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Lista de exercícios
Aula 21 – Autovalores e autovetores
Álgebra Linear
Prof. Elton Carvalho — ECT — UFRN
Aula Síncrona: Quinta-feira 19/11/2020
1. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores ) ∈ ! (R2) abaixo.
(a) ) (G, H) = (G + H, G − H)
(b) ) (G, H) = (−G,−H)
(c) ) (1, 0) = (0,−1) e ) (0, 1) = (1, 0)
(d) ) (G, H) = (2H, G)
2. Obtenha os autovalores e autovetores correspondentes dos seguintes operadores lineares.
(a) ) : R4 → R4 tal que ) (G, H, I, F) = (G, G + H, G + H + I, G + H + I + F)
(b) ) : %2(R) → %2(R) tal que ) (0G2 + 1G + 2) = 0G2 + 2G + 1
(c) ) : "2×2(R) → "2×2(R) tal que ) (") = ") , leva a matriz " à sua transposta.
3. Veri�que que _ é autovalor e v_ é o respectivo autovetor do operador ) : � (R) → � (R) nos casos:
(a) ) ( 5 (G)) = 5 ′(G); _ = _; v_ = 4_G
(b) ) ( 5 (C)) = 5 ′′(C); _ = −l2; v_ = sen(lC)
(c) ) ( 5 (C)) = 5 ′′(C); _ = −l2; v_ = cos(lC)
4. Encontre o operador linear ) : R2 → R2, tal que ) (G, H) tenha autovalores −1 e 3 associados
respectivamente aos autovetores (3H, H) e (−2H, H).
5. Considere � =
[
−1 3
2 0
]
.
(a) Calcule os autovalores e autovetores correspondentes de � e �2.
(b) O que você pode dizer ao comparar os autovetores de � e �2?
(c) E quanto aos autovalores?
(d) O que você espera dos autovalores e autovetores de �3? Veri�que.
(e) Use a equação de autovetores �v = _v para demonstrar esse resultado para �=.
6. Considere � =
[
0 2
2 3
]
.
(a) Calcule os autovalores e autovetores correspondentes de � e �−1, a matriz inversa de �.
(b) O que você pode dizer ao comparar os autovetores de � e �−1?
(c) E quanto aos autovalores?
(d) Use a equação de autovetores �v = _v para demonstrar esse resultado para uma matriz �
inversível qualquer. (Sugestão multiplique por �−1 pela esquerda de ambos os lados)