Lista de Exercícios da disciplina Calculo a uma variavel

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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIDOM 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
DISCIPLINA DE CÁLCULO A UMA VARIÁVEL 
1° PERÍODO 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
_____________________________________________________________________ 
 
PREFÁCIO 
 
Um profissional formado em Engenharia tem uma sólida formação científica e 
tecnológica, construída a partir de um conjunto de disciplinas básicas e 
complementares, que o capacitam a ter uma visão geral para encarar os problemas de 
maneira global, em diversas áreas de atuação. Sendo assim, uma das inteligências 
mais importante e exigida, que deve ser desenvolvida nesse profissional, para a 
resolução de problemas é a lógico-matemática. Para desenvolver e aprimorar essa 
inteligência é necessário, entre outras coisas, a prática intensa e análise de exercícios 
das disciplinas com base matemática. 
As listas de exercícios de cada unidade foram elaboradas para que você possa 
treinar e aprimorar os seus conhecimentos, relacionando o que foi visto na teoria e 
aplicando-os na prática. É recomendado os exercícios sejam resolvidos, 
primeiramente, passo a passo na mão e sem o auxílio de softwares que dão a 
resposta direta, e somente depois, quando possível, resolvê-los pelos softwares (por 
exemplo Wolfram Alpha ou Graphmática) ou calculadora gráfica (por exemplo HP 
50g). 
Não deixe de procurar pela orientação de seu professor/tutor para esclarecer 
as dúvidas que provavelmente irão surgir e, sempre que possível, busque resolver 
também os exercícios presentes nos livros recomendados nas referências. 
Bons estudos! 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 1 
PRÉ-CÁLCULO: CONJUNTOS E INTERVALOS 
 
1) Determine se o número real é racional ou irracional: 
a) 0,25 b) 
3𝜋
2
 c) 4,3451 
d) √64
3
 e) √60
3
 
 
2) Determine o conjunto resultante das operações abaixo, sendo que 𝑨 =
{𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎} e 𝑩 = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖} 
a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B 
 
3) Represente os seguintes intervalos: 
a) números reais maiores do que 4, e menores do que 9 
b) números reais menores ou iguais a -2, e maiores do que 2 
c) números reais maiores ou iguais a 0, e menores do que 5 
 
4) Calcule os resultados dos valores absolutos: 
a) |6| b) |−3| c) |−5 − 9| 
c) |4 + 8| 
 
5) Determine o conjunto de valores 𝒙 reais que satisfazem as sentenças: 
a) |𝑥| = 2 b) |𝑥 − 3| = 2 
 
Para Pensar: Níveis de Produção 
Além dos custos fixos de despesas gerais de $500 por dia, o custo da produção de x 
unidades de um item é $2,50 por unidade. Durante o mês de agosto, o custo total de 
produção variou de uma alta de $1325 para uma baixa de $1200 por dia. Determine os 
níveis de produção alto e baixo durante o mês. 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 2 
PRÉ-CÁLCULO: EQUAÇÕES E FUNÇÕES 
 
1) Determine o conjunto solução das desigualdades: 
a) 5𝑥 + 2 > 𝑥 − 6 b) 2𝑥² − 𝑥 < 6 c) −4 < 2𝑥 − 3 < 4 
d) |𝑥 − 5| < 2 e) |10 − 𝑥| > 4 
 
2) Marque os pontos (-1,2), (3,4), (0,0), (3,0) e (-2,-3) no plano cartesiano. 
 
3) Esboce os gráficos de: 
a) 𝑦 = 7 − 3𝑥 b) 𝑦 = 𝑥² − 2 
 
4) Quais gráficos representam 𝒚 como uma função de 𝒙? 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
 
5) Defina a função composta 𝒇 ∘ 𝒈 de 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 7 b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥² + 1 
 
Para Pensar: Propriedade de Empresa 
Você possui dois restaurantes. De 2001 a 2007, as vendas R1 (em milhares de 
dólares) de um dos restaurantes podem ser modeladas por 
𝑅1 = 690 − 8𝑡 − 0,8𝑡², com 𝑡 = 1,2,3,4,5,6,7 
em que t=1 representa 2001. Durante o mesmo período de sete anos, as vendas de 
R2 (em milhares de dólares) do segundo restaurante podem ser modeladas por 
𝑅2 = 458 + 0,78𝑡, com 𝑡 = 1,2,3,4,5,6,7 
Escreva uma função que represente as vendas totais dos dois restaurantes. 
 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 3 
PRÉ-CÁLCULO: FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
1) Quais das equações abaixo definem 𝒚 como uma função de 𝒙? Explique seu 
raciocínio 
a) 𝑥 + 𝑦 = 1 b) 𝑥² + 𝑦² = 1 c) 𝑥² + 𝑦 = 1 d) 𝑥 + 𝑦² = 1 
 
2) Determine se a função 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙² − 𝟒 é par ou ímpar 
 
3) Determine a função inversa de 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) =
1
3
𝑥 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4 
d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 e) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ 
 
Para Pensar: Medicamentos Controlados 
O valor 𝑑 (em bilhões de dólares) gasto com medicamentos controlados nos Estados 
Unidos de 1991 a 2005 (veja a figura) pode ser aproximado pelo modelo 
𝑑(𝑡) = {
𝑦 = 0,68𝑡2 − 0,3𝑡 + 45, 1 ≤ 𝑡 ≤ 8
𝑦 = 16,7𝑡 − 45, 9 ≤ 𝑡 ≤ 15
 
em que t representa o ano, com t=1 correspondendo a 1991. Determine os valores 
gastos com medicamentos controlados em 1997, 2000 e 2004. 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 4 
CÁLCULO: LIMITES E CONTÍNUIDADE (PARTE I) 
 
1) Determine os seguintes limites, utilizando a abordagem por tabelas ou 
gráficos 
a) lim
𝑥→1
𝑥2 + 1 b) lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
 c) lim
𝑥→1
|𝑥−1|
𝑥−1
 d) lim
𝑥→1
𝑥−1
√𝑥−1
 
 
2) Determine os limites laterais e bilaterais dos seguintes gráficos: 
a) 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007) 
 
b) 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007) 
 
3) Para a função f cujo gráfico está na figura abaixo, obtenha: 
a) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) b) lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) d) 𝑓(3) 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007) 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 5 
CÁLCULO: LIMITES E CONTÍNUIDADE (PARTE II) 
 
1) Determine os seguintes limites: 
a) lim
𝑥→2
𝑥2 + 2𝑥 − 3 b) lim
𝑥→0
sen 9𝑥
𝑥
 c) lim
𝑥→1
𝑥3−1
𝑥−1
 
d) lim
𝑥→−3
𝑥2+𝑥−6
𝑥+3
 e) lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
 f) lim
𝑥→3
𝑥2−6𝑥+9
𝑥−3
 
 
2) Determine se as seguintes funções são contínuas no ponto 𝒙 = 𝟐 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−4
𝑥−2
 b) 𝑔(𝑥) = {
𝑥2−4
𝑥−2
, 𝑥 ≠ 2
3, 𝑥 = 2
 c) ℎ(𝑥) = {
𝑥2−4
𝑥−2
, 𝑥 ≠ 2
4, 𝑥 = 2
 
 
3) Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Se a função tiver 
uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são 
satisfeitas. 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥
 b) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥+1
 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
d) 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥 − 𝑥² e) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥²−1
 
 
Para Pensar: Conscientização do Consumidor 
O custo C (em dólares) para fazer x cópias em uma loja de fotocópias é dado abaixo. 
𝐶(𝑥) = {
0,15𝑥, 0 < 𝑥 ≤ 25
0,10𝑥, 25 < 𝑥 ≤ 100
0,07𝑥, 100 < 𝑥 ≤ 500
0,05𝑥, 𝑥 > 500
 
Em quais valores a função não é contínua? 
 
 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 6 
CÁLCULO: DERIVADAS (PARTE I) 
 
1) Encontre uma equação para a reta tangente à parábola 𝒚 = 𝒙² no ponto 𝑷(𝟏, 𝟏), 
e calcule a inclinação. 
 
2) Determine a derivada das funções abaixo, utilizando a definição por limite, e 
faça os gráficos de 𝒇 e 𝒇’ juntos. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥² − 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 𝑥 
 
3) Determine as derivadas de ordem superior das funções abaixo: 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 2 b) 𝑓(𝑥) = 5𝑥6 + 4𝑥2 − 10𝑥 + 7 
 
 
Para Pensar: Receita da Polo Ralph Lauren 
O gráfico representa a receita 𝑅 (em milhões de dólares por ano) da Polo Ralph 
Lauren de 1999 a 2005, em que 𝑡 representa o ano, com 𝑡 = 9 correspondendo a 
1999. Estime as inclinações do gráfico para os anos de 2002 e 2004. (Fonte: Polo 
Ralph Lauren Corp.) 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 7 
CÁLCULO: DERIVADAS (PARTE II) 
 
1) Encontre as derivadas das funções abaixo utilizando a regra do produto e 
quociente: 
a) 𝑓(𝑥) = (4𝑥² − 1)(7𝑥³ + 𝑥) b) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2𝑥2)(5 + 4𝑥) 
c) 𝑓(𝑥) = (
1
𝑥
+ 1) (𝑥 − 1) d) 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
2𝑥+3
 
e) 𝑓(𝑥) =
𝑥3+2𝑥2−1
𝑥+5
 f) 𝑓(𝑥) =
3−(
1
𝑥
)
𝑥+5
 
 
2) Utilize a regra da cadeia para determinar a derivada das funções: 
a) 𝑓(𝑥) = (𝑥² + 1)³ b) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥3) 
 
3) Use a diferenciação implícita para encontrar 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 
a) 5𝑦2 + sen 𝑦 = 𝑥² b) 𝑦³ + 𝑦² − 5𝑦− 𝑥² = −4 
 
4) Encontre 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙𝟐−𝟒
𝒙−𝟐
 aplicando a Regra de L’Hôpital 
 
 
Para Pensar: Pesquisa & Desenvolvimento 
A tabela mostra o montante 𝐴 (em bilhões de dólares por ano) gasto em P&D nos 
Estados Unidos de 1980 a 2004, em que t é o ano, e 𝑡 = 0 corresponde a 1980. 
Aproxime a taxa de variação média de 𝐴 durante cada período. (Fonte: U.S. National 
Science Foundation) 
a) 1980 – 1985 b) 1985 – 1990 c) 1990 – 1995 
d) 1995 – 2000 e) 1980 – 2004 f) 1990 – 2004 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 8 
CÁLCULO: DERIVADAS (PARTE III) 
 
1) Determine os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −
3
2
𝑥² d) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 4)
2
3⁄ 
 
2) Determine todos os extremos relativos das funções 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 36𝑥 + 14 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥³ 
 
3) Determine os valores mínimo e máximo absolutos das funções nos intervalos 
dados: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 2, [0, 5] b) 𝑓(𝑥) = 2(3 − 𝑥), [-1, 2] 
 
4) Determine os intervalos nos quais o gráfico da função é côncavo para cima ou 
para baixo, e também seus pontos de inflexão 
a) 𝑓(𝑥) =
6
𝑥2+3
 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 + 1 
 
5) Analise e esboce as curvas dos gráficos das funções 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 9𝑥 + 5 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 12𝑥3 + 48𝑥2 − 64𝑥 
 
 
Para Pensar: Custo Mínimo 
Uma estação de energia fica ao lado de um rio que tem 0,5 milha de largura e uma 
fábrica fica 6 milhas adiante, do outro lado do rio (veja a figura). O custo para instalar 
fios de energia sobre a terra é de $ 18 por pé e de $ 25 por pé para instalar fios sob a 
água. Escreva uma função do custo para instalar os fios de energia da estação até a 
fábrica. Use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da sua função. Estime o valor 
de 𝑥 que minimiza o custo. 
 
Fonte: Larson (2011) 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 9 
CÁLCULO: INTEGRAL (PARTE I) 
 
1) Determine as integrais indefinidas 
a) ∫
1
2
𝑑𝑥 b) ∫ 1 𝑑𝑥 c) ∫ −5 𝑑𝑥 
d) ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 e) ∫
1
𝑥³
𝑑𝑥 f) ∫ √𝑥 𝑑𝑥 
g) ∫(𝑥 + 2) 𝑑𝑥 h) ∫(3𝑥4 − 5𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 
 
2) Calcule as integrais definidas 
a) ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
2
0
 b) ∫ (4𝑥 + 1)² 𝑑𝑥
1
0
 c) ∫ 𝑒2𝑥 𝑑𝑥
3
0
 
d) ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥
2
1
 e) ∫ −3√𝑥 𝑑𝑥
4
1
 
 
Para Pensar: Tomada de Decisão 
O custo unitário 𝑐 de se produzir CD players durante um período de dois anos é 
modelado por 
𝑐 = 0,005𝑡2 + 0,01𝑡 + 13,15 0 ≤ 𝑡 ≤ 24 
em que 𝑡 é o tempo em meses. Aproxime o custo médio por unidade durante o 
período de dois anos. O custo médio por unidade será menor que $15? 
Dica: o custo médio pode ser encontrado por meio da integração de 𝑐 no intervalo 
[0, 24] 
 
 
 
 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 10 
CÁLCULO: INTEGRAL (PARTE II) 
 
1) Determine as integrais indefinidas: 
a) ∫ √1 − 3𝑥 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥√𝑥2 − 1 𝑑𝑥 c) ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 
d) ∫ 𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 e) ∫ 𝑥3 cos( 𝑥4 + 2) 𝑑𝑥 f) ∫ 2𝑥 cos(𝑥2) 𝑑𝑥 
g) ∫ 3𝑥2 sen(𝑥3) 𝑑𝑥 h) ∫ 2𝑥(𝑥2 + 9)5 𝑑𝑥 i) ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
 
2) Determine as integrais definidas: 
a) ∫ 𝑥²√𝑥3 + 1
2
0
 𝑑𝑥 b) ∫ tg³ 𝑥
𝜋 4⁄
0
sec² 𝑥 𝑑𝑥 c) ∫ √2𝑥 + 1
4
0
 𝑑𝑥 
d) ∫
𝑑𝑥
(3−5𝑥)²
2
1
 𝑑𝑥 e) ∫ tg−1 𝑥
1
0
 𝑑𝑥 f) ∫ ln 𝑥
3
1
 𝑑𝑥 
 
Para Pensar: Marketing 
Após um teste de marketing de um novo item no cardápio, um restaurante de fast-food 
prevê que as vendas do novo item crescerão conforme o modelo 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
=
2𝑡
(𝑡+4)²
 
em que 𝑡 é o tempo em semanas e 𝑆 são as vendas (em milhares de dólares). 
Determine as vendas do item do cardápio em dez semanas. 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 11 
CÁLCULO: INTEGRAL (PARTE III) 
 
1) Use a Regra do Trapézio e a Regra do Ponto médio, com 𝑛 = 5, para aproximar a 
integral ∫ (
1
𝑥
) 𝑑𝑥
2
1
 
 
2) Use a Regra do Ponto médio com 𝑛 = 10 para aproximar ∫ 𝑒𝑥²𝑑𝑥
1
0
 
 
3) Use a Regra de Simpson, com 𝑛 = 10, para aproximar a integral ∫ (
1
𝑥
) 𝑑𝑥
2
1
 
 
 
Para Pensar: Transferência de Dados 
A Figura abaixo mostra o tráfego de dados através de uma linha direta conectando os 
Estados Unidos à SWITCH, a rede acadêmica e de pesquisa da Suíça, no dia 10 de 
fevereiro de 1998. D(t) fornece dados em processamento, medidos em megabits por 
segundo (Mb/s). Use a Regra de Simpson para dar uma estimativa da quantidade total 
de dados transmitidos através dessa linha até as 12 horas daquele dia. 
 
Fonte: Stewart (2009) 
 
 
 
 
UNIDADE DE APRENDIZAGEM 12 
CÁLCULO: INTEGRAL (PARTE IV) 
 
1) Calcule a área da região entre os gráficos de 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 10 e 𝑔(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥² 
acima de [1, 3]. 
 
2) Encontre a área entre os gráficos de 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 − 7 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 12, ao longo 
de [-2, 5]. 
 
3) Encontre a área da região limitada acima por 𝑦 = 𝑒𝑥, e abaixo por 𝑦 = 𝑥, e limitada 
nos lados por 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1 
 
4) Encontre a área da região entre as parábolas 𝑦 = 𝑥² e 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥² 
 
5) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo 𝑥 da região sob a 
curva 𝑦 = √𝑥 de 0 até 1. 
 
6) Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo 𝑦 da região 
limitada por 𝑦 = 2𝑥² − 𝑥³ e 𝑦 = 0. 
 
7) Encontre o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo 𝑦 da região 
entre 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥² 
 
8) Calcule o comprimento de arco do gráfico de 𝑓(𝑥) =
1
12
𝑥3 + 𝑥−1 ao longo de [1, 3]. 
 
9) Encontre a área S da superfície do cone obtido pela rotação da reta 𝑦 = 2𝑥 em 
torno do eixo 𝑥, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4. 
 
10) O arco da parábola 𝑦 = 𝑥² de (1,1) para (2,4) é girado em torno do eixo 𝑦. 
Encontre a área da superfície resultante. 
 
Para Pensar: Tomada de Decisão 
Uma pessoa com diploma universitário recebe duas ofertas de emprego. O salário 
inicial de ambas é $ 32.000 e, após oito anos de serviço, cada um pagará $ 54.000. O 
aumento de salário de cada oferta é mostrado na figura. De um ponto de vista 
estritamente monetário, qual é a melhor oferta? Explique. 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO DAS QUESTÕES 
 
Unidade de Aprendizagem 1 
1.a) Racional 
1.b) Irracional 
1.c) Racional 
1.d) Racional 
1.e) Irracional 
 
2.a) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 
2.b) {2,4,6,8} 
2.c) {0,1,3,5,7,9,10} 
 
3.a) (4, 9) ou {𝑥 ∈ ℝ|4 < 𝑥 < 9} 
3.b) (−∞, −2] ∪ (2, +∞) ou {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2 𝑒 𝑥 > 2} 
3.c) [0, 5) ou {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 < 5} 
 
4.a) 6 
4.b) 3 
4.c) 14 
4.d) 12 
 
5.a) A equação é verdadeira quando 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 2. Portanto, o conjunto solução é 
𝑆 = {2, −2} 
5.b) A equação é verdadeira quando 𝑥 − 3 = −2 ou 𝑥 − 3 = 2, isto é, 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 5. 
Portanto 𝑆 = {1,5} 
 
Para Pensar → Os níveis diários durante o mês de agosto variaram de uma produção 
baixa de 280 unidades a uma alta de 330 unidades. 
 
Unidade de Aprendizagem 2 
1.a) (−2, +∞) 
1.b) −
3
2
< 𝑥 < 2 
1.c) −
1
2
< 𝑥 <
7
2
 
1.d) 3 < 𝑥 < 7 
1.e) 𝑥 < 6 𝑜𝑢 𝑥 > 14 
 
2. 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
3.a) 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
3.b) 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
 
4) Somente os gráficos a) e c) representam uma função de 𝑦 em 𝑥. 
 
5.a) 𝑥 + 5 
5.b) 2𝑥2 − 1 
 
Para Pensar → 𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 = −0,8𝑡² − 7,22𝑡 + 1148 
 
Unidade de Aprendizagem 3 
1.a) Sim, cada valor de x determina um único valor de y 
1.b) Não, alguns valores de x determinam dois valores de y 
1.c) Sim, cada valor de x determina um único valor de y 
1.d) Não, alguns valores de x determinam dois valores de y 
 
2) A função é par 
 
3.a) 
1
2
𝑥 
3.b) 3𝑥 
3.c) 𝑥 − 4 
3.d) 
1
2
(𝑥 + 5) 
3.e) √𝑥
3
 
 
Para Pensar → $76,22 bilhões em 1997; $122 bilhões em 2000 e $188,8 bilhões em 
2004. 
 
Unidade de Aprendizagem 4 
1.a) 2 
1.b) 2 
1.c) ∄ 
1.d) 2 
 
2.a) As funções nas três figuras têm os mesmos limites laterais lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 3 e 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 1. Como os limiteslaterais são diferentes nos três casos, o limite bilateral 
não existe. 
2.b) As funções nas três figuras têm os mesmos limites laterais lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 2 e 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 2. Como os limites laterais são iguais, nos três casos, o limite bilateral é 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 2 
 
3.a) −∞ 
3.b) −∞ 
3.c) −∞ 
3.d) 1 
 
Unidade de Aprendizagem 5 
1.a) 5 
1.b) 9 
1.c) 3 
1.d) -5 
1.e) 4 
1.f) 0 
 
2.a) Não é contínua 
2.b) Não é contínua 
2.c) É contínua 
 
3.a) (−∞, 0)𝑒 (0, ∞). Há uma descontinuidade em 𝑥 = 0, porque 𝑓(0) não é definida. 
3.b) (−∞, −1)𝑒 (−1, ∞). Há uma descontinuidade em 𝑥 = −1, porque 𝑓(−1) não é 
definida. 
3.c) (−∞, ∞) 
3.d) (−∞, ∞) 
3.e) (−∞, −1), (−1,1) 𝑒 (1, ∞). Há descontinuidades em 𝑥 = ±1, porque 𝑓(±1) não é 
definida. 
 
Para Pensar → A função não é contínua em 𝑥 = 25, 100 𝑒 500 
 
Unidade de Aprendizagem 6 
1) Equação: 𝑦 = 2𝑥 − 1; Inclinação = 2 
 
2.a) 6𝑥 − 2 
2.b) 3𝑥² − 1 
 
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2007) 
 
 
3.a) 𝑓’(𝑥) = 12𝑥³ − 6𝑥² + 2𝑥 − 4; 𝑓’’(𝑥) = 36𝑥² − 12𝑥 + 2; 𝑓’’’(𝑥) = 72𝑥 − 12; 𝑓4(𝑥) =
72; 𝑓5(𝑥) = 0; … ; 𝑓𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 5 
3.b) 𝑓’(𝑥) = 30𝑥5 + 8𝑥 − 10; 𝑓’’(𝑥) = 150𝑥4 + 8; 𝑓’’’(𝑥) = 600𝑥3; 𝑓4(𝑥) = 1800𝑥2; 
𝑓5(𝑥) = 3600𝑥; 𝑓6(𝑥) = 3600; 𝑓7(𝑥) = 0; … ; 𝑓𝑛 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 7 
 
Para Pensar → 2002: 𝑚 ≈ 200; 2004: 𝑚 ≈ 500 
 
Unidade de Aprendizagem 7 
1.a) 140𝑥4 − 9𝑥2 − 1 
1.b) 15 + 4𝑥 − 24𝑥² 
1.c) 
𝑥2+1
𝑥²
 
1.d) 
5
(2𝑥+3)²
 
1.e) 
2𝑥3+17𝑥2+20𝑥+1
(𝑥+5)²
 
1.f) 
−3𝑥2+2𝑥+5
(𝑥2+5𝑥)²
 
 
2.a) 6𝑥(𝑥² + 1)² 
2.b) −3𝑥² sen(𝑥3) 
 
3.a) 
2𝑥
10𝑦+cos 𝑦
 
3.b) 
2𝑥
3𝑦2+2𝑦−5
 
 
4) 4 
 
Para Pensar → a) $10,4 bilhões/ano; b) $7,4 bilhões/ano; c) $6,4 bilhões/ano; d) $16,6 
bilhões/ano; e) $10,4 bilhões/ano; f) $11,4 bilhões/ano 
 
Unidade de Aprendizagem 8 
1.a) decrescente em (−∞, 2] ; crescente em [2, +∞) 
1.b) crescente em (−∞, +∞) 
1.c) crescente em (−∞, 0) e (1, +∞); decrescente em (0, 1) 
1.d) crescente em (−2,0) e (2, +∞); decrescente em (−∞, −2) e (0, 2) 
 
2.a) máximo relativo em 𝑓(−2) = 58; mínimo relativo em 𝑓(3) = −67 
2.b) mínimo relativo em 𝑓(3/4) = −27/256 
 
3.a) mínimo em 𝑓(3) = −7 e máximo em 𝑓(0) = 2 
3.b) mínimo em 𝑓(2) = 2 e máximo em 𝑓(−1) = 8 
 
4.a) côncavo para cima em (−∞, −1) e (1, +∞); côncavo para baixo em (−1, 1). Ponto 
de inflexão 𝑥 = ±1 
4.b) côncavo para cima em (−∞, 1) e (1/2, +∞); côncavo para baixo em (−1, 1/2). 
Ponto de inflexão 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = 1/2 
 
5.a) 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
5.b) 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
Para Pensar → 𝐶 = 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑’á𝑔𝑢𝑎 + 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎 = 25(5280)√𝑥2 + 0,25 +
18(5280)(6 − 𝑥) = 132000√𝑥2 + 0,25 + 570240 − 95040𝑥 
 
 
Fonte: Larson (2011) 
 
A reta deve sair da estação de energia a um ponto do outro lado do rio, 
aproximadamente 0,52 milhas a jusante (Exatamente: 
9√301
301
 milhas) 
 
 
Unidade de Aprendizagem 9 
1.a) 
1
2
𝑥 + 𝐶 
1.b) 𝑥 + 𝐶 
1.c) −5𝑥 + 𝐶 
1.d) 
3
2
𝑥² + 𝐶 
1.e) −
1
2𝑥²
+ 𝐶 
1.f) 
2
3
𝑥3/2 + 𝐶 
1.g) 
𝑥²
2
+ 2𝑥 + 𝐶 
1.h) 
3
5
𝑥5 −
5
3
𝑥3 +
1
2
𝑥² + 𝐶 
 
2.a) 4 
2.b) 31/3 
2.c) 201,21 
2.d) 0,69 
2.e) -14 
 
Para Pensar → Custo médio por unidade= 
1
24
∫ (0,005𝑡2 + 0,01𝑡 + 13,15) 𝑑𝑡 = $14,23
24
0
 
 
Unidade de Aprendizagem 10 
1.a) −
2
9
(1 − 3𝑥)3 2⁄ + 𝐶 
1.b) 
1
3
(𝑥2 − 1)3/2 + 𝐶 
1.c) 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
1.d) 
𝑥³
3
ln 𝑥 −
𝑥³
9
+ 𝐶 
1.e) 
1
4
sen(𝑥4 + 2) + 𝐶 
1.f) sen(𝑥 + 𝑥3) + 𝐶 
1.g) − cos(𝑥3) + 𝐶 
1.h) 
1
6
(𝑥2 + 9)6 + 𝐶 
1.i) 𝑥 sen 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 
 
2.a) 52/9 
2.b) ¼ 
2.c) 26/3 
2.d) 1/14 
2.e) 
𝜋
4
−
ln 2
2
 
2.f) 3 ln 3 − 2 
 
Para Pensar → $1,077 mil 
 
Unidade de Aprendizagem 11 
1) Regra do Trapézio ≈ 0,695635; Regra do Ponto Médio ≈ 0,691908 
 
2) ≈ 1,460393 
 
3) ≈ 0,693150 
 
Para Pensar → a quantidade total de dados transmitidos até o meio-dia é 
aproximadamente 144.000 Mb ou equivalentemente 144 gigabits. 
 
Unidade de Aprendizagem 12 
1) 16/3 
 
2) 113/3 
 
3) 𝑒 − 1,5 
 
4) 1/3 
 
5) 
𝜋
2
 
 
6) 
16
5
𝜋 
 
7) 
𝜋
6
 
 
8) 17/6 
 
9) 32𝜋√5 
 
10) 
𝜋
6
(17√17 − 5√5) 
 
Para Pensar → A oferta 2 é melhor porque o salário cumulativo (área abaixo da 
curva) é maior. 
 
 
 
 
 
Referências 
Todos os exercícios presentes neste material foram retirados e/ou adaptados das 
referências abaixo. 
 
ANTON, Howard; BIVENS, Irl C.; DAVIS, Stephen L. Cálculo, vol.1. Porto Alegre: 
Bookman, 2007. 
LARSON, Ron. Cálculo aplicado: curso rápido. São Paulo: Cengage Learning, 
2011. 
ROGAWSKI, Jon. Cálculo, vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
STEWART, James. Cálculo, vol. 1. 7.ed. Cengage Learning, 2013.