OtavioPaulinoLavor-TESE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
 CENTRO DE TECNOLOGIA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
E DE COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bi Anisotropia em Antenas de Microfita Retangular e 
Estruturas Circulares Modificadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Otávio Paulino Lavor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes 
 
 
 
 
Tese de Doutorado 
apresentada ao Programa de 
Pós-Graduação em Engenharia 
Elétrica e de Computação da 
UFRN (área de concentração: 
Telecomunicações) como parte 
dos requisitos para obtenção do 
título de Doutor em Ciências. 
 
 
 
 
 
 
Número de Ordem do PPgEEC: D154 
Natal – RN, novembro de 2015 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede. 
 Catalogação da Publicação na Fonte. 
 
Lavor, Otávio Paulino. 
 Bi anisotropia em antenas de microfita retangular e estruturas 
circulares modificadas. / Otávio Paulino Lavor. – Natal, RN, 2015. 
 122 f. : il. 
 
Orientador: Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes. 
 
 Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. 
Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia 
Elétrica e de Computação. 
 
 1. Antena de microfita - Tese. 2. Ferrimagnéticos - Tese. 3. 
Metamateriais - Tese. 4. Método da Linha de Transmissão Transversa – 
Tese. 5. Patch Circular – Tese. I. Fernandes, Humberto César Chaves. II. 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título. 
 
RN/UF/BCZM CDU 621.396.67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico 
 
A Deus, minha esposa Vanúzia e minha 
filha Clarice. 
 
 
 
 
iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Eu não sei o que posso parecer 
aos olhos do mundo, mas eu me 
sinto como um garoto sentado à 
beira da praia admirando uma 
concha mais lisa ou um seixo 
mais largo, enquanto o grande 
oceano da verdade estar por 
descobrir a minha frente.” 
 
Isaac Newton 
 
 
v 
 
 
Agradecimentos 
 
 
 
A Deus, pela sua bondade infinita. 
A minha esposa Vanúzia e minha filha Clarice, que estão sempre ao meu lado, me 
apoiando e me dando forças. 
Ao Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes pela orientação, pelas grandes e 
valiosas sugestões que são tantas, pela amizade e paciência e pelo comprometimento com 
o trabalho de ensino e pesquisa. 
Ao Prof. Dr. Antônio Luiz pelo seu comprometimento a frente deste Programa de 
Pós-Graduação. 
Aos Professores Humberto Dionísio, Idalmir, Jonathan, Marinaldo Sousa e 
Patrocínio, pelas dicas, amizade, apoio e colaboração. 
Aos amigos Adler, Almir, Carlos Gomes, Francisco, Lucas, Tarcísio e Thiago 
pela sincera amizade e colaboração. 
À UFERSA, por me proporcionar afastamento integral das atividades para a 
realização deste curso. 
Aos Professores Ronaldo e Alfredo, por ceder espaço e tempo no laboratório de 
telecomunicações para que medições fossem realizadas. 
Ao GTEMA-IFPB, pelo suporte computacional e experimental. 
A Rogers Corporation, que enviou demonstrativos para a construção das antenas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi 
 
 
Resumo 
 
 
As antenas de microfita na sua forma mais simples são compostas por um plano 
de terra e um substrato dielétrico que sustenta uma fita condutora. Como estas antenas 
apresentam algumas limitações, este trabalho apresenta um estudo de substratos 
anisotrópicos, bem como alguns resultados em antenas de microfita com patch circular 
visando superar estas limitações, em especial nas aplicações em tecnologia 4G. Esses 
substratos anisotrópicos são aqueles em que permissividade elétrica e permeabilidade 
magnética são representadas por tensores de segunda ordem. O estudo consiste de uma 
análise teórica dos substratos e o desenvolvimento de um formalismo matemático, o 
método da Linha de Transmissão Transversa, visando a aplicação destes substratos em 
antenas de microfita. Dentre os substratos utilizados neste estudo, estão os 
ferrimagnéticos e os Metamateriais, em que algumas miniaturizações das antenas são 
alcançadas. Para antenas com patch circular, são considerados arranjos e planos te terra 
modificados a fim de alcançar melhoria nos parâmetros, em especial ganho e largura de 
banda. Tem sido feitas diversas simulações e antenas são construídas para que os valores 
medidos fossem comparados com os valores simulados. 
 
Palavras-chave: Antena de Microfita, Ferrimagnéticos, Metamateriais, Método 
da Linha de Transmissão Transversa, Patch Circular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
 
 
Abstract 
 
 
The microstrip antennas in your simplest form consist of a ground plane and a 
dielectric substrate which supports a conductive tape. As these antennas have some 
limitations, this work presents a study of anisotropic substrates, as well as some results in 
microstrip antennas with circular patch, aiming to overcome these limitations, especially 
in applications at 4G technology. These anisotropic substrates are those in which 
electrical permittivity and magnetic permeability are represented by tensors of second 
order. The study consists of a theoretical analysis of substrates and development of a 
mathematical formalism, the Transverse Transmission Line Method, aimed the 
application of these substrates in microstrip antennas. Among the substrates used in this 
study, there are the ferrimagnetic and metamaterials, in which some miniaturizations of 
the antennas are achieved. For antennas with circular patch, are considered arrays and 
modified ground planes in order to achieve improvement in parameters, in particular, 
gain and bandwidth. Several simulations have been made and antennas were constructed 
so that the measured values could be compared with the simulated values. 
 
Keywords: Microstrip Antenna, Ferrimagnetic, Metamaterials, Transverse 
Transmission Line Method, Circular Patch. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
LISTA DE FIGURAS ..................................................................................................... III 
LISTA DE TABELAS .................................................................................................... VI 
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS ............................................................ VII 
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................... 1 
CAPÍTULO 2 - ANTENAS DE MICROFITA ............................................................. 3 
2.1 Estrutura da Antena ....................................................................................................... 3 
2.2 Vantagens e Limitações ................................................................................................. 4 
2.3 Parâmetros de Antenas .................................................................................................. 4 
2.3.1 Diagramas de Radiação........................................................................................... 4 
2.3.2 Diretividade ............................................................................................................ 7 
2.3.3 Largura de Banda .................................................................................................... 7 
2.3.4 Perda de Retorno ..................................................................................................... 8 
2.3.5 Eficiência e Ganho .................................................................................................. 8 
2.4 Técnicas de Alimentação ...............................................................................................8 
2.5 Métodos de Análise ..................................................................................................... 10 
2.6 Rotina de Projeto ......................................................................................................... 11 
CAPÍTULO 3 - ARRANJOS DE ANTENAS ............................................................. 15 
3.1 Arranjos Lineares ........................................................................................................ 15 
3.1.1 Fator de Arranjo Linear ........................................................................................ 15 
3.1.2 Fase e Espaçamento entre os Elementos em um Arranjo Linear .......................... 17 
3.2 Arranjo Planar ............................................................................................................. 19 
3.2.1 Fator de Arranjo Planar ......................................................................................... 19 
3.2.2 Fase e Espaçamento entre os Elementos em um Arranjo Planar .......................... 20 
3.3 Arranjo Circular ........................................................................................................... 21 
CAPÍTULO 4 - SUBSTRATOS ................................................................................... 24 
4.1 Substratos Isotrópicos .................................................................................................. 24 
4.2 Anisotropia Dielétrica e Magnética ............................................................................. 25 
4.3 Metamateriais .............................................................................................................. 27 
4.3.1 Uma Nova Classe de Substratos: Metamateriais .................................................. 27 
4.3.2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas em um Meio Metamaterial ................... 29 
4.3.3 Projeto do Meio Metamaterial .............................................................................. 31 
CAPÍTULO 5 - APLICAÇÃO DO MÉTODO DA LINHA DE TRANSMISSÃO 
TRANSVERSA ………………………………………………………………………36 
5.1 Desenvolvimento dos Campos Transversais ............................................................... 36 
5.2 Campos Eletromagnéticos no Substrato ...................................................................... 40 
5.3 Expansão das Densidades de Corrente em Termos de Funções de Base .................... 48 
CAPÍTULO 6 - ANÁLISE DE RESULTADOS ......................................................... 51 
6.1 Antena Retangular com Substrato Ferrimagnético ...................................................... 51 
6.2 Antena Retangular com Substrato Metamaterial ......................................................... 55 
6.3 Miniaturização de Antenas de Microfita para Aplicações em Tecnologia 4G ............ 57 
6.3.1 Projeto das antenas Miniaturizadas ....................................................................... 57 
6.3.2 Resultados das Antenas Miniaturizadas ............................................................... 59 
6.4 Antena em Disco com Plano de Terra Modificado ..................................................... 64 
6.5 Antena com Patch Circular sobre Substrato Retangular com Plano de Terra 
Modificado ........................................................................................................................ 71 
6.6 Antenas em Altas Frequências .................................................................................... 74 
 
 
ii 
 
6.7 Arranjos de Antenas com Patch Circular .................................................................... 80 
6.8 Projeto de Antena de Microfita para Aplicações em Sistemas de Comunicação UWB
 ........................................................................................................................................... 90 
6.8.1 Projeto da Antena UWB ....................................................................................... 91 
6.8.2 Resultados Numéricos e Experimentais da Antena UWB .................................... 91 
6.9 Antena de Microfita com Diferentes Configurações de Estruturas EBG .................... 93 
6.9.1 Projeto das Estruturas EBG .................................................................................. 93 
6.9.2 Resultados das Antenas com Estruturas EBG ...................................................... 94 
CAPÍTULO 7 - CONCLUSÕES ............................................................................... 101 
TRABALHOS DO AUTOR .......................................................................................... 103 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii 
 
 
Lista de Figuras 
 
Figura 2. 1 – Antena de Microfita Convencional. ............................................................... 3 
Figura 2. 2 – Geometrias utilizadas em patches de antenas de microfita. Adaptado de [6].
 ............................................................................................................................................. 4 
Figura 2. 3 – Configuração de campos em uma antena patch. ............................................ 5 
Figura 2. 4 – Sistema de coordenadas para obtenção do diagrama de radiação. ................. 5 
Figura 2. 5 – (a) Lóbulos de radiação e larguras de feixe de um diagrama de antena; (b) 
Gráfico linear de um diagrama de potência e seus lóbulos e largura de feixe associados. 
Adaptado de [6]. .................................................................................................................. 6 
Figura 2. 6 – Alimentação via Linha de Microfita. Adaptado de [6] .................................. 9 
Figura 2. 7 – Alimentação via Conector Coaxial. Adaptado de [6] .................................... 9 
Figura 2. 8 – Alimentação via Acoplamento por Abertura. Adaptado de [6] ................... 10 
Figura 2. 9 – Alimentação via Acoplamento por proximidade. Adaptado de [6]. ............ 10 
Figura 2. 10 – Antena de microfita com linha de alimentação indentada. ........................ 11 
Figura 2. 11 – Medição no analisador de redes vetoriais. ................................................. 13 
Figura 3. 1 – Geometria da arranjo linear com N elementos. ............................................ 16 
Figura 3. 2 – Arranjo de fase em uma antena. ................................................................... 18 
Figura 3. 3 – Geometria do arranjo linear ......................................................................... 19 
Figura 3. 4 – Geometria do arranjo circular. ..................................................................... 22 
Figura 4. 1 – Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (μ) para os quatro tipos de 
meios. ................................................................................................................................. 28 
Figura 4. 2 – Ilustração da propagação em um meio com índice de refração positivo 
(RHM) e com índice de refração negativo (LHM). θ1 é o ângulo de incidência e θ2 é o 
ângulo de refração. Reproduzido de [40]. ......................................................................... 29 
Figura 4. 3 – Ilustração das direções do campo elétrico, do campo magnético, do vetor de 
Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM. Reproduzido de [41]. .......................... 29 
Figura 4. 4 – (a) estrutura composta por fios milimétricos (thin wire – TW). (b) estrutura 
composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator – SRRs). Reproduzido de 
[25]. ................................................................................................................................... 31 
Figura 4. 5 – Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configuração dupla e (b) 
configuração simples. Reproduzido de [25] ......................................................................33 
Figura 4. 6 – Primeiras estruturas LH de TW e SRRs. (a) Estrutura LH unidimensional. 
(b) Estrutura LH bidimensional. Reproduzido de [25]. ..................................................... 33 
Figura 4. 7 – Resultados teóricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, (a) 
permeabilidade, (b) permissividade. Reproduzido de [37] ............................................... 34 
Figura 5.1- Fluxograma do método LTT. .......................................................................... 36 
Figura 5.2- Antena com substrato bi anisotrópico. ............................................................ 41 
Figura 6. 1 – Frequência de ressonância em função do comprimento. Campo magnético 
d.c.=132,6 AT/m. ............................................................................................................... 51 
Figura 6. 2 – Frequência de ressonância em função do campo magnético d.c. ................. 52 
Figura 6. 3 – Frequência de ressonância em função do comprimento. ............................. 53 
Figura 6. 4 – Perda de retorno da antena com ferrita e Rogers R03006. ........................... 54 
Figura 6. 5 – Ressoador de anel partido. ........................................................................... 56 
Figura 6. 6 – a) Antena com Metamaterial (SRR), b) Geometria do patch. ..................... 56 
Figura 6. 7 – Perda de retorno da antena convencional e com metamaterial. ................... 57 
file:///C:/Users/Otavio/Documents/DOUTORADO/Tese/TeseOtavio2311Corrigida.doc%23_Toc435999205
file:///C:/Users/Otavio/Documents/DOUTORADO/Tese/TeseOtavio2311Corrigida.doc%23_Toc435999205
 
 
iv 
 
Figura 6. 8 – Geometria da antena padrão ......................................................................... 58 
Figura 6. 9 – Geometria do plano de terra. ........................................................................ 58 
Figura 6. 10 – Perda de retorno da antena padrão e proposta projetada para 2,5 GHz. .... 59 
Figura 6. 11 – Fotografia da antena miniaturizada na frequência de 2,5 GHz. a) vista 
frontal, b) vista posterior. .................................................................................................. 60 
Figura 6. 12 – Perda de retorno da antena miniaturizada na frequênciade 2,5 GHz. ........ 60 
Figura 6. 13 – Impedância de entrada da antena miniaturizada na frequência de 2,5 GHz.
 ........................................................................................................................................... 61 
Figura 6. 14 – Perda de retorno da antena padrão e proposta projetada para 700 MHz. ... 61 
Figura 6. 15 – Fotografia da antena miniaturizada na frequência de 700 MHz. a) vista 
frontal, b) vista posterior. .................................................................................................. 62 
Figura 6. 16 – Perda de retorno da antena miniaturizada na frequência de 700 MHz. ..... 63 
Figura 6. 17 – Impedância de entrada da antena miniaturiza na frequência de 700 MHz. 63 
Figura 6. 18 – Geometria da antena padrão em disco. a) patch, b) plano de terra. ........... 64 
Figura 6. 19 – Geometria do plano de terra proposto. a) 8 raios, b) 16 raios. ................... 65 
Figura 6. 20 – Perda de retorno da antena em disco. ......................................................... 65 
Figura 6. 21 – Diagramas de radiação da antena padrão em disco. a) 2D, b) 3D. ............ 66 
Figura 6. 22 – Diagramas de radiação da configuração 1 (8 raios). a) 2D, b) 3D. ............ 67 
Figura 6. 23 – Diagramas de radiação da configuração 2 (16 raios). a) 2D, b) 3D. .......... 68 
Figura 6.24 – Ganho das antenas em disco. ..................................................................... 69 
Figura 6. 25 – Antena em disco. a) vista frontal, b) vista posterior. ................................. 69 
Figura 6. 26 – Perda de retorno para a antena em disco construída. ................................. 70 
Figura 6. 27 – Impedância de entrada da antena em disco construída. ............................. 71 
Figura 6. 28 – Geometria da antena proposta. a) patch, b) plano de terra. ........................ 72 
Figura 6. 29 – Simulação da antena padrão e proposta ..................................................... 72 
Figura 6. 30 – Fotografia da antena proposta. a) vista frontal, b) vista posterior. ............. 73 
Figura 6. 31 - Perda de retorno da antena proposta. .......................................................... 73 
Figura 6. 32 – Geometria da antena em alta frequência. a) patch, b) plano de terra. ........ 74 
Figura 6. 33 – Perda de retorno simulada para antena padrão e com abertura circular. .... 75 
Figura 6. 34 – Diagramas de radiação da antena padrão em THz. a) 2D, b) 3D. .............. 76 
Figura 6. 35 – Diagrama de radiação da antena com abertura circular, R=10mm. a) 2D, b) 
3D. ..................................................................................................................................... 77 
Figura 6. 36 – Diagramas de radiação da antena com abertura circular, R=15mm. a) 2D, 
b) 3D. ................................................................................................................................. 78 
Figura 6. 37 – Diagramas de radiação da antena com abertura circular, R=20mm. a) 2D, 
b) 3D. ................................................................................................................................. 79 
Figura 6. 38 – Geometria do patch padrão. ....................................................................... 80 
Figura 6. 39 – Geometria de um arranjo linear com dois elementos. ................................ 81 
Figura 6. 40 – Geometria do arranjo circular com quatro elementos. ............................... 81 
Figura 6. 41 – Perda de retorno em função da frequência para antena padrão e arranjos. 82 
Figura 6. 42 – Diagramas de radiação da antena padrão. a) 2D, b) 3D. ............................ 83 
Figura 6. 43 – Diagramas de radiação do arranjo linear. a) 2D, b) 3D. ............................ 84 
Figura 6. 44 – Diagramas de radiação do arranjo circular. a) 2D, b) 3D. ......................... 85 
Figura 6. 45 – Fotografia da antena padrão. a) vista frontal, b) vista posterior................. 86 
Figura 6. 46 – Fotografia do arranjo linear. a) vista frontal, b) vista posterior. ................ 86 
Figura 6. 47 – Fotografia do arranjo circular. a) vista frontal, b) vista posterior. ............. 87 
Figura 6. 48 – Perda de retorno da antena padrão. ............................................................ 87 
Figura 6. 49 – Perda de retorno do arranjo linear. ............................................................. 88 
Figura 6. 50 – Perda de retorno do arranjo circular. .......................................................... 88 
Figura 6. 51 – Impedância de entrada da antena padrão. .................................................. 89 
 
 
v 
 
Figura 6. 52 – Impedância de entrada do arranjo linear. ................................................... 89 
Figura 6. 53 – Impedância de entrada do arranjo circular. ................................................ 90 
Figura 6. 54 – Geometria da antena com abertura circular no plano de terra. a) patch, b) 
plano de terra. .................................................................................................................... 91 
Figura 6. 55 – Fotografia da antena com abertura circular no plano de terra. a) vista 
frontal, b) vista posterior. .................................................................................................. 92 
Figura 6. 56 – Perda de retorno da antena com abertura circular no plano de terra. ......... 92 
Figura 6. 57 – Geometria da antena padrão. ...................................................................... 93 
Figura 6. 58 – Antena com Estrutura EBG. ....................................................................... 94 
Figura 6. 59 – Perda de retorno da antena padrão e configuraçõespropostas. .................. 95 
Figura 6. 60 – Perda de retorno das novas antenas projetadas para 28 GHz. .................... 96 
Figura 6. 61 – Diagramas de radiação da antena padrão. a) 2D, b) 3D. ............................ 97 
Figura 6. 62 – Diagramas de radiação da configuração com r=0,2mm. a) 2D, b) 3D. ..... 98 
Figura 6. 63 – Diagramas de radiação da configuração com r=0,3mm. a) 2D, b) 3D. ..... 99 
Figura 6. 64 – Diagramas de radiação da configuração com r=0,4mm. a) 2D, b) 3D. ... 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi 
 
 
Lista de Tabelas 
 
Tabela 6. 1 – Dimensões do patch para FR4 e ferrimagnético. ......................................... 52 
Tabela 6. 2 – Dados de RO3006 e Ferrita ......................................................................... 53 
Tabela 6. 3 – Dimensões da antena com RO3006 e Ferrita. ............................................. 54 
Tabela 6. 4 – Dimensões do patch para Metamaterial e FR4. ........................................... 55 
Tabela 6. 5 – Dimensões da antena com Metamaterial (SRR) e antena convencional. .... 56 
Tabela 6. 6 – Dimensões da antena padrão e proposta para 2,5 GHz. .............................. 58 
Tabela 6. 7 – Dimensões da antena padrão e proposta para 700 MHz. ............................. 58 
Tabela 6. 8 – Dimensões do plano de terra truncado......................................................... 59 
Tabela 6. 9 – Perda de retorno dos arranjos em função da frequência. ............................. 82 
Tabela 6. 10 – Dimensões da antena com abertura circular no plano de terra. ................. 91 
Tabela 6. 11 – Valores das perdas de retorno, frequências de operação e largura de banda 
para a antena padrão e demais configurações. ................................................................... 95 
Tabela 6. 12 – Permissividade e dimensões das novas antenas como função do raio do 
cilindro de ar ...................................................................................................................... 95 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
 
 
Lista de Símbolos e Abreviaturas 
 
 
η Impedância Intrínseca do Espaço Livre 
l Comprimento da fita 
λ Comprimento de onda, λ=c/f 
g Comprimento de onda guiada 
L Comprimento do patch 
 Constante de Propagação na Direção y 
I Corrente elétrica 
β Fase progressiva; constante de fase 
FA Fator de Arranjo 
Ω Frequência Angular Complexa 
W Largura do patch 
µ Permeabilidade Magnética 
ε Permissividade Elétrica 
µr Permeabilidade Relativa 
εr Permissividade Relativa 
κ Número de Onda 
ik Número de Onda da iésima Região Dielétrica 
j Número Imaginário Unitário, 1j   
eff Permeabilidade Magnética efetiva 
0 Permeabilidade Magnética no Espaço Livre 
eff Permissividade Elétrica efetiva 
0 Permissividade Elétrica no Espaço Livre 
λef Profundidade de penetração efetiva 
  Tensor Permissividade Elétrica 
  Tensor Permeabilidade Magnética 
n Variável Espectral na Direção x 
 
 
viii 
 
k Variável Espectral na Direção z 
x̂ Versor na Direção x 
ŷ Versor na Direção y 
ẑ Versor na Direção z 
E Vetor Campo Elétrico 
H Vetor Campo Magnético 
n Índice de refração 
 Constante de Propagação 
SRR Split Ring Resonator 
TW Thin Wire 
LHM Left-Handed Materials 
LTT Método da Linha de Transmissão Transversa 
RHM Right-Handed Materials 
UWB Ultra-Wideband 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 - Introdução 
 
 
As antenas são parte de um sistema de transmissão ou recepção que é projetado 
para emitir ou receber ondas eletromagnéticas [1]. Elas exercem um papel importante nos 
sistemas de comunicação sem fio. O desempenho desses dispositivos influencia 
significativamente na eficiência dos sistemas dos quais fazem parte, e para descrever tal 
desempenho se faz necessária a análise de diversos parâmetros, tais como: diagrama de 
radiação, diretividade, ganho, largura de banda, VSWR, etc. 
As aplicações, atualmente, na área de sistemas de comunicação móvel, 
normalmente exigem antenas com menor dimensão, a fim de satisfazer a miniaturização 
das unidades móveis. Desta forma, tamanho e largura de banda estão tornando-se 
importantes para a concepção das aplicações práticas de antenas. 
Dependendo da aplicação, uma antena pode não atender os requisitos desejados e, 
portanto, mudanças em sua estrutura devem ser feitas para suprir estas exigências. Por 
exemplo, a largura de banda pode não atender o esperado e o tamanho pode ser 
desproporcional aos dispositivos. 
Dentre os vários tipos de antenas existentes, um dos mais utilizados devido às 
suas características para aplicação em sistemas de comunicação, são as antenas de 
microfita [2]. Elas, em sua forma mais simples, são compostas por um plano de terra e 
um substrato dielétrico que sustenta uma fita condutora, a qual é chamada de patch. 
Sua utilização não é uma novidade no mundo das comunicações. As primeiras 
publicações a respeito de antenas patch ocorreram na década de 50 com Deschamps [3] 
nos Estados Unidos e com Gutton e Baissinot na França [4]. No entanto, pesquisas 
envolvendo antenas planares ganharam força a partir da década de 70, com o trabalho de 
Byron [5]. 
Essas antenas são facilmente aplicáveis, pois tem a facilidade de se moldar às 
superfícies, tem uma construção simples e pode-se considerar que várias limitações de 
seu uso já foram superadas [6]. 
Como melhoria nos parâmetros, diversas modificações são feitas, seja no 
substrato, patch ou plano de terra. Recentemente, uma antena de microfita em disco foi 
proposta, usando um conjunto de vias condutoras que ligam o patch ao plano de terra 
modificado com ramos curvos [7]. Tal antena foi projetada para cobrir a faixa de 2,4 GHz 
e uma larga faixa de passagem foi obtida. Modificações no plano de terra foram feitas 
usando ressoadores de anel partido visando a rejeição de faixa em antenas UWB (Ultra 
Wide Band) [8,9]. Outras modificações já haviam sido feitas no patch, como em [10-12]. 
A inserção de supercondutores no elemento radiante tem sido trabalhada a fim de 
verificar mudanças nos parâmetros, em especial, no ganho e perda de retorno [13]. 
Outras modificações feitas envolve a utilização de estruturas EBG (Electronic 
Band Gap), como em [13, 14]. Em [15], é feito um estudo do metamaterial no substrato, 
em que é analisado e validado o método da linha de transmissão transversa-LTT. Com o 
uso do metamaterial foi possível reduzir significativamente as dimensões da antena. 
O uso de metamaterial também foi estudado em [16], onde neste estudo também 
são encontrados o uso de materiais ferrimagnéticos. Em relação a estes materiais, esse 
substrato torna-se bastante interessante quando se deseja uma miniaturização da antena 
[17-20]. Os ferrites também foram usados em [21, 22]. A obtenção da permeabilidade 
efetiva em função do campo magnético é vista em [23]. 
2 
 
 
 
Os arranjos também são bastante utilizados, visto que em diversas aplicações, são 
necessárias antenas com ganhos elevados. Os arranjos planares e circulares são mais 
versáteis e podem prover diagramas de radiação mais simétricos em relação aos arranjos 
lineares [6, 24]. 
Visto que as antenas de microfita apresentam algumas limitações, este trabalho 
objetiva estudar diversos substratos anisotrópicos em antenas retangulares, bem como 
estruturas circulares modificadas, visando superar estas limitações no que diz respeito, 
principalmente, a tamanho, largura de banda e ganho. As aplicações consistem 
principalmente na tecnologia 4G que compreende a faixa de 2,5 a 2,69 GHz. 
O substrato na sua forma mais simples tem permissividade e permeabilidade 
como números reais positivos, enquanto que os metamateriais tem permissividade e 
permeabilidade dada por matrizes diagonais [25]. No entanto, em sua forma mais geral, a 
permissividade e permeabilidadesão tensores de ordem dois [26], ou melhor, matriz 
quadradas dispostas em três linhas e três colunas, onde estas matrizes podem ou não 
serem simétricas. Estes são os materiais bi anisotrópicos, ou seja, anisotropia dielétrica e 
magnética. 
Neste trabalho um estudo de substratos bi anisotrópicos com permissividade e 
permeabilidade tensorial é desenvolvido, usando o Método da Linha de Transmissão 
Transversa - LTT [27-28] modificado. Neste procedimento o método de Galerkin, caso 
particular do método dos Momentos [29], é utilizado no domínio espectral. 
Em seguida, para validação das análises, são elaborados programas 
computacionais na linguagem Fortran Power Station. Essa validação se dá em especial 
para substratos ferrimagnéticos, uma vez que a análise desses substratos pelo método 
LTT é uma novidade. 
Numa segunda parte deste texto, são analisadas antenas com patch circular e com 
alterações no plano de terra, bem como arranjos de antenas deste tipo. Para validar as 
simulações computacionais, várias antenas são construídos, medidos e comparados com 
suas simulações, mostrando resultados satisfatórios. 
O texto está dividido em 7 capítulos. O Capítulo 2 trata de informações sobre as 
antenas de microfita, onde são apresentados os conceitos fundamentais das antenas 
planares de microfita, sua estrutura padrão e as características principais dessas antenas. 
No Capítulo 3, será abordada a teoria sobre arranjo de antenas em configurações 
lineares, planares e circulares. O Capítulo 4 é reservado ao estudo dos substratos, em que 
é discutido substratos isotrópicos, ferrimagnéticos e metamateriais, enfatizando o estudo 
geral da permeabilidade e permissividade. 
No Capítulo 5, apresenta-se a aplicação do método LTT, em que são obtidas as 
equações dos campos magnéticos e elétricos em um substrato bi anisotrópico, ou seja, 
com anisotropia elétrica e magnética. O Capítulo 6 mostra os resultados numéricos para 
a antena de microfita com patch retangular sobre um substrato ferrimagnético usando o 
método LTT. Tal método também é usado na análise de substratos metamateriais. O 
capítulo mostra também simulações e resultados para antenas com modificações no plano 
de terra, para antenas com patch circular sobre substrato retangular e plano de terra 
modificado, antenas miniaturizadas, antenas com frequências de THz e aplicações UWB. 
No Capítulo 7, são apresentadas as conclusões e as perspectivas de continuação do 
trabalho. Em seguida são exibidos os trabalhos realizados e as referências bibliográficas 
utilizadas neste estudo. 
 
3 
 
 
 
Capítulo 2 - Antenas de Microfita 
 
 
O presente capítulo apresenta um estudo das antenas de microfita abordando a 
estrutura convencional e descrevendo os principais parâmetros analisados neste trabalho e 
a rotina de projeto, desde a análise, passando pela simulação até a construção. 
 
2.1 Estrutura da Antena 
 
Em sua estrutura mais simples, a antena de microfita é composta de um elemento 
metálico (patch) depositado sobre um substrato, que por sua vez está sobre um plano de 
terra, como mostrado na Figura 2.1. O patch pode ter várias geometrias tais como: 
retangular, circular, elíptica, triangular ou qualquer outra configuração de acordo com a 
característica desejada [6]. 
 
 
Figura 2. 1 – Antena de Microfita Convencional. 
 
A forma do elemento metálico influencia na distribuição de corrente, e por 
consequência, na distribuição dos campos na superfície da antena. Logo, a radiação da 
antena pode ser determinada através da distribuição de campo entre o patch e o plano de 
terra, bem como, em termos de distribuição de corrente de superfície no patch. Alguns 
exemplos de geometrias são mostrados na Figura 2.2. 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Vantagens e Limitações 
 
As antenas de microfita possuem diversas vantagens quando comparadas as 
antenas convencionais, podendo ser aplicadas em uma larga faixa de frequências. Dentre 
estas vantagens podem ser citadas: 
a) Pequenas dimensões; 
b) Possibilidade de polarização linear ou circular que pode ser conseguida, em 
alguns casos, pela simples troca da posição do ponto de alimentação; 
c) Fabricação simultânea das linhas de alimentação e circuitos de casamento de 
impedâncias com a estrutura da antena; 
d) Configuração de perfil plano, permitindo adaptação à superfície de montagem. 
 
Entretanto, estes dispositivos têm algumas desvantagens em relação a antenas 
convencionais, tais como; 
a) Largura de banda estreita; 
b) Baixo ganho; 
c) Complexas estruturas de alimentação são necessárias para arranjo de antenas de 
alto desempenho; 
d) Radiação indesejável pelas estruturas de alimentação, junções e possíveis circuitos 
de casamentos; 
 
 
2.3 Parâmetros de Antenas 
 
2.3.1 Diagramas de Radiação 
 
Os diagramas de radiação são definidos em planos E e H. O plano E é definido 
como sendo aquele que contém o vetor campo elétrico na direção de máxima irradiação e 
o plano H como aquele que contém o vetor campo magnético na direção de máxima 
Figura 2. 2 – Geometrias utilizadas em patches de antenas de microfita. 
Adaptado de [6]. 
5 
 
 
 
irradiação. Considerando a antena perpendicular ao eixo x, como mostra a Figura 2.3, o 
plano x-y (chamado de plano de elevação) é o plano E e o plano x-z (chamado de plano 
azimutal) é o plano H, para as antenas de microfita retangular, ou seja, considerando um 
sistema de coordenadas esféricas, tem-se 
 Plano E 90 ,0 90 e 270 360            e  Plano H 0 ,0 180       [6]. 
 
 
Figura 2. 3 – Configuração de campos em uma antena patch. 
 
No caso da antena com patch circular, considerando o patch perpendicular ao eixo 
z, centrado em x=y=0 num sistema de coordenadas esféricas, tem-se 
 Plano E 0 ,180 ,0 90        e  Plano H 90 ,270 ,0 90        [6]. 
A Figura 2.4 mostra o sistema de coordenadas utilizado para o equacionamento do 
diagrama de radiação da antena. O desenvolvimento é feito em termos de campo distante, 
considerando a fonte de campo elétrico fora da origem. Na Figura 2.4, observa-se o ponto 
P, onde será analisado o campo elétrico; R é a distância do elemento radiador até o ponto 
P, r é a distância da origem até P, r’ é a distância da origem até o elemento radiador, ϕ é o 
ângulo entre a projeção de r no plano xy e o eixo x, ϕ’ é o ângulo entre r’ e o eixo x, ϕ é o 
ângulo entre r e o eixo z e Ɵ’ é o ângulo entre r’ e o eixo z. A Figura 2.5 apresenta 
exemplos de diagrama de radiação. 
 
 
 
Figura 2. 4 – Sistema de coordenadas para obtenção do diagrama de radiação. 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
a) 
 
 
b) 
Figura 2. 5 – (a) Lóbulos de radiação e larguras de feixe de um diagrama de antena; (b) Gráfico linear de 
um diagrama de potência e seus lóbulos e largura de feixe associados. Adaptado de [6]. 
 
Do diagrama de radiação da Figura 2.5, podem-se extrair as seguintes 
informações: 
a) Lóbulo principal - ocorre na direção que contém a maior concentração de 
potência radiada, 
b) Lóbulos secundários - todos os lóbulos, exceto o principal; 
7 
 
 
 
c) LFMP (Largura de feixe de meia potência)- largura de feixe com centro na 
direção de máxima radiação, para a qual a potência radiada decresce à metade; 
d) LFEN (Largura de feixe entre nulos)- largura de feixe com centro na direção de 
máxima radiação, para a qual a potência radiada decresce ao seu primeiro valor mínimo. 
 
2.3.2 Diretividade 
 
A diretividade é uma medida das propriedades direcionais de uma antena 
comparada às características de uma antena isotrópica. Sendo a antena isotrópica a base 
para o cálculo da diretividade, ela possui a distribuição de energia no espaço mais 
uniforme possível, levando assim a uma diretividade unitária. A diretividade é definida 
como sendo a razão entre a intensidade de radiação em uma dada direção da antena e a 
intensidade de radiação média sobre todas as direções [4]. 
Sea direção não for especificada, a direção de intensidade máxima de radiação 
(máxima diretividade) é expressa por 
 max max0
0
4
rad
U U
D D
U P

   (2.1) 
em que D é a diretividade, D0 a diretividade máxima, Umax a intensidade máxima de 
radiação, U0 a intensidade de radiação de uma fonte isotrópica e Prad a potência total 
radiada. 
 
 
 
2.3.3 Largura de Banda 
 
A largura de banda (BW) de uma antena é definida como a faixa de frequências, 
nos dois lados de uma frequência central, na qual as características da antena, como perda 
de retorno, têm valores dentro de limites aceitáveis [6]. 
Considerando a perda de retorno como função da frequência, os limites aceitáveis 
neste trabalho são aqueles em que perda de retorno é inferior a -10 dB. 
A largura de banda pode ser definida em valores percentuais, por exemplo, definir 
a largura de banda de uma antena em 5%, significa que a diferença entre a frequência 
maior e a frequência menor, dividida pela frequência central, é igual a 0,05. Dessa forma, 
pode-se escrever; 
f
ff
BW 12

 (2.2) 
em que f é a frequência central de operação, 
1f é a frequência inferior e 2f é a frequência 
superior da faixa. 
Outra forma de expressar a largura de banda é como a diferença entre a frequência 
superior e inferior, ou seja; 
2 1BW f f  (2.3) 
Um dos maiores problemas das antenas de microfita é a largura de banda estreita 
(entre 2 e 5%), porém algumas técnicas para aumentar a largura de banda vêm sendo 
empregadas, tais como antenas com substratos PBG e antenas com patches empilhados 
(entre 10 e 20%) [14, 30]. 
8 
 
 
 
2.3.4 Perda de Retorno 
 
Devido às reflexões na fronteira de uma linha de transmissão, o meio contendo a 
onda incidente também contém a onda refletida e a superposição destas duas ondas forma 
um padrão de ondas estacionárias. O coeficiente ou razão de onda estacionária de tensão, 
VSWR(Voltage Stationary Wave Radio), desta linha de transmissão, é definido como 
sendo a razão entre os valores máximos e mínimos da amplitude da onda estacionária, 
estabelecida ao longo do comprimento l da linha expresso por [26] 
1
1
VSWR
 

 
 (2.4) 
em que Γ é o coeficiente de reflexão dado por 
0
0
c
c
Z Z
Z Z

 

 (2.5) 
sendo Zc a impedância da linha e Z0 a impedância característica. 
A Perda de Retorno indica a proporção entre a potência incidente e a refletida, ou 
seja, corresponde ao parâmetro S11 na matriz de espalhamento. É definida como [26] 
   20logRL dB    (2.6) 
 
 
2.3.5 Eficiência e Ganho 
 
A eficiência (η) é medida pela razão entre potência radiada e potência de entrada 
(Pent), ou seja, indica quanto de potência é transmitida, dada a potência recebida. Há 
vários tipos de eficiência, dentre elas: a eficiência de radiação (ηrad) e a eficiência total 
(ηtot), sendo: 
 
 
 
,
,
rad
rad
entrada
GP
P D
 

 
  (2.6) 
e 
 
rad
tot
fonte
P
P
  (2.7) 
Outra medida útil para descrever o desempenho de uma antena é a análise de 
ganho. Embora o ganho esteja relacionado à diretividade, este leva em consideração tanto 
a eficiência como as propriedades direcionais da antena. 
 O ganho é definido como [6] 
 
 4 ,
,
fonte
U
G
P
  
   (2.8) 
em que  ,U   é a intensidade de radiação. 
 
 
2.4 Técnicas de Alimentação 
 
Antenas de microfita podem ser alimentadas por uma variedade de métodos. Esses 
podem ser classificados em duas categorias: conectados e não conectados. Nas técnicas 
9 
 
 
 
conectadas, a fonte de Rádio Frequência (RF) é ligada fisicamente ao patch usando linhas 
de microfita ou conector coaxial. Enquanto que, nas técnicas não conectadas, a ligação é 
feita por acoplamento eletromagnético. As quatro técnicas mais comuns são: linha de 
microfita, sonda coaxial (conexão direta), acoplamento por abertura e proximidade. 
A alimentação por linha de microfita, conforme visto na Figura 2.6, foi a primeira 
técnica empregada. Neste modelo, a região interior da antena patch é modelada como 
uma seção de linha de transmissão, ou seja, é também uma fita condutora, normalmente 
de comprimento menor comparado ao patch. As vantagens em usar tal processo é a 
facilidade de construção, pois é implementado diretamente sobre o substrato. 
 
 
Figura 2. 6 – Alimentação via Linha de Microfita. Adaptado de [6] 
 
Outra técnica de alimentação bastante usada é aquela feita por cabo coaxial. Como 
visto na Figura 2.7, o condutor interno do conector coaxial transpõe o dielétrico, e é 
soldado ao patch, enquanto o outro condutor (externo) é conectado diretamente ao plano 
de terra. A principal vantagem, é que a alimentação pode ser feita em qualquer local do 
patch, é de fácil fabricação e tem poucos lóbulos indesejados. Entretanto, impõe 
limitações à largura de banda e é mais difícil de modelar, especialmente no caso de 
substratos espessos ( 00,02h  ) [6]. 
 
 
Figura 2. 7 – Alimentação via Conector Coaxial. Adaptado de [6] 
10 
 
 
 
 
Os métodos de acoplamento são os mais difíceis de fabricar, principalmente o 
acoplamento por abertura. Essa técnica consiste de dois substratos separados por um 
plano de terra. Abaixo do substrato que se encontra localizado sob o plano de terra, há 
uma linha de alimentação de microfita que fornece energia através de um slot conectado 
ao mesmo, como visto na Figura 2.8. 
 
 
Figura 2. 8 – Alimentação via Acoplamento por Abertura. Adaptado de [6] 
 
Quanto ao acoplamento por proximidade, essa técnica de alimentação consiste em 
uma linha de alimentação colocada entre dois substratos dielétricos, conforme Figura 2.9, 
na qual o patch é colocado sobre o substrato superior, enquanto que o plano de terra é 
colocado sob o substrato inferior. O casamento de impedância é atingido variando-se a 
largura da linha de transmissão e espessura dos substratos. 
 
 
Figura 2. 9 – Alimentação via Acoplamento por proximidade. Adaptado de [6]. 
 
 
2.5 Métodos de Análise 
 
Os principais métodos de análise de antenas de microfita são: o da linha de 
transmissão, o modelo da cavidade, o Método da Linha de Transmissão Equivalente - 
11 
 
 
 
LTE ou Método da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz, o Método da 
Linha de Transmissão Transversa – LTT e o método dos elementos finitos. 
Em [6], é feita uma análise para antenas de microfita com patches circulares e 
retangulares. A análise de estruturas retangulares é feita pelo modelo da Linha de 
Transmissão (LT), no qual o patch e a linha de alimentação são modelados por seções de 
LT, bem como pelo método da cavidade, no qual a antena é tratada como sendo uma 
cavidade com paredes ressonantes. No caso de uma antena com patch circular, a análise é 
feita pelo método da cavidade, no qual os modos suportados pela antena podem ser 
determinados tratando o patch, o plano de terra e o material entre eles como uma 
cavidade circular. 
Embora esses modelos, linha de transmissão e cavidade, sejam relativamente 
simples de implementar e aplicar a diversos formatos de antenas, há algumas limitações 
em seu uso, principalmente, devido às aproximações iniciais e a limitação de análise de 
antenas com substratos anisotrópicos. 
Assim, a análise deve ser feita a partir de um método de análise dinâmica, também 
chamado de onda completa. Dentre os váriosmétodos de onda completa, pode-se citar o 
método LTT. Uma vez que este método é utilizado neste trabalho, o Capítulo 5 irá 
apresentar o seu desenvolvimento. 
 
 
2.6 Rotina de Projeto 
 
Dada a frequência de ressonância e o substrato que será utilizado, alguns passos 
são seguidos desde o cálculo das dimensões até a medição dos protótipos. O tipo de 
alimentação utilizada neste trabalho é por linha de microfita, o método de análise 
considerado é o método LTT e para realizar o casamento de impedâncias, a técnica 
utilizada é o Inset Feed [6]. A Figura 2.10 apresenta a antena de microfita e a técnica 
empregada. 
 
Figura 2. 10 – Antena de microfita com linha de alimentação indentada. 
 
Dado um substrato de espessura h, permissividade relativa εr e permeabilidade 
relativa µr, as dimensões da Figura 2.10 são calculadas em função da frequência de 
ressonância, fr. 
Os valores da largura W e comprimento L do patch são determinados pelo método 
LTT. Tal método é descrito no Capítulo 5. 
12 
 
 
 
Para a linha de alimentação, z é o comprimento, que neste trabalho é adotado 
como λ/4, em que λ é o comprimento de onda. A largura w é dada pela raiz da equação 
[6] 
60 8
ln , 1
4
120
, 1
1,393 0.667 ln 1,444
ref
c
ref
h w w
w h h
Z w
hw w
h h



  
  
 

 

          
 (2.9) 
em que 
1/ 2
1 1
1 12
2 2
r r
ref
h
W
 


   
   
 
 (2.10) 
e Zc é a impedância característica da linha que neste trabalho é normalizado para 50 Ω. 
Para determinar a raiz da Equação (2.9) que é transcendental, é utilizado o método 
numérico da bissecção. 
Agora, é necessário determinar y. A condutância pode ser expressa por [6] 
1
1 2120
I
G

 (2.11) 
em que 
   
 
2
0
3
1
0
cos
2
cos
 2 cos
k W
sen
I sen d
sen X
X XSi X
X
 
 

  
  
  
 
  
    

 (2.12) 
sendo 
0X k W (2.13) 
0k é o número de onda no espaço livre e  Si X é a função seno integral dada por 
 
0
X
sent
Si X dt
t
  (2.14) 
Na função da equação (2.14), tem-se um integrando que não tem primitiva, então 
os valores de  Si X são determinados por integração numérica. Neste trabalho, é usada 
a regra de Simpson. 
A resistência de entrada para a alimentação indentada é dada por [6] 
 
 
2
1 12
1
cos
2
inR y y
G G L
 
  
  
 (2.15) 
em que G1 á dado pela equação (2.11) e 
 
2
0
3
12 0 02
0
cos
1 2
120 cos
k W
sen
G J k Lsen sen d
 
  
 
  
  
  
 
  
 (2.16) 
em que J0 é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero. 
13 
 
 
 
Para determinar y, basta solucionar a Equação (2.15), fazendo  inR y igual à 
impedância de entrada que neste trabalho é 50 Ω. 
Resta determinar g, que pode ser determinado por [31] 
124,65 10
2 rref
c
g
f

 (2.17) 
Para antenas com patch circular, as dimensões são as mesmas do patch retangular, 
exceto pelas dimensões do patch, que agora possui apenas um grau de liberdade. Após 
uma análise das dimensões circulares e retangulares para diversos substratos de diferentes 
espessuras em diversas frequências, propõe-se, neste trabalho, que o raio do patch 
circular possa ser escrito como função do comprimento e largura do patch retangular. 
Neste trabalho, a aproximação é feita tomando o raio como um meio da média de 
comprimento e largura, ou seja; 
   1
2 2 4
W L W L
a
 
  (2.18) 
Isso significa que num projeto, um patch circular com raio dado pela Equação 
(2.18) tem a mesma resposta de um patch retangular com largura W e comprimento L. 
Essa aproximação é validada através de simulações e resultados experimentais. 
Após terem sido calculadas todas as dimensões, a antena é modelada e simulações 
computacionais são feitas. Nesta fase de simulações, alterações são feitas na antena, em 
especial no plano de terra, a fim de se verificar melhorias nos parâmetros. 
A fase seguinte é a construção. Neste trabalho, algumas antenas são construídas 
por corrosão e outras por prototipagem. No processo de corrosão, as placas são imersas 
em FeCl3-Cloreto de ferro III, também conhecido por percloreto de ferro, que corrói as 
partes metálicas não adesivadas. Para a fabricação na prototipadora LPKF ProtoMat
®
 
S42, que é uma máquina de prototipagem de circuitos impressos de alta performance, os 
desenhos são importados e as partes metálicas não desejadas são removidas da placa. 
Após a construção, medições são feitas para que os dados simulados e medidos 
sejam comparados. O instrumento para medição é um Analisador de Redes Vetoriais, o 
Agilent Technologies E5071C (ENA- Series Network Analyzer). A Figura 2.11 mostra 
uma medição sendo realizada. 
 
 
Figura 2. 11 – Medição no analisador de redes vetoriais. 
 
 
14 
 
 
 
Na medição, são coletados os dados de perda de retorno e impedância de entrada e 
estes dados são comparados com os dados obtidos de simulações. Esta etapa finaliza a 
rotina de projeto deste trabalho. Esta rotina é executada em diversas antenas e os 
resultados são apresentados no Capítulo 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
Capítulo 3 - Arranjos de Antenas 
 
 
Um arranjo de fase de antenas é constituído por um número limitado de antenas 
idênticas e associa os sinais induzidos nessas antenas para formar a saída do arranjo. 
Cada antena do arranjo recebe o nome de elemento do arranjo. A direção onde o ganho 
do arranjo será o máximo possível é controlada pelo ajuste da fase do sinal nos diferentes 
elementos. A fase induzida nos vários elementos é ajustada de forma que os sinais em 
uma determinada direção, na qual se deseja máximo ganho, são somados em fase. Isso 
resulta em um ganho do arranjo, que é aproximadamente a soma dos ganhos individuais 
dos elementos naquela direção. 
Em estruturas simples (apenas um elemento radiador), verifica-se que certas 
características como: ganho, diretividade e largura de feixe de meia-potência nem sempre 
são adequadas para aplicações práticas. Alternativamente, usa-se arranjos para solucionar 
tais problemas [32,33]. 
Neste capítulo serão descritos os arranjos de fase em configurações geométricas 
lineares, planares e circulares. No arranjo linear seus elementos radiadores estão 
dispostos ao longo de uma linha, enquanto que, no arranjo planar seus elementos estão 
dispostos em uma malha retangular e no arranjo circular, os elementos estão dispostos 
numa linha circular. Em todos os casos os elementos são constituídos do mesmo material 
e possuem espaçamento constante entre os elementos adjacentes. 
 
3.1 Arranjos Lineares 
 
3.1.1 Fator de Arranjo Linear 
 
Na Figura 3.1, verifica-se um arranjo linear de N elementos em um campo 
distante de fontes isotrópicas ao longo do eixo “z”. 
16 
 
 
 
 
Figura 3. 1 – Geometria da arranjo linear com N elementos. 
 
O fator de arranjo pode ser obtido considerando os elementos como uma fonte 
pontual, sendo determinado por [6]: 
 
      cos 2 cos 1 cos
1
j kd j kd j N kd
FA e e e
           
    (3.1) 
ou ainda 
 
  1 cos
1
N
j n kd
n
FA e
  

 (3.2) 
em que β é a diferença de fase entre os elementos. 
 A equação (3.2) pode ser reescrita como 
 
 1
1
N
j n
n
FA e


 (3.3) 
em que 
 coskd    (3.4) 
Multiplicando-se ambos os lados da equação (3.3) por e
j
, obtém-se: 
 
 
 12 3 j Nj j jj jNFA e e e e e e
          (3.5) 
 
Subtraindo-se (3.3) de (3.5), obtém-se: 
 
   1 1j jNFA e e     (3.6) 
Logo, a equação anterior pode ser reescrita como: 
 
 
     
   
1 / 2 / 2
2
1/ 2 1/ 2
1
1
N j N j NjN j
j j j
e e e
FA e
e e e
  
  
  
 
 

   
    
    
 (3.7) 
17 
 
 
 
 
 1
2 2
1
2
N
j
N
sen
FA e
sen



 
 
 
  
  
  
  
    
 (3.8) 
Se for tomado como referência um ponto localizado no centro físico do arranjo, o 
fator de arranjo pode ser reduzido para: 
 
2
1
2
N
sen
FA
sen


  
  
  
  
    
 (3.9) 
Para valores pequenos de , obtém-se: 
 
2
2
N
sen
FA


  
  
  
  
  
  
 (3.10) 
Realizando-se uma normalização em relação ao número máximo de elementos do 
arranjo de modo que seu valor máximo seja igual à unidade, as equações (3.9) e (3.10) 
podem ser apresentadas respectivamente por 
 
1 2
1
2
n
N
sen
FA
N
sen


  
  
  
  
    
 (3.11) 
e 
 
2
2
n
N
sen
FA
N


  
  
  
  
    
 (3.12) 
 
3.1.2 Fase e Espaçamento entre os Elementos em um Arranjo 
Linear 
 
Em um arranjo de fase, a máxima radiação pode ser orientada em qualquer 
direção. Assumindo que a máxima radiação do arranjo é necessária para ângulos 0 
variando de 0
o 
à 180
o
, a fase de excitação  entre os elementos deve ser ajustada, tal que: 
 
 
0
coskd       (3.13) 
resultando em: 
 0
coskd   (3.14) 
ou 
 
1
0 cos
kd

 
 
  
 
 (3.15) 
A variação da fase  irá mudar 0, causando um deslocamento no feixe. Este 
mecanismo é a base do arranjo de fase em antenas, como mostra a Figura 3.2. A variação 
18 
 
 
 
na fase é realizada por deslocadores de fase (phase shifters), conectados em cada um dos 
elementos que compõe o arranjo. 
 
 
Figura 3. 2 – Arranjo de fase em uma antena. 
 
Quando as correntes que alimentam os elementos estão em fase e com igual 
amplitude, resultará em um feixe na direção broadside (arranjo cujos elementos 
contribuem com campos de igual amplitude e fase). 
O fator de arranjo da equação (3.2) pode ser escrito em termos da variável v = 
cos: 
 
   0
1
0
N
jnkd v v
n
FA v e



 (3.16) 
em que a direção de maior radiação v0 é relacionada com a diferença de fase  = -kdv0. 
FA(v) e FA() são relacionados ponto-a-ponto na região |v|1, que é referida 
como a região visível do espaço correspondente a ângulos reais de . Também se nota 
que FA(v) é uma função periódica de v de período [6]: 
 
2 1
dkd d
 

  (3.17) 
O máximo de FA(v) ocorre sempre que o argumento da equação (3.16) é múltiplo 
de 2i; 
 
 0 2kd v v i  (3.18) 
ou 
 
0i
i
v v
d

  (3.19) 
em que i = 0,  1,  2 ..., 
Quando vi = vo ou i = 0, o máximo geralmente refere-se como lóbulo principal e 
os outros máximos são conhecidos como lóbulos secundários. No projeto de arranjos de 
fase, é necessário que os lóbulos secundários sejam eliminados ou minimizados. Este 
lóbulo reduz a potência do lóbulo principal, diminuindo o ganho da antena. O 
espaçamento d entre os elementos deve ser escolhido de forma a evitar lóbulos de grade 
na região visível do espaço. Quando o lóbulo principal está em uma direção vo, o lóbulo 
de grade mais próximo da região visível do espaço é localizado por [6,34]: 
 
0
1
iv v d

  (3.20) 
O lóbulo de grade apenas aparecerá no espaço visível quando vo – 1/(d/)  -1, 
19 
 
 
 
desta forma o critério para o espaçamento entre os elementos em termos do maior ângulo 
de radiação omax é [6]: 
 max0
1
1
d
sen 


 (3.21) 
Dessa forma, o espaçamento entre os elementos é sempre 2d  . 
 
 
3.2 Arranjo Planar 
 
3.2.1 Fator de Arranjo Planar 
 
Para obtermos ângulos de radiação em duas dimensões, deve ser usado um arranjo 
planar de elementos radiadores. Para uma disposição em um grid retangular, o elemento 
(m,n)-ésimo é localizado por xm=mdx e yn=mdy. Devido suas características geométricas, 
os arranjos planares apresentam maiores simetrias em seus campos radiados. 
Se M elementos são posicionados ao longo do eixo “x” como ilustrado na Figura 
3.3, o fator de arranjo é dado por [6]: 
 
  
1
1 cos
1
x x
M
j m kd sen
m
m
FA I e
   

 (3.22) 
sendo Im1 o coeficiente de excitação de cada elemento. O espaçamento e o deslocamento 
de fase entre os elementos ao longo do eixo “x” são representados, respectivamente, por 
dx e x. 
 
Figura 3. 3 – Geometria do arranjo linear 
 
Conforme a Figura 3.3, observa-se que N elementos são dispostos ao longo do 
eixo “y”, sendo dy a distância entre eles e y o deslocamento de fase. Desta forma, o fator 
de arranjo pode ser calculado assumindo o vetor contribuição de cada elemento do 
arranjo em cada ponto no espaço. 
 
     
1 1
1 cos1 cos
1
y yx x
N
j n kd senj m kd sen
n m
n
FA I I e e
       

 
  (3.23) 
ou 
xm ynFA S S  (3.24) 
em que 
 
20 
 
 
 
 
  1 cos
1
1
I x x
M
j m kd sen
xm m
m
S e
   

 (3.25) 
e 
 
  1 cos
1
1
I y y
N
j n kd sen
yn n
n
S e
   

 (3.26) 
As equações (3.25) e (3.26) mostram que o fator de arranjo de um arranjo planar é 
o produto dos fatores nas direções “x” e “y”. 
Se as amplitudes dos coeficientes de excitação dos elementos do arranjo na 
direção “y” são proporcionais em relação aqueles na direção “x”, a amplitude do (m,n)-
éssimo pode ser escrita como: 
 1 1mn m n
I I I  (3.27) 
Considerando a excitação de amplitude uniforme, a excitação total poderá ser 
definida por Imn=Io. Logo, o fator de arranjo será expresso como: 
 
     
1 cos
1 cos
0
1 1
j n kd seny y
x x
M N
j m kd sen
m n
FA I e e
  
  
 
 
 
   (3.28) 
Normalizando-se (3.28), obtém-se: 
 
1 12 2
2 2
x y
n
x y
M N
sen sen
FA
M N
sen sen
 
 
     
     
     
   
     
          
 (3.29) 
sendo 
 
cosx x xkd sen     (3.30) 
e 
 
cosy y ykd sen     (3.31) 
 
3.2.2 Fase e Espaçamento entre os Elementos em um Arranjo 
Planar 
 
Em um arranjo retangular, o lóbulo principal (m=n=0) e os secundários são 
orientados a partir de: 
 
 
cos 2x xkd sen m      0,1,2,m   (3.32) 
 
cos 2y ykd sen n      0,1,2,n   (3.33) 
 
As fases x e y são independentes, ou seja, os seus valores podem ser diferentes. 
Quando se deseja máxima radiação em uma certa localização =o e =o, a variação da 
fase progressiva entre os elementos nas direções “x” e “y” é definida por [6]: 
 0 0
cosx xkd sen    (3.34) 
 0 0
cosy ykd sen    (3.35) 
21 
 
 
 
O lóbulo principal e os lóbulos de grade podem ser localizados por: 
 
 0 0cos cos 2xkd sen sen m       0,1,2,m   (3.36) 
 
 0 0cos 2ykd sen sen sen n       0,1,2,n   (3.37) 
ou 
 
0 cos
x
m
sen sen sen
d

      0,1,2,m   (3.38) 
 
0 cos
y
n
sen sen sen
d

      0,1,2,n   (3.39) 
Manipulando-se, simultaneamente, as equações (3.38) e (3.39), obtém-se: 
 
0 0
1
0 0
tan
cos
y
x
n
sen sen
d
m
sen
d

 


 

 
 
 
 
 
 
 (3.40) 
e 
 
0 0
1
cos
cos
x
m
sen
d
sen

 



 
 
 
 
  
 (3.41) 
O número de lóbulos de grade que podem ser projetados no espaço visível 
depende dos parâmetros dx /  e dy / . Para evitar formação de lóbulos de grade no 
espaço visível, tem-se [6]: 
 
 
2 2coscos 1x ya a  (3.42) 
sendo ax e ay definidas pelas equações: 
 
cos cosxa sen  (3.43) 
 
cos ya sen sen  (3.44) 
 
O espaçamento entre os elementos dx /  e dy /  deve ser escolhido de forma que 
ocorra apenas um máximo do fator de arranjo. Esse ajuste de parâmetro é similar ao 
apresentado para os arranjos lineares, sendo, portanto definidos por [6]: 
max0
1
1
xd
sen 


 (3.45) 
e 
max0
1
1
yd
sen 


 (3.46) 
 
3.3 Arranjo Circular 
 
Admita que N elementos isotrópicos sejam igualmente espaçados no plano x-y ao 
longo de um anel circular de raio a, como mostra a Figura 3.4. O campo normalizado do 
22 
 
 
 
arranjo pode ser escrito como 
 
1
, ,
njkRN
n n
n n
e
E r a
R
 


 (3.47) 
em que nR é a distância entre o n-ésimo elemento e o ponto de observação. 
 
Figura 3. 4 – Geometria do arranjo circular. 
 
 Para nR r , a equação (3.47) se torna 
   cos
1
, , n
jkr N
jkasen
n n
n
e
E r a e
r
  
 



  (3.48) 
em que an é o coeficiente de excitação do n-ésimo elemento e 2n
n
N
  é a posição 
angular do n-ésimo elemento no plano x-y. Em geral, o coeficiente de excitação pode ser 
escrito como 
nj
n na I e

 (3.49) 
em que nI é a amplitude da excitação do n-ésimo elemento e n é a fase da excitação do 
n-ésimo elemento. Dessa forma, (3.48) pode ser escrita como 
   , , ,
jkr
n
e
E r FA
r
   

    (3.50) 
em que 
23 
 
 
 
   [ cos ]
1
, n n
N
j kasen
n
n
FA I e
   
 
 

 (3.51) 
representa o fator de arranjo circular de N elementos igualmente espaçados. 
Para orientar o pico do feixe principal na direção  0 0,  , a fase da excitação do 
n-ésimo elemento pode ser escolhida como [6] 
 0 0cosn nkasen      . (3.52) 
Assim, o fator de arranjo de (3.51) pode ser escrito como 
     0 0[ cos cos ]
1
, n n
N
jka sen sen
n
n
FA I e
     
 
  

 (3.53) 
que pode ser reescrito como 
   0 cos
1
, n
N
jk
n
n
FA I e
  
 


 (3.54) 
em que 
1 2
2 2
0 a x y     (3.55) 
e 
1 0 0
0 0
tan
cos cos
sen sen sen sen
sen sen
   

   
    
 
 (3.56) 
No caso da excitação de cada elemento  0nI I com amplitude uniforme, (3.54) 
pode ser escrita como 
     / 20 0,
jmN
mN
m
FA NI J k e
 
  



  (3.57) 
em que  pJ x é a função de Bessel de primeira espécie e ordem p. A parte associada à 
função de Bessel é chamado termo principal, enquanto que os termos restantes são ditos 
residuais [6]. Quando N é muito grande, a função de Bessel pode ser usada sozinha para 
aproximar os diagramas bidimensionais dos planos principais, já que os outros termos 
têm valores desprezíveis quando comparados com a função de Bessel de ordem alta que 
assume valores muito pequenos. Uma discussão sobre arranjos circulares pode ser 
encontrada em [35]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
Capítulo 4 - Substratos 
 
 
Este capítulo apresenta um estudo dos substratos do ponto de vista dos tensores 
permissividade e permeabilidade, visto que as propriedades elétricas e magnéticas dos 
materiais podem ser determinadas por esses dois parâmetros constitutivos. Em conjunto, 
a permeabilidade e a permissividade determinam a resposta do material quando uma onda 
eletromagnética se propaga através do mesmo. 
Em sua forma mais geral, permissividade e permeabilidade são dadas por [26] 
  0
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
  
    
  
 
 
  
 
 
 (4.1) 
e 
  0
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
  
    
  
 
 
  
 
 
 (4.2) 
em que 0 é a permissividade elétrica do espaço livre e 0 a permeabilidade magnética 
do espaço livre. 
Quando alguns termos dessas matrizes são nulos, tem-se alguns substratos bem 
utilizados em antenas de microfita. Podem-se citar os isotrópicos, os ferrites e os 
metamateriais, sendo estes dois últimos casos de anisotropia. No que segue, esses 
substratos são descritos. 
 
4.1 Substratos Isotrópicos 
 
Substratos isotrópicos são aqueles onde o comportamento do campo elétrico e 
magnético aplicado independe da direção dos campos, ao contrário dos substratos 
anisotrópicos, onde o comportamento de um campo aplicado depende da direção deste 
campo. 
Neste caso, nas matrizes acima, os termos fora da diagonal principal são nulos e 
os termos da diagonal principal são todos iguais. Assim tem-se 
  0
0 0
0 0
0 0
r
r
r

  

 
 

 
  
 (4.3) 
e 
  0
0 0
0 0
0 0
r
r
r

  

 
 

 
  
 (4.4) 
 
25 
 
 
 
Para substratos isotrópicos, pode-se escrever r 0 e 0 r   , onde εr e µr 
são funções escalares. 
Os substratos mais usados atualmente utilizam constantes dielétricas entre 
.122,2  r Os substratos mais desejáveis para a melhoria do desempenho da antena 
são os mais espessos, cujas constantes dielétricas são mais baixas, pois eles possibilitam 
maior eficiência e largura de banda, contudo, são mais onerosos em sua fabricação devido 
ao maior consumo de material, dado à maior espessura do substrato. 
Substratos mais finos com altas constantes dielétricas são desejáveis para circuitos 
de microondas, pois eles requerem limites de campo para minimizar irradiações e 
acoplamentos indesejáveis. São vantajosos por conseguirem elementos de menores 
dimensões, entretanto devido as suas grandes perdas, são menos eficientes e têm largura 
de banda estreita. 
Um estudo a respeito da propagação de ondas eletromagnéticas nestes materiais 
isotrópicos pode ser encontrado em [26, 36, 37]. 
 
4.2 Anisotropia Dielétrica e Magnética 
 
A anisotropia dielétrica é caracterizada pelo fato do material apresentar a 
permissividade elétrica na forma de um tensor dado pela Equação (4.1). 
Para o caso de substratos dielétricos anisotrópicos sem perdas, considerando os 
eixos ópticos orientados ao longo dos eixos principais do sistema de coordenadas 
cartesianas, a permissividade passa a ser expressa por 
  0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz

  

 
 

 
  
 (4.5) 
Podem-se listar dois tipos de anisotropia dielétrica; a biaxial, quando todos os 
termos da diagonal da matriz acima são diferentes entre si e a uniaxial, quando dois 
termos são iguais. Então no caso uniaxial, considerando que o eixo óptico é o eixo z, tem-
se que: 
  0
0 0
0 0
0 0
xx
xx
zz

  

 
 

 
  
 (4.6) 
 A razão de anisotropia é definida como 
x xx
z zz
n
n


 (4.7) 
Exemplos de substratos anisotrópicos dielétricos são a safira e o nitreto de boro. 
A anisotropia magnética é caracterizada pela permeabilidade magnética expressa 
pelo tensor da Equação (4.2). No caso de um material sem perdas, considerando os eixos 
ópticos orientados ao longo dos eixos principais do sistema de coordenadas cartesianas, a 
Equação (4.2) se reduz a: 
  0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz

  

 
 

 
  
 (4.8) 
26 
 
 
 
 Alguns dos materiais anisotrópicos mais práticos para aplicaçõesde micro-ondas 
são compostos ferrimagnéticos, também conhecidos como ferrites, tais como ítrio, 
granado de ferro (YIG) e materiais compostos por óxidos de ferro e outros elementos, tais 
como alumínio, cobalto, manganês e níquel [26]. Compostos ferrimagnéticos possuem 
alta resistividade e uma quantidade significativa de anisotropia. Essa anisotropia 
magnética de um material ferrimagnético é induzida pela aplicação de um campo de 
polarização magnética DC. Uma vez que, para uma determinada direção de rotação, o 
sentido de polarização muda com a direção de propagação, um sinal de micro-ondas irá 
se propagar através de um ferrite magneticamente tendenciosa de forma diferente em 
direções diferentes [26]. 
Quando esse campo de polarização é introduzido, a magnetização tenderá a um 
valor limite, sM , chamada de magnetização de saturação que é uma propriedade física do 
material ferrimagnético. 
Em [26], é feita uma análise do comportamento microscópico do material 
ferrimagnético, para derivar o tensor permeabilidade. Então, para um campo de 
polarização 0 0 ˆH H z e magnetização de saturação sM , tem-se que: 
  0
0
0
0 0 1
r
r
j
j
 
   
 
 
 
 
  
 (4.9) 
em que 
0
2 2
0
1 mr
 

 
 

 (4.10) 
2 2
0
m
 


 (4.11) 
0 0 0H   (4.12) 
e 
0m sM   (4.13) 
sendo 
111,759 10   C/Kg, a razão giromagnética. 
Se o campo de polarização estiver ao longo do eixo x, tem-se: 
  0
1 0 0
0
0
r
r
j
j
   
 
 
 

 
  
 (4.14) 
e se tal campo, estiver ao longo do eixo y, tem-se 
  0
0
0 1 0
0
r
r
j
j
 
 
 
 
 

 
  
 (4.15) 
Existem também substratos que podem possuir tanto isotropia dielétrica, como 
magnética, que é o caso dos metamateriais que são descritos na seção seguinte. 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
4.3 Metamateriais 
 
4.3.1 Uma Nova Classe de Substratos: Metamateriais 
 
Geralmente, a permissividade ε e a permeabilidade μ são ambos positivos em 
meios convencionais. Enquanto ε pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo, ε 
pode apresentar valores negativos abaixo da frequência de plasma dos metais), nenhum 
material natural com μ negativo é conhecido. Porém, certos materiais, chamados de 
materiais LHM (Left-Handed Materials), possuem permissividade efetiva (εeff) e 
permeabilidade efetiva (μeff) apresentando, simultaneamente, valores negativos [16]. Em 
tais materiais, o índice de refração (n) é negativo, fator este que resulta na inversão dos 
fenômenos eletromagnéticos conhecidos, os quais foram investigados, teoricamente, pelo 
físico russo Veselago [38]. Na época da publicação do estudo, o próprio Veselago 
ressaltou que tais materiais não estavam disponíveis na natureza, o que fez com que suas 
observações ficassem apenas no território das curiosidades. 
Esses novos materiais são denominados de metamateriais, em que o prefixo meta 
é uma alusão à natureza excêntrica de seus parâmetros eletromagnéticos. 
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia, capaz de atender 
às exigências dos sistemas atuais e futuros de comunicações. Baseados em uma atraente e 
revolucionária classe de materiais que possuem novas propriedades de propagação 
eletromagnética, eles foram considerados pela revista Science como sendo um dos 
maiores avanços da ciência no ano de 2006 [39]. 
As características desses meios artificiais vão além de sua funcionalidade, já que é 
permitida a combinação de sinais entre os parâmetros de permissividade e 
permeabilidade. Esses parâmetros são relacionados ao índice de refração n dado por [25]: 
 
r rn    (4.16) 
em que μr e εr são a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente 
relacionadas à permeabilidade e permissividade no espaço livre dadas por μ0 = μ/μr = 4π 
x 10
-7
N/A
2
 e ε0 = ε/εr = 8,854 x 10
-12 
C
2
N
-1
m
-2
, respectivamente. Na equação (4.16) o 
sinal ± para um duplo valor da função raiz quadrada é admitido a priori para casos gerais. 
As quatro possibilidades de combinações de sinais para ε e μ são (+,+), (+,-), (-,+) e (-,-). 
A Figura 4.1 ilustra uma representação gráfica de quatro diferentes possibilidades 
de materiais para aplicações eletromagnéticas, baseados em suas permissividades e 
permeabilidades. São também ilustradas a refração e a reflexão considerando uma 
interface entre o ar e cada meio em questão. Existem quatro regiões no diagrama. 
 
28 
 
 
 
 
Figura 4. 1 – Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (μ) para os quatro tipos de meios. 
 
Veselago determinou que se ε ou μ fossem negativos, ou seja, tivessem sinais 
opostos, o material não suportaria a propagação de ondas eletromagnéticas [40]. Este 
fenômeno veio a ser conhecido como “band gap eletromagnetic (EBG)”. Ainda tem a 
região onde ε e μ são positivos, que é o caso dos materiais convencionais (RHM – Right-
Handed Materials) onde a refração ocorre positivamente; e a região na qual ε e μ são 
negativos, simultaneamente, onde se encontram os metamateriais (LHM – Left-Handed 
Materials), nos quais a refração ocorre negativamente. 
A presença de índice de refração negativo nos meios LH implica em uma 
velocidade de grupo antiparalela à velocidade de fase, causando interessantes efeitos, 
como por exemplo, uma inversão da direção do efeito Doppler ou inversão do raio 
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (índice de refração 
negativo). Como Veselago apontou, estas reversões da onda eletromagnética contêm 
implicações para muitos fenômenos. 
O índice de refração determina como o feixe é refratado na interface de separação 
entre dois meios distintos. Se o índice é positivo, o feixe é refratado no lado oposto da 
normal à superfície em relação ao feixe incidente. Enquanto se o índice é negativo ele é 
defletido no mesmo lado da normal à superfície. Considerando um prisma de RHM e 
LHM, Figura 4.2, é possível observar o fenômeno da refração nos dois meios. Para o 
prisma RHM, o raio refratado produz um ângulo positivo com a normal, no prisma de 
LHM, o raio refratado produz um ângulo negativo com a normal. Além disso, a 
velocidade de grupo, que caracteriza o fluxo de energia, e a velocidade de fase, que 
caracteriza o movimento das frentes de onda, aponta em direções opostas, como mostra a 
Figura 4.3. 
 
29 
 
 
 
 
Figura 4. 2 – Ilustração da propagação em um meio com índice de refração positivo (RHM) e com índice de 
refração negativo (LHM). θ1 é o ângulo de incidência e θ2 é o ângulo de refração. Reproduzido de [40]. 
 
 
 
Figura 4. 3 – Ilustração das direções do campo elétrico, do campo magnético, do vetor de Poyting e do 
vetor de onda (a) RHM e (b) LHM. Reproduzido de [41]. 
 
Vale ressaltar que estes materiais artificiais, com índice de refração negativo, 
possuem os valores de ε e μ dependentes da frequência, ou seja, são meios dispersivos, 
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequências [25]. 
Os metamateriais também podem ser projetados de modo que possam apresentar 
os mesmos parâmetros eletromagnéticos dos materiais pertencentes aos outros três 
quadrantes. Daí, muitos trabalhos têm sido desenvolvidos e validados experimentalmente 
[42,43]. 
 
4.3.2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas em um Meio 
Metamaterial 
 
Partindo das equações de Maxwell e sintetizando para a equação de onda, tem-se: 
 
 
2 2
2
2 2
0
n
c t
 
    
 
 (4.17) 
em que “n” é o índice de refração, “c” é a velocidade da luz no vácuo, n²/c² = με e Ψ é a 
função de