Resumo | Física II - Mecânica dos Fluidos Empuxo, fluidos em movimento - hidrodinâmica, equação da continuidade, equação de Bernoulli

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Empuxo, fluidos em movimento - hidrodinâmica,
equação da continuidade, equação de Bernoulli
RESUMO | FISICA II
MECÂNICA 
DOS FLUIDOS
EMPUXO
Seja um fluido qualquer de densidade ρ como representado abaixo, em repouso. Se
ele está em repouso, qualquer sub-volume considerado também estará em repouso.
f
FLUIDO EM REPOUSO,
SOMATÓRIO DE FORÇAS
ATUANDO NELE É IGUAL A 0
SUB-VOLUME DO FLUIDO,
TAMBÉM EM REPOUSO,
SOMATÓRIO DE FORÇAS
ATUANDO NESSE VOLUME É
IGUAL A 0
No centro de gravidade do sub-volume, como em todos os corpos que contém
massa, está atuando a força peso devido a ação da gravidade. Se apenas essa
força atuasse nesse volume de fluido, ele se movimentaria. Mas isso não é lógico.
Logo existe uma força de sentido contrário, mesma direção e módulo, que atua para
equilibrar o peso. Essa força é o empuxo! O módulo dessa força é encontrado a
partir da diferença de pressões, já vista, em 2 pontos: um na parte superior do sub-
volume e outra na parte inferior. Isso porque o empuxo também é encontrado pelo
somatório de todas as forças que atuam perpendicularmente na superfície do fluido.
O peso fluido é dado pela massa
do sub-volume de fluido vezes a
aceleração da gravidade. A
massa pode ser reescrita em
função da sua densidade.
Se o sistema está em equilíbrio,
o módulo do empuxo é igual ao
módulo do peso.
Se substituirmos o sub-volume de água por
um objeto que ocupe exatamente o mesmo
volume (um objeto submerso em água),
conseguimos encontrar também o empuxo
nesse novo objeto. Porém, não
necessáriamente, nesse caso, o módulo do
empuxo será igual ao módulo do peso
desse objeto, visto que, apesar dos
volumes serem iguais, as densidades são
diferentes.
Podemos, então, ter três situações
distintas:
Peso maior que o empuxo: Objeto afunda
Peso igual ao empuxo: Objeto fica no
mesmo lugar
Peso menor que o empuxo: Objeto boia
ESCOAMENTO DE UM FLUIDO - HIDRODINÂMICA
A movimentação de um fluido é o que chamamos de escoamento. Aqui será tratado
apenas o escoamento de um fluido ideal, ou seja, não é um fluido real.
FLUIDO IDEAL
- Um fluido ideal tem a densidade constante, ou seja, ele é incompressível;
 
- Além disso, ele não possui atrito interno, sua viscosidade é nula - imagine dois
copos, um com mel e outro com água. Ao virarmos o copo de cabeça pra baixo, qual
dos dois fluidos cai mais rápido? A água! Isso porque a viscosidade do mel, ou
seja, seu atrito interno é muito maior que a da água, logo ele tem maior dificuldade
de escorrer. ;
- Não consideramos dissipação de energia em seu movimento;
N
LINHA DE ESCOAMENTO
A linha de escoamento, ou linha de fluxo, de um fluido é a trajetória seguida por
uma partícula do fluido durante o seu movimento, seu escoamento.
ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO
Quando as linhas de corrente coincidem com as linha de escoamento e as linhas de
escoamento não variam no tempo, temos o escoamento estacionário. A velocidade
em cada ponto também não varia no tempo! Esse será o foco de estudo! 
Observação: Como as duas linhas se coincidem, a partir de agora falaremos apenas em
linha de corrente e já vamos pressupor que a velocidade em cada ponto não varia no
tempo.
LINHA DE CORRENTE
A linha de corrente é a curva tangente em cada ponto da trajetório que dá a
direção e o sentido da velocidade naquele ponto.
A partir da representação das linhas de corrente conseguimos tirar algumas
observações iniciais. Primeiro, a velocidade onde as linhas de escoamento estão
mais próximas é maior que a velocidade onde as linhas de escoamento estão mais
distantes entre si. Provaremos isso adiante.
Além disso, as linhas de
escoamento NUNCA PODEM se
CRUZAR! Pois seria o mesmo que
dizer que aquele ponto tem duas
velocidades, isso é IMPOSSÍVEL.
Se duas linhas nunca se cruzam, formamos o
que chamamos de tubo de escoamento. Esse
tubo de escoamento que é formado por duas
linhas de corrente, limita a trajetória das
partículas. Ou seja, a partícula só pode seguir
uma trajetória dentro desse tubo de
escoamento.
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Para entendermos e deduzirmos a equação da continuidade, vamos imaginar
inicialmente um tubo de escoamento como o representado a seguir:
Note que:
1) Toda partícula que entra em uma extremidade
do tubo irá sair do outro lado;
2) A área A1 é bem maior que a área A2 nessa
representação;
3) As velocidades v1 e v2 são diferentes, mas
lembre-se, em cada ponto a velocidade é
constante ao longo do tempo. Ou seja, em pontos
diferentes podemos ter - e temos!- velocidades
diferentes, porem em cada ponto a velocida é
constante com o passar do tempo.
Vamos imaginar que no tempo t igual a 0, as
partículas passam pela seção A1 e num tempo
posterior, mesmo que seja infinitesimal (dt) elas
estejam já em outra posição. Ou seja, um volume
de fluido atravessou a seção A1 num intervalo de
tempo.
Nesse mesmo tempo, como ouve deslocamento
de fluido em uma parte do tubo, há o mesmo
deslocamento (em volume) em todas as outras
partes do tubo, já que a água não está vazando
ou algo assim.
As equações de volume foram feitas considerando
que o volume é igual a área vezes o comprimento, e o
comprimento foi feito em função da velocidade já que
velocidade é o deslocamento sobre o tempo, então o
deslocamento é a velocidade vezes o tempo. (Usamos
dt e dV porque estamos considerando deslocamentos
infinitesimais, que poderão ser usados para
comprimentos maiores também).
O que a equação da continuidade nos diz é que a vazão volumétrica é constante! A
divisão de dV por dt, que é a vazão volumétrica, é a constante área vezes volume.
Agora, a partir da equação da continuidade conseguimos ter a certeza que quanto
menor a área, maior tem que ser a velocidade do fluido para que a relação seja
válida e vice-versa.
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Vamos voltar a representação do tubo de escoamento usado anteriormente para
conseguirmos deduzir e entender a relação:
Observe que estamos considerando,
arbitrariamente, que a área A1 é mais baixa
que a área A2, ou seja, o fluido esta escoando
e percorre diferentes alturas.
Já vimos que a velocidade varia em diferentes
pontos de acordo com o tamanho da área da
seção.
A Equação de Bernoulli vai nos dar a relação entre as velocidades, as alturas e as
pressões em diferentes pontos do tubo.
Para isso usamos o princípio da conservação de energia!
A densidade do fluido é ρ
Fluido no tempo t1 Fluido no tempo t2, após se deslocar
Observe que a região entre as linhas pontilhadas não se alterou em nada, continuou
completamente cheia. A única coisa que aconteceu foi que o fluido que estava mais
a esquerda andou e saiu pela direita na parte de cima.
SEARS, F. W.; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I e Física II.
14ª. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008
REFERÊNCIAS DE ESTUDO:
Em termos de conservação de energia, é
assim que pensamos, como se o fluido que
estava embaixo tivesse se descolado e
ocupado a parte de cima.
Além disso, o fluido está se movendo porque
o volume de fluido que está atrás, empurra
os volumes que estão na parte da frente.
Logo, há uma pressão P1 sendo exercida na
parcela de baixo que origina uma pressão
P2 contrária na parte de cima. As
respectivas forças que geram essas
pressões é dada pelo produto da pressão
pela área da seção em questão.
Quando o fluido anda, o volume de fluido dV
atravessa a primeira linha vertical do tipo e
o mesmo volume de fluido é deslocado pra
frente da segunda linha vertical.
A partir disso, vamos usar as definições de energia cinética e energia potencial para
fazer as relações e encontrar a equação de Bernoulli. É importante definir os eixos
para isso!