tal que x2 e´ irracional e x4 e´ racional.
(vii) Existem irracionais x e y de modo que ambos x+ y e xy sa˜o racionais.
2. Resolver as igualdades abaixo:
|2x− 1| = −3
∣∣∣∣x− 2x+ 1
∣∣∣∣ = 2 |(x− 1)(x+ 2)| = 2 2|x− 3|+ |x− 1| = 3
|x2− 5x+ 6| = x2− 5x+ 6
√
x2 + 1 = x |x− 5| = |2x− 3| |x− 1| = −|1−x|
3. Resolver as desigualdades abaixo:
x+ 1
2− x <
x
3 + x
1
3x− 7 ≥
4
3− 2x
2x− 1
x+ 4
<
x
x+ 4
≤ x+ 1
x+ 4
0 < x2 − 1 ≤ 1 − 1 < x+ 1
x− 1 < 1 4 ≤ |x+ 4| < 6 |x+ 2|+ |x− 2| ≤ 12
||x+ 1| − |x− 1|| < 1
∣∣∣∣ x+ 22x− 3
∣∣∣∣ < 4 ∣∣∣∣ 52x− 1
∣∣∣∣ ≥ ∣∣∣∣ 1x− 2
∣∣∣∣ x4 < x2
4. Resolver |x− 1|+ |2x− 3| − |3x− 2| ≤ 5.
5. O que voceˆ pode me dizer sobre a fo´rmula abaixo? Vale sempre?
x2 =
(
x+ |x|
2
)2
+
(
x− |x|
2
)2
6. Assuma que � e´ um nu´mero real positivo conhecido. Em cada item abaixo, verifique
que e´ poss´ıvel encontrar um outro nu´mero positivo δ, que depende de �, de modo que
a frase toda seja verdadeira.
(i) Se |x−√3| < δ enta˜o |√3x− 3| < �;
(ii) Se |x− 5| < δ enta˜o |x2 − 25| < �;
(iii) Se |x−√7| < δ enta˜o |x2 − 7| < �;
(iv) Se |x− 2| < δ enta˜o |√x−√2| < �.
7. Se |x− 2| < δ e δ < 1, deduza que |x3 − 8| < 19δ. Sugesta˜o: fatore x3 − 8.
1
8. Tente justificar as afirmac¸o˜es abaixo:
(i) Se a ≥ 0 e b ≥ 0 e a2 = b2 enta˜o a = b;
(ii) Se a < b enta˜o 2a < a+ b < 2b;
(iii) Se 0 < a < b enta˜o 2a < 2
√
ab < a+ b.
(iv) Se a e b sa˜o nu´meros positivos enta˜o 2ab ≤ √ab(a+ b). Para quais valores de a e b
vale a igualdade?
(v) Se a e´ um nu´mero positivo enta˜o a + a−1 ≥ 2. Para quais valores de a temos
igualdade?
(vi) Verifique que se a, b ∈ R enta˜o √2(a+ b) ≤ 2√a2 + b2.
9. Verifique que a desigualdade triangular ||a| − |b|| ≤ |a− b| e´ equivalente a` desigualdade
ab ≤ |ab|.
10. A divisa˜o a´urea de um segmento de comprimento l e´ a divisa˜o deste em duas partes na
qual a parte menor esta´ para a maior assim como a maior esta´ para o segmento todo.
Se as partes valem x e l− x respectivamente, e l ∈ Q, tente deduzir que x ∈ R−Q. Se
l ∈ R−Q, da´ para deduzir alguma coisa?
2