AnalisedeTorAAúoemBarras-Pontes-2019

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ANTÔNIO MATHEUS DA SILVA PONTES 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE TORÇÃO EM BARRAS PELO MÉTODO DOS 
ELEMENTOS FINITOS 
 
 
 
 
 
 
NATAL-RN 
2019 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Antônio Matheus da Silva Pontes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de torção em barras pelo método dos elementos finitos 
 
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade 
Monografia, submetido ao Departamento de 
Engenharia Civil da Universidade Federal do 
Rio Grande do Norte como parte dos requisitos 
necessários para obtenção do Título de 
Bacharel em Engenharia Civil. 
 
Orientador: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues 
Mittelbach 
 
 
 
 
 
 
 
 
Natal-RN 
2019 
 
 
 
 Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN 
Sistema de Bibliotecas - SISBI 
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede 
 
 Pontes, Antonio Matheus da Silva. 
 Análise de torção em barras pelo método dos elementos finitos 
/ Antonio Matheus da Silva Pontes. - 2019. 
 56 f.: il. 
 
 Monografia (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do 
Norte, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil. 
Natal, RN, 2019. 
 Orientadora: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach. 
 
 
 1. Engenharia Civil - Monografia. 2. Método dos Elementos 
Finitos (MEF) - Monografia. 3. Torção de Coulomb - Monografia. I. 
Mittelbach, Fernanda Rodrigues. II. Título. 
 
RN/UF/BCZM CDU 624.01 
 
 
 
 
 
Elaborado por Kalline Bezerra da Silva - CRB-15 / 327 
 
Antônio Matheus da Silva Pontes 
 
Análise de Torção em Barras pelo Método dos Elementos Finitos 
 
Trabalho de conclusão de curso na modalidade 
Monografia, submetido ao Departamento de 
Engenharia Civil da Universidade Federal do 
Rio Grande do Norte como parte dos requisitos 
necessários para obtenção do título de Bacharel 
em Engenharia Civil. 
 
 
 
 
 
Aprovado em 28 de novembro de 2019: 
 
 
________________________________________________________ 
Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach – Orientador 
 
 
________________________________________________________ 
Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Examinador interno 
 
 
________________________________________________________ 
Eng. Daniel Alves de Lima – Examinador externo 
 
 
 
Natal-RN 
2019 
DEDICATÓRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
À minha mãe, Samara. 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Agradeço primeiramente a Deus, que em sua infinita bondade me permitiu percorrer 
essa trajetória e vencer essa etapa da minha vida. 
À minha mãe, Samara, pelo imensurável amor e por estar sempre presente, me 
lembrando que nunca estarei sozinho independentemente da distância. 
À minha irmã, Marina, por todo carinho, fraternidade e incentivo demonstrados. 
Às minhas avós, Daluz e Conceição, e à toda minha família pelo apoio incondicional e 
por não medirem esforços para a realização desse sonho. 
Aos amigos, os antigos que se mantiveram presentes em minha vida e os que ganhei ao 
longo da graduação, ter a oportunidade de conviver com vocês é algo único. Considero-os a 
família que eu pude escolher. 
A todos os professores que contribuíram para a minha formação. 
Por fim, à minha orientadora, Fernanda Mittelbach, pela extrema dedicação e 
compreensão. A senhora é uma grande inspiração como profissional e, principalmente, como 
pessoa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antônio Matheus da Silva Pontes 
RESUMO 
 
Análise de torção em barras pelo método dos elementos finitos 
 
Este trabalho buscar analisar, estaticamente, o comportamento de barras submetidas a torção 
através do desenvolvimento de uma análise numérica. O Método dos Elementos Finitos (MEF) 
será o procedimento numérico adotado para a modelagem do problema, utilizando-se do 
Princípios dos Trabalhos Virtuais (PTV) para obtenção das expressões que caracterizam os 
elementos da estrutura. Para o processamento dessa análise numérica, um código 
computacional foi desenvolvido na linguagem Fortran. É apresentado também o 
desenvolvimento das expressões analíticas teóricas que regem os problemas de torção, de forma 
que se possa comparar com os resultados analíticos e numéricos. 
Palavras-chave: MEF. Torção de Coulomb. Código Computacional. 
 
 
ABSTRACT 
 
Title: Frame torsion analysis by the finite element method 
 
This paper seeks to statically analyze the behavior of frames subjected to torsion by developing 
a numerical analysis. The Finite Element Method (FEM) will be the numerical procedure 
adopted to model the problem, using the Principle of Virtual Work (PVW) to obtain the 
expressions that describe the elements of the structure. For the processing of this numerical 
analysis, a computational code was developed in the Fortran language. It is also presented the 
development of the theoretical analytical expressions that characterize torsion problems so that 
a comparison can be made with the analytical and numerical results. 
Keywords: FEM. Coulomb's Torsion. Computer Code. 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Fluxograma do processo de análise pelo MEF ....................................................... 15 
Figura 2 - Barra circular submetida a um torque T. ................................................................ 20 
Figura 3 - Barra circular submetida a um torque T ................................................................. 20 
Figura 4 - Elemento infinitesimal da barra com rotação relativa entre as seções ................... 21 
Figura 5 - Variação da tensão em um elemento de seção circular. ......................................... 22 
Figura 6 - Tubo de parede fina submetido a um torque T. ...................................................... 23 
Figura 7 - Elemento infinitesimal da espessura do tubo.......................................................... 24 
Figura 8 - Seção transversal do tubo de parede fina. ............................................................... 25 
Figura 9 - Torção em barra de seção não circular ................................................................... 26 
Figura 10 - Distribuição das tensões de cisalhamento em um eixo de seção retangular 
submetido a torção. ................................................................................................................... 27 
Figura 11 - (a) Placa com um furo; (b) Placa discretizada em elementos finitos triangulares.
 .................................................................................................................................................. 31 
Figura 12 - Elemento finito “i”. ............................................................................................... 32 
Figura 13 - Estrutura discretizada............................................................................................ 33 
Figura 14 - Cargas nodais equivalentes do carregamento distribuído. .................................... 35 
Figura 15 - Montagem da matriz de rigidez global. ................................................................ 38 
Figura 16 - Montagem do vetor de cargas global. ................................................................... 39 
Figura 17 - Representação da montagem do sistema de equações lineares. ........................... 39 
Figura 18 - Arquivo de entrada para utilização do algoritmo. ................................................ 41 
Figura 19 - Arquivo de saída com os resultados gerados pelo algoritmo. .............................. 41 
Figura 20 - Barra de seção circular, biengastada, submetida a um momento torçor 
concentrado. .............................................................................................................................. 43 
Figura 21 - Barra de seção circular submetida a um carregamento uniforme. ........................
45 
Figura 22 - Tubo de parede fina, retangular, submetida a momentos concentrados. .............. 46 
Figura 23 - Seção transversal do tubo de parede fina retangular. ........................................... 47 
Figura 24 - Tubo de parede fina, retangular, submetida a momento torçor uniformemente 
distribuído. ................................................................................................................................ 48 
Figura 25 - Barra engastada com seção retangular .................................................................. 50 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1 – Coeficientes para eixos retangulares...................................................................... 28 
Tabela 2 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 1. ............................. 44 
Tabela 3 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 2. ............................. 45 
Tabela 4 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 3. ............................. 47 
Tabela 5 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 4. ............................. 49 
Tabela 6 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 5. ............................. 51 
Tabela 7 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 6. ............................. 52 
Tabela 8 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 7. ............................. 53 
 
 
LISTA DE GRÁFICOS 
 
Gráfico 1 - Exemplo 1: barra biengastada com seção circular e momento torçor concentrado.
 .................................................................................................................................................. 44 
Gráfico 2 - Exemplo 2: barra engastada com seção circular. .................................................. 46 
Gráfico 3 - Exemplo 3: tubo de parede fina engastado. .......................................................... 48 
Gráfico 4 - Exemplo 4: deslocamento no tubo de parede fina engastado, com carregamento 
distribuído. ................................................................................................................................ 49 
Gráfico 5 - Exemplo 5: deslocamento na barra de seção retangular. ...................................... 51 
Gráfico 6 - Exemplo 6: deslocamento na barra de seção retangular, com carregamento 
distribuído. ................................................................................................................................ 52 
Gráfico 7 - Exemplo 7: deslocamento na barra de seção retangular, com carregamento 
linearmente distribuído. ............................................................................................................ 53 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
r Raio genérico da seção transversal 
R Raio na superfície externa da seção 
T Torque aplicado 
γ Distorção ao longo da barra 
φ Rotação na seção causada pela torção 
𝜏𝜃𝑥; 𝜏𝑥𝜃 Tensões de cisalhamento 
l Comprimento da barra 
G Módulo de elasticidade transversal 
𝑀𝑡 Momento de torção 
𝐽𝑃 Momento de inércia polar 
F1 ; F2 Forças que surgem devido as tensões de cisalhamento 
e Espessura da parede do tubo 
f Fluxo de cisalhamento 
β Torção por unidade de comprimento 
Am Área média da seção do tubo de parede fina 
Lm Perímetro médio do tubo de parede fina 
𝐽𝑡 Constante de torção da seção transversal do tubo de parede fina 
x ; y Comprimentos dos lados da seção retangular 
α ; β Coeficientes para seção retangular 
𝛿𝑊𝑖 ; 𝛿𝑊𝑒 Trabalho virtual 
λ Comprimento do elemento 
[𝑘]𝑒 Matriz de rigidez do elemento 
{𝑐} Vetor de cargas do elemento 
[K] Matriz de rigidez global 
[F] Vetor de cargas global 
[U] Vetor de deslocamentos nodais global 
 
SUMÁRIO 
1- INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 14 
1.1 Considerações iniciais .............................................................................................. 14 
1.2 Justificativa ............................................................................................................... 16 
1.3 Objetivos ................................................................................................................... 17 
1.3.1 Objetivo geral .................................................................................................... 17 
1.3.2 Objetivos específicos ......................................................................................... 17 
1.4 Estrutura do trabalho .............................................................................................. 17 
2- METODOLOGIA ........................................................................................................... 18 
3- FORMULAÇÃO ANALÍTICA ..................................................................................... 19 
3.1 Introdução ................................................................................................................ 19 
3.2 Torção em barras de seção circular ....................................................................... 19 
3.3 Torção em tubos de parede fina ............................................................................. 23 
3.4 Torção em barras maciças não circulares ............................................................. 26 
3.5 Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) ................................................................ 28 
3.6 Trabalho Virtual Interno ........................................................................................ 29 
3.7 Trabalho Virtual Externo ....................................................................................... 30 
4- FORMULAÇÃO NUMÉRICA ...................................................................................... 31 
4.1 Introdução ................................................................................................................ 31 
4.2 Método dos Elementos Finitos ................................................................................ 31 
4.3 Discretização ............................................................................................................. 32 
4.4 Função de deslocamento .......................................................................................... 33 
4.5 Matriz de Rigidez ..................................................................................................... 34 
4.6 Vetor de Cargas ....................................................................................................... 35 
4.7 Montagem da Matriz de Rigidez Global ................................................................ 37 
4.8 Montagem do Vetor de Cargas Global .................................................................. 38 
4.9 Sistemas de Equações e Condições de Contorno .................................................. 39 
4.10 Código Computacional ............................................................................................ 40 
5- EXEMPLOS E RESULTADOS ..................................................................................... 42 
5.1 Introdução ................................................................................................................ 42 
5.2 Exemplo 1 ................................................................................................................. 42 
5.3 Exemplo 2 ................................................................................................................. 44 
5.4 Exemplo 3 ................................................................................................................. 46 
5.5 Exemplo 4 ................................................................................................................. 48 
5.6 Exemplo 5 .................................................................................................................
50 
5.7 Exemplo 6 ................................................................................................................. 51 
5.8 Exemplo 7 ................................................................................................................. 52 
6- CONCLUSÃO ................................................................................................................. 54 
7- REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 55 
 
 
14 
 
1- INTRODUÇÃO 
 
1.1 Considerações iniciais 
 
Os problemas de engenharia são frequentemente analisados a partir do desenvolvimento de 
modelos matemáticos, que representam uma descrição de situações observadas por meio de 
equações. 
No contexto da Engenharia Civil, uma subárea que se utiliza constantemente de modelos 
matemáticos é a Engenharia de Estruturas, na qual o desenvolvimento das formulações é 
governado muitas vezes por Equações Diferenciais Parciais (EDP), sendo estas, equações que 
envolvem funções de várias variáveis independentes e dependentes de suas derivadas. 
Assim, ao se realizar a análise de uma estrutura, busca-se determinar as tensões e 
deformações a partir da resolução de tais modelos. Estas resoluções podem ser realizadas 
através de métodos analíticos ou métodos numéricos. Os métodos analíticos apresentam uma 
solução mais acurada, com resultados matematicamente exatos para os problemas estudados. 
Porém, ao se deparar com equações mais complexas, esse método se torna cada vez mais difícil 
de ser aplicado, tornando impossibilitado o cálculo de forma manual. Os métodos numéricos, 
por sua vez, apresentam uma solução aproximada, mas que possibilitam uma simulação 
computacional dos problemas analisados, o que permite uma análise com aproximações 
acuradas e torna mais prático o tratamento de equações mais complexas. 
Dentre as técnicas de resolução numéricas, destacam-se alguns métodos, como o Método 
dos Elementos de Contorno (MEC), o Método das Diferenças Finitas (MDF) e, principalmente, 
o Método dos Elementos Finitos (MEF), sendo esta última a ferramenta estudada e utilizada no 
desenvolvimento deste trabalho. 
Segundo Fish e Belytschko (2007), o Método dos Elementos Finitos é uma abordagem 
numérica pela qual equações diferenciais parciais podem ser resolvidas aproximadamente. A 
ideia básica do MEF é dividir o domínio em elementos finitos conectados por nós, e obter uma 
solução aproximada. 
Por se tratar de um procedimento numérico, esse método necessita de uma avaliação de 
acurácia em sua solução. Caso a solução não seja adequadamente satisfatória, faz-se necessária 
uma repetição do processo com um maior refinamento dos parâmetros, como, por exemplo, 
realizar uma maior discretização da malha, ou seja, dividir o domínio em um número maior de 
15 
 
elementos finitos. A Figura 1 apresenta um fluxograma da resolução de um problema físico 
pelo MEF. 
Figura 1 - Fluxograma do processo de análise pelo MEF 
 
Fonte: BATHE (2014), apud SILVA (2018). 
A análise e o projeto de peças submetidas à torção constituem uma área de interesse 
permanente no âmbito da engenharia, apresentando aplicações em diferentes áreas. A torção 
refere-se à rotação, em torno do eixo longitudinal do elemento estrutural, que uma seção 
transversal sofre quando a peça é carregada por um conjugado, denominado de momento de 
torção, momento torçor ou torque. 
16 
 
Segundo Beer e Jonhston (2011), a aplicação mais comum ocorre em eixos de transmissão, 
utilizados para transferir potência de um ponto para outro. No âmbito da engenharia civil, esse 
esforço ocorre em diversas estruturas, como em vigas de marquises, onde as lajes em balanço 
estão engastadas em vigas de apoio. A torção também ocorre vigas de pontes e viadutos em 
trechos curvos (geralmente com seções caixão), além de ocorrer em alguns pilares em vigas 
presentes na estrutura de edifícios. 
Os problemas envolvendo a torção foram estudados inicialmente por Coulomb, em 1784, 
onde foram apresentadas teorias para a resolução de casos de torção para barras de seção 
circular, levando em consideração que estas seções permanecem planas após sofrerem a ação 
do torque. Navier, em seguida, realizou um estudo, em 1833, no qual foram aplicadas as 
hipóteses de Coulomb para barras de seções não circulares, o que levou a resultados 
equivocados. Posteriormente Saint-Venant apresentou, em 1855, uma retificação sobre o estudo 
de Navier, encontrando uma solução coerente para a torção em barras não circulares, levando 
em conta o empenamento da seção. 
Embora a solução apresentada por Saint-Venant apresente uma maior aplicabilidade por 
solucionar problemas de torção em barras de seções não circulares, este trabalho concentra-se 
na utilização da resolução proposta por Coulomb para barras de seção circulares. Foram 
analisadas seções não circulares utilizando-se de equações simplificadas, disponíveis na 
literatura. 
 
1.2 Justificativa 
 
“O Método dos Elementos Finitos apresenta um nível de desenvolvimento que permite a 
sua utilização pela generalidade dos projetistas de estruturas” (Azevedo, 2003). O MEF se 
mostra cada vez mais acessível ao conhecimento de engenheiros, apresentando um considerável 
crescimento no desenvolvimento de programas de modelagem de estruturas, o que o torna 
atualmente o método numérico mais utilizado em softwares de análise estrutural. Dessa forma, 
é imprescindível ao engenheiro estrutural o conhecimento do MEF. 
A escolha da torção como tema de análise da aplicação do MEF se justifica pela sua grande 
aparição em problemas na engenharia. Assim, é importante compreender os fenômenos 
relacionados à torção e buscar implementar meios eficientes para a sua análise. 
 
17 
 
1.3 Objetivos 
 
1.3.1 Objetivo geral 
 
Utilizar o Método dos Elementos Finitos para análise da torção em barras, em diferentes 
tipos de seções. 
 
1.3.2 Objetivos específicos 
 
 Apresentar formulações analíticas e numéricas que envolvem os problemas 
relacionados à torção de Coulomb; 
 Desenvolver um código computacional em linguagem Fortran para a análise do 
problema a partir da aplicação do MEF; 
 Comparar os resultados obtidos pelo algoritmo com os resultados de soluções 
analíticas e, assim, validar o código desenvolvido. 
 
1.4 Estrutura do trabalho 
 
O trabalho está dividido em seis capítulos. 
O Capítulo 2 corresponde à metodologia utilizada no desenvolvimento deste trabalho. O 
capítulo 3 compreende a apresentação dos conceitos e os desenvolvimentos utilizados para 
obtenção da formulação analítica do problema. O capítulo 4 é análogo ao capítulo 3, porém é 
referente ao desenvolvimento formulação numérica do problema. No capítulo 5 foram 
apresentados os exemplos de validação utilizados e seus resultados. Por fim, o capítulo 6 
apresenta a conclusão do trabalho com base na análise dos resultados obtidos. 
 
 
 
 
 
 
18 
 
2- METODOLOGIA 
 
Visando realizar os objetivos descritos anteriormente, o desenvolvimento deste trabalho se 
apresenta da seguinte forma: 
 Inicialmente realizou-se a revisão da literatura em relação à conceituação e aplicação do 
MEF, assim como aos efeitos dos fenômenos de torção; 
 
 Posteriormente foram apresentadas as formulações analíticas que envolvem a torção e as 
hipóteses simplificadoras para os casos em estudo; 
 
 Seguido ao tratamento analítico foi realizado o tratamento numérico a partir da aplicação 
do MEF às equações obtidas utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais; 
 
 A partir da utilização do MEF nas equações, obtiveram-se as Matrizes de Rigidez e Vetores 
de Cargas nodais equivalentes; 
 
 Com o sistema de equações desenvolvido nas etapas anteriores elaborou-se o algoritmo em 
linguagem FORTRAN para resolução dos sistemas de equação. A partir do código 
elaborado, obtiveram-se os resultados da resolução dos
problemas pelo método numérico. 
Os resultados do tratamento analítico foram plotados através do Excel para, por fim, 
possibilitar a comparação entre os dois modelos e validação do código desenvolvido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
3- FORMULAÇÃO ANALÍTICA 
 
3.1 Introdução 
 
Este capítulo visa apresentar a formulação analítica para as barras submetidas a problemas 
de torção, utilizando-se da Teoria Elementar de Coulomb no tratamento da torção em seções 
circulares e hipóteses simplificadoras para a análise da torção em tubos de parede fina e em 
barras de seção retangular. A abordagem é apresentada tomando por base o Princípio dos 
Trabalhos Virtuais (PTV), que será utilizado como base para o desenvolvimento da formulação 
numérica, apresentada no capítulo 4. 
 
3.2 Torção em barras de seção circular 
 
A análise de torção em barras de seções circulares, cheias ou vazadas, requer a 
consideração de algumas hipóteses simplificadoras para o desenvolvimento de sua formulação. 
As hipóteses são as seguintes: 
 O material do elemento é admitido como sendo homogêneo e isótropo; 
 
 As seções transversais do elemento permanecem planas após a aplicação dos 
momentos de torção, ou seja, não ocorre abaulamento ou distorção dos planos 
paralelos normais ao eixo do elemento; 
 
 As seções apresentam um giro em relação às outras sem se deformar, apresentando 
um comportamento análogo ao de corpos rígidos, com a seção mantendo-se circular 
e os raios permanecendo retos; 
 
 As distorções, γ, presentes nas seções circulares sujeitas a torção variam 
linearmente a partir do eixo central; 
 
 Em decorrência dos giros surgem tensões de cisalhamento nas seções e, admitindo 
que o material do elemento é linearmente elástico, a Lei de Hooke generalizada é 
aplicável. Assim, por consequência, segue-se que essa tensão de cisalhamento é 
proporcional à distorção. 
20 
 
Seja uma barra com seção transversal circular de raio R submetida a um torque 
conjugado T, como apresentada na Figura 2. Utilizam-se coordenadas cilíndricas x, r e θ. 
Denomina-se φ a rotação ocasionada na seção, sendo esta tida como positiva no sentido de y 
para z. 
Figura 2 - Barra circular submetida a um torque T. 
 
 Fonte: MITTELBACH, 2009. 
Considerando um elemento infinitesimal da barra solicitada, tem-se que, na direção 
longitudinal, atua a tensão de cisalhamento 𝜏𝜃𝑥 e na direção transversal atua a tensão 𝜏𝑥𝜃, como 
representado na Figura 3. Pelo teorema de Cauchy implica-se que 𝜏𝜃𝑥 = 𝜏𝑥𝜃. 
Figura 3 - Barra circular submetida a um torque T 
 
 Fonte: MITTELBACH, 2009. 
21 
 
No elemento infinitesimal isolado de comprimento 𝑑𝑥 da Figura 4, observa-se a rotação 
da seção S em relação a 𝑆0 e, a partir das hipóteses apresentadas anteriormente. 
Figura 4 - Elemento infinitesimal da barra com rotação relativa entre as seções 
 
 Fonte: MITTELBACH, 2009. 
Na periferia da seção S, tem-se: 
 𝑑𝑠 = R ∙ 𝑑𝜑 (3.1) 
Longitudinalmente no trecho de comprimento 𝑑𝑥, tem-se: 
 𝑑𝑠 = 𝛾𝑥𝜃 ∙ 𝑑𝑥 (3.2) 
 
Portanto: 
𝛾𝑥𝜃|𝑟=𝑅 ∙ 𝑑𝑥 = R ∙ 𝑑𝜑 
 𝛾𝑥𝜃|𝑟=𝑅 = 𝛾𝑚𝑎𝑥 = R ∙ 
𝑑𝜑
𝑑𝑥
 (3.3) 
Para qualquer ponto no interior do elemento, a uma distância r do eixo, tem-se: 
 𝛾𝑥𝜃 = r ∙ 
𝑑𝜑
𝑑𝑥
 (3.4) 
A partir da hipótese de uma resposta linearmente elástica do elemento, torna-se aplicável 
a lei de Hooke. 
A partir da hipótese de variação linear da deformação, partindo do centro do elemento 
e associando à consideração da proporcionalidade entre a tensão e deformação, tem-se que as 
22 
 
tensões também variam linearmente a partir do eixo central do elemento estrutural de seção 
circular. Assim, podem-se determinar as tensões de cisalhamento. 
𝜏𝑥𝜃 = G ∙ 𝛾𝑥𝜃 
 𝜏𝑥𝜃 = G ∙ r 
𝑑𝜑
𝑑𝑥
 (3.5) 
 
Figura 5- Variação da tensão em um elemento de seção circular. 
 
 Fonte: MITTELBACH, 2009. 
A partir da dedução da distribuição das tensões na seção conforme a Figura 5 e 
admitindo 𝑀𝑡 como o momento resultante das tensões de cisalhamento, tem-se: 
 
𝑀𝑡 = −∫ 𝜏𝑥𝜃 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 (3.6) 
A partir da equação 3.5, tem-se: 
 𝑀𝑡 = −∫ G 𝑟 
𝑑𝜑
𝑑𝑥
 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 = −G 
𝑑𝜑
𝑑𝑥
 ∫ 𝑟 2 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 (3.7) 
 
Onde ∫ 𝒓 𝟐 ∙ 𝒅𝑨𝑨 é o momento polar de inércia da seção transversal, sendo designado 
por 𝐽𝑃, logo: 
 𝑀𝑡 = −G 
𝑑𝜑
𝑑𝑥
 𝐽𝑃 (3.8) 
 
 𝑀𝑡 = −G 
𝜏𝑥𝜃 
𝐺𝑟
 𝐽𝑃 (3.9) 
23 
 
 
Portanto: 
 
𝜏𝑥𝜃 = −
𝑀𝑡 ∙ 𝑟
𝐽𝑝
 (3.10) 
A partir da equação (3.8), pode-se definir o ângulo de torção: 
 𝑑𝜑 = −
𝑀𝑡
𝐺∙𝐽𝑃
dx (3.11) 
Logo, integrando as duas parcelas da equação 3.11, tem-se: 
 𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑥0) = −∫
𝑀𝑡
𝐺∙𝐽𝑃
𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
 (3.12) 
 
3.3 Torção em tubos de parede fina 
 
Segundo Popov (1984), as seções vazadas de paredes com pequena espessura podem ser 
analisadas de modo relativamente simples para a determinação das tensões de cisalhamento e 
do ângulo de torção, provocados por um momento de torção aplicado ao tubo. 
Figura 6– Tubo de parede fina submetido a um torque T. 
 
 Fonte: MITTELBACH, 2009. 
A partir da Figura 6, observa-se que pode haver variação da espessura “e” ao longo da 
seção do tubo, porém esse valor é muito pequeno se comparado à dimensão radial da seção. As 
tensões de cisalhamento que surgem na seção em consequência do torque T, são consideradas 
uniformes ao longo dessa espessura. 
24 
 
Figura 7 – Elemento infinitesimal da espessura do tubo. 
 
Fonte: MITTELBACH, 2009. 
Considerando um elemento infinitesimal, abcd, de comprimento dx retirado do tubo, como 
ilustrado na Figura 7, observa-se que surgem forças resultantes das tensões longitudinais 
associadas ao teorema de Cauchy, onde: 
 𝐹1 = 𝜏1 ∙ 𝑒1 ∙ 𝑑𝑥 (3.13) 
e 
 𝐹2 = 𝜏2 ∙ 𝑒2 ∙ 𝑑𝑥 (3.14) 
Em que: 
 𝐹1 = 𝐹2 ⇒ 𝜏1 ∙ 𝑒1 = 𝜏2 ∙ 𝑒2 (3.15) 
Onde: 
F1 e F2 – forças resultantes das tensões cisalhantes; 
e1 e e2 – espessuras da parede nos planos do elemento abcd; 
τ1 e τ2 – tensões cisalhantes que surgem em consequência do torque aplicado. 
Como a distância entre os planos longitudinais de seção do elemento abcd foi considerada 
de forma arbitrária, conclui-se que a relação apresentada na equação (3.15), de que o produto 
de tensão cisalhante pela espessura da parede é constante, é válida em qualquer desses planos. 
Essa constante é designada por fluxo de cisalhamento ”f” e é definida por: 
 𝑓 = 𝜏𝑥𝜃 ∙ 𝑒 (3.16) 
Caso a espessura seja uniforme ao longo da seção, a tensão 𝜏𝑥𝜃 também o será, de 
forma que: 
25 
 
 𝑓 = 𝜏𝑚é𝑑 ∙ 𝑒 (3.17) 
 
Figura 8– Seção transversal do tubo de parede fina. 
 
 Fonte: MITTELBACH, 2009. 
Considerando um elemento ds da seção transversal do tubo, conforme indicada na Figura 
8, a força de cisalhamento total agindo nesse elemento é dado por fds, de forma que: 
 𝑑𝑀𝑡 = −𝑟𝑓𝑑𝑠 (3.18) 
Onde: 
Mt – momento referente à força de cisalhamento em torno do ponto O; 
r – distância do ponto O à tangente da linha média da parede da seção. 
O momento de torção total é obtido a partir do desenvolvimento da integração ao longo 
da linha central do perímetro da seção transversal, Lm: 
 
𝑀𝑡 = −𝑓∫ 𝑟𝑑𝑠
𝐿𝑚
0
 (3.19) 
 
É possível dar uma interpretação simples para a integral da equação (3.19). Pela Figura 8, 
observa-se que r∙ds é o dobro da área hachurada do triângulo infinitesimal, com altura r e base 
ds. Portanto, a integral representa o dobro da área total compreendida pela linha média do 
perímetro da seção transversal. Logo, tem-se: 
 𝑀𝑡 = −2𝑓𝐴𝑚 (3.20) 
Onde Am é a área interna ao perímetro médio da seção transversal. 
26 
 
O ângulo de torção por unidade de comprimento, β, é determinado pela aplicação do 
princípio da conservação de energia e é dado por: 
 
𝛽 = 
𝑑𝜑
𝑑𝑥
= −
1
4𝐴𝑚2 ∙ 𝐺
∫ 𝑀𝑡
𝑑𝑠
𝑒
𝐿𝑚
0
 (3.21)
Caso a espessura “e” e o momento "𝑀𝑡" sejam constantes, tem-se: 
 
𝛽 = −
𝑀𝑡
4𝐴𝑚2 ∙ 𝐺 ∙ 𝑒
𝐿𝑚 (3.22) 
Analogamente ao caso da seção circular tratada no item anterior, define-se a constante de 
torção da seção transversal “Jt” como: 
 
𝐽𝑡 = 
4𝐴𝑚
2
∫
𝑑𝑠
𝑒
𝐿𝑚
0
 (3.23) 
Caso a espessura “e” seja constante na seção transversal, tem-se: 
 
𝐽𝑡 = 
4𝐴𝑚
2 ∙ 𝑒
𝐿𝑚
 (3.24) 
 
3.4 Torção em barras maciças não circulares 
 
O tratamento analítico de barras não circulares submetidas a torção é um problema 
matematicamente complexo, pois grande parte das hipóteses consideradas para as seções 
circulares não se aplicam nesse caso. As seções normais ao eixo da barra não permanecem 
planas quando o momento de torção é aplicado, sofrendo uma deformação longitudinal 
chamada de empenamento. A Figura 9 ilustra o comportamento descrito. 
Figura 9 - Torção em barra de seção não circular 
 
FONTE: BEER & JOHNSTON, 2011. 
27 
 
As seções retangulares também não apresentam uma tensão de cisalhamento variando 
linearmente com a distância a partir do centro da seção transversal. Nessas seções, a tensão é 
nula nos vértices do retângulo, regiões da seção onde não há distorção, e são maiores nos pontos 
médios dos seus lados, sendo máxima no meio do lado mais longo, que é ponto periférico mais 
próximo do centro da seção. 
Figura 10 - Distribuição das tensões de cisalhamento em um eixo de seção retangular 
submetido a torção. 
 
 Fonte: SILVA FILHO, 2007. 
Apesar do complexo desenvolvimento, a solução analítica para torção em barras 
retangulares elásticas apresenta resultados simplificados para a tensão de cisalhamento máxima 
e para o ângulo de torção, sendo esses apresentados nas equações (3.25) e (3.26). 
Tensão de cisalhamento máxima: 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 
𝑀𝑇
𝛼𝑦𝑥2
 (3.25) 
Ângulo de torção: 
 
𝜑 = 
𝑀𝑇 𝐿
𝛽𝑦𝑥3𝐺
 (3.26) 
 
Onde 
𝑀𝑇 - Momento de torção aplicado; 
28 
 
L – comprimento do elemento; 
y - maior lado do retângulo; 
x - menor lado do retângulo; 
α e β – parâmetros que dependem de 
𝑦
𝑥
. 
Alguns dos valores de α e β são indicados na tabela abaixo. 
Tabela 1 – Coeficientes para eixos retangulares 
𝒚
𝒙⁄ 1,00 1,50 2,00 3,00 6,00 10,0 ∞ 
α 0,208 0,231 0,246 0,267 0,299 0,312 0,333 
β 0,141 0,196 0,229 0,263 0,299 0,312 0,333 
Fonte: POPOV, 1984. 
 
3.5 Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) 
 
O Princípio dos Trabalhos Virtuais enuncia que para um sistema estrutural em equilíbrio, 
ao se aplicar um campo de deslocamentos virtuais, o trabalho virtual correspondente às forças 
externas atuantes sobre ele é igual ao trabalho virtual das forças internas. Para isso, é necessário 
que o campo de deslocamentos virtuais seja cinematicamente admissível, ou seja, deve ser 
compatível com as vinculações do sistema e manter a sua continuidade interna e ser pequeno o 
suficiente de modo a não interferir no equilíbrio do sistema. 
Portanto: 
 𝛿𝑊𝑖 = 𝛿𝑊𝑒 (3.27) 
Onde: 
𝛿𝑊𝑖 – Trabalho virtual interno; 
𝛿𝑊𝑒 – Trabalho virtual externo; 
 
Para um caso geral, têm-se as equações genéricas para 𝛿𝑊𝑖 e 𝛿𝑊𝑒: 
29 
 
𝛿𝑊𝑖 = ∫ (𝜎𝑥𝛿𝜀𝑥𝑉 + 𝜎𝑦𝛿𝜀𝑦 + 𝜎𝑧𝛿𝜀𝑧 + 𝜏𝑥𝑦𝛿𝛾𝑥𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝛿𝛾𝑥𝑧 + 𝜏𝑦𝑧𝛿𝛾𝑦𝑧) 𝑑𝑉 
(3.28) 
𝛿𝑊𝑒 = ∫ (𝜌𝑥𝛿𝑢𝑆𝑓
+ 𝜌𝑦𝛿𝑣 + 𝜌𝑧𝛿𝑤)𝑑𝑠 + ∫ (𝐵𝑥𝛿𝑢𝑉 + 𝐵𝑦𝛿𝑣 + 𝐵𝑧𝛿𝑤)𝑑𝑉 
(3.29) 
 
 
Onde: 
𝜌𝑥, 𝜌𝑦, 𝜌𝑧 − componentes das forças de superfície que atuam na região do contorno do sólido 
(Sf) onde são prescritas forças; 
𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧 − componentes das forças de volume (peso próprio, por exemplo); 
𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 , 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧 , 𝜏𝑦𝑧 – componente de tensão; 
𝛿𝑢, 𝛿𝑣, 𝛿𝑤 − variações das componente de deslocamento (u,v,w) segundo x,y,z; 
𝛿𝜀𝑥, 𝛿𝜀𝑦, 𝛿𝜀𝑧 , 𝛿𝛾𝑥𝑦, 𝛿𝛾𝑥𝑧 , 𝛿𝛾𝑦𝑧 − variação das componentes de deformação. 
 
3.6 Trabalho Virtual Interno 
 
O trabalho virtual interno, 𝛿𝑊𝑖, é dado pelo produto entre tensão e a variação da 
deformação a ela associada. Tomando como base o sistema de coordenadas cilíndricas 
apresentadas na Figura 2 e as características do problema, tem-se que a equação (3.28) resume-
se a: 
𝛿𝑊𝑖 = ∫ (𝑉 𝜏𝑥𝜃𝛿𝛾𝑥𝜃) 𝑑𝑉 (3.30) 
 
Considerando o trecho infinitesimal dx apresentado na Figura 4 e a configuração da 
seção apresentada na Figura 5, integra-se a expressão (3.30) adotando dv = rdrdxdθ e 
empregando as equações (3.4) e (3.5). 
𝛿𝑊𝑖 = ∫ (𝑉 𝜏𝑥𝜃𝛿𝛾𝑥𝜃) 𝑑𝑉 = ∫ [𝑉 𝐺 ∙ 𝑟
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝛿(
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝑟 )] 𝑑𝑉 = 
𝛿𝑊𝑖 =∭ [𝐺 ∙ 𝑟
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝛿(
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝑟 )]
2𝜋
0
 rdθdrdx = 2π𝐺∬ [
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝛿(
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝑅
0
)] 𝑟3𝑑𝑟𝑑𝑥 = 
30 
 
𝛿𝑊𝑖 = 2π𝐺
𝑅4
4
∫ [
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝛿(
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝑙
0
)] 𝑑𝑥 (3.31) 
 
3.7 Trabalho Virtual Externo 
 
Para o problema em análise, o trabalho virtual externo, 𝛿𝑊𝑒, relacionado ao sistema de 
coordenadas polares da Figura 2, apresenta a seguinte expressão: 
𝛿𝑊𝑒 = ∫ [𝑚𝑡(𝑥) ∙ 𝛿𝜑]𝑑𝑥
𝑙
0
 (3.32) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
4- FORMULAÇÃO NUMÉRICA 
 
4.1 Introdução 
 
Este capítulo visa apresentar a formulação numérica para a análise dos problemas 
estudados. A modelagem foi desenvolvida através do Método dos Elementos Finitos (MEF), 
com base nas equações obtidas pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais apresentado no capítulo 
anterior. 
 
4.2 Método dos Elementos Finitos 
 
Conforme Azevedo (2003), o Método dos Elementos Finitos baseia-se no método dos 
deslocamentos e na discretização de uma estrutura em subestruturas. Cada uma das 
subestruturas se designa por um elemento finito com comportamento conhecido, estes são 
conectados entre si por meio de pontos em seu contorno (chamados de nós), sendo o 
comportamento do todo considerado como a soma das partes. Assim, a divisão do domínio da 
peça em elementos mais simples visa facilitar o tratamento do problema. 
 
Figura 11 - (a) Placa com um furo; (b) Placa discretizada em elementos finitos triangulares. 
 
 Fonte: FISH & BELYTSCHKO, 2007. 
 
 (a) 
 
 (b) 
 
32 
 
A aplicação do método baseia-se na avaliação das integrais relativas aos trabalhos virtuais 
interno e externo para cada elemento, de forma que, ao final do processo é considerado um 
somatório das contribuições apresentadas nos diversos trechos de subdivisão da peça. Ao se 
igualar as integrais obtidas pelos trabalhos virtuais interno e externo, obtêm-se as matrizes de 
rigidez e os vetores independentes da estrutura e aplicam-se as condições geométricas e de 
contorno, de forma que possibilite a montagem de um sistema de equações. 
A resolução do sistema de equações formado por essas matrizes e vetores irá gerar os 
resultados de deslocamento (através do ângulo de rotação φ) nos nós dos elementos. 
 
4.3 Discretização 
 
A discretização dos elementos para os casos em análise pode ser realizada tanto de forma 
uniforme, com todos os elementos apresentando o mesmo comprimento λ, como de forma não 
uniforme, onde a estrutura é dividida em trechos de diferentes comprimentos, sendo a escolha 
da forma de discretização associada às características do problema. 
 Cada elemento contém dois nós e cada um destes possui um grau de liberdade, o 
deslocamento referente à rotação “φ”, que corresponde ao ângulo do giro da seção em torno do 
seu eixo normal. 
Figura 12 – Elemento finito “i”. 
 
 Fonte: Autor, 2019. 
A discretização para o caso em estudo é mais simples por se tratar de um problema no qual 
o elemento finito é unidimensional. Sendo o número total de trechos da barra (elementos) “N”, 
33 
 
o número de nós “NN” é dado, no presente caso, por “NN=N+1”, no qual os nós são numerados 
de uma extremidade à outra da barra, conforme apresentado na Figura 13. 
Figura 13 – Estrutura discretizada. 
 
Fonte: Adaptado de Mittelbach (2007). 
 
4.4 Função de deslocamento 
 
Os deslocamentos em um
elemento são aproximados por meio de funções que dependem 
dos valores destes deslocamentos nos nós inicial e final do elemento. Estas são funções de 
interpolação em forma polinomiais em que o seu grau depende do número de deslocamentos 
nodais, do elemento, relacionados à variável em análise. Em relação à rotação, a função φ(x) 
apresenta dois deslocamentos nodais no elemento. Assim, a função de interpolação será linear. 
 𝜑(𝑥) = 𝑓𝜑1𝜑1 + 𝑓𝜑2𝜑2 (4.1) 
Onde 𝑓𝜑1 e 𝑓𝜑2 são funções lineares que dependem das condições de contorno nos nós do 
elemento. De forma que se têm: 
𝑓𝜑1(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 ⇒ 
⇒ {
𝑓𝜑1(0) = 1
𝑓𝜑1(𝜆) = 0
 
Logo: 
{
𝑎1 =
−1
𝜆⁄
𝑏1 = 1 
 ⇒ 𝑓𝜑1(𝑥) = −
𝑥
𝜆
+1 
Da mesma forma: 
𝑓𝜑2(𝑥) = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 ⇒ 
34 
 
⇒ {
𝑓𝜑2(0) = 0
𝑓𝜑2(𝜆) = 1
 
Logo: 
{
𝑎2 =
1
𝜆⁄
𝑏2 = 0 
 ⇒ 𝑓𝜑2(𝑥) =
𝑥
𝜆
 
Portanto: 
 𝜑(𝑥) = (−
𝑥
𝜆
+ 1)𝜑1 + 
𝑥
𝜆
𝜑2 (4.2) 
e 
 𝑑𝜑
𝑑𝑥
= −
1
𝜆
𝜑1 + 
1
𝜆
𝜑2 (4.3) 
 
4.5 Matriz de Rigidez 
 
Substituindo a função do deslocamento e sua derivada obtidas na equação (3.31), têm-se: 
𝛿𝑊𝑖
𝑒𝑙𝑒𝑚
 = 2π𝐺
𝑅4
4
∫ [
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝛿(
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝑙
0
)] 𝑑𝑥 ⇒ 
 𝛿𝑊𝑖
𝑒𝑙𝑒𝑚
 = 2π𝐺
𝑅4
4
∫ [(−
𝜑1
𝜆
+
𝜑2
𝜆
)𝛿(−
𝜑1
𝜆
+
𝜑2
𝜆
𝜆
0
)] 𝑑𝑥 ⇒ 
𝛿𝑊𝑖
𝑒𝑙𝑒𝑚
 = 2π𝐺
𝑅4
4
∫ [(
𝜑1∙𝛿𝜑1
𝜆2
−
𝜑1∙𝛿𝜑2
𝜆2
−
𝜑2∙𝛿𝜑1
𝜆2
+
𝜑2∙𝛿𝜑1
𝜆2
𝜆
0
)] 𝑑𝑥 
Resolvendo a integral, obtém-se: 
𝛿𝑊𝑖
𝑒𝑙𝑒𝑚
 = 2π𝐺
𝑅4
4
(
𝜑1∙𝛿𝜑1
𝜆
−
𝜑1∙𝛿𝜑2
𝜆
−
𝜑2∙𝛿𝜑1
𝜆
+
𝜑2∙𝛿𝜑1
𝜆
) ⇒ 
𝛿𝑊𝑖
𝑒𝑙𝑒𝑚
 = 2π
𝑅4
4
𝐺 [
1
𝜆⁄ −
1
𝜆⁄
−1 𝜆⁄ 
1
𝜆⁄
] {
𝜑1
𝜑2
} ⇒ 
 𝛿𝑊𝑖
𝑒𝑙𝑒𝑚
 = 2π
𝑅4
4 𝜆
𝐺 [
1 −1
−1 1
] {
𝜑1
𝜑2
} (4.4) 
 
35 
 
A partir da equação (4.4) tem-se que a Matriz de Rigidez local do elemento finito é: 
[𝑘]𝑒 = [
2π
𝑅4
4 𝜆
𝐺 −2π
𝑅4
4 𝜆
𝐺
−2π
𝑅4
4 𝜆
𝐺 2π
𝑅4
4 𝜆
𝐺
] 
 
4.6 Vetor de Cargas 
 
Para os carregamentos distribuídos ao longo do elemento são determinadas cargas nodais 
equivalentes. 
Figura 14 – Cargas nodais equivalentes do carregamento distribuído. 
 
 Fonte: AUTOR, 2019. 
Considerando que o carregamento distribuído assume uma configuração linear, tem-se: 
 𝑚𝑡(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (4.5) 
Onde: 
mt(x) – equação que descreve o comportamento do carregamento distribuído; 
a e b – constantes. 
 
 
 
36 
 
Nos nós são assumidas as seguintes condições: 
x = 0 ⇒ 𝑚𝑡(𝑥) = 𝑚𝑡1 
x = λ ⇒ 𝑚𝑡(𝑥) = 𝑚𝑡2 
Portanto: 
 b = 𝑚𝑡1 (4.6) 
 
 
a = 
𝑚𝑡2− 𝑚𝑡1
𝜆
 (4.7) 
Logo: 
𝑚𝑡(𝑥) = (
𝑚𝑡2− 𝑚𝑡1
𝜆
) 𝑥 + 𝑚𝑡1 ⇒ 
 𝑚𝑡(𝑥) = (1 −
𝑥
𝜆
)𝑚𝑡1 + (
𝑥
𝜆
)𝑚𝑡2 (4.8) 
 
Substituindo as equações (4.8) e (4.2) na equação (3.32) para o desenvolvimento da 
integral referente ao trabalho virtual externo, obtêm-se as parcelas de cargas nodais 
equivalentes. 
𝛿𝑊𝑒 = ∫ [𝑚𝑡(𝑥) ∙ 𝛿𝜑]𝑑𝑥
𝑙
0
 ⇒ 
𝛿𝑊𝑒 = ∫ {[𝑚𝑡1 (1 −
𝑥
𝜆
) + 𝑚𝑡2 (
𝑥
𝜆
)] ∙ 𝛿 [𝜑1 (1 −
𝑥
𝜆
) + 𝜑2 (
𝑥
𝜆
)]} 𝑑𝑥
𝜆
0
 ⇒ 
𝛿𝑊𝑒 = ∫ [𝑚𝑡1𝛿𝜑1 (1 −
𝑥
𝜆
)
2
+𝑚𝑡1𝛿𝜑2 (1 −
𝑥
𝜆
) (
𝑥
𝜆
) + 𝑚𝑡2𝛿𝜑1 (
𝑥
𝜆
) (1 −
𝑥
𝜆
)
𝜆
0
+𝑚𝑡2𝛿𝜑2 (
𝑥
𝜆
)
2
] 𝑑𝑥 
Resolvendo a integral, tem-se: 
𝛿𝑊𝑒 = [𝑚𝑡1𝛿𝜑1 (𝜆 − 𝜆 +
𝜆
3
) + 𝑚𝑡1𝛿𝜑2 (
𝜆
2
−
𝜆
3
) + 𝑚𝑡2𝛿𝜑1 (
𝜆
2
−
𝜆
3
) +
𝑚𝑡2𝛿𝜑2 (
𝜆
3
)] ⇒ 
37 
 
 𝛿𝑊𝑒 = [𝑚𝑡1𝛿𝜑1 ∙
𝜆
3
+𝑚𝑡1𝛿𝜑2 ∙
𝜆
6
+𝑚𝑡2𝛿𝜑1 ∙
𝜆
6
+ 𝑚𝑡2𝛿𝜑2 ∙
𝜆
3
] (4.9) 
 
A partir da equação (4.9) tem-se que o vetor de cargas nodais equivalentes do elemento finito 
é: 
{𝑐} = 
{
 
 
𝑚𝑡1𝜆
3
+ 
𝑚𝑡2𝜆
6
𝑚𝑡1𝜆
6
+ 
𝑚𝑡2𝜆
3 }
 
 
 
 
4.7 Montagem da Matriz de Rigidez Global 
 
A matriz de rigidez global refere-se à toda a estrutura e é construída a partir superposição 
das contribuições de deslocabilidades coincidentes em dois trechos consecutivos da 
discretização. Usando como exemplo os dois primeiros elementos de uma suposta discretização 
para o caso em estudo, têm-se que o primeiro elemento finito contribui para as deslocabilidades 
globais 𝜑1 e 𝜑2 enquanto o segundo elemento finito contribui para as deslocabilidades globais 
𝜑2 e 𝜑3, assim, as contribuições do primeiro elemento para a deslocabilidade 𝜑2 devem ser 
somadas às contribuições do segundo elemento para essa mesma deslocabilidade. Esse processo 
deve ser realizado ao longo de toda a estrutura de forma que passe por todos os elementos, 
como genericamente ilustrado na Figura 15. 
Como as matrizes de rigidez dos elementos são de tamanho 2x2 e entre elementos 
subsequentes há a superposição de um elemento da matriz, a matriz de rigidez global será (NN) 
x (NN). 
 
 
 
 
 
38 
 
Figura 15 – Montagem da matriz de rigidez global. 
 
 Fonte: MITTELBACH, 2007. 
 
4.8 Montagem do Vetor de Cargas Global 
 
O vetor de cargas global será composto pela soma entre os vetores de cargas nodais 
equivalentes apresentados no item 4.6 deste capítulo e o vetor de forças nodais aplicadas. A 
montagem desse vetor é realizada, de forma análoga à da matriz global. Como entre dois 
elementos subsequentes há a sobreposição das contribuições sobre o nó comum a eles, tem-se 
que o vetor apresentará (NN) elementos. A montagem do vetor global encontra-se ilustrada na 
Figura 16. 
 
 
 
 
39 
 
Figura 16– Montagem do vetor de cargas global. 
 
 Fonte: Adaptado de MITTELBACH, 2007. 
 
4.9 Sistemas de Equações e Condições de Contorno 
Após a montagem da matriz de rigidez global [K] e do vetor de cargas global [F], chega-se 
ao sistema de equações lineares [K][U] = [F], como ilustrado na Figura 17. 
Figura 17 – Representação da montagem do sistema de equações lineares. 
 
 Fonte: Adaptado de MITTELBACH, 2007. 
40 
 
Em seguida, deve-se aplicar as condições de contorno do problema. Essas condições 
consistem na determinação prévia de determinados deslocamentos a partir da vinculação 
externa, o que reduz o número de incógnitas do sistema, que é indeterminado por apresentar 
um número de variáveis maior que o número de equações, tornando possível a sua resolução. 
As condições de contorno são introduzidas no sistema de equações através da técnica dos “zeros 
e uns”. A técnica consiste na modificação do vetor de forças e da matriz de rigidez global a 
partir das informações referentes aos deslocamentos prescritos. Para um nó “i” no qual a 
deslocabilidade é prescrita, o termo Kii da diagonal principal da matriz de rigidez global é 
igualado a 1 e os demais termos na mesma linha e coluna recebem o valor 0. No vetor de carga, 
o elemento Fi, referente ao nó com a deslocabilidade, recebe o valor desse deslocamento (Δi) e 
nas demais linhas se subtrai o valor de Kij Δi. Após a aplicação da técnica, utiliza-se o método 
de Gauss para a resolução do sistema e obtenção, por consequência, dos valores dos 
deslocamentos nodais. 
 
4.10 Código Computacional 
 
O algoritmo elaborado para a análise numérica foi realizado no software PLATO, que 
consiste em um compilador de linguagem FORTRAN 95, linguagem bastante utilizada na 
solução de problemas tratados a partir do Método dos Elementos Finitos. A Figura 18 apresenta 
um exemplo de arquivo de entrada para utilização do código e a Figura 19 apresenta o arquivo 
de saída gerado após o processamento do algoritmo. 
41 
 
Figura 18 - Arquivo de entrada para utilização do algoritmo. 
 
 Fonte: Autor, 2019. 
 
Figura 19 - Arquivo de saída com os resultados gerados pelo algoritmo. 
 
 Fonte: Autor, 2019. 
42 
 
5- EXEMPLOS E RESULTADOS 
 
5.1 Introdução 
 
Este capítulo visa demonstrar a validade do algoritmo desenvolvido, procurando verificar a 
sua eficácia através da comparação entre os resultados obtidos da análise numérica pelo Método 
dos Elementos Finitos e as soluções encontradas a partir do estudo analítico, conforme hipóteses 
simplificadoras apresentadas. 
Serão apresentados 7 exemplos utilizando barras constituídas por um material
homogêneo 
e isotrópico, como apresentado nas hipóteses do capítulo 3. Nos dois primeiros exemplos o 
algoritmo é testado para barras de seção transversal circular, com carregamento concentrado e 
distribuído. Os dois exemplos seguintes buscam verificar o algoritmo para tubos de paredes 
finas e, por fim, os três últimos exemplos visam testar o algoritmo para as barras de seção 
retangular. 
As discretizações foram realizadas de modo que se obtivessem respostas dentro de uma 
margem de erro de até 2%. O erro relativo foi calculado conforme a expressão abaixo: 
 
𝐸𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜% = (
|𝑑𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜 − 𝑑𝑀𝐸𝐹|
𝑑𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜
) ∙ 100% (5.1) 
 
5.2 Exemplo 1 
 
Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra biengastada de seção circular 
constante por trechos, submetida a um carregamento concentrado “T”, conforme ilustra a Figura 
20. 
 
 
 
43 
 
Figura 20 - Barra de seção circular, biengastada, submetida a um momento torçor 
concentrado. 
 
 Fonte: Autor, 2019. 
Onde: 
T = 250kNcm; 
rAB = rBC = 3 cm = 0,03m; 
rCD = 2 cm = 0,02m; 
G = 80GPa. 
O primeiro exemplo consiste em um problema estaticamente indeterminado, onde a 
compatibilidade se dá através do ângulo de giro. A aplicação do MEF acontece de forma 
simples, com o número de discretizações necessárias sendo igual a o número de trechos com 
características diferentes, pois o vetor força será composto apenas pelo momento concentrado 
e pelas reações de apoio, que são aplicadas diretamente no sistema de equações. Assim, a peça 
será dividida em 3 trechos, sendo o primeiro trecho do engaste no ponto A até o ponto de 
aplicação da força externa em B, o segundo trecho de B a C e o terceiro trecho de C a D, onde 
ocorre uma mudança no raio da seção transversal da barra. Os valores encontrados pelo MEF 
para a rotação ao longo da barra são totalmente convergentes com os resultados analíticos, 
apresentando, assim, um 𝐸𝑟𝑒𝑙% = 0. 
 
 
 
44 
 
Tabela 2 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 1. 
Método 𝜑𝑚á𝑥 (rad) 𝐸𝑟𝑒𝑙% 
Analítico 0,0073043 - 
MEF 0,0073403 0,00% 
 Fonte: Autor, 2019. 
 
Gráfico 1 - Exemplo 1: barra biengastada com seção circular e momento torçor concentrado. 
 
 Fonte: Autor, 2019. 
 
5.3 Exemplo 2 
 
Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra de seção circular com uma 
extremidade engastada e outra livre, submetida a um carregamento uniformemente distribuído, 
conforme a Figura 21. 
 
 
 
 
 
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0
0
,0
5
0
,1
0
,1
5
0
,2
0
,2
5
0
,3
0
,3
5
0
,4
0
,4
5
0
,5
0
,5
5
0
,6
0
,6
5
0
,7
0
,7
5
0
,8
0
,8
5
0
,9
0
,9
5
R
o
ta
çã
o
 (
ra
d
)
x (m)
φanalitico φMEF
45 
 
Figura 21 - Barra de seção circular submetida a um carregamento uniforme. 
 
Fonte: Adaptado de Mittelbach, 2009. 
Onde: 
Comprimento ( l ) = 1,0 m; 
Momento de torção distribuído ( t ) = 50kNm/m; 
G = 80GPa; 
r = 0,04 m. 
Para o exemplo em questão foram utilizadas 10 divisões na barra para o uso do MEF. 
Devido às características do problema, o método numérico apresentou uma convergência exata 
em relação ao método analítico, no qual os valores de deslocamento para todos os nós 
apresentaram um erro relativo de 0,00%. 
Tabela 3 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 2. 
Método 𝜑𝑚á𝑥 (rad) 𝐸𝑟𝑒𝑙% 
Analítico 0,077712375 - 
MEF 0,077712375 0,00% 
Fonte: Autor, 2019. 
 
 
 
46 
 
Gráfico 2 - Exemplo 2: barra engastada com seção circular. 
 
 Fonte: Autor, 2019. 
 
5.4 Exemplo 3 
Neste exemplo foi analisado o comportamento de um tubo de parede fina, retangular, com 
uma extremidade engastada e outra livre, submetida a carregamentos concentrados de momento 
torçor, conforme as Figuras 22 e 23. 
Figura 22 - Tubo de parede fina, retangular, submetida a momentos concentrados. 
 
 Fonte: PALIGA (2014). 
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
R
o
ta
çã
o
 (
ra
d
)
ϕMEF ϕanalítico
47 
 
Figura 23 – Seção transversal do tubo de parede fina retangular. 
 
 Fonte: PALIGA (2014). 
Onde G = 38GPa. 
De forma análoga ao exemplo 1, a aplicação do MEF acontece de forma direta, com o 
número de discretizações necessárias igual ao número de trechos com características diferentes. 
A peça pode ser dividida em dois trechos, sendo a primeira do engaste E ao ponto de aplicação 
do momento carregado em D e o segundo elemento entre os pontos D e C. A seguir encontra-
se apresentado um gráfico com uma discretização para 20 elementos a fim de se observar a 
deformação ϕ ao longo do comprimento do tubo. Os valores encontrados pelo MEF para a 
rotação ao longo do tubo são totalmente convergentes com os resultados analíticos, 
apresentando, assim, um 𝐸𝑟𝑒𝑙% = 0. 
Tabela 4 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 3. 
Método 𝜑𝑚á𝑥 (rad) 𝐸𝑟𝑒𝑙% 
Analítico 0,00625988 - 
MEF 0,00625988 0,00% 
 Fonte: Autor, 2019. 
 
48 
 
Gráfico 3 - Exemplo 3: tubo de parede fina engastado. 
 
 Fonte: Autor, 2019. 
 
5.5 Exemplo 4 
Neste exemplo foi analisado o comportamento de um tubo de parede fina, retangular, com 
uma extremidade engastada e outra livre, submetida a um carregamento uniformemente 
distribuído de momento torçor, conforme a Figura 24. 
Figura 24 - Tubo de parede fina, retangular, submetida a momento torçor uniformemente 
distribuído. 
 
 Fonte: Autor, 2019. 
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
R
o
ta
çã
o
 (
ra
d
)
ϕanalítico ϕMEF
49 
 
A seção transversal do tubo é a mesma apresentada na Figura 23, do exemplo anterior, 
e: 
G = 38 GPa; 
t = 30 N.m/m. 
Para o exemplo em questão foram utilizadas 20 divisões de trechos no tubo para o uso 
do MEF. De forma análoga ao segundo exemplo, o método numérico apresentou uma 
convergência exata em relação ao método analítico, no qual os valores de deslocamento para 
todos os nós apresentaram um erro relativo de 0,00%. 
Tabela 5 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 4. 
Método 𝜑𝑚á𝑥 (rad) 𝐸𝑟𝑒𝑙% 
Analítico 0,004553 - 
MEF 0,004553 0,00% 
Fonte: Autor, 2019. 
 
Gráfico 4 - Exemplo 4: deslocamento no tubo de parede fina engastado, com carregamento 
distribuído. 
 
 Fonte: Autor, 2019. 
 
 
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0,0045
0,005
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
R
o
ta
çã
o
 (
ra
d
)
ϕMEF ϕanalítico
50 
 
5.6 Exemplo 5 
 
Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra de seção retangular com uma 
extremidade engastada e outra livre, submetida a um momento torçor concentrado, conforme a 
Figura 25. 
Figura 25– Barra engastada com seção retangular 
 
 Fonte: PALIGA, 2014. 
 
Onde: 
T = 1,77 kNm; 
G = 26 GPa. 
 
De forma análoga aos exemplos 1 e 3, a aplicação do MEF acontece de forma direta, com 
o número de discretizações necessárias igual ao número de trechos com características 
diferentes. Abaixo está apresentado um gráfico com uma discretização para 10 elementos a fim 
de se observar a deformação ϕ ao longo do comprimento do tubo. Os valores encontrados pelo 
MEF para a rotação ao longo do tubo são totalmente convergentes com os resultados analíticos, 
apresentando, assim, um 𝐸𝑟𝑒𝑙% = 0. 
 
51 
 
Tabela 6 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 5. 
Método 𝜑𝑚á𝑥 (rad) 𝐸𝑟𝑒𝑙% 
Analítico 0,15926 - 
MEF 0,15926 0,00% 
Fonte: Autor, 2019. 
 
Gráfico 5 - Exemplo 5: deslocamento na barra de seção retangular. 
 
Fonte: Autor, 2019. 
 
5.7 Exemplo 6 
 
Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra de seção retangular com uma 
extremidade engastada e outra livre, conforme a Figura 25 do exemplo anterior,
porém 
submetida a um momento torçor uniformemente distribuído. 
 Onde: 
Momento torçor uniformemente distribuído (t) = 1,18 kN.m/m; 
G = 26 GPa. 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3
R
o
ta
çã
o
 (
ra
d
)
X (m) ϕanalitico ϕMEF
52 
 
Para o exemplo em questão foram utilizadas 10 divisões de trechos na seção para o uso 
do MEF. De forma análoga aos segundo e quarto exemplos, o método numérico apresentou 
uma convergência exata em relação ao método analítico. 
Tabela 7 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 6. 
Método 𝜑𝑚á𝑥 (rad) 𝐸𝑟𝑒𝑙% 
Analítico 0,15926 - 
MEF 0,15926 0,00% 
Fonte: Autor, 2019. 
 
Gráfico 6 - Exemplo 6: deslocamento na barra de seção retangular, com carregamento 
distribuído. 
 
 Fonte: Autor,2019. 
 
5.8 Exemplo 7 
 
Neste exemplo foi analisado o comportamento de uma barra de seção retangular com uma 
extremidade engastada e outra livre, conforme a Figura 25 do Exemplo 5, porém submetida a 
um momento torçor linearmente distribuído. 
 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3
R
o
ta
çã
o
 (
ra
d
)
ϕMEF ϕanalitico
53 
 
Onde: 
Momento torçor inicial (mt1) = 0,50 kN.m/m; 
Momento torçor final (mt2) = 1,00 kN.m/m; 
G = 26 GPa. 
Para este exemplo foram utilizadas 10 divisões de trechos na seção para o uso do MEF. 
De forma análoga ao exemplo com carregamento uniformemente distribuído, o método 
numérico apresentou uma convergência exata em relação ao método analítico. 
Tabela 8 – Deslocamento máximo pelos dois métodos para o exemplo 7. 
Método 𝜑𝑚á𝑥 (rad) 𝐸𝑟𝑒𝑙% 
Analítico 0,112473 - 
MEF 0,112473 0,00% 
Fonte: Autor, 2019. 
 
Gráfico 7- Exemplo 7: deslocamento na barra de seção retangular, com carregamento 
linearmente distribuído. 
 
 Fonte: Autor,2019. 
 
 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3
R
o
ta
çã
o
 (
ra
d
)
φmef φanalitico
54 
 
6- CONCLUSÃO 
 
Este trabalho teve como motivação desenvolver um código computacional, utilizando o 
Método dos Elementos Finitos, para a análise de problemas relacionados à torção em barras de 
seção circular, tubos de paredes delgadas e seções retangulares. A partir dos conceitos teóricos 
desenvolvidos e dos exemplos apresentados, pode-se concluir que o código foi totalmente 
validado, uma vez que os resultados analíticos e numéricos convergiram totalmente, tanto para 
estruturas com carregamento concentrado quanto para o valor estruturas com carregamento 
distribuído. 
Deve-se enfatizar que para os problemas de torção aqui apresentados são considerados 
elementos finitos unidimensionais que apresentam apenas uma variável de deslocamento por 
nó, o que resultou na precisão das respostas para a análise numérica. De fato, quando se 
considera problemas com estas características, a utilização do método não tem grande interesse 
prático devido à facilidade de utilização das formulações analíticas, porém esse 
desenvolvimento numérico serve como uma introdução à sua utilização em problemas mais 
complexos. Além disso, como o algoritmo apresenta resultados acurados, este se apresenta 
como uma forma rápida de checagem para desenvolvimentos de exemplos por meio analítico. 
Assim sendo, como sugestão de continuidade deste trabalho, tem-se: 
 Implementar no código a apresentação do cálculo dos esforços; 
 A análise de problemas de barras compostas por mais de um material na sua seção 
transversal; 
 A aplicação desse método numérico para os problemas de torção de Saint-Venant, 
considerando, além do deslocamento rotacional, as deformações longitudinais que 
ocorrem sobre as seções transversais das barras não circulares. 
 
 
55 
 
7- REFERÊNCIAS 
 
AZEVEDO, A. F. M. Método dos Elementos Finitos. 1. ed. Faculdade de Engenharia da 
Universidade do Porto. Porto – Portugal, 2003. 
BEER, F. P.; JONHSTON, E. R. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. 
FISH, J.; BELYTSCHKO, T. A First Course in Finite Elements.1. ed. Chischester, 
Inglaterra: Wiley, 2007. 
MITTELBACH, F. R. Método das diferenças finitas energéticas na análise dinâmica de 
problemas axissimétricos de placas delgadas e espessas. 122 f. Tese – COPPE, Universidade 
Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2007. 
MITTELBACH, F. R. Torção - Notas de aula. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. 
Natal, 2009. 
PALIGA, A. R. Torção – Notas de aula. Universidade Federal de Pelotas. Pelotas, 2014. 
POPOV, E. P. Resistência dos materiais. 2 Ed. Rio de Janeiro. Prentice-Hall do Brasil, 1984. 
SANTOS, A. P. F. Aprimoramento de formulação do MEF para barra geral laminada 
tridimensional pela consideração da cinemática de empenamento para seção qualquer. 
2008. 226 f. Dissertação – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 
São Carlos, 2008. 
SILVA FILHO, J. J. H. Reforço à torção de vigas de concreto armado com compósitos de 
fibras de carbono. 277 f. Tese – Pontífica Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de 
Janeiro, 2007. 
SILVA, V. M. A. Análise estática e dinâmica de cascas cilíndricas axissimétricas pelo 
método dos elementos finitos. Trabalho de conclusão de curso. Universidade Federal do Rio 
Grande do Norte. Natal, 2018. 
TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Theory of Elasticity. 3. ed. McGraw-Hill, 1979.