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Estatística
 
Rio de Janeiro
UVA
2016
Walter Sande
Estatística
 
Rio de Janeiro
UVA
2016
Copyright © UVA 2016
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer 
meio sem a prévia autorização desta instituição.
Texto de acordo com as normas do Novo Acordo Ortográ!co 
da Língua Portuguesa.
ISBN: 978-85-69287-29-2
Autoria do Conteúdo
Walter Sande
Projeto Grá!co
UVA
Diagramação
Isabelle Martins
Revisão
Janaína Senna
Isabel Oliveira
Lydianna Lima
Ficha Catalográ!ca elaborada pelo Sistema de Bibliotecas da UVA.
Biblioteca Maria Anunciação Almeida de Carvalho.
S214 Sande, Walter 
 
 Estatística [livro eletrônico] / Walter Sande. – Rio de 
 Janeiro : UVA, 2016. 
 
 2,4 MB. 
 ISBN 978-85-69287-29-2
 Disponível também impresso. 
 
 1. Estatística. I. Universidade Veiga de Almeida. 
 II. Título. 
 CDD – 519.5
SUMÁRIO
Apresentação...............................................................................................................7
Sobre o autor...................................................................................................................9
Capítulo 1 - Estatística descritiva..................................11
Diferentes tipos de dados.........................................................................13
Resumos grá!cos..........................................................................................15
Medidas de tendência central..................................................................20
Medidas de variação....................................................................................28
Medidas de posição......................................................................................34
Referências......................................................................................................40
Capítulo 2 - Distribuições de probabilidade...............41
Introdução à probabilidade........................................................................42
Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade.................51
Valor esperado e variância......................................................................55
Principais distribuições discretas...........................................................58
Principais distribuições contínuas..........................................................63
Referências......................................................................................................72
Capítulo 3 - Amostragem...............................................73
Noções de inferência estatística e amostragem...............................74
Intervalo de con!ança...............................................................................78
Teste de hipóteses.........................................................................................86
Referências......................................................................................................100
Capítulo 4 - Covariância, correlação e regressão linear...101
Diagrama de dispersão...............................................................................104
Medida da associação entre duas variáveis.......................................107
Regressão linear............................................................................................119
Referências......................................................................................................135
Considerações !nais......................................................136 
7
APRESENTAÇÃO
 
APRESENTAÇÃO
Quantos filmes você assiste por mês? Qual 
a quantidade de filmes assistidos por mês 
pelas pessoas na sua faculdade?
A primeira pergunta é para uma pessoa em particular, e, portanto, só 
há uma resposta. A segunda pergunta é para muitas pessoas, e, nesse 
caso, a quantidade de filmes assistidos vai ser variada. Então, qual res-
posta a ser informada? Todas as idades? Vamos precisar da estatística 
para encontrar traços desse conjunto e chegar a conclusões. Como ve-
remos mais adiante, podemos usar alguma medida de tendência cen-
tral, como a média, para responder. 
Muitas vezes, recorremos à estatística para responder a alguns ques-
tionamentos do dia a dia. A estatística é uma ferramenta valiosa de 
pesquisa que consiste em uma forma de aprender a partir de um con-
junto de dados. Seu objetivo é traduzir os dados em conhecimento e 
compreensão para outras pessoas. Saber quantificar a incerteza em tor-
no desses dados também é necessário. Podemos dizer que um método 
estatístico está dividido em quatro etapas: 
1. Formulação do problema estatístico de interesse. 
2. Coleta de dados.
3. Análise dos dados, fase em que procuramos descrever os da-
dos obtidos.
4. Inferência dos resultados, momento em que tomamos deci-
sões e fazemos previsões. 
Qual a quantidade média de filmes assistidos 
por mês pelas pessoas em sua faculdade?
8
Para descobrirmos a verdadeira resposta, todos os alunos deveriam 
ser entrevistados. Mas isso não seria muito trabalhoso? Não existe um 
modo mais eficiente? Sim. Podemos escolher algumas pessoas ao acaso 
e calcular a média para elas, esperando que o valor encontrado seja 
uma boa indicação da média de todas as pessoas. Em termos mais for-
mais, a ideia aqui, então, seria escolher uma amostra aleatória e calcu-
lar a média para essa amostra, de modo a ser possível fazer inferências 
a respeito da média para a população. 
Toda pesquisa estatística possui um conjunto de elementos de interes-
se, a partir do qual os dados são coletados e analisados. O conjunto de 
todos os elementos que possuem pelo menos uma característica em 
comum é chamado de população. No entanto, na prática, geralmente 
não dispomos da totalidade das observações de um fenômeno em estu-
do, mas dados de apenas alguns desses elementos, pois seria inviável 
obter informações de todos, seja por falta de tempo ou de recursos. 
Chamamos de amostra esse subconjunto representativo da população, 
a partir do qual todos os elementos serão analisados para o estudo 
estatístico desejado. 
Quando temos um cálculo baseado na amostra e de alguma forma ten-
tamos estimá-lo para a população inteira, chamamos de estatística, ou 
seja, uma característica da amostra. Esse valor que desejamos estimar 
é chamado de parâmetro, que é uma medida para descrever uma carac-
terística da população. 
Sendo assim, podemos dizer que usamos a estatística descritiva para 
resumir os dados da amostra e, a partir de análises, usamos a esta-
tística inferencial para tomar decisões e fazer previsões sobre uma 
população.
9
SOBRE O AUTOR
Walter Wagner Carvalho Sande é doutor em Administração pela Esco-
la Brasileira de Administração Pública e de Empresas da Fundação Ge-
túlio Vargas – Ebape/FGV e mestre em Administração pelo Instituto de 
Pós-Graduação e Pesquisa em Administração da Universidade Federal 
do Rio de Janeiro – Coppead/UFRJ, formado em Engenharia Mecânica 
pelo Instituto Militar de Engenharia – IME e em Análise de Sistemas 
pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro – Uerj. Após anos de 
carreira profissional dedicada a empresas como Golden Cross, Varig, 
Michelin, entre outras, atualmente é professor de graduação na FGV/
RJ e de pós-graduação em diversas instituições de ensino, além de se 
dedicar à pesquisa, com foco nos métodos quantitativos aplicados às 
ciências sociais.
......................................................................................................................................................................................................................10
11Diferentes tipos de dados
......................................................................................................................................................................................................................
CAPÍTULO 1 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Quando temos uma grande quantidade de dados e quere-
mos revelar algo sobre eles, sem ter que divulgá-los por 
completo, podemos descrevê-los por meio de um conjunto 
menor de números. Trata-se da estatística descritiva. Esses 
resumos dos dados devem buscar evitar distorções e per-
da de muitas informações, constituindo-se, geralmente, em 
gráficos e números, como médias e percentagens. A fim de 
ilustrar o que se segue, consideremos o seguinte exemplo: 
Exemplo 1: um pesquisador está interessado em analisar 
algumas características dos alunos da faculdade em que 
estuda. Usando as informações obtidas por meio de entre-
vistas a 30 pessoas escolhidas aleatoriamente, ele elaborou 
a tabela 1.
Tabela 1 – Tabela de dados.
Id. 
Aluno Sexo Idade Altura
Período 
da 
faculdade
CR
Filmes 
assisti-
dos por 
mês
Nível de 
simpatia
1 F 20 1,65 Veterano 6 7 10
2 M 23 1,90 Veterano 6 4 1
3 F 18 1,60 Calouro 3 3 8
4 F 19 1,65 Veterano 6,6 8 2
5 M 20 1,92 Veterano 6,7 10 7
6 F 20 1,65 Veterano 6,8 7 2
7 M 18 1,70 Veterano 6,8 8 0
Estatística descritiva12
......................................................................................................................................................................................................................
8 M 22 1,73 Veterano 6,9 9 9
9 F 19 1,60 Calouro 4,7 20 3
10 F 19 1,60 Veterano 7,4 9 8
11 F 24 1,59 Calouro 5,9 4 10
12 M 18 1,70 Calouro 6,5 5 2
13 M 20 1,70 Calouro 6,8 4 7
14 M 21 1,72 Calouro 6,8 6 3
15 F 20 1,60 Veterano 7,5 7 5
16 M 18 1,70 Calouro 7,5 6 7
17 M 19 1,74 Calouro 7,5 6 4
18 M 19 1,72 Calouro 7,5 6 2
19 M 17 1,77 Calouro 8,8 5 8
20 M 18 1,79 Veterano 7,5 7 9
21 M 19 1,76 Calouro 8,9 10 8
22 M 19 1,76 Veterano 7,5 11 1
23 M 20 1,75 Veterano 7,5 5 2
24 M 21 1,78 Veterano 7,7 7 3
25 M 22 1,76 Veterano 7,7 6 6
26 M 20 1,83 Calouro 9,8 9 6
27 M 22 1,8 Veterano 7,9 6 8
28 M 23 1,8 Veterano 7,9 6 1
29 M 24 1,8 Veterano 8 4 4
30 M 19 1,79 Calouro 9,9 8 9
Fonte: Elaborado pelo autor com dados hipotéticos.
13Diferentes tipos de dados
......................................................................................................................................................................................................................
DIFERENTES TIPOS DE DADOS
Uma variável é qualquer característica medida ou avalia-
da em cada elemento da amostra ou população. Como o 
próprio nome diz, seus valores (observações) variam de 
elemento para elemento. 
Diz-se que uma variável é qualitativa (ou categórica) se 
cada observação pertence a um subconjunto de um con-
junto de categorias, que correspondem aos possíveis atri-
butos do elemento pesquisado. Esses possíveis resultados 
ainda podem ser classificados como ordinais, quando 
existe uma noção de ordenação ou hierarquia entre eles, 
ou nominais, em caso contrário. Muitas vezes utiliza-
mos números para representar variáveis qualitativas, por 
exemplo, 1 para o sexo feminino e 2 para o masculino. No 
entanto, esses valores têm função puramente de classifica-
ção e, portanto, não podem ser operados aritmeticamente, 
muito menos serem usados para ordenar as categorias ou 
lhes atribuir algum tipo de valor comparativo.
Dizemos que uma variável é quantitativa (ou numérica) 
se as observações assumem valores numéricos resultantes 
de um processo de contagem ou mensuração. As variá-
veis quantitativas ainda possuem uma classificação dico-
tômica: (a) discretas, se possuem uma quantidade finita 
ou enumerável de valores possíveis, (b) contínuas, se pos-
suem uma quantidade infinita de valores possíveis, per-
tencentes a um intervalo de números reais. 
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva14
......................................................................................................................................................................................................................
A tabela 2 apresenta a classificação de algumas das variá-
veis presentes no exemplo 1:
Tabela 2 – Tipos de dados (classi!cação).
Variável Observações possíveis Classi!cação
Sexo Feminino (F) emasculino (M) Qualitativa nominal
Período da 
faculdade
Calouro e
veterano Qualitativa ordinal
Idade …,17,18,19,… Quantitativa discreta
Altura …,1,60,…,1,65,…,1,90,… Quantitativa contínua
15Resumos grá!cos
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
RESUMOS GRÁFICOS
Os dados podem ser sumarizados e descritos por meio da 
construção de gráficos e tabelas. É sempre uma boa ideia 
analisar inicialmente os dados por meio de gráficos, pois 
isso ajuda na obtenção do feeling acerca dos fenômenos 
observados, proporcionando maiores informações a res-
peito do comportamento de cada variável.
Como temos dois tipos bem distintos de variáveis, é de se 
esperar que tenham tipos de gráficos que se adequem a 
um conjunto de dados melhor do que outros.
Para as variáveis qualitativas, usamos o gráfico de pizza 
e o gráfico de barras. Em um gráfico de pizza, cada fatia 
corresponde à porcentagem de observações de cada atri-
buto observado da variável analisada. Por exemplo, pela 
figura 1, podemos verificar que a variável “Período da fa-
culdade” possui apenas dois atributos possíveis, calouros 
e veteranos, de tal forma que, do total das entrevistas 
realizadas, 43% das observações foram respondidas por 
calouros, e 57%, por veteranos. 
16
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
Figura 1 – Grá!co de pizza.
Período da faculdade
Como é possível verificar pela figura 2, a diferença para 
um gráfico de barras é que, em vez de fatias, temos barras 
verticais, e a altura de cada barra corresponde à contagem 
de ocorrências de cada atributo associado à variável.
Figura 2 – Grá!co de barras.
Período da faculdade
Para as variáveis quantitativas, em geral, usamos histo-
gramas, bem semelhantes aos gráficos de barras verticais. 
Nesse tipo de gráfico, a ideia é definir faixas de valores e 
calcular a frequência de observações pertencentes a cada 
um desses intervalos. Essas frequências podem ser abso-
lutas (contagem de ocorrência) ou relativas (porcentagens 
17Resumos grá!cos
......................................................................................................................................................................................................................
do total), como mostra a figura 3. Ou seja, o histograma é 
criado em cima desse resumo (tabela) de frequências. 
Figura 3 – Histogramas.
Histograma de idades (frequência absoluta) 
Histograma de idades (frequência relativa)
Forma das distribuições
As distribuições também podem ser classificadas pelo 
formato de gráfico que exibem. Se uma linha vertical tra-
çada sobre a mediana produz duas imagens espelhadas, 
dizemos que a distribuição é simétrica. Se a distribuição 
apresenta todas as observações com a mesma frequência 
(o que, em um gráficode barras, corresponde a todas as 
barras com mesma altura), classificamos a distribuição 
como sendo uniforme, o que também permite classificá-la 
como simétrica. A figura 4 apresenta exemplos de ambos 
os gráficos.
18
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
Figura 4 – Distribuições simétricas.
Distribuição simétrica
Distribuição uniforme
Caso contrário, como mostra a figura 5, temos uma dis-
tribuição assimétrica, que ainda pode ser classificada em 
dois tipos, de acordo com o lado que registra a maior fre-
quência: assimétrica à esquerda (ou negativamente assi-
métrica) e assimétrica à direita (ou positivamente assimé-
trica). 
Figura 5 – Distribuições assimétricas.
Distribuição assimétrica à direita
19Resumos grá!cos
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuição assimétrica à esquerda
20
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Além dos resumos gráficos, também devemos considerar 
os resumos numéricos da amostra. Uma medida de ten-
dência central é um valor único cuja função é representar 
o conjunto de dados como um todo, por meio da identifi-
cação de um valor típico (ou central). Ou seja, representa 
um valor em torno do qual os dados se agrupam. 
As três medidas mais utilizadas são a moda, a média e a 
mediana. Uma forma de entendermos o quanto cada uma 
dessas medidas é representativa (ou não) dentro do con-
junto de dados que estamos analisando é por meio do au-
xílio dos gráficos tratados no tópico anterior. 
Moda
A moda é o valor que ocorre com mais frequência em um 
conjunto de dados, se ele existir. Se não temos números 
repetidos, se não temos um que seja mais comum, então 
não temos moda. 
Trata-se de uma medida que é mais usada, em geral, para 
identificar a categoria de uma variável qualitativa que te-
nha a frequência mais alta. Portanto, um gráfico de pizza é 
de grande auxílio nesse tipo de identificação. Pelo gráfico 
da figura 1, verifica-se que a categoria veterano é a mais 
frequente para a variável período da faculdade. Também 
podemos identificar a moda de uma variável quantitativa, 
como a idade. A tabela 3 apresenta a frequência em que 
21Medidas de tendência central
......................................................................................................................................................................................................................
os valores ocorrem para o conjunto de dados coletados. 
Conclui-se que a maioria das pessoas entrevistadas tem 
19 anos. 
Tabela 3 – Frequência de idades.
Idade Frequência
17 1
18 5
19 8
20 7
21 2
22 3
23 2
24 2
Em alguns casos, podemos ter duas ou mais modas. Con-
siderando o exemplo, um dos interesses do pesquisador 
foi medir o nível de simpatia dele na faculdade. Então, 
para isso, cada pessoa entrevistada teve que lhe atribuir 
um valor de uma escala de 0 (extremamente antipático) 
a 10 (extremamente simpático) de quão simpático ela o 
considera. A figura 6 mostra o histograma resultante des-
se estudo. Podemos verificar que os alunos da faculdade 
são bastante divididos quanto ao nível de simpatia que 
atribuem ao pesquisador, pois algumas pessoas o consi-
deram muito simpático, enquanto outras o consideram 
muito antipático.
22
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
Figura 6 – Distribuição bimodal.
Nível de simpatia
Fonte: Elaborado pelo autor com dados hipotéticos.
Nesse caso, podemos concluir que essa distribuição apre-
senta duas modas, 2 e 8, e que ambas possuem frequência 
igual a 5. Trata-se, então, de uma distribuição bimodal.
Média
A medida mais conhecida e mais utilizada de tendência 
central de uma variável quantitativa é a média. Existem 
muitos tipos de média, mas estamos considerando aqui a 
média aritmética, ou seja, aquela que corresponde à soma 
de todas as observações da variável em questão dividido 
pelo número delas. Podemos interpretá-la como o ponto 
de equilíbrio da distribuição. 
Sejam x
1
, x
2
, …, x
n
 os n valores de uma variável X, distintos 
ou não, a média amostral, denotada por x̅ (lê-se x barra), 
é dada por:
x̅ =
x
1
 + x
2
 + ... + x
n =
∑ x
i
n n
i
n
23Medidas de tendência central
......................................................................................................................................................................................................................
Retornando ao exemplo, sabemos que um dos interesses 
do pesquisador foi perguntar aos alunos de sua faculdade 
sobre a quantidade de filmes que eles assistem por mês. 
Os resultados para os calouros e veteranos podem ser vi-
sualizados pelos gráficos da figura 7.
Figura 7 – Filmes assistidos por mês.
Filmes assistidos por mês (calouros).
Filmes assistidos por mês (veteranos)
A média de filmes assistidos é calculada para os calouros 
da seguinte forma:
3 + (2×4) + (2×5) + (4×6) + 8 + 9 + 10 + 2 × 20
=
92
= 7,07
14 14
24
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
E para os veteranos:
(3×4) + 5 + (3×6) + (5×7) + (2×8) + 9 + 10 + 11
=
116
= 6,82
17 17
Portanto, a média de filmes assistidos por mês é maior 
para os calouros. Analisando o gráfico dos calouros, ve-
rifica-se que o fato de a média ser 7,07 tem uma grande 
influência da pessoa que respondeu que assiste 20 filmes 
por mês. Se tivéssemos desconsiderado essa observação, a 
média teria sido 6, ou seja, a observação com valor 20 des-
locou a média para a direita. Por outro lado, analisando o 
gráfico dos veteranos, a média 6,82 representa bem uma 
medida central da distribuição, pois não sofreu distorções 
de nenhum elemento muito distante do restante da distri-
buição. Portanto, a média é uma boa medida para o centro 
da distribuição dos veteranos. 
A média é muito sensível aos valores que ficam bem dis-
tantes do resto da distribuição. Ou seja, a média pode ser 
altamente influenciada pelo que chamamos de outliers, 
observações que possuem valores muito acima ou muito 
abaixo da grande parte dos dados. A suspeita de outliers 
requer uma investigação mais aprofundada sobre os da-
dos coletados, pois podem ter sido originados por um erro 
na entrada de dados ou podem corresponder realmente a 
ocorrências incomuns da variável analisada. 
Mediana
A mediana corresponde ao valor do meio em um conjunto 
de dados que tenha sido ordenado do menor para o maior 
25Medidas de tendência central
......................................................................................................................................................................................................................
(ou do maior para o menor). É uma boa solução quando 
temos uma observação com valor atípico, que pode dis-
torcer a média.
Se a quantidade de observações é ímpar, então a mediana 
corresponde exatamente à observação do meio do conjun-
to ordenado. No caso de ser par, a mediana corresponde 
à média entre os dois valores que estão no meio na or-
dem de classificação.Consideremos as n observações da 
variável X colocadas em ordem crescente, de modo que a 
menor observação seja denotada por x
(1)
 e a maior por x
(n) 
: 
x
(1) 
≤ x
(2) 
… ≤ x
(n–1) 
≤ x
(n)
. 
As observações ordenadas dessa forma recebem o nome 
de estatísticas de ordem. E, com isso, podemos calcular a 
mediana de X.
Med (X) =
X , se n ímpar
X , se n par
Por exemplo, vamos considerar a variável X que corres-
ponde à quantidade de filmes que os alunos assistem por 
mês. Ordenando as n = 30 observações podemos calcular 
a mediana.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10 11 20
{ ( )n + 12n
2
( )
26
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
Med (X) =
x
15 
+ x
16 =
6 + 6
= 6
2 2
Vamos supor que só tivéssemos as 29 primeiras observa-
ções, então Med(X) = x
15
 = 6.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10 11
Comparando média e mediana
A forma como os dados estão distribuídos influencia se a 
média é maior, igual ou menor do que a mediana. 
Como mostra a figura 8, para distribuições perfeitamente 
simétricas, média e mediana coincidem. Para uma distri-
buição assimétrica, a média é puxada na direção da cauda 
mais longa em relação à mediana. Logo, distribuições as-
simétricas à direita possuem média maior do que a me-
diana. Para distribuições assimétricas à esquerda, ocorre 
o inverso. 
Figura 8 – Média e mediana em diferentes distribuições.
Fonte: Adaptado de Agresti e Franklin (2013).
27Medidas de tendência central
......................................................................................................................................................................................................................
Pelo fato de a mediana não ser afetada por observações 
com valores extremos, dizemos que ela é uma medida 
mais robusta (resistente a esse efeito) do que a média. 
Portanto, se temos uma distribuição assimétrica, em geral 
escolhemos como medida de tendência central a mediana, 
pois representa melhor o que é típico. Quando temos uma 
distribuição simétrica ou bem perto disso, em geral a mé-
dia é escolhida, pois usa os valores numéricos de todas as 
observações.
28
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
MEDIDAS DE VARIAÇÃO
Apenas as medidas de tendência central não são suficien-
tes para descrever as variáveis quantitativas. Precisamos 
também de resumos numéricos que nos ajudem a compre-
ender o quanto os dados analisados variam entre si. 
Figura 9 – Variabilidade dos dados.
Na figura 9, temos dois conjuntos de dados diferentes, 
mas ambos com a mesma média (x̅ = y̅). Embora eles te-
nham a mesma média, a distribuição dos valores em cada 
um desses conjuntos é diferente. Os dados em cinza-claro 
estão bem mais dispersos, mais distantes da média, do 
que os dados em cinza-escuro. Como podemos medir essa 
dispersão em torno da média? As medidas mais frequen-
temente usadas são a amplitude, a variância e o desvio 
médio padrão e servem para medir a representatividade 
da média. 
Para exemplificar o cálculo das medidas de variação nas 
subseções a seguir, vamos utilizar as observações da vari-
ável coeficiente de rendimento – CR analisada pelo pesqui-
29Medidas de variação
......................................................................................................................................................................................................................
sador do exemplo. Dividiremos essas observações em dois 
conjuntos: X
A
: calouros e X
B
: veteranos, conforme mostra a 
tabela 4. Para ambos os conjuntos temos que a moda (7,5), 
a mediana (7,5) e a média (7,2) são iguais. 
Tabela 4 – CR dos calouros e veteranos.
CR dos 
calouros Frequência
CR dos 
veteranos Frequência
3 1 6 2
4,7 1 6,6 1
5,9 1 6,7 1
6,5 1 6,8 2
6,8 2 6,9 1
7,5 3 7,4 1
8,8 1 7,5 4
8,9 1 7,7 2
9,8 1 7,9 2
9,9 1 8 1
Como mostram os gráficos da figura 10, temos dois con-
juntos com mesmas moda, mediana e média, mas com va-
riabilidades dos dados distintas. 
Figura 10 – Distribuição do CR.
CR dos calouros
30
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
CR dos veteranos
Amplitude
A amplitude (total) da distribuição nos dá a ideia da faixa 
máxima de variação dos dados, sendo calculada pela dife-
rença entre o maior e o menor valores observados. 
R = x
máx
 – x
mín
Apesar de ser facilmente calculada, a amplitude não é uma 
medida muito utilizada em cálculos estatísticos, pois ig-
nora os valores numéricos de quase todas as observações, 
trabalhando apenas com os dois valores extremos. Desse 
modo, podemos ter dois conjuntos com os mesmos va-
lores extremos, o que resulta em uma mesma amplitude, 
mas com os dados distribuídos de modo bem distinto, não 
nos permitindo afirmar nada sobre a variabilidade. 
Para os dados do exemplo, temos que R
A
= 9,8 – 3 = 5,8 e 
R
B
= 8,2 – 4,9 = 3,3. Ou seja, há indícios de que o CR dos 
calouros esteja mais disperso do que o dos veteranos, pois 
a faixa de variação do CR é mais ampla para os calouros 
do que para os veteranos. 
31Medidas de variação
......................................................................................................................................................................................................................
Variância e desvio-padrão
Acabamos de ver que o porquê de a amplitude não ser 
uma medida muito eficiente para realizar afirmações acer-
ca da variabilidade dos dados. Talvez nos fosse mais útil 
uma medida que levasse em consideração todas as n ob-
servações da variável analisada, em vez de apenas duas 
delas. Como estamos interessados em medir a dispersão 
dos dados em torno da média, uma boa solução seria co-
meçarmos calculando a dispersão de cada observação em 
relação à média x̅, calculando a diferença entre cada valor 
observado, x
i
, e a média, x̅: (x
i 
– x̅). 
Tabela 5 – Calculando a variância do CR dos calouros.
CR dos 
calouros (xi – x̅) (xi – x̅)
2
3 -4,2 17,64
4,7 -2,5 6,25
5,9 -1,3 1,69
6,5 -0,7 0,49
6,8 -0,4 0,16
6,8 -0,4 0,16
7,5 0,3 0,09
7,5 0,3 0,09
7,5 0,3 0,09
8,8 1,6 2,56
8,9 1,7 2,89
9,8 2,6 6,76
9,9 2,7 7,29
TOTAL 0 46,16
Podemos verificar pela tabela 5 que existem desvios po-
sitivos e negativos. De fato, observações acima da média 
possuem (x
i
 – x̅) > 0, e observações abaixo da média pos-
32
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
suem (x
i 
– x̅) < 0. Como a média corresponde ao ponto de 
equilíbrio da distribuição, ao somarmos esses desvios, os 
valores negativos se cancelam com os valores positivos, 
totalizando zero. Solução? Eliminar o sinal negativo dos 
desvios. Para isso, ou trabalhamos com os desvios abso-
lutos (|x
i 
– x̅|) ou com o quadrado dos desvios ((x
i
 – x̅)2). 
Por questões matemáticas que envolvem peculiaridades 
de cada função, a segunda opção é escolhida. A expressão 
∑
i=1 
(x
i
 – x̅)2 recebe o nome de soma dos quadrados. 
Com isso, definimos variância (σ2) como a soma dos qua-
dradosdas diferenças de cada observação em relação à 
média (soma dos desvios ao quadrado), dividida pelo ta-
manho da amostra. 
σ2 =
∑
i=1 
(x
i
 – x̅)2
n
Calculada dessa forma, essa medida é chamada de vari-
ância populacional. Veremos nos próximos capítulos que, 
para calcular a variância amostral, representada por S2, 
devemos repetir o mesmo procedimento apresentado, no 
entanto, usando o denominador n – 1 em vez de n.
Como podemos observar, a variância representa uma mé-
dia dos quadrados dos desvios dos valores observados em 
relação à média (pois, no final das contas, é uma divisão 
entre a soma de valores pela quantidade de valores nessa 
soma). No entanto, como esses desvios são elevados ao 
quadrado, resulta que as unidades de medida da média, 
x̅, e da variância, σ2, não são as mesmas, o que dificulta 
bastante o uso da variância com a finalidade de analisar a 
dispersão em torno da média.
n
n
33Medidas de variação
......................................................................................................................................................................................................................
Uma medida de dispersão usada com maior frequência é 
o desvio-padrão (σ), que corresponde à raiz quadrada da 
variância e pode ser interpretado como a distância média 
de uma observação a partir da média. 
Um desvio-padrão próximo de zero significa que os dados 
estão próximos da média. Conjuntos de dados com valo-
res muito afastados da média apresentam desvio-padrão 
elevado. 
Para os dados do exemplo, temos que:
σ2 =
46,16
≈ 3,55 → σA = √3,55 ≈ 1,8813
σ2 =
6,42
≈ 0,37 → σB = √0,37 ≈ 0,6117
Portanto, como era de se esperar, o CR dos calouros apre-
senta uma variância maior do que o CR dos veteranos. 
Como quanto maior for o desvio, mais dispersos em rela-
ção à média são os valores observados, os resultados aci-
ma comprovam o que havíamos observado anteriormente, 
ao analisarmos os gráficos e calcularmos a amplitude de 
cada conjunto de dados. 
A
B
34
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Além das medidas já estudadas, devemos considerar algu-
mas outras, pois elas podem não ser suficientes para uma 
sumarização adequada do conjunto de dados analisado. 
São necessárias medidas que nos ajudem a compreender 
melhor a simetria (ou assimetria) da distribuição de dados.
Já vimos que a mediana é uma medida mais robusta que a 
média para valores extremos. Será que não podemos cal-
cular outras medidas semelhantes, mas que sejam capa-
zes de nos dar mais informações?
Quantis
Sabemos que a mediana é uma medida que divide o con-
junto amostral ordenado, do menor para o maior, em duas 
partes, de modo que metade das observações encontra-se 
abaixo, e a outra metade, acima dela. De modo geral, po-
demos definir uma medida capaz de dizer o quão longe 
uma observação está em relação a um determinado ponto. 
Chamamos essa medida de quantil. A figura 11 mostra 
um quantil de ordem p, denotado por q(v), que correspon-
de a uma proporção p (0 < p < 1), tal que p por cento (p%) 
das observações são menores ou iguais a esse valor. En-
tão, para p = 50, temos o 50º percentil, em que 50% das 
observações estão abaixo de q(0,50). E isso corresponde 
exatamente à mediana!
35Medidas de posição
......................................................................................................................................................................................................................
Figura 11 – Quantil de ordem p.
Os quantis mais usados são os quartis, que, como o pró-
prio nome já induz, correspondem a quartos do conjunto. 
Ao dividir o conjunto total em quatro partes iguais, temos:
 
Q1 = q(0,25): corresponde ao primeiro quartil.
Q2 = q(0,50): corresponde ao segundo quartil, tam-
bém chamado de mediana.
Q3 = q(0,75): corresponde ao terceiro quartil.
Isso significa dizer que 25% dos dados estão abaixo do 
primeiro quartil, 25% estão entre o primeiro e o segundo 
quartis, 25% estão entre o segundo e o terceiro quartis e 
25% estão acima do terceiro quartil.
Vamos considerar as observações do CR dos calouros. 
1. Ordenam-se em ordem crescente os dados para 
encontrar a mediana; com isso, temos Q2.
36
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
3 4,7 5,9 6,5 6,8 6,8 7,5 7,5 7,5 8,8 8,9 9,8 9,9
Q2
2. Encontra-se a mediana da metade inferior; com 
isso, temos Q1. Encontra-se a mediana da metade 
superior; com isso, temos Q3.
3 4,7 5,9 6,5 6,8 6,8 7,5 7,5 7,5 8,8 8,9 9,8 9,9
Q2
Amplitude interquartil
Uma outra forma de medir a variabilidade dos dados é por 
meio da amplitude interquartil. Trata-se de uma medida 
de dispersão melhor do que a amplitude total, pois des-
considera os valores dos extremos. A sua principal van-
tagem é que não é afetada pela presença de outliers na 
distribuição, pois não leva em consideração observações 
abaixo do primeiro quartil nem as que estão acima do ter-
ceiro quartil. 
A amplitude interquartil é calculada pela diferença entre o 
terceiro e o primeiro quartis.
ΔQ = Q
3
 – Q
1
Quanto mais os dados variarem em uma distribuição, 
maior o valor de ΔQ. Para o CR dos calouros, temos que 
ΔQ
A 
= 8,85 – 6,2 = 2,65, e dos veteranos, ΔQ
B 
= 7,7 – 6,75 = 
0,95, ou seja, o CR dos calouros apresenta maior variação. 
Q1 =
5,9 + 6,5
= 6,2
2
Q3 =
8,8 + 8,9
8,85
2
37Medidas de posição
......................................................................................................................................................................................................................
Detectando possíveis outliers
Outra importante função da amplitude interquartil está re-
lacionada ao fato de ela funcionar com uma ferramenta na 
identificação de potenciais outliers da distribuição. Uma 
observação é classificada como sendo potencial outlier se 
ela se encontra a mais do que 1,5 × ΔQ abaixo do primeiro 
quartil (cerca inferior) ou mais do que 1,5 × ΔQ acima do 
terceiro quartil (cerca superior). 
Cerca inferior = Q
1 
– 1,5 × ΔQ
Cerca superior = Q
3 
+ 1,5 × ΔQ
Para o CR dos calouros, temos que possíveis outliers se-
riam valores menores que 6,2 – 1,5 × 2,65 = 2,225 ou maio-
res que 8,85 + 1,5 × 2,65 = 12,825. E, para o CR dos vetera-
nos, seriam valores menores que 6,75 – 1,5 × 0,95 = 5,325 
ou maiores que 7,7 + 1,5 × 0,95 = 12,825. Em nenhum 
desses conjuntos aparecem observações fora dessa faixa, 
portanto, não há suspeita da existência de outliers. 
É importante ressaltar que, com esse critério, estamos 
apenas identificando valores como outliers em potencial, 
mas não dando a certeza dessa classificação. Em alguns 
casos, como nas distribuições que apresentam o que se 
chama de cauda longa, embora distantes da maior parte 
dos dados, alguns valores extremos podem ser encontra-
dos, sem que isso configure um caso raro ou praticamente 
impossível de ocorrer. Sendo assim, esses dados, mesmo 
fora da faixa determinada pelas cercas superior e inferior, 
não podem ser classificados como outliers. 
38
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
Box plot: o resumo grá!co dos cinco números
Os quartis, juntamente com os valores mínimo e máximo 
da distribuição, formam o que chamamos de resumo dos 
cinco números. Esses números, em conjunto, funcionam 
como a base de um gráfico denominadobox plot, que for-
nece informações sobre posição, dispersão, assimetria, 
caudas e outliers. 
A posição central é dada pela mediana, e a dispersão, pelo 
tamanho da caixa, que corresponde à amplitude inter-
quartil. As posições relativas dos quartis dão uma noção 
sobre a assimetria da distribuição. As linhas verticais que 
partem da caixa até os valores mínimo e máximo corres-
pondem aos comprimentos das caudas esquerda e direita, 
respectivamente. Os pontos que ficam além dessa estrutu-
ra correspondem aos possíveis outliers. 
A figura 12 apresenta box plots correspondentes às obser-
vações do CR dos calouros (à esquerda) e dos veteranos 
(à direita). 
Figura 12 – Box plots.
CR dos calouros versus CR dos veteranos
 
39Medidas de posição
......................................................................................................................................................................................................................
Comparando os gráficos, notamos que, no box plot do CR 
dos calouros, os dados encontram-se mais dispersos em 
relação à média (pois a caixa tem um tamanho maior), com 
uma certa simetria entre a maior parte dos dados (pois a 
mediana está bem próxima ao centro da caixa), e há pre-
sença de valores extremos de grande magnitude (o que 
se vê pelo grande comprimento das linhas verticais). Já 
no box plot do CR dos veteranos, observamos dados bem 
concentrados ao redor da média (pois o tamanho da caixa 
é menor), com uma assimetria à direita (a maior parte dos 
dados se encontra abaixo da mediana), e que os valores 
extremos não estão muito distantes da média (já que as 
linhas não são muito longas).
......................................................................................................................................................................................................................
40
......................................................................................................................................................................................................................
Estatística descritiva
REFERÊNCIAS
AGRESTI, A.; FRANKLIN, C. A. Statistics: the art and science 
of learning from data. 3. ed. Boston: Pearson, 2013.
ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Esta-
tística aplicada à administração e economia. 3. ed. São 
Paulo: Cengage Learning, 2014. 
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 8. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2013. 
LEVINE, D. M. et al. Estatística: teoria e aplicações: usando o 
Microsoft Excel em português. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; TERRY, S. Estatística para 
administração e economia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2009. 
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. 
São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981. 
Links interessantes
Portal Action – Estatística básica: 
<http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica>.
Portal Action – Estatística descritiva: 
<http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/esta-
tisticas-descritivas>.
Portal Action – Análises gráficas: 
<http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/grafi-
cos>.
41Introdução à probabilidade
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
CAPÍTULO 2 
DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADE
Preciso sair com um guarda-chuva hoje? Quantas pessoas 
estarão na fila do almoço no horário de pico? Quantos pro-
dutos a empresa irá vender no próximo mês? Quanto tem-
po irá demorar até o fornecedor entregar a encomenda que 
fizemos hoje? Quantos produtos defeituosos irão escapar 
do controle de qualidade?
Todos os dias, estamos sempre tomando decisões sobre si-
tuações que, por mais que sejam observadas repetidamen-
te sob as mesmas condições, geram resultados distintos 
e não previsíveis com certeza absoluta. Conhecemos os 
possíveis resultados, mas, por causa da aleatoriedade, o 
resultado de uma determinada observação é incerto. Nes-
te capítulo, vamos, portanto, abordar esse assunto e seus 
desdobramentos.
42
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
A probabilidade é uma medida capaz de mensurar essa 
incerteza, de modo a indicar o quão provável é a ocor-
rência desse evento de interesse. O processo de coleta de 
dados associados a um fenômeno em que obtemos resul-
tados com essas características é chamado de experimen-
to aleatório. 
No entanto, apesar da incerteza associada ao resultado de 
uma observação futura de um experimento aleatório, exis-
te uma certa previsibilidade estatística, garantida pela lei 
dos grandes números. Ao lançarmos uma moeda, sabe-
mos intuitivamente que temos 50% de chance de cair cara, 
e 50% de cair coroa. Essa é uma noção intuitiva, que vem 
do conhecimento implícito de que há dois resultados pos-
síveis, ambos com mesma chance de ocorrer. Quando re-
petimos o lançamento quatro vezes seguidas, é de esperar 
que em dois deles tenhamos cara e, nos outros dois, coroa. 
Porém, é possível que ocorram quatro caras, ou quatro 
coroas... Contudo, como mostra a figura 13, com um nú-
mero de observações suficientemente grande, a frequên-
cia relativa de um resultado possível (cara, por exemplo) 
se estabiliza e converge para um número específico (50%, 
nesse caso), o qual é esperado. Essa proporção de vezes 
que o resultado cara ocorre, no longo prazo, é a base do 
conceito de probabilidade. 
43Introdução à probabilidade
......................................................................................................................................................................................................................
Figura 13 – A lei dos grandes números.
Frequência acumulada de “cara” 
Portanto, quando lidamos com experimentos aleatórios, a 
frequência que um determinado resultado ocorre no curto 
prazo (ou seja, com poucas repetições do experimento) é alta-
mente aleatória, mas, à medida que repetimos o experimento 
uma quantidade grande de vezes, ela se torna bem mais pre-
visível. Essa proporção de vezes que um determinado resul-
tado ocorre no longo prazo corresponde a sua probabilidade.
Como calcular essas probabilidades? A fim de ilustrar o que 
se apresenta a seguir, consideremos o seguinte exemplo.
Exemplo 2: a disciplina de Estatística é cursada por alu-
nos de três cursos diferentes: Administração, Economia 
e Matemática. Como o nível exigido de matemática varia 
entre os cursos, a solução encontrada pelo professor foi 
aplicar três modelos de prova (A, B e C, respectivamente) 
que reflitam esse nível de exigência. Em uma turma de 60 
alunos, 15 deles (25%) fizeram a prova A, que reprova o 
aluno com uma probabilidade 0,4; 36 (60%) fizeram a pro-
va B, que reprova o aluno com uma probabilidade 0,25; e 
9 (15%) fizeram a prova C, que reprova o aluno com uma 
probabilidade 0,33. 
44
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
Conceitos fundamentais
Inicialmente devemos listar todos os casos possíveis. O 
conjunto composto por todos os resultados possíveis ori-
ginados a partir de um experimento aleatório é denomina-
do espaço amostral, representado normalmentepor S ou 
Ω. A figura 14 exibe a árvore de probabilidades corres-
pondente ao exemplo 2, com S = {AR, AR̅, BR, BR̅, CR, CR̅}, em 
que R corresponde à categoria de reprovado, e R̅, à de não 
reprovado (aprovado). Ou seja, o evento AR corresponde à 
proporção de alunos que fizeram a prova A e foram repro-
vados, enquanto o evento AR̅, à proporção de alunos que 
fizeram a prova A e não foram reprovados.
Figura 14 – Árvore de probabilidades.
Pergunta-se, então: escolhendo aleatoriamente um aluno 
dessa turma, qual a probabilidade de que ele tenha feito 
a prova A? 
Um evento E é o subconjunto desse espaço amostral for-
mado por todos os resultados possíveis que respondam a 
nossa pergunta de interesse. 
45Introdução à probabilidade
......................................................................................................................................................................................................................
A = alunos que fizeram a prova A = {AR, AR̅}
Cada resultado do espaço amostral e, consequentemente, 
cada evento têm uma probabilidade de ocorrência associa-
da. Se o modelo é equiprobabilístico1, a probabilidade de 
um evento E, indicada por P(E), é dada por:
P(E) =
Número de resultados do evento E
Número total de resultados do espaço amostral
Dessa forma,
P(A) =
Número de alunos que fizeram a prova A
Total do número de alunos
P(A) =
15
 = 0,25
60
No nosso exemplo, AR e AR̅ são eventos mutuamente ex-
cludentes, ou seja, não podem ocorrer simultaneamente, 
pois um aluno que tenha feito a prova A não pode ter sido 
reprovado e não reprovado simultaneamente. Em outras 
palavras, a interseção entre AR e AR̅ é o conjunto vazio (AR 
∩ AR̅ = Ø). Sendo assim, podemos calcular P(A) somando 
diretamente as probabilidades dos resultados individuais 
que compõem o evento A: P(A) = P(AR) + P(AR̅ ) = 0,1 + 0,15 
= 0,25. Quando, ao contrário, dois eventos não são mu-
tuamente excludentes, devemos subtrair a probabilidade 
associada à interseção entre eles da regra da soma.
1 Ou seja, todos os elementos do modelo têm a mesma probabilidade de 
serem “sorteados”. Nesse nosso exemplo, todos.
46
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
Podemos dizer que a probabilidade é uma função que 
associa um número real P(E) a cada evento E do espaço 
amostral S, satisfazendo às seguintes regras:
1. Para todo evento E ∈ S, 0 ≤ P(E) ≤ 1. Em outras 
palavras, a probabilidade é um número entre 0 e 
um, inclusive.
2. P(Ø) = 0 (evento impossível). Em outras palavras, 
a probabilidade associada a um evento impossível 
(com nenhum resultado possível) é zero.
3. P(S) = 1 (evento certo). Ou seja, um evento que te-
nha todas as ocorrências do espaço amostral como 
resultados possíveis tem probabilidade um.
4. ∑EϵS P(E) = 1. Ou seja, a soma das probabilidades 
de todos os eventos do espaço amostral é um.
Probabilidade conjunta, marginal e 
condicional
Outra forma de ilustrar o exemplo 2 é por meio de uma 
tabela de dupla entrada (ou tabela de contingência), como 
a apresentada pela tabela 6. 
Tabela 6 – Tabela de dupla entrada. 
Graduação 
Reprovação
TOTAL
Não Sim
Administração 
(Prova A)
0,15 0,1 0,25
Economia 
(Prova B)
0,45 0,15 0,6
Matemática 
(Prova C)
0,1 0,05 0,15
TOTAL 0,7 0,3 1
47Introdução à probabilidade
......................................................................................................................................................................................................................
Podemos, então, fazer uma outra pergunta: escolhendo 
aleatoriamente um aluno dessa turma, qual a probabilida-
de que ele tenha feito a prova B e não tenha sido reprova-
do em Estatística? 
Nessa tabela, cada uma das seis probabilidades centrais 
é chamada de probabilidade conjunta, calculada pela in-
terseção dos resultados das variáveis. A soma de todas 
as probabilidades conjuntas é igual a 1. Para responder a 
essa pergunta, cruzamos a linha da Prova B com a coluna 
Não, ou seja, P(B e R̅) = 0,45.
Outras possíveis perguntas são: escolhendo aleatoriamen-
te um aluno dessa turma, qual a probabilidade de que ele 
não tenha sido reprovado em Estatística? Qual a probabi-
lidade de que ele tenha feito a prova B?
Na tabela 6, os valores presentes na linha Total e coluna 
Total são chamados de probabilidades marginais e levam 
em consideração somente a probabilidade de uma variá-
vel. As probabilidades marginais são obtidas por meio da 
soma das probabilidades conjuntas em ambas as direções 
da tabela. Portanto, a probabilidade de que um aluno es-
colhido ao acaso não tenha sido reprovado, independen-
temente do modelo de prova que tenha feito, é calculada 
pela seguinte expressão:
P(R̅) = P(AR̅) + P(BR̅) + P(CR̅) = 0,15 + 0,45 + 0,1 = 0,7
48
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
E a probabilidade de esse mesmo aluno ter feito a prova B, 
independentemente de ter sido aprovado, é:
P(B) = P(BR) + P(BR̅) = 0,45 + 0,15 = 0,6
Temos agora uma nova pergunta: escolhendo aleatoria-
mente um aluno dessa turma, sabendo que ele fez a prova 
B, qual a probabilidade de que ele não tenha sido reprova-
do em Estatística? 
Agora que já sabemos calcular as probabilidades conjun-
tas e marginais, já podemos calcular a probabilidade con-
dicional. A probabilidade de um evento A ocorrer, dado 
que o evento B já ocorreu, é representada por P(A│B) e cal-
culada dividindo-se a probabilidade conjunta dos eventos 
A e B pela probabilidade de ocorrência do evento B.
P(A│B) =
P(A e B)
 P(B)
Ou seja, sabemos o resultado de uma das variáveis (ter 
feito a prova B) e queremos, com isso, calcular a probabili-
dade de a outra variável ocorrer (não reprovação).
P(não reprovou│fez a prova B) =
P(B e R̅)
=
0,45
= 0,75
 P(B) 0,6
Note que, ao calcularmos a probabilidade condicional, re-
duzimos o espaço amostral ao espaço do evento condicio-
nante, que, nesse caso, é fazer a prova B. 
49Introdução à probabilidade
......................................................................................................................................................................................................................
Probabilidade total e teorema de Bayes
Vamos pensar, agora, em outra pergunta: escolhendo ale-
atoriamente um aluno dessa turma, qual a probabilidade 
de que ele tenha feito a prova B sabendo-se que ele não 
reprovou em Estatística? 
Se, na árvore de probabilidades da figura 14, trocarmos 
a ordem entre os três nós que correspondem ao tipo de 
prova e os dois nós que correspondem a ter havido ou não 
reprovação, a probabilidade conjunta não seria alterada. 
De fato, reescrevendo a fórmula da probabilidade condi-
cional, obtemos:
P(A e B) = P(A│B) ⋅ P(B)=P(B│A) ⋅ P(A)
Ou seja,
P(A│B) =
 P(B│A) ⋅ P(A)
P(B) 
Essa fórmula, que expressa uma probabilidade condicio-
nal em termos de outras probabilidades condicionais, é 
conhecida como o teorema de Bayes. 
Podemos calcular P(B) a partir de probabilidades condicio-
nais de B para os diferentes valores de A. Essa é a chama-
da lei da probabilidade total. 
P(B) = P(B│A1) P(A1) + P(B│A2) P(A2) 
+ ⋯ = ∑ P (B│An) P(An) 
......................................................................................................................................................................................................................
50
......................................................................................................................................................................................................................Distribuições de probabilidade
Dessa forma,
P(A│B) =
 P(B│A) P(A)
∑ P (B│An) P(An)
Agora já podemos calcular a probabilidade P(fez a prova 
B|não reprovou).
P(B│R̅) =
P(R̅│B)P(B)
(P(R̅│A)P(A) + P(R̅│B)P(B) + P(R̅│C)P(C)
P(B│R̅) =
0,75 × 0,6 
0,6 × 0,25 + 0,75 × 0,6 + 0,67 × 0,15
P(B│R̅) =
0,45
≈ 0,65
0,15 + 0,45 + 0,1
Independência dos eventos
Dizemos que dois eventos, A e B, são independentes se o 
fato de um evento ter ocorrido não altera a probabilidade 
de ocorrência do outro evento. Ou seja, P(B│A) = P(B). 
Portanto, 
P(A e B) = P(A)P(B) ⇔ A e B são independentes
No exemplo 2, para que os eventos sejam considerados 
independentes, a relação de independência deve ser válida 
para todas as interseções presentes na tabela 6.
51Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
DE PROBABILIDADE
Nem sempre estamos interessados apenas nos resultados 
dos experimentos aleatórios, e sim em funções numéri-
cas associadas a esses resultados. Nesse contexto, surge o 
conceito de variável aleatória (v. a.), uma função que as-
socia cada elemento do espaço amostral a um número real 
(X: Ω→R). Ou seja, trata-se de um valor numérico originado 
de algum experimento aleatório. 
Uma variável aleatória X pode assumir um conjunto de 
valores possíveis, x1, x2, …, xn, cada um com uma probabi-
lidade pi associada, sendo ∑pi=1, para i entre 1 e n. Dessa 
forma, temos a distribuição de probabilidade dessa variá-
vel como nosso principal objetivo de estudo neste ponto. 
Sendo assim, as distribuições de probabilidade são capa-
zes de descrever os possíveis resultados de uma variável 
aleatória e suas probabilidades. 
Existem dois tipos de variáveis aleatórias: discretas e con-
tínuas. Ambas serão discutidas a seguir.
Variáveis aleatórias discretas
Uma variável aleatória discreta é aquela que possui um con-
junto de valores possíveis finito ou infinito, porém enume-
rável. Vamos supor uma pesquisa fictícia sobre a quantida-
de total de disciplinas feitas pelos alunos de Administração 
durante um período. Sabe-se que há um limite de cinco ma-
térias por período. Trata-se de um exemplo de uma v. a. 
52
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
discreta, pois sabemos todos os possíveis valores {0, 1, 2, 3, 
4 e 5} da variável X = “quantidade de disciplinas cursadas 
em um período por um aluno de Administração”. A tabela 7 
apresenta um resumo dos resultados dessa pesquisa.
Tabela 7 – Distribuição de frequências.
X Frequência
1 15
2 20
3 45
4 50
5 60
Total 190
A primeira coluna é a lista de possíveis valores da variável 
X, e a segunda coluna é a quantidade de vezes que cada 
valor ocorreu na pesquisa.
Função (massa) de probabilidade
A distribuição de probabilidade de uma v. a. discreta é 
chamada de função (massa) de probabilidade. Nesse 
caso, podemos especificar a probabilidade de a variável 
X ser igual a um determinado valor x, que representamos 
por p
X
 (x) ou P(X = x). A tabela 8 mostra a distribuição de 
probabilidade para essa variável. 
Tabela 8 – Distribuição de probabilidades.
X Frequência P(X = x)
1 15 0,08
2 20 0,11
3 45 0,24
53Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade
......................................................................................................................................................................................................................
4 50 0,26
5 60 0,32
Total 190 1,00
Nessa tabela, a terceira coluna é o resultado da divisão 
da frequência de cada valor pelo total de casos contados 
(190). Sendo assim, representa a probabilidade de que, 
sorteando-se um aluno qualquer que tenha respondido a 
essa pesquisa, sua resposta tenha sido cada um dos valo-
res da variável X.
Variáveis aleatórias contínuas
Uma variável aleatória contínua é aquela que possui um 
conjunto de valores possíveis infinito não numerável. Va-
mos supor uma pesquisa fictícia sobre o total de tempo 
que cada aluno passa estudando Estatística. Trata-se de 
um exemplo de uma v. a. contínua, pois não somos ca-
pazes de definir uma faixa precisa de todos os possíveis 
resultados para a variável X = “tempo gasto por um aluno 
estudando Estatística”. 
Função densidade de probabilidade
A distribuição de probabilidade de uma v.a. contínua é 
chamada de função densidade de probabilidade (f. d. p.). 
Nesse caso, só podemos especificar a probabilidade de a 
variável X estar entre os valores a e b, que representamos 
por P(a < X < b). Não há como calcular a probabilidade de 
ocorrer um resultado exato para a variável X.
......................................................................................................................................................................................................................
54
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
Figura 15 – Função densidade de probabilidade.
Como podemos verificar na figura 15, isso significa que, 
graficamente, estamos considerando a área abaixo da cur-
va determinada pelo intervalo de interesse. Ou seja:
P(a < X < b) = ∫a f(x)dx = F(b) – F(a)
Com f(x)≥0 e ∫– ∞ f(x)dx = 1, e onde F(a) e F(b) são distribui-
ções acumuladas, como explicado a seguir.
Função de distribuição acumulada
A função de distribuição acumulada (f. d. a.) calcula a pro-
babilidade de a v. a. X ser menor ou igual a um determina-
do valor x. Para uma v. a. discreta, temos F(x) = P(X ≤ x) e, 
para uma v. a. contínua, temos F(x)= ∫– ∞ fx(x)dx.
Sendo assim, conseguimos calcular a probabilidade de 
uma variável X estar dentro de um intervalo. 
P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)
b
+ ∞
x
55
......................................................................................................................................................................................................................
Valor esperado e variância
......................................................................................................................................................................................................................
VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA
Com a distribuição de probabilidade definida, podemos 
calcular algumas estatísticas de resumo, tais como a mé-
dia e a variância, assim como fizemos no Capítulo 1 com 
os dados observacionais. 
Valor esperado
O valor esperado (ou esperança matemática ou média) de 
uma variável aleatória X, denotado por E(X), é uma medida 
que dá mais (menos) ênfase aos valores mais (menos) pro-
váveis da variável aleatória, ou seja, valores elevados de X 
ocasionam E(X) grande, assim como valores pequenos de 
X ocasionam E(X) baixo. 
A média μ
X
 de uma distribuição de probabilidade corres-
ponde ao valor esperado da variável aleatória X, ou seja, 
μ
X 
= E(X). 
Então, o que significa dizer que o número esperado de 
pessoas em uma fila é três? Significa que, observando o 
número de pessoas na fila durante vários dias, teremos, 
em média, três pessoas. 
Para uma v. a. discreta X, o valor esperado E(X) é uma mé-
dia ponderada de todos os possíveis valores de X com pe-
sos iguais às respectivas probabilidadesdesses valores. 
56
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
E(X) = ∑ x ⋅ P(X = x)
Por exemplo, para os dados da tabela 8, temos que:
E(X) = (1 × 0,08) + (2 × 0,11) + (3 × 0,24) 
+ (4 × 0,26) + (5 × 0,32) ≈ 3,63
Note que esse valor de 3,63 nunca irá ocorrer!
Para uma v. a. contínua X, o raciocínio é o mesmo. No en-
tanto, substituímos o símbolo do somatório pela integral 
e modificamos a função de probabilidade. 
E(X) = ∫-∞ x ⋅ fX (x)dx
Propriedades do valor esperado
Ao calcular o valor esperado de uma variável aleatória, é 
pertinente ter o conhecimento de algumas propriedades 
associadas a essa medida. 
1. E(aX + b) = E(aX) + E(b) = aE(X) + b, em que a e b 
são constantes.
2. E(X + Y) = E(X) + E(Y), em que X e Y são variáveis 
aleatórias. 
3. E(XY) = E(X)E(Y), se e somente se X e Y forem in-
dependentes. 
Variância 
A variância corresponde ao valor esperado do quadrado 
de quanto uma variável aleatória X se afasta de seu valor 
esperado e é calculada pelas seguintes fórmulas:
x∈S
∞
57
......................................................................................................................................................................................................................
Valor esperado e variância
Var(X) = E[(X – E(X))2] = E(X2 ) – [E(X)]2
Quando X é uma v. a. contínua, Var(X) = ∫-∞ (x – E(X))2 f(x)dx. 
 
O valor dado por X – E(X) corresponde ao desvio de X em 
relação à sua média. 
Se uma variável aleatória Y é uma combinação linear da 
variável X, de tal forma que Y = aX + b (com a e b constan-
tes), temos a seguinte propriedade:
Var(Y) = Var(aX + b) = a2 Var(X) + Var(b) 
= a2 Var(X) + 0 = a2 Var(X)
Ou seja, a soma de um valor constante a uma variável ale-
atória não altera a sua variância, mas a multiplicação dela 
por um valor constante faz com que a variância fique mul-
tiplicada pelo quadrado desse valor.
Além disso, se X e Y são independentes, temos que:
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
∞
58
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Distribuição de Bernoulli
Exemplo 3: experimentos indicam que os alunos de Ad-
ministração que cursam Estatística têm 75% de chance de 
passar na matéria. Qual a probabilidade de um aluno des-
ta turma ser aprovado em Estatística? 
Vamos considerar uma variável aleatória X que possui 
apenas dois resultados possíveis, mutuamente excluden-
tes: fracasso e sucesso, representados por 0 e 1, respec-
tivamente. Com probabilidade p, ocorre sucesso, e, com 
probabilidade q = (1 – p), ocorre fracasso. 
Quando uma v. a. X tem essas características, dizemos que 
ela tem distribuição de Bernoulli com probabilidade p, e a 
representamos da seguinte forma:
X ~ Be(p)
A função de probabilidade de Bernoulli é dada por:
P(X = x) =
p, se x = 1
q, se x = 0
0, c.c.
Portanto: 
E(X) = 0 × q + 1 × p = p
Var(X) = [(02 × q) + (12 × p)] – p2 = p (1 – p) = pq
{
59Principais distribuições discretas
......................................................................................................................................................................................................................
Para o exemplo 3, X = “ser aprovado ou não em Estatís-
tica” tem distribuição de Bernoulli, representada por X ~ 
Be(0,75). Ou seja, há uma probabilidade de 0,75 de suces-
so (ser aprovado).
Distribuição binomial
Exemplo 4: experimentos indicam que os alunos de Ad-
ministração que cursam Estatística têm 75% de chance de 
passar na matéria. Se sortearmos três alunos dessa turma, 
qual a probabilidade de que nenhum deles seja aprovado 
em Estatística? E de que pelo menos dois sejam aprovados? 
Muitas vezes não estamos interessados em saber se um 
sucesso ocorre ou não, mas na quantidade de vezes em 
que ele ocorre. Nesse tipo de distribuição, o número de 
experimentos a serem realizados é conhecido (serão fei-
tos n ensaios, cada qual com distribuição de Bernoulli), e 
a v. a. X corresponde ao número de sucessos observados 
nas n tentativas do processo de Bernoulli realizadas. Cada 
experimento tem a mesma probabilidade p de sucesso e é 
independente de todos os outros. Trata-se da distribuição 
binomial, representada por:
X ~ Bin(n; p)
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada 
por:
 
P(X = x) = ( n ) px qn – x = n! px qn – xx x! (n – x)!
 
60
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
O termo px qn – x indica a probabilidade de exatamente x su-
cessos ocorrerem nas n observações em uma determinada 
sequência de resultados. E o termo indica a quanti-
dade de combinações existentes de x sucessos ocorrerem 
em sequências de n observações. Por isso, a probabilidade 
de x sucessos é dada pelo produto do número de todas 
as sequências possíveis pela probabilidade de sucesso de 
uma determinada sequência. 
Para a distribuição binomial, temos
E(X) = E(X
1
) + E(X
2
) + ... + E(X
n
) = np
Var(X) = Var(X
1
) + Var(X
2
) + ... + Var(X
n
) = npq
Isso ocorre porque as variáveis X
1
, X
2
, ..., X
n
 ~ Be(p) e todas 
elas são independentes entre si.
Para o exemplo 4, X = “número de alunos aprovados em 
Estatística” tem distribuição binomial, representada por X 
~ Bin(3; 0,75). Sendo assim,
P(X = 0) = 0,750 × 0,253 ≈ 0,016
Isso corresponde à probabilidade de que nenhum aluno 
seja aprovado em Estatística. Além disso:
P (X ≥ 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) = 1 – 
0,016 – 0,751 × 0,252 ≈ 0,844
( n )x
( 3 )0
( 3 )1
61Principais distribuições discretas
......................................................................................................................................................................................................................
E isso corresponde à probabilidade de que dois ou mais 
alunos sejam aprovados em Estatística2.
Distribuição de Poisson 
Exemplo 5: a fila da secretaria de uma faculdade tem, em 
média, quatro alunos de administração por hora. Qual a 
probabilidade de, em uma hora, não ter nenhum aluno de 
Administração na fila? E de ter pelo menos dois alunos?
A princípio, podemos pensar em utilizar a distribuição bi-
nomial para resolver o exemplo 5. Contudo, não sabemos 
o número (n) de testes e, consequentemente, desconhece-
mos também o número de fracassos ocorridos. Acontece 
que não estamos interessados no número de sucessos ob-
tidos em n tentativas, mas no número de sucessos ocorri-
dos dentro de um espaço contínuo de tempo, representa-
do pela variável X. Dizemos que X segue uma distribuição 
de Poisson, em que o parâmetro corresponde à frequência 
média de sucesso, denotada por λ, e não à probabilidade p 
de ocorrência de um sucesso. Representamos essa distri-
buição da seguinte forma:
X ~ Poi(λ)
A função de probabilidade da distribuição de Poisson é 
dada por:
P(X = x) = e-λ
2 Como os eventos (X ≥ 2) = “número de alunos aprovados em Estatística é 
maior ou igual a 2” e (X < 2) = “número de alunos aprovados em Estatística 
é menor que 2” são mutuamente excludentes, P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2). Além 
disso, P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1). Logo, P(X ≥ 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1).
λx
x!
......................................................................................................................................................................................................................62
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
Há uma relação interessante entre a distribuição binomial 
e a distribuição de Poisson. Quando X ~ Bin(n; ), se fi-
zermos n → ∞, de modo a ter um número de tentativas 
suficientemente grande (espaço de tempo contínuo), a dis-
tribuição binomial se aproxima da distribuição de Poisson.
lim Bin(n; ) ≈ Poi(λ)
Portanto, 
E(X) = Var(X) = λ
Para o exemplo 5, X = “número de alunos de Administra-
ção na fila da secretaria no horário de pico” tem distribui-
ção de Poisson, representada por X ~ Poi(4). Sendo assim:
P(X = 0) = e-4 ≈ 0,0183
Isso corresponde à probabilidade de não haver alunos na 
fila da secretaria no horário de pico. Além disso: 
P(X ≥ 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1–
[0,0183 + e-4 ] = 0,9084
E isso corresponde à probabilidade de haver dois ou mais 
alunos.
λ
n
n → ∞
λ
n
40
0!
41
1!
63Principais distribuições contínuas
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS
Distribuição uniforme
Exemplo 6: as aulas de Estatística começam às 7h30 toda 
segunda-feira. O tempo de chegada de um determinado 
aluno é uniformemente distribuído, de modo que ele che-
ga entre 7h15 e 7h45. Qual a probabilidade de esse aluno 
chegar cinco minutos depois de a aula ter começado?
 
Seja X uma v. a. contínua que assume todos os possíveis 
valores do intervalo [a,b], se a probabilidade de se obter 
qualquer resultado é proporcional ao tamanho do inter-
valo, e a probabilidade de ocorrência de resultados com 
intervalos de tamanhos iguais é a mesma, dizemos que X 
possui distribuição uniforme sobre o intervalo [a,b] e o 
representamos da seguinte forma:
X ~ U(a,b)
Figura 16 – Distribuição uniforme.
64
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
Como apresentado na figura 16, a f. d. p. da distribuição 
uniforme é constante sobre o intervalo em que a variável 
X está definida. Como ∫-∞ f(x)dx = 1, a probabilidade de 
ocorrência de cada resultado corresponde ao inverso do 
tamanho do intervalo do espaço amostral.
f(x) =
 , se a ≤ x ≤ b
 0, c.c.
Sendo assim, a f. d. a. de X é:
F(x) = P(X ≤ x) =
 0, se x < a
 , se a ≤ x ≤ b
 1, se x > b
Portanto,
E(X) =
a + b
2
Var(X) =
(b – a)2
12
Para o exemplo 6, X ~ U(–15,15), e a probabilidade de o 
aluno chegar no máximo cinco minutos depois da aula ter 
começado é calculada da seguinte forma:
P(X ≤ 5) = F(10) =
5 – (–15)
=
2
15 – (–15) 3
∞
{ 1b – a
{x – ab – a
65Principais distribuições contínuas
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuição exponencial 
Exemplo 7: na fila da secretaria de uma faculdade, che-
gam, em média, quatro alunos de Administração por 
hora. Qual a probabilidade de passar mais de 30 minutos 
(0,5 hora) até chegar um aluno de Administração na fila 
da secretaria?
A distribuição exponencial é geralmente associada ao 
tempo de espera e modela tempos entre dois eventos 
consecutivos que seguem uma distribuição de Poisson. 
Vamos supor que os eventos corram segundo uma distri-
buição de Poisson, com uma taxa média de λ eventos por 
unidade de tempo. Seja X o número de eventos ocorridos 
no intervalo [0,t], então X ~ Poi(λt). Se T é uma v. a. contí-
nua que corresponde ao tempo de ocorrência do primeiro 
evento, dizemos que T tem distribuição exponencial e o 
representamos da seguinte forma:
T ~ Exp(λ)
Existe, portanto, uma relação entre a distribuição de Pois-
son e a distribuição exponencial. A distribuição de Pois-
son analisa a quantidade de observações por intervalo 
(evento discreto), e a distribuição exponencial analisa o 
intervalo por observação. As distribuições exponencial e 
de Poisson correspondentes possuem o mesmo parâme-
tro λ.
 
A f. d. p. da distribuição exponencial é dada por:
f(t) =
λe-λt, se t≥0
 0, c.c.{ 
66
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
Sendo assim, a f. d. a. de T é:
F(t) = P(T ≤ t) =
 0, se t < 0
1 – e-λt, se t ≥ 0
Portanto,
E(T) =
1
λ
Var(T) =
1
λ2
O gráfico da distribuição está ilustrado na figura 17.
Figura 17 – Distribuição exponencial.
Uma propriedade muito importante da distribuição expo-
nencial é o que chamamos de falta de memória, ou seja, a 
ocorrência ou não de um evento não afeta a probabilidade 
de eventos futuros. 
{ 
67Principais distribuições contínuas
......................................................................................................................................................................................................................
P(T ≥ s + t | T ≥ s) =
P(T ≥ s + t)
=
e-λ(s + t)
 = e-λt = P(T ≥ t)
P(T ≥ s) e-λs
Para o exemplo 7, X ~ Poi(4) e T ~ Exp(4). Então:
P(T ≥ 0,5) = 1 – P(T ≤ 0,5) = e-4 × 0,5 = 0,135
Distribuição normal 
A distribuição normal, também chamada de distribuição 
Gaussiana, é a distribuição mais utilizada na estatística. 
Além do fato de muitas variáveis aleatórias possuírem 
essa distribuição, quando há um número suficientemen-
te grande de possíveis resultados, outras distribuições se 
aproximam dela. Veremos isso mais à frente, quando tra-
tarmos do teorema central do limite.
Como mostra a figura 18, a distribuição normal apresenta 
simetria ao redor da média μ, e sua curva possui o forma-
to de sino, cuja largura depende do desvio-padrão σ. 
Figura 18 – Distribuição normal.
Quando aumentamos (diminuímos) o valor de μ, desloca-
mos o gráfico para a direita (esquerda); quando aumenta-
68
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
mos (diminuímos) o valor de σ, a curva torna-se mais (me-
nos) larga (espalhada) e, consequentemente, mais (menos) 
achatada. Esses dois parâmetros caracterizam a distribui-
ção normal por completo. Se a variável X segue uma dis-
tribuição normal, representamos da seguinte forma:
X ~ N(μ, σ2)
A f. d. p. da distribuição normal é dada por:
f(x) =
1
exp {– 1 ( x – μ )
2
}σ√2π 2 σ
Os possíveis valores que X pode assumir se estendem pelo 
intervalo (-∞, +∞). No entanto, o formato da distribuição 
torna bastante improvável que ocorram os valores pró-
ximos aos extremos. Para valores muito grandes, tanto 
negativos quanto positivos, a densidade de probabilidade 
se aproxima de zero, mas nunca será zero de fato (a curva 
nunca toca o eixo x). 
Para essa distribuição, temos:
E(X) = μ
Var(X) = σ2
Distribuição normal padrão
Sabemos que, para variáveis aleatórias contínuas, a pro-
babilidade exata de um valor específico é zero. O que po-
demos calcular é a probabilidade de um valor estar den-
69Principais distribuições contínuas
......................................................................................................................................................................................................................tro de uma faixa de intervalo e, para isso, precisamos da 
f. d. a. da normal, o que envolve cálculos de integrais bem 
complicados. Com o auxílio de ferramentas computacio-
nais, esse cálculo é trivial; caso contrário, a solução en-
contrada é tabelar todos os valores de probabilidades que 
podem ser obtidos calculando a f. d. a. da distribuição 
normal para um determinado intervalo. Mas não pode-
mos fazer uma tabela para cada combinação possível dos 
parâmetros μ e σ. Então, padronizamos a distribuição por 
meio do uso de uma nova variável, chamada de z-score.
z =
(x – μ)
σ
Com isso, passamos a ter uma distribuição normal com 
média μ = 0 e variância σ2 = 1, ou seja, Z ~ N(0,1). 
Vamos considerar o seguinte exemplo para ilustrarmos o 
uso da distribuição normal.
Exemplo 8: o tempo necessário para entregar um traba-
lho de Estatística é de X semanas. Estudos mostram que 
o tempo médio de entrega é de 1,7 semanas e que o des-
vio-padrão é de 0,1. Sabe-se que X é uma variável normal-
mente distribuída, ou seja, X ~ (1,7; 0,12). 
Encontrando probabilidades
Para o contexto descrito no exemplo 8, se escolhermos um 
aluno ao acaso, qual a probabilidade de o tempo de entrega 
do seu trabalho ser maior do que 1,8 semanas? 
70
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
Nesse caso, temos um valor e queremos descobrir a pro-
babilidade associada a ele. O primeiro passo é transfor-
mar o valor de x = 1,8 em um z-score. Em seguida, consul-
tando uma tabela, determinarmos a probabilidade.
P(X > 1,8) = P ( Z > 1,8 – 1,7 ) = P(Z > 1) ≈ 0,1590,1
Encontrando valores
Considerando o exemplo 8, qual o intervalo de tempo no 
qual o professor de Estatística espera receber 90% dos 
trabalhos? 
Figura 19 – Distribuição normal inversa.
Agora, sabemos a probabilidade e queremos descobrir o 
valor associado a ela. Trata-se da distribuição normal in-
versa. Como mostra a figura 19, a distribuição é bicaudal, 
e, com isso, os 10% restantes (correspondentes aos traba-
lhos que não se espera receber no intervalo a ser encon-
trado) são divididos igualmente entre as caudas, já que 
alguns podem chegar antes, e outros, depois. 
71Principais distribuições contínuas
......................................................................................................................................................................................................................
P(Z < z
a
) = P(X < x
a
) = 0,05 → z
a
 = –1,645
P(Z < z
b
) = P(X < x
b
) = 0,95 → z
b
 = 1,645
Portanto,
x
a 
= μ + z
a
σ = 1,7 – 1,645 × 0,1 = 1,54
x
b 
= μ + z
b
σ = 1,7 + 1,645 × 0,1 = 1,86
Sendo assim, no intervalo entre 1,54 e 1,86 semanas, o 
professor de Estatística espera que 90% dos alunos entre-
guem o trabalho.
......................................................................................................................................................................................................................
72
......................................................................................................................................................................................................................
Distribuições de probabilidade
REFERÊNCIAS
ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Esta-
tística aplicada à administração e economia. 3. ed. São 
Paulo: Cengage Learning, 2014. 
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 8. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2013. 
LEVINE, D. M. et al. Estatística: teoria e aplicações: usando 
o Microsoft Excel em português. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2013. 
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; TERRY, S. Estatística para 
administração e economia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2009. 
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. 
São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981. 
Links interessantes
Portal Action – Distribuições discretas de probabilidade: 
<http://www.portalaction.com.br/probabilidades/mode-
los-probabilisticos-discretos>.
Portal Action – Distribuições contínuas de probabilidade: 
<http://www. portalaction.com.br/probabilidades/mode-
los-probabilisticos-continuos>.
73Noções de inferência estatística e amostragem
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
CAPÍTULO 3 
AMOSTRAGEM
Até agora, vimos diversas análises envolvendo os dados 
amostrais (estatística descritiva). No entanto, o nosso maior 
interesse está em obtermos características da população. O 
objetivo da inferência estatística consiste em estimar os pa-
râmetros populacionais desconhecidos com base em dados 
provenientes de uma amostra. Portanto, é de fundamen-
tal importância que a escolha do processo de amostragem, 
isto é, o processo de obtenção de amostras da população 
estudada, reflita a representatividade da população, não 
enviesando os resultados das inferências.
74
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
NOÇÕES DE INFERÊNCIA ESTATÍSTICA E 
AMOSTRAGEM
Uma boa forma para garantirmos que toda a variabilidade 
presente na população esteja refletida na amostra con-
siste na obtenção desta de modo aleatório, de forma que 
todos os elementos da população tenham a mesma pro-
babilidade de serem escolhidos. A figura 20 apresenta a 
dinâmica do processo da inferência estatística aplicado a 
uma determinada população. Existem parâmetros popula-
cionais desconhecidos que desejamos estudar e, para isso, 
por meio de um processo de amostragem, extraímos uma 
amostra desse conjunto para o qual calcularemos esta-
tísticas, que funcionarão como base da estimação desses 
parâmetros, sendo média, variância e proporções os que 
mais frequentemente desejamos estimar.
Figura 20 – Esquema da inferência estatística.
Normalmente, representamos as estatísticas por letras ro-
manas (x̅, s2), e os parâmetros, por letras gregas (μ, σ2).
75Noções de inferência estatística e amostragem
......................................................................................................................................................................................................................
Vamos estudar, neste capítulo, os dois métodos de infe-
rência estatística: 
• Intervalo de confiança: podemos estimar os pa-
râmetros populacionais por meio de uma estimativa 
intervalar.
• Teste de hipótese: podemos testar hipóteses so-
bre os parâmetros populacionais. 
Distribuições amostrais
Qual a relação entre a estatística x̅ e o parâmetro μ a ser 
estimado? Se desejamos estimar um parâmetro θ da po-
pulação estudada, extraímos uma amostra de tamanho 
n da população, para a qual calculamos uma estatística 
que funcionará como um estimador θ̂ para o parâmetro 
θ. Como vimos, uma estatística consiste em uma função 
qualquer da amostra. Se extrairmos várias amostras di-
ferentes de uma mesma população, para cada amostra, 
teremos estatísticas diferentes. Por causa da variabilida-
de dos valores que uma estatística pode assumir, dize-
mos que elas são variáveis aleatórias e, por isso, possuem 
distribuições de probabilidades associadas a elas. Sendo 
assim, o estimador θ̂ para o parâmetro θ é uma variável 
aleatória e possui uma distribuição de probabilidade 
amostral. Podemos falar, por exemplo, em distribuiçãoamostral da média da amostra.
76
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
Figura 21 – Distribuição amostral.
Como encontrar a distribuição amostral de um estimador 
θ̂? Como mostra a figura 21, extraímos várias amostras de 
tamanho n e, para cada uma delas, calculamos o valor θ̂
i
 
da estatística θ̂ de interesse. Os valores θ̂
i
 formam a dis-
tribuição amostral do estimador θ̂, que possui uma média 
μx̅ e desvio-padrão σx̅. Qual é a distribuição amostral desse 
estimador θ̂? 
O teorema do limite central 
Quando estudamos os tipos de distribuição, argumenta-
mos sobre o porquê de a distribuição normal ser tão im-
portante no mundo da estatística. O teorema do limite 
central diz que, independentemente da distribuição po-
pulacional, desde que o tamanho da amostra seja suficien-
temente grande (n > 30), a distribuição amostral tem uma 
distribuição aproximadamente normal. Quanto maior o 
tamanho da amostra, melhor é essa aproximação. Caso a 
distribuição original já seja uma distribuição normal, in-
dependentemente do tamanho n da amostra, a distribui-
ção amostral também se aproxima da distribuição normal.
77Noções de inferência estatística e amostragem
......................................................................................................................................................................................................................
Portanto, não precisamos conhecer todas as amostras 
possíveis da população de interesse para determinar a 
forma da distribuição amostral. O teorema nos diz que, 
para encontrarmos a forma da distribuição de média, é 
suficiente conhecermos apenas dois parâmetros popula-
cionais: média μ e desvio-padrão σ.
Para a distribuição amostral da média, temos uma distri-
buição normal com média μx̅ = μ (ou seja, a média das mé-
dias amostrais é igual à média populacional) e desvio- pa-
drão σx̅ = , em que n é o total de indivíduos da amostra, 
e σ é o desvio-padrão da população. Ou seja:
μx̅ = μ é a média amostral.
σx̅ = é o desvio-padrão amostral.
x̅ ~ N(μ; )
A partir de distribuições amostrais, podemos fazer infe-
rências sobre os parâmetros populacionais. Por exemplo, 
se desejamos saber a média populacional μ, um bom esti-
mador é a média amostral. As distribuições amostrais são 
a base para intervalos de confiança e testes de hipóteses. 
É de extrema importância estarmos atentos à distinção entre 
distribuição dos dados (uma amostra), distribuição amos-
tral (um grupo de amostras) e distribuição da população. 
σ
√n
σ
√n
σ2
√n
78
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
INTERVALO DE CONFIANÇA 
Qual o valor da média populacional? Um dos principais 
objetivos da inferência estatística consiste na estimação 
de alguma característica populacional (parâmetro) des-
conhecida por meio de dados amostrais. Existem dois ti-
pos de estimação dos parâmetros. A primeira é chamada 
de estimativa pontual, que é quando temos uma única e 
melhor estimativa para o parâmetro populacional; e a se-
gunda é a estimativa intervalar, que é quando temos um 
intervalo composto por vários números, dentre os quais 
acredita-se que esteja o valor do parâmetro populacional. 
Para qualquer parâmetro, existem várias estimativas pon-
tuais possíveis. Então, o que faz com que uma determi-
nada estimativa seja considerada melhor do que a outra? 
Para um estimador ser considerado “bom”, ele deve apre-
sentar as seguintes propriedades:
• Não enviesado: deseja-se que o estimador não 
seja tendencioso, ou seja, que, em média, não erre 
para mais ou para menos. Portanto, o estimador 
deve possuir uma distribuição centrada no parâme-
tro, ou seja, o valor esperado do estimador deve ser 
o próprio parâmetro.
• Consistente: o estimador torna-se mais preciso à 
medida que o tamanho da amostra aumenta.
• Eficiente: desde que as propriedades anteriores 
sejam satisfeitas, o melhor estimador é aquele que 
possui a menor variância.
79Intervalo de con!ança
......................................................................................................................................................................................................................
Uma estimativa pontual dificilmente acerta o valor exato 
do parâmetro em que estamos interessados. Além disso, 
não é capaz de nos dizer se a estimativa encontrada se 
aproxima do valor do parâmetro. A estimativa intervalar é 
bem mais útil, pois incorpora uma margem de erro, o que 
nos ajuda a medir a precisão da estimativa pontual.
A estimação intervalar estabelece os limites inferior e su-
perior, pontos críticos que constituem o que chamamos 
de intervalo de confiança – IC [c
1
, c
2
]. O IC é uma forma 
de mensurar a precisão da estimativa. Chamamos de ní-
vel de significância uma probabilidade α, e de nível de 
confiança a probabilidade (1 – α). O nível de confiança cor-
responde à probabilidade de que o intervalo de confiança 
contenha o valor do parâmetro de interesse. Em geral, o 
nível de confiança assume os valores de 0,90, 0,95 e 0,99 
(ou seja, usamos os valores de 0,10, 0,05 e 0,01 para o ní-
vel de significância α). A figura 22 ilustra um intervalo de 
confiança genérico para um parâmetro θ. 
P(c1 < θ < c2) = 1 – α
Os valores críticos c
1
 e c
2
, que constituem os limites do IC, 
são obtidos por meio da distribuição amostral do estima-
dor θ̂. 
80
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
Figura 22 – Intervalo de con!ança genérico.
A seguir, vamos ver como calcular intervalos de confiança 
para a média populacional considerando dois casos: o pri-
meiro é quando conhecemos, e o segundo é quando não 
conhecemos o desvio-padrão populacional.
Estimativa intervalar da média populacional 
com σ conhecido e amostras grandes 
Exemplo 9: deseja-se estimar o CR médio dos alunos de 
Administração de uma determinada faculdade. Para isso, 
recolheu-se uma amostra de 50 alunos de Administração, 
e verificou-se que o CR médio nessa amostra foi de 7 — ou 
seja, a média amostral encontrada foi x̅ = 7. Dados antigos 
indicam que o desvio-padrão é σ = 1,5, e acredita-se que 
esse valor não tenha sido alterado. Qual o intervalo de 
confiança para o CR médio populacional, com 95% de con-
fiança (ou seja, com α = 0,05)?
 
Para construir esse IC, devemos utilizar a distribuição 
amostral da média. Pelo teorema do limite central, sabe-
81Intervalo de con!ança
......................................................................................................................................................................................................................
mos que, pelo fato de a amostra ser suficientemente gran-
de (n = 50), a distribuição amostral da média é normal-
mente distribuída. Vamos utilizar a distribuição normal 
padrão para os próximos cálculos. 
O primeiro passo é determinar os pontos críticos c
1
 e c
2
 
utilizando o z-score. Como queremos que a probabilidade 
de o valor da média estar compreendido dentro do inter-
valo de confiança calculado seja de 0,95 (1 – α), restam 
0,025 (α/2) de cada um dos lados de fora do intervalo, 
correspondente à probabilidade de que o valor da média 
não esteja dentro do intervalo (lembrando que, pelo o fato 
da distribuição ser bicaudal, dividimos os 0,05 restantes 
para as duas caudas). A figura 23 ilustra esse raciocínio.
Usando a tabela da distribuiçãonormal padrão, consegui-
mos identificar que o z-score correspondente à área de 
0,025 é de 1,96. 
Figura 23 – Construção do intervalo de con!ança para a média.
82
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
Então, temos 95% de chance de a média amostral x̅ assu-
mir um valor a uma distância de 1,96 desvios-padrão da 
média populacional μ, e essa distância é o que chamamos 
de margem de erro (E). 
z = x̅ ± μ/σx̅ → μ = x̅ ± zσx̅ 
E = zα/2 σx̅ = zα/2 
A margem de erro nos diz com que precisão conseguimos 
estimar a média populacional utilizando a média amos-
tral. Então, temos que:
P x̅ – zα/2 < μ < x̅ + zα/2 = 1 – α
Ou seja, o intervalo de confiança encontrado para a média 
populacional μ com nível de confiança igual a (1 – α) é re-
presentado por:
IC(μ;1 – α) = (x̅ – zα/2 σx̅ ; x ̅+ zα/2 σx̅)
Vale ressaltar que, quanto maior o tamanho n da amostra, 
menor é a margem de erro e, portanto, maior a precisão.
Voltando ao nosso exemplo, sabemos que x̅ = 7, σ = 1,5 e 
n = 50. Portanto,
σx̅ = = ≈ 0,212
E = 1,96 × σx̅ = 0,416
IC(μ;0,95) = (7 – 0,416;7 + 0,416) = (6,584;7,416)
σ
√n
( σ√n σ√n)
σ
√n
1,5
√50
83Intervalo de con!ança
......................................................................................................................................................................................................................
Então, podemos dizer que, com 95% de confiança, a média 
populacional μ está entre 6,584 e 7,416. Isso não significa 
que a probabilidade de o parâmetro μ cair nesse intervalo 
seja de 95%, mas que, se extrairmos diversas amostras in-
dependentes de mesmo tamanho dessa população, espe-
ra-se que, em 95% delas, o verdadeiro valor do parâmetro 
estimado (nesse caso, a média populacional) esteja dentro 
desse intervalo.
Estimativa intervalar da média populacional 
com σ desconhecido e amostras pequenas 
O caso retratado no exemplo 9, em que temos uma amos-
tra suficientemente grande e conhecemos a variância po-
pulacional, é bem distante da realidade. Vamos retornar 
ao exemplo anterior e considerar algumas mudanças. 
Exemplo 10: deseja-se estimar o CR médio dos alunos de 
Administração de uma determinada faculdade. Para isso, 
recolheu-se uma amostra de 50 alunos de Administração, 
e verificou-se que o CR médio nessa amostra foi de 7, com 
desvio-padrão de 1,8 — ou seja, a média amostral encon-
trada foi x̅ = 7, e o desvio-padrão amostral foi s = 1,8. Qual 
o intervalo de confiança para o CR médio populacional 
com 95% de confiança? 
O que aconteceria se a amostra fosse pequena? Pelo teore-
ma do limite central, só podemos assumir que a distribui-
ção amostral é aproximadamente normal se a amostra for 
suficientemente grande (ou seja, n > 30) ou se a população 
tiver distribuição aproximadamente normal. Se esse fosse o 
caso agora, poderíamos proceder da mesma maneira como 
no caso anterior, ou seja, calculando o IC a partir do z-score.
84
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
Mas e se, no caso de uma amostra pequena (n > 30), a 
população não for normal? E se não conhecermos o valor 
de σ? A solução é estimarmos esse parâmetro por meio 
do desvio-padrão da amostra. Como estamos adicionando 
uma nova fonte de incerteza, passamos a ter uma nova 
distribuição, a distribuição t de Student. 
A distribuição t de Student se assemelha bastante à distri-
buição normal padrão: possui forma de sino e é simétrica 
em torno da média zero. Além disso, assim como existem 
os z-scores para a distribuição normal, existem, de forma 
similar, os t-scores para a distribuição t. A forma que essa 
distribuição assume depende de um único parâmetro, que 
chamamos de graus de liberdade (gl) e é igual ao tamanho 
da amostra (n) menos um (gl = n – 1). Assim, de maneira 
semelhante ao caso anterior, quando não conhecemos o 
desvio-padrão populacional, calculamos o t-score com a 
fórmula:
t = x̅ ± μ → μ = x̅ ± t s√n
s
√n
E = t (n – 1);(1 – ) 
s
√n
A margem de erro nos diz com que precisão conseguimos 
estimar a média populacional utilizando a média amos-
tral. Então, temos que:
P ( x̅ – t (n – 1);(1 – ) s < μ < x̅ + t (n – 1);(1 – ) s )= 1 – α √n √n
α
2
α
2
α
2
85Intervalo de con!ança
......................................................................................................................................................................................................................
Ou seja, o intervalo de confiança encontrado para a média 
populacional μ com nível de confiança igual a (1 – α) é re-
presentado por:
IC (μ; 1 – α) = ( x̅ – t (n – 1);(1 – ) s ; x̅ + t (n – 1);(1 – ) s )√n √n
Voltando ao exemplo 10, sabemos que x̅ = 7, s = 1,8 e n = 50. 
Como o valor de σ é desconhecido, devemos usar a distribui-
ção t de Student. Consultando uma tabela da distribuição t 
de Student, teremos:
E = t49;0,975 
s
√n = 2,01
1,8
√50 = 0,512
IC (μ;0,95) = (7 – 0,512; 7 + 0,512) = (6,488;7,512)
Então, podemos dizer que, com 95% de confiança, a média 
populacional μ está entre 6,488 e 7,512. 
α
2
α
2
86
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
TESTE DE HIPÓTESES 
Na seção anterior, estávamos interessados em, a partir de 
dados obtidos de uma amostra, construir um intervalo de 
confiança, dentro do qual poderíamos, com um certo nível 
de confiança estabelecido, estimar o valor de um parâme-
tro populacional. Na prática, no entanto, existem diversos 
problemas nos quais precisamos decidir entre aceitar ou re-
jeitar uma afirmação a respeito de um parâmetro populacio-
nal. A afirmativa é chamada de hipótese, e o procedimento 
para analisar a probabilidade de que ela seja verdadeira ou 
falsa — e, assim, aceitá-la ou refutá-la — é chamado de teste 
de hipóteses. Há uma grande semelhança entre o teste de 
hipóteses e a construção de intervalos de confiança.
Chamamos de hipótese nula a afirmação que assumimos 
como verdadeira para a construção do teste. Ela vai ser 
testada frente a evidências, para decidirmos pela sua re-
jeição ou não. A hipótese alternativa é o que aceitaremos, 
caso a hipótese nula seja rejeitada a partir das evidências. 
Podemos traçar um paralelo com um julgamento, no qual 
um acusado (réu) é inocente (ou seja, a hipótese nula é que 
ele é inocente) até que se tenham provas suficientes que 
nos façam refutar essa inocência, rejeitando a hipótese 
nula (ou seja, a hipótese alternativa é que ele é culpado). 
Essa situação pode ser expressa na notação do teste de 
hipóteses da seguinte maneira:
H
0
: o réu é inocente.
H
a
: o réu é culpado.{
87Teste de hipóteses
......................................................................................................................................................................................................................
O que se espera, em um teste de hipóteses, é rejeitar H
0
 
quando ela é falsa, e não rejeitá-la quando for verdadeira.
Há chance de tomarmos uma decisão errada? Como deci-
dir se a hipótese nula deve ou não ser rejeitada?
São duas as possibilidades de erro em um teste de hipó-
teses. Primeiramente, podemos rejeitar H
0
 quando ela é 
verdadeira. Esse é chamado de erro tipo I. Outra possibili-
dade é não rejeitarmos H
0
 quando ela é falsa. Nesse caso, 
estaríamos diante de um erro tipo II.
A tabela 9 resume as possibilidades de decisões em um 
teste dehipóteses.
Tabela 9 – Decisões em um teste de hipóteses.
Decisão tomada
Não rejeitar H0 Rejeitar H0
Realidade
H0 é verdadeira Decisão correta Erro tipo I
H0 é falsa Erro tipo II Decisão correta
A fim de ilustrar o que se apresenta a seguir, considere-
mos o seguinte exemplo.
Exemplo 11: historicamente, o CR médio dos alunos de 
Administração de uma determinada faculdade tem sido 
considerado como sendo igual a 7. A coordenação imagina 
que está selecionando alunos cada vez melhores e imagina 
que o CR tenha aumentado. Então, recolheu-se uma amos-
tra de 50 alunos de Administração, e verificou-se que o CR 
88
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
médio nessa amostra foi de 7,5 (ou seja, a média amostral 
encontrada foi x̅ = 7,5), com desvio-padrão de 1,9 (ou seja, 
o desvio-padrão amostral encontrado foi s = 1,9). Dados 
antigos indicam que o desvio-padrão populacional é σ = 
1,5, e acredita-se que esse valor não tenha sido alterado. 
Há evidências estatísticas de que o CR médio aumentou?
Vamos, então, entender o procedimento para a realização 
de um teste de hipóteses para a média populacional.
Teste de hipóteses para a média populacional " 
Basicamente, o que devemos fazer é verificar se, dado que 
sabemos o valor da média populacional μ, a ocorrência 
de uma amostra que apresente uma média com o valor x̅ 
é um fato provável ou não. Portanto, devemos calcular a 
probabilidade de ocorrência de um valor igual a x̅ em uma 
distribuição amostral baseada em μ.
Devemos lembrar que, se a amostra é suficientemente 
grande e conhecemos o desvio-padrão populacional, o te-
orema do limite central nos garante que x̅ tem distribuição 
normal, com média μ e desvio-padrão σ x̅ = . Ou seja3:
x̅ ~ N ( μ; σ2n )
Porém, se a amostra é pequena ou não conhecemos o des-
vio-padrão populacional, usamos a distribuição t de Stu-
dent, com mesma média e mesmo número de graus de 
3 Existem testes de hipóteses para outros parâmetros, cujos estimadores 
apresentam distribuições de probabilidade diferentes da normal. Esses 
testes não são tratados neste livro.
σ
√n
89Teste de hipóteses
......................................................................................................................................................................................................................
liberdade igual à quantidade de observações menos 1 (gl 
= n – 1).
x ̅ ~ t(μ;n – 1)
Então, temos duas alternativas para avaliar a ocorrência 
de uma média amostral com valor x̅ dentro dessa distri-
buição. Em ambas, devemos definir, a priori, um valor 
aceitável para a probabilidade de ocorrência de erro do 
tipo I. Esse valor é denominado nível de significância do 
teste de hipóteses e, normalmente, é simbolizado por α. 
Quanto menor o nível de significância, mais significante é 
o resultado da amostra escolhida para a tomada de deci-
são de rejeitar H
0
. Em geral, fixamos o nível de significân-
cia α em 0,05, 0,01 ou 0,001.
A primeira opção é calcularmos, a partir de α, uma região 
crítica de valores e analisarmos onde o valor x̅ se encon-
tra. Se x̅ estiver dentro dessa região crítica, rejeitamos H
0
; 
caso contrário, não temos evidências para rejeitá-la. Al-
ternativamente, podemos calcular a probabilidade asso-
ciada ao valor x̅. Essa probabilidade, denominada p-valor, 
é comparada ao α previamente estabelecido. Se o p-valor 
for inferior a α, significa que o valor x̅ é menos provável de 
ocorrer do que o nível de significância definido para o tes-
te, o que permite rejeitar H
0
. Caso contrário, teremos que 
o valor x̅ é mais provável de ocorrer que o nível de signifi-
cância do teste, o que significa que não podemos rejeitar 
H
0
, ou, em outras palavras, não existe evidência estatística 
de que, com a média populacional reportada, seja muito 
improvável a ocorrência de uma média amostral no valor 
encontrado.
90
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
Vamos ilustrar as etapas desses dois procedimentos ana-
lisando o exemplo 11.
Etapa 1: formulação das hipóteses
Primeiramente, vamos traduzir o enunciado para a for-
mulação de teste de hipóteses. Iniciamos identificando 
as hipóteses a serem formuladas. O dado correspondente 
ao parâmetro populacional é de que μ = 7. Os dados da 
amostra nos trouxeram uma evidência de que x̅ = 7,5. Que-
remos, a partir dessa evidência, verificar se μ > 7. Então, 
podemos formular as seguintes hipóteses:
H0: μ = 7
Ha: μ > 7
A afirmação H
0
: μ = 7 é a hipótese nula, porque é o dado 
que temos e que queremos confrontar com uma evidên-
cia. A afirmação H
a
: μ > 7 é a hipótese alternativa, pois as 
evidências obtidas nos farão assumir que essa é a média, 
caso a hipótese nula seja refutada. 
Pela maneira como o problema foi colocado, queremos ve-
rificar apenas se há evidências estatísticas de que a média 
populacional tenha aumentado e, nessa situação, dizemos 
que a hipótese alternativa é unilateral. Seria unilateral 
também caso estivéssemos interessados em verificar se 
a média diminuiu, e a hipótese alternativa seria escrita 
como H
a
: μ < 7. Porém, em algumas situações, testaremos 
se a média populacional é diferente da reportada. Se esse 
fosse o caso no exemplo em questão, a hipótese alternati-
va seria H
a
: μ ≠ 7, e diríamos que ela é bilateral.
{
91Teste de hipóteses
......................................................................................................................................................................................................................
Etapa 2: de!nir o estimador e a sua distribuição
Tendo definido as hipóteses do teste, passamos, então, à 
etapa seguinte, que é definir qual estatística será usada 
para testar a hipótese nula. Em outras palavras, devemos 
definir o estimador e a sua distribuição. Como estamos 
tratando de teste de hipóteses para a média populacional, 
o estimador utilizado será a média amostral, que, como 
explicado, tem distribuição normal. Os dados do exemplo 
nos dizem que:
μ = 7
σ = 1,5
n = 50
Logo, podemos calcular o desvio-padrão amostral e a dis-
tribuição de x̅:
σ x̅ =
σ
√n =
1,5
√50 = 0,2121
x̅ ~ N ( 7; 1,5250 ) ou x̅ ~ N (7;0,045)
Se o desvio-padrão não fosse conhecido, usaríamos a dis-
tribuição t de Student:
x̅ ~ t(7;49)
Etapa 3: de!nir o nível de signi!cância
O nível de significância é a probabilidade aceitável de 
ocorrência de erro tipo I que queremos assumir no teste. 
Vamos, nesse caso, fixar α = 0,05.
92
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
Etapa 4: calcular a estatística de teste
A estatística de teste é o z-score que mede a distância en-
tre x̅ e μ especificados na hipótese nula:
z0 =
x̅ – μ
=
x̅ – μ
σ x̅
σ
√n
Se não soubéssemos o desvio-padrão populacional, con-
sideraríamos o desvio-padrão amostral s como estimador 
para ele e usaríamos o t-score:
t0 =
x̅ – μ
=
x̅ – μ
σ x̅
s
√n
Substituindo os valores do exemplo 11, como conhecemos 
o desvio-padrão populacional, calculamos o z-score:
z0 = 
7,5 – 7
 = 2,35715
√50
Se não soubéssemos o valor do desvio-padrão populacio-
nal, usaríamos o desvio-padrão amostral como estimador 
para calcular o t-score:
t0 = 
7,5 – 7
 = 1,8611,9
√50
Etapa 5 (a): calcular a região de rejeição 
Tendo definido o nível de significância do teste de hipóte-
ses, devemos, agora, encontrar os valores críticos que defi-
nem os limites da região crítica. Tal comofizemos quando 
calculamos intervalos de confiança para a média popula-
93Teste de hipóteses
......................................................................................................................................................................................................................
cional, como o desvio-padrão populacional é conhecido, 
usaremos o z-score. Se não conhecêssemos o desvio-pa-
drão populacional, ou se a amostra fosse pequena (n < 30) 
e não tivéssemos certeza da distribuição da população, 
usaríamos a distribuição t de Student e o t-score.
Quando o teste de hipóteses é unilateral para aumento da 
média (vamos nos referenciar a esse tipo de teste como 
unilateral com H
a
: “>”), consideramos que a região de re-
jeição está toda na cauda direita da distribuição. Então, 
devemos encontrar o ponto z
crit
, que delimita uma área à 
sua direita igual a α, como mostrado na figura 24. Como 
vemos, a área da figura nos indica que P(z > z
crit
) = α.
Figura 24 – Região de rejeição para teste unilateral com Ha: “>”. 
Se o teste fosse unilateral, mas quiséssemos verificar a dimi-
nuição da média (vamos nos referenciar a esse tipo de teste 
como unilateral com H
a
: “<”), o z
crit
 seria o ponto que deli-
mita uma área à sua esquerda igual a α, como na figura 25. 
Como vemos, a área da figura nos indica que P(z < z
crit
) = α.
94
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
Figura 25 – Região de rejeição para teste unilateral com Ha: “<”.
No entanto, se o teste fosse bilateral, dividiríamos o α por 
dois e encontraríamos dois valores críticos. O primeiro 
+z
crit
, delimitando uma área de α/2 à sua direita, e o se-
gundo –z
crit
, simétrico ao primeiro, delimitado uma área de 
α/2 à sua esquerda, como mostrado na figura 26. Ou seja, 
P(z < –z
crit
 ou z > z
crit
 = α.
Figura 26 – Região de rejeição para teste bilateral.
95Teste de hipóteses
......................................................................................................................................................................................................................
Para o caso do exemplo 11, consultando uma tabela nor-
mal padrão, vemos que o z-score correspondente ao teste 
unilateral com H
a
: “>” e α = 0,05 é z
crit 
= 1,64.
Com isso, definimos a região de rejeição da seguinte for-
ma: valores z superiores a 1,64 são maiores que o z
crit
 cal-
culado para o nível de significância estabelecido e são, 
portanto, considerados improváveis. Por outro lado, va-
lores z inferiores a 1,64 são menores que o z
crit
 e são con-
siderados prováveis, frente ao nível de significância esta-
belecido. 
Vale notar que, se o teste fosse unilateral com H
a
: “<”, te-
ríamos z
crit 
= –1,64. E, se o teste fosse bilateral, teríamos 
z
crit
 = ± 1,96.
De forma semelhante, caso o desvio-padrão da popula-
ção não fosse conhecido, teríamos, respectivamente: t
crit 
= 
1,68, t
crit 
= –1,68, e t
crit 
= ±2,01 (considerando gl = 49 graus 
de liberdade).
Etapa 6 (a): concluir sobre a rejeição de H0 usando 
a região de rejeição
Uma vez definida a região de rejeição e calculada a estatís-
tica de teste, temos condições de decidir se podemos, ou 
não, rejeitar a hipótese nula. Para isso, devemos observar 
se a estatística de teste se encontra dentro da região de 
rejeição ou não. 
Em um teste unilateral com H
a
: “>”, teremos a seguinte 
regra de decisão:
96
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
z
0
 > z
crit
 ⇒ Rejeitamos H
o
z
0
 < z
crit
 ⇒ Não podemos rejeitar H
o
Ou:
t
0
 > t
crit
 ⇒ Rejeitamos H
o
t
0
 < t
crit
 ⇒ Não podemos rejeitar H
o
Em um teste unilateral com H
a
: “<”, teremos a seguinte 
regra de decisão:
z
0
 < z
crit 
⇒ Rejeitamos H
o
z
0
 > z
crit 
⇒ Não podemos rejeitar H
o
 
Ou:
t
0
 < t
crit 
⇒ Rejeitamos H
o
 
t
0
 > t
crit 
⇒ Não podemos rejeitar H
o
Em um teste bilateral, teremos a seguinte regra de decisão:
z
0
 < z
crit
 ou z
0
 > z
crit 
⇒ Rejeitamos H
o
–z
crit
< z
0
 < + z
crit
 ⇒ Não podemos rejeitar H
o
Ou:
t
0
 < t
crit
 ou t
0
 > t
crit 
 ⇒ Rejeitamos H
o
 
–t
crit 
< t0 < t
crit 
⇒ Não podemos rejeitar H
o
{
{
{
{
{
{
97Teste de hipóteses
......................................................................................................................................................................................................................
Podemos, portanto, aplicar a regra apropriada ao exemplo 
11. Lembrando que se trata de um teste unilateral com H
a
: 
“<”, e que z
crit
 = 1,64 e z
0
 = 2,357. Como z
0
 > z
crit
, rejeita-
mos H
0
. Ou seja, pelos dados da amostra, temos evidên-
cias estatísticas suficientes para acreditar que a média de 
CR realmente aumentou.
Se tivéssemos que fazer o teste com o t-score, teríamos t
crit
 
= 1,68 e t
0
 = 1,861; como t
0
 > t
crit
, também rejeitaríamos H
0
.
Alternativamente, as etapas 5 (a) e 6 (a) podem ser subs-
tituídas por etapas equivalentes, nas quais, no lugar de 
encontrarmos a região de rejeição e tomarmos uma de-
cisão com base na análise da posição da média amostral 
em relação a essa região, encontramos a probabilidade 
associada à ocorrência da média amostral observada e a 
comparamos com o nível de significância definido para o 
teste. Essas etapas são descritas a seguir.
Etapa 5 (b): calcular o p-valor da estatística de 
teste
Uma vez calculada a estatística de teste, que representa o 
z-score (ou t-score) correspondente à média amostral ob-
servada, devemos calcular qual a probabilidade a ela asso-
ciada, dada a distribuição da média populacional.
Para isso, devemos procurar na tabela da distribuição nor-
mal (ou da distribuição t de Student) qual o valor da pro-
babilidade correspondente ao valor da estatística de teste 
z
0
. Se o teste é unilateral com H
a
: “>”, o p-valor é a área 
abaixo da curva à direita de z
0
. Por outro lado, se o teste é 
unilateral com H
a
: “<”, o p-valor é a área abaixo da curva à 
98
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
esquerda de z
0
. A figura 27 nos mostra essas situações. Já 
se o teste é bilateral, o p-valor é o dobro da área abaixo da 
curva além de z
0
, como mostra a figura 28.
Figura 27 – p-valor para testes unilaterais com Ha: “>” e Ha: “<”.
 
Figura 28 – p-valor para teste bilateral.
Considerando os resultados obtidos no exemplo 11, para 
z
0 
= 2,357, consultando a tabela da distribuição normal pa-
drão, temos que p-valor = 0,009. Caso usássemos o t-score, 
considerando t
0 
= 1,861, consultando a tabela da distri-
buição t de Student, com gl = 19, encontraríamos p-valor 
= 0,039.
Etapa 6 (b): concluir sobre a rejeição de H0 
usando o p-valor
Devemos, agora, comparar o p-valor encontrado na etapa 
anterior com o nível de significância estabelecido para o 
teste, de acordo com a seguinte regra de decisão:
99Teste de hipóteses
......................................................................................................................................................................................................................
p-valor < α ⇒ Rejeitamos H
o
p-valor < α ⇒ Não podemos rejeitar H
o
Olhando, então, para os resultados obtidos até o momento 
para o exemplo 11, temos p-valor = 0,009 e α = 0,05. Ou 
seja, como p-valor < α, rejeitamos H
0
. Se considerássemos 
o t-score, teríamos p-valor = 0,039 eα = 0,05. Ou seja, tam-
bém rejeitaríamos H
0
.
Vale notar que, como sequência de etapas 5 (a) – 6 (a) é 
equivalente à sequência 5 (b) – 6 (b); os resultados são os 
mesmos. Se H
0
 é rejeitada (ou não rejeitada) seguindo-se 
uma das formas de análise, também será rejeitada (ou não 
rejeitada) se seguirmos a outra.
......................................................................................................................................................................................................................
100
......................................................................................................................................................................................................................
Amostragem
REFERÊNCIAS
ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Esta-
tística aplicada à administração e economia. 3. ed. São 
Paulo: Cengage Learning, 2014. 
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 8. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2013. 
LEVINE, D. M. et al. Estatística: teoria e aplicações: usando 
o Microsoft Excel em português. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2013. 
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; TERRY, S. Estatística para 
administração e economia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2009. 
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. 
São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981. 
Links interessantes
Portal Action – Inferência: 
<http://www.portalaction.com.br/inferencia-0>.
Portal Action – Teste de hipóteses: 
<http://www.portalaction.com.br/inferencia/testes-de-hi-
poteses>.
Portal Action – Intervalos de confiança: 
<http://www.portalaction.com.br/inferencia/intervalo-de-
-confianca>.
101Diagrama de dispersão
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
CAPÍTULO 4 
COVARIÂNCIA, CORRELAÇÃO E 
REGRESSÃO LINEAR
Muitas vezes, queremos medir a relação entre duas vari-
áveis, ou seja, o quanto o comportamento de uma delas 
é influenciado pela outra. Também é comum querermos 
prever o valor de uma variável a partir dos valores de ou-
tra. Em alguns casos, a relação é determinística, ou seja, é 
regida por uma regra estabelecida, que pode ser expressa 
precisamente por uma formulação matemática. Por exem-
plo, se sabemos a temperatura ambiente medida em graus 
Celsius (T
C
), podemos calcular a temperatura medida em 
Fahrenheit (T
F
) com precisão, pois a conversão é feita por 
uma fórmula conhecida:
Tf =
9 Tc + 325
Assim como nesse caso, há diversas outras variáveis que 
podem ser calculadas com precisão a partir do valor de ou-
tras, em diversos contextos: o valor dos impostos a serem 
pagos dependem de muitas variáveis e pode ser calculado 
por meio das regras definidas pela Receita Federal; a comis-
são a ser paga a um vendedor é função do valor das suas 
vendas e do porcentual pactuado com seu patrão.
102
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
No entanto, existem inúmeros outros casos em que não 
existe uma regra precisa relacionando variáveis, mas, ain-
da assim, precisamos conhecer a maneira como uma vari-
ável influencia outra, se é que existe essa influência. Por 
exemplo, será que a nota de um aluno em uma disciplina é 
influenciada pela quantidade de horas de estudos que ele 
dedica a ela? Em caso positivo, será que temos como prever 
a nota de um aluno que tenha dedicado uma certa quanti-
dade de horas de estudo a uma disciplina específica?
Em situações assim, dizemos que, se houver, essa relação 
será estatística, e não determinística. Nesses casos, usa-
mos as ideias de covariância, correlação e regressão line-
ar, que serão desenvolvidas nos tópicos a seguir. Porém, 
antes, veremos uma maneira de representar graficamente 
as informações de duas variáveis que queremos analisar 
conjuntamente. A fim de ilustrar o que se apresenta a se-
guir, consideremos o seguinte exemplo.
Exemplo 12: o professor de Estatística levantou algumas 
informações sobre os alunos de uma turma, buscando 
compreender as notas em uma prova. Os dados estão 
apresentados na tabela 104.
Tabela 10
Id. 
aluno
Tempo de 
estudo 
(horas 
semanais)
Tempo de 
lazer (horas 
semanais)
Dia do 
mês que 
nasceu
Nota
1 3,0 40,4 13 4,7
2 5,4 8,0 29 7,8
4 Dados fictícios.
103
......................................................................................................................................................................................................................
3 2,9 30,8 8 4,8
4 2,1 42,0 12 3,0
5 4,1 19,2 13 5,5
6 5,3 14,8 6 5,8
7 4,4 28,4 2 6,5
8 5,5 18,0 23 6,3
9 1,6 58,8 10 2,0
10 6,2 20,4 15 7,8
11 3,1 42,8 29 3,5
12 4,2 39,6 15 5,1
13 3,4 36,4 10 5,5
14 7,0 7,2 7 8,2
15 7,5 3,2 10 9,2
16 3,0 36,8 5 4,5
17 7,4 4,4 20 10,0
18 0,9 48,8 31 1,0
19 8,1 9,6 4 9,5
20 2,6 48,4 30 3,0
104
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
Um diagrama de dispersão é um gráfico bidimensional, 
em que os valores das variáveis analisadas são plotados 
como pares ordenados (x, y) no plano cartesiano. Por meio 
dele, podemos fazer uma primeira análise, visual, a res-
peito da maneira como as variáveis de interesse estão re-
lacionadas. A figura 29 apresenta o diagrama de dispersão 
para as variáveis Tempo de estudo e Nota.
Figura 29 – Diagrama de dispersão para 
Tempo de estudo (horas semanais) x Nota.
Podemos perceber que há fortes indícios de que os alunos 
que dedicaram mais tempo por semana estudando a dis-
ciplina obtiveram notas melhores do que aqueles que es-
tudaram por menos tempo. Se olharmos um gráfico seme-
105Diagrama de dispersão
......................................................................................................................................................................................................................
lhante, relacionando as variáveis Tempo de lazer e Nota, 
como apresentado na figura 30, vamos ter outra ideia.
Figura 30 – Diagrama de dispersão para 
Tempo de lazer (horas semanais) x Nota.
Nesse caso, parece que a relação é diferente, ou seja, as 
notas dos alunos que dedicaram mais tempo semanal ao 
lazer foram menores do que daqueles que tiveram menos 
tempo, já que o valor da variável Nota decresce conforme 
o valor da variável Tempo de lazer aumenta.
Considerando as variáveis Dia de nascimento e Nota, ve-
mos, pela figura 31, um comportamento difuso.
......................................................................................................................................................................................................................
106
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Figura 31 – Diagrama de dispersão para Dia que nasceu x Nota.
Não está claro se há algum relacionamento entre essas 
variáveis. Na realidade, parece não haver — o que é in-
tuitivamente razoável. No entanto, essa observação não é 
conclusiva, considerando apenas essa análise visual. Pre-
cisamos de confirmaçãoestatística, que será possível com 
os conceitos tratados a seguir.
107Medida da associação entre duas variáveis
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
MEDIDA DA ASSOCIAÇÃO ENTRE DUAS 
VARIÁVEIS
A associação entre duas variáveis quantitativas é medida 
pela covariância e pelo coeficiente de correlação. Iniciare-
mos falando sobre covariância.
Covariância
A covariância entre as variáveis x e y — representada por 
Cov(x, y) — dá a ideia da dispersão dos pares ordenados 
(x, y) em relação ao ponto (E(x), E(y)), em que E(x) e E(y) são 
os valores esperados (em outras palavras, as médias) das 
variáveis x e y. Ela mede o grau de associação linear entre 
as variáveis e pode ser calculada pela fórmula a seguir, em 
que: x
i
 e y
i
 são os valores das variáveis correspondentes ao 
i-ésimo par de observações, X̅ e Y̅ são as médias das variá-
veis x e y, e n é a quantidade de observações consideradas.
Cov(x, y) =
∑ (xi – X̅) . (yi – Y̅)
n – 1
Observando a fórmula, podemos compreender que a co-
variância é dada pela média dos produtos dos desvios em 
relação ao ponto que representa a média dos valores con-
siderados.
Considerando os dados da tabela 10, primeiramente va-
mos calcular a covariância entre as variáveis Tempo de 
estudo (x) e Nota (y). Para isso, usaremos uma planilha 
auxiliar, apresentada na tabela 11, na qual calculamos as 
108
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
médias das variáveis analisadas e incluímos duas colunas 
onde são computados os desvios de cada valor em relação 
à média da variável correspondente, e outra com o produ-
to entre esses desvios.
Tabela 11 – Cálculo da covariância entre Tempo de estudo e Nota.
Id. aluno
Tempo 
de estudo 
(horas 
semanais) 
(xi)
Nota (yi)
xi – X̅ 
(Δxi)
yi – Y̅ 
(Δyi)
Δxi . Δyi
1 3,0 4,7 -1,4 -1,0 1,4
2 5,4 7,8 1,0 2,1 2,1
3 2,9 4,8 -1,5 -0,9 1,3
4 2,1 3,0 -2,3 -2,7 6,1
5 4,1 5,5 -0,3 -0,2 0,1
6 5,3 5,8 0,9 0,1 0,1
7 4,4 6,5 0,0 0,8 0,0
8 5,5 6,3 1,1 0,6 0,7
9 1,6 2,0 -2,8 -3,7 10,3
10 6,2 7,8 1,8 2,1 3,8
11 3,1 3,5 -1,3 -2,2 2,8
12 4,2 5,1 -0,2 -0,6 0,1
13 3,4 5,5 -1,0 -0,2 0,2
14 7,0 8,2 2,6 2,5 6,6
15 7,5 9,2 3,1 3,5 10,9
16 3,0 4,5 -1,4 -1,2 1,6
17 7,4 10,0 3,0 4,3 13,0
18 0,9 1,0 -3,5 -4,7 16,3
19 8,1 9,5 3,7 3,8 14,2
20 2,6 3,0 -1,8 -2,7 4,8
Soma: 87,7 113,7 Soma: 96,5
Média: 4,4 5,7
D. Padrão: 2,09 2,51
109Medida da associação entre duas variáveis
......................................................................................................................................................................................................................
Temos, então: 
X̅ = 4,4 
Y̅ = 5,7
∑ (xi – X̅) . (yi – Y̅) = 96,5
Cov(x, y) =
96,5
= 5,08
19
Vamos analisar esse resultado considerando a figura 32, 
que é bem parecida com a figura 29, com as linhas trace-
jadas correspondentes aos valores médios das variáveis 
Tempo de estudo e Nota.
Figura 32 – Tempo de estudo x Nota: valores e médias.
Observamos que os valores dos pares ordenados (x, y) con-
centram-se no primeiro e no terceiro quadrantes definidos 
pelas linhas tracejadas, e a covariância entre as variáveis 
consideradas tem o valor positivo. Isso indica, portanto, 
que as variáveis Tempo de estudo e Nota têm, entre si, 
uma associação positiva, ou seja, quando os valores de 
110
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Tempo de estudo aumentam, os valores correspondentes 
de Nota também aumentam.
Fazendo cálculos semelhantes para a covariância entre as 
duplas de variáveis Tempo de lazer (x) e Nota (y), e Dia de 
nascimento (x) e Nota (y), separadamente, chegaremos aos 
resultados apresentados logo abaixo.
Tempo de lazer (x) e Nota (y):
X̅ = 27,94
Y̅ = 5,7
∑ (xi – X̅) . (yi – Y̅) = –744,7
Cov(x, y) =
–744,7
= –39,20
19
Dia de nascimento (x) e Nota (y):
X̅ = 14,6
Y̅ = 5,7
∑ (xi – X̅) . (yi – Y̅) = –133,2
Cov(x, y) =
–133,2
= –7,01
19
Assim como no caso da dupla de variáveis Tempo de es-
tudo e Nota, vamos considerar esses valores juntamente 
com os gráficos apresentados nas figuras a seguir.
111Medida da associação entre duas variáveis
......................................................................................................................................................................................................................
Figura 33 – Tempo de lazer x Nota: valores e médias.
Como podemos perceber na figura 33, os pares ordenados 
(x, y) concentram-se no segundo e no quarto quadrantes 
definidos pelas linhas tracejadas correspondentes às mé-
dias das variáveis consideradas, e o valor da covariância 
é negativo. Então, podemos dizer que as variáveis Tempo 
de lazer e Nota têm, entre si, uma associação negativa, 
pois, quando os valores de Tempo de lazer aumentam, os 
valores correspondentes de Nota diminuem.
Considerando a figura 34, os resultados são menos con-
clusivos.
112
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Figura 34 – Dia de nascimento x Nota: valores e médias.
Podemos observar que os pares ordenados (x, y) espa-
lham-se pelos quatro quadrantes definidos pelas linhas 
tracejadas correspondentes às médias das variáveis con-
sideradas. Apesar de o valor da covariância ser negativo, 
não nos parece, pela análise da figura, haver uma associa-
ção forte entre as variáveis Dia de nascimento e Nota. 
O problema é que a covariância não tem uma unidade de 
medida razoável para analisar a força da associação entre 
duas variáveis. Por isso, utiliza-se uma outra medida, cha-
mada de coeficiente de correlação, que veremos a partir 
de agora.
Coe!ciente de correlação 
O valor da covariância depende das unidades de medida 
das variáveis consideradas e pode assumir valores entre 
-∞ e +∞. Isso impede que se façam comparações entre as 
covariâncias correspondentes a diferentes pares de vari-
113Medida da associação entre duas variáveis
......................................................................................................................................................................................................................
áveis. Usualmente, eliminamos problemas relacionados à 
escala dividindo os valores analisados pelo desvio-padrão. 
Assim, usamos uma medida chamada de coeficiente de 
correlação (Corr(x, y) ou r
xy
), que é definida pela seguinte 
fórmula:
Corr(x, y) = rxy =
Cov(x, y)
σ
x 
σ
y
Em que σ
x
 é o desvio-padrão da variável x, e σ
y
 é o da variável y.
Considerando as variáveis Tempo de estudo (x) e Nota (y), 
e referindo-se ao valor de covariância previamente calcu-
lado e à tabela 11, temos:
Cov(x, y) = 5,08
σx = 2,09
σy = 2,51
Corr(x, y) = rxy =
5,08
= 0,967
2,09 . 2,51
Fazendo cálculos semelhantes para os demais pares de va-
riáveis, temos:
Tempo de lazer (x) e Nota (y):
Corr(x, y) = rxy = –0,924
Dia de nascimento (x) e Nota (y):
Corr(x, y) = rxy = –0,301
114
......................................................................................................................................................................................................................Covariância, correlação e regressão linear
O coeficiente de correlação é adimensional, ou seja, não 
depende das unidades de medida das variáveis analisadas. 
Seu valor está limitado ao intervalo –1 ≤ r
xy
 ≤ 1. Quanto 
mais próximo a 1, mais forte a associação crescente entre 
as variáveis; em outras palavras, quanto mais a variável x 
cresce, mais a variável y crescerá também. Quanto mais 
próximo a –1, mais forte a associação decrescente entre 
elas, ou seja, quanto mais a variável x cresce, mais a variá-
vel y diminui. Quanto mais próximo a zero, mais fraca é a 
associação entre as variáveis.
Propriedades da covariância e do coeficiente de corre-
lação
Cov(ax + b, cy + d) = acCov(x,y)
Corr(ax + b, cy + d)= rxy
Observações importantes sobre a covariância 
Correlação é uma medida de associação linear
Devemos ter muito cuidado, pois, quando duas variáveis 
apresentam coeficiente de correlação igual ou próximo 
a zero, isso não significa, necessariamente, que elas não 
estejam associadas. Como dissemos, a covariância é uma 
maneira de medirmos a associação linear entre as variá-
veis. É possível que haja algum outro tipo de associação 
entre elas, diferente da linear. Vamos considerar os dados 
da tabela 12, em que as variáveis x e y estão associadas 
por uma função quadrática (ou seja, os dados foram obti-
dos de forma que y = x2). O diagrama de dispersão é apre-
sentado na figura 35.
ac
|ac|
115Medida da associação entre duas variáveis
......................................................................................................................................................................................................................
Tabela 12 – Dados – Correlação nula.
x y x y
-3,0 9,00 0,2 0,04
-2,8 7,84 0,4 0,16
-2,6 6,76 0,6 0,36
-2,4 5,76 0,8 0,64
-2,2 4,84 1,0 1,00
-2,0 4,00 1,2 1,44
-1,8 3,24 1,4 1,96
-1,6 2,56 1,6 2,56
-1,4 1,96 1,8 3,24
-1,2 1,44 2,0 4,00
-1,0 1,00 2,2 4,84
-0,8 0,64 2,4 5,76
-0,6 0,36 2,6 6,76
-0,4 0,16 2,8 7,84
-0,2 0,04 3,0 9,00
0,0 0,00
Figura 35 – Diagrama de dispersão – Correlação nula.
116
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Ao efetuarmos os cálculos, chegaremos à conclusão de 
que o coeficiente de correlação entre x e y é igual a zero, 
mas essas variáveis, claramente, guardam entre si uma 
forte associação — que não é linear, como demonstrado 
pelo coeficiente de correlação nulo.
Covariância é muito afetada pela presença de outliers
Outliers podem influenciar muito a medida da correlação 
entre duas variáveis. Vamos considerar o diagrama de dis-
persão apresentado na figura 36, cujos dados estão dispo-
níveis na tabela 13. 
Figura 36 – Diagrama de dispersão – Outliers.
117Medida da associação entre duas variáveis
......................................................................................................................................................................................................................
Tabela 13 – Correlação e outliers.
Id. aluno Dia do mês que nasceu Nota
1 13 4,7
2 29 7,8
3 8 4,8
4 12 3,0
5 13 5,5
6 6 5,8
7 2 6,5
8 23 6,3
9 10 2,0
10 15 7,8
11 29 3,5
12 15 5,1
13 10 5,5
14 7 8,2
15 100 99,2
16 5 4,5
17 20 10,0
18 31 1,0
19 4 9,5
20 30 3,0
Podemos notar que o par ordenado assinalado com o cír-
culo na figura 36 é bastante discrepante dos demais — fa-
zendo-se a análise citada no capítulo 1, ele seria conside-
rado um outlier. Na realidade, esses dados são os mesmos 
já apresentados na tabela 10, exceto que os valores corres-
pondentes ao aluno #15 estão diferentes. Se isso tivesse 
ocorrido na prática, provavelmente teria sido em decorrên-
cia de um erro de digitação, pois os valores corretos são 
10 e 9,2, respectivamente, para Dia de nascimento e Nota.
......................................................................................................................................................................................................................
118
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
O coeficiente de correlação entre x e y, considerando os 
valores errados dessas variáveis, é igual a 0,881. Porém, 
quando, anteriormente, havíamos calculado o coeficiente 
de correlação considerando os valores corretos para o alu-
no #15, encontramos –0,301!
119Regressão linear
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
REGRESSÃO LINEAR
A covariância e o coeficiente de correlação são medidas 
importantes para avaliar a associação entre duas variáveis 
quantitativas, mas não são suficientes para indicar, quan-
do existe, qual o efeito da variação de uma delas (chamada 
de variável independente) sobre a outra (chamada de va-
riável dependente). Para essa finalidade, usamos a regres-
são linear simples.
Por meio da análise de regressão, buscamos identificar 
qual a função linear (ou seja, aquela que pode ser repre-
sentada por uma reta) que melhor se ajusta para relacionar 
as variáveis x (independente) e y (dependente). Em outras 
palavras, buscamos encontrar uma função linear tal que:
ŷ = b0 + b1 x
Em que ŷ é o valor estimado para y pela função linear, b
0
 
é o coeficiente linear da reta (ou intercepto), e b
1
 é seu 
coeficiente angular (ou inclinação). 
Método dos mínimos quadrados
Genericamente, chamamos de resíduo (e) a diferença entre 
uma estimativa para o valor de uma variável dependente 
y
i
, feita a partir de alguma expressão que a relacione à 
variável independente, e o valor real observado y
i
, corres-
pondente a cada valor x
i
. Em termos matemáticos, vamos 
expressar o resíduo de uma observação como:
ei = ŷi – yi
120
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
O método mais comumente usado para encontrarmos os 
parâmetros da reta de regressão é chamado de método 
dos mínimos quadrados. Ele tem esse nome, pois está ba-
seado na ideia de encontrar os parâmetros b
0
 e b
1
, tais que 
a soma dos quadrados dos resíduos seja a menor possível. 
Graficamente, essas diferenças correspondem à distância 
vertical entre cada par ordenado (x, y) e a reta de regres-
são, como ilustrado na figura 37. 
Figura 37 – Método dos mínimos quadrados.
 
Expressando essa ideia em uma formulação matemática, 
podemos dizer que o objetivo do método dos mínimos 
quadrados é minimizar a soma dos quadrados dos resí-
duos, ou seja:
min ∑ (ŷi – yi)2
n
i = 1
121Regressão linear
......................................................................................................................................................................................................................
O desenvolvimento matemático dessa função leva aos pa-
râmetros da regressão. Assim, para calcularmos o parâme-
tro b
1
, usamos a seguinte fórmula:
Em que: Sx = ∑i = 1 xi , Sy = ∑i = 1 yi , Sxy = ∑i = 1 xi yi e 
Sxx = ∑i = 1 xi 2 . 
Alternativamente, podemos usar esta outra fórmula:
b1 = Corr(x,y)
Em queCorr(x, y) é o coeficiente de correlação entre x e y, 
σ
x
 é o desvio-padrão de x, e σ
y
 é o desvio-padrão de y. Uma 
vez calculado b
1
, podemos calcular o parâmetro b
0
:
b0 = Y̅ – b1 X̅
Em que σ
y
 é o desvio-padrão de y, σ
x
 é o desvio-padrão de 
x, Y̅ é a média de y, e X̅ é a média de x.
Vamos, então, retornar ao exemplo 12 para fazermos a 
análise das variáveis Tempo de estudo (x) e Nota (y). Para 
o cálculo dos parâmetros da regressão, transcrevemos os 
dados referentes às variáveis analisadas e acrescentamos 
duas colunas à direita, conforme apresentado na tabela 14.
b1 =
n ∑i = 1 xi yi – ∑i = 1 xi ∑i = 1 yi = nSxy – SxSy
n xi2 – ( xi)2 nSxx – (Sx)2
nn n
∑i = 1 n ∑i = 1 n
n nn
n
σy
σx
122
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Tabela 14 – Cálculo dos parâmetros da regressão: Tempo de estudo x Nota.
Id. aluno
Tempo de 
estudo (horas 
semanais)(xi)
Nota (yi) xi . yi xi2 yi2
1 3,0 4,7 14,10 9,00 22,09
2 5,4 7,8 42,12 29,16 60,84
3 2,9 4,8 13,92 8,41 23,04
4 2,1 3,0 6,30 4,41 9,00
5 4,1 5,5 22,55 16,81 30,25
6 5,3 5,8 30,74 28,09 33,64
7 4,4 6,5 28,60 19,36 42,25
8 5,5 6,3 34,65 30,25 39,69
9 1,6 2,0 3,20 2,56 4,00
10 6,2 7,8 48,36 38,44 60,84
11 3,1 3,5 10,85 9,61 12,25
12 4,2 5,1 21,42 17,64 26,01
13 3,4 5,5 18,70 11,56 30,25
14 7,0 8,2 57,40 49,00 67,24
15 7,5 9,2 69,00 56,25 84,64
16 3,0 4,5 13,50 9,00 20,25
17 7,4 10,0 74,00 54,76 100,00
18 0,9 1,0 0,90 0,81 1,00
19 8,1 9,5 76,95 65,61 90,25
20 2,6 3,0 7,80 6,76 9,00
Soma: 87,7 113,7 595,06 467,49 766,5
Média: 4,4 5,7
D. Padrão: 2,09 2,51
Substituindo os valores na fórmula de b
1
, temos:
b1=
nSxy – SxSy =
20 × 595,06 – 87,7 × 113,7
= 1,16
nSxx – (Sx)
2 20 × 467,49 – 87,72
123Regressão linear
......................................................................................................................................................................................................................
Se usarmos a outra fórmula, apenas para nos certificar-
mos de seu uso, teremos:
Com o valor de b
1
, podemos calcular o valor de b
0
:
b0= Y̅ – b1 X̅ = 5,7 – 1,16 × 4,4 = 0,59
E, portanto, a reta de regressão, relacionando linearmen-
te as variáveis Tempo de estudo (x) e Nota (y), conforme 
mostrada na figura 38, é a dada pela seguinte expressão:
ŷ = 0,59 + 1,16x
Figura 38 – Regressão linear: Tempo de estudo x Nota.
b1= Corr (x,y)
σy = 0,967
2,51
= 1,16
σx 2,09
124
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Interpretação dos coe!cientes da regressão 
linear
Matematicamente falando, o parâmetro b
1
 é o coeficiente 
angular da reta de regressão. Porém, o que ele significa, na 
prática, é quanto a variável independente x afeta a variável 
dependente y. Seu valor é a medida de quanto a variável 
dependente y varia quando a variável independente x so-
fre uma variação unitária. No caso do exemplo 12, cada 
hora adicional de estudo leva, em média, a um aumento 
de 1,16 pontos na nota.
O coeficiente b
0
 é o coeficiente linear, ou intercepto. Mate-
maticamente falando, ele corresponde ao valor da variável 
dependente y quando a variável independente tem valor 
nulo. Nem sempre esse parâmetro tem uma interpretação 
prática. Por exemplo, se fizermos uma regressão entre al-
tura (x) e peso (y) dos alunos da turma, chegaremos a uma 
equação de reta, e o valor do intercepto corresponderia ao 
peso de uma pessoa com altura nula, o que é algo que não 
tem qualquer representação prática.
Ajuste do modelo de regressão
Com as fórmulas apresentadas, conseguimos encontrar 
os parâmetros b
0
 e b
1
 que ajustam de forma melhor um 
modelo linear para a associação entre as variáveis x e y. A 
avaliação do quanto uma regressão linear é representativa 
para essa associação é feita utilizando-se o coeficiente de 
determinação (r2). Intuitivamente, podemos concluir que 
esse modelo será tão mais representativo da relação entre 
as variáveis analisadas quanto maiores forem a covariân-
cia e o coeficiente de correlação entre elas. 
125Regressão linear
......................................................................................................................................................................................................................
Matematicamente, podemos demonstrar que o coeficiente 
de determinação de uma regressão linear é igual ao qua-
drado do coeficiente de correlação entre as variáveis ana-
lisadas. Porém, convém entendermos como ele é definido 
conceitualmente, para compreendermos o que ele signifi-
ca e mede.
Para avaliar o modelo de regressão linear, devemos tomar 
algum modelo como base. Para isso, devemos pensar em 
como fazemos estimativas para o valor de uma variável 
quando não temos qualquer informação acerca de variá-
veis que influenciem em seu comportamento. O melhor 
e mais usado modelo possível, seguindo essa lógica, é o 
modelo de estimativa de y a partir de sua média Y̅. Intui-
tivamente, quando não temos informações sobre o rela-
cionamento de uma variável com outras, estimamos seu 
valor por sua média.
ymi = Y̅
Sendo assim, os resíduos das estimativas pela média po-
dem ser calculados como:
emi = ymi – yi ; ou emi = Y̅ – yi
Portanto, a soma dos quadrados dos resíduos decorrentes 
de um modelo de estimativa pela sua média Y̅, chamado 
de SEQ
M
 (acrônimo para a expressão soma dos erros da 
média ao quadrado), é calculada pela fórmula:
SEQM = ∑i = 1 emi2 = ∑i = 1 (Y̅ – yi)2n n
126
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Da mesma forma, os resíduos das estimativas feitas a par-
tir da regressão linear podem ser calculados pela seguinte 
expressão:
ei = ŷi – yi
A soma dos quadrados dos resíduos da regressão, chama-
da de SEQ (acrônimo para a expressão soma dos erros ao 
quadrado), é calculada pela fórmula:
O coeficiente de determinação (r2) da regressão linear en-
tre x e y é dado, então, pela fórmula:
No limite superior, quando todos os pontos observados 
estiverem exatamente sobre a reta de regressão (ou seja, 
quando uma reta representa perfeitamente o ajuste entre 
as variáveis analisadas), teremos SEQ = 0 e, portanto, r2 = 
1. Quando, por outro lado, os valores de x e y não tiverem 
qualquer relação linear entre si, teremos SEQ = SEQ
M
 e, 
consequentemente, r2 = 1.
Além disso, é comum analisarmos a significância do coe-
ficiente b
1
. Para isso, recorremos a um teste de hipóteses, 
no qual a hipótese nula é de que o valor do coeficiente 
angular real β
1
 é zero (ou, em outras palavras, que não 
existe uma relação linear associando as variáveis analisa-
das), contra a hipótese alternativa de que ele tenha o valor 
SEQ = ∑i = 1 ei2 = ∑i = 1 (ŷi – yi)2n n
r 2 =
SEQm – SEQ
SEQm 
127Regressão linear
......................................................................................................................................................................................................................
b
1
 encontrado. Formalmente, vamos exprimir esse teste de 
hipóteses da seguinte maneira:
H
0
: β
1
 = 0
H
a
: β
1
 = b
1
Primeiramente, calculamos o erro padrão do coeficiente 
pela fórmula:
Em que SEQ é a soma dos quadrados dos resíduos da re-
gressão, σx é o desvio-padrão da variável dependente x, e 
n é a quantidade de observações da amostra.
Com esse valor,podemos calcular a estatística de teste 
para o coeficiente b
1
:
Esse valor deve ser comparado com a estatística crítica, 
considerando uma distribuição t de Student com n – 2 
graus de liberdade. É comum usarmos α = 0,05. Em resu-
mo, lembrando que é um teste de hipóteses bilateral, tere-
mos a seguinte regra de decisão:
> tcrit (n – 2);(1– α
2
) ⇒ Rejeita H0 (ou seja, β1≠0)
≤ tcrit (n – 2);(1– α
2
) ⇒ Não rejeita H0 (ou seja, aceita que β1 = 0)
{
t b1 =
b1
S b1 
t b1 =
b1
S b1 
t b1 =
b1
S b1 
S b1 = σx
SEQ
(n – 1) (n – 2)
128
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Podemos também calcular um intervalo de confiança para 
o coeficiente β
1
 da relação entre as variáveis analisadas, 
usando a seguinte fórmula:
Retomando os dados do exemplo 12, vamos analisar os 
resultados obtidos para os parâmetros da regressão li-
near entre as variáveis Tempo de estudo (x) e Nota (y). 
Para isso, consideremos a tabela 15, que, além dos dados 
das variáveis, apresenta três colunas que auxiliam nos 
cálculos necessários. A quarta coluna da tabela nos mos-
tra as estimativas obtidas utilizando-se os parâmetros da 
regressão ŷ
i 
= 0,59 + 1,16 x
i
. As duas colunas seguintes 
trazem o cálculo dos quadrados dos resíduos de cada es-
timativa em relação ao valor real observado e
i
2 = (ŷ
i 
– y
i
)2 e 
os quadrados dos resíduos de cada observação em relação 
à média em
i
2 = (Ŷ – y
i
)2, respectivamente.
Tabela 15 – Ajuste do modelo de regressão: Tempo de estudo x Nota.
 
Id. aluno
Tempo de 
estudo (horas 
semanais)(xi)
Nota (yi) ŷi
ei2
(ŷi – yi)2
emi2
(Ŷ – yi)2
1 3,0 4,7 4,07 0,97 0,40
2 5,4 7,8 6,85 4,47 0,89
3 2,9 4,8 3,95 0,78 0,72
4 2,1 3,0 3,03 7,21 0,00
5 4,1 5,5 5,35 0,03 0,02
6 5,3 5,8 6,74 0,01 0,88
7 4,4 6,5 5,69 0,66 0,65
8 5,5 6,3 6,97 0,38 0,45
9 1,6 2,0 2,45 13,58 0,20
10 6,2 7,8 7,78 4,47 0,00
IC (β1; 1 – α) = (b1 – t(n – 2);(1– α
2
) Sb1 ; b1 + t(n – 2);(1– α
2
) Sb1)
129Regressão linear
......................................................................................................................................................................................................................
11 3,1 3,5 4,19 4,77 0,47
12 4,2 5,1 5,46 0,34 0,13
13 3,4 5,5 4,53 0,03 0,93
14 7,0 8,2 8,71 6,33 0,26
15 7,5 9,2 9,29 12,36 0,01
16 3,0 4,5 4,07 1,40 0,18
17 7,4 10,0 9,17 18,62 0,68
18 0,9 1,0 1,63 21,95 0,40
19 8,1 9,5 9,99 14,55 0,24
20 2,6 3,0 3,61 7,21 0,37
Soma: 87,7 113,7 120,1 7,89
Média: 4,4 5,7 (SEQM) SEQ
D. Padrão: 2,09 2,51
Temos, para esses dados:
SEQM = 120,15
SEQ = 7,89
Considerando α = 0,05, com n = 20, temos 18 graus de 
liberdade. Assim, pesquisando em uma tabela de distri-
buição t de Student, temos que tcrit
18; 0,975 
= 2,101. Como 
a estatística de teste calculada para b
1
 é superior ao valor 
r 2 =
120,15 – 7,89
120,18
S b1 = = 0,072672,09
7,89
(19) (18)
S b1 =
1,16
= 15,963
0,07267
130
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
crítico, rejeitamos a hipótese nula de que o coeficiente an-
gular seja zero. 
Além disso, podemos calcular o IC para o coeficiente an-
gular da relação que associa as variáveis Tempo de estudo 
(x) e Nota (y).
IC(β1;0,95) = (1,16 – 2,101 × 0,07267; 1,16 + 2,101 × 0,07267)
IC(β1;0,95) = (1,001; 1,313)
Em outras palavras, é possível assumir que haja uma re-
lação linear entre Tempo de estudo (x) e Nota (y) e que o 
coeficiente angular dessa associação é β
1 
= 1,16, com 95% 
de probabilidade de estar entre 1,001 e 1,313.
Premissas do modelo de regressão linear
Para que a estimativa dos parâmetros do modelo de re-
gressão linear pelo método dos mínimos quadrados seja 
válida, assumimos algumas premissas.
• A relação entre as variáveis analisadas é linear.
• Os resíduos são independentes e normalmente 
distribuídos.
• A variância dos resíduos é constante — em ter-
mos mais técnicos, dizemos que os resíduos são ho-
mocedásticos.
A normalidade deve se analisada observando o histogra-
ma dos resíduos, e a independência e homocedasticidade, 
um diagrama de dispersão considerando a variável inde-
pendente. Por exemplo, a figura 39 mostra um histograma 
131Regressão linear
......................................................................................................................................................................................................................
de resíduos em que a premissa de normalidade pode ser 
aceita, enquanto a figura 40 apresenta um diagrama de 
dispersão com resíduos independentes.
Figura 39 – Exemplo de histograma de resíduos — Normalidade.
 
Figura 40 – Diagrama de dispersão — Resíduos independentes e 
homocedásticos.
132
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Já a figura 41 nos mostra um caso em que as premissas 
de independência não são observadas, enquanto a figura 
42 apresenta um caso em que os resíduos não são homo-
cedásticos.
Figura 41 – Diagrama de dispersão — Resíduos não independentes.
Figura 42 – Diagrama de dispersão — Resíduos não homocedásticos 
(diz-se: heterocedásticos).
133Regressão linear
......................................................................................................................................................................................................................
No caso do exemplo 12, analisamos as figuras a seguir.
Figura 43 – Histograma dos resíduos.
Observamos que há um problema com a premissa de 
normalidade dos resíduos, como visto na figura 39. Esse 
problema, provavelmente, é decorrente do fato de termos 
uma quantidade relativamente pequena de observações, 
mas carece ser analisado mais profundamente — o que 
não é escopo deste livro. 
Já a independência e a homocedasticidade são analisadas 
à luz da figura 44.
134
......................................................................................................................................................................................................................
Covariância, correlação e regressão linear
Figura 44 – Diagrama de dispersão dos resíduos.
Por esse gráfico, não há nada que nos leve a crer que os 
resíduos não sejam independentes e não apresentem vari-
ância constante.
135
......................................................................................................................................................................................................................
REFERÊNCIAS
ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatísti-
ca aplicada à administração e economia. 3. ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2014. 
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 8. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2013. 
LEVINE, D. M. et al. Estatística: teoria e aplicações: usando 
o Microsoft Excel em português. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2013. 
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; TERRY, S. Estatística para 
administração e economia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2009. 
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. 
São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1981. 
Links interessantes
Portal Action – Análise de regressão: 
<http://www.portalaction.com.br/analise-de-regressao>.
136
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Procuramos, ao longo deste livro, fazer um apanhado dos 
conceitos básicos da estatística para serem aplicados a si-
tuações típicasdo dia a dia em diversos contextos. Busca-
mos, por meio de exemplos bastante genéricos e de fácil 
compreensão para todos, ilustrar a aplicação dos concei-
tos e mostrar como usar as ferramentas apresentadas.
Iniciamos com o que chamamos de estatística descriti-
va, falando primeiro sobre os tipos de dados existentes 
e apresentando as ferramentas gráficas mais usadas para 
cada um deles. Em seguida, apresentamos as principais 
medidas de tendência central, de variação e de posição, 
utilizadas para analisarmos conjuntos de dados.
No capítulo 2, falamos sobre probabilidade e introduzi-
mos os conceitos de variáveis aleatórias e distribuição de 
probabilidade. Além disso, apresentamos algumas das 
principais distribuições de probabilidade utilizadas, dis-
cretas e contínuas.
O capítulo 3 foi dedicado ao assunto de amostragem e 
inferência estatística. Nele, mostramos como se calculam 
intervalos de confiança e se realizam testes de hipóteses 
para estimativa de parâmetros populacionais a partir de 
amostras. 
Por fim, no capítulo 4, abordamos o problema básico de se 
avaliar a relação entre duas variáveis. Para isso, tratamos 
137
dos conceitos de covariância e correlação e apresentamos 
a técnica de regressão linear com o método dos mínimos 
quadrados.
Certamente, um universo se encontra à nossa frente para 
ser descortinado, tantos são os problemas tratados pela 
estatística. Porém, o ferramental apresentado neste livro 
nos coloca preparados para os próximos passos, pois re-
vela os conceitos e as técnicas fundamentais em todo o 
processo. O conhecimento necessário para o estudo da es-
tatística começa por aqui. Bom proveito!