Aula-5-2018

Prévia do material em texto

3. Propriedades ondulatórias das 3. Propriedades ondulatórias das 
partículaspartículas
 
SumárioSumário
● Ondas de de BroglieOndas de de Broglie
● Pacotes de ondaPacotes de onda
● Difração de partículasDifração de partículas
● Microscópio eletrônicoMicroscópio eletrônico
● Princípio da incertezaPrincípio da incerteza
 
FótonsFótons
● Ondas eletromagné-Ondas eletromagné-
ticas têm propriedades ticas têm propriedades 
corpuscularescorpusculares
● Energia do fótonEnergia do fóton
E = h E = h ν = hc/λν = hc/λ
● h = 6,63x10h = 6,63x10-34-34 J.s: J.s: 
constante de Planckconstante de Planck
● Momentum do fótonMomentum do fóton
p = E/c = h/λp = E/c = h/λ
 
Hipótese de Louis de BroglieHipótese de Louis de Broglie
● (1924): as partículas (1924): as partículas 
materiais têm também materiais têm também 
propriedades ondulatórias.propriedades ondulatórias.
● O comprimento de onda O comprimento de onda 
associado a uma partícula associado a uma partícula 
de momentum p é de momentum p é 
 λ = h/pλ = h/p
● momentum relativísticomomentum relativístico
 p = p = γγ m m
00
 v v 
mm
00
 : massa de repouso : massa de repouso
 
ProblemasProblemas
● Qual o comprimento de onda de De Broglie de um Qual o comprimento de onda de De Broglie de um 
elétron que tem energia cinética de 120 eV? E se o elétron que tem energia cinética de 120 eV? E se o 
elétron tiver 2 GeV?elétron tiver 2 GeV?
● Qual o comprimento de onda de uma bola de Qual o comprimento de onda de uma bola de 
“betes” com 150 g, arremessada com a velocidade “betes” com 150 g, arremessada com a velocidade 
de 35 m/s?de 35 m/s?
 
Ondas de luz e fótons
● caracterizadas tanto 
pelo campo elétrico E 
(onda) como pelo fóton 
(partícula)
● a densidade de 
energia armazenada no 
campo elétrico é 
proporcional a E2
● a probabilidade de 
detectar um fóton é 
proporcional a E2 em 
cada ponto
 
Ondas de matériaOndas de matéria
● Caracterizadas pela Caracterizadas pela 
função de onda função de onda ΨΨ
● O valor de Ψ associa-da O valor de Ψ associa-da 
a uma partícula num a uma partícula num 
ponto (x,y,z) e no tempo ponto (x,y,z) e no tempo 
t está relacionado à t está relacionado à 
probabilidade de se probabilidade de se 
encontrar a partícula encontrar a partícula 
naquela posição e naquela posição e 
naquele instante.naquele instante.
λ = h/p é o comprimento de 
onda da onda de matéria 
correspondente à partícula de 
momentum p = γm
0
v
 
Probabilidade e a função de ondaProbabilidade e a função de onda
● Ψ não tem significado Ψ não tem significado 
físico direto (Ψ é físico direto (Ψ é 
complexo em geral!)complexo em geral!)
● A probabilidade de A probabilidade de 
encontrar a partícula no encontrar a partícula no 
ponto (x,y,z) e instante t ponto (x,y,z) e instante t 
é proporcional a é proporcional a 
 |Ψ||Ψ|22=Ψ*Ψ=Ψ*Ψ
onde Ψ* é o complexo onde Ψ* é o complexo 
conjugado de Ψconjugado de Ψ
 
Ondas progressivasOndas progressivas
● y(x,t) = A cos(kx-y(x,t) = A cos(kx-ωt)ωt)
● y: grandeza físicay: grandeza física
● A: amplitude A: amplitude 
● x: direção de propagaçãox: direção de propagação
● λλ: comprimento de onda: comprimento de onda
● k = 2π/λ: número de ondak = 2π/λ: número de onda
● νν =1/ =1/ττ:frequência (s:frequência (s-1-1=Hz)=Hz)
● ω = 2πν: frequência ω = 2πν: frequência 
angular (rad/s)angular (rad/s)
 
Velocidade de faseVelocidade de fase
● kx-ωt: fase da ondakx-ωt: fase da onda
● a fase varia de 0 a 2a fase varia de 0 a 2ππ 
num ciclo completonum ciclo completo
● num referencial que se num referencial que se 
propaga junto com a propaga junto com a 
onda a fase é constanteonda a fase é constante
d(kx-ωt)/dt = 0d(kx-ωt)/dt = 0
k(dx/dt) – k(dx/dt) – ωω = 0 = 0
● w: velocidade de fasew: velocidade de fase
w = w = ωω/k = /k = νν λλ 
 
BatimentoBatimento
● interferência de duas ondas com frequências interferência de duas ondas com frequências 
próximas e números de onda próximospróximas e números de onda próximos
yy
1 1 
= A cos(kx-= A cos(kx-ωt)ωt)
yy
22
 = A cos[(k+dk)x-(ω+d = A cos[(k+dk)x-(ω+dωω))t]t]
y = yy = y
11
+y+y
22
= 2A cos(kx-ωt) cos[(dk/2)x-(dω/2)t]= 2A cos(kx-ωt) cos[(dk/2)x-(dω/2)t]
● a onda resultante é modulada em amplitudea onda resultante é modulada em amplitude
 
Velocidade de grupoVelocidade de grupo
● o batimento forma o batimento forma 
grupos de onda grupos de onda 
caracterizada porcaracterizada por 
cos[(dk/2)x-(dω/2)t]cos[(dk/2)x-(dω/2)t]
● velocidade do grupovelocidade do grupo
u =u = (dω/2)/(dk/2)(dω/2)/(dk/2)
u = du = dωω/dk/dk
● w = u se a velocidade w = u se a velocidade 
da onda for a mesma da onda for a mesma 
para todos os para todos os 
comprimentos de ondacomprimentos de onda
w é diferente de u para ondas 
dispersivas (a velocidade da onda
é diferente para cada comprimento
de onda)
 
Ondas de gravidade (águas profundas)Ondas de gravidade (águas profundas)
● relação entre a relação entre a 
frequência e número de frequência e número de 
ondaonda
ω=√gkω=√gk
● g: acel. da gravidadeg: acel. da gravidade
● vel. de fase: w = √g/kvel. de fase: w = √g/k
● vel. de grupo: u = w/2vel. de grupo: u = w/2
● como w≠u a onda é como w≠u a onda é 
dispersivadispersiva
 
Ondas de gravidade (águas rasas)Ondas de gravidade (águas rasas)
● relação entre a relação entre a 
frequência e número de frequência e número de 
ondaonda
ω=k√ghω=k√gh
● h: profundidadeh: profundidade
● vel. de fase: w = √ghvel. de fase: w = √gh
● vel. de grupo: u = wvel. de grupo: u = w
● como w=u a onda é como w=u a onda é 
não-dispersivanão-dispersiva
 
Velocidade de fase das ondas de matériaVelocidade de fase das ondas de matéria
w = w = νλνλ (ondas em geral) (ondas em geral)
● λλ=h/=h/γγmm
00
v (de Broglie)v (de Broglie)
● νν=E/h==E/h=γγmm
00
cc22/h (Planck)/h (Planck)
w=cw=c22/v /v 
● Como v < c, então w > v Como v < c, então w > v 
(paradoxo???)(paradoxo???)
● A velocidade de fase da A velocidade de fase da 
onda de matéria não é a onda de matéria não é a 
velocidade da partículavelocidade da partícula
 
Pacote de ondasPacote de ondas
● soma de um número soma de um número 
infinito de ondas de infinito de ondas de 
matériamatéria
● forma um grupo de forma um grupo de 
ondasondas
● as ondas constituintes as ondas constituintes 
têm amplitudes que têm amplitudes que 
variam com a variam com a 
probabilidade de probabilidade de 
detectar a partículadetectar a partícula
 
Velocidade de grupo das ondas de Velocidade de grupo das ondas de 
matériamatéria
u=u=ddω/dkω/dk=(=(dω/dv)/(dk/dv)dω/dv)/(dk/dv)
● ωω=2=2ππmm
00
cc22 γ(v)/hγ(v)/h 
● kk=2=2ππmm
00
 v v γ(v)/hγ(v)/h 
u=vu=v
● Como v < c, então u <cComo v < c, então u <c
● A velocidade de grupo é a A velocidade de grupo é a 
velocidade da partículavelocidade da partícula
 
Difração de elétronsDifração de elétrons
● Difração: fenômeno Difração: fenômeno 
ondulatórioondulatório
● Feixe de elétrons equivale Feixe de elétrons equivale 
a uma onda de matériaa uma onda de matéria
● Comprimento de onda de Comprimento de onda de 
De Broglie De Broglie λ = h/p λ = h/p 
● Comprovação Comprovação 
experimental da natureza experimental da natureza 
ondulatória das partículasondulatória das partículas
 
Experiência de Davisson-Germer
● feixe de elétrons de energia cinética 54 eV dirigido 
perpendicularmente à superfície de cristal de Níquel
● observado um máximo pronunciado na distribuição 
de elétrons a um ângulo de 500 com o feixe incidente 
 
Máximos de difração de elétronsMáximos de difração de elétrons
● feixe incidente faz um ângulo feixe incidente faz um ângulo 
de de θ=θ=656500 com os planos com os planos 
atômicos do cristalatômicos do cristal
● espaçamento entre os planos espaçamento entre os planos 
atômicos d = 0,091 nmatômicos d = 0,091 nm
● máximo de difração quando máximo de difração quando 
(condição de Bragg) (condição de Bragg) 
nnλ = 2d sen θ = 0,165 nmλ = 2d sen θ = 0,165 nm
onde n=1,2, 3, ....onde n=1, 2, 3, ....
 
Comprimento de De Broglie dos Comprimento de De Broglie dos 
elétronselétrons
● energia cinética K = 54 eV = energia cinética K = 54 eV = 
● baixa quando comparada à energia de repouso baixa quando comparada à energia de repouso 
(0,511 MeV): podemos usar fórmula não-(0,511 MeV): podemos usar fórmula não-
relativística (v << c)relativística (v << c)
● K = mvK = mv22/2=p/2=p22/2m onde p=mv: momentum/2m onde p=mv: momentum
p = 4,0 x 10p = 4,0 x 10-24-24 kg.m/s kg.m/s
● λ = h/p=1,66 x 10λ = h/p=1,66 x 10-10-10m = 0,166 nmm = 0,166 nm
● ótima concordância com o primeiro máximo de ótima concordância com o primeiro máximo de 
difração (n=1)difração (n=1)
 
Experiência de G. P. ThompsonExperiência de G. P. Thompson
● alvo consistia de uma película metálica: um grande alvo consistia de uma película metálica: um grande 
número de microcristais orientados ao acaso (planos número de microcristais orientados ao acaso (planos 
atômicos)atômicos)
● é possível ver um grande número de máximos de é possível ver um grande número de máximos de 
difraçãodifração
● comparação da difração de elétrons e raios-Xcomparação da difração de elétrons e raios-X
 
Microscópio eletrônicoMicroscópio eletrônico
● utiliza feixes de elétrons utiliza feixes de elétrons 
(ondas de matéria) ao (ondas de matéria) ao 
invés de luz (ondas invés de luz (ondas 
eletromagnéticas)eletromagnéticas)
● permite uma resolução permite uma resolução 
100 mil vezes maior do 100 mil vezes maior do 
que o microscópio que o microscópio 
ótico, pois ótico, pois λ é muito λ é muito 
menor do que para a luzmenor do que para a luz
● aumento de 10 milhões aumento de 10 milhões 
de vezes contra 2000 do de vezes contra 2000 do 
microscópio óticomicroscópio ótico
Centro de Microscopia 
Eletrônica da UFPR - Curitiba
 
Tipos de microscópio eletrônicoTipos de microscópio eletrônico
Transmissão
Varredura
 
Pacote de ondaPacote de onda
● somatória de um grande somatória de um grande 
número de ondas número de ondas 
● centro do pacote está centro do pacote está 
associado à posição x associado à posição x 
da partículada partícula
● comprimento de onda comprimento de onda 
de De Broglie está de De Broglie está 
associado ao associado ao 
momentum p da momentum p da 
partículapartícula
 
Pacote de ondas estreito
● largura do pacote de onda 
= incerteza Δx na 
determinação da posição x 
da partícula
● pacotes estreitos tem baixa 
incerteza Δx na 
determinação de x
● mas pacotes estreitos são 
feitos de muitas ondas = 
incerteza Δk na 
determinação do número 
de onda k=2π/λ é alta
 
Pacote de ondas largo
● largura do pacote de onda = 
incerteza Δx na 
determinação da posição x 
da partícula
● pacotes largos têm grande 
incerteza Δx na 
determinação de x
● mas pacotes largos são 
feitos de poucas ondas = 
incerteza Δk na 
determinação do número de 
onda k=2π/λ é baixa
 
Produto das incertezas
● o comprimento de De 
Broglie λ = h/p está rela-
cionado ao momentum p
● incerteza grande na po-
sição Δx = incerteza pe-
quena no momentum Δp
● incerteza pequena na 
posição Δx = incerteza 
grande no momentum Δp
● o produto das incertezas é 
finito: Δx Δp = cte. = ???
 
Princípio da incertezaPrincípio da incerteza
● Descoberto por Descoberto por 
Heisenberg em 1927Heisenberg em 1927
● decorre da natureza decorre da natureza 
ondulatória da matériaondulatória da matéria
● onde é o “h onde é o “h 
cortado”: cortado”: 
 
Microscópio de raios gama
● para visualizar um 
elétron precisamos usar 
ondas EM com baixo λ 
(raios gama)
● quando um fóton de 
raios gama incide sobre 
o elétron, este muda a 
sua trajetória
● o fóton refletido pelo 
elétron é detectado pelo 
observador
 
Incerteza na determinação do Incerteza na determinação do 
momentum do elétron momentum do elétron 
● cada fóton possui cada fóton possui 
momentum h/momentum h/λ e quando λ e quando 
colide com o elétron há colide com o elétron há 
uma variação no uma variação no 
momentum p do elétronmomentum p do elétron
● esta variação é da ordem esta variação é da ordem 
do momentum do fóton: do momentum do fóton: 
Δp = h/λΔp = h/λ
● quanto maior λ, menor quanto maior λ, menor 
será Δpserá Δp
 
Incerteza na determinação da posição Incerteza na determinação da posição 
do elétrondo elétron
● a incerteza a incerteza Δx Δx na na 
posição do elétron é da posição do elétron é da 
ordem do comprimento ordem do comprimento 
de onda de onda λ λ da luz da luz 
empregada empregada 
● produto das incertezas produto das incertezas 
ΔpΔx = (h/λ)ΔpΔx = (h/λ)λλ = h = h
● compatível com o compatível com o 
princípio de Heisenbergprincípio de Heisenberg
 
Problema resolvidoProblema resolvido
● Suponha que o momentum de uma certa partícula Suponha que o momentum de uma certa partícula 
pode ser medido com uma precisão de uma parte em pode ser medido com uma precisão de uma parte em 
mil. Determine a incerteza mínima na posição da mil. Determine a incerteza mínima na posição da 
partícula se a partícula é: (a) uma bolinha de massa partícula se a partícula é: (a) uma bolinha de massa 
5 g movendo-se com velocidade de 2 m/s; (b) um 5 g movendo-se com velocidade de 2 m/s; (b) um 
elétron movendo-se com velocidade 0,6 c.elétron movendo-se com velocidade 0,6 c.
 
Problemas propostosProblemas propostos
● Qual a incerteza na localização de um fóton de Qual a incerteza na localização de um fóton de 
comprimento de onda 300 nm se este comprimento comprimento de onda 300 nm se este comprimento 
de onda é conhecido com uma precisão de uma parte de onda é conhecido com uma precisão de uma parte 
em um milhão?em um milhão?
● Suponha que a incerteza no momentum de uma Suponha que a incerteza no momentum de uma 
partícula seja igual ao próprio momentum da partícula seja igual ao próprio momentum da 
partícula. Qual é a mínima incerteza na partícula. Qual é a mínima incerteza na 
determinação da posição da partícula em termos do determinação da posição da partícula em termos do 
seu comprimento de onda de De Broglie?seu comprimento de onda de De Broglie?
 
Presença de elétrons em núcleosPresença de elétrons em núcleos
● aplicação do princípio da incerteza de Heisenbergaplicação do princípio da incerteza de Heisenberg
● núcleos típicos têm raios < 10núcleos típicos têm raios < 10-14 -14 mm
● se um elétron está confinado num núcleo a incerteza se um elétron está confinado num núcleo a incerteza 
na posição deve ser na posição deve ser Δx = 10Δx = 10-14 -14 mm
● a incerteza no momentum do elétron éa incerteza no momentum do elétron é
Δp ≥ h/(2πΔx) = 1,1 x 10Δp ≥ h/(2πΔx) = 1,1 x 10-20-20 kg.m/s kg.m/s 
● a energia cinética do elétron, neste caso, teria de sera energia cinética do elétron, neste caso, teria de ser
K K ≈≈ p c = 3,3 x 10 p c = 3,3 x 10-12-12 J > 20 MeV (impossível) J > 20 MeV (impossível)
 
Problema propostoProblema proposto
● Considere o raio do átomo de hidrogênio como Considere o raio do átomo de hidrogênio como 
sendo igual a 5 x 10sendo igual a 5 x 10-11-11 m. Obtenha a incerteza do m. Obtenha a incerteza do 
momento correspondente do elétron e mostre que a momento correspondente do elétron e mostre que a 
ordem de grandeza da sua energia cinética é 17 eV, ordem de grandeza da sua energia cinética é 17 eV, 
um valor perfeitamente plausível.um valor perfeitamente plausível.
 
FIMFIM
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37