CM005

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LIÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
I E II
VIA EXEMPLOS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
x
0
S⊥
PS⊥(x)
S
PS(x)
Projeções Ortogonais de um Vetor x sobre um Subespaço S e sobre seu Complemento Ortogonal S⊥.
JOSÉ RENATO RAMOS BARBOSA
UFPR - 2020
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
LIÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
I E II
VIA EXEMPLOS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Autor:
Professor José Renato Ramos Barbosa
2020
Conteúdo
1 Introdução: Origem, Objetivos e Diretrizes das NA 7
2 O Espaço Vetorial Rn 11
2.1 Geometria Analítica do R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Rn: Espaço Euclidiano n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Produto Interno, Módulo e Ângulo em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Retas e Hiperplanos em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Subespaços do Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Exemplos Gerais de Subespaços - Subespaço S Gerado por r Vetores . 24
2.5.2 Exemplo para S Gerado por r = 3 Vetores em R4 . . . . . . . . . . . . 24
2.5.3 Bases, LI e LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.4 Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.5 Ortogonalidade e Ortonormalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.6 Subespaços de Subespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 O Espaço R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.1 Projeção Ortogonal de x sobre y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.2 Produto Vetorial de x e y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.3 Relação entre Projeção Ortogonal e Produto Vetorial . . . . . . . . . . . 30
2.6.4 x e y são LD ⇐⇒ x × y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.5 Produto Misto de x, y e z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.6 Bases de R3 via Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.1 Resolução do Exercício da 2.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 O Espaço Vetorial Rm×n 47
3.1 Adição de Matrizes - Multiplicação por Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Por que Rm×n é Espaço Vetorial? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Produto e Transposição de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Matrizes Quadradas são Importantes! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Sistemas Lineares Ax = b e Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1 Matriz Escalonada Reduzida R e Escalonamento . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Matrizes Invertíveis, Matrizes Elementares e Escalonamento . . . . . . . . . . 62
3.6.1 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3
4 CONTEÚDO
4 Transformações Lineares, Autovalores e Autovetores 79
4.1 Transformações (Funções) Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.1 Núcleo e Imagem de A (ou L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.2 Representação de L em Outras Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.1 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.2 Matrizes Ortogonais e Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.1 Resoluções de Alguns Exercícios que Precedem a Subseção 4.1.1 . . . . 116
5 Os Espaços Vetoriais Kn e Km×n 119
5.1 Definição e Propriedades do (Kn,+, ·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.1 Pequena Revisão de C, o Corpo dos Números Complexos . . . . . . . 119
5.1.2 Corpo K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.1.3 Espaço Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3 Informação Adicional: Diagonalização de A ∈ Cn×n . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.1 Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.2 Teorema Espectral para A ∈ Cn×n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6 O Espaço Vetorial V (sobre o Corpo K) 133
6.1 Definição e Propriedades do (V ,+, ·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.1 Exemplos de V ‘Diferentes’ de Kn e Km×n . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.1.2 Subespaços, Bases, Dimensões, etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2 Isomorfismo entre Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.1 Se dimV = n, Informações sobre V Podem Ser Obtidas Via Informa-
ções sobre Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3 Alguns Resultados e Algumas Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3.1 Espaços Finitamente Gerados, Vetores LI e LD, Bases . . . . . . . . . . 139
6.3.2 O Espaço Vetorial L(V ,W) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3.3 dimV = n e dimW = m =⇒ L(V ,W) e Km×n são Isomorfos . . . . . 148
6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 Informação Adicional: Dimensão de Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7 L(V) 165
7.1 Subespaços Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2.1 Nu(L − λI) é o Subespaço de V Constituído dos Autovetores de L
Associados a λ Juntamente com 0V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2.2 Polinômios com Operadores como Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.2.3 Se V 6= {0V} é Espaço Vetorial Complexo Finitamente Gerado, então
T ∈ L(V) tem Autovalor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.2.4 Matrizes Triangulares e Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.2.5 Diagonalização e Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.2.6 Decomposição em Somas Diretas de Autoespaços . . . . . . . . . . . . 174
7.2.7 Complementos e Projeções Ortogonais. Mínimos Quadrados . . . . . 175
7.3 Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.3.1 Teorema da Representação de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
CONTEÚDO 5
7.4 Adjuntos, Auto-adjuntos e Normais.
Teorema Espectral. Forma de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4.1 T ∈ L(V) =⇒ T∗ ∈ L(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.2 Propriedades do Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.3 Operador Hermiteano, isto é, Auto-adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.4.4 Operador Normal é o que Comuta com o seu Adjunto . . . . . . . . . 194
7.4.5 Teorema Espectral Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.4.6 Teorema Espectral Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.4.7 Teorema (Forma Normal de Jordan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.6 Informação Adicional: Matrizes Quadradas × Operadores . . . . . . . . . . . 218
7.6.1 Para A ∈ Cn×n não diagonalizável, como obter P ∈ Cn×n invertível com
P
−1AP = J
na forma de Jordan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196 CONTEÚDO
Capítulo 1
Introdução: Origem, Objetivos e
Diretrizes das NA
SAUDAÇÕES UNIVERSITÁRIAS!
Em geral, quase ninguém presta muita atenção em prefácios e bibliografias. Inicio assim
chamando o prefácio e a bibliografia de Capítulo 1, que é um curtíssimo capítulo (com ape-
nas três páginas e quatro referências bibliográficas) para que todos possam lê-lo e ter alguma
noção do tratamento dado a Álgebra Linear (AL) a partir do Capítulo 2. Peço portanto al-
gum nível de atenção neste capítulo, em particular na descrição das duas partes principais
nas quais o material está dividido e no porque da abordagem ‘quase’ sem Determinantes
que adotamos aqui.
O conteúdo das Notas de Aulas (NA) que gestaram esse material foi sendo trabalhado e
constantemente modificado por quase vinte anos. Daí é provável que a ordem e/ou a re-
dação dos exercícios, bem como a quantidade dos mesmos, tenham variado em muitas das
visitas ao endereço www.ufpr.br/∼jrrb. Observação análoga vale para as definições e os re-
sultados que aqui figuram. Ainda, tal endereço será o local onde procurar pela errata deste
material.
Durante a quarentena do COVID 19, num momento em que a Terra quase parou e convi-
dou a humanidade para um suspiro coletivo, resolvi tentar organizar as NA num formato
adequado para a sua publicação. Bom, como o objetivo das NA sempre foi o de servir de
apoio para cursos de AL ministrados na UFPR, imaginei que o alcance das mesmas pudesse
ultrapassar os limites da instituição em que leciono.
Embora possa não parecer claro, tentei escrever as NA no estilo dos livros de Matemática da
renomada ‘Coleção Schaum’, isto é, o conteúdo é (em boa parte) trabalhado via exemplos
e exercícios resolvidos. Além disso, o contéudo destas NA está dividido em duas partes,
sendo que a primeira parte se estende, aproximadamente, até o final da seção 6.2, incluíndo
alguns exercícios da seção 6.4.
Nossa abordagem é distinta da maioria dos livros-texto comumente adotados. Na primeira
parte, tentamos fazer uma transição suave da Geometria Analítica em R2 e R3 para a AL
do Rn. Nesta ‘passagem de bastão’ para n = 1, 2, 3, . . ., o escopo é mais geométrico com
alguns resultados mais abstratos, embora exaustivamente trabalhados, não demonstrados
ou demonstrados apenas nos últimos capítulos. Assim, esperando que o(a) leitor(a) tenha
absorvido tal generalização,1 fazemos depois outra transição suave, do Rn para o espaço
Rm×n das matrizes com m linhas e n colunas. Segue daí um ‘movimento inercial’ para
1Inclusive tendo sido apresentada no final do Capítulo 2 parte de uma ‘AL no R3’!
7
8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO: ORIGEM, OBJETIVOS E DIRETRIZES DAS NA
Escalonamento, Sistemas Lineares e para um estudo operacional - tipo um formulário de
algum manual de tabelas e fórmulas - de Determinantes com ênfase apenas na resolução
de exercícios.2 Na sequência entramos matricialmente no estudo das Funções Lineares e na
Diagonalização das mesmas, sem contudo nos afastarmos do aspecto geométrico. Enfim, só
depois dessa ‘pegada’ mais aplicada/concreta é que apresentamos escalares e espaços mais
gerais. Em todo esse trajeto a abstração vai aumentando gradualmente, como seria natural
para aqueles que estão se ambientando com algum conhecimento novo.
Por terem um ‘sabor’ semelhante ao da primeira parte das NA, recomendo os seguintes
livros:
VETORES E MATRIZES
UMA INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
NATHAN MOREIRA DOS SANTOS
4A. EDIÇÃO - 2007
THOMSON
e
INTRODUÇÃO Á ÁLGEBRA LINEAR
GILBERT STRANG
TRADUÇÃO DA 4A. EDIÇÃO
NORTE-AMERICANA
LTC
.
Aqui, cada nota de rodapé (ndr) tem papel importante (e DEVE ser lida como parte inte-
grante do texto) para quem estiver cursando AL pela primeira vez. O mesmo vale para
demonstrações de alguns resultados e resoluções, dicas, sugestões e respostas de alguns
exercícios quando o texto estiver escrito em ‘footnote’, isto é, no tamanho das ndr. Agora,
para quem já cursou AL, a leitura pode ser feita em ritmo de revisão.
Deliberadamente não incluí ou adiei demonstrações de alguns resultados na primeira parte
das NA pois a mesma foi concebida para cursos de caráter mais aplicado (engenharias, por
exemplo). Alunos/Leitores interessados em preencher tais lacunas/adiamentos são convi-
dados a recorrerem à outros livros da área (como, por exemplo, os previamente citados)
ou tentar entender antecipadamente a segunda parte das NA (que é trabalhada a partir da
seção 6.3). Nesta segunda parte adotamos uma abordagem de um segundo curso (ou de
um curso ‘honors’) de AL, onde demonstramos resultados que tinham sido apenas enunci-
ados nos capítulos e seções anteriores. Além disso, cada resultado que tradicionalmente é
demonstrado usando Determinantes é aqui obtido via ‘Determinant-free proof’ na linha do
artigo
DOWN WITH DETERMINANTS
SHELDON AXLER
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf
.
Com isso, essas NA podem ser também utilizadas por alunos das exatas, ficando a primeira
parte para aplicações/exemplos da segunda.
Em linhas gerais, para a segunda parte, seguimos a abordagem do excelente livro:
2Neste ponto, convém ressaltar que, a rigor, a utilidade da teoria dos Determinantes é apenas teórica. Na
prática, por exemplo, a obtenção dos ‘autovalores’ de uma matriz n por n arbitrária, caso n seja suficientemente
grande, calculando as raízes do ‘polinômio característico’ de tal matriz é uma tarefa (a ‘tempo polinomial’) com
quase nenhuma possibilidade de sucesso para a complexidade computacional (binária) atual. Mesmo que n
não seja tão grande, o custo computacional de tal cálculo ainda é muito alto. Por outro lado, para n = 2, 3, 4,
por exemplo, é bem provável que os estudantes possam realizar tal cálculo praticamente com o conhecimento
sobre Determinantes adquirido no ensino médio!
9
LINEAR ALGEBRA DONE RIGHT
SHELDON AXLER
3RD EDITION
SPRINGER VERLAG
.
Aqui, as caixas SOLUÇÃO: e RESPOSTA: têm o mesmo significado, enquanto que a caixa
RESOLUÇÃO:
representa o ‘cálculo’ que acarreta tal solução/resposta. Além disso, u.c. sig-
nifica ‘unidade(s) de comprimento’.
O pré-requisito para a leitura destas NA é um curso de Geometria Analítica. Aliás, inicio
tais NA com uma revisão de tal curso no R2.
Falando em pré-requisitos, gostaria de expressar que vejo a Matemática como uma lingua-
gem tipo Português, Inglês, Francês, etc. Assim, temos também ‘Matematiquês’, ‘Fisiquês’,
‘Quimiquês’, ‘Informatiquês’, etc. Aprender uma Língua é antes, praticamente, ser alfabe-
tizado nela. Já nessa etapa preliminar é preciso estudá-la e praticá-la (para não cometer
equívocos com a mesma). Note que não é fácil querer fazer um estudo avançado da Língua
sem ter sido alfabetizado nela. Como diz o ditado: ‘O avançado é fazer o básico bem feito!’.
Por outro lado, para ter fluência na Língua é preciso, além do estudo e da prática, conhecer
todo um jargão da área. Apenas estudar na proximidade de cada prova é perda de tempo
para quase todos que assim procedem.
Sugestões para o aprimoramento e/ou a clareza das NA serão muito bem vindas. Serei, não
só grato mas também todo ouvidos e olhos.
Dedico esse pequeno trabalho ao meu Filho THEO.
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO: ORIGEM, OBJETIVOS E DIRETRIZES DAS NA
Capítulo 2
O Espaço Vetorial Rn
2.1 Geometria Analítica do R2
Em Geometria Analítica (GA), define-se o espaço R2 dos vetores u, v, w representados por
pares ordenados de números reais. Tal espaço, como estabelecido em GA, é dotado de duas
operações definidas ‘coordenada-a-coordenada’: adição u + v e multiplicação por escalar αw
com α real.
u
v
u + v
w
αw com α > 1
αw com 0 < α < 1
αw com −1 < α < 0
αw com α < −1
Em GA, define-se ainda o produto interno (escalar)
u · v,
calculado via a soma dos produtos das coordenadas respectivas de u e v, como também
define-se o módulo (comprimento)
||w|| =
√
w · w u.c..
Óbvio que também é possível calcular u + w, v + w,
αu, αv, u ·w, v ·w, ||u|| e ||v||. Além disso, no lugar de
u, v, w e α, poderíamos ter utilizado, respectivamente,
x, y, z, a, . . . e λ, a, x, t, . . ..Todas tais operações e suas propriedades,1 bem como verificações das mesmas, devem ter
sido vistas tanto geometricamente - por exemplo, como ilustrado na figura anterior - quanto
1Exemplos: comutatividade tanto da adição quanto do produto interno de vetores; o módulo do múltiplo
escalar de um vetor iguala o produto do módulo de tal escalar pelo módulo de tal vetor; 0 = (0, 0) é o elemento
neutro aditivo; etc.
11
12 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
algebricamente e numericamente.
Para os exercícios seguintes, considere antes os seguintes itens:
• i = (1, 0) e j = (0, 1).
i
j ||i|| = ||j|| = 1 u.c.
• Em geral, u, v e w têm a origem do plano cartesiano como ponto inicial.
x
y
u
v
w
• Ângulos são medidos em radianos. Contudo, eventuais respostas podem vir em graus.
EXERCÍCIOS SOBRE VETORES EM R2:
1. Para qual valor de x os vetores u =
(
1, x2 − 1
)
e v = (x + 2, 0) verificam a igualdade
u = v? RESPOSTA: x = −1.
2. Se o vetor u tem módulo igual a 3 u.c. e o vetor v tem módulo igual a 2 u.c., qual é
o maior (respectivamente, menor) valor que o módulo da soma u + v pode assumir?
RESPOSTA: 1 u.c. ≤ ||u + v|| ≤ 5 u.c..2
3. Sejam v 6= 0 e u = v||v|| .
(a) Verifique que u é unitário, isto é, ||u|| = 1 u.c., e tem a mesma direção e o mesmo
sentido de v.3
(b) Determine u se v = (−8, 6). RESPOSTA: u = (−4/5, 3/5).
2 SUGESTÃO: Por um lado, como deve ser de conhecimento comum, vale a seguinte desigualdade trian-
gular
||u + v|| ≤ ||u||+ ||v|| .
Por outro lado, aplicando tal desigualdade na soma
u = (u + v) + (−v)
e usando que
||−v|| = ||v|| ,
obtemos
||u|| − ||v|| ≤ ||u + v|| .
3 SUGESTÕES: Para v = (x, y), determine u. Daí calcule ||u||. Para outra resolução, devido a v 6= 0,
considere α = 1||v|| e calcule daí o módulo de u = αv.
2.1. GEOMETRIA ANALÍTICA DO R2 13
4. Deve ter sido visto em GA que, para quaisquer vetores u, v e w e para cada escalar α,
temos que:
- (v + u) · w = v · w + u · w; v · (u + w) = v · u + v · w; (distributividade)
- v · u = u · v; (comutatividade)
- v · (αu) = (αu) · v = α (u · v); (comutatividade, associatividade)
- ||w|| = √w · w. (definição de módulo)
Sejam u e v unitários. Use as propriedades anteriores para calcular o produto interno
dos vetores dados em cada um dos itens seguintes.
(a) u e −u. RESPOSTA: −1.
(b) v + u e v − u. RESPOSTA: 0.4
(c) v − 2u e v + 2u. RESPOSTA: −3.
5. O ângulo θ entre dois vetores não nulos, u e v, é aquele entre 0 e π radianos que satisfaz
a condição
cos θ =
u · v
||u|| ||v|| . (2.1)
(a) Verifique a validade de (2.1) para u e v unitários e tais que:5
i. o ângulo entre u e i mede π/3 e o ângulo entre v e i mede 2π/3; θ = π/3;
ii. o ângulo entre u e i mede π/4 e o ângulo entre v e i mede 3π/4; θ = π/2.
(b) Verifique a validade de (2.1) em geral, a partir das duas etapas seguintes:
i. Esboce o gráfico da função f (θ) = cos θ para θ entre 0 e π radianos. Observe
daí que, para cada número real r entre −1 e 1 (no eixo das ordenadas), existe
um único θ = θ(r) entre 0 e π (no eixo das abcissas) com r = f (θ);
ii. Via a desigualdade de Cauchy-Schwarz (que possivelmente tenha sido vista
em GA)
|u · v| ≤ ||u|| ||v|| ,
demonstre que
u · v
||u|| ||v||
é um número r entre −1 e 1.
6. Seja u = (x, y) ∈ R2 unitário. Seja θ o ângulo entre u e i.
4
RESOLUÇÃO:
(v + u) · (v − u) = (v + u) · (v + (−1)u)
= v · (v + (−1)u) + u · (v + (−1)u) (dist.)
= v · v + (−1) (u · v) + u · v + (−1) (u · u) (dist., comut., assoc.)
= ||v||2 − u · v + u · v − ||u||2 (def. mód.)
= 1 − 0 − 1 (u, v unitários)
= 0.
5 DICA: Use o exercício 6, dado a seguir, para obter as coordenadas de u e v.
14 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
(a) Verifique que
u = (cos θ, sen θ)
= cos θ i + sen θ j.
(b) Determine u para cada θ dado a seguir:
i. 0;
ii. π/6;
iii. π/4;
iv. π/3;
v. π/2;
vi. 3π/4.
7. Seja v = (x, y). Seja θ o ângulo entre v e i.
(a) Verifique que tan θ = yx .
6
(b) Determine θ para v = −4i + 3j.
(c) Determine θ para v = i − j.
8. Do exercício 5 anterior, temos que
u · v = ||u|| ||v|| cos θ.
Use tal fórmula para calcular o produto interno u · v se:
(a) u e v são unitários e representam lados de um triângulo equilátero no primeiro
quadrante;
(b) u é unitário com ângulo de π/4 com o vetor i enquanto que v tem a metade do
comprimento de u e forma um ângulo de 5π/12 com i.
9. Dizer que dois vetores u e v não-nulos são ortogonais (entre si) significa que
u · v = 0.7
Ainda, denotamos tal ortogonalidade por u ⊥ v.
(a) Considere u = i, v = j e u + v. Por um lado, verifique que u ⊥ v. Por outro lado,
calcule ||u||, ||v|| e ||u + v||. Verifique agora que ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2.
(b) Faça como no item anterior para u =
(√
2,
√
2
)
e v =
(
−
√
2,
√
2
)
.
(c) Use o Teorema de Pitágoras para verificar que, para quaisquer u e v em R2,
||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2
se u ⊥ v.
6 SUGESTÃO: Sem perda de generalidade, suponha que v é unitário. Agora aplique o exercício anterior.
7Veja exercício anterior!
2.1. GEOMETRIA ANALÍTICA DO R2 15
(d) Demonstre o resultado anterior a partir do seguinte fato:
||u + v||2 = (u + v) · (u + v) .
10. Obtenha a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto (final de) x0 com vetor diretor (ou
na direção do vetor) a, isto é,
r : x = x0 + ta, t ∈ R,
para:
(a) x0 = (1, 2) e a = (1, 1);
(b) x0 = (1,−2) e a = (−1, 2);
(c) x0 = (2, 2) e a = i;
(d) x0 = (2, 2) e a = j.
Ainda, em cada item anterior, quando possível, determinar a equação afim y = ax + b
da reta r obtida.8
11. Considere r e s duas retas com vetores diretores v e w, respectivamente. Tais retas são
ditas:
• paralelas quando tais vetores diretores são múltiplos escalares um do outro, isto é,
quando
w = αv
para algum escalar α;
• perpendiculares quando v ⊥ w.
Dê exemplos de retas que sejam paralelas (respectivamente, perpendiculares). Escreva
equações vetorias para tais retas.
8 DICA: Apenas no (d), a equação afim não pode ser obtida!
16 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
2.2 Rn: Espaço Euclidiano n-dimensional
Assim como temos os vetores em R2, temos os veto-
res em R3 e, em geral, em Rn com n inteiro positivo.
Passamos daí do plano para o espaço e para o hiperes-
paço. Neste capítulo estudamos tais (hiper)espaços.
No próximo capítulo, veremos que o que ocorre em
tais espaços, grosso modo, também acontece no es-
paço das ‘matrizes’ m × n.
x ∈ Rn significa que: x é a n-upla ordenada cujas coordenadas (ou componentes) são os números
(reais) x1, . . . , xn, nesta ordem, isto é,
x = (x1, . . . , xn) ,
ou x é a matriz n × 1 cujas entradas da sua única coluna são os números x1, . . . , xn, nesta
ordem, mas escritos de cima para baixo, isto é,
x =



x1
...
xn


 .
Em R4, por exemplo, podemos ter
x = (1, 2, 3, 4) ou x =




1
2
3
4




.
Um tal x com tais n coordenadas é dito um vetor em Rn.
NESTE CAPÍTULO, BEM COMO NOS
PRÓXIMOS DOIS CAPÍTULOS, SEM
PERDA DE GENERALIDADE, ‘VETOR’
SIGNIFICA ‘VETOR EM Rn’.
Em analogia a x, um vetor denotado por outra letra, digamos y, pode ser representado por
y = (y1, . . . , yn) ou y =



y1
...
yn


 .
• A palavra ‘ordenada’, usada anteriormente, significa que a ordem das coordenadas é
importante, isto é, se x e y são dois vetores, então x = y representa a igualdade das
coordenadas respectivas de tais vetores, isto é,
xi = yi, i = 1, . . . , n.
Por exemplo, em R2, (1, 2) 6= (2, 1).
2.3. PRODUTO INTERNO, MÓDULO E ÂNGULO EM RN 17
• A soma dos vetores x e y é o vetor x + y cuja i-ésima coordenada é dada por
xi + yi, i = 1, . . . , n.
Por exemplo, em R3, se x = (1, 2, 3) e y = (−1, 1/2, 1), então x + y = (0, 5/2, 4).
• Dados o vetor x e o escalar α ∈ R, o vetor αx cuja i-ésima coordenada é dada por
αxi, i = 1, . . . , n,
é dito um produto por escalar.
Por exemplo, em R2, se α = 13 e x =
[
3/2
3
]
, então αx =
[
1/2
1
]
.
Para quaisquer vetores x, y, z e escalares α, β ∈ R, as seguintes propriedades são válidas:
1. x + y = y + x; (comutativa)
2. (x + y) + z = x + (y + z); (associativa)
3. 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn é tal que x + 0 = x; (vetornulo)
4. −x = (−1)x é tal que x + (−x) = 0; (vetor simétrico)
5. α(x + y) = αx + αy; (distributiva em relação a soma dos vetores)
6. (α + β)x = αx + βx; (distributiva em relação a soma dos escalares)
7. (αβ)x = α(βx); (associativa)
8. 1x = x.
DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE 1: Como visto no início desta seção, a igualdade dos vetores x+ y e y+ x
é equivalente a igualdade das suas i-ésimas componentes, i = 1, . . . , n. Estas i-ésimas componentes são dadas
por xi + yi e yi + xi, i = 1, . . . , n. Portanto, como a adição em R é comutativa,9 temos que xi + yi = yi + xi,
i = 1, . . . , n. Assim, x + y = y + x.
EXERCÍCIO: Demonstre as propriedades 2–8 anteriores.
2.3 Produto Interno, Módulo e Ângulo em Rn
Produto Interno. O número real
x · y := x1y1 + · · ·+ xnyn
é dito o produto interno (ou escalar) dos vetores x e y.
Por exemplo, em R3, se x =


ln 2
3/
√
2
−3

 e y =


−1
1
cos π4

, então x · y = ln(1/2).
Para quaisquer vetores x, y, z e cada escalar α ∈ R, valem as seguintes propriedades:
9Lembram do mantra A ORDEM DAS PARCELAS NÃO ALTERA A SOMA?
18 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
1. x · y = y · x; (comutativa)
2. x · (y + z) = x · y + x · z; (distributiva em relação a soma de vetores)
3. α(x · y) = (αx) · y = x · (αy);
4. x · x ≥ 0 e x · x = 0 se, e somente se, x = 0; (não-negatividade)
5. x · 0 = 0.
EXERCÍCIO: Demonstre as propriedades anteriores.
Note que, embora a demonstração da última propriedade, pela definição de produto
escalar, seja trivial, outra demonstração segue da propriedade distributiva anterior,
x · 0 = x · (0 + 0)
= x · 0 + x · 0,
e do fato de 0 ser o único número tal que
x = x + 0
para qualquer x em R.
Módulo. O número real não-negativo
||x|| :=
√
x · x
=
√
x21 + · · ·+ x2n
é dito o módulo (ou a norma ou o comprimento) do vetor x.
Por exemplo, em R4, se x =




3
4
−
√
5√
6




, então
||x|| =
√
32 + 42 +
(
−
√
5
)2
+
√
6
2
=
√
9 + 16 + 5 + 6
= 6 u.c.
Para quaisquer vetores x e y e cada escalar λ ∈ R, valem as seguintes propriedades:
1. ||λx|| = |λ| ||x||;
2. ||x|| ≥ 0; ||x|| = 0 se, e somente se, x = 0; (não-negatividade)
3. |x · y| ≤ ||x|| ||y||; (desigualdade de Cauchy-Schwarz)
4. ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y||. (desigualdade triangular)
DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE 3: Se y = 0, ambos os lados da desigualdade se anulam. Assim,
seja y 6= 0. Como
0 ≤ (x + λy) · (x + λy) = x · x + 2λ(x · y) + λ2(y · y),
2.3. PRODUTO INTERNO, MÓDULO E ÂNGULO EM RN 19
em particular, se λ = − x·yy·y , temos que
0 ≤ x · x − 2 (x · y)
2
y · y +
(x · y)2
y · y = x · x −
(x · y)2
y · y .
Assim, multiplicando esta última desigualdade por y · y, temos que
0 ≤ (x · x)(y · y)− (x · y)2,
isto é,
|x · y|2 ≤ ||x||2||y||2.
DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE 4:
||x + y||2 = (x + y) · (x + y)
= x · x + 2 x · y + y · y
= ||x||2 + 2 x · y + ||y||2
≤ ||x||2 + 2|x · y|+ ||y||2
≤ ||x||2 + 2||x|| ||y||+ ||y||2,
onde usamos:
• a definição de norma na primeira e terceira igualdades;
• a distributividade do produto interno em relação a soma de vetores e a comutatividade do produto
interno na segunda igualdade;
• na primeira desigualdade que t ≤ |t| para cada real t;
• a desigualdade de Cauchy-Schwarz na última desigualdade.
Agora é só aplicar raiz quadrada em ||x + y||2 ≤ (||x||+ ||y||)2.
EXERCÍCIO: Demonstre as propriedades 1 e 2 anteriores.
Ângulo. Sejam x e y vetores não-nulos. Daí, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz e via a
propriedade da não-negatividade de normas,10 temos que
−1 ≤ x · y||x|| ||y|| ≤ 1.
Portanto, como x·y||x|| ||y|| é um número entre −1 e 1, existe um único ângulo θ = θ(x, y)
(em radianos) entre 0 e π tal que
cos θ =
x · y
||x|| ||y|| .
Definimos tal θ como o ângulo entre os vetores x e y. (O caso
x · y
||x|| ||y|| =
√
2
2
e θ =
π
4
está ilustrado na figura seguinte.)
10Neste caso, a positividade das mesmas!
20 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
π
1
0
−1
θ = π4
x·y
||x|| ||y|| =
1√
2
EXEMPLO: Em R4, sejam x = (1,−1, 0, 2) e y =
(
−1, 1, 12 ,−2
)
. Daí, como x · y = −6,
||x|| =
√
6 u.c. e ||y|| = 52 u.c., temos que
cos θ ≈ −6
2, 45 · 2, 5
≈ −1.
Portanto θ está próximo de π radianos.
Note que, agora, podemos calcular o produto interno
(de vetores x e y arbitrários) por
x · y = ||x|| ||y|| cos(x, y).
Dizer que x e y são ortogonais (entre si) significa que x · y = 0, isto é,
um dos vetores, x ou y, é nulo
ou
(x, y) = π2 radianos.
Por exemplo, em R2, x = (1, 1) e y = (−1, 1) são ortogonais.
EXEMPLO IMPORTANTE DE VETORES ORTOGONAIS:
Considere i = 1, . . . , n. Seja ei o vetor do Rn cuja i-ésima coordenada é 1 e esta é a sua única
coordenada não nula. Daí, é fácil ver que, se juntamente com i, considerarmos o índice
j = 1, . . . , n, temos:
ei · ej =
{
0 se i 6= j;
1 se i = j.
EXEMPLO: Em R3, e1 = i, e2 = j e e3 = k representam, repectivamente, as três primeiras
colunas da matriz identidade 3 × 3. Logo
e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1;
e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0.
Use a comutatividade do produto interno na última
linha para obter os três produtos faltantes!
2.4. RETAS E HIPERPLANOS EM RN 21
2.4 Retas e Hiperplanos em Rn
Vamos generalizar os conceitos de reta e plano vistos em GA.
Sejam x0 e a vetores fixos, a 6= 0, x um vetor arbitrário e t um escalar que pode assumir
qualquer valor em R. Daí:
1. x = x0 + ta representa a reta r que passa pelo ponto (final de) x0 na direção do vetor a;
2. a · (x − x0) = 0 representa o (hiper)plano Π que passa pelo ponto (final de) x0 com normal
a.
Por exemplo, em R3, se x0 = (x0, y0, z0), a = (a, b, c) e x = (x, y, z), as equações paramétricas
de r e a equação geral de Π são dadas respectivamente por:
1. x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc com t representando um escalar arbitrário;
2. ax + by + cz = d com d = ax0 + by0 + cz0.
Para uma ilustração, veja a Figura 2.1.
0
x = x0 + ta
x0
ta
0
r
Π
a
a
x
x − x0
x0
Figura 2.1: Reta r e Plano π em R3.
E quanto as retas e aos planos que ‘passam’ pela origem?
Seja x0 = 0. Então, r e Π podem ser representados respectivamente por:
1. x = ta ;
2. a · x = 0 .
Para o exemplo em R3 anterior, temos agora:
1. x = ta, y = tb, z = tc ;
2. ax + by + cz = 0 .
22 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
2.5 Subespaços do Rn
São subconjuntos S do Rn tais que:
1. 0 ∈ S ;
2. αx ∈ S para cada escalar α ∈ R e qualquer vetor x ∈ S ;
3. x + y ∈ S para quaisquer vetores x, y ∈ S .
EXEMPLO: Em R2, a reta (que passa pela origem)
S =
{
x =
[
x
y
] ∣
∣
∣
∣
y = x
}
é um subespaço do R2. De fato, note primeiramente que 0 =
[
0
0
]
∈ S pois as coordenadas
do vetor nulo satisfazem a equação y = x, isto é,
x = y = 0 =⇒ y = x.
Sejam agora α ∈ R, x =
[
x1
y1
]
e y =
[
x2
y2
]
∈ S , isto é,
{
y1 = x1;
y2 = x2.
(2.2)
Daí, por um lado, αx =
[
αx1
αy1
]
∈ S pois, multiplicando a primeira igualdade de (2.2) por
α, é fácil ver que
x = αx1 e y = αy1 =⇒ y = x.
Por outro lado, x + y =
[
x1 + x2
y1 + y2
]
∈ S pois, somando os membros correspondentes das
igualdades de (2.2), é fácil ver que,
x = x1 + x2 e y = y1 + y2 =⇒ y = x.
EXEMPLO: O plano (que passa pela origem)
S =
{
x = (x, y, z)
∣
∣ x + y + z = 0
}
é um subespaço do R3. De fato, note primeiramente que 0 = (0, 0, 0) ∈ S pois as coordena-
das do vetor nulo satisfazem a equação x + y + z = 0, isto é,
x = y = z = 0 =⇒ x + y + z = 0.
Sejam agora α ∈ R e x = (x1, y1, z1) , y = (x2, y2, z2) ∈ S , isto é,
{
x1 + y1 + z1 = 0;
x2 + y2 + z2 = 0.
2.5. SUBESPAÇOS DO RN 23
Daí, por um lado, αx = (αx1, αy1, αz1) ∈ S pois
αx1 + αy1 + αz1 = α (x1 + y1 + z1)
= α · 0
= 0.
Por outro lado, x + y = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ∈ S pois
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = x1 + x2 + y1 + y2 + z1 + z2
= x1 + y1 + z1 + x2 + y2 + z2
= 0 + 0
= 0.
EXEMPLO:
S =
{
x = (x, y, z)
∣
∣ x − y = 0 e z = 0
}
é um subespaço do R3. De fato, a reta (que passa pela origem)
S =
{
x = t(1, 1, 0)
∣
∣ t ∈ R
}
representa a interseção dos planos (que passam pela origem) x − y = 0 e z = 0.11 Note que
tal S é a reta do primeiro exemplo de subespaço dado anteriormente,só que agora tal reta
está sendo representada como um subconjunto do R3.
Os três exemplos anteriores não são casos isolados. O
próximo exercício vai estabelecer que, de modo geral,
qualquer hiperplano que passa pela origem e interse-
ções de hiperplanos que passam pela origem (inclu-
sive retas que passam pela origem) são subespaços do
Rn.
OK! Vimos exemplos de subespaços S do Rn.
Mas quando algum S ⊂ Rn não é um subespaço do Rn?
Quando ocorrer ao menos uma das três condições seguintes:
• 0 6∈ S ;
• αx 6∈ S para algum escalar α e algum vetor x de S ;
• x + y 6∈ S para algum par de vetores x e y de S .
EXEMPLO: O plano
S =



x =


x
y
z


∣
∣
∣
∣
∣
x + y + z = 1



não é um subespaço do R3 por inúmeros motivos. Daremos apenas três. Escolha aquele que
mais te agradar!
1o. 0 6∈ S pois suas coordenadas são tais que 0 + 0 + 0 6= 1;
2o. Se α = −1 e x = e1, então αx 6∈ S pois suas coordenadas são tais que −1 + 0 + 0 6= 1;
3o. Se x = e1 e y = e2, então x + y 6∈ S pois suas coordenadas são tais que 1 + 1 + 0 6= 1.
11Verifique!
24 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
2.5.1 Exemplos Gerais de Subespaços - Subespaço S Gerado por r Vetores
EXERCÍCIO: Em cada um dos itens seguintes, verifique que S é um subespaço do Rn. Aqui,
a, a1, a2, . . . , ar são vetores fixados do Rn e tais vetores são não nulos para os itens 3, 4 e 5.12
1. S = {0}; (subespaço trivial)
2. S = Rn; (subespaço trivial)
3. S = {x = ta |t ∈ R}; (reta que passa pela origem na direção do vetor a)
4. S = {x | a · x = 0}; (hiperplano que passa pela origem com normal a)
5. S = {x | a1 · x = 0, a2 · x = 0, . . . , ar · x = 0};13 (interseção de r hiperplanos que passam
pela origem com normais a1, a2, . . . , ar)
6. Para r escalares arbitrários, digamos c1, c2, . . . , cr,14 a soma
c1a1 + c2a2 + · · ·+ crar
é dita uma combinação linear (CL) de a1, a2, . . . , ar. Seja S o conjunto de todas tais CL’s,
isto é, S =
{
x
∣
∣ x é CL de a1, a2 . . . , ar
}
. (subespaço gerado por a1, a2 . . . , ar)
É importante saber que qualquer subespaço de Rn é
gerado por um número finito de vetores. Em outras
palavras, qualquer subespaço S de Rn é da forma
enunciada no item 6 deste exercício. A demonstração
de tal fato encontra-se na seção 6.3.
2.5.2 Exemplo para S Gerado por r = 3 Vetores em R4
Se c1 = −1, a1 = (1,−1, 2, 3), c2 = 2, a2 =
(
1, 0,−1, 12
)
, c3 = 34 e a3 =
(
1
3 , 1,−1,−2
)
, então
c1a1 + c2a2 + c3a3 =
(
5
4
,
7
4
,−19
4
,−7
2
)
12As resoluções encontram-se no final deste capítulo!
13 EXEMPLOS:
• Em R3, seja
S =



(x, y, z)
∣
∣
∣
∣
∣
{ x + y + z = 0,
x − 2y + z = 0,
x + y − 3z = 0.



.
Aqui, n = r = 3 e a1 = (1, 1, 1), a2 = (1,−2, 1) e a3 = (1, 1,−3).
• Em R4, seja
S =
{
(x, y, z, w)
∣
∣
∣
{ x + y + w = 0,
x − y + z = 0.
}
.
Aqui, n = 2r = 4 e a1 = (1, 1, 0, 1) e a2 = (1,−1, 1, 0).
14Note que r ∈ {1, 2, 3, . . .}.
2.5. SUBESPAÇOS DO RN 25
é uma CL de a1, a2, a3. Agora, se c1 = 1, c2 = −1 e c3 = −3, então
c1a1 + c2a2 + c3a3 =
(
−1,−4, 6, 17
2
)
é uma outra CL de a1, a2, a3. Logo, considerando outras possibilidades para c1, c2 e c3, ve-
mos que existe uma infinidade de CL’s de a1, a2, a3. Em particular, além das duas anteriores,
note que o próprio a1 é uma CL de a1, a2, a3. (De fato, considere c1 = 1, c2 = c3 = 0.) Analo-
gamente, a2 e a3 são CL’s de a1, a2, a3. Também é fácil ver que 0 é CL de a1, a2, a3: basta con-
siderar c1 = c2 = c3 = 0. Portanto, para tal exemplo, os vetores 0, a1, a2, a3,
(
5
4 ,
7
4 ,− 194 ,− 72
)
,
(
−1,−4, 6, 172
)
, bem como todas as outras possíveis CL’s de a1, a2, a3 (obtidas ao atribuirmos
valores quaisquer aos escalares c1, c2 e c3), representam os vetores de S .
2.5.3 Bases, LI e LD
Para o subespaço gerado por a1, a2, . . . , ar, afirmar que {a1, a2, . . . , ar} é uma base de S sig-
nifica que, além destes r vetores gerarem S , isto é, S =
{
x
∣
∣ x é CL de a1, a2, . . . , ar
}
, temos
ainda que os vetores a1, a2, . . . , ar são linearmente independentes (LI), isto é, a única solução da
equação
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xrar = 0
é a trivial
x1 = x2 = · · · = xr = 0.
Caso a solução trivial não seja a única solução, dizemos que os r vetores são LD.
EXEMPLOS EM R3:
• Sejam a1 = (1,−1, 1), a2 = (−1, 1, 2) e a3 = (0, 0, 3). Seja
S =
{
x
∣
∣ x é CL de a1, a2, a3
}
o subespaço gerado por a1, a2, a3. Assim, para que {a1, a2, a3} seja base de S , estes três
vetores devem ser LI. Contudo, os vetores a1, a2 e a3 são LD pois a equação x1a1 +
x2a2 + x3a3 = 0 admite, por exemplo, a solução não trivial x1 = 1, x2 = 1 e x3 = −1
devido a a3 = a1 + a2. Daí, como a3 é uma CL de a1, a2, temos que a3 pertence ao
subespaço S gerado por a1, a2, isto é,
a3 ∈ S =
{
x
∣
∣ x é CL de a1, a2
}
.
Por outro lado, a1, a2 são LI pois
x1a1 + x2a2 = 0 ⇐⇒ (x1 − x2,−x1 + x2, x1 + 2x2) = (0, 0, 0)
⇐⇒
{
x1 − x2 = 0
x1 + 2x2 = 0
⇐⇒ x1 = x2 = 0.
Logo {a1, a2} é uma base para S .
26 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
• e1, e2, e3 são LI pois é fácil ver que x1e1 + x2e2 + x3e3 = 0 só admite a solução trivial
x1 = x2 = x3 = 0. Além disso, tais vetores claramente geram S = R3:
x =


x1
x2
x3

⇐⇒ x = x1e1 + x2e2 + x3e3.
Então {e1, e2, e3} é uma base de S .
Observações
• Pode ser demonstrado que {x1, x2, . . . , xn} é uma base para Rn se, e somente se, cada
x ∈ Rn pode ser escrito de modo único como CL dos vetores de tal base.15
• Considere n vetores x1, x2, . . . , xn em Rn. Demonstra-se que as três afirmações seguin-
tes são equivalentes:
– Tais vetores formam uma base para Rn.
– Tais vetores geram Rn.
– Tais vetores são LI.
Embora tal equivalência seja válida para cada inteiro positivo n, vamos demonstrá-la
neste capítulo apenas para o caso n = 3 na seção dedicada ao R3. Para n arbitrário,
confira (R9) da subseção 6.3.1.
2.5.4 Dimensão
Seja S um subespaço do Rn. Demonstra-se (via alguns resultados de 6.3.1) que:
• S tem uma base constituída por r vetores, isto é, S é gerado por r vetores LI.16
• Qualquer base de S tem o mesmo número de vetores, isto é, para duas bases quaisquer
de S , uma com r1 vetores e a outra com r2 vetores, temos necessariamente que
r1 = r2.
Neste caso, tal número comum de vetores de qualquer uma das bases de S é dito a
dimensão de S
e é denotado por
dimS .
EXEMPLOS:
• No penúltimo exemplo anterior, S é um subespaço de R3 com dimS = 2, isto é, S é
um plano que passa pela origem do espaço euclidiano tridimensional.
15Veja a seção 2.7, exercício 6.
16Como antecipado na seção 2.5.1, S é gerado por um número finito de vetores. Se tais vetores não são LI,
demonstra-se que podemos eliminar alguns destes, que são CL’s dos demais, e os r restantes geram S e são LI.
2.5. SUBESPAÇOS DO RN 27
• Para S = R4, é fácil ver que {e1, e2, e3, e4} é uma base de S e dimS = 4.17
• Ainda em R4, considere o subespaço S gerado por a1 = (1, 1, 0, 0), a2 = (0, 1, 1, 0) e
a3 = (0, 0, 1, 1), isto é, cada elemento de S pode ser escrito da forma c1a1 + c2a2 + c3a3
com c1, c2 e c3 em R. Note que a1, a2 e a3 são LI pois
x1a1 + x2a2 + x3a3 = 0 ⇐⇒ (x1, x1 + x2, x2 + x3, x4) = (0, 0, 0, 0)
⇐⇒ x1 = x2 = x3 = x4 = 0.
Assim, S é um subespaço de R4, {a1, a2, a3} é uma base de S e dimS = 3.
• Note que, se considerarmos agora a1 = (1, 1, 0, 0), a2 = (0, 1, 1, 0) e a3 = (1, 2, 1, 0),
então {a1, a2, a3} não é uma base de um subespaço do R4 pois a1, a2 e a3 são LD. De
fato, x1a1 + x2a2 + x3a3 = 0 admite (além da solução trivial), por exemplo, a solução
x1 = x2 = 1 e x3 = −1. Note ainda que a3 = a1 + a2 pertence ao subespaço S gerado
por a1 e a2. Daí, como a1 e a2 são LI,18 {a1, a2} é base de S e dimS = 2.
EXERCÍCIO: Demonstre que dim Rn = n pois {e1, e2, . . . , en} é uma base de Rn.19
2.5.5 Ortogonalidade e Ortonormalidade
Sejam a1, a2, . . . , ar ∈ Rn não nulos e tais que ai · aj = 0 para quaisquer índices i e j com
i 6= j. Neste caso, dizemos que {a1, a2, . . . , ar} é (um conjunto) ortogonal.
EXEMPLO: Em R4,
a1 =




−1
1
1
0




, a2 =




1
0
1
2




, a3 =




0
1
−1
1/2




=⇒ {a1,a2, a3} é ortogonal.
TEOREMA: ORTOGONALIDADE =⇒ INDEPENDÊNCIA LINEAR.
Isto é, os r vetores de um conjunto ortogonal {a1, . . . , ar} ⊂ Rn são LI.
DEMONSTRAÇÃO: Seja ai um entre os vetores a1, a2, . . . , ar. Multiplique ambos os membros da CL nula
c1a1 + c2a2 + · · ·+ crar = 0
por ai. Temos então
c1a1 · ai + · · ·+ ci−1ai−1 · ai + ciai · ai + ci+1ai+1 · ai + · · ·+ crar · ai = 0 · ai.
Mas a ortogonalidade entre os r vetores garante a nulidade dos produtos de quaisquer dois tais vetores com
índices diferentes. Daí a igualdade anterior é simplesmente
ciai · ai = 0.
17Veja o caso análogo para o R3 que acabamos de estudar há algumas linhas atrás!
18Verifique!
19Tal base é chamada de canônica.
28 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
Assim, como ai 6= 0, a última igualdade só é válida para ci = 0. Por fim, como i é arbitrário, concluímos que
c1 = c2 = · · · = cr = 0
e então os r vetores são LI.
EXEMPLO: No exemplo anterior, o subespaço S do R4 gerado por a1, a2, a3 tem dimensão
três pois tais vetores são LI.
Dizer que uma base {a1, a2, . . . , ar} de um subespaço
S é ortonormal significa que a mesma, além de ser or-
togonal, tem r vetores unitários, isto é, cada um deles
têm comprimento unitário.
Assim, como v||v|| é unitário para qualquer vetor v 6= 0,20 temos que, se {a1, a2, . . . , ar} é uma
base ortogonal, então
{a1/||a1||, a2/||a2||, . . . , ar/||ar||}
é uma base ortonormal de S .21
EXEMPLOS:
• Para S do exemplo anterior, temos que
{(
− 1√
3
,
1√
3
,
1√
3
, 0
)
,
(
1√
6
, 0,
1√
6
,
2√
6
)
,
(
0,
2
3
,−2
3
,
1
3
)}
é uma base ortonormal.
• Em Rn, {e1, e2, . . . , en} é ortonormal.22
2.5.6 Subespaços de Subespaços
Sejam agora S1 e S2 subespaços de Rn com S1 ⊂ S2. Neste caso dizemos que S1 é um
subespaço de S2.
20De fato, seja α = 1||v|| . Daí
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
v
||v||
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= ||αv||
= |α| ||v||
=
1
||v|| ||v||
= 1 u.c..
21Num dos próximos exercícios, veremos que, em geral, tal base é aquela na qual se determina mais facil-
mente as ‘coordenadas’ de um vetor qualquer de S . Além disso, existe um método eficiente para se obter uma
base ortogonal a partir de qualquer outra base de S .
22Confira exemplo que precede 2.4.
2.6. O ESPAÇO R3 29
Demonstra-se (via (R8) da seção 6.3) que
dim S1 ≤ dimS2,
com a igualdade ocorrendo se, e somente se, S1 = S2.
EXEMPLO: Em Rn, considere que S1 é uma reta que passa pela origem e S2 é um plano que
contenha tal reta.
2.6 O Espaço R3
Vamos dar uma nova roupagem em alguns tópicos de GA no R3 e, ao mesmo tempo, obter e
ilustrar resultados da Álgebra Linear neste espaço. Considere, para isso, os vetores x, y, z ∈
R3.
2.6.1 Projeção Ortogonal de x sobre y
Se y 6= 0 e λ = x·yy·y , então o vetor x − λy é ortogonal ao vetor y.
De fato, pela linearidade do produto interno e pela definição de λ,
(x − λy) · y = x · y − λ(y · y)
= 0.
λy é a projeção ortogonal de x sobre y.
y
λy
x x − λy
EXEMPLO: x = (1, 1, 0), y = (0, 1, 1) =⇒ λ = 12 , x − λy =
(
1, 12 ,− 12
)
.
2.6.2 Produto Vetorial de x e y
É definido por
x × y := (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1) .23
EXEMPLO: x = (1, 1, 0), y = (0, 1, 1) =⇒ x × y = (1,−1, 1).
O produto vetorial é anti-simétrico e linear, isto é,
x × y = −y × x
23Uma mnemônica para tal expressão é dada pelo “determinante”
x × y =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
x1 x2 x3
y1 y2 y3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
30 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
e, se α e β são escalares reais quaisquer,
(αx + βz)× y = α(x × y) + β(z × y).
EXERCÍCIOS:
1. Demonstre a anti-simetria e a linearidade do produto vetorial.
2. Verifique que i × j = k, k × i = j e j × k = i.
2.6.3 Relação entre Projeção Ortogonal e Produto Vetorial
Se λy é a projeção ortogonal de x sobre y, então
||x × y|| = ||y|| ||x − λy||. (2.3)
EXEMPLO: Ambos os membros de (2.3) igualam
√
3 para x e y dos dois exemplos anteriores.
Para demonstrar (2.3), basta observar que
||x × y||2 = (x2y3 − x3y2)2 + (x3y1 − x1y3)2 + (x1y2 − x2y1)2
=
(
x21 + x
2
2 + x
2
3
) (
y21 + y
2
2 + y
2
3
)
− (x1y1 + x2y2 + x3y3)2
= ||x||2||y||2 − (x · y)2
= ||y||2
(
||x||2 − (x · y)
2
||y||2
)
= ||y||2(x − λy) · x
(
pois λ =
x · y
y · y
)
= ||y||2(x − λy) · (x − λy) (pois (x − λy) · λy = 0)
= ||y||2||x − λy||2.
2.6.4 x e y são LD ⇐⇒ x × y = 0
EXEMPLO: x e y dos três exemplos anteriores são LI e tem produto vetorial não nulo!
Para demonstrar a equivalência anterior, suponha, por um lado, que os vetores são LD. Isto significa que
existe α ∈ R tal que y = αx. Daí
x × y = x × αx
= α(x × x) (pela linearidade do produto vetorial)
= α0 (pela anti-simetria do produto vetorial)
= 0.
Por outro lado, seja nulo o produto vetorial. Podemos supor que y 6= 0 pois a outra possibilidade é trivial.
Segue de (2.3) que ||x − λy|| = 0. Então x = λy. Daí x e y são LD.
2.6. O ESPAÇO R3 31
2.6.5 Produto Misto de x, y e z
É o escalar definido por
(x, y, z) := x · (y × z).
Note que (x, y, z) = (y × z) · x (pela comutatividade do produto interno).
EXERCÍCIOS:
1. Verifique que o produto misto pode ser obtido pelo determinante
(x, y, z) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
2. Verifique que (x, x, y) = (y, x, y) = 0, isto é,
(x × y) · x = (x × y) · y = 0,
isto é, x × y é ortogonal a x e a y.
3. Verifique, usando as definições dos produtos interno e vetorial (e a anti-simetria deste
último), que
(x, y, z) = (z, x, y)
= (y, z, x)
= −(y, x, z)
= −(z, y, x),
isto é,
x · (y × z) = z · (x × y)
= y · (z × x)
= −[y · (x × z)]
= −[z · (y × x)].
2.6.6 Bases de R3 via Produto Misto
Dados três vetores quaisquer em R3, vamos estabelecer um critério, via produto misto, para
determinar se tais vetores são elementos de uma base para o R3.
TEOREMA 1: Sejam x e y LI e z ortogonal a tais vetores. Então z é múltiplo escalar de
x × y.
EXEMPLO: z = (1/2, 1, 1/2) é ortogonal aos vetores x = (1,−1, 1) e y = (−1, 0, 1),24 que
são LI.25 Por outro lado, note que x × y = −2z.
DEMONSTRAÇÃO DO TEO. 1: Decorre da hipótese de ortogonalidade, o seguinte sistema
{
x1z1 + x2z2 + x3z3 = 0,
y1z1 + y2z2 + y3z3 = 0.
24De fato, x · z = 0 e y · z = 0.
25De fato, não podemos escrever um dos vetores x e y como múltiplo do outro.
32 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
Agora vamos eliminar z1 deste sistema multiplicando a primeira equação por y1, a segunda por −x1, e obtendo
a soma das equações resultantes. De modo análogo, podemos eliminar z2 e z3. Obtemos assim o seguinte
sistema: 


z2 (x2y1 − x1y2) + z3 (x3y1 − x1y3) = 0,
z1 (x1y2 − x2y1) + z3 (x3y2 − x2y3) = 0,
z1 (x1y3 − x3y1) + z2 (x2y3 − x3y2) = 0.
Por outro lado, da hipótese da independência linear, decorre que
x × y 6= 0.
(Caso contrário, pela equação (2.3), teríamos necessariamente x e y LD.) Logo alguma componente de x × y é
não nula. Sem perda de generalidade, suponha que x1y2 − x2y1 6= 0. Daí, para
γ =
z3
x1y2 − x2y1
,
temos
z3 = γ (x1y2 − x2y1) .
Substituindo z3 na primeira e na segunda equações do sistema anterior, obtemos, respectivamente,
z2 = γ (x3y1 − x1y3) e z1 = γ (x2y3 − x3y2) .
Temos então que
z = γ(x × y).
TEOREMA 2: Sejam x e y LI. Então {x, y, x × y} é uma base para R3.
DEMONSTRAÇÃO DO TEO. 2: Por um lado, a hipótese da independência linear acarreta x 6= 0 e y 6= 0. Por
outro lado, se λy é a projeção ortogonal de x em y (como estabelecida anteriormente), segue que x′ = x − λy é
ortogonal a y. Além disso, x′ 6= 0 pois x e y são LI. Seja agora z um vetor arbitrário de R3. Vamos demonstrar
que tal vetor pode ser escrito de modo único como CL de x, y e x × y. Sejam
α′ =
z · x′
x′ · x′ e β
′ =
z · y
y · y .
Assim, da linearidade do produto interno e da ortogonalidade de x′ e y, segue que o vetor z − (α′x′ + β′y) é
ortogonal tanto ao vetor x′ quanto ao vetor y.26 Por outro lado, como x′ e y são não nulos e ortogonais, tais
vetores também são LI. Logo, pelo TEOREMA 1, existe algum escalar γ′ tal que
z −
(
α′x′ + β′y
)
= γ′
(
x′ × y
)
,
isto é,
z = α′x′ + β′y + γ′
(
x′ × y
)
.
Substituindo agora x′ = x − λy nesta última equação (e usando que y × y = 0), podemos reagrupar os
coeficientesde tal forma a obter escalares α, β e γ para os quais
z = αx + βy + γ(x × y).27
Resta agora verificar que a tripla ordenada (α, β, γ) é única (em relação a CL anterior). Suponha, por contradi-
ção, que não seja. Daí existe outra tripla ordenada (a, b, c) de números reais tal que
z = ax + by + c(x × y).
Então temos escalares a′, b′ e c′, não todos nulos, tais que
0 = a′x + b′y + c′(x × y).28
26Verifique!
27idem!
28a′ = α − a, b′ = β − b e c′ = γ − c.
2.6. O ESPAÇO R3 33
Multiplique agora ambos os lados de tal equação por x × y. Segue daí que
0 = c′||x × y||2.
Logo, como ||x × y|| = 0 (pois x e y são LI),29 temos necessariamente que c′ = 0. Isto implica na equação
0 = a′x + b′y
com a′ 6= 0 ou b′ = 0, o que equivale a dizer que x e y são LD. Tal conclusão contradiz a hipótese deste teorema.
Como dito anteriormente, o próximo resultado também é válido para o Rn, ainda que te-
nhamos n 6= 3.
TEOREMA 3: As afirmações seguintes são equivalentes:
1. {x, y, z} é uma base de R3.
2. x, y e z geram o R3.
3. x, y e z são LI.
DEMONSTRAÇÃO DO TEO. 3: 1 =⇒ 2 segue diretamente da definição de base.
Agora vamos verificar que 2 =⇒ 3 . Sejam então x, y e z geradores do R3. Suponha então que a afirmação 3
não é verdadeira, isto é, considere que estes três vetores são LD.30 Assim um deles é uma CL dos outros dois.
Logo dois destes vetores, digamos x e y, geram R3. Daí, no caso de x × y = 0, isto é, caso x e y sejam LD,31 um
deles, digamos x, gera R3. Mas isto não é possível já que podemos facilmente obter algum vetor não nulo em
R3 que seja ortogonal a x. Por outro lado, também não é possível supor x × y 6= 0 pois este produto vetorial é
não nulo e ortogonal aos vetores x e y, não sendo portanto uma CL dos mesmos.
Para concluir, vamos provar a implicação 3 =⇒ 1 . Considere então que x, y e z são LI. Daí dois deles, digamos
os dois primeiros, também são LI. Bom, o TEOREMA 2 nos diz que estes dois vetores, juntamente com seu
produto vetorial, são os elementos de uma base de R3. Isto implica na existência de números reais, digamos α,
β e γ, tais que
z = αx + βy + γ(x × y).
A hipótese inicial de independência linear nos garante que γ é não nulo e, daí,
x × y = 1
γ
(z − αx − βy).
Seja agora v um vetor arbitrário de R3. Como visto acima para z, para v também existem escalares α′, β′ e γ′
tal que
v = α′x + β′y + γ′(x × y).
Substituindo a penúltima equação nesta última, temos
v = α′x + β′y +
γ′
γ
(z − αx − βy)
=
(
α′ − γ
′
γ
α
)
x +
(
β′ − γ
′
γ
β
)
y +
γ′
γ
z.
Então v é uma CL de x, y e z. Que tal CL é única segue da hipótese inicial da independência linear.
29Veja a subseção 2.6.4.
30Tal suposição vai acarretar uma contradição no fato de tais vetores gerarem R3!
31Veja a subseção 2.6.4.
34 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
Regra de Cramer - Parte I
Agora, finalmente, vamos estabelecer o critério que afirma que produto misto não nulo é
condição necessária e suficiente para que os três vetores de tal produto formem uma base
de R3. Além disso, podemos obter as coordenadas de um vetor arbitrário em tal base.
TEOREMA 4: As afirmações seguintes são equivalentes:
1. (x, y, z) 6= 0.
2. {x, y, z} é uma base de R3.
Caso seja base e
v = αx + βy + γz, (2.4)
as coordenadas de v em tal base são obtidas via
α =
(v, y, z)
(x, y, z)
, β =
(x, v, z)
(x, y, z)
e γ =
(x, y, v)
(x, y, z)
. (2.5)
EXERCÍCIO: Verifique que x = (1, 1, 0), y = (0, 1, 1) e z = (0, 1, 0) formam uma base para o
R3 e calcule as coordenadas de v = (1, 1, 1) nesta base.
DEMONSTRAÇÃO DO TEO. 4: Primeiro vamos demonstrar a implicação 1 =⇒ 2 . Suponha daí que a con-
dição 1 é válida. Assim
z · (x × y) = x · (y × z) 6= 0.
Então x, y e x × y são não nulos e, além disso, x e y são LI. Logo, pelo TEOREMA 2, {x, y, x × y} é base de R3,
o que garante a existência de escalares, digamos α, β e γ, tais que
z = αx + βy + γ(x × y).
Agora, multiplicando escalarmente ambos os lados desta equação por x × y, temos
z · (x × y) = γ||x × y||2.
Claramente γ 6= 0 pois x · (y × z) 6= 0 por hipótese. De tal fato e da penúltima equação anterior, temos
x × y = − α
γ
x − β
γ
y +
1
γ
z.
Tal CL e o fato de que cada vetor de R3 pode ser escrito como CL de x, y e x × y tem como consequência o
seguinte: cada vetor de R3 pode ser escrito como CL de x, y e z. Para que a condição 2 seja válida, dado v ∈ R3
arbitrário, resta provar a unicidade da CL de tal v em termos dos vetores x, y e z. Considere assim escalares α,
β e γ tais que a equação (2.4) seja válida. Multiplicando escalarmente ambos os membros de tal equação por
y × z, z × x e x × y, obtemos, respectivamente,
v · (y × z) = α[x · (y × z)],
v · (z × x) = β[y · (z × x)] e
v · (x × y) = γ[z · (x × y)].
Reordenando os produtos mistos onde seja necessário, não só obtemos α, β e γ como dados em (2.5), como
também provamos a unicidade da CL (2.4).
Para a implicação 2 =⇒ 1 , considere a validade da condição 2, isto é, suponha que {x, y, z} é uma base para
2.6. O ESPAÇO R3 35
o R3. Assim, pelo TEOREMA 3, tais vetores são LI e, em particular, x e y são LI. Daí x × y 6= 0.32 Além disso,
pelo TEOREMA 2, {x, y, x × y} é uma base para o R3. Em particular, existem escalares α, β e γ tais que
z = αx + βy + γ(x × y)
com γ 6= 0 (pois {x, y, z} é uma base para o R3). Multiplicando escalarmente ambos os membros da equação
anterior por x × y, temos
x · (y × z) = z · (x × y)
= γ||x × y||2
6= 0.
Regra de Cramer - Parte 2
Denote agora x = (a11, a21, a31), y = (a12, a22, a32), z = (a13, a23, a33), α = x, β = y e γ = z.
Verifique daí que: (1) O TEOREMA 4 é equivalente a Regra de Cramer estudada no ensino
médio; (2) Independência linear garante existência e unicidade de solução para o ‘sistema’
(2.4) via o TEOREMA 3 e o TEOREMA 4.
32Veja a subseção 2.6.4.
36 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
2.7 Exercícios
1. Determine x, y ∈ R4 tais que as coordenadas de x são todas iguais, a última coorde-
nada de y é igual a 1 e x + y = (2, 3, 4, 5).33
2. Se x = (1, 2, 3), y = (4, 5, 0) e z = (6, 0, 0), determine escalares x, y e z tais que xx +
yy + zz = (41/2, 11, 1/2).34
3. Obtenha a equação geral do hiperplano do R4 que passa pelos pontos P1 = (1,−1, 1, 0),
P2 = (0,−1, 2, 0), P3 = (1, 0,−2, 2) e P4 = (1, 0, 0, 0). Determine ainda os pontos da
reta que passa por P1 e é perpendicular a tal hiperplano que distam de P1 uma uni-
dade de comprimento (u.c.).
RESOLUÇÃO PARCIAL:
ax + by + cz + dw = e é a equação geral do hiperplano a ser determinada. Portanto, como a = (a, b, c, d)
é ortogonal a x1 = P1 −P4, x2 = P2 −P4 e x3 = P3 −P4, obtenha a = b = c = d resolvendo o sistema
xi · a = 0, i = 1, 2, 3. Note daí que x + y + z + w = 1 é a equação do hiperplano procurada substituindo
as coordenadas de P4 em a(x + y + z + w) = e. Agora, se P1 é o ponto final do vetor x0, via a equação
vetorial da reta x = x0 + ta, t ∈ R, e observando que procuramos pontos x desta reta tais que
||x − x0|| = ||ta|| = 1 u.c.,
obtenha os pontos
(
1
2 ,− 32 , 12 ,− 12
)
e
(
3
2 ,− 12 , 32 , 12
)
que distam uma u.c. de P1.
4. Em cada um dos itens seguintes, demonstre que S é um subespaço do Rn. Além disso,
apresente uma base de S e sua dimensão.
(a) n = 3 e S =
{
x = (x1, x2, x3)
∣
∣ ax1 + bx2 + cx3 = 0
}
, o plano que passa pela ori-
gem com vetor normal a = (a, b, c) 6= 0;
(b) n = 4 e:
i. S =
{
x = (x1, x2, x3, x4)
∣
∣
∣
∣
x2 = 2x1, x3 = 3x1, x4 = 4x1
}
, uma reta que passa
pela origem;
ii. S =
{
x = (x1, x2, x3, x4)
∣
∣
∣
∣
x3 = x1 + 2x2, x4 = x1 − x2
}
, um plano que passa
pela origem;
iii. S =
{
x = (x1, x2, x3, x4)
∣
∣
∣
∣
x4 = x1 + 2x2 + 3x3
}
.
RESOLUÇÃO:
(a) Pelo exercício 6 de 2.5.1, S é subespaço do R3 caso seja gerado por r vetores. Vamos verificar aqui
que r = 2 vetores geram S e são LI, que é a garantia de que tais vetores formam uma base de S e
dimS = 2. Portanto, note primeiramente que (a, b, c) 6= 0 tem alguma coordenada não nula. Suponha
sem perda de generalidade que c 6= 0. Então, por um lado, como
S ∋ x =
(
x1, x2,−
a
c
x1 −
b
c
x2
)
= x1
(
1, 0,− a
c
)
+ x2
(
0, 1,− b
c)
,
33 RESPOSTA: x = (4, 4, 4, 4) e y = (−2,−1, 0, 1).
34 RESPOSTA: x = 16 , y =
32
15 e z =
177
90 .
2.7. EXERCÍCIOS 37
temos que a1 =
(
1, 0,− ac
)
e a2 =
(
0, 1,− bc
)
geram S pois todo x ∈ S é CL de a1 e a2. Por outro lado, a1
e a2 são LI pois temos x = 0 apenas quando x1 = x2 = 0.
(b)i. S é subespaço do R4 caso seja gerado por r vetores. Vamos verificar aqui que r = 1 vetor gera S e,
por ser não nulo, é LI. Isto é a garantia que tal vetor é o único elemento de uma base de S e dimS = 1.
Assim, como
S ∋ x = (x1, 2x1, 3x1, 4x1)
= x1(1, 2, 3, 4),
temos que a1 = (1, 2, 3, 4) 6= 0 gera S .
(b)ii. S é subespaço do R4 caso seja gerado por r vetores. Vamos verificar aqui que r = 2 vetores geram
S e são LI, que é a garantia de que tais vetores formam uma base de S e dimS = 2. Assim, como
S ∋ x = (x1, x2, x1 + 2x2, x1 − x2)
= x1(1, 0, 1, 1) + x2(0, 1, 2,−1),
temos que a1 = (1, 0, 1, 1) e a2 = (0, 1, 2,−1) geram S e, como nenhum deles é múltiplo escalar do
outro, são LI.
(b)iii. S é subespaço do R4 caso seja gerado por r vetores. Vamos verificar aqui que r = 3 vetores geram
S e são LI, que é a garantia de que tais vetores formam uma base de S e dimS = 3. Assim, como
S ∋ x = (x1, x2, x3, x1 + 2x2 + 3x3)
= x1(1, 0, 0, 1) + x2(0, 1, 0, 2) + x3(0, 0, 1, 3),
temos que a1 = (1, 0, 0, 1), a2 = (0, 1, 0, 2) e a3 = (0, 0, 1, 3) geram S e, igualando-se x ao vetor nulo,
chega-se a conclusão que xi = 0, i = 1, 2, 3, isto é, estes três vetores são LI.
5. Justifique porque S não é um subespaço do R2 para:
(a) S =
{
x =
[
x1
x2
] ∣
∣
∣
∣
x2 = x
2
1
}
;
(b) S =
{
x =
[
x1
x2
] ∣
∣
∣
∣
x2 = 1
}
.
RESOLUÇÃO:
35
(a) Note que, por exemplo, x = (1, 1) ∈ S mas 2x 6∈ S pois sua segunda coordenada não é o quadrado
de sua primeira coordenada.
(b) Note que, por exemplo, o vetor nulo não pertence a S .
6. Demonstre as afirmações seguintes:
(a) Nenhuma base de um subespaço do Rn pode conter o vetor nulo pois é LD qual-
quer conjunto finito de vetores do Rn que contenha 0.36
35Existem inúmeras resoluções para esse exercício. Obtenha a sua!
36
RESOLUÇÃO:
Em Rn, considere que ai = 0 é um entre os vetores a1, a2, . . . , ar. Tais vetores são LD. De
fato, para termos uma CL nula
c1a1 + c2a2 + · · ·+ crar = 0
não trivial, basta considerarmos que ci é o único coeficiente não nulo. Por exemplo, para ci = 1, temos
0 · a1 + · · ·+ 0 · ai−1 + 1 · ai + 0 · ai+1 + · · ·+ 0 · ar = 0.
38 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
(b) Nenhum vetor pode ter ‘coordenadas’ distintas numa mesma base, isto é, se
{a1, a2, . . . , ar} é uma base de um subespaço S do Rn, c1, c′1, c2, c′2, . . . , cr, c′r são
escalares e x ∈ S é tal que
x = c1a1 + c2a2 + · · ·+ crar
= c′1a1 + c
′
2a2 + · · ·+ c′rar,
então c1 = c′1, c2 = c
′
2 . . . , cr = c
′
r.
37
c1, . . . , cr são ditos as coordenadas de x na base {a1, a2, . . . , ar}.
(c) Sendo S um subespaço do Rn e {a1, a2, . . . , ar} uma base ortonormal de S , as
coordenadas de x = c1a1 + c2a2 + · · ·+ crar são dadas por
c1 = x · a1, c2 = x · a2, . . . , cr = x · ar.38 (2.6)
7. Considere
a1 =
[ 1√
2
1√
2
]
e a2 =
[
− 1√
2
1√
2
]
.
Demonstre que {a1, a2} é uma base ortonormal do R2 e determine as coordenadas de
x =
[
1
2
]
= e1 + 2e2
em tal base.39
8. Considere
a1 =





1√
2
1√
2
0
0





, a2 =





− 1√
6
1√
6
0
2√
6





e a3 =






− 1
2
√
3
1
2
√
3
3
2
√
3
− 1
2
√
3






.
Demonstre que {a1, a2, a3} é uma base ortonormal de um subespaço S (de dimensão
3) do R4 e, caso seja possível, determine as coordenadas de
x =




1
3
1
1




= e1 + 3e2 + e3 + e4
em tal base.40
37 DICA: Note que
(
c1 − c′1
)
a1 + · · ·+ (cr − c′r) ar = 0. Use agora o fato de que os r vetores são LI.
38 DICA: Multiplique ambos os membros da CL x = c1a1 + · · · + crar por ai para obter o escalar ci, i =
1, . . . , r. (Confira como fizemos em 2.5.5.)
39 SUGESTÃO: Use (2.6) do item (c) anterior.
40x ∈ S caso x seja uma CL dos vetores a1, a2 e a3. Embora não saibamos de antemão se isso acontece,
podemos resolver tal exercício de modo heurístico, partindo-se da suposição de que tal CL pode ser obtida
para tentarmos calcular as coordenadas de x em tal base. Caso tais coordenadas possam ser obtidas, isto
significa que a suposição inicial era, de fato, válida.
2.7. EXERCÍCIOS 39
9. Sejam r e n dois inteiros positivos com 2 ≤ r ≤ n. (O processo de ortogonalização de)
Gram-Schmidt utiliza uma base B = {a1, a2, . . . , ar} de um subespaço S do Rn para
obter uma base ortogonal B′ = {a′1, a′2, . . . , a′r} de S via:
a′1 := a1;
a′2 := a2 −
a2 · a′1
a′1 · a′1
a′1;
a′3 := a3 −
a3 · a′1
a′1 · a′1
a′1 −
a3 · a′2
a′2 · a′2
a′2;
...
a′r := ar −
ar · a′1
a′1 · a′1
a′1 −
ar · a′2
a′2 · a′2
a′2 − · · · −
ar · a′r−1
a′r−1 · a′r−1
a′r−1.
Demonstre que, por exemplo, se r = 3, então B′ = {a′1, a′2, a′3} é ortogonal.41
10. Obtenha uma base ortonormal de R2 aplicando Gram-Schmidt na base {(1, 2), (3, 4)}.
RESOLUÇÃO:
Note primeiramente que os dois vetores dados são LI (já que nenhum deles é múltiplo
escalar do outro).42 Logo tais vetores geram um subespaço S de dimensão 2 do R2. Isto significa que
S = R2. Por outro lado, denote a1 = (1, 2) e a2 = (3, 4) para poder utilizar a questão anterior. Calcule
daí
a′1 = (1, 2);
a′2 = (3, 4)−
(3, 4) · (1, 2)
(1, 2) · (1, 2) (1, 2)
=
(
3 − 11
5
, 4 − 22
5
)
=
(
4
5
,−2
5
)
.
Como
{
a′1, a
′
2
}
é ortogonal,43 resta agora, a partir de tal base, obter
{
a′′1 , a
′′
2
}
ortonormal. Para isso, faça
a′′1 =
a′1
||a′1||
=
1√
5
(1, 2);
a′′2 =
a′2
||a′2||
=
1
2
√
5/5
(4/5,−2/5).
11. Aplique Gram-Schmidt na base B = {(0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0)} de um subes-
paço S do R4.44
41 SUGESTÃO: Basta verificar que a′1 · a′2 = 0, a′1 · a′3 = 0 e a′2 · a′3 = 0. Vale a pena observar também que, se
a2 = x e a′1 = y em 2.6.1, então a
′
2 é ortogonal a a
′
1!
42Verifique!
43Verifique!
44Verifique que os três vetores dados são LI antes de iniciar o Gram-Schmidt!
40 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
12. Dê um exemplo de uma base ortonormal do R3 que contenha o vetor
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
.45
13. Dê um exemplo de uma base ortonormal do R4 que contenha o vetor
(
1
2 ,
1
2 ,
1
2 ,
1
2
)
. Cal-
cule as coordenadas de x = (1, 2, 3, 4) na base ortonormal daí obtida.
RESOLUÇÃO:
Como na sugestão da ‘footnote’ do exercício anterior, vamos aplicar Gram-Schmidt
numa base B = {a1, a2, a3, a4} com a1 =
(
1
2 ,
1
2 ,
1
2 ,
1
2
)
e, por exemplo, a2 = (1, 0, 0, 0), a3 = (0, 1, 0, 0) e
a4 = (0, 0, 1, 0).46 Calculemos então:
a′1 = a1
=
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
;
a′2 = a2 −
a2 · a′1
a′1 · a′1
a′1
= (1, 0, 0, 0)− 1/2
1
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
= (1, 0, 0, 0)−
(
1
4
,
1
4
,
1
4
,
1
4
)
=
(
3
4
,−1
4
,−1
4
,−1
4
)
;
a′3 = a3 −
a3 · a′1
a′1 · a′1
a′1 −
a3 · a′2
a′2 · a′2
a′2
= (0, 1, 0, 0)− 1/2
1
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
+
1/4
3/4
(
3
4
,−1
4
,−1
4
,−1
4
)
= (0, 1, 0, 0)−
(
1
4
,
1
4
,
1
4
,
1
4
)
+
(
1
4
,− 1
12
,− 1
12
,− 1
12
)
=
(
0,
2
3
,−1
3
,−1
3
)
;
a′4 = a4 −
a4 · a′1
a′1 · a′1
a′1 −
a4 · a′2
a′2 · a′2
a′2 −
a4 · a′3
a′3 · a′3
a′3
= (0, 0, 1, 0)− 1/2
1
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
+
1/4
3/4
(
3
4
,−1
4
,−1
4
,−1
4
)
+
1/3
2/3
(
0,
2
3
,−1
3
,−1
3
)
= (0, 0, 1, 0)−
(
1
4
,
1
4
,
1
4
,
1
4
)
+
(
1
4
,− 1
12
,− 1
12
,− 1
12
)
+
(
0,
1
2
,−1
6
,−1
6
)
=
(
0, 0,
1
2
,−1
2
)
.
Como B′ =
{
a′1, a
′
2, a
′
3, a
′
4
}
é ortogonal, resta agora, a partir de tal base, obter B′′ =
{
a′′1 , a
′′
2 , a
′′
3 , a
′′
4
}
45 SUGESTÃO: Aplique Gram-Schmidt numa base B = {a1, a2, a3} com a1 =
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
e, por exemplo,
a2 = (1, 0, 0) e a3 = (0, 1, 0). Outra sugestão é resolver via produto vetorial. Por exemplo, considere a1 =(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
, a2 =
(
1√
2
,− 1√
2
, 0
)
e a3 =
a1×a2
||a1×a2|| .
46Antes de prosseguir com as contas, verifique que os quatro vetores dados são LI.
2.7. EXERCÍCIOS 41
ortonormal. Paraisso, considere
a′′1 =
a′1
||a′1||
=
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
)
;
a′′2 =
a′2
||a′2||
=
1√
3/2
(
3
4
,−1
4
,−1
4
,−1
4
)
=
(√
3
2
,−
√
3
6
,−
√
3
6
,−
√
3
6
)
;
a′′3 =
a′3
||a′3||
=
1√
2/3
(
0,
2
3
,−1
3
,−1
3
)
=
(
0,
√
6
3
,−
√
6
6
,−
√
6
6
)
;
a′′4 =
a′4
||a′4||
=
1√
1/2
(
0, 0,
1
2
,−1
2
)
=
(
0, 0,
√
2
2
,−
√
2
2
)
.
Para obtermos as coordenadas de x = (1, 2, 3, 4) na base B′′, escrevemos
x = c1a
′′
1 + c2a
′′
2 + c3a
′′
3 + c4a
′′
4 .
Agora, para evitar a resolução de um sistema linear não trivial de quatro equações nas variáveis c1, c2,
c3 e c4, podemos calcular
ci = x · a′′i para i = 1, 2, 3, 4,
conforme a fórmula (2.6) da página 38 (pois B′′ é ortonormal).
14. O complemento ortogonal S⊥ do subespaço S do Rn é o conjunto dos vetores do Rn
ortogonais a todos os vetores de S , isto é,
S⊥ =
{
y ∈ Rn
∣
∣ x · y = 0 para cada x ∈ S
}
.
0
S
x
S⊥
y
A figura anterior ilustra um exemplo para n = 3.
42 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
(a) Demostre que S⊥ é subespaço do Rn para todo n.47
(b) Determine uma base para S⊥ se n e a base de S são dadas (respectivamente) por:
i. 2 e {(1, 1)}; SOLUÇÃO: {(1,−1)};
ii. 3 e {(1, 1, 1)}; SOLUÇÃO: {(1, 0,−1), (0, 1,−1)};
iii. 3 e {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}; SOLUÇÃO: {(−1,−1, 1)};
iv. 4 e {(1, 1, 1, 1)}; SOLUÇÃO: {(1, 0, 0,−1), (0, 1, 0,−1), (0, 0, 1,−1)};
v. 4 e {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}; SOLUÇÃO: {(1, 0, 0,−1), (0, 1,−1, 0)};
vi. 4 e {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)}; SOLUÇÃO: {(1,−1, 1,−1)}.
OBSERVAÇÕES:
I. Seja y ∈ S⊥. Tal vetor é perpendicular a todo vetor de S . Daí, em particular,
caso tenhamos alguma base de S , y é perpendicular a todo vetor desta base.
II. Em (R33), 7.2, demonstraremos que dimS + dimS⊥ = n.
Assim, por exemplo, no item v., para escrever y = (y1, y2, y3, y4) ∈ S⊥ como uma
CL dos vetores de uma base de S⊥, basta resolver o sistema linear
{
x1 · y = 0
x2 · y = 0
com x1 e x2 sendo os vetores da base de S dada. A base de S⊥ obtida via tal
sistema linear será composta por dois vetores pois
dimS = 2 e n = 4 =⇒ dimS⊥ = 2.
15. Considere que S é o subespaço unidimensional de R4 gerado por (1, 1, 1, 1). Seja y =
(1, 1, 1,−3).
(a) É verdade que
y ∈ S⊥.
Justifique corretamente tal afirmação.
(b) Determine uma base ortonormal de S⊥.
(c) Calcule as coordenadas de y na base obtida no item anterior.
47
RESOLUÇÃO:
As condições 1., 2. e 3. dadas no início da seção 2.5 (com S⊥ no lugar de S) são satisfeitas:
1. 0 ∈ S⊥ pois x · 0 = 0 para todo x ∈ S ;
2. Sejam α ∈ R e y ∈ S⊥, isto é, x · y = 0 para todo x ∈ S . Daí αy ∈ S⊥ pois, para todo x ∈ S , temos que
x · (αy) = α (x · y)
= α · 0
= 0;
3. Sejam y1, y2 ∈ S⊥, isto é, x · y1 = 0 = x · y2 para todo x ∈ S . Daí y1 + y2 ∈ S⊥ pois, para todo x ∈ S ,
x · (y1 + y2) = x · y1 + x · y2
= 0 + 0
= 0.
2.7. EXERCÍCIOS 43
RESOLUÇÃO:
(a) Como y é ortogonal ao gerador de S , então é ortogonal a qualquer vetor de S . Daí
y ∈ S⊥. (Na questão anterior, item iv., determinamos que B = {(1, 0, 0,−1), (0, 1, 0,−1), (0, 0, 1,−1)} é
uma base de S⊥. Assim, outro modo de verificar que y ∈ S⊥ é observar que y é a soma dos três vetores
da base B.)
(b) Sejam agora y1, y2 e y3 os vetores de B, na ordem em que aparecem em tal base. Sendo B claramente
não ortogonal, usaremos Gram-Schimdt para obter uma base B′ =
{
y′1, y
′
2, y
′
3
}
ortogonal. Daí:
y′1 = y1
= (1, 0, 0,−1);
y′2 = y2 −
y2 · y′1
y′1 · y′1
y′1
= (0, 1, 0,−1)− 1
2
(1, 0, 0,−1)
= (0, 1, 0,−1)−
(
1
2
, 0, 0,−1
2
)
=
(
−1
2
, 1, 0,−1
2
)
;
y′3 = y3 −
y3 · y′1
y′1 · y′1
y′1 −
y3 · y′2
y′2 · y′2
y′2
= (0, 0, 1,−1)− 1
2
(1, 0, 0,−1)− 1/2
3/2
(
−1
2
, 1, 0,−1
2
)
= (0, 0, 1,−1)−
(
1
2
, 0, 0,−1
2
)
−
(
−1
6
,
1
3
, 0,−1
6
)
=
(
−1
3
,−1
3
, 1,−1
3
)
.
Vamos obter agora B′′ =
{
y′′1 , y
′′
2 , y
′′
3
}
ortonormal da seguinte forma:
y′′1 =
y′1
||y′1||
=
(
1√
2
, 0, 0,− 1√
2
)
;
y′′2 =
y′2
||y′2||
=
1√
3/2
(
−1
2
, 1, 0,−1
2
)
=
(
− 1√
6
,
√
2
3
, 0,− 1√
6
)
;
y′′3 =
y′3
||y′3||
=
1
2/
√
3
(
−1
3
,−1
3
, 1,−1
3
)
=
(
−
√
3
6
,−
√
3
6
,
√
3
2
,−
√
3
6
)
.
(c) Para obtermos as coordenadas de y na base B′′, se
y = c1y
′′
1 + c2y
′′
2 + c3y
′′
3 ,
podemos calcular
ci = y · y′′i para i = 1, 2, 3,
conforme a fórmula (2.6) da página 38.
44 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
2.7.1 Resolução do Exercício da 2.5.1
As três condições do início da seção 2.5 devem ser checadas para verificar que S é subespaço de Rn para os
itens 1–6 de 2.5.1. Assim, primeiramente, note que tal checagem é trivial para os itens 1 e 2. Por exemplo,
S = {0} é subespaço pois:
• 0 ∈ S ;
• αx ∈ S para quaisquer α ∈ R e x ∈ S pois
αx = α0
= 0;
• x + y ∈ S para quaisquer x, y ∈ S pois
x + y = 0 + 0
= 0.
Agora o item 3, isto é, S = {x = ta | t ∈ R}:
• 0 ∈ S pois 0 = 0a;
• αx ∈ S para quaisquer α ∈ R e x ∈ S pois x = ta com t ∈ R e, daí,
αx = α(ta)
= (αt)a
com αt ∈ R;
• x + y ∈ S para quaisquer x, y ∈ S pois x = t1a e y = t2 ∈ R com t1, t2 ∈ R e, daí,
x + y = t1a + t2a
= (t1 + t2) a
com t1 + t2 ∈ R.
Agora o item 5,48 isto é, S = {x | ai · x = 0 para i = 1, 2, . . . , r}:
• 0 ∈ S pois ai · 0 = 0 para i = 1, 2, . . . , r;
• αx ∈ S para quaisquer α ∈ R e x ∈ S pois
ai · (αx) = α (ai · x)
= α0
= 0
para i = 1, 2, . . . , r;
• x + y ∈ S para quaisquer x, y ∈ S pois
ai · (x + y) = ai · x + ai · y
= 0 + 0
= 0
para i = 1, 2, . . . , r.
Para finalizar, falta considerar o item 6, isto é, o conjunto S de todas as CL’s dos vetores a1, a2, . . . , ar ∈ Rn.
Vejamos:
• 0 ∈ S pois 0 = 0a1 + 0a2 + · · ·+ 0ar;
48Note que o item 4 é um caso particular do item 5 (r = 1)!
2.7. EXERCÍCIOS 45
• αx ∈ S para quaisquer α ∈ R e x ∈ S pois, como x = c1a1 + c2a2 + · · ·+ crar com ci ∈ R, i = 1, 2, . . . , r,
temos
αx = α (c1a1 + c2a2 + · · ·+ crar)
= α (c1a1) + α (c2a2) + · · ·+ α (crar)
= (αc1) a1 + (αc2) a2 + · · ·+ (αcr) ar
com αci ∈ R para i = 1, 2, . . . , r;
• x + y ∈ S para quaisquer x, y ∈ S pois, como x = c1a1 + c2a2 + · · ·+ crar e y = d1a1 + d2a2 + · · ·+ drar
com ci, di ∈ R, i = 1, 2, . . . , r, temos
x + y = c1a1 + c2a2 + · · ·+ crar + d1a1 + d2a2 + · · ·+ drar
= c1a1 + d1a1 + c2a2 + d2a2 + · · ·+ crar + drar
= (c1 + d1) a1 + (c2 + d2) a2 + · · ·+ (cr + dr) ar
com ci + di ∈ R para i = 1, 2, . . . , r.
46 CAPÍTULO 2. O ESPAÇO VETORIAL RN
Capítulo 3
O Espaço Vetorial Rm×n
O espaço Rn do capítulo anterior é um caso particular
de um mais geral: o espaço Rm×n das ‘matrizes’ m× n.
Tal espaço, além de generalizar o Rn, é fundamental
no estudo de ‘sistemas lineares’.
3.1 Adição de Matrizes - Multiplicação por Escalares
3.1.1 Matrizes
• Doravante, matrizes são denotadas por letras maiúsculas em itálico, isto é,
A, B, C, D, I, M, R, etc.
Contudo, algumas matrizes especiais serão representadas por letras maiúsculas em
‘sans-serif’, isto é,
O,D, I,R,E,P.
• As entradas (ou os elementos) de A ∈ Rm×n são representadas por aij, dizemos que A é
m × n e denotamos
A =





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn





(3.1)
cujas entradas têm índices i = 1, 2, . . . , m e j = 1, 2, . . . , n.
Representações similares valem para matrizes B, C, D, I, M, R, etc.
• Embora tais entradas sejam números reais em quase todos os nossos exemplos, a partir
do Capítulo 6 as mesmas poderão assumir valores complexos com partes imaginárias
não nulas.
• Para i fixo e j variável, representamos a i-ésima linha de A por
A(i,−) =
[
ai1 ai2 · · · ain
]
.
47
48 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RM×N
• Para i variável e j fixo, temos a j-ésima coluna de A representada por
A(−, j) :=





a1j
a2j
...
amj





= aj.
EXEMPLO: Para i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4, 5, vamos determinar a entrada aij, a linha A(i,−) e
a coluna A(−, j) = aj de
A =


1 −1 0 2
√
2
π π/2 1 −2 0
0 −1 1/
√
2 1/2 −π

 ∈ R3×5.
a11 = −a12 = a23 = −a32 = 1;
a13 = a25 = a31 = 0;
a14 = (a15)
2 = −a24 = (a33)−2 = (a34)−1 = 2;
a21 = 2a22 = −a35 = π;
A(1,−) =
[
1 −1 0 2
√
2
]
;
A(2,−)=
[
π π/2 1 −2 0
]
;
A(3,−) =
[
0 −1 1/
√
2 1/2 −π
]
;
A(−, 1) =


1
π
0


= a1;
A(−, 2) =


−1
π/2
−1


= a2;
A(−, 3) =


0
1
1/
√
2


= a3;
A(−, 4) =


2
−2
1/2


= a4;
A(−, 5) =


√
2
0
−π


= a5.
3.1. ADIÇÃO DE MATRIZES - MULTIPLICAÇÃO POR ESCALARES 49
• A igualdade de A e B, ambas m × n, é estabelecida via
A = B ⇐⇒ aij = bij para i = 1, 2, . . . , m e j = 1, 2, . . . , n.
• Aqui, O denota a matriz cujas entradas são nulas, isto é,
A = O ⇐⇒ aij = 0 com i, j variando como anteriormente.
Por tal motivo, O é chamada de matriz nula.
EXERCÍCIOS:
- A matriz
A =
[
0 0
0 0, 0000000001
]
é igual a matriz nula 2 × 2. Tal afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique!
- Determine o valor de t para que
[
t2 − 1 t2 − t
t3 − 1 t2 − 3t + 2
]
iguale a matriz nula de R2×2. RESPOSTA: t = 1.
3.1.2 Por que Rm×n é Espaço Vetorial?
• Porque é munido de duas operações ’entrada-a-entrada’ caracterizadas pelas oito pro-
priedades estabelecidas a seguir.
– A soma A + B de A e B, ambas m × n, é a matriz m × n cuja entrada da linha i e da
coluna j é definida por:
C = A + B ⇐⇒ cij := aij + bij, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
EXEMPLO: Em R2×3,
[
1
√
2 ln e
0 0, 1 1/3
]
+
[
−1 −2
√
2 ln 1
π 1 −4/3
]
=
[
0 −
√
2 1
π 1, 1 −1
]
.
– Para λ ∈ R e A m × n, o produto por escalar λA é a matriz m × n cuja entrada da
linha i e da coluna j é definida por:
D = λA ⇐⇒ dij := λaij, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
EXEMPLO: Em R2×2,
2
[
1/
√
2
√
2
0 −1/4
]
=
[ √
2 2
√
2
0 −1/2
]
.
• Assim como para o Rn, as seguintes propriedades em Rm×n são sempre válidas:
1. A + B = B + A; (comutativa)
50 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RM×N
2. (A + B) + C = A + (B + C); (associativa)
3. A +O = A; (matriz nula)
4. −A := (−1)A =⇒ A + (−A) = O; (matriz oposta)
5. λ(A + B) = λA + λB; (distributiva em relação a soma das matrizes)
6. (λ + β)A = λA + βA; (distributiva em relação a soma dos escalares)
7. (λβ)A = λ(βA); (associativa)
8. 1A = A.
DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE 1: Como visto na subseção 3.1.1, a igualdade das matrizes A + B
e B + A é equivalente a igualdade das suas entradas aij + bij e bij + aij, i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. Por-
tanto, como a adição em R é comutativa,1 temos que aij + bij = bij + aij, i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n.
Assim, A + B = B + A.
EXERCÍCIO: Demonstre as propriedades 2–8 anteriores.
• Podemos estabelecer uma
Correspondência Biunívoca entre Rm×n e Rmn:
Em Rm×n, temos conceitos e resultados análogos aos de
Rn, tais como subespaço, CL, geradores, LI, LD, base,
dimensão, etc, como ilustram alguns exemplos/exercícios
deste capítulo. De fato, como pode ser visto na seção
6.2, podemos fazer corresponder biunivocamente matrizes
m × n a vetores em Rmn de modo natural. Por exemplo,
a matriz A dada em (3.1), p. 47, e
a = (a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , am1, . . . , amn)
onde as mn coordenadas consecutivas de tal vetor são as
entradas consecutivas de A(1,−), A(2,−), . . . , A(m,−),
nesta ordem. Tal correspondência preserva combinações
lineares, isto é, caso Ai corresponda biunivocamente a ai
e αi ∈ R, i = 1, . . . , r, α1A1 + · · · + αr Ar corresponde
biunivocamente a α1a1 + · · ·+ αrar.
EXEMPLO: O quadro seguinte ilustra a ‘mesma’ CL nula escrita tanto matricialmente
quanto vetorialmente:
R3×2 R6
A =


−2 3
0 6
4 −12

 a = (−2, 3, 0, 6, 4,−12)
B =


1/6 −1/4
0 −1/2
−1/3 1

 b = (1/6,−1/4, 0,−1/2,−1/3, 1)
1
12 A + B = O
1
12 a + b = 0
1Lembram do mantra A ORDEM DAS PARCELAS NÃO ALTERA A SOMA?
3.1. ADIÇÃO DE MATRIZES - MULTIPLICAÇÃO POR ESCALARES 51
EXEMPLO: Assim como temos a base canônica {e1, e2, e3, e4} de R4 e qualquer vetor
a = (a, b, c, d)
de tal espaço pode ser escrito da forma
a = ae1 + be2 + ce3 + de4,
temos também a base canônica {E1, E2, E3, E4} de R2×2 e qualquer matriz
A =
(
a b
c d
)
deste espaço pode ser escrita da forma
A = aE1 + bE2 + cE3 + dE4.
Aqui, obviamente,
E1 =
(
1 0
0 0
)
,
E2 =
(
0 1
0 0
)
,
E3 =
(
0 0
1 0
)
e
E4 =
(
0 0
0 1
)
.
EXERCÍCIO: Para números reais C, D, E e F não-nulos, seja S o subespaço de R2×2
gerado por
A1 =
(
C 0
0 D
)
e A2 =
(
0 E
F 0
)
.
(a) Prove que A1 e A2 são LI;
(b) Apresente alguma matriz A3 ∈ R2×2 tal que A3 6∈ S ;
(c) Apresente um subespaço S ′ de R2×2 que contenha S com S 6= S ′ 6= R2×2.
RESOLUÇÃO:
(a) Basta verificar que A1 e A2 não são múltiplas uma da outra!
(b) Verifique que, por exemplo, se A3 é uma matriz da base canônica de R2×2,2 A3 não
pode ser escrita combinação linear de A1 e A2.
(c) Seja A3 como no item anterior. Considere que S ′ seja gerado por A1, A2 e A3. Pelos
itens anteriores, tem-se que S ⊂ S ′, S 6= S ′ e A1, A2 e A3 são LI. Deste último fato
temos dimS ′ = 3. Portanto S ′ 6= R2×2 (uma vez que dim R2×2 = 4).
• Em Rm×n, A − B := A + (−B).
EXEMPLO: Em R2×3,
[
1
√
2 ln e
0 0, 1 1/3
]
−
[
−1 −2
√
2 ln 1
π 1 −4/3
]
=
[
2 3
√
2 1
−π −0, 9 5/3
]
.
2Lembre-se que a base canônica é composta pelas matrizes que possuem apenas uma entrada não-nula e
igual a 1. (Confira exemplo anterior.)
52 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RM×N
3.2 Produto e Transposição de Matrizes
• Temos uma multiplicação ‘linha-por-coluna’ análoga ao produto interno visto no capí-
tulo anterior.
O produto AB ∈ Rm×n de A ∈ Rm×p e B ∈ Rp×n, nessa ordem, está assim definido:
C = AB ⇐⇒ cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj para i = 1, 2, . . . , m e j = 1, 2, . . . , n.
Neste caso, denota-se cij := A(i,−) · B(−, j).
∴ AB =





A(1,−) · B(−, 1) A(1,−) · B(−, 2) · · · A(1,−) · B(−, p)
A(2,−) · B(−, 1) A(2,−) · B(−, 2) · · · A(2,−) · B(−, p)
...
...
...
...
A(m,−) · B(−, 1) A(m,−) · B(−, 2) · · · A(m,−) · B(−, p)





.
Seja b ∈ Rp uma coluna qualquer de B. Digamos,
b = B(−, j). Considere agora as p entradas consecuti-
vas, da esquerda para a direita, de uma linha arbitrária
de A. Digamos que A(i,−) seja a linha considerada.
Escreva então estas p entradas como as coordenadas
consecutivas de um vetor a ∈ Rp. Daí a · b é o pro-
duto (interno) de tal linha e tal coluna como descrito
anteriormente, isto é,
a · b = A(i,−) · B(−, j).
EXEMPLO: Para A ∈ R2×2 e B ∈ R2×3, digamos
A =
[
α β
γ δ
]
e B =
[
a b c
d e f
]
,
temos a matriz 2 × 3
AB =
[
A(1,−) · B(−, 1) A(1,−) · B(−, 2) A(1,−) · B(−, 3)
A(2,−) · B(−, 1) A(2,−) · B(−, 2) A(2,−) · B(−, 3)
]
=
[
αa + βd αb + βe αc + β f
γa + δd γb + δe γc + δ f
]
.
• Em geral, o produto de matrizes não é comutativo.
EXEMPLOS:
- Para A e B do exemplo anterior, embora possamos calcular AB, BA não está definido.
- Ainda que A, B ∈ R2×2, AB 6= BA em geral!
Por exemplo, verifique isso para
A =
[
1 0
0 0
]
e B =
[
0 1
0 0
]
.
3.3. MATRIZES QUADRADAS SÃO IMPORTANTES! 53
(∗) Para A, B ∈ Rm×p e C ∈ Rp×n arbitrárias, pode ser
demonstrado que
(A + B)C = AC + BC.
EXERCÍCIO: Verifique tal propriedade para A e B do último dos dois exemplos anteriores e
C = I − (A + B).
• Temos a operação de transposição:
A é m × n =⇒ At =





a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
...
...
...
...
a1n a2n · · · amn





.
Note que At é n × m e
T = At ⇐⇒ tij = aji com i = 1, 2, . . . , n e j = 1, 2, . . . , m.
EXEMPLO:
A =
[
α β
γ δ
]
e B =
[
a b c
d e f
]
=⇒ At =
[
α γ
β δ
]
e Bt =


a d
b e
c f

 .
(∗) Caso A e B sejam tais que AB esteja definido, como
tal produto de matrizes se comporta sob a ação da
transposição?
Pode ser demonstrado que
(AB)t = Bt At.
EXERCÍCIO: Verifique isto para o exemplo anterior.
3.3 Matrizes Quadradas são Importantes!
• Dizer que uma matriz A é simétrica significa que
At = A.
Para tal igualdade ser verdadeira, em primeiro lugar, A deve ser ‘quadrada’. Isto
ocorrendo, pela definição de At que acabamos de estudar, devem ser iguais quais-
quer duas entradas de A que sejam ‘simétricas’ em relação a sua ‘diagonal principal’,
isto é, aij = aji sempre que i 6= j.
EXEMPLO DE MATRIZ SIMÉTRICA:
A =


a α β
α b γ
β γ c

 .
54 CAPÍTULO 3. O