Introdução à Lógica Computacional

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Conteudista: Prof. Me. Manuel Fernández Paradela Ledón
Revisão Textual: Prof.ª Dra. Cristiane Camilo Hernandez
 
Objetivos da Unidade:
Conhecer os principais tipos de lógica;
Conhecer as características básicas da lógica proposicional, os conectivos lógicos utilizados, suas tabelas-verdade e a classificação
das proposições lógicas;
Analisar exemplos e resolver exercícios.
 Contextualização
 Material Teórico
 Material Complementar
 Referências
Introdução à Lógica
Um bom motivo para estudar lógica computacional é que sua teoria é a base da computação e utilizamos os seus conceitos em atividades do dia a
dia e até mesmo para resolver problemas. Para que possamos nos expressar, fazemos o uso de diferentes tipos de sentenças, por exemplo,
quando afirmamos “Hoje está frio”, estamos diante de uma sentença afirmativa. Já quando fazemos uma pergunta, fazemos uso de uma
sentença interrogativa e quando algo nos surpreende usamos sentenças exclamativas.
Em lógica, no entanto, só utilizamos sentenças que podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas, ou seja, um único valor lógico, e dentre
as sentenças que utilizamos no nosso dia a dia, apenas as afirmativas podem, assim, ser classificadas e na lógica computacional elas são
conhecidas como proposições lógicas.
Já na área da computação, a lógica tem ligação estreita com a área, pois está relacionada diretamente com o desenvolvimento de linguagens para
modelar situações e problemas, com o objetivo de solucioná-los.  
Nesta Unidade iremos conhecer o que é lógica, a sua história e os tipos. Dentre os formalismos lógicos existentes, iremos apresentar os
conceitos da lógica proposicional, considerada a formalização mais simples para representação do raciocínio, que utiliza em sua representação
proposições simples e compostas. Na sequência conheceremos os conectivos lógicos, as tabelas-verdade e a classificação obtida a partir do
resultado lógico gerado. 
Vamos começar!
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 Contextualização
Introdução: o que é Lógica?
Para qualquer resposta que se dê a essa pergunta corre-se o risco de deixar de fora algum aspecto importante da lógica, pois normalmente
associa-se a lógica apenas à matemática, esquecendo-se de que ela se aplica a todos os ramos do conhecimento humano. Porém, uma resposta
ampla e precisa para essa difícil pergunta, é que a lógica é uma ciência que estuda os princípios e os métodos que permitem estabelecer as
condições de validade e invalidade de argumentos.
Considere o exemplo de argumento apresentado na Figura 1:
Figura 1 – Exemplo de argumento, premissas e conclusão
Na ciência da computação a lógica tem como papel principal o desenvolvimento de linguagens de modelagem e especificação, com o objetivo de
permitir o raciocínio sobre situações e sistemas e no desenvolvimento de argumentos sobre situações específicas, que possam ser validados ou
não. 
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 Material Teórico
Glossário 
Argumento: é uma parte do discurso, que pode ser falado ou escrito, composto por uma ou mais sentenças,
também conhecidas como premissas, e uma sentença denominada conclusão.
Assim, na lógica estudamos a validade dos argumentos, cujo foco não está no conteúdo desses e sim no seu valor lógico e na sua estrutura. A
lógica é também chamada de formal, simbólica ou matemática e tem como base três definições, cada uma associada a um período de sua
evolução: 
A seguir apresentamos mais detalhes sobre cada período da história da lógica.
História da Lógica
A busca por regras que confirmem a validade de um argumento dominou o primeiro período, o qual é responsável pela primeira sistematização
conhecida da lógica, uma coleção de tratados denominada Organon. Esses tratados lógicos são de autoria de Aristóteles (384-322 a.C.), autor mais
importante da mais influente escola de lógica desse período, e foram reunidos após sua morte. 
No segundo período, a lógica passou a evoluir em um sentido mais matemático ou, mais precisamente, mais algébrico. A evolução nesse sentido
representa uma mudança na definição de lógica, pois passou a buscar as suas leis como resultado de fórmulas algébricas. Essa aproximação da
lógica com a álgebra deu-se devido à influência principalmente de George Boole (1815-1864). Ainda nesse período, G. Frege (1848-1925)
desenvolveu um sistema de lógica por um método linguístico (cálculo proposicional) que se afastou do modo algébrico e teve muita influência na
lógica contemporânea, descrita a seguir.
O período contemporâneo tem o seu início marcado a partir da publicação em três volumes do Principia Mathematica em 1910, 1912 e 1913,
respectivamente. É nesse período que o enfoque linguístico-formal se impõe, ou seja, a lógica passa a ser vista como estrutura linguística. Com
isso, a lógica como uma linguagem, ou como um sistema de signos pressupõe uma sintaxe (regras ou leis de combinação dos signos) e uma
semântica (interpretação e significado dos signos). É importante notar que a definição da lógica neste terceiro período integra as outras duas. A
partir de 1930 até os dias atuais, a evolução da lógica caminha em uma direção de maior integração à matemática, atingindo uma complexidade
técnica elevada e ampliando consideravelmente o seu domínio com aplicações nas mais diversas áreas, como Informática, Administração de
Empresas, Física, Economia, Engenharia, dentre outras.
Classificação da Lógica
A Lógica é classificada em:
Lógica como um sistema de regras, concebida no período grego (século IV a.C. até o início do século XIX); 
Lógica como um conjunto de leis, período booleano (século XIX e primeira década do século XX); 
Lógica como estrutura linguística, período contemporâneo.
Lógica indutiva: útil no estudo da teoria da probabilidade; 
Lógica dedutiva: que pode ser dividida em:
Lógica clássica: considerada como o núcleo da lógica dedutiva, conhecida como cálculo de
predicados de 1ª ordem. Três princípios regem à lógica clássica: da identidade, da
contradição e do terceiro excluído, que serão apresentados a seguir;
Lógicas complementares da clássica: complementam de algum modo a lógica clássica
estendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal, deôntica, epistêmica, etc.;
Lógicas não clássicas: assim caracterizadas por derrogarem algum ou alguns dos
princípios da lógica clássica. Exemplos: paracompletas e intuicionistas, paraconsistentes,
não-aléticas, não-reflexivas, probabilísticas, polivalentes, lógica fuzzy, dentre outras.
Lógica Proposicional e Tabela Verdade
Conforme já descrito, a lógica clássica possui três princípios: o da identidade, no qual todo objeto é idêntico a si mesmo; da contradição, em que
de duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa; e do terceiro excluído, dadas duas proposições contraditórias,
uma delas é verdadeira. Com base nestes princípios, a proposição pode ter o valor lógico verdadeiro ou falso.
A lógica proposicional é o estudo do relacionamento lógico entre objetos conhecidos como proposições. Para melhor entendimento do conteúdo
da unidade, é muito importante entender o que é proposição. 
Veja algumas definições:
A linguagem natural (português, inglês, espanhol, etc.) é formada por um conjunto de caracteres que, devidamente combinados, formam
palavras. Estas, por sua vez, quando combinadas, formam enunciados, que podem ser frases ou orações ou conjuntos de frases e orações.
A frase é o elemento de comunicação que relaciona palavras entre si de modo a estabelecer uma mensagem com sentido completo. As frases
podem ser de vários tipos:
Observe que nem todos os tipos de frases são claros e objetivos e um dos objetivos da lógica é estabelecer uma linguagem formal, através da qual
se pode expressar com clareza, precisão e emitir juízo de verdadeiro (V) ou falso (F) para determinadas frases. 
- ALENCAR FILHO, 2006
- KELLER; BASTOS, 2008
Declarativa: “O Sol é uma estrela.”;
Imperativa: “Não faça isto!”;
Interrogativa: “Onde você mora?”;
Exclamativa: “Parabéns!”.
“Chama-se Proposição todo conjunto de palavras ou
símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.”
“Uma proposição, na definição clássica, é o encadeamento de termos ou palavras, através de uma cópula verbal ou não, que
expressam o conteúdo de um juízo, como verdadeiro ou falso.”
Portanto, proposição é uma frase declarativa (com sujeito e predicado), à qual pode ser atribuído, sem ambiguidade, um dos valores lógicos:
verdadeiro (V) ou falso (F).
Para que você entenda o conceito de proposição, apresentamos a seguir exemplos de proposições:
Já não são proposições:
As proposições podem ser simples ou compostas. As proposições simples ou atômicas são aquelas que não possuem nenhuma outra proposição
como parte integrante de si mesma. São geralmente indicadas pelas letras minúsculas p, q, r, s, ... A seguir exemplos de proposições simples:
Já as proposições compostas são aquelas formadas pela combinação de duas ou mais proposições e são simbolizadas pelas letras latinas
maiúsculas P, Q, R, S, ... Por exemplo: 
Observe que as proposições compostas utilizam conectivos para combinar duas ou mais proposições, para que você entenda a lógica de cada
conectivo; primeiro é necessário a explicação e entendimento sobre tabela-verdade.
Tabela verdade é uma maneira prática de dispor organizadamente os valores envolvidos em uma proposição composta. Para a proposição simples
p, temos os valores lógicos possíveis, conforme a figura abaixo:
Uberaba fica em Minas Gerais;
Marina é médica;
3 + 4 = 7;
4 + 9 (Não tem predicado);
Qual a marca do carro da Maria? (Sentença interrogativa);
Que festa boa! (Sentença exclamativa).
p: Carlos é careca;
q: Pedro é estudante;
r: O número 25 é quadrado perfeito.
P: Carlos é careca e Pedro é estudante;
Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante;
R: Se Carlos é careca, então é infeliz.
Figura 2 – Diagrama de árvore e tabela verdade de uma proposição simples
Considerando uma proposição composta com duas proposições simples, temos a Figura 3 representando o diagrama de árvore e a tabela verdade
correspondente:
Figura 3 – Diagrama de árvore e tabela verdade de uma proposição composta
Observe que o número de linhas de uma tabela verdade depende da quantidade de proposições simples distintas que compõe a proposição. Assim,
o número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2n, em que n é a quantidade de proposições simples distintas e 2 representa o número de
valores lógicos possíveis (V ou F).
Assim, para 4 proposições simples teremos 
m = 24 = 16
Conectivos Lógicos
Os conectivos lógicos, também conhecidos como operadores lógicos, são palavras ou expressões que se usa para formar novas proposições a
partir de outras proposições. Os conectivos lógicos e os respectivos símbolos adotados nesta unidade são apresentados no Quadro a seguir:
Quadro 1 – Conectivos e os respectivos símbolos
Conectivo Símbolo
Negação (não) ~ 
Conjunção (e) ^
Disjunção (ou) v 
Condicional (se... então) →
Bicondicional (... se e somente se...)  ↔ 
Para que vocês entendam a lógica dos conectivos lógicos, iremos apresentar para cada um a proposição composta na forma de texto e a sua
representação simbólica correspondente e a tabela verdade para melhor detalhamento sobre cada operador.
Operações Lógicas sobre Proposições
Negação (não, ~)
Se p é uma proposição, a negação da proposição p é denotada por ~p (lê-se não p). Nos exemplos a seguir, V(p) indica o valor lógico da
proposição p e V(q) indica o valor lógico da proposição q.
Saiba Mais 
Não há um padrão de simbologia utilizado pelos autores para representar os conectivos. Os apresentados
no Quadro 1 são os adotados com frequência nos livros de lógica computacional. 
Se V(p) = V, então  V(~ p) = F;
Logo, a negação de uma proposição apresenta valor lógico oposto ao da proposição dada, conforme podemos observar na tabela verdade a seguir:
Tabela 1
p ~p
V F
F V
Exemplos:
A sua negação é:
Na forma simbólica temos:
Conjunção (e, ^)
A conjunção de duas proposições (p ^ q)  é verdadeira se, e somente se, cada proposição for verdadeira e falsa nos demais casos. Conforme
apresentado na tabela verdade abaixo:
Tabela 2
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
Se V(p) = F, então   V(~ p) = V.
q: Rio de Janeiro é um país.
~q: Rio de Janeiro não é um país.
V(q) = F;
V(~q) = V.
p q p ^ q
F F F
Considere as seguintes proposições simples:
A conjunção é:
Disjunção (ou, v)
O valor lógico é a falso quando p e q são ambas falsas e verdadeiras nos demais casos. A tabela verdade da disjunção é:
Tabela 3
p q p v q
V V V
V F V 
F V V
F F F
Considere as seguintes proposições simples:
A disjunção é:
p: 2 > 0;
q: 2 ≠ 1.
p ^ q: 2 > 0 e 2 ≠ 1.
p: 3 < 3.1415;
q: 2 não é número primo.
p v q: 3 < 3.1415 ou 2 não é número primo;
V(p v  q) = V(p) v  V(q) = V v F = V.
Condicional (se... então..., →)
Chama-se proposição condicional uma proposição representada por "se p então q", cujo valor lógico é falso no caso em que p é verdadeira e q é
falsa e verdade nos demais casos. 
Outras maneiras de se ler o condicional p → q:
Vamos considerar a proposição condicional “Se chove, então a rua fica molhada”, também pode ser lida das seguintes formas:
No condicional p → q, a proposição p é chamada antecedente e a proposição q é consequente. Veja a lógica do conectivo na tabela verdade abaixo:
Tabela 4
p q p → q
V V V
V F F
F V F
F F V
Importante! 
Na linguagem natural, o conectivo pode traduzir tanto a ideia de hipóteses mutuamente exclusivas (ocorre
isto ou ocorre aquilo) quanto a de que pelo menos uma das hipóteses ocorre.
q, se p;
p é condição suficiente para q;
q é condição necessária para p.
Chover é uma condição suficiente para a rua ficar molhada;
A rua ficar molhada é uma condição necessária quando chove.
Dadas as proposições simples:
A condicional é:
Bicondicional (... se e somente se ..., ↔)
Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por "p se e somente se q", cujo valor lógico é a verdade quando p e q são
ambas verdadeiras ou ambas falsas, e falso nos demais casos. Outras maneiras de se ler o bicondicional p ↔ q:
Tabela 5
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Para que você entenda, considere o seguinte exemplo: 
A bicondicional é: 
p: Chove;
q: Faz frio.
p → q:  Se chove, então faz frio.
p é condição necessária e suficiente para q;
q é condição necessária e suficiente para p.
p: 2 é um número irracional;
q: A terra é plana.
p ↔ q : 2 é um número irracional se e somente se a terra é plana;
V(p ↔ q)= V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V.
Precedência dos Conectivos Lógicos
Quando há uma proposição composta por vários conectivos sem parênteses, a ordem das operações segue a Tabela abaixo:
Tabela 6
Ordem Conectivo
1 ~
2 ^, v
3 →
4 ↔
A ordem de precedência entre os conectivos permite identificar a forma da proposição composta. Por exemplo:
Classificações da Proposições
As proposições também podem ser classificadas de acordo com o valor lógico gerado como resultado. Para o entendimento, apresentamos a
seguir as classificações.
Tautologia
Uma proposição composta é uma tautologia quando o seu valor é sempre a verdade (V), para quaisquer valores lógicos das proposições simples
componentes. Considere o exemplo:
Representada em forma de símbolos, temos:
A tabela verdade correspondente:
p → q ↔ r é do tipo bicondicional, pois o último conectivo resolvido é ↔;
p v ~q → q ^ r é do tipo condicional. Observe que o último conectivo a ser resolvido é →;
p v (~q → q ^ r) é do tipo disjunção inclusiva. O último conectivo a ser resolvido é v.
P: É noite ou não é noite.
P: p v ~p.
Tabela 7
p ~p p v ~p
V F V
F V V
Logo p v ~p é uma tautologia.
Contradição
Uma proposição composta é uma contradição quando o seu valor é sempre a falso (F), para quaisquer valores lógicos das proposições simples
componentes.
Representada em forma de símbolos, temos:
A tabela verdade correspondente:
Tabela 7
p ~p p ^ ~p
V F F
F V F
Logo p ^ ~p é uma contradição.
Indeterminação ou Contingência
Uma proposição composta é
indeterminada (ou contingente) quando não é uma tautologia e não é uma contradição.
As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas. Vejam o exemplo a seguir:
P: É noite e não é noite.
P: p ^ ~p.
P: Se é sábado então não é sábado.
Representada em forma de símbolos, temos:
A tabela verdade correspondente:
Tabela 7
p ~p p → ~p
V F F
F V V
Logo P: p → ~p é uma indeterminação.
Agora que já entendemos os conceitos básicos de lógica, vamos avançar com conteúdo. Nosso próximo passo será conhecer sobre implicações,
equivalências lógicas e álgebra das proposições.
P: p → ~p.
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
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Lógica Aplicada à Computação
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Lógica Computacional
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Apostila de Lógica Proposicional (Fundamentos Básicos)
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Lógica Aplicada a Computação
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https://www.facom.ufu.br/~gustavo/Logica/Apostila_LogicaProposicional.pdf
BISPO, C. A. F. Introdução à logica matemática. Cengage Learning, 2011.
BARBIERI, F. P. Fundamentos de informática: lógica para computação. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
LEITE, A. E. Raciocínio lógico e lógica quantitativa. Curitiba: InterSaberes, 2017.
NICOLETTI, M. C. A cartilha da lógica. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
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 Referências