6-Polinomios

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TC 
MATEMÁTICA TURNO DATA ___/___/___ 
ALUNO(A) 
 TURMA 
Nº 
 
PROFESSOR(A) DAVI LOPES 
JU 
ITA-IME 
SEDE 
Revisão 6 – Polinômios 
 
01. Um polinômio 𝑝(𝑥) dividido por 𝑥 + 1 tem 
como resto 4 e dividido por 𝑥2 + 1 deixa resto 
2𝑥 + 3. Sabendo que o resto da divisão de 𝑝(𝑥) 
por 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 é igual a 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, o 
valor de 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 é igual a: 
(A) 
45
2
 (B) 
47
2
 (C) 
49
2
 (D) 
51
2
 (E) 
53
2
 
 
02. Sejam 𝑎, 𝑏 números reais. Sabendo que os 
polinômios: 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 18 e 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥 + 12 
possuem duas raízes comuns, pode-se afirmar que: 
(A) 𝑎 = 𝑏 (B) 2𝑎 = 𝑏 (C) 𝑎 = 2𝑏 
(D) 2𝑎 = 3𝑏 (E) 3𝑎 = 2𝑏 
 
03. Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1. 
Qual o resto da divisão do polinômio 𝑝(𝑥12) 
pelo polinômio 𝑝(𝑥)? 
(A) 6 (B) 5 − 𝑥 (C) 4 − 𝑥 + 𝑥2 
(D) 3 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 (E) 2 
 
04. Considere o polinômio 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥7 + 𝑏𝑥6 +⋯+ 𝑔𝑥 + ℎ 
Sabendo que 𝑝(𝑥) + 1 é divisível por (𝑥 − 1)4 e que 
𝑝(𝑥) − 1 é divisível por (𝑥 + 1)4, então o valor de 
𝑐 + 𝑒 é igual a: 
(A) 3/4 (B) 4/5 (C) 5/6 (D) 6/7 (E) 7/8 
 
05. Se 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 são as três raízes da equação do 
terceiro grau 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0, então 
𝑥1 + 𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3
+
𝑥1 + 𝑥3
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3
+
𝑥2 + 𝑥3
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
 
É igual a: 
(A) 0 (B) −1 (C) 1 (D) √2 (E) n.d.a. 
 
06. Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 as quatro raízes complexas de 
𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 6𝑥2 + 4𝑥 + 2. Se o polinômio 
𝑞(𝑥) = 𝑥4 + 𝛼𝑥3 + 𝛽𝑥2 + 𝜃𝑥 + 𝛾 tem como raízes 
𝑎2, 𝑏2, 𝑐2, 𝑑2, então o valor de 𝛽 + 𝜃 é igual a: 
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D) 48 (E) 52 
 
07. Considere um polinômio 𝑝(𝑥), de grau 5, com 
coeficientes reais. Sabe-se que −2𝑖 e 𝑖 − √3 são 
duas de suas raízes. Sabe-se ainda que dividindo-se 
𝑝(𝑥) pelo polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 5 obtém-se resto 
zero e que 𝑝(1) = 20(5 + 2√3). Então, 𝑝(−1) é 
igual a: 
 
(A) 5(5 − 2√3) (B) 15(5 − 2√3) 
(C) 30(5 − 2√3) (D) 45(5 − 2√3) 
(E) 50(5 − 2√3) 
 
08. Considere os polinômios em 𝑥 que são da forma 
𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎3𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥. As raízes de 
𝑝(𝑥) = 0 constituem uma progressão aritmética de 
razão 
1
2
 quando (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) é igual a: 
(A) (
1
4
, 0,
5
4
) (B) (
1
4
, 1,
5
4
) (C) (
1
4
, 0,−
5
4
) 
(D) (
5
4
, 0,
1
4
) (E) (
1
4
, 1,−
5
4
) 
 
09. Suponha que os coeficientes reais 𝑎, 𝑏 da 
equação 𝑥4 + 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1 = 0 são tais que 
a equação admite solução não real 𝑟, com |𝑟| ≠ 1. 
Das seguintes afirmações: 
I. A equação admite quatro raízes distintas, 
sendo todas não reais. 
II. As raízes podem ser duplas. 
III. Das quatro raízes, duas podem ser reais. 
É (são) verdadeira(s) 
(A) apenas I (B) apenas II (C) apenas III 
(D) apenas II e III (E) nenhuma 
 
10. No triângulo ABC, os lados 𝑎 = 𝐵𝐶, 𝑏 = 𝐶𝐴, 
𝑐 = 𝐴𝐵 são raízes de 𝑥3 − 11𝑥2 + 38𝑥 − 40 = 0.. 
Então, 
𝑐𝑜𝑠∠𝐴
𝑎
+
𝑐𝑜𝑠∠𝐵
𝑏
+
𝑐𝑜𝑠∠𝐶
𝑐
 é igual a: 
(A) 1 (B) 3/4 (C) 2 (D) 9/16 (E) 25/16 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 
E B A E C 
06 07 08 09 10 
D C C A D