EEN-601 e 901 _ 2018_ RR Sistema Elétrico de Potência

Prévia do material em texto

1 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ – UNIFEI 
 INSTITUTO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA - ISEE 
 NOTAS DE AULAS – Cursos EEN-601/901 
 
 
 
 
 
 Fundamentos Teóricos sobre LT´s 
 
 
 
 
 
 Ronaldo Rossi 
 Itajubá 2018 
 
 
 
TÓPICOS EM SISTEMAS DE TRANSMISSÃO – LT´s 
 
2 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
PARTE I - FUNDAMENTOS TEÓRICOS SOBRE LT´s 
 
I. 1 INTRODUÇÃO ÀS LT´s 
A Transmissão da energia elétrica é realizada entre os centros de produção e os de 
consumo através de interligações realizadas por meio de Linhas de Transmissão (LT’s), 
as quais operam em níveis de tensão, proporcionais às quantidades de energia a serem 
transportadas e ainda, em função das distâncias envolvidas nesse processo. Dessa 
forma, por definição, as linhas de transmissão são os principais canais de escoamento da 
energia elétrica produzida nos diferentes tipos de centrais elétricas (UHE, UTE, etc) e que 
devem ser transportadas até os centros de distribuição, ou seja, centros de consumos 
urbanos, pólos industriais, etc. 
 
 Fig. I.1 - Um sistema de Transmissão típico em AT 
 (Dois circuitos por torre com duplo cabo guarda). 
 
A transmissão de EE no Brasil ocorre preferencialmente, em AC e está 
concentrada em dois blocos distintos de tensões, denominadas de Alta Tensão (AT) com 
uma tensão operativa limitada na faixa de (36 < Vn < 262 [kV]) e de Extra- alta- tensão 
(EAT), para tensões na faixa de (345 < Vn < 800 [kV]). 
 Em AT são predominantes as tensões nominais de transmissão de [69, (88), 138 e 
230 [kV]] e em EAT, para grandes blocos de energia, as tensões utilizadas são de [345, 
(460), 500 e 750 [kV]]. 
 Essas linhas, em sua totalidade, são sistemas trifásicos, que operam em condições 
praticamente equilibradas, sendo fisicamente instaladas em um ou dois circuitos por torre, 
devidamente espaçados, segundo os níveis das tensões utilizadas e suas respectivas 
isolações, constituindo respectivamente, os chamados Circuitos Simples (Singelos), ou 
Duplos de transmissão de EE, conforme mostrado na Fig. I.1 
3 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 Nesses processos de transmissão da energia elétrica, as LT´s podem ainda utilizar, 
em função do volume de energia a ser transportada, circuitos construídos com diferentes 
números de condutores por fase, p/ex.: LTs de 01, 02 03 e até 04 condutores/fase. Esses 
condutores “geminados” são então separados por espaçadores, que podem possuir 
diferentes formatos (linear, triangular, quadrangular, estrela com 3 ou 4 pontas de 
encaixes), dependendo dos níveis de tensão e dos afastamentos que se fazem 
necessários em cada caso, conforme está mostrado na Fig. I.2 
Costuma-se denominar tal “pacote” de cabos condutores por fase da LT, de 
“bundle” de condutores. 
 
 
 
 
 
Fig. I. 2 - Estruturas de cabos geminados – “bundle” 
 
 As Figs. I.3a e I.3b mostram exemplos dessas estruturas com transportes 
envolvendo diferentes números de condutores por fase. 
 
 
 
 Fig. I.3a – Circuito duplo - 04 conds/fase Fig. I.3b – Circuito duplo – 1cond/fase 
 
 No Sistema Elétrico Brasileiro esses valores de tensões nominais de transmissão 
são normalizados e os mais usuais são os mostrados na Tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
Categoria Tensões 
Nominais [kV] 
Classe de 
Isolação [kV] 
Tensão 
Aplicada [kV] 
1 min – 60 Hz 
Impulso 
1,2 x 50 s 
AT 66/69 
(88) 
138 
230 
72,5 
92 
145 
242 / 262 
140 
150 
275 / 360 
395 / 460 
325 / 350 
380 / 450 
550 / 650 
950 / 1050 
EAT 345 
(460) 
500/525 
750 
360 
550 
550 
800 
 
 
Especiais 
 
 
Especiais 
 
 
As LT´s são construídas com cabos condutores, em geral de alumínio (CA) e/ou de 
alumínio com alma de aço (CAA) ou em inglês ACSR (Aluminum Cable Steel Reinforced). 
Esses condutores possuem uma impedância intrínseca e específica ao cabo, dado por 
(Z´ [/km/cond]), a qual em geral possui uma relação X´/R´ da ordem de 2 a 5 vezes. 
Isso implica em se ter para uma dada LT, um baixo valor de sua resistência (R) e 
um alto valor de sua reatância indutiva (XL). A teoria de operação de Linhas de 
Transmissão mostra que, as perdas de energia ativa [MW-h] existentes nos processos de 
transporte de energia elétrica são principalmente diretamente proporcionais ao quadrado 
da corrente circulante nos cabos de transmissão (E = R.I2.t ) e dependem ainda, de 
outras condições, como a temperatura em que esses condutores se encontram durante o 
processo da transmissão, pois R = f(T), do nível de sobretensão de operação da LT e das 
condições atmosféricas existente no local. 
A esses motivos, associam-se às quedas de tensão (V) e a elevação de 
temperatura (T), que ocorrem nesses cabos condutores, quando submetidos a elevadas 
correntes circulantes impostas pelos grandes blocos de energia a serem transportados 
entre os centros de produção e os de consumo. Esses fatores fazem com que, se procure 
transportar esses grandes blocos de energia, submetidos a elevada tensão de 
transmissão, reduzindo assim, a corrente e as perdas nos circuitos condutores. 
Porém por outro lado, à medida que se processa essa elevação de tensão, o 
sistema de transmissão propicia um aumento geral no custo geral das instalações a elas 
associadas (tipos de torres, cadeias de isoladores, vãos de passagens, etc), além de 
poder se verificar a presença de outras consequências como o efeito corona, o que 
implica numa exigência maior no controle dessa tensão operativa e do provimento de uma 
isolação adequada a esse sistema, procurando-se assim estabelecer um equilíbrio entre 
essa tensão e a corrente circulante; tais procedimentos operacionais visam então 
5 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
minimizar sob os condutores, alguns desses efeitos mencionados (corona, 
sobreaquecimentos, perdas joule, etc). 
 
I.2 TRANSMISSÃO EM CORRENTE CONTINUA – (DC). 
 Além desses sistemas de transmissão em regime alternado (AC) apresentados 
existem ainda no Brasil, dois outros grandes blocos de transmissão em corrente contínua 
(DC), e que estão localizados nos projetos de escoamento da energia produzida nas 
UHEs de Itaipu (Região Sudeste – Estado do PR) e do Rio Madeira (Região Norte – 
Estado do RO). No primeiro projeto - Itaipu (concepção realizada nos meados dos anos 
70), essa transmissão está vinculada a um único megaprojeto de transporte de EE, que é 
o sistema de escoamento do excedente da energia gerada em 50 Hz, na Hidrelétrica de 
Itaipu (Stotal instalado = 12,6 GVA). Nesse complexo de geração, inicialmente 09 e 
atualmente 10 das máquinas geram em 60 HZ, enquanto que as outras 09 (10) geram em 
50 Hz. Essa energia gerada em 50 Hz, parte se destina ao Paraguay e o excedente não 
absorvida por esse sistema é então retificado e transmitido para o sistema elétrico 
brasileiro. 
 Esse sistema opera segundo um bi-polo DC, com tensões de transmissão de 
V= + 600 [kVdc], interligando as subestações de Foz do Iguaçu/PR, com a SE de São 
Roque/Ibiúna/SP, distanciadas de aproximadamente 700 [km]. 
 No segundo projeto – Rio Madeira – UHE de Santo Antônio e Girau (concepção 
realizada nos meados dos anos 2000), essa transmissão está vinculada a um outro mega-
projeto de transporte de EE em regime DC, também a ser realizada na tensão de 
transmissão de V = + 600 [kVdc], envolvendo dois circuitos de transmissão, com duas LTs 
de comprimento da ordem de 2400 [km], interligando o complexo do Rio Madeira com um 
centro de transmissão localizada na cidade de Araraquara, interior do Estado de SP. 
As naturezas operativas desses circuitos obedecem a um conjunto de diretrizes, 
regras, normas e instruções específicas, estabelecidas segundo as equações que regem 
o Princípio da Transmissão Eletromagnética de EE, em regimes AC ou DC, cujas 
análises, transcendem aos objetivos aqui propostos, mas que podem ser encontradas, em 
literaturas específicas, áreade Transmissão de EE, como as apresentadas nas 
referências. 
 
 
 
6 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
I.3 OPERAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 A operação de uma LT é um conjunto de condições e regras previamente 
estabelecidas para a energização e o transporte de energia a ser por ela realizada, onde 
algumas ações são permissíveis e outras de restrições, que impedem a continuidade 
operativa de uma dada LT. 
Assim, ações não permitidas no processo operacional da linha, tais como: elevados 
índices percentuais de sobretensões operativas causam corona e incrementa as perdas 
(Voperação >> 10% Vnom), condições operativas na presença de curtos-circuitos 
(sobreaquecimentos excessivos dos condutores, comprometimento da estabilidade 
operacional da LT, danos em equipamentos), sobrecarregamentos de circuitos 
(sobrecargas x danos térmicos nos condutores e conectores), etc., fatores esses que 
assumem a mais alta importância de segurança de trabalho de uma linha, onde devem 
ser resguardados os cuidados com a utilização e segurança de equipamentos e 
instalações, envolvendo todas as suas características nominais e eventualmente críticas 
operativas e claro, respeitando todas as condições de segurança dos operadores de 
campo do sistema em questão. 
 Para que tudo isso possa ser administrado é óbvio que um conjunto enorme de 
regras e de condições especiais deve ser associado a esse processo operativo desejado. 
Para tanto, nos órgãos responsáveis pela operação do sistema, tal como o ONS 
(Operador Nacional do Sistema Interligado Brasileiro). 
Nesses “centros de controle da operação” existem um conjunto significativo de 
programas (“softwares”) que são utilizados e processados em tempo real (“on line ou real 
time”) ou não (“off line”), que predizem as condições de contorno a serem observadas em 
cada caso sob análise, isto é, programas que permitem avaliar os níveis de curtos-
circuitos em diferentes pontos e em diferentes configurações operativas de um sistema 
elétrico, realizados através de análises de contingências e outros que permitem avaliar as 
condições de fluxo de potência (ou de carga) em uma rede elétrica, simples ou complexa, 
(parcial ou total), programas que analisam a estabilidade operacional da rede, análises de 
comportamentos transitórios de redes, estimadores de estado, análise de configurações 
físicas da rede em operação, sistemas supervisórios, etc. 
 A aplicação de cada um desses programas, evidentemente, assume uma 
conotação específica em função da natureza dos estudos que estão sendo realizados. No 
presente caso, para a análise das condições operacionais de uma LT, pretende-se 
enfocar mais os aspectos de quedas de tensões e relações “tensão x corrente” obtidas 
durante a operação em regime permanente de uma dada LT. Assim, as análises e 
7 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
cálculos de curtos-circuitos, fluxos de carga, estabilidade etc., não farão parte desse 
segmento em curso. 
 
I.4 ASPECTOS TEÓRICOS NA TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 
 Teoria dos Quadripolos 
 As análises simplificadas das condições de transferências de potências “P-Q” de 
um terminal emissor (terminal “fonte” que opera numa tensão Ve e injeta no sistema uma 
corrente Ie), para um terminal receptor (terminal “carga ou de consumo” que opera numa 
tensão Vr e recebe do sistema uma corrente Ir) e cujo bloco de energia é transportada 
através dessa LT, representada pela sua impedância serie e sua admitância em derivação 
(“shunt”), geralmente pode então ser realizada através do conceito de “quadripolos” 
ABCD, apresentado e representado na Fig. I.4 onde são estabelecidas as seguintes 
relações: 
 
 Fig. I.4– Modelo “PI-nominal” para uma LT de AT. 
 
)4/1(
2/1
:,,,
ZYYC
ZB
ZYDA
valemDCBAparâmetrososonde
I
V
xDC
BA
I
V
RECEPTOR
RECEPTOR
EMISSOR
EMISSOR























 
 Ie R j XL Ir 
 
 
 
 Ve g jb g jb Vr 
8 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 I.5 - CLASSIFICAÇÕES DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
 As LTs são classificadas para efeito de estudos em diferentes tipos e modelos que 
as representam segundo os interesses específicos das análises a serem aplicadas. 
Para efeito de análise operacional, a literatura americana costuma apresentar uma 
classificação para os vários tipos de linhas radiais, de acordo como os seus comprimentos 
e sendo assim, essas linhas são usualmente representadas em estudos operacionais de 
redes de AT, através de três classificações generalizadas, correspondentes a: 
 Linhas curtas - comprimentos médios das LT´s até cerca de 80 km (L< 50 milhas). 
 Linhas médias - comprimentos médios das LT´s entre 80 e 240 km (50< L< 150 mi) 
 Linhas longas - comprimentos médios das LT´s superior a 240 km (L > 150 milhas) 
 Para efeito de estudos, essas três categorias de LT´s são então modeladas em 
corrente alternada (AC), através de suas representações clássicas denominadas de 
modelo “pi” ou “T” nominais. 
A Fig.I.5 mostra o circuito equivalente generalizado para uma LT em circuito 
simples representada segundo o modelo pi-nominal. 
 
 Fig. I.5 Representação de uma LT - Modelo pi-nominal para g=0. 
 
Essas classificações implicam evidentemente, em representações das LT´s através de 
modelagens especificas envolvendo as distribuições dos parâmetros RLC da linha, os 
quais se combinam nas formas série e paralela em relação ao comprimento total da LT, 
de tal forma que: 
a) Linhas curtas: representação através da impedância série da LT; 
Assim, para as linhas curtas os efeitos e ações elétricas que ocorrem sobre as 
capacitâncias shunt (em derivação), não assumem importâncias significativas e em geral, 
elas são desconsideradas nas análises de comportamento operacional da LT. Logo, o 
modelo representativo de uma LT curta é simplesmente o de uma impedância série 
r Sistema A - (Emissor) Sistema B – (Receptor) 
 R j XL 
 
 
 
 Yc/2 Yc/2 
 
 
9 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
equivalente à impedância do cabo condutor da LT (Z = R + jX) e referente ao 
comprimento total da interligação entre o terminal emissor (E) e o terminal receptor (R) da 
mesma, conforme está mostrado na Fig. I.6. 
Para todos os modelos que serão analisados neste texto, serão desconsiderados 
os efeitos condutivos através das condutâncias shunt (g) da LT. 
 
 
 Fig. I. 6 - Modelagem para uma LT- Curta 
 
b) Linhas médias: representação através da impedância série da LT combinada com 
 a admitância shunt (em derivação) da LT. 
 Modelagens “pi” e “T”- nominais para a LT. 
 
 Analogamente, são classificadas como “Linhas Médias” aquelas cujos 
comprimentos estão compreendidos entre 80 e 250 [km], isto é, comprimentos de 50 a 
150 milhas. Essas linhas consideradas de comprimento médio, em geral já se tratam de 
LT´s que devem operar em tensões mais elevadas (138 a 230 [kV]) e certamente nesses 
casos, os efeitos dessas capacitâncias shunt já não podem ser desprezadas como no 
caso anterior. 
Aqui cabem então as aplicações de modelagens como essas apresentadas através 
dos modelos “Pi-nominal” e “ T-nominal” mostrados nas Fig. I.7a e I.7b. 
Ie Z = R + j XL Ir 
 
 
 Ve Vr 
10 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
 Fig. I.7 a) Modelo “pi” b) Modelo “T” 
Esses modelos simulam as distribuições dos parâmetros série e shunt da LT como 
sendo concentrados em duas partes, ou seja, o modelo Pi-n (Fig.I.7a) considera dois 
agrupamentos capacitivos concentrados e localizadas no começo e fim da extensão da 
LT, enquanto que a sua impedância série fica compreendida e limitada pelas posições 
definidas pelas barras do emissor e do receptor. 
Esse modeloé conhecido como “modelo dos parâmetros concentrados” e é 
largamente usado em estudos operacionais de redes. 
 A outra alternativa, denominada de “modelo T-nominal”, todas as ações e efeitos 
capacitivos estão concentrados no ponto médio da LT, na forma de uma admitância shunt 
total da LT sendo ainda que, a impedância série dos condutores da mesma fica distribuída 
em dois segmentos iguais (ZL / 2), localizados a esquerda e direita desse ponto médio da 
LT. Esse modelo está mostrado na figura anterior e é conhecido como “modelo de 
parâmetros concentrados bi-seccionados”. Esse modelo é pouco usado nos estudos de 
operação de LTs. 
 
 
 
 
 
Ie R + j XL Ir 
 
 
 
 Ve Yc/2 Yc/2 Vr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ie (R + j XL)/2 (R + j XL)/2 Ir 
 
 
 
 Ve Yc Vr 
 
 
 
 
11 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
c) Linhas longas: modelagem pi - nominal envolvendo funções hiperbólicas; 
As linhas de transmissão com comprimentos superiores a 240 [km] (ou 150 milhas) 
são consideradas como “Linhas Longas” e os tratamentos de seus parâmetros devem ser 
realizados na forma “distribuída” ao longo de toda a sua extensão de forma similar ao 
mostrado na Fig. I.8. 
 
 
Fig. I.8 Representação geral de uma LT –LONGA em redes de Alta Tensão. 
 
 As LT´s longas em geral são de tensões nominais mais elevadas, ou seja, LT´s de 
345 – 460 – 500 – 750 [kV] e são modeladas através de uma distribuição continuamente 
distribuída ao longo de toda a sua extensão e, portanto, analisadas no campo diferencial e 
infinitesimal. 
Essas LT´s de longo alcance, possuem também a modelagem clássica apoiada na 
estrutura pi-nominal ressalvadas, porém, as condições de distribuição dos parâmetros ao 
longo da mesma. Essa distribuição é considerada linearizada, uniformemente distribuída, 
e isso resulta num equacionamento matemático para a LT feito através das equações 
diferenciais de tensão e e corrente aplicadas a cada comprimento elementar da LT, 
resultando num conjunto de equações e funções hiperbólicas associadas a esses 
parâmetros ABCD, conforme mostrado na Fig. I.9. 
 
 
 
 
 
 Fig. I. 10a - Linhas Longas de Transmissão - modelagem pi- nominal 
Após alguns desenvolvimentos envolvendo o cálculo diferencial, o que não é objeto 
dessas notas sobre LT, as relações resultantes e apresentadas no quadripolo para tais 
linhas longas são tais que: 
 
1 1V  2 2V  3 3V 
1
1
P
Q
2
2
P
Q
1Load 3Load2Load
SY SYSY
PY PYPYPY PY
1 1V  2 2V 
1
1
P
Q
1Load 2Load
.Z z l
.2
yY l .2
yY l
12 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
 
 
 
 
 
 Fig. I. 10b - Linhas Longas de Transmissão - modelagem “distanciométrica” 
 
2 22 2
2 2
1
( ). ( ) . ( )
( ). ( ) . ( )
. .
, . ( ) . ( ) [ ]
[ / ] [ / ]
d V xd V z d x I x o r z I xd x
d I xd I y d x V x o r y V xd x
a n d
d V d IV a n d Id x d x
w h e r e z y r j x g j b k m
z k m a n d y s i e m e n s k m
 
 
        
        
       
      
   
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) , :
( ) . .
1( ) ( . . ) .
0 , ,
x x
x x
C
C
S o lv in g th e s e e q u a t io n s y s te m s fo r V x a n d I x w e o b ta in
V x k e k e
I x k e k e Z
zw h e r e Z c h a r a c te r is t i c im p e d a n c ey
a n d fo r in i t ia l c o n d i t io n s a t x w e g e t k a n d k a s fo
 
 


         
 
 
   
            
1 2 1 2
:
( 0 ) . ( 0 ) .
, : s in h c o s h2 2
R C C R
l lo w s
V V k k a n d Z I Z I k k
e e e eW e r e c a ll y e t th a t a n d     
            
                  
:
( ) . c o s h . s i n h
( ) . c o s h . s i n h
R C R
RR
C
a n d t h e s o l u t i o n
V x V x Z I x
VI x I x xZ
 
 
 
 
 
 
 ( R + j X ).dx 
Y.dx V + dV V(x) 
I + dI I(x) 
 Ic I
L 
13 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
( ) . .
( ) . .
R R
R R
V x A V B I
I x C V D I
 
 
 
 
c o s h
s i n h
1 s i n h
c o s h
C
C
A x
B Z x
C xZ
D x







 
 
 Em particular para essas linhas, a teoria correspondente estabelece outras 
relações importantes, permitindo as definições de impedância natural ou de surto da LT, a 
qual é função exclusiva dos parâmetros L e C da mesma, bem como, outras relações de 
interesse envolvendo comprimentos de ondas e frequências, coeficientes de atenuações, 
etc., conforme mostra o conjunto de equações abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cosh .sinh( ) .1 sinh cosh( )
C
R
R
C
x Z x VV x
x xI x IZ
 
 
                
1
8
[ / ] [ / ]
[ ]
. [ ] [ / ]
2 2 1 [ ].
3 .1 0 .6 0 5 0 0 0
2 5 0 0 [ ] ... . 1 2 5 0 [ ] .. .. .2 4
C
o o o o o
z jw L km a n d y jw C S km
z LZ y C
z y jw L C j km w L C ra d km
k mw L C F L C
v F km
T L w a ve len g h t
km k m
  
  
  
 

  
  
    
  
    

 
14 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
Não fazem partes dos objetivos dessas considerações iniciais sobre LT´s de 
distribuição e transmissão de curto e médio comprimento, se proceder em maiores 
detalhes de análises sobre tais conceitos específicos para as LT´s de longo alcance. Para 
tanto, o autor deixa a critério do leitor, proceder a uma pesquisa em outras referências 
bibliográficas especificas sobre tais naturezas de transmissão, como as citadas na 
bibliografia desse texto. 
Assim sendo, as equações gerais que regem os processos das transferências de 
potências ativa e reativa de uma barra para outra são evidentemente resultantes das 
aplicações das clássicas leis de circuitos, ou seja: Lei de Ohm e de Kirchhoff. 
Essas aplicações são usualmente referidas a um sistema matricial de 
representação de relações V & I, denominado “quadripolo ABCD”, e o qual em geral 
conduz e corresponde a uma simplificação nesses equacionamentos de circuitos, 
considerando que nesses quadripolos tem-se apenas as referências dos parâmetros de 
entrada, (tensão Vs e corrente Is no emissor) e os de saída no receptor (Vr e Ir), 
relacionados através das constantes ABCD representativas dessa transmissão. 
 
 Fig. I.11 - Valores dos parâmetros ABCD para a modelagem pi e T nominal. 
 
 
I.5 ASPECTOS CONSTRUTIVOS DA TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 
 ESTRUTURAS 
As estruturas utilizadas em linhas de transmissão são as mais variadas possíveis e 
fundamentalmente, dependem da natureza da linha (transmissão, distribuição, ramais 
urbanos....), das localizações e topografia da linha (terreno plano, montanhoso, solo 
úmido ou arenoso, trecho urbano ou rural...), dos níveis de tensão operativa ( 69, 138, 
.S R
S R
V VA B
I C D I
             
onde: Modelo “pi” Modelo: “T” 
1 2
. ( 1 )4
Y ZA D
B Z
Y ZC Y
  

 
Valores dos Parâmetros ABCD - Modelo “pi- e “T” nominal” 
1 2
. ( 1 )4
Y ZA D
B Z
Y ZC Y
  

 
15 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
230.... [kV]), das potências a serem transmitidas (número de circuitos, número de 
condutores por fase e por circuito, MW´s, MVAR´s....), das geometrias das torres (torres 
Y, torres delta, torres estaiadas, torres metálicas, torres de concreto, torres de 
madeira), das relações “custos x benefícios” , das condições de amortizações (“pay-
back”), das parcerias, etc. 
 
Fig. I.10 - Estrutura típica de transmissão – circuito duplo por torre. 
 
Entretanto, alguns perfis são típicos, outros regionais, outros em função da 
topografia e da topologia da linha a ser construída, etc., e elas podem ser apresentadas 
com diferentes naturezas construtivas passando, independentemente do nível de tensão 
de trabalho da LT, desde as mais simples, tais como os postes de madeira tratada, pelos 
postes e torres de concreto, ou em ferragem galvanizada como mostra a Fig.I.10. 
Dentro dessecontexto, essas estruturas serão construídas com maior ou menor 
suporte físico geral, dependendo do local de sua instalação e da natureza do(s) circuitos 
por ela suportados. 
Assim, estruturas que trabalham apenas com sustentabilidade vertical dos circuitos 
apresentam diferentes condições físicas construtivas em relação a aquelas que possui a 
propriedade de tracionamento e flexionamento quando dos desvios mais radicais da 
direção a ser perseguida. Esses desvios nos alinhamentos dos vãos de condução dessas 
LTs em AT podem chegar até mesmo a 90º. ou mais, exigindo estruturas de base muito 
mais pesadas que as anteriores, chegando-se muitas vezes a se utilizar as estruturas 
“estaiadas”, onde os cabos de aço exercem essas ações complementares de equilíbrio 
operacional dessas torres. Nesse texto, à medida que se fizer necessário, serão 
apresentadas algumas dessas estruturas típicas e algumas delas estão apresentados na 
Fig.I.11. 
16 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
 Fig. I.11 - Estruturas típicas de transmissão e distribuição 
 
As linhas de transmissão construídas para operação em alta tensão (AT), isto é, 
tensões nominais compreendidas entre 69 a 230 [kV], utilizam outras configurações 
construtivas, realizadas para circuitos simples ou duplos, conforme mostra a Fig. I.12, 
podendo ainda, possuir um ou dois condutores por fase e por circuito. 
Porém as que trabalham na classe 15 kV, em geral, redes de distribuição urbana 
ou rural, os postes podem ser de concreto ou madeira e a título de exemplo, a tabela 1 
mostrada abaixo, sinaliza os valores normalizados para postes de concreto. 
 
 
 
17 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
 Fig. I. 12 - Espaçamentos para circuito duplo – 145 e 245 [kV]. 
 
Nos processos de transmissão de energia elétrica existentes entre os centros de 
produção e os de consumo, essas LT´s podem estar conduzindo essa energia através de 
circuitos duplos por torre ou através de múltiplos circuitos paralelos de transmissão, 
conforme se pode observar nas Figs. I.3 e I.13. 
 Toda linha de transmissão possui um “vão de passagem” que lhe é associada com a 
finalidade de lhe permitir acesso a limpeza desse vão, um corredor controlado de acesso 
às manutenções, inspeções, controles de segurança operacional, etc. Esses vãos de 
passagens variam em suas larguras de acordo com os níveis das tensões operativas 
dessas linhas e da quantidade de circuitos existentes por torre e por torres em paralelo 
que ocupam o mesmo vão. 
 Assim, esses vãos podem variar desde 6 [m] para as LT´s de classe 15 [kV] até 
20 [m] ou mais, para as linhas de tensões mais elevadas. Em LT´s de 138 [kV], em geral 
se utiliza um vão de passagem de 10 [m] e afastamento mínimo de condutores a qualquer 
outro anteparo ou barreira, no mínimo 2,00 [m]. Essas dimensões são muito variáveis de 
empresa para empresa, de LT para LT, em função das diferentes condições de topografia, 
topologia, terrenos urbanos ou rurais, propriedades públicas ou privadas, tipos de 
estruturas utilizadas, etc. A Fig. I.13 elucida melhor e mostra com mais detalhes esses 
comentários. 
 
 
18 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
 Fig. I.13a - Exemplos de circuitos duplos (2LT´s com 2 circuitos / torre x 138 [kV]). 
 Fig. I.13b - Linhas Paralelas (2x2 circts de 138 + 2x2 de 230 + 1x2 de 500 [kV]). 
 
I. 6 CABOS CONDUTORES 
 
Nas aplicações convencionais, os cabos condutores que transportam a energia 
elétrica através das linhas de transmissão e das redes de distribuição são usuais se 
encontrar combinações de diferentes materiais e de diferentes estruturas construtivas, 
sendo de fundamental importância o conhecimento da natureza desse material condutor 
e de isolação, uma vez que eles estarão direcionando as aplicações especificas e com o 
respectivo controle de temperaturas de trabalho, como serão mostradas a seguir. 
Os cabos condutores basicamente podem se apresentar na forma construtiva como 
sendo: a) CABOS NUS ou b) CABOS ISOLADOS. 
Há algumas décadas (anteriores aos anos 50) era usual se encontrar na 
construção de algumas linhas curtas de transmissão e em redes de distribuição, as 
aplicações de condutores de cobre NU, duros com 97,3% de condutividade, 
notadamente nos circuitos de distribuição urbana. 
Porém, em decorrência dos elevados custos associados ao cobre além de seu 
elevado peso específico e ainda, em decorrência de ações de vandalismos promovidas 
principalmente em redes de periferias e de zonas rurais, migrou-se então, para o uso da 
tecnologia envolvendo as aplicações de cabos de alumínio, que são mais leves que os 
de cobre, podendo ou não, serem combinados com outros materiais condutores, 
19 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
formando assim as ligas condutoras, como é o caso do cabo “alloy” (Al + ....), “aldrey” ( 
Al + Si +...) e assim caracterizando-se como um bom condutor. 
No Brasil, em linhas de transmissão e de distribuição é predominantemente usado 
hoje os cabos de alumínio puro - CA (AAC- “all-aluminum conductors”), ou alumínio com 
alma de aço – CAA (ACSR – “aluminum conductor, steel-reinforced”) ficando assim, o 
uso do cobre mais reservado para as aplicações em fios e em cabos isolados de baixa, 
média e alta tensão. 
Existem outras alternativas de uso de ligas envolvendo o alumínio –liga 6201 
(ASTM B-524), como o AAAC – “all-aluminum-alloy-conductors” ou também, o cabo 
ACAR – “aluminum conductor, alloy-reinforced” , os quais apresentam uma maior 
ampacidade ou capacidade de condução de corrente, porém ficam mais limitados nos 
aspectos mecânicos com relação a uma menor carga de ruptura por peso unitário e 
também, surgem outros ganhos com relação a obtenção de menores flechas que o CAA 
para um mesmo diâmetro de referência.(ASTM B-399). 
Esses condutores de alumínio (fios externos) são construídos a base de ligas de 
alumínio, sendo clássica a referência 1350-H19, e a alma de aço são fios de aço 
galvanizado (classes A, B, ou C) e que se encontram simetricamente distribuídos em 
camadas no interior do cabo, conforme está mostrado na Fig. I.14 (ABNT-NBR-7270). 
Esses fios de aço podem ser tratado com uma camada superficial de alumínio 
gerando então, os tipos ACSR-AZ (ASTM B-341) e o ACSR – AW (ASTM B-549). 
Para uma mesma resistência equivalente entre as opções de cabos de cobre e de 
alumínio, esses (CA) são mais leves e apresentam um diâmetro ligeiramente maior que 
aqueles (Cu). O fato de possuírem um diâmetro maior é uma vantagem que eles 
apresentam sobre o cobre, uma vez que, ao conduzirem a corrente elétrica, as linhas de 
campo do fluxo produzido sobre o condutor serão mais afastadas, para uma dada tensão 
reduzindo assim, a tendência de uma ionização nas imediações da superfície do 
condutor, o que caracterizaria o início de um processo indesejável de formação de 
corona sobre esse condutor. 
Na construção desses cabos CAA (ACSR) é usual ser mencionado ainda o número 
de condutores de alumínio existentes na coroa externa do cabo resultante e o número de 
cabos de aço existente no seio do mesmo, os quais são utilizados visando suportar os 
esforços mecânicos de tração a que o cabo será submetido durante a sua operação. 
Essa coroa externa é resultante de superposições de camadas de condutores de 
alumínio, que são espiraladas sequencialmente em direções opostas, permitindo-se 
20 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
assim, uma melhor acomodação dos condutores pertinentes a essas camadas 
justapostas e uma melhor fixação no encordoamento resultante. 
O número de condutores de alumínio e o número de cabos de aço a serem 
utilizados em uma dada aplicação, é uma função da capacidade de transporte de 
corrente prevista para a operação de cada cabo e das condições operativas a que ele 
ficará submetido durante o seu processo operacional. 
Assim, o cabo CAA – Partridge (perdiz), que é muito usado para transporte de 
corrente da ordem de até 400 [A], ele é construído com 26 condutores de alumínio e com 
7 cabos de aço emseu interior, caracterizando portanto, a sua identificação para uma 
especificação tal, como: Cabo ACSR, Código Partridge, bitola # 266,8 MCM – 26/7. 
A Fig. I.14 mostra a forma construtiva desses cabos. Observe que existem duas 
camadas de condutores de alumínio envolvendo os 7 cabos de aço existentes no interior 
do mesmo. 
Cabe observar ainda, que o efeito pelicular devido a ação da freqüência no 
transporte da corrente elétrica através do condutor, faz com que a densidade de corrente 
sobre ele se torne assimétrica, concentrando-se um fluxo maior de corrente nos 
condutores de alumínio existentes nas camadas mais externas do cabo condutor. Dessa 
forma, os cabos de aço no interior exercem apenas uma ação complementar de 
sustentabilidade aos esforços de tracionamentos a que eles serão submetidos. 
 
 Fig. I.14 – Estrutura de um cabo CAA 
A tecnologia de fabricação desses cabos ACSR vem evoluindo nessas últimas 
duas décadas, de tal forma que novos produtos já são comercializados com tecnologias 
inovadoras, tais como, as que transferem aos cabos uma ação de melhor condução de 
corrente, melhor suportabilidade térmica com operação em regime continuo de trabalho 
possível com temperatura de até 150º.C e ainda, uma melhor suportabilidade aos 
esforços térmicos decorrentes desse processo, sem que haja deterioração de suas 
características mecânicas, tais como: tração, alongamento e dureza. Tais cabos são os 
denominados de TERMORESISTENTES – TACSR e TACIR (INVAR). 
Além dessas, existem também alguns aspectos inovadores com relação aos perfis 
dos condutores de alumínio, notadamente os que usam o perfil trapezoidal, que 
21 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
possuem a propriedade de preencher melhor os espaços inter-camadas, e então 
identificados por ACSR- TW. (ASTM B779). 
Para aplicações em regime continuo que envolvam elevadas temperaturas, da 
ordem de 200º.C sugere-se o uso dos cabos ACSS. Esses cabos são construídos com 
fios de aço centrais, com camadas de alumínio liga 1350-0 sobrepostas, transferindo 
assim todo o esforço mecânico a esses cabos de aço. Assim, eles mantêm as suas 
características mecânicas e realizam flechas menores que os CAA; porém, o fato de 
apresentarem uma maior “ampacidade” isso será traduzido em maiores perdas por 
aquecimento dos condutores... efeito joule !!! 
Assim, pode-se resumir tais considerações com relação a temperatura de trabalho 
que: os cabos CAA, ACSR-TW, ACAR e AAAC são de uso recomendado até a 
temperatura de 50 a 90 [ºC], enquanto que, projetos que preveem temperaturas mais 
elevadas, na ordem de 120 a 180 [ºC] devem recorrer ao uso dos cabos ACSS. 
Para o dimensionamento e completa especificação desses cabos é ainda 
necessário se referir a uma determinada Norma Técnica (NT) de especificação, como 
por exemplo: (ABNT/NBR, ANSI/IEEE, IEC.), etc. 
Além dessa recorrência às NT´s, é importante observar ainda, a representação de 
algumas grandezas nos respectivos Sistemas de Unidades. Assim, no Sistema 
Internacional de Unidades (SI) as seções retas dos condutores e fios e cabos elétricos 
(“bitolas”) são referidas através da medição da área da seção reta do condutor ou do 
cabo expressa em milímetros ao quadrado [mm2] enquanto que, no Sistema Inglês, essa 
seção reta é medida em “ CM – circular mil”, o comprimento é medido em “polegadas” 
(“inch”) ou em “pés”(“feet”), a massa em “libras”, a força em “pounds”, etc. 
Particularmente, com referência aos cabos condutores, a unidade “CM-circular mil” 
deve se relacionar com a unidade [mm2] para efeito de análise comparativa e de 
especificação. Assim, entende-se por “circular-mil”, a área de um círculo que tem um 
diâmetro igual a 1 “mil”. A unidade “mil” equivale a uma fração de 1 milésimo de 
polegada (“inch”), isto é: 1 mil = 10 -3 x 1 inch. Assim a área de um condutor expressa 
em CM é igual ao quadrado do diâmetro do mesmo expresso em “mil”. O número de CM 
dividido por /4 é igual ao número de mils ao quadrado. (Obs.: S =  . D2/4 ). 
Dessa forma, para se fazer tal conversão, após alguns desenvolvimentos 
envolvendo as equivalências de unidades, conclui-se que: 
 ].[506,0][: 2 MCMSxmmSáreasentreiaEquivalênc  
 
22 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
Para as especificações desses cabos CA e CAA são apresentadas ainda outras 
observações classificatórias, como por exemplo, em suas identificações são usados 
códigos envolvendo nomes de flores associados às respectivas bitolas AWG do cabo 
medidas em “mil-circular-mil” (MCM), tais como: Vaerian (250), Tulip (336,4), Zínia (500) 
Orchid (636), Violet (715,5), Magnólia (954), Camellia (1000), etc. 
Analogamente, são usados códigos envolvendo nomes de aves associados às 
bitolas AWG dos cabos CAA (ACSR) tais como: Turkey (6), Swan (4), Sparrow (2), 
Penguiun (4/0), Partridge 26/7 (266,8), Ostrich 26/7 (300), Flicker 24/7 (477), Eagle 26/7 (556,6), 
Grosbeak 26/7 (636), Condor 26/7 (795), Drake 26/7 (795), Rail 45/7 (954), Pheasant 54/19 
(1272), Falcon 54/19 (1590), etc. 
O tipo de condutor conhecido como “CAA – expandido” que é mais usado em 
sistemas de extra alta tensão (EAT), eles possuem uma camada de papel isolante 
especial separando a camada interior de alumínio em contato com a camada superior de 
cabo de aço, aumentando assim o diâmetro do cabo e consequentemente, favorecendo 
a não formação do efeito corona sobre ele. 
 
I.7 PARÂMETROS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO 
I.7.1 RESISTÊNCIAS DOS CABOS CONDUTORES 
 A resistência dos cabos condutores de energia é um parâmetro que assume 
uma importância fundamental na especificação do cabo, uma vez que, ela é uma das 
mais importantes e responsáveis pela perda de potência ativa [MW] verificada no 
condutor durante a operação do sistema. 
Por definição, o valor da resistência efetiva [R] de um condutor é dada pela 
expressão a seguir: 
 
.][][
:,][
][
].[
:.
2
2
ohmI
WPR
quesesabeaindaemcondutordoáreaS
mcondutordoocomprimentl
mcondutormaterialdoaderesistivid
ondeS
lR
perdas






 
23 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 A resistividade  de um material condutor é o inverso de sua condutividade , isto 
é:  = 1/. A condutividade internacionalmente normalizada é a do cobre recozido 
(destemperado), tal que, um fio recozido de cobre duro tem 97,3% de condutividade. O 
alumínio, possui uma condutividade equivalente a 61% em relação à do cobre. 
Dessa forma, considerando uma temperatura de 20º.C esses dois materiais apresentam 
as seguintes resistividades: 
 
Cobre: o = 1,77 x 10-8 [.m] 
 Alumínio: AL = 61%. o = 2,83 x 10-8 [.m] 
 
 O valor da resistência [Rdc] de um condutor conduzindo a corrente continua é 
ligeiramente diferente da resistência [Rac] desse mesmo condutor conduzindo corrente 
alternada, uma vez que, pelo efeito pelicular (ou efeito “skin”), a área oferecida à 
condução alternada é menor que a oferecida à condução continua, uma vez que essa usa 
toda a seção reta para tal condução e aquela se concentra mais nas camadas superficiais 
ou seja, através de uma coroa circular. 
Da mesma forma, a resistência de um cabo espiralado através de vários 
condutores, apresenta uma resistência ligeiramente (1% a 2%) diferente do valor 
calculado pela sua expressão de definição, devido aos efeitos do empacotamento. 
 O valor da resistência de um material condutor pode ser considerado como variável 
de forma aproximadamente linear com a variação de temperatura no local de sua 
instalação, uma vez que a temperatura do condutor não apresenta variações em faixas 
extremamente largas durante a utilização do mesmo. Assim, numa análise gráfica, pode-
se representar o valor de R [] em função de T[oC] conforme mostra a Fig. I.15. 
 
 Fig.I.15 – Variação da resistência com a temperatura 
 
24 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 Para o material cobre recozido (“annealed copper”), o valor do coeficiente de 
variação térmica é uma constantefísica igual a KCU = 234,5 (oC) e para o alumínio (61%) 
essa constante é igual a KAL = 228 (oC). A partir do gráfico da Fig. I.15 pode-se então 
escrever, pelas relações de proporcionalidade, que: 
 
 
]5,234
5,234[
:5,234




To
TRoR
sejaouToT
T
Ro
R
 
 
I.7.2 INDUTÂNCIAS E REATÂNCIAS INDUTIVAS 
 
 De acordo com as Leis e Princípios básicos da Teoria do Eletromagnetismo e em 
particular, segundo as Leis de Ampere e de Biot-Savart, todo material condutor (fios e 
cabos), ao ser percorrido por uma corrente elétrica [ I ], ela cria nas imediações desse 
condutor, um campo magnético [H], tal que, a sua magnitude é uma função da 
intensidade da corrente elétrica por ele conduzida, da forma construtiva e da geometria do 
condutor, além das características magnéticas [] do meio onde ele se encontra. 
 Esse campo magnético assim estabelecido [H] é representado por uma enorme 
quantidade de linhas de campo, que permite então, definir o conceito de Fluxo magnético 
[] associado a esse campo [H]. A quantidade de linhas de campo criada pela circulação 
da corrente e medida por unidade de área vazada permite definir uma grandeza física 
denominada de “Vetor densidade de indução magnética [B]”, que se relaciona diretamente 
com a intensidade do campo magnético [H], através da característica de permeabilidade 
magnética do meio [  ]. Essa relação é extremamente importante e é apresentada na 
forma vetorial por: B =  . H. No vácuo, essa grandeza é usada como referência e 
possui o valor de o = 4. x 10-7 [henry/m]. 
 
 Pela mesma razão e por definição, em função do exposto acima, conclui-se 
também que o fluxo magnético [] pode ser relacionado com esse vetor densidade de 
indução magnética [B], através da área [S] exposta a essas linhas de campo, de tal modo 
que, isso pode ser resumido através de uma equação matemática simples, que relaciona 
o produto escalar definido por:  =  B . ds. 
25 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 Essas grandezas são representadas no Sistema Internacional de Unidades Físicas 
(SI) e no Sistema CGS, de acordo com a tabela IV.1, mostrada a seguir: 
 
 Tab. I.1 - Grandezas eletromagnéticas - Unidades SI e CGS 
Grandeza Campo Magnético 
 [ H ] 
Vetor Indução 
Magnética [B] 
 Área 
 [S] 
Corrente 
 [ A ] 
Fluxo Magnético 
 [  ] 
Unidades SI A-esp / m tesla [ T ] m2 ampere webber [Wb] 
Unidade CGS Oersted gauss [ G ] cm2 ampere Maxwell [Mx] 
Relações 1 Ae/m = 79,6 Ö 1 T = 104 G 104 1 1 Wb = 108 Mx 
 
 Para efeito de aplicações em linhas de transmissão, o cálculo da indutância de um 
condutor é de fundamental importância, pois esse parâmetro está diretamente associado 
aos valores de perdas reativas, bem como, aos valores de queda de tensão realizadas na 
LT durante o seu processo operativo. 
Assim, pode-se imaginar um condutor longo, de comprimento “infinito”, cilíndrico, 
uniforme, de raio R e que esteja conduzindo uma corrente elétrica I, conforme está 
mostrado na Fig. I.16 e a partir desse modelo simples, tem-se de acordo com as leis do 
Eletromagnetismo que: 
 
 Fig. I. 16 – Fluxo magnético no interior e exterior de um condutor 
 
 Admita que na seção reta transversal ao condutor, a corrente elétrica I se distribui 
uniformemente através da área S de condução e ainda, a uma distância r do centro do 
condutor, admita um incremento radial dr e seja dI o valor da corrente aí conduzida, o que 
resulta em d para o valor do fluxo gerado por esse incremento. Aplicando as várias 
relações matemáticas advindas dessa geometria, pode-se então escrever que: 
B 
 
 
26 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
]/[.2
..
:].).[()2.(.1..
:tan.)(:
.1...:
2
2
2
22
mWbR
rIB
entãodondeIR
rrBIdlB
toporeIR
rIdonder
I
R
I
S
I
S
I
IdlBouINdlHAmperedeCircuitalLei
r
S
rr
r
r
r
SS










 
 
A energia magnética armazenada nesse campo por unidade de volume [v] é uma 
função do meio [] onde o condutor se encontra e do valor do vetor densidade de indução 
magnética B existente; essa energia, por definição, está associada ao valor da corrente 
conduzida e a um parâmetro intrínsico do material condutor, que se denomina de 
“indutância própria do condutor” convencionalmente representado pela letra “L” e cuja 
medida é expressa pela unidade “henry - [H]” no sistema SI. 
Assim sendo, relacionando-se esses vários parâmetros, demonstra-se através da 
Teoria do Eletromagnetismo, que o valor dessa energia associada ao condutor, pode ser 
dada pela equação abaixo: 
 22 ..2
1...2
1..2
1 ILdvHBdvBE
vvm
  [ joule]. 
 Substituindo-se nessa expressão, o valor do vetor indução B encontrado para o 
interior do condutor, bem como, relacionando esse resultado com o valor do fluxo e a 
corrente que lhe dá origem, após alguns desenvolvimentos e simplificações, resulta: 
 
]/[10.4][.8
:..1.
:.2
1
.16
.
.16
...4
.).2.().2
..(2
1
7
0int
intintintint
22
23
0
4
22
0
mHxondeeWbI
vemãosubstituiçpordondeILIII
NL
quelembrandoeLIIE
IdrrR
IdrrR
rIE
vacuocondrelmm
m
m
R
mm
R
m
 


 










 
27 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 Analogamente, se for realizado o mesmo procedimento para pontos externos ao 
condutor, como por exemplo, um ponto afastado a uma distância D da superfície do 
condutor, (no ar), então, pode-se demonstrar que o fluxo externo nesse ponto será dado 
pela expressão abaixo: 
][)(2
. WbR
DLnxIARext 
 
 O fluxo total resultante será correspondente à soma dessas duas parcelas. Porém, 
cabe salientar uma observação importante referente às constantes de permeabilidade 
magnética do material de construção do condutor (cobre, alumínio, ligas....etc.). 
A constante de permeabilidade magnética [m] do material do condutor é uma função 
própria de cada material e que depende de sua natureza construtiva e ele é comparado 
com o valor correspondente ao do vácuo [o], considerado como referência. 
Assim sendo, permite-se a definição de um valor relativo [R] para o material desse 
condutor, cujo valor é dado pela relação: R = m /o. 
Nesse texto será admitida a hipótese desses valores relativos para o material do 
condutor [R] e do ar [AR], como sendo ligeiramente diferentes entre si, e de forma 
simplificada será considerado o valor de AR igual a unidade (AR=1) e portanto, pode-se 
escrever que: 
][:).(´:
)´
.(.10..2
]
).(
.[.10..2]).([.10..2)]()([10..2
)](4[10..2)](.22[10.)(2
.10.4
8
.10.4.
:],/[10.4:)(2
.
8
.
4
7
4
74747
7777
7
0
int
GMRgeométricomédioraiotambémoueRronde
r
DLnI
eR
DLnIR
eDLnIR
DLneLnI
R
DLnIR
DLnIR
DxLnII
vemmHquelembrandoeR
DxLnII
R
R
R
R
TOTAL
TOTAL
RRRTOTAL
ARARmTOTAL
extTOTAL
























 
 
28 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
Esse valor do “raio médio geométrico – GMR” do condutor, de certa forma 
caracteriza o tipo e a natureza do condutor usado, pois é função de seu coeficiente R. 
Dessa forma, a indutância total associada a esse condutor pode ser expressa pela 
equação resultante a partir das combinações apresentadas a seguir: 
].//[)´(.1054,7
:]//[.377.60.2)..2(.
:
]//[)´
.(.10.2:]//[)´
.(.10.2
:)]´
.(.10..2.[1
.
2
47
7
condutorkmohmr
DLnxX
finalmenteoucondutormohmLLLFLwX
seráREATÂNCIAA
condkmHr
DLnLtambémoucondmHr
DLnL
sejaour
DLnILI
NLI
L
L









 
Para maiores detalhes, o leitor poderá recorrer às referências Stevenson, W.D.Jr & 
Grainger, J.J. – Power System Analysis ou Fuchs, R.D. – Linhas de Transmissão. 
 
I.7.3 AGRUPAMENTOS DE CONDUTORES. 
Para o cálculo da indutância equivalente de um cabo condutor similar ao mostrado 
anteriormente, é necessário se calcular o “raio médio geométrico – GMR” do condutor, 
analisando passo a passo, as distâncias médias quadráticas envolvidasentre os vários 
condutores, analisadas dois a dois, o que sem dúvida, representa um processo exaustivo 
de cálculo. Na Teoria do Eletromagnetismo, mostra-se que esse valor de GMR e do 
“distancia média geométrica entre condutores – GMD” podem ser calculados pelas 
expressões a seguir: 
29 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
GMRdnkdncdnbdnadnndbndbddbcdbadbbdandaddacdabdaaDs
DsGMRoagrupamentnoecondutorporGMRdkkrerr
GMDdandakdaddacdabDm
n
n




2 ...)......)......(.......).(......(
:.7788,0.´
).........(
4/1 
 
Para os vários tipos de cabos CAA e CA evidentemente, esses valores já são 
conhecidos e fornecidos em tabelas pelos seus respectivos fabricantes. De posse 
desses valores, pode-se calcular a indutância de um cabo CAA ou CA através da 
aplicação das expressões a seguir: 
 
 
]./[)/(.10.5396,7)/log(1736,0
:)/log(10935,28
:,60)/(.10.2..2.
]/[)/log(106052,4)/(.10.102
2
4
4
437
kmohmDsDmLnDsDmxX
sejaouDsDmxFxxX
entãoHzFparaeDsDmLnFLwX
kmHDsDmxxGMRGMDLnxL
L
L
L









 
 Em função das potências a serem transportadas em cada nível de tensão, essas 
linhas podem ser construídas com 01 (um), ou 02 (dois), ou 03(três) ou 04(quatro) 
condutores por fase e por circuito. Essas várias combinações são denominadas de 
“agrupamentos de condutores por fase” ou “bundle arrangements”. Esses agrupamentos 
são realizados na forma simétrica, conforme está mostrado na Fig. I. 17. 
 
 Fig. I. 17 – Agrupamentos de condutores por fase 
 Para o cálculo da reatância equivalente desse agrupamento (“bundle”), recorre-se 
às aplicações das equações mostradas anteriormente, sendo portanto consideradas 
aquelas desenvolvidas para condutores múltiplos, ou seja: 
 
30 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
n dcndcbdcadbndbcdbadandacdabDmGMD
condutoresdebundleparaddxdxxrDsGMR
condutoresdebundleparadxdxrDsGMR
condutoresdebundleparadxrDsGMR
)........).(.....).(.....(
4.2´
3´
2´
16
9
4




 
 De posse dos valores do GMR (raio médio geométrico) e do valor de GMD – 
(distância média geométrica), pode-se então aplicar a equação geral de cálculo da 
indutância, tal que: 
 
]/[)/(.10.5396,7)]/(.10.102.[.2
:][60)/(.102
237
7
kmohmDsDmLnDsDmLnxFwLX
vemHzFparaeDsDmLnxL
L





 
 
 
I.7.4 CAPACITÂNCIAS E REATÂNCIAS CAPACITIVAS 
 
 De acordo com as Leis e Princípios básicos da Teoria do Eletromagnetismo e em 
particular, no campo eletrostático, segundo a Lei de Gauss, todo material condutor, ao ser 
carregado eletrostaticamente com uma carga elétrica [ Q ], ela cria nas imediações desse 
condutor, um campo elétrico radial [E], tal que, a sua magnitude é uma função da 
quantidade de carga elétrica por ele armazenada, da forma construtiva e da geometria do 
condutor, além das características eletrostáticas [] do meio onde ele se encontra. 
 Esse campo elétrico assim estabelecido [E] é representado por uma enorme 
quantidade de linhas de campo, que são perpendiculares à superfície do condutor, com 
afastamento radial do mesmo o que permite então, definir o conceito de Fluxo 
elestrostático [] associado a esse campo [E]. A quantidade de linhas de campo criada 
pela carga armazenada no condutor e medida por unidade de área vazada permite definir 
uma grandeza física denominada de “Vetor deslocamento eletrostático [D]”, que se 
relaciona diretamente com a intensidade do campo elétrico [E], através da característica 
de permissividade eletrostática do meio []. Essa relação é extremamente importante e é 
apresentada na forma vetorial por: D = . E. No vácuo, essa grandeza é usada como 
referência e possui o valor de o = 8,859 x 10-12 [farad/m]. 
 Pela mesma razão e por definição, em função do exposto acima, conclui-se 
também que o fluxo elétrico [] pode ser relacionado com esse vetor deslocamento [D], 
31 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
através da área [S] exposta a essas linhas de campo, de tal modo que, isso pode ser 
resumido através de uma equação matemática simples, que relaciona o produto escalar 
definido por:  =  D . ds. 
 Essas grandezas são representadas no Sistema Internacional de Unidades Físicas 
(SI) e no Sistema CGS, de acordo com a tabela I.2, mostrada a seguir: 
 
 Tab. I.2 - Grandezas eletrostáticas - Unidades SI 
Grandeza Campo Elétrico 
 [ E ] 
 Área 
 [S] 
Carga 
elétrica 
 [ Q ] 
Fluxo 
Eletrostático 
 [  ] 
Capacitância 
 [ C ] 
Unidades SI volt / m m2 coulomb webber [Wb] farad 
 
 Para efeito de aplicações em linhas de transmissão, o cálculo da capacitancia de 
um condutor é de fundamental importância, pois esse parâmetro está diretamente 
associado aos valores de perdas, bem como, aos valores de queda de tensão realizadas 
na LT durante o seu processo operativo. 
Assim, pode-se imaginar um condutor longo, de comprimento “infinito”, cilíndrico, 
uniforme, de raio R e que esteja carregado com uma carga elétrica Q, uniformemente 
distribuída com uma taxa igual a  [coulomb/metro] (densidade linear de carga no 
condutor), conforme está mostrado na Fig. I. 18 e a partir desse modelo simples tem-se 
de acordo com a lei de Gauss da Eletrostática que: 
 
 
 Fig. I. 18 – Fluxo e campo eletrostático no exterior de um condutor cilindrico 
 
 
 
 
 
32 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 Aplicando as várias relações matemáticas advindas dessa geometria, pode-se 
então escrever que os valores do campo elétrico na superfície do condutor e a uma 
distância r do eixo longitudinal do mesmo, são dados por: 
 
 
rEtambémeRE
dondelQlrxE
entãooudldsnEéisto
dldsnDouQdsnDGaussdeLei
rs
erior
S
SS
..2:..2
:.).2(
:..:
...
int
int















 
Na Teoria da Eletrostática define-se o conceito de “Capacitância” de um condutor 
carregado com carga elétrica Q, ao valor da relação entre essa carga e o potencial V por 
ela estabelecido em relação a um ponto de referência (em geral, a terra onde: Vo = 0). 
Esse parâmetro associado ao condutor é medido em farad [F], e essa definição permite 
então escrever que: C = Q / V [ farad ]. 
Assim sendo, relacionando-se essa definição com o valor do campo elétrico 
anteriormente apresentado, pode-se dizer que a diferença de potencial entre dois pontos 
quaisquer existentes nesse campo e separados pelas distancias r1 e r2 do eixo desse 
condutor cilíndrico é então dado pela seguinte expressão : 
 ][)1/2(.2..2.
2
1
2
1212,1 voltrrLndrrdrEVVV
r
r
r
r 


   
 
Ainda, de acordo com a Teoria da Eletrostática, o conceito de “potencial” é uma 
grandeza escalar e portanto, o potencial resultante de uma combinação qualquer de 
cargas distribuídas corresponde ao somatório dos potenciais criados individualmente por 
cada uma dessas distribuições. Assim, admita dois condutores cilíndricos, de raios Ra e 
Rb, paralelos, de comprimentos “infinitos” e separados entre si por uma distância D e 
ainda, que estejam uniformemente carregados com densidade de carga (+A) e (-B) 
[C/m] e situados num meio de permissividade eletrostática . Dessa forma, demonstra-se 
que a diferença de potencial existente entre eles é dada pela expressão seguinte: 
 
33 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
][)./(2
)]/()/([2)/(2
)()/(2
)(
2 voltrbraDLnQVab
DrbLnraDLnQDrbLnQraDLnQVbVaVab BA




 
Dessa forma, o valor da capacitância total associada a esses dois condutores pode 
ser expressa pela equação resultante a partir das combinações apresentadas a seguir: 
 
 
 Fig. I. 19 - Capacitância entre dois condutores paralelos. 
Analogamente, se for considerado um sistema elétrico constituído de três 
condutores retilíneos, de raios r, distribuídos sobre os vértices A,B,C de um triângulo 
qualquer, de lados dAB, dBC, dCA, pode-se demonstrar pela Teoria da Eletrostática que o 
valor da diferença de potencial resultante entre eles e dascorrespondentes capacitâncias 
existentes, são dadas por: 
][..:)]/(.)/(..[2
1
:log
][..:)]/(.)/(..[2
1
:,
)]/(.)/(.)/(.[2
1
3
3
VdddDeqondeDeqrLnQcrDeqLnQaVac
amenteana
VdddDeqondeDeqrLnQbrDeqLnQaVab
vemcondutoresdosdoisadoissomatórioofazendo
ddLnQcdrLnQbrdLnQaVab
CABCAB
CABCAB
CABCABAB






 
 
A análise fasorial das tensões de fases e de linhas, num sistema equilibrado 
permite escrever que: 
 
34 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
 Fig. I.20 – Relações Fasoriais Equilibradas 
 
Da Fig. I. 20 pode-se escrever que: 
Vab + Vac = 3. Van 30º + 3. Van -30º = 3. Van 
 
Se for considerado que Qa + Qb + Qc = 0, então resulta para o potencial fase neutro: 
)/(.2
13.3 rDeqLnQaxVan  
e portanto, a capacitância Cn com relação ao neutro será: 
 neutrofasemFrDeqLnVan
QaCn /]/[)/(
2 
 
Se for considerado uma linha de transmissão constituída de um arranjo de condutores 
(“bundle”) formada de 2, 3 ou 4 condutores por fase, então, pode-se demonstrar que as 
respectivas capacitâncias com relação à terra, para esses circuitos, serão dadas pelas 
equações abaixo: 
 
4 316 4
3 29 3
4 2
)(.09,1)2(:4
)()(:3
)()(:2
:.:
/]/[)/(
2
rxdrxdxdxdxDsccondutoresdeBundle
rxdrxdxdDsccondutoresdeBundle
rxdrxdDsccondutoresdeBundle
Assimbundledooespaçamentdonde
neutrofasemFDDeqLnCn SC




 
 
 
35 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
De posse dos valores das capacitâncias correspondentes, pode-se encontrar os valores 
da reatância (Xc) e da susceptância (Bc) capacitivas através das equações abaixo: 
].[)/(10779,1
]/[
].[)/(10862,2].[..2
11
6
9
milharDxLnxFXc
msiemenswCBc
mrDxLnxFmohmCFwCXc


 
 
 
Para maiores detalhes, o leitor poderá recorrer às referências Stevenson, W.D.Jr & 
Grainger, J.J. - Po ( pags. 170 a 190) ou Fuchs, R.D. – Linhas de Transmissão. 
 
I.8 CORONA 
 O efeito corona sobre condutores energizados representa uma situação operativa 
crítica do sistema, onde este está apresentando uma perda significativa de energia 
dissipada nos condutores, que acabam por produzir um sobreaquecimento do mesmo, 
podendo chegar até mesmo a comprometê-lo, através de oxidações, corrosões e até 
rompimentos de fios nos encordoamentos. 
 Além desse sobreaquecimento, o efeito corona é acompanhado de um ruído 
característico (“chiado”), com a emissão de uma radiação luminosa azulada (ultravioleta), 
e da formação de ozona (O3) no ar atmosférico. Sob a presença de chuva, forma-se ainda 
o ácido nitroso (HNO2) o qual acaba atacando o condutor podendo danificá-lo por 
corrosão e rompimento de fios condutores nos encordoamentos, conforme a Fig. I.21. 
 
 Fig. I. 21 – Rompimento de fios condutores – cabo ACSR 
Registra-se ainda, na presença do efeito corona, um acentuado processo de “rádio 
interferência” o que, sem dúvida, é nociva aos processos de comunicação em geral, e 
entre eles, o próprio sistema de transferência de sinais, via onda portadora pela LT, 
método este que foi e continua sendo utilizado por muitas empresas do setor elétrico, 
ainda hoje. 
36 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 Do ponto de vista eletrostático, o corona é o estágio que antecede a um 
rompimento do dielétrico onde se encontra o condutor; nesse caso em questão, o ar. 
A capacidade dielétrica do ar seco é medida através da “tensão disruptiva do ar seco” que 
é uma grandeza definida por: TD = 30,5 [kV/cm] a uma pressão de 760 mmHg e T=25oC. 
 Um condutor cilíndrico de raio “r” estirado no meio “ar seco” passa a apresentar o 
efeito corona, a partir de uma distância crítica desruptiva, medida radialmente em relação 
ao eixo longitudinal do cilindro e definida por: d = (0,301) / (r 1/2 ) [ cm]. 
Assim, a tensão critica visual, isto é, o valor do gradiente de tensão sobre o condutor 
para que o efeito corona seja visível, é definida pela expressão: 
 ]/[)301,01(5,30 cmkVrxECV  
 Se for admitido para o local onde se encontra o condutor alguns parâmetros físicos 
adicionais, tais como: densidade relativa do ar (), altura do condutor em relação ao nível 
do mar (h), temperatura ambiente no local onde se encontra o condutor (t em oC), pressão 
atmosférica local ( p = 760 – 0,086.h) [mmHg], então a ECV a uma distancia (d) da 
superfície do condutor será dada por: 
]./[].
426,01[5,30
273
386,0
cmkVdxxECV
t
px




 
(refcia. Fuchs, R.D. – Linhas de Transmissão). 
 
 Esses efeitos de corona em linhas de transmissão se tornam mais significativos a 
partir da tensão nominal da linha definida por Vn = 230 [kV] ou mais. Assim, em LT´s de 
tensões iguais a 69 – 88 – 138 [kV] tais ocorrências não são representativas !!! 
 
I. 9 PERDAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
 Os isoladores e/ou as cadeias de isoladores em LT´s de AT são componentes que 
ficam muito expostos a esses efeitos de corona e consequentemente, de perdas de 
potência ativa drenadas pelo ar que os/as circundam. O valor dessas potências podem 
ser estimadas se forem levadas em consideração o valor da tensão fase-neutro aplicada 
na cadeia, e o correspondente valor da condutância shunt dessa cadeia, isto é: 
 P (dissipada) = P perdas = Van2 x g [ watt / isolador] = Van2 x G [watt /cadeia]. 
37 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
Essas perdas chegam a ordem de Pp = (0,25 a 2,5 ) [W / isolador] sob tempo 
seco e chega a ordem de Pp = 25 [W / isolador ] sob tempo chuvoso !!! 
As perdas que ocorrem sobre o valor da resistência “série” dos cabos condutores 
da LT assumem uma importância maior que as perdas “shunt” verificadas sobre as 
cadeias de isoladores e através do dielétrico “ar” existente entre o condutor e o terra. 
O modelo que melhor representa as características construtiva de uma LT 
operando em regime permanente, com relação a essa verificação de perdas, é o modelo 
PI-nominal, conforme está mostrado na Fig. I.22. Observe que esse modelo permite que 
essas perdas possam ser examinadas em separado, isto é, perdas ativas e reativas série, 
e perdas ativas e reativas shunt realizadas sobre a LT e em seus respectivos terminais. 
 
 Fig. I.22 - Modelo PI-nominal de uma LT - AT 
Nesse modelo as perdas “shunt” são representadas pela condutância equivalente 
G [Siemens / km] que ocorrem na LT e, bem como, as perdas “série” são representadas 
pela resistência série equivalente dos condutores da LT. 
Conforme já foi citado, é importante lembrar que o valor dessa resistência série dos 
condutores da LT é uma função das características construtivas do condutor 
(encordoamentos, camadas, “bundle”, etc) e também, da natureza do material utilizado 
(Cu, Al, ligas...), da frequência de trabalho da LT (efeito “skin”), das condições 
atmosféricas a que a LT está submetida, uma vez que a incidência solar, a convecção e a 
radiação devem ser levadas em consideração. 
 
I.10 CORRENTES EM CABOS CONDUTORES – ESTABILIDADE TÉRMICA 
 Em LT´s os seus cabos aéreos condutores de correntes elétricas ficam submetidos 
a várias ações térmicas tais que, uma vez contabilizadas e somadas entre si, vão permitir 
se definir o valor limite de corrente possível de operação segura desses condutores. 
100 
80 
 60 
 
40 
20 
 
0 
38 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
Entre essas ações pode-se citar o efeito joule (aquecimento dos condutores) em 
decorrência da condução natural de corrente através do condutor, efeito esse que se 
verifica através da dissipação térmica na resistência do cabo, isto é: Pdiss = R. I2 
(W/condutor). Além desse efeito térmico dissipativo, os condutores ainda ficam sujeitos 
às ações do tempo, como a incidência solar, que lhe transfere uma energia térmica 
natural (Ws) e os efeitos de convecção (Wc) e radiação térmica (Wr) a que os condutores 
ficam submetidos. 
Se for admitido um condutor de resistência especifica “r” (ohm / 1000 pés de 
comprimento), com diâmetro externo D [ polegadas ] e que deve transportar uma corrente 
de carga de valor I (A) então, o limitesuperior dessa corrente fica definido pela 
expressão a seguir: 
][10645,7:
][)(1077,3
4
4
watttxxWconde
Ar
xDWcWrxxI



 
Observe que esta corrente máxima admissível no condutor está diretamente 
associada à suportabilidade térmica total do mesmo (capacidade máxima de condução) e, 
portanto, está relacionada com a estabilidade física desse condutor. Uma elevação 
adicional de temperatura produzida por uma corrente superior a essa pré-estabelecida, 
pode levar ao comprometimento físico desse condutor. (rompimentos de filamentos nos 
encordoamentos, ou comprometimentos nos conectores de emendas de cabos, perdas 
excessivas de potências ativa e reativa). 
Pode-se ainda dizer, que essa corrente também é uma função das condições 
atmosféricas presentes durante a operação de condução do condutor, isto é, depende 
também da velocidade do vento (refrigeração), do diâmetro do condutor(ampacidade), da 
emissividade do condutor (radiação), das temperaturas do condutor e do meio ambiente 
(condução e convecção). 
 Os fabricantes desses cabos condutores CA ou CAA (ACSR) apresentam em suas 
notas técnicas e catálogos de produtos, algumas tabelas que fornecem esses dados mais 
importantes sobre o cabo em questão e entre eles, o valor máximo de corrente que ele é 
capaz de conduzir sem apresentar comprometimentos de segurança operacional. 
A Tabela I.3 mostrada a seguir traz algumas dessas informações relativas aos 
cabos de alumínio usados em LT´s e L´s para os níveis de MT/AT. Observe que o código 
classificador desses cabos são referentes a nomes de “flores” enquanto que, os cabos 
CAA (ACSR) os códigos classificadores são nomes de “aves”. 
39 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
Tabela I.3 - Cabos condutores de alumínio (CA) para LT´s de MT / AT 
Item Bitola 
 # AWG 
 Bitola 
 # mm2 
 Código Impedância de 
seqüência positiva 
Z1 [ohm/km/cond] 
 p/a T =20º.C 
Capacidade 
nominal de 
transporte 
 [A] 
01 2 33,6 Iris 0,85 + j 0,36 180 
02 1/0 53,4 Poppy 0,53 + j 0,34 242 
03 2/0 67,4 Áster 0,42 + j 0,33 282 
04 3/0 85 Phlox 0,34 + j 0,32 327 
05 4/0 107,2 Oxlip 0,26 + j 0,31 380 
06 226,8 MCM 135,2 Daysy 0,21 + j 0,30 443 
07 336,4 MCM 170,5 Tulip 0,17 + j 0,29 514 
 
 
EXEMPLO 1: 
 
Linha de Transmissão - Modelo “pi-nominal” - Quadripolos 
 
 Considere uma concessionária interligada a um sistema de transmissão onde a 
tensão nominal de operação é de Vn = 230 [kV]. A mesma encontra-se conectada a uma 
linha de transmissão (LT), na barra “E” desse sistema. 
 A LT possui um comprimento de 180 km e é construída com cabos condutores 
singelos, do tipo ACSR, tal que sua impedância série específica é de Z´= 0,334  +75º. 
[ohm / km / condutor ] e sua admitância shunt total é de Yc = j 5. 10-5 [siemens]. 
 Nos terminais remoto da linha, barra “R” está conectada uma carga receptora, de 
potência igual a Pc = 45 [MW], fator de potência FP=0,9 ind., operando na tensão 
nominal desse sistema Vnom = 230 [kV] ou seja, Vn-carga =1,0 0º [pu]. 
Pede-se determinar: 
a) Os parâmetros do quadripolo ABCD formado por essa LT, considerando a sua 
representação no modelo “pi-nominal”. 
b) Os valores de corrente e tensão nos terminais E do “emissor”. 
c) O triângulo de potências PK, QK, SK referida à barra E, onde se encontra a 
 concessionária que alimenta essa LT. 
 
40 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
SOLUÇÃO: 
1. Parâmetros do sistema dado: 
Considere os parâmetros da LT dada: Vnom = 230 [kV] 
Z LT = 0,334 x 180 x 1 = 61,2 75º. [ohm] 
Y LT = j. 5 x 10-5 = 5 x 10-5 90º [S] 
Carga: (Receptor): Potência: Pcg = 45 MW ; Pc = 3 x Vn x Icg x cos  [kW] 
Tensão: Vcg = 1,0 0º [pu] = 230 / 3 0º [kV/fase] ou Vn = 230 [ kV] linha. 
Corrente da carga: Icg = (45000) / (3 x 230 x 0,9 ) = 125,5-25º.8 [A] 
Observe que o fator de potência da carga é : fp = cos = 0,9 ind, donde  = 25º.8 
 
2. Parâmetros do Quadripolo da LT: [ A, B, C, D ]; 
Na análise teórica foi demonstrado que esses parâmetros, para a modelagem pi-
nominal da rede dada, valem respectivamente: 
A = D = 1 + ZY/2 
B = Z 
C = Y ( 1 + ZY/4 ). 
Substituindo os valores calculados acima, e resolvendo vem: 
A = D = 0,9985 2º.2 
B = 60,12 75º [ohm] 
C = 4,996 x 10-5 90º,01 [S] ou [siemens] ou [ mho]. 
 
3. Cálculo da tensão e da corrente no terminal E do emissor ( fonte ): 
Análise matricial: 
Substituindo os valores acima encontra-se: VE = 137,85 4,5º [ kV/fase] 
Ou o que é equivalente a VE = 238,76 kV (linha ) - nominal na barra E. 
A corrente no terminal E, valor de linha é I E = 122,8  -20,7º [A]. 
Observe que houve uma variação em módulo de tensão e de corrente iguais a: 
 Dv = 8,76 [kV] (queda de tensão na LT) 
 e Di = 2,7 [A] ( corrente capacitiva na LT ). 
 
4. O triângulo de potências Pk, Qk e Sk na barra E fica portanto dado por: 
 
Pk = 3 x Vf x If x cos FI = 3x 137,85 x 122,8 x cos ( 4,5 + 20,7 ) = 45,95 MW 
Qk = 3 x Vf x If x sen FI = 3x 137,85 x 122,8 x sen ( 4,5 + 20,7 ) = 21,62 MVARind 
41 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
Sk = 3 x Vf x If = 3x 137,85 x 122,8 = 50,78 MVA 
 
5. Fator de potência na barra E = FP(E) = cos E = cos ( 4,5 + 20,7 ) = cos (25,2) 
 
 ou seja: FP(E) = cos E = 0,904 ind. 
 
 
EXEMPLO 2: 
Linha de Transmissão - Modelo “T-nominal” -Quadripolos 
Considerar o sistema de transmissão da questão anterior . 
Fazer as mesmas análises de correntes e tensões nessa LT usando agora o modelo de 
representação da LT, como sendo o “T- nominal” . 
 
SOLUÇÃO: 
A solução dessa questão é exatamente igual a anterior, considerando porém, os 
parâmetros do quadripolo como sendo os correspondentes ao modelo T – nominal. 
Faça um exercício de Circuitos Elétricos envolvendo as leis de Kirchhoff e Ohm e mostre 
que esses parâmetros são dados por: 
A = D = 1 + ZY/2 
B = Y(1 + YZ/4) 
C = Y 
 
 
EXEMPLO 3: 
Linha de Transmissão - Modelo “pi-nominal” -Quadripolos 
 Considere um sistema de transmissão sendo representado pelos seus parâmetros 
equivalentes, como aqueles obtidos a partir de um quadripolo ABCD – modelo pi, 
conforme apresentado Fig. I.23. Nessas condições, determinar a expressão geral das 
potências ativa (PR) e reativa (QR) fornecidas no terminal do receptor correspondente. 
( SR = VR . IR* ) 
 
42 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
 Fig. I.23 – Modelo PI-nominal de uma LT. 
 
VE = A . VR + B . IR onde A= A ; B = B  ; VE = VE  e VR = VR 0o. 
IE = C . VR + D . IR 
 
SOLUÇÃO: 
Sabe-se que da teoria de quadripolos: Vs = A. Vr + B. Ir donde Ir = (Vs-A.Vr) / B 
Substituindo os valores dados: Ir = (Vs/B) δ - - (A/B) Vr  - 
A potência complexa transmitida da barra (1) = EMISSOR para a barra (2)= RECEPTOR 
e recebida em (2) = R é dada por: 
Sr = Vrx Ir * = Pr + j. Qr 
Substituindo os valores acima e observando que se deve operar com a corrente 
conjugada de Ir, e associando os termos reais (Pr) e imaginários (Qr) vem: 
Pr = Re [Sr] = (Vs.Vr / B ). cos (-δ) - (A. Vr2 / B ) cos (-) [ watt/fase]. 
Qr = Im [Sr] = (Vs.Vr / B ). sen (-δ) - (A. Vr2 / B ) sen (-) [ VAR/fase]. 
 
EXEMPLO 4: 
Regulação de Tensão em LT´s 
 
 Como se determina a Regulação percentual (Reg %) em uma LT representada 
pelos seus parâmetros ABCD determinados pelo modelo pi-nominal ? 
Calcule a regulação percentual para a LT apresentada no exemplo 7. 
SOLUÇÃO: 
A regulação de tensão em uma linha de transmissão é calculada pela equação de tensão 
da LT, ou seja: 
 Vs = A. Vr + B. Ir 
O conceito de “regulação de tensão de uma LT” corresponde à verificação da variação de 
tensão que o terminal receptor irá apresentar, quando se fizer uma medição de tensão 
100 
 80 
 
60 
40 
 20 
 
0 
% 
SUP
ERA
QU
43Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
com a LT aberta no terminal remoto (sem carga) e compará-la com a medição realizada 
com a LT fechada nesse terminal (com carga). Fazer a comparação dessa diferença de 
tensão com o valor da tensão nominal no terminal remoto da LT. 
Assim tem-se: 
Para o terminal receptor ABERTO, linha a vazio, tem-se portanto, Ir=0 e Vr o = Vs/A 
Para o terminal receptor FECHADO a plena carga, tem-se Ir = In e VrPC = Vnom = VN 
Portanto, aplicando-se a definição de regulação tem-se: 
Reg% = [ ( Vro - VrPC ) / VrPC ] x 100% = ( [ Vs/A - VN ] / VN ) x 100% 
 
Para os resultados obtidos no exemplo anterior, tem-se então: 
 
Reg% = [ (137,85/0,9985 - 132,79) / 132,79 ] x 100 = 3,97% .... Excelente !!! 
 
EXEMPLO 5: 
Linha de Transmissão - Modelo “pi-nominal” -Quadripolos 
 
Considere uma rede elétrica de alta tensão, operando no terminal do receptor com 
uma tensão de Vab= 13830º [V], seqüência ABC, conforme mostra o diagrama unifilar 
apresentado abaixo. A impedância total da LT é de Z= j 40 ohms e uma admitância total 
de Yc = j 5x 10-5 [S]. 
O valor total das cargas e demais componentes conectados no terminal receptor 
são tais que definem uma potência ativa igual a: P = 32 MW com FP = cos  = 0,8 ind., 
operando na tensão de 1,0  0º [pu]. 
Admitir o modelo de representação dessa LT como sendo o pi-nominal. 
Nessas condições, pede-se calcular: 
a) a queda de tensão verificada na linha ( V entre as barras E e R). 
b) as potências ativa, reativa e aparente fornecidas no terminal do emissor. 
c) O fator de potência de operação no terminal do emissor. 
d) A regulação percentual dessa LT. 
e) Os valores dos parâmetros do quadripolo ABCD dessa LT. 
 
SOLUÇÃO: 
Essa questão tem a sua solução exatamente igual a apresentada no exemplo 7. 
Os parâmetros do quadripolo A,B,C,D da Linha de Transmissão são: 
A= D = 0,999 0o. B= 4090º. [ohm] C = 4,997 x 10-5 90 [S]. 
44 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
Tensão no receptor: Vr = 1,00 pu/fase = Vr= 79,67 0 [kV/fase] ou 138 kV- linha. 
Corrente no receptor: Ir = Pr / 3 x Vr x fp = 32000/1,732x 138 x 0,8= 167,35-37º [A] 
Aplicando a matriz do quadripolo resulta para o terminal emissor: 
Tensão: Ve = 83, 79  3,7 [kV] e Corrente Ie = 167,18 - 36,8 [A]; 
Queda de tensão na LT = V = Ve - Vr = 83,79 3,7 - 79,67 0 = 6,7 kV ou 8,4% 
Potências: Pe = 3x Ve x Ie x cos = 32 MW Qe = 3x Ve x Ie x sen = 27,3MVAR 
Potência total ou aparente transmitida: Se = Pe + j Qe = 42 MVA. 
 
EXEMPLO 6: 
Quedas de tensão em Linhas de Transmissão. 
 Considere uma linha de transmissão de comprimento igual a 80 km, operando na 
tensão de Vn = 69 [kV], conforme mostra a Fig. I.24. Essa linha atende a três 
subestações em derivação, sendo que a primeira (SE-1) está localizada a 30 [km], a 
segunda (SE-2) localizada a 50 [km] e a terceira (SE-3) a 80 [km] da SE-Principal, a qual 
alimenta toda essa LT. Na SE-1 existe um transformador abaixador de potência nominal 
S1 = 12 [MVA] e que alimenta uma carga média igual a 10 [MVA], com fator de potência 
aproximadamente constante e igual a fp= 0,85 ind., atendida na tensão secundária de 
Vn = 13,8 [kV], grupo Dy30, impedância percentual Z = j 8,5%. 
Analogamente, na subestação SE-2, existe um outro transformador de potência 
S2 = 22 [MVA], grupo Dy30, impedância percentual igual a Z = j 9% e o qual atende 
uma carga de Pc = 18 [MW], fator de potência fp=0,9 ind., e tensão Vn = 13,8 [kV]. No 
final da linha, um terceiro transformador, de potência S3 = 12 [MVA], grupo Dy30, e de 
impedância percentual igual a Z = j 8,5%, atende um complexo industrial de potência 
Pi = 10 [MW], fator de potência fp = cos = 0,85 ind. e tensão nominal de 13,8 [kV]. 
A linha é construída em circuito simples, um condutor por fase, sendo o cabo do 
tipo CAA (ASCR), e que possui uma impedância específica igual a Z´= 0,3470º. 
[ohm/km/condutor]. Admitir que o valor da tensão primária na estação terminal SE-3 seja 
igual a 1,0 pu. Admitir o que julgar necessário e avaliar a queda de tensão que ocorre ao 
longo dessa LT. Calcular ainda, os respectivos valores de tensões nas barras 
secundárias (Vs = 13,8 kV) nas várias subestações (SE - 1,2,3) do sistema dado. 
45 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
 
 Fig. I. 24 – Análise de quedas de tensão em LT´s - AT 
 
SOLUÇÃO: 
Vamos adotar para o exemplo dado os seguintes valores de bases: 
Potência base: SB = 10 MVA e tensões de bases: lados AT/MT - VB= 69 e 13,8 [ kV ] 
Impedância base - lado de AT (LT) = (kV)2 / MVA = 692 / 10 = 476,1 [ohm] 
Tensão primária na barra 3 ( SE-3) = 1,00 [pu]; 
Fatores de potências nas cargas: [ C1 ] >>>>> fp1 = 0,85 ângulo 1 = 31º,8 
 [ C2 ] >>>>> fp2 = 0,9 ângulo 1 = 25º,8 
 [ C3 ] >>>>> fp3 = 0,85 ângulo 1 = 31º,8 
 
1. Impedâncias percentuais dos vários trechos da LT: 
a) trecho SE-P até SE-1 (30 km) - Zp1 = 0,3470º x 30 = 10,270º [ohm] 
 valor percentual: Zp1% = Zp1 / ZB x 100 = 2,14270º [%] 
b) trecho SE-1 até SE-2 (20 km) - Z12 = 0,3470º x 20 = 6,870º [ohm] 
 valor percentual: Z12% = Z12 / ZB x 100 = 1,4370º [%] 
c) trecho SE-2 até SE-3 (30 km) - Z23 = 0,3470º x 30 = 10,270º [ohm] 
valor percentual: Z23% = Z23 / ZB x 100 = 2,14270º [%] 
 
2. Correntes secundárias dos trafos nas cargas das várias subestações: 
a) Trafo T1 em SE-1: I1 = 10.000 / 1,732 x 13,8 >>>> IT1 = 418,4 -31,8 A 
b) Trafo T2 em SE-2: I2 = 18.000 / 1,732 x 13,8x 0,9 >>> IT2 = 836,8 -25º,8 A 
c) Trafo T3 em SE-3: I3 = 10.000 / 1,732 x 13,8x0,85 >>> IT3 = 492,2 -31,8 A 
 
46 
 
Rossi, R. – UNIFEI-2k18 
3. Correntes na MT e AT em valores unitários (pu), para os transformadores: 
O valor da corrente base na MT é dada por: IB = SB / 1,732 x VB 
Portanto na MT tem-se: IB = 10000/1,732x13,8 = 418,4 [A] 
Dividindo as correntes das cargas 1,2 e 3 por esse valor de base na MT, obtém-se: 
IT1 = 1,0 - 31,8 [pu] IT2 = 2- 25,8 [pu] e IT3 = 1,18 - 31,8 [pu] 
De acordo com as Normas Técnicas da ABNT e ANSI/IEEE, o defasamento angular 
existente nesses trafos é do grupo Dy30o , o que significa que as tensões e as correntes 
no lado de AT adiantam de 30º em relação aos respectivos valores da baixa tensão dos 
transformadores considerados. Assim, os valores dessas correntes em pu, referidas ao 
lado de AT do trafo, se tornam iguais a: 
I´1 = 1,0 - 1,8 [pu] I´2 = 2 + 4,2 [pu] e I´3 = 1,18 - 1,8 [pu] 
 
4. Correntes nos vários trechos da linha ao longo da LT. 
Trecho 23: - IL23 = 1,18 - 1,8 [pu] 
Trecho 12: - IL12 = IL23 + IT2 = 1,18 - 1,8 + 2- 25,8 = 3,1761,97 [pu] 
Trecho P1: - ILP1 = IL12 + IT1 = 3,176  1,97 + 1- 1,8 = 4,1741,07 [pu] 
 
5. Quedas de tensão nos vários trechos ao longo da LT : 
Trecho 23: - Q23= Z23 x IL23 = (0,0214270 x1,18 - 1,8 = 0,0253 68,2 [pu] 
Trecho 12: - Q12= Z12 x IL12 = (0,014370 x 3,176  1,97 = 0,0454 71,97 [pu] 
Trecho P1: - QP1= ZP1 x ILP1 = (0,0214270 x 4,174  1,07 = 0,0894 71,07 [pu] 
6. Cálculo das Tensões nas várias barras de AT do sistema dado : 
Tensão na barra B3 terminal do sistema - Lado de AT >>>>>> V3 = 1,0  0 [pu]. 
Tensão na barra B2 do sistema - Lado de AT >> V2 = V3 +Q23 = 1,01 1,33 [pu] 
Tensão na barra B1 do sistema - Lado de AT >> V1 = V2 +Q12 = 1,03 3,73 [pu] 
Tensão na barra BP do sistema - Lado de AT >> VP = V2 +QP1 = 1,06 8,17[pu] 
 
7. Cálculo das Tensões nas várias barras de MT do sistema dado : 
Tensão na barra B3 terminal do sistema - Lado de MT: 
Essa tensão corresponde ao valor da Tensão Primária menos a queda no trafo: 
Assim, passando as impedâncias dos trafos para as bases do sistema encontra-se: 
Z1 = j 7,1 % Z2= j4,1 % e Z3= j 7,1% e multiplicando esses valores pelas 
respectivas correntes e subtraindo das respectivas tensões das barras primárias obtém-se