FlavioGD-DISSERT

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA 
ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE VETORIAL PARA VELOCIDADE DE UM MOTOR 
DE INDUÇÃO TRIFÁSICO UTILIZANDO ESTIMADOR 
FILTRO DE KALMAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLÁVIO GONÇALVES DANTAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Natal, RN – Brasil 
Agosto / 2011 
ii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção de Informação e Referência 
 
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dantas, Flávio Gonçalves 
Controle vetorial para velocidade de um motor de indução trifásico utilizando 
estimador filtro de Kalman / Flávio Gonçalves Dantas. – Natal, RN, 2011. 
 56 f.; il. 
 
 Orientador: Andres Ortiz Salazar. 
 
 Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro 
de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. 
 
 1. Controle vetorial – Dissertação. 2. Motor de indução trifásico – Dissertação. 
3. Estimador – Dissertação. 4. Filtro de Kalman – Dissertação. 5. Controle de 
velocidade sensorless – Dissertação. I. Salazar, Andres Ortiz. II. Universidade 
Federal do Rio Grande do Norte. III. Título. 
 
 
RN/UF/BCZM CDU 681,5 
iii 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
CONTROLE VETORIAL PARA VELOCIDADE DE UM 
MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO UTILIZANDO 
ESTIMADOR FILTRO DE KALMAN 
 
FLÁVIO GONÇALVES DANTAS 
 
Orientador: Prof. Dr. Sc. Andres Ortiz Salazar – UFRN – CT – DCA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Natal, RN – Brasil 
Agosto / 2011 
Dissertação submetida ao corpo docente da 
Coordenação do Programa de Pós-Graduação em 
Engenharia Elétrica da UFRN (Área de concentração: 
Automação e Sistemas) como parte integrante dos 
requisitos para obtenção do título de Mestre em 
Engenharia Elétrica. 
iv 
 
FLÁVIO GONÇALVES DANTAS 
 
 
 
CONTROLE VETORIAL PARA VELOCIDADE DE UM 
MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO UTILIZANDO 
ESTIMADOR FILTRO DE KALMAN 
 
 
Dissertação submetida ao corpo docente da Coordenação do Programa de 
Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do 
Norte como parte integrante dos requisitos necessários para a obtenção do título de 
Mestre em Engenharia Elétrica. 
 
 Aprovado por: 
 
 
 
___________________________________________________________ 
Prof. Andres Ortiz Salazar, D.Sc.(UFRN) - Orientador 
 
 
 
___________________________________________________________ 
Prof. Jose Andres Santisteban Larrea, D.Sc.(UFF-RJ) - Examinador Externo 
 
 
 
___________________________________________________________ 
Prof. André Laurindo Maitelli, D.Sc.(UFRN) 
 
 
 
 
 
Natal, RN – Brasil 
Agosto / 2011 
v 
 
________________________________________ 
 
Agradecimentos 
 
________________________________________ 
Ao Deus Pai Criador, entrego os meus mais jubilosos louvores de gratidão! A Ele 
dou graças por mais essa grande conquista. 
 
Ao Mestre dos mestres, Filho de Deus, Senhor e Salvador, Jesus Cristo. 
 
Ao Consolador de todas as horas, Espírito Santo. 
 
À minha querida e amada esposa, Sara Liziany, por todo seu amor e dedicação. 
 
Aos meus pais Fernandes e Severina, meus irmãos Flademir e Fernanda, meus 
sogros Francisco Júnior e Maria das Dores, meu cunhado Joás Letelier, e aos meus 
demais familiares, por sempre acreditarem que seria possível alcançar esse ideal. 
 
Ao Professor Andres Ortiz Salazar, por sua orientação, confiança e paciência. 
 
Aos Professores Rasiah Ladchumananandasivam e Marcos Silva, pelo incentivo e 
apoio, além do Superintendente de Infraestrutura da UFRN, Gustavo Rosado, pela 
compreensão e apoio. 
 
Aos meus estimados amigos e irmãos em Cristo, em especial a Emanuel Jônatas, 
Emerson Natã, Isaque Leonardo e Fábio Barbosa, além de todos aqueles que se 
lembram de mim em suas orações. 
 
E aos companheiros da pós-graduação que pesquisam no LAMP e no LECA pela 
colheita e partilha do conhecimento. 
vi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aos meus amados pais, Fernandes e Severina, e meus irmãos; 
 À minha adorável esposa, Sara Liziany. 
 
“Porque Deus amou o mundo de tal maneira que deu seu Filho unigênito, para que 
todo aquele que nele crê não pereça, mas tenha a vida eterna.” João 3.16 
vii 
 
________________________________________ 
 
Sumário 
 
________________________________________ 
Sumário Vii 
Lista de Figuras e Tabelas ix 
Lista de Símbolos xi 
Resumo xiii 
Capítulo 1 - Introdução 1 
 1.1. Estimação de Velocidade 2 
 1.2. Objetivos da Dissertação 2 
1.3. Organização da Dissertação 3 
Capítulo 2 - Modelagem do Motor de Indução Trifásic o 4 
2.1. Introdução 4 
2.2. Equações do Motor de Indução Trifásico 6 
2.3. Transformação αβ 8 
2.4. Transformação d q− 12 
2.5. Modelo Vetorial do Motor Orientado pelo Fluxo do Rotor 16 
2.6. Conclusões 18 
 Capítulo 3 - Filtro de Kalman (KF) 20 
3.1. Introdução 20 
3.2. Definição Matemática do Filtro de Kalman (KF) 21 
3.3. Estimador Filtro de Kalman (KF) 22 
viii 
 
3.4. Discretização do Estimador Filtro de Kalman (KF) 24 
 3.5. Conclusões 26 
 Capítulo 4 - Filtro de Kalman Estendido (EKF) 27 
 4.1. Introdução 27 
4.2. Estimador Filtro de Kalman Estendido (EKF) 28 
4.3. Conclusões 32 
Capítulo 5 - Estimação de Grandezas do Motor de Indução Trifásico 
Utilizando o Algoritmo Filtro de Kalman Estendido 34 
 5.1. Introdução 34 
5.2. Discretização do Modelo do Motor 34 
5.3. Conclusões 39 
 Capítulo 6 - Resultados Obtidos 40 
6.1. Introdução 40 
6.2. Parâmetros do Motor 40 
6.3. Inicialização das Matrizes do EKF 41 
6.4. Projeto Proposto para Simulação 42 
6.5. Resultados da Simulação 46 
6.6. Conclusões 50 
 Capítulo 7 - Conc lusões Finais 51 
7.1. Trabalhos Futuros 52 
 Referências Bibliográficas 53 
ix 
 
________________________________________ 
 
Lista de Figuras e Tabelas 
 
________________________________________ 
Figura Pág. 
2.1 Esquema elétrico do motor de indução trifásico 6 
2.2a Máquina trifásica simétrica 9 
2.2b Máquina equivalente de duas fases simétricas 9 
2.3 
Seção transversal do motor de indução com enrolamentos 
bifásicos 
9 
2.4 Representação vetorial de uma grandeza elétrica do motor 10 
2.5 Referência estacionária, transformação de eixos a-b-c para αβ 13 
2.6 
Transformação da referência estacionária αβ para referência 
de rotação síncrona d q− 
15 
2.7 As correntes do motor nos diferentes referenciais abordados 16 
3.1 O ciclo contínuo do Filtro de Kalman discreto 25 
3.2 
Um quadro completo da operação do Filtro de Kalman, 
combinando o diagrama de alto-nível com as equações de 
(3.13) à (3.17) 
26 
4.1 
Um quadro completo da operação do EKF, combinando o 
diagrama de alto-nível com as equações de (4.21) a (4.25) 
32 
5.1 Estrutura do Sistema de Controle do EKF 38 
6.1 Projeto utilizado para simulação 43 
6.2 Estrutura interna do bloco “Inversor a IGBT” 42 
x 
 
6.3 Estrutura interna do bloco “Controle de Pulsos” 44 
6.4 
Comparação da velocidade pelo Sistema de Controle Escalar 
(Referência) com a velocidade do Controle Vetorial EKF 
(Velocidade Estimada) com aumento de carga 
47 
6.5 
Comparação das correntes de campo e quadratura do Controle 
Escalar (Referência) com as correntes de campo e quadratura 
do Controle Vetorial EKF (Estimada) sem aumento de carga 
48 
6.6 
Comparação do torque do Sistema de Controle Escalar 
(Referência) com o torque do Controle Vetorial EKF(Estimada) 
sem aumento de carga 
49 
6.7 
Comparação da velocidade do Sistema de Controle Escalar 
(Referência) com a velocidade do Controle Vetorial EKF 
(Velocidade Estimada) com aumento de carga 
49 
 
 Tabela Pág. 
6.1 Parâmetros do motor usado na simulação 41 
 
 
xi 
 
________________________________________ 
 
Lista de Símbolos 
 
________________________________________ 
Símbolo 
 
Descrição 
 
δ 
Defasagem angular entre o enrolamento da fase “a” do 
estator e a fase “a” do rotor 
φ Defasagem angular no referencial genérico 
αβ Coordenadas Bifásicas 
d q− Eixos direto e quadratura 
si e ri Corrente do estator e do rotor 
sV e rV Tensão do estator e do rotor 
sR e rR Resistências de estator e de rotor por fase 
sλ e rλ Fluxo de enlace do estator e rotor 
θω Velocidade angular do referencial genérico 
mecω e ˆmecω Velocidade angular do rotor medida e estimada 
mrω 
Velocidade angular referente à corrente de magnetização 
do rotor 
LH Indutância de mútua entre enrolamentos de estator e rotor 
Ls e Lr Indutâncias próprias do estator e do roto por fase 
Te Torque Eletromagnético 
Kd Coeficiente de atrito dinâmico 
np Número de pares de pólos 
J Momento de inércia do rotor 
ml Carga constante imposta ao motor 
σ Fator de dispersão 
Ts Constante de tempo do estator 
Tr Constante de tempo do rotor 
KF Filtro de Kalman 
EKF Filtro de Kalman Estendido 
xii 
 
( )v k e ( )w k Ruídos do processo e da medida 
( )x k e ( )z k Vetores de medida e estado atuais 
( )x kɶ e ( )z kɶ Vetores de medida e estado aproximados 
ˆ( )x k Estimativa de estado anterior 
ˆ( 1)x k + Estimativa de estado atual 
( )y k e ˆ( )y k Valores das saídas reais e estimadas 
( )u k e ˆ( )u k Valores das entradas de controle reais e estimados 
A, B e C Matrizes de relações do Filtro de Kalman 
Ad, Bd e Cd Matrizes de relação A e B discretizadas 
R Matriz de ruídos de medição 
Q Matriz de ruídos de estados 
P Matriz de covariância 
K Matriz ganho de Kalman 
T Intervalo de amostragem 
( )x ke e ( )z ke Erro de processo e de medida 
( )ˆx ke e ( )ˆz ke Erro estimado de processo e de medida 
si
�
 e ri
�
 Vetor de correntes do estator e do rotor 
sV
�
 e rV
�
 Vetor de corrente de estator e do rotor 
sλ
�
 e rλ
�
 Vetor de fluxo do estator e do rotor 
dt
d
 Operador de derivação de uma função ou variável 
∫ Operador de integração de uma função ou variável 
sen x e cos x Funções seno e cosseno de um ângulo x genérico 
e(x) Função exponencial de uma variável x genérica 
xiii 
 
________________________________________ 
 
Resumo 
 
________________________________________ 
Dissertação de Mestrado 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Controle Vetorial Para Velocidade De Um Motor de In dução 
Trifásico Utilizando Estimador Filtro de Kalman 
 
Autor: Eng. Flávio Gonçalves Dantas 
Orientador: D. Sc. Andres Ortiz Salazar 
 
Esta dissertação apresenta o desenvolvimento de uma simulação 
computacional com a finalidade de demonstrar o funcionamento do controle vetorial 
para velocidade de um motor de indução trifásico utilizando método de estimação 
pelo Filtro de Kalman Estendido, bem como os procedimentos necessários para sua 
implementação prática. A motivação maior que influenciou a pesquisa está na 
utilização de um sistema de controle inovador que não necessita de sensores no 
eixo da máquina (técnica sensorless), proporcionando desta forma uma considerável 
redução nos custos de acionamentos e manutenção, aumento da confiabilidade, da 
robustez e da imunidade a ruídos em relação ao controle de motores convencionais 
com sensores. 
 Palavras-chave: Controle vetorial, motor de indução trifásico, estimador, filtro de 
Kalman, controle de velocidade sensorless 
xiv 
 
________________________________________ 
 
Abstract 
 
________________________________________ 
Master Thesis on Electrical Engineering 
Post-Graduate Program of Electrical Engineering 
Federal University of Rio Grande of Norte 
 
Speed Vector Control of Triphasic Induction Motor E stimator Using 
Kalman Filter 
 
Author: Eng. Flávio Gonçalves Dantas 
Research Supervisor: D. Sc. Andres Ortiz Salazar 
 
This paper describes the study, computer simulation and feasibility of 
implementation of vector control speed of an induction motor using for this purpose 
the Extended Kalman Filter as an estimator of rotor flux. The motivation for such 
work is the use of a control system that requires no sensors on the machine shaft, 
thus providing a considerable cost reduction of drives and their maintenance, 
increased reliability, robustness and noise immunity as compared to control systems 
with conventional sensors. 
 Keywords: vector control, triphasic induction motor, estimator, Kalman filter, 
speed control sensorless. 
 
 
1 
 
_______________________________________ 
 
Capítulo 1 
 
 
_______________________________________ 
 
 
Introdução 
 
 
Na atualidade diversas pesquisas são realizadas na área de controle para 
velocidade de motores de indução trifásico com a finalidade de se obter um 
desempenho mais próximo possível do comportamento do motor de corrente 
contínua, mantendo as grandes vantagens do motor de indução como a 
robustez, construção simples, necessidade de pouca manutenção e 
possibilidade de fornecer um motor totalmente fechado (motor de gaiola), 
permitindo assim suprir uma maior demanda de aplicações, como em lugares 
mais profundos ou submetidos à alta poluição. 
Em aplicações onde se faz necessário um alto desempenho dinâmico, 
respostas rápidas e alta precisão de regulação de velocidade, o motor elétrico 
deve fornecer essencialmente um controle preciso de torque para uma faixa 
extensa de condições de operação. Para tais aplicações os acionamentos com 
corrente contínua sempre representaram uma solução ideal, pois a 
proporcionalidade da corrente de armadura, do fluxo e do torque num motor de 
corrente contínua proporcionam um meio direto para o seu controle. Contudo, a 
busca por avanços tecnológicos significativos tem diminuído esta hegemonia e, 
gradativamente, estão aparecendo opções de novas alternativas, como o uso de 
acionamentos em corrente alternada do tipo controle vetorial (Weg, 2004). 
Em razão do controle vetorial nas máquinas de corrente alternada, as 
componentes das correntes que produzem o torque e o fluxo são desacopladas, 
 
 
2 
 
desta forma as características de resposta transitória são similares às das 
máquinas de corrente contínua de excitação independente. O sistema poderá 
se adaptar a qualquer variação de carga e/ou variação do valor de referência 
tão rápido quanto à máquina de corrente contínua (Gonzalez, 2004). 
Para a aplicação do controle vetorial é de suma importância conhecer a 
posição exata das componentes dos eixos d q− , ou seja, a posição correta do 
fluxo do rotor (se este for utilizado como referência). Assim, se faz necessário 
ter o conhecimento de algum parâmetro que auxilie a encontrar o ângulo do 
fluxo do rotor ou a posição dele, obrigando desta forma a medir ou estimar a 
velocidade do rotor, e, com o cálculo da velocidade do escorregamento, 
determinar a velocidade do fluxo do rotor. 
 
1.1. Estimação da Velocidade 
 
 No setor industrial é essencial a redução de custos em sistemas de 
acionamentos. Isto pode ser obtido substituindo sensores mecânicos por 
técnicas de estimação de velocidade. Esse processo de estimação sem o 
auxílio de sensores é denominado técnica “sensorless”. Uma possível 
alternativa para determinação da velocidade rotórica do motor é a utilização do 
Filtro de Kalman. 
 
1.2. Objetivos da Dissertação 
 
 A meta principal deste trabalho é analisar a possibilidade de 
implementaçãode um sistema para controle da velocidade de um motor de 
indução trifásico sem a utilização de sensores no eixo da máquina (sensorless) 
pelo uso do algoritmo estimador Filtro de Kalman (na sua forma “estendida”, que 
será abordada no capítulo 4), o que proporcionaria uma economia nos custos 
de acionamentos e manutenção, além do aumento da confiabilidade e robustez 
no controle da velocidade. 
 Para tal objetivo, foi projetado e simulado na plataforma computacional 
“Simulink” do Software Matlab um sistema para controle da velocidade rotórica 
composto pelo modelo do motor, dispositivos eletrônicos de potência e de 
 
 
3 
 
acionamentos, bem como o algoritmo estimador Filtro de Kalman Estendido 
(EKF) inserido no bloco “Embedded Function” do Simulink destinado para 
programação. 
 
1.3. Organização da Dissertação 
 
No Capítulo 2 são apresentadas as equações que determinam o 
comportamento das grandezas eletromecânicas do motor de indução trifásico, 
bem como as transformações necessárias para implementação do modelo do 
motor no Flitro de Kalman e para o controle vetorial da máquina. 
O Capítulo 3 apresenta uma introdução do Filtro de Kalman, aborda seus 
conceitos matemáticos bem como seu princípio de funcionamento e introduz os 
conhecimentos que serão aplicados no estimador Filtro de Kalman. 
No Capítulo 4 é abordada a variação estendida do Filtro de Kalman que 
será aplicada ao modelo vetorial do motor de indução . 
No Capítulo 5 são demonstradas as equações discretizadas e o algoritmo 
do Filtro de Kalman Estendido que será usado para o controle sem sensor da 
velocidade do motor e em seguida é apresentado o desenvolvimento de uma 
simulação através da ferramenta Simulink/Matlab. 
Já no capítulo 6 comprovam-se através de simulações os resultados do 
funcionamento do controle da velocidade através do algoritmo estimador Filtro 
de Kalman Estendido. 
No Capítulo 7 são expostas as conclusões oriundas dos trabalhos 
realizados, assim como propostas para futuros trabalhos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
_______________________________________ 
 
 
Capítulo 2 
 
_______________________________________ 
 
 
Modelagem do Motor de Indução Trifásico 
 
 
2.1. Introdução 
 
A facilidade de controle de fluxo e conjugado através das correntes de 
campo e de armadura e o menor custo de implantação dos acionamentos de 
corrente contínua, fizeram do motor de corrente contínua o mais utilizado nas 
aplicações onde se exige rapidez de resposta e operação com alto 
desempenho, sobretudo em baixas velocidades (Stopa, 1997). 
Por outro lado, as desvantagens inerentes à existência de comutadores e 
escovas no motor de corrente contínua, com manutenção excessiva, não-
aplicabilidade a ambientes corrosivos e explosivos, capacidade limitada de 
comutação em altas velocidades e limitações a tensões e/ou sobrecargas 
elevadas, levaram à procura de soluções que empregassem motores de 
corrente alternada. 
As máquinas de corrente alternada, entre elas os motores de indução 
trifásico, são amplamente utilizados nas mais variadas aplicações em 
instalações industriais e comerciais. Eles são adequados para o uso em cargas 
que exigem velocidades constantes ou variáveis, ou ainda, com as que exigem 
reversões e variadas velocidades. 
Existem muitos tipos disponíveis, os quais cobrem uma larga faixa de 
características de conjugado e podem ser projetados para operar em muitos 
 
 
5 
 
tipos de fontes de alimentações com diferentes combinações e valores de 
número de fases, freqüências e tensões (De Almeida, 2001). 
Os principais obstáculos à aplicação da máquina de indução em 
acionamentos onde se empregavam máquinas de corrente contínua eram 
associados ao limitado desempenho dinâmico das técnicas de controle até 
então existentes. O fato das correntes de excitação e de carga na máquina de 
indução circularem no mesmo enrolamento e não em enrolamentos separados, 
como na máquina de corrente contínua, dificultava o controle. O 
desenvolvimento das técnicas de controle vetorial mostrou ser possível o 
controle da velocidade nos motores de corrente alternada com desempenho 
competitivo com o motor de corrente contínua, despertando a atenção para o 
uso de motores de corrente alternada em acionamentos controlados. As 
vantagens do controle vetorial são (Weg, 2004): 
 
• Boa regulação de velocidade; 
• Alto desempenho dinâmico; 
• Controle de torque linear para aplicações de posição ou de tração; 
• Operação suave em baixa velocidade e sem oscilações de torque, 
mesmo com variação de carga. 
 
O motor de indução com o rotor em gaiola de esquilo, em particular, por 
ser uma das máquinas de corrente alternada mais barata e robusta, disponível 
em várias as faixas de potência, é uma alternativa bastante interessante. 
Os avanços na área de eletrônica de potência, com o barateamento dos 
semicondutores de potência e também na área de processamento digital de 
sinais, com o surgimento de processadores com velocidades cada vez maiores 
e a custos decrescentes, tornaram os motores de corrente alternada uma opção 
aos de corrente contínua em acionamentos com velocidades controladas. 
Entre as principais vantagens dos motores de indução trifásicos, 
podemos citar: menor custo, manutenção mais simples e menos freqüente, 
menor relação peso/potência, potências maiores, mais simples de proteger em 
ambientes com risco de explosão, além de potências limites superiores ao de 
corrente contínua, entre outras (De Almeida, 2001). 
 
 
6 
 
2.2. Equações do Motor de Indução Trifásico 
 
Para a modelagem matemática de um motor de indução trifásico é 
necessário conhecer sua estrutura física e o comportamento dinâmico das 
grandezas internas como a corrente e tensão, os enlaces dos fluxos, o torque 
eletromagnético além da velocidade e posicionamento do eixo do motor. Ainda 
devem ser consideradas as seguintes informações (Krishnan, 2001): 
 
• O entreferro do motor precisa ter tamanho uniforme; 
• Os enrolamentos do estator devem ser idênticos; 
• A saturação e mudanças de parâmetros não são consideradas. 
 
O motor de indução escolhido para o desenvolvimento deste trabalho foi 
do tipo “rotor em gaiola”, conforme as razões explicadas anteriormente. Este 
tipo de motor apresenta curto-circuito nos terminais do rotor, o que torna a 
tensão nos terminais do rotor nula, ou seja, Vr =0. 
O modelo para este tipo de motor possui bobinas trifásicas no rotor e no 
estator, conforme representado na figura 2.1, onde δ é a defasagem angular 
entre o enrolamento da fase “a” do estator e a fase “a” do rotor, e θ é a 
defasagem angular no referencial genérico, e V é a tensão entre os terminais da 
bobina, referida “s” para estator e “r” para rotor, assim como sua respectiva fase 
(“a”, “b” ou “c”). 
 
Figura 2.1 – Esquema elétrico do motor de indução trifásico 
 
 
7 
 
Admitindo-se um referencial trifásico genérico “θ ”, o comportamento 
dinâmico da máquina, expresso em função das variáveis de estado velocidade, 
fluxo do rotor e correntes do estator, é apresentado nas equações a seguir 
(Maschio, 2006): 
 
 s s s s m s
d
V R i K
dt θ
λ ω λ= + + (2.1) 
 20 r r r m r
d
R i K
dt
λ ω λ= + + (2.2) 
 s s s H rL i L iλ = + (2.3) 
 r H s r rL i L iλ = + (2.4) 
 T Te p s m s p r m rT n K i n K iλ λ= − = (2.5) 
 
1
( )mec e D mec l
d
T K m
dt J
ω ω= − − (2.6) 
 
Com: 
 ele p mecnθω ω ω= −(2.7) 
 
0 1 1
1
1 0 1
3
1 1 0
mK
− 
 = − 
 − 
 
(2.8) 
Onde: 
 Rs = Resistência do estator; 
 Rr = Resistência do rotor; 
 Vs = Tensão no estator; 
 Vr = Tensão no rotor; 
 is = Corrente do estator; 
 ir = Corrente do rotor; 
 sλ = Fluxo de enlace do estator; 
 rλ = Fluxo de enlace do rotor; 
 θω = Velocidade angular do referencial genérico; 
 
 
8 
 
 mecω = Velocidade angular do rotor; 
 np = Número de par de pólos do motor; 
 LH = Indutância mútua entre enrolamentos de estator e rotor; 
 Ls = Indutância própria do estator; 
 Lr = Indutância própria do rotor; 
 Te = Torque eletromagnético; 
 J = Momento de inércia do motor; 
 Kd = Coeficiente de atrito dinâmico; 
 ml = Carga constante imposta ao motor; 
 
As equações do motor podem ser descritas em diferentes referenciais. 
Os casos mais adotados são: 
 
• Referência no estator (estacionária): 0θω = 
• Referência no rotor: p mecnθω ω= 
• Referência no campo do estator (síncrona): eleθω ω= 
 
No processo de estimação de velocidade são necessárias medições de 
tensões e correntes no estator da máquina, por esse motivo o referencial mais 
adequado será o estacionário. 
 
2.3. Transformação αβ 
 
Modelar um motor de indução trifásico de corrente alternada é 
consideravelmente complexo, em razão das três fases do circuito rotórico 
mover-se em relação às três fases do circuito estatórico. 
O fato do comportamento dinâmico do motor apresentar equações 
diferenciais com indutâncias mútuas variando no tempo dificulta ainda mais sua 
modelagem. Porém, um motor de três fases pode ser representado por uma 
máquina equivalente de duas fases, como mostrado na figura 2.2. Essa 
representação é denominada “Transformação 0αβ ”. 
 
 
9 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2.2 – (a) Máquina trifásica simétrica; (b) Máquina equivalente de duas 
fases simétricas. 
 
Fisicamente a transformação 0αβ transforma o motor trifásico simétrico 
em uma máquina simétrica bifásica, representado na figura 2.3, com mesma 
potência mecânica, torque, velocidade e número de pólos (Barbi, 1985). Esse 
tipo de abordagem no motor é também designado de “Transformação de 
Clarke ”. 
 
 
Figura 2.3 - Seção transversal do motor de indução com enrolamentos 
bifásicos. 
 
As grandezas que descrevem o modelo do motor passam a ter 
representação como entidades complexas, sendo o eixo Real a projeção em α 
e o eixo Imaginário a projeção em β , conforme ilustrado na figura 2.4. 
 
 
 
10 
 
 
Figura 2.4 – Representação vetorial de uma grandeza elétrica do motor. 
 
As equações das grandezas do motor representadas no plano complexo, 
considerando que a fase “a” coincida com o eixo real do plano, são 
apresentadas a seguir: 
 
 2
2
( )
3 a b c
V V jV V V Vα β α α
→
= + = + + (2.9) 
 2
2
( )
3 a b c
i i ji i i iα β α α
→
= + = + + (2.10) 
 2
2
( )
3 a b c
jα βλ λ λ λ αλ α λ
→
= + = + + (2.11) 
Com: 
 2 /3je πα = (2.12) 
 2 4 /3je πα = (2.13) 
correspondentes à direção espacial geométrica nas fases “b” e “c”, equivalente 
aos operadores de deslocamento espacial de 120º e 240º, respectivamente. 
Aplicando a transformada 0αβ nas equações (2.1) a (2.6) para o 
referencial estacionário ( 0θω = ), ou referencial fluxo do estator, obtém-se: 
 
 s s s s
d
V R i
dt
λ= +
�� �
 (2.14) 
 0 r r r p mec r
d
R i jn
dt
λ ω λ= + −
� ��
 (2.15) 
 s s s H rL i L iλ = +
� � �
 (2.16) 
 r H s r rL i L iλ = +
� � �
 (2.17) 
 ( ) ( )* *3 3Im Im
2 2e p s s p r r
T n i n iλ λ= = −
� �� �
 (2.18) 
 
 
11 
 
 
1
( )mec e D mec l
d
T K m
dt J
ω ω= − − (2.19) 
 
O modelo do motor de indução no domínio contínuo pode ainda ser 
escrito na forma de equações de estado, que será necessário para a 
implementação do Filtro de Kalman, segmentando em parte real e imaginária 
em função das variáveis corrente do estator e fluxo do rotor, obtendo-se: 
 
1 1 1 H H
s s s r r r
s s r s r r s r
L Ld
i V i
dt L T T L L T L Lα α α α β
σ λ ω λ
σ σ σ σ σ
 −= − + + − 
 
 (2.20) 
1 1 1 H H
s s s r r r
s s r s r r s r
L Ld
i V i
dt L T T L L T L Lβ β β β α
σ λ ω λ
σ σ σ σ σ
 −= − + + − 
 
 (2.21) 
 
1 H
r r s r r
r r
Ld
i
dt T Tα α α β
λ λ ω λ= − + + (2.22) 
 
1 H
r r s r r
r r
Ld
i
dt T Tβ β β α
λ λ ω λ= − + − (2.23) 
 
3
( )
2e H p r s r sr
T L n i i
L α β β α
λ λ= − (2.24) 
Com: 
 
2
1 H
s r
L
L L
σ
 
= − 
 
é o fator de dispersão; (2.25) 
 ss
s
L
T
R
= é a constante de tempo do estator; (2.26) 
 rr
r
L
T
R
= é a constante de tempo do rotor; (2.27) 
 
Representando as equações acima através de vetores e matrizes, obtém-
se o resultado a seguir (Kubota, 1993): 
 
 
d
x Ax Bu
dt
= + (2.28) 
 y Cx= (2.29) 
 
 
 
12 
 
Onde: 
 
T
s s r rx i iα β α βλ λ =   (2.30) 
 
T
s su V Vα β =   (2.31) 
 
T
s sy i iα β =   (2.32) 
1 2 3
1 3 2
4 5
4 5
0
0
0
0
mec
mec
p mec
p mec
a a a
a a a
A
a a n
a n a
ω
ω
ω
ω
− 
 − − =
 − −
 −  
 (2.33) 
 
1/ 0
0 1/
0 0
0 0
s
s
L
L
B
σ
σ
 
 
 =
 
 
 
 (2.34) 
 
1 0 0 0
0 1 0 0
C
 
=  
 
 (2.35) 
Sendo os coeficientes da matriz A definidos por: 
 1
1 1
s r
a
T T
σ
σ σ
 −= + 
 
 (2.36) 
2
H
s r r
L
a
L L T σ
= (2.37) 
3
H
p
s r
L
a n
L L σ
= (2.38) 
 4
H
r
L
a
T
= (2.39) 
 5
1
r
a
T
= (2.40) 
 
2.4. Transformação d q− 
 
Se para o processo de estimação da velocidade é ideal o referencial 
estacionário (orientado pelo fluxo do estator) em coordenadas αβ , por outro 
lado no controle vetorial é necessária a orientação pelo fluxo do rotor em 
coordenadas d q− . Para proporcionar o desacoplamento entre os controles de 
 
 
13 
 
torque e fluxo, transforma-se o modelo da máquina de indução em um modelo 
similar ao das máquinas de corrente contínua, cujo controle é bem mais simples 
e eficaz, tanto para altas como para baixas rotações. O controle vetorial é 
executado através das componentes d q− das correntes decampo e 
quadratura, oriundas da transformação trifásica para bifásica αβ estacionária e 
em seguida para coordenadas d q− , designada de “Transformação d q− ”. A 
seguir é apresentado o método para obtenção dessas correntes em 
coordenadas d q− . 
Considere uma máquina de indução de três fases simétricas, com os 
eixos as-bs-cs estacionário, defasados de um ângulo de 2π/3, como mostrado 
na figura 2.5. 
O objetivo é transformar as variáveis as-bs-cs da estrutura de referência 
estacionária das três fases em variáveis αβ da estrutura de referência 
estacionária de duas fases e então, transformá-la na estrutura d q− de 
referência de rotação síncrona e vice-versa. Fisicamente, será a transformação 
da máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos e enrolamentos 
rotóricos girantes em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos pseudo-
estacionários (Barbi, 1985). Essa abordagem da máquina é também 
denominada de “Transformação de Park ”. 
 
 
Figura 2.5 - Referência estacionária, transformação de eixos a-b-c para αβ . 
 
 
14 
 
Supondo que os eixos αβ sejam orientados pelo ângulo θ, como 
mostrado na figura 2.5, as correntes si α e si β podem ser expressas em 
componentes as-bs-cs e representadas na forma de matriz por: 
 
 ( ) ( )
( ) ( ) 0
cos 1
cos 120º 120º 1
cos 120º 120º 1
as s
bs s
cs s
i isen
i sen i
seni i
α
β
θ θ
θ θ
θ θ
   
    = − −    
     + +     
 (2.41) 
 A relação inversa correspondente é dada por: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
0
cos cos 120º cos 120º
2
120º 120º
3
0.5 0.5 0.5
s as
s bs
css
i i
i sen sen sen i
ii
α
β
θ θ θ
θ θ θ
  − +   
     = − +     
       
 (2.42) 
is0 é adicionado como componente de seqüência zero, que talvez esteja 
presente ou não. A tensão e o fluxo podem ser transformados por equações 
semelhantes. 
É conveniente fixar θ=0, de modo que o eixo α esteja alinhado com o 
eixo as. Ignorando a componente de seqüência zero, a relação de 
transformação pode ser simplificada como: 
 
as si i α= (2.43) 
1 3
2 2bs s s
i i iα β= − − (2.44) 
1 3
2 2cs s s
i i iα β= − + (2.45) 
e inversamente: 
 
2 1 1
3 3 3s as bs cs as
i i i i iα = − − = (2.46) 
1 1
33
s bs csi i iβ = − + (2.47) 
 
 
 
15 
 
A figura 2.6 mostra os eixos d q− em rotação síncrona, que giram com 
velocidade síncrona eleω com relação aos eixos αβ e o ângulo ele eletθ ω= . As 
duas fases do enrolamento αβ são transformadas em um enrolamento 
hipotético projetados nos eixos d q− . As correntes nos eixos αβ podem ser 
transformadas para uma estrutura de eixos d q− , como mostrado a seguir: 
 
Figura 2.6 – Transformação da referência estacionária αβ para 
referência de rotação síncrona d q− . 
 
 Com base no diagrama acima, aplica-se a “Transformação de Park ”: 
 
cosqs s ele s elei i i senα βθ θ= − (2.48) 
 
 cosds s ele s elei i sen iα βθ θ= + (2.49) 
 
 
E a relação inversa, que também é conhecida como “Transformação 
Inversa de Park ”, é obtida por: 
 
 coss qs ele ds elei i i senα θ θ= − (2.50) 
 coss qs ele ds elei i sen iβ θ θ= − + (2.51) 
 
 
 
16 
 
2.5. Modelo Vetorial do Motor Orientado pelo Fluxo do Rotor 
 
Após as transformações αβ durante a modelagem do motor de indução 
de corrente alternada foi estabelecida uma relação entre o torque 
eletromagnético e as grandezas fluxo do rotor e corrente do estator, conforme 
exposta na equação (3 / 2 ) [ ]e r H p r s r sT L L n i iα β β αλ λ= − . No entanto, para obter um 
controle de velocidade idêntico ao do motor de corrente contínua, é necessário 
o desacoplamento entre o torque e o fluxo do rotor, sendo este último o 
referencial para o referido controle. É possível esta orientação estimando a 
magnitude e a posição exata desse fluxo do rotor girante baseado no modelo 
vetorial do motor, método pelo qual executa o Filtro de Kalman (KF). 
Representando as correntes do motor nos diferentes referenciais 
abordados e no mesmo diagrama vetorial, obtém-se o esquema da figura 2.7: 
 
 
Figura 2.7 – As correntes do motor nos diferentes referenciais abordados 
 
Onde: 
mecω é a velocidade mecânica do rotor; 
mrω é a velocidade do campo girante do rotor; 
mri
�
 é a corrente de magnetização que está relacionada com a 
magnitude do campo girante do rotor, calculada como: 
 
 
17 
 
 rmr
H
i
L
λ=
�
�
 (2.52) 
 
Entretanto, se r H s r rL i L iλ = +
� � �
, então a nova equação para mri
�
 será: 
 
r
mr s r
H
L
i i i
L
= +
� � �
 (2.53) 
 
 Observando o diagrama vetorial, tem-se que: 
 
s sd sqi i ji= +
� � �
 (2.54) 
 
De maneira análoga, aplica-se também: 
 
r rd rqi i ji= +
� � �
 (2.55) 
 
 Substituindo (2.54) e (2.55) em (2.53), obtem-se: 
 
 ( ) ( )rmr sd sq rd rq mrd mrq
H
L
i i ji i ji i ji
L
= + + + = +
�
 (2.56) 
 
Adotando o referencial solidário com fluxo do rotor, orientado por mrω , 
considera-se que mri
�
 possui apenas parte real, pode-se obter então: 
 
 rmrd sd rd
H
L
i i i
L
= + (2.57) 
 0rmrq sq rq
H
L
i i i
L
= + = (2.58) 
 
Com intuito de encontrar as componentes d q− da corrente rotórica em 
(2.57) e (2.58), obtem-se as seguintes equações: 
 
 
18 
 
 ( )Hrd mrd sd
r
L
i i i
L
= − (2.59) 
 Hrq sq
r
L
i i
L
= − (2.60) 
 
 E finalmente, o modelo vetorial contínuo do motor de indução orientado pelo 
fluxo do rotor, segmentado em parte real e imaginária, é mostrado a seguir: 
 
 
1
( )mr mr sd
r
d
i i i
dt T
= − (2.61) 
 sqmr p mec
r mr
i
n
T i
ω ω= + (2.62) 
 e m mr sqT K i i= (2.63) 
 Onde: 
 
3
(1 )
2m s
K Lσ= − (2.64) 
 
 Como se observa na equação (2.63), o torque eletromagnético eT é 
determinado em função da corrente de magnetização mri (que depende da 
corrente dsi ) e da componente em quadratura da corrente do estator sqi , 
consequentemente promovendo o desacoplamento entre os vetores fluxo e 
torque, o que permitirá o controle vetorial independente de um em relação ao 
outro, aproximando-se de um sistema de controle para máquina de corrente 
contínua. 
 
2.6. Conclusões 
 
Neste capítulo foi apresentado o modelo vetorial contínuo do motor de 
indução na forma de equações de estado em coordenadas αβ de referencial 
estacionário, explicitado nas equações (2.28) a (2.40) e que serão utilizados na 
implementação do estimador Filtro de Kalman Estendido. Também foi abordada 
a transformação d q− do mesmo modelo para obtenção das correntes de 
 
 
19 
 
campo dsi , que é a responsável pela produção de fluxo, e quadratura qsi , que é 
a responsável pela produção de torque, ambas no referencial síncrono (fluxo do 
estator) e que serão aplicadas no controle vetorial da máquina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
_______________________________________Capítulo 3 
 
_______________________________________ 
 
Filtro de Kalman (KF) 
 
3.1. Introdução 
 
Conforme explicado anteriormente, será aplicado um algoritmo estimador 
de velocidade denominado “Filtro de Kalman Estendido (EKF) ”, que é um 
método derivado do “Filtro de Kalman (KF) ” convencional. Portanto, para se 
compreender o funcionamento do EKF será imprescindível dominar a 
metodologia utilizada pelo KF. A seguir será abordada a teoria que envolve as 
características do estimador Filtro de Kalman. 
 O Filtro de Kalman é um conjunto de equações matemáticas que fornece 
uma solução recursiva para o problema de estimação de estados para um 
processo. A principal vantagem do método recursivo é sua eficiência 
computacional em comparação com métodos clássicos, como os mínimos 
quadrados, por exemplo. Outra característica importante é que no método 
clássico, todas as medidas devem ser conhecidas de antemão para a 
estimação, enquanto que o Filtro de Kalman atualiza os cálculos a cada nova 
medida que é fornecida pelo sistema de observação. O filtro é muito importante 
em vários aspectos como: estimação de estados passados, presentes e futuros, 
mesmo quando a natureza do sistema modelado não seja conhecida. O objetivo 
deste capítulo é fornecer uma conceituação teórica para a utilização do Filtro de 
Kalman (Oliveira, 2004). 
 
 
 
21 
 
 
3.2. Definição Matemática do Filtro de Kalman (KF) 
 
O Filtro de Kalman é utilizado em um problema geral da tentativa do 
cálculo do estado nx ∈ℜ de um controle discreto de processo que é governado 
por uma equação diferencial estocástica linear (Welch, 2004): 
 
 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)x k Ax k Bu k w k= − + − + − (3.1) 
 
e com uma medida mz ∈ℜ dada por: 
 
 ( ) ( ) ( )z k Hx k v k= + (3.2) 
 
As variáveis aleatórias w e v representam ruídos do processo e da 
medida (respectivamente). É assumido que os mesmos são independentes um 
do outro, são do tipo branco, e com distribuições de probabilidade normais: 
 
 ( ) (0, )p w N Q∼ (3.3) 
 ( ) (0, )p v N R∼ (3.4) 
 
Na prática, as matrizes de covariância do ruído Q e a covariância do 
ruído R, podem mudar a cada passo de tempo ou medida, porém aqui são 
assumidas como constantes. 
A matriz Anxn na equação diferencial (3.1) relaciona os estados no 
instante k-1 com o estado do passo k, na ausência de uma função ativadora ou 
ruído de processo. A matriz Bnxl relaciona a entrada de controle lu ∈ℜ ao estado 
x. A matriz Hnxm na equação da medida (3.2) relaciona o estado com a medida 
z. Como as matrizes R e Q, a matriz H também pode mudar a cada passo de 
tempo, mas aqui assumimos que ela é constante. 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
3.3. Estimador Filtro de Kalman (KF) 
 
Definindo ˆ( ) nx k − ∈ℜ (notação “super menos”) como sendo o estimador 
de estado a priori no passo k, determinando o conhecimento do processo antes 
do passo k, e ˆ( ) nx k ∈ℜ como sendo o estimador de estado a posteriori no 
passo k, após a medida ( )z k . Então se podem definir os erros dos estimadores 
a priori e a posteriori como: 
 
 ˆ( ) ( ) ( )e k x k x k− −≡ − (3.5) 
 ˆ( ) ( ) ( )e k x k x k≡ − (3.6) 
 
A covariância do erro no estimador a priori é dada por: 
 
 ( ) [ ( ) ( ) ]TP k E e k e k− − −= (3.7) 
 
e a covariância do erro no estimador a posteriori como: 
 
 ( ) [ ( ) ( ) ]TP k E e k e k= (3.8) 
 
Ao derivar as equações para o Filtro de Kalman, tem-se como meta 
encontrar uma equação que calcule uma estimativa de estado a posteriori ˆ( )x k , 
como uma combinação linear do estimador a priori ˆ( )x k − e uma diferença 
ponderada entre a medida atual ( )z k e uma predição de medida H ˆ( )x k − , como 
mostrado na equação (3.9): 
 
 ˆ ˆ ˆ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]x k x k K z k Hx k− −= + − (3.9) 
 
 A diferença ˆ[ ( ) ( ) ]z k Hx k −− em (3.9) é chamada de inovação medida ou 
residual. O resíduo reflete a discrepância entre a predição da medida H ˆ( )x k − e a 
medida atual ( )z k . 
 
 
23 
 
A matriz Knxm em (3.9) é escolhida para ser o ganho ou fator de mistura 
que minimiza a covariância do erro a posteriori (3.8). Essa minimização pode 
ser realizada primeiramente substituindo (3.9) na definição do erro ( )e k , e em 
seguida em (3.8), executando as expectativas indicadas, levando a derivada da 
substituição do resultado com relação a K, colocando o resultado igual a zero e 
resolvendo então para K. 
Uma forma para K que resulta na minimização de (3.8) é dada por: 
 
 1( ) ( ) [ ( ) ]T TK k P k H HP k H R− − −= + ou ( )( )
( )
T
T
P k H
K k
HP k H R
−
−= +
 (3.10) 
 
Observando (3.10), pode-se notar que se a covariância do erro na 
medida ( )R k se aproxima de zero, o ganho K atua sobre o resíduo mais 
intensamente, especificamente: 
 
1
( ) 0
lim ( )
R k
K k H −
→
= (3.11) 
 
Por outro lado, quando a covariância do erro do estimador a priori ( )P k − 
aproxima-se de zero, o ganho K atua menos intensamente no resíduo, 
especificamente: 
 
 
( ) 0
lim ( ) 0
P k
K k
− →
= (3.12) 
 
Outro modo de pensar sobre a atuação de K é que quando a covariância 
do erro de medida R se aproxima de zero, a medida atual ( )z k é cada vez mais 
confiável, enquanto a predição da medida H ˆ( )x k − é cada vez menos confiável. 
Por outro lado, quando a covariância do erro do estimador a priori ( )P k − se 
aproxima de zero, a medida atual ( )z k é cada vez menos confiável, enquanto a 
predição da medida H ˆ( )x k − é cada vez mais confiável. 
 
 
 
 
24 
 
3.4. Discretização do Estimador Filtro de Kalman (K F) 
 
O Filtro de Kalman faz as estimativas de um processo usando uma forma 
de controle de realimentação: o filtro estima o estado do processo em algum 
momento e então obtém a realimentação na forma de medidas (ruidosas). 
Como tal, as equações para o Filtro de Kalman se dividem em dois grupos: 
equações de atualização de tempo e equações de atualização de medida. As 
equações de atualização de tempo são responsáveis para projetar adiante o 
estado atual, e o estimador da covariância do erro para obter um estimador a 
priori para o próximo instante. As equações de atualização de medida são 
responsáveis pela realimentação, isto é, por incorporar uma medida nova na 
estimativa a priori para obter um estimador melhorado a posteriori. 
As equações de atualização de tempo também podem ser vistas como 
equações de predição, enquanto as equações de atualização de medida podem 
ser vistas como equações de correção. Realmente o algoritmo final de 
estimação se assemelha a um algoritmo de predição-correção para resolver 
problemas numéricos como mostrado na figura 3.1. As atualizações de tempo 
projetam o estimador de estado atual à frente no tempo. A atualização de 
medida ajusta o estimador projetado, por uma medida atual naquele momento. 
As equações específicas para as atualizações de tempo e medida são 
apresentadas abaixo: 
 
 ˆ ˆ( ) ( 1) ( 1)x k Ax k Bu k− = − + − (3.13) 
 ( ) ( 1) TP k AP k A Q− = − + (3.14) 
 
Novamente nota-se que as equações de atualização de tempo(3.13) e 
(3.14) projetam o estimador de estado e a covariância do erro de estado do 
passo de tempo k-1 para o passo k. 
 
1( ) ( ) [ ( ) ]T TK k P k H HP k H R− − −= + (3.15) 
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ]x k x k K k z k Hx k− −= + − (3.16) 
( ) [ ( ) ] ( )P k I K k H P k −= − (3.17) 
 
 
25 
 
 
Figura 3.1 - O ciclo contínuo do Filtro de Kalman discreto. 
 
A primeira tarefa durante a atualização de medida é calcular o ganho de 
Kalman, ( )K k . Note que a equação dada em (3.15) é igual a (3.10). O próximo 
passo é medir de fato o processo para obter ( )z k , e então gerar um estimador 
de estado a posteriori incorporando a medida como em (3.16). Novamente 
(3.16) simplesmente é (3.9) repetida aqui. O passo final é obter um estimador 
da covariância de erro a posteriori calculado por (3.19). 
Depois de cada par de atualizações de tempo e de medida, o processo é 
repetido com o estimador a posteriori anterior usado para projetar ou predizer o 
novo estimador a priori. Esta natureza recursiva é uma das características muito 
atraentes do Filtro de Kalman e torna a implementação prática muito mais 
viável. O Filtro de Kalman recursivamente condiciona a estimativa atual em 
todas as medidas passadas. 
A figura 3.2 oferece um quadro completo da operação do filtro, 
combinando o diagrama de alto-nível da figura 3.1 com as equações (3.13), 
(3.14), (3.15), (3.16) e (3.17). 
 
 
26 
 
 
Figura 3.2 – Um quadro completo da operação do Filtro de Kalman, 
combinando o diagrama de alto-nível com as equações de (3.13) à (3.17). 
 
3.5. Conclusões 
 
Os conhecimentos adquiridos neste capítulo auxiliarão na compreensão 
da versão estendida do Filtro de Kalman, pois o princípio de funcionamento do 
Filtro de Kalman Estendido (EKF) é semelhante à versão convencional 
abordada neste capítulo, divergindo apenas nas aproximações executadas pela 
estendida que serão explicadas no próximo capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
_______________________________________ 
 
 
Capítulo 4 
 
_______________________________________ 
 
 
Filtro de Kalman Estendido (EKF) 
 
 
 
4.1. Introdução 
 
Como descrito no capítulo anterior, o Filtro de Kalman é utilizado em um 
problema geral da tentativa do cálculo do estado nx ∈ℜ de um controle discreto 
de processo que é governado por uma equação diferencial estocástica linear. 
Mas, e se o processo a ser estimado e/ou o relacionamento das medidas do 
processo for não-linear? Algumas das aplicações mais interessantes e bem 
sucedidas da filtragem de Kalman tem sido nessas situações. O Filtro de 
Kalman que lineariza determinado modelo de processo, sobre a covariância e o 
modelo corrente, é conhecido como “Filtro de Kalman Estendido ” ou “EKF”. 
O Filtro de Kalman Estendido é basicamente, um observador estocástico 
de ordem completa apropriado para estimação ótima recursiva de estado de 
sistemas dinâmicos não-lineares (em tempo real), usando sinais que são 
corrompidos por ruídos. 
De certa forma, relacionado com as Séries de Taylor , é possível 
linearizar a estimação em torno da estimativa atual, usando derivadas parciais 
do processo e funções medidas para computarem estimativas (mesmo diante 
de relacionamentos não-lineares). Assumindo que o processo tem um vetor de 
estado nx ∈ℜ , mas agora é governado por uma equação diferencial estocástica 
não-linear (Welch, 2004): 
 
 
 
28 
 
 ( ) [ ( 1), ( 1), ( 1)]x k f x k u k w k= − − − (4.1) 
 
E com uma medida mz ∈ℜ dada por: 
 
 ( ) [ ( ), ( )]z k h x k v k= (4.2) 
 
As variáveis aleatórias ( )w k e ( )v k novamente representam o ruído do 
processo e da medida (respectivamente), como em (3.3) e (3.4). Neste caso, a 
função não-linear da equação (4.1) relaciona o estado no instante k-1 com o 
estado no instante k. Isso inclui como parâmetros algumas direções de funções 
( 1)u k − e o ruído do processo ( )w k médio nulo. A função não-linear h da 
equação (4.2), relaciona o estado ( )x k com a medida ( )z k . 
Na prática, não se conhecem os valores individuais dos ruídos ( )w k e 
( )v k para cada passo. No entanto, podem-se aproximar os vetores de estado e 
medidas sem eles, como: 
 
 ˆ( ) [ ( 1), ( 1),0]x k f x k u k= − −ɶ (4.3) 
E: 
( ) [ ( ),0]z k h x k= ɶɶ (4.4) 
 
Onde ˆ( )x k é qualquer estimativa a posteriori do estado (vindo do passo 
no instante k). 
É importante notar que uma falha fundamental do EKF, é que a 
distribuição (ou densidade no caso contínuo) das várias variáveis aleatórias, 
não é normal depois de submeterem-se as respectivas transformações não-
lineares. 
 
4.2. Estimador Filtro de Kalman Estendido (EKF) 
 
Para estimar um processo com relacionamento de medidas e equações 
diferenças, novas equações devem ser escritas para governar esta linearização: 
 
 
 
29 
 
( 1)ˆ( ) ( ) [ ( 1) ( 1)] W kx k x k A x k x k W −≈ + − − − +ɶ (4.5) 
( )( ) ( ) [ ( ) ( )] V kz k z k H x k x k V≈ + − +ɶɶ (4.6) 
Onde: 
( )x k e ( )z k são os vetores de medida e estado atuais; 
( )x kɶ e ( )z kɶ são vetores de medida e estado aproximados de (4.3) 
e (4.4); 
ˆ( )x k é uma estimativa a posteriori do estado no passo k; 
As variáveis aleatórias ( )w k e ( )v k representam os ruídos das 
mediadas e do processo como em (3.3) e (3.4); 
A é a matriz Jacobiana das derivadas parciais de f referente a x, 
calculado como: 
[ ]
[ , ]
[ ]
ˆ[ ( 1), ( 1),0]ii j
j
f
A x k u k
x
δ
δ
= − − (4.7) 
W é a matriz Jacobiana das derivadas parciais de f referente a w, 
calculada como: 
[ ]
[ , ]
[ ]
ˆ[ ( 1), ( 1),0]ii j
j
f
W x k u k
w
δ
δ
= − − (4.8) 
H é a matriz Jacobiana das derivadas parciais de h referente à x, 
calculada como: 
[ ]
[ , ]
[ ]
[ ( ),0]ii j
j
h
H x k
x
δ
δ
= ɶ (4.9) 
V é a matriz Jacobiana das derivadas parciais de h referente à v, 
calculada como: 
 [ ][ , ]
[ ]
[ ( ),0]ii j
j
h
V x k
v
δ
δ
= ɶ (4.10) 
 
Para simplificar a notação, não foi usado subscrito do passo no tempo k 
com as matrizes Jacobianas A, W, H e V mesmo sendo elas diferentes em cada 
passo de tempo. 
Agora definindo uma nova notação para a predição do erro: 
 
 ( ) ( ) ( )x ke x k x k≡ −ɶ ɶ (4.11) 
 
 
30 
 
E a medida residual: 
 ( ) ( ) ( )z ke z k z k≡ −ɶ ɶ (4.12) 
 
Relembrando que na prática, não se tem acesso a ( )x k em (4.11), ele é o 
vetor de estado atual, por exemplo, a grandeza a ser estimada. Por outro lado, 
tem-se acesso a ( )z k em (4.12), que é a medida atual usada para estimar ( )x k . 
Usando (4.11) e (4.12), as equações do processo de erro tornam-se: 
 
 ( ) ˆ[ ( 1) ( 1)] ( )x ke A x k x k kε≈ − − − +ɶ (4.13) 
 ( ) ( ) ( )z k x ke He kη≈ +ɶ ɶ (4.14) 
 
Onde ( )kε e ( )kη representam novas variáveis aleatórias, tendo matrizes 
de covariância WQWT e VRVT, com Q e R como em (3.3) e (3.4), 
respectivamente. 
Note que as equações (4.13) e (4.14) são lineares, e são muito parecidas 
com as equações de medida e diferença (3.1) e (3.2) do Filtro de Kalman 
Discreto. Isso motiva a usar a medida atual residual ( )ze kɶ em (4.13) e um 
segundo Filtro de Kalman (hipotético) para estimar a predição do erro ( )xe kɶ 
dado por (4.13). Esta estimativa,chamada de ˆ( )e k , poderia ser usada junto com 
(4.11) para obter uma estimativa do estado a posteriori para um processo não-
linear como: 
 
 ˆ ˆ( ) ( ) ( )x k x k e k= +ɶ (4.15) 
 
As variáveis aleatórias de (4.13) e (4.14) tem aproximadamente as 
seguintes probabilidades de distribuição: 
 
 ( ) ( ) ( )[ ] [0, ( )]
T
x k x k x kp e N E e eɶ ɶ ɶ∼ (4.16) 
 [ ( )] [0, ( ) ]Tp k N WQ k Wε ∼ (4.17) 
 [ ( )] [0, ( ) ]Tp k N VR k Vη ∼ (4.18) 
 
 
31 
 
Dado estas aproximações, a equação do Filtro de Kalman para estimar 
ˆ( )e k é: 
 
 ( )ˆ( ) ( ) z ke k K k e= ɶ (4.19) 
 
Substituindo (4.19) em (4.15) e usando (4.12), vê-se que não há 
necessidade do segundo Filtro de Kalman (hipotético): 
 
 ( )ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )]z kx k x k K k e x k K k z k z k= + = + −ɶ ɶ ɶ ɶ (4.20) 
 
A equação (4.20) pode agora ser usada na atualização de medidas do 
Filtro de Kalman Estendido, com ( )x kɶ e ( )z kɶ vindo de (4.3) e (4.4), e o ganho 
de Kalman vindo de (3.15), com a substituição apropriada para a covariância do 
erro medida. 
O conjunto de equações de atualização de tempo e de medida do EKF é 
mostrado seguir: 
 
 ˆ ˆ( ) [ ( 1), ( 1),0]x k f x k u k− = − − (4.21) 
 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )T TP k A k P k A k W k Q k W k− = − + − (4.22) 
 
As equações de atualização de tempo (4.21) e (4.22) projetam os 
estados e a covariância estimada do tempo k-1 para o tempo k. Novamente, f 
em (4.21) vem de (4.3), já A(k) e W(k) são as Jacobianas no passo k, enquanto 
Q(k) é a covariância do ruído (3.3) no passo k. 
 
 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]T T TK k P k H k H k P k H k V k R k V k− − −= + (4.23) 
 ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ( ) ,0)]x k x k K k z k H x k− −= + − (4.24) 
 ( ) [ ( ) ( )] ( )P k I K k H k P k −= − (4.25) 
 
As equações de atualização de medidas (4.23), (4.24) e (4.25) corrigem a 
covariância e os estados estimados com a medida ( )z k . Novamente, h em 
 
 
32 
 
(4.24) vem de (4.4), H(k) e V(k) são as Jacobianas medidas no passo k, 
enquanto R(k) é a medida da covariância do ruído (3.4) no passo k. 
A figura 4.1 mostra a operação do EKF. 
 
Figura 4.1 – Um quadro completo da operação do EKF, combinando o 
diagrama de alto-nível com as equações de (4.21) a (4.25). 
 
Uma característica importante do EKF é que a matriz Jacobiana H(k) na 
equação para o ganho de Kalman K(k) , propaga corretamente somente as 
componentes relacionadas com a informação de medidas. Por exemplo, se não 
há uma mapeamento um-a-um entre a medida ( )z k e o estado via H, a matriz 
Jacobiana H(k) afeta o ganho de Kalman, assim somente aumenta a porção da 
residual ˆ( ) [ ( ) ,0]z k H x k −− que afeta o estado. É claro que se as medidas não 
apresentarem um mapeamento um-a-um entre a medida ( )z k e o estado via H, 
então o filtro pode divergir rapidamente. Nesse caso o processo não pode ser 
observado. 
 
4.3. Conclusões 
 
Com a teoria apresentada neste capítulo fica evidenciado que, para um 
sistema de estimação de variáveis aplicadas ao motor de indução, a versão do 
Filtro de Kalman compatível é a Estendida, já que o modelo da máquina é não-
 
 
33 
 
linear, devido à variação paramétrica peculiar deste tipo de motor, além da 
variável de estado mecω estar inserida na matriz de parâmetros A, modificando 
esta para A=A(x) . O próximo passo é tornar linearizado e discretizado o modelo 
do motor não-linear contínuo, correspondido pelas equações (2.28) a (2.40), 
para devida aplicação do EKF. Esse procedimento será apresentado no capítulo 
a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
_______________________________________ 
 
 
Capítulo 5 
 
_______________________________________ 
 
 
Estimação de Grandezas do Motor de Indução Trifásic o 
Utilizando o Algoritmo Filtro de Kalman Estendido 
 
5.1. Introdução 
 
 O Filtro de Kalman Estendido (EKF) é um estimador de estado ótimo 
recursivo utilizado em sistemas estocásticos para estimar parâmetros e estados 
de sistemas dinâmicos não lineares. 
 O EKF é formulado matematicamente em termos de variáveis de estado e 
sua solução é computada recursivamente, ou seja, cada estado estimado 
atualizado é computado a partir de valores anteriores estimados e dos novos 
dados. Em tempo discreto, o EKF fornece um algoritmo para computar a 
estimativa ótima e o erro de covariância para um sistema linear dinâmico 
discreto estocático. No caso de sistemas não-lineares um procedimento de 
linearização pontual pode ser manipulado para se obter o chamado Filtro de 
Kalman Estendido com as mesmas propriedades do caso estocástico linear. No 
estudo do motor de indução trifásico o Filtro de Kalman Estendido será aplicado 
usando a aproximação linearizada no ponto de operação a cada amostragem. 
 
5.2. Discretização do Modelo do Motor 
 
 No estágio inicial dos cálculos do Filtro de Kalman Estendido, a predição 
de estados é realizada com a utilização do modelo contínuo discretizado do 
 
 
35 
 
motor. Para isso, utiliza-se o método de Euler nas equações (2.28) e (2.29) do 
modelo vetorial do motor no referencial estacionário, o que resulta nas 
equações a seguir: 
 
ˆ( 1) ( ) ( )d dx k A x k B u k+ = + (5.1) 
( ) ( )y k Cx k= (5.2) 
 
 Sendo que as matrizes discretas de estado e entrada são calculadas 
utilizando a aproximação até a primeira ordem da Série de Taylor da 
exponencial matricial como mostrado a seguir: 
 
2( )
exp[ ] ...
2d n
AT
A AT I AT= = + + + (5.3) 
 
2
1(exp[ ] ) ...
2d n
ABT
B A AT I B BT−= − = + + (5.4) 
 
 Nas equações de estado (2.28) e (2.29) as variáveis de estado são as 
correntes de estator e fluxo de rotor. Com a implementação do Filtro de Kalman, 
o vetor de estados é estendido para englobar a velocidade do rotor como um 
estado adicional, conforme será demonstrado na equação (5.8) 
Utilizando o modelo do motor de indução trifásico, o algoritmo do Filtro de 
Kalman Estendido será executado através dos seguintes estágios: 
 
1º Estágio: Predição do vetor de estado 
 
ˆ( 1) ( ) ( )d dx k A x k B u k+ = + (5.5) 
 
Onde: 
 
1 2 3
1 3 2
4 5
4 5
1 0 0
0 1 0
( ) 0 1 0
0 1 0
0 0 0 0 1
p mec
p mec
d p mec
p mec
a T a T a n T
a T a n T a T
A I AT a T a T n T
a T n T a T
ω
ω
ω
ω
− 
 − − 
 = + = − −
 − 
  
 (5.6) 
 
 
36 
 
 
1/ 0
0 1/
0 0
0 0
0 0
s
s
d
L
L
B BT
σ
σ
 
 
 
 = =
 
 
  
 (5.7) 
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T
s s r r mecx k i k i k k k kα β α βλ λ ω =   (vetor de estados estimados 
no instante anterior) (5.8) 
 ( ) ( ) ( )
T
s su k V k V kα β =   é o vetor de medidas de entrada; (5.9) 
 T é o período de amostragem. 
 E os coeficientes da matriz A definidos pelas equações (2.42) a (2.46). 
 
2º Estágio: Predição de matriz de covariância 
 
 ˆ( 1) ( 1) ( ) ( 1)TP k f k P k f k Q+ = + + + (5.10) 
 
Onde f é a matrizgradiente definida por: 
 ˆ ( )( 1) ( ) |d d x x kf k A x B ux
δ
δ =
+ = + (5.11) 
Por causa da linearização realizada no ponto t=k, a matriz f torna-se: 
 
1 2 3 3
1 3 2 3
4 5
4 5 3
1 0
0 1
( 1) 0
0
0 0 0 0 1
mec r
mec r
p mec r
p mec r
a T a T a T a T
a T a T a T a T
f k a T a T n T T
a T n T a T a T
β
α
β
α
ω λ
ω λ
ω λ
ω λ
− 
 − − − 
 + = − −
 − − 
  
 (5.12) 
Sendo que: 
 ˆ( )P k é a matriz de covariância estimada no instante anterior; 
 Q é a matriz de covariância de ruídos provenientes da medição 
das tensões do estator. 
 
3º Estágio: Computação da matriz ganho de Kalman 
 
 A matriz ganho de Kalman é dada por: 
 
 
37 
 
 1( 1) ( 1) ( 1)[ ( 1) ( 1) ( 1) ]T TK k P k h k h k P k h k R −+ = + + + + + + (5.13) 
 
Onde h é a matriz gradiente definida por: 
 ( 1)( 1) ( ) |d x x kh k C xx
δ
δ = +
+ = (5.14) 
Considerando Cd=C, tem-se: 
 
1 0 0 0 0
( 1)
0 1 0 0 0
h k
 
+ =  
 
 (5.15) 
Sendo ainda: 
 R é a matriz de covariância de ruídos provenientes da medição 
das correntes do estator. 
 
4º Estágio: Estimação do vetor de estado 
 
A estimação do vetor de estado é computada somando o termo de 
correção ao estado obtido na etapa de predição, conforme as equações a 
seguir: 
 
 ˆ ˆ( 1) ( 1) ( 1)[ ( 1) ( 1)]x k x k K k y k y k+ = + + + + − + (5.16) 
 
Sendo: 
( 1) ( 1) ( 1)
T
s sy k i k i kα β + = + +  é o vetor de correntes medidas; (5.17) 
ˆ ˆˆ( 1) ( 1) [ ( 1) ( 1)]s sy k Cx k i k i kα β+ = + = + + é o vetor de correntes estimadas; (5.18) 
 Com o vetor de estados ˆ( 1)x k + computado, o que corresponderá às 
estimativas ˆ ( 1)si kα + , ˆ ( 1)si kβ + , ˆ ( 1)r kαλ + , ˆ ( 1)r kβλ + e ˆ ( 1)mec kω + , será possível 
determinar o ângulo do fluxo girante do rotor pelas equações: 
 
 
2 2
ˆ ( 1)
( )
ˆ ˆ( 1) ( 1)
r
ele
r r
k
sen
k k
β
α β
λ
θ
λ λ
+
=
+ + +
 (5.19) 
 
2
2 2
ˆ ( 1)
cos( )
ˆ ˆ( 1) ( 1)
r
ele
r r
k
k k
α
α β
λθ
λ λ
+=
+ + +
 (5.20) 
 
 
38 
 
 Garantindo com isso a orientação necessária para o controle vetorial do 
motor. 
 
5º Estágio: Estimação do erro da matriz de covariânc ia 
 
 ˆ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)P k P k K k h k P k+ = + − + + + (5.21) 
 
6º Estágio: Atualização de vetores e matrizes; retorn a ao 1º estágio 
 
 ˆ ˆ( ) ( 1)x k x k= + (5.22) 
 ˆ ˆ( ) ( 1)P k P k= + (5.23) 
 1k k= + (5.24) 
 
 Na figura 5.1 é ilustrada a estrutura que representa a malha de controle 
sem sensor do Filtro de Kalman Estendido. 
 
 
Figura 5.1 – Estrutura do Sistema de Controle do EKF. 
 
 
 
 
 
 
39 
 
5.3. Conclusões 
 
Neste capítulo foi calculado o modelo vetorial discreto do motor que foi 
utilizado pelo algoritmo estimador EKF, além do detalhamento dos estágios que 
formam a estrutura computacional do filtro. E finalmente, apresenta-se no 
próximo capítulo uma simulação proposta baseada na teoria abordada sobre 
motor de indução trifásico e Filtro de Kalman Estendido, bem como são 
expostos os resultados obtidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
_______________________________________ 
 
 
Capítulo 6 
 
_______________________________________ 
 
 
Resultados Obtidos 
 
6.1 Introdução 
 
 Através da teoria apresentada neste trabalho foi possível propor um 
protótipo de simulação que demonstre o comportamento das variáveis de 
estado do motor, como a corrente do estator e o fluxo do rotor, bem como da 
velocidade estimada pelo EKF. A simulação proposta é constituída pelo motor 
de indução trifásico, dispositivos eletrônicos de potência e acionamentos, além 
do algoritmo estimador Filtro de Kalman Estendido simulado no bloco 
“Embedded Function” do Simulink destinado para programação em linguagem 
de alto nível. Os dados e parâmetros usados para obtenção deste modelo foram 
projetados de acordo com a disponibilidade de blocos e dispositivos eletrônicos 
do Simulink. 
 
6.2 Parâmetros do Motor 
 
 Na tabela 6.1 se encontram os parâmetros e dados de um motor de 
indução trifásico simulado no Simulink, especificados no bloco “Asynchronous 
Machine”. 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Parâmetros do Motor 
Resistência do Estator 1.63 Ω 
Resistência do Rotor 0.74 Ω 
Indutância do Estator 0.47 H 
Indutância do Rotor 0.21 H 
Indutância Mútua 0.85 H 
Momento de Inércia 0.0045 kg/m2 
Coeficiente de Atrito Dinâmico 0.001 N.m.s 
Número de Par de Pólos 2 
Potência/Tensão/Frequência 5HP/380V/60Hz 
 
Tabela 6.1 – Parâmetros do motor usado na simulação 
 
6.3 Inicialização das Matrizes do EKF 
 
 Na simulação foram considerados os ruídos de estado e de medição não 
correlacionados e com média zero, representados pelos vetores ( )v k e ( )w k 
respectivamente, com matrizes de covariância Q e R, respectivamente. O 
grande desafio do EKF é a inicialização destas matrizes, pois as mesmas 
influenciam na estabilidade e tempo de convergência do filtro. Um aumento nos 
elementos da matriz Q representa um maior grau de incerteza em relação ao 
estado do sistema, este aumento produz um incremento na matriz ganho de 
Kalman K, aumentando a velocidade de convergência da estimação. Já um 
aumento nos elementos da matriz R significa que as medições das correntes 
estão sujeitas a um maior grau de ruídos, implicando na diminuição da matriz K 
e consequentemente diminuindo a velocidade de resposta do filtro (Lino, 2001). 
 Existem vários métodos para a determinação dos valores iniciais das 
matrizes de covariância, entre eles o mais utilizado é a técnica de tentativa/erro, 
cuja finalidade é a obtenção do melhor desempenho para convergência das 
estimações do EKF. Usando este método, os melhores valores para os 
elementos das matrizes de covariância foram: 
 
 
0.15 0
0 0.15
R
 
=  
 
 (6.1) 
 
 
42 
 
0.01 0 0 0 0
0 0.01 0 0 0
0 0 0.004 0 0
0 0 0 0.004 0
0 0 0 0 0.00003
Q
 
 
 
 =
 
 
  
 (6.2) 
 
 
0.001 0 0 0 0
0 0.001 0 0 0
0 0 0.001 0 0
0 0 0 0.001 0
0 0 0 0 0.001
P
 
 
 
 =
 
 
  
 (6.3) 
 
6.4 Projeto Proposto para Simulação 
 
Baseando-se nas informações expostas neste trabalho, foi possível 
projetar no Simulink a estrutura reproduzida na figura 6.1. 
Observando o projeto, fica evidenciado que o motor de indução trifásico é 
alimentado por um inversor de freqüência a IGBT, ambos foram especificados no 
Simulink segundo as orientações contidas na seção 6.2. A figura 6.2 demonstra 
a estrutura utilizada para simulação do inversor a IGBT. 
 
Figura 6.2 – Estrutura interna do bloco “Inversor a IGBT” 
 
O período de amostragem aplicado na simulação foi de 0,001s. 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 – Projeto utilizado para simulação 
 
 
 
44 
 
O controle para o chaveamento do inversor é obtido pelo bloco “Controle 
de Pulsos”, onde está inserida a programaçãodo PWM. A figura 6.3 apresenta a 
estrutura utilizada para simulação do controle de pulsos. 
 
Figura 6.3 – Estrutura interna do bloco “Controle de Pulsos” 
 
O bloco “Clarke” se encarrega de obter a transformação trifásica para 
bifásica em coordenadas αβ no referencial estacionário. Enquanto que no bloco 
“Park” são executadas as transformações bifásicas de αβ estacionário para 
d q− síncrono, orientado pelas estimativas da posição angular do fluxo do rotor 
calculadas pelo EKF. Os programas utilizados nos blocos para simulação das 
transformadas de Clarke (para correntes e tensões) e Park (para correntes) são 
respectivamente: 
function [Ialfa, Ibeta] = Clarke(Ia, Ib, Ic) 
Ialfa=2/3*[1 -1/2 -1/2]*[Ia;Ib;Ic]; 
Ibeta=2/3*[0 sqrt(3)/2 sqrt(3)/2]*[Ia;Ib;Ic]; 
 
function [Vsalfa, Vsbeta] = Clarke(Vsa,Vsb,Vsc) 
Vsalfa=2/3*[1 -1/2 -1/2]*[Vsa;Vsb;Vsc]; 
Vsbeta=2/3*[0 sqrt(3)/2 sqrt(3)/2]*[Vsa;Vsb;Vsc]; 
 
function [Isd,Isq] = Park(Ialfa,Ibeta,Cos,Sen) 
Isd=Ialfa*Cos+Ibeta*Sen; 
Isq=-Ialfa*Sen+Ibeta*Cos; 
 
No bloco “EKF” são realizadas as estimativas necessárias para orientação 
do controle de pulsos e funciona de acordo com a estrutura apresentada na 
figura 5.1. 
 
 
45 
 
A seguir é apresentado o programa que é executado no bloco “EKF”. Os 
ruídos de estado e de medição que ocorrem frequentemente nos sistemas de 
controle convencionais foram representados no programa pelas matrizes de 
covariância Q e R, respectivamente. 
function [wmec,cos_teta,sen_teta] = EKF(isalfa,isbeta,vsalf a,vsbeta) 
 % Declaração das constantes 
 Rs=1.15; 
Rr=0.74; 
Ls=5.97e-3; 
Lr=5.97e-3; 
Lh=0.2037; 
J=0.02; 
D=0.001; 
np=2; 
k1=Ls-(Lh*Lh)/Lr; 
delta=1-(Lh^2/Ls*Lr); 
T1=Ls/Rs; 
T2=Lr/Rr; 
a=(1/(T1*delta))+((1-delta)/(delta*T2)); 
b=Lh/(delta*Ls*Lr*T2); 
c=(np*Lh)/(delta*Ls*Lr); 
d=Lh/T2; 
e=1/T2; 
v1=1/Ls*delta; 
T=1e-3; 
 % Declaração das tensões de entrada 
 % inicialização das variáveis 
isdest=zeros(1,10000); 
isqest=zeros(1,10000); 
wmecest=zeros(1,10000); 
flxrd=zeros(1,10000); 
flxrq=zeros(1,10000); 
Hk=[1 0 0 0 0;0 1 0 0 0]; 
K=[0.001 0;0.001 0;0.001 0;0.001 0;0.001 0]; 
C=[1 0 0 0 0;0 1 0 0 0]; 
B=[v1*T 0;0 v1*T;0 0;0 0;0 0]; 
Cd=[1 0 0 0 0;0 1 0 0 0]; 
% valores estabelecidos pela seção 6.3 
Q=[0.01 0 0 0 0;0 0.01 0 0 0;0 0 0.004 0 0;0 0 0 0. 004 0;0 0 0 0 
0.00003]; 
R=[0.15 0;0 0.15]; 
P=[0.001 0 0 0 0;0 0.001 0 0 0;0 0 0.001 0 0;0 0 0 0.001 0;0 0 0 0 
0.001]; 
 % Declaração dos estados iniciais 
isdest(1)=0.0001; 
isqest(1)=0.0001; 
wmecest(1)=0.00001; 
flxrd(1)=0.000001; 
flxrq(1)=0.000001; 
 % vetor estados iniciais 
 x=[isdest(1);isqest(1);flxrd(1);flxrq(1);wmecest( 1)]; 
 for i=2:1:10000 
 y=[isd;isq]; 
 u=[usd;usq]; 
 
 
 
 
 
46 
 
%EKF 
 %Etapa 1 - Predição do Vetor de Estado 
Ad=[1-(a*T) 0 b*T c*np*wmecest(i-1)*T 0;0 1-(a*T) - c*np*wmecest(i-1)*T 
b*T 0;d*T 0 1-(e*T) -np*wmecest(i-1)*T 0;0 d*T np*w mecest(i-1)*T 1-(e*T) 
0;0 0 0 0 1]; 
Bd=[v1*T 0;0 v1*T;0 0;0 0;0 0]; 
xpred=Ad*x+Bd*u; 
 %Etapa 2 - Predição da Matriz de Covariância 
fpred=[1-(a*T) 0 b*T c*T*wmecest(i-1) c*T*flxrq(i-1 );0 1-(a*T) -
c*T*wmecest(i-1) b*T -c*T*flxrd(i-1);d*T 0 -e*T -np *T*wmecest(i-1) 
T*flxrq(i-1);0 d*T -np*T*wmecest(i-1) -e*T T*flxrd( i-1);0 0 0 0 1]; 
Ppred=fpred*P*fpred'+Q; 
 %Etapa 3 - Computação da matriz de ganho de Kalman 
K=Ppred*Hk'*inv(Hk*Ppred*Hk'+R); 
 %Etapa 4 - Estimação vetor de estado 
yest=C*xpred; 
xest=xpred+K*(y-yest); 
 %Etapa 5 - Estimação do erro da matriz de covariânc ia 
Pest=Ppred-K*Hk*Ppred; 
x=xest; 
isdest(i)=x(1,1); 
isqest(i)=x(2,1); 
flxrd(i)=x(3,1); 
flxrq(i)=x(4,1); 
wmecest(i)=x(5,1); 
P=Pest; 
 end ; 
end 
 
6.5 Resultados da Simulação 
 
Foram analisados e comparados durante as simulações o comportamento 
das curvas de velocidade, correntes e torque, tanto de referência como às que 
foram estimadas pelo sistema de controle em malha fechada com a utilização do 
EKF, conforme apresentado na figura 6.1, considerando os ruídos provenientes 
dos sensores de correntes e tensões com suas respectivas variâncias 
representadas pelas matrizes R e Q das equações 6.1 e 6.2. 
 
A simulação foi executada comparando as seguintes situações: 
 
1° Caso : Motor em funcionamento através de Controle Escalar “V/f 
constante” sem aumento de carga e com sensor de velocidade no eixo do rotor, 
em comparação com Motor em funcionamento através de Controle Vetorial por 
orientação estimada pelo EKF sem aumento de carga e sem sensor no eixo do 
rotor; 
 
 
 
47 
 
2° Caso : Motor em funcionamento através de Controle Escalar “V/f 
constante” com aumento de carga e com sensor de velocidade no eixo do rotor, 
em comparação com Motor em funcionamento através de Controle Vetorial por 
orientação estimada pelo EKF com aumento de carga e sem sensor no eixo do 
rotor; 
 
Resultados da Simulação referentes ao 1° Caso : 
 
 
Figura 6.4 – Comparação da velocidade do Sistema de Controle Escalar 
(Referência) com a velocidade do Controle Vetorial EKF (Velocidade 
Estimada) sem aumento de carga 
É perceptível pela análise da figura 6.4 o desempenho comprometido do 
controle por EKF se comparado à referência, tanto pelo atraso das respostas de 
controle em regime transitório como pelo erro em regime permanente, além das 
variações ocorridas por determinados instantes até a estabilidade desejada. 
Este comportamento já era esperado, pois na seção 6.3 foi explicado que para 
obtenção de uma maior estabilidade do sistema de controle o grande desafio do 
EKF é a inicialização das matrizes R e Q, pois as mesmas influenciam na 
estabilidade e tempo de convergência do filtro. Um aumento nos elementos da 
matriz R, por exemplo, significa que as medições das correntes estão sujeitas a 
um maior grau de ruídos, implicando na diminuição da matriz K e 
 
 
48 
 
consequentemente diminuindo a velocidade de resposta do filtro. Durante as 
simulações foram alterados os valores das matrizes R e Q para comparar as 
respostas. O que se constatou foi que em alguns casos a resposta em regime 
transitório era eficaz, porém se comprometia a estabilidade do sistema de 
controle e o aumentava o erro em regime permanente. Em outros casos, houve 
um grande atraso na resposta em regime transitório, mas o erro de regime 
permanente diminuiu e estabilidade foi alcançada mais rapidamente. No 
entanto, a configuração de resposta para controle da velocidade aplicando um 
compromisso entre estabilidade, resposta rápida no regime transitório e menor 
erro em regime permanente foi obtido pela simulação da figura apresentada 
anteriormente. 
 
 
Figura 6.5 – Comparação das correntes de campo e quadratura do 
Controle Escalar (Referência) com as correntes de campo e quadratura 
do Controle Vetorial EKF (Estimada) sem aumento de carga 
 Nas equações 5.16 a 5.18, observamos que as correntes foram 
grandezas estimadas pelo EKF, desta forma como um estimador recursivo 
eficiente para sistemas não-lineares, as correntes estimadas se aproximaram 
consideravelmente das correntes de referência. 
 
 
49 
 
 
Figura 6.6 – Comparação do torque do Sistema de Controle Escalar 
(Referência) com o torque do Controle Vetorial EKF (Estimada) sem 
aumento de carga 
Como ocorreu com a velocidade, o torque do motor foi comprometido 
pelas mesmas razões aplicadas à análise da inicialização das matrizes de 
covariância. 
 
Resultados da Simulação referentes ao 2° Caso : 
 
 
Figura 6.7 – Comparação da velocidade do Sistema de Controle Escalar 
(Referência) com a velocidade do Controle Vetorial EKF (Velocidade Estimada) 
com aumento de carga 
 
 
50 
 
 Em decorrência do aumento de carga, o erro em regime para a 
velocidade estimada praticamente permaneceu o mesmo em relação à 
simulação do 1º caso (sem aumento de carga), o que tornaria o EKF 
implemantável no controle de motores de indução usados na indústria, 
evidentemente com as devidas