Resolução 2504

Prévia do material em texto

1º) 
a) 
 
Condições de contorno: para x = 0: v = 0 e para x = 5 m: v = 0 
Substituindo as condições de contorno na equação da linha elástica, 
obtém-se: C1 = 9,5833 e C2 = 0 
Substituindo C1 e C2 nas equações da inclinação e da linha elástica, 
obtém-se: 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
𝐸𝐼
 {0, 100𝑥² − 0, 333𝑥³ + 8, 9 < 𝑥 − 5 > ² + 0, 333 
< 𝑥 − 5 > ³ + 9, 58} 𝑘𝑁. 𝑚² 
𝑣 =
1
𝐸𝐼
 {0, 0333𝑥3 − 0, 0833𝑥4 + 2, 97 < 𝑥 − 5 >3+ 0, 0833 
< 𝑥 − 5 >4+ 9, 58𝑥} 𝑘𝑁. 𝑚³ 
A inclinação máxima ocorre em B: x = 5 m. 
𝜃𝐵 =
1
𝐸𝐼
 {0, 100(5)² − 0, 333(5)³ + 8, 9 < 5 − 5 > ² + 0, 333 
< 5 − 5 > ³ + 9, 58} 𝑘𝑁. 𝑚² 
𝜃𝐵 = −
29,545
𝐸𝐼
𝑘𝑁. 𝑚² 
Deslocamento máximo ocorre em C: x = 8 m. 
𝑣 =
1
𝐸𝐼
 {0, 0333(8)3 − 0, 0833(8)4 + 2, 97 < 8 − 5 >3+ 0, 0833 
< 8 − 5 >4+ 9, 58(8)} 𝑘𝑁. 𝑚³ 
𝑣 =
−160,5699
𝐸𝐼
𝑘𝑁. 𝑚³ 
b) 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 =
1
𝐸𝐼
{−
𝑤0𝑥
4
24𝐿
+
𝑀𝐵
2
𝑥2 − 𝑀𝐵𝑥 } 𝑘𝑁. 𝑚² 
𝑣 =
1
𝐸𝐼
{−
𝑤0𝑥
5
120𝐿
 +
𝐵𝑦
6
𝑥3 −
𝑀𝐵
2
𝑥2} 𝑘𝑁. 𝑚³ 
A inclinação máxima ocorre em onde o momento é igual a 0, resolvendo as 
equações acima para encontrarmos os valores dos momentos nos engastes 
temos: 
 
𝑀𝐵 =
𝑤0𝐿
2
30
 e 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 − 𝐵𝑦𝐿 +
𝑤0𝐿
6
=> 𝑀𝐴 = 
𝑤0𝐿
2
20
 
𝐵𝑦 =
𝑤0𝐿
20
+
3 (
𝑤0𝐿
2
30 )
𝐿
 => 𝐵𝑦 = 
𝑤0𝐿
20
+
𝑤0𝐿
10
=> 𝐵𝑦 =
3𝑤0𝐿
20
 
Substituindo na equação de momento: 
𝑀(𝑥) = −
𝑤0𝑥
4
24𝐿
+
3𝑤0𝐿
40
−
𝑤0𝐿
2
30
 
 
A inclinação máxima ocorre no meio do vão: x = L/2 
𝑣 =
1
𝐸𝐼
{−
𝑤0 (
𝐿
2)
5
120𝐿
 +
𝐵𝑦
6
(
𝐿
2
)
3
−
𝑀𝐵
2
(
𝐿
2
)
2
} 𝑘𝑁. 𝑚³ 
𝑣 =
1
𝐸𝐼
{−
4𝑤0𝐿
4
15
 +
𝐵𝑦𝐿³
48
−
𝑀𝐵𝐿²
8
} 𝑘𝑁. 𝑚³ 
 
c) 
O deslocamento máximo e a inclinação em máxima podem ser 
determinados por meio da tabela no Apêndice C do livro Resistência dos 
materiais Hibbeler 7º ed. Pelo método da superposição: 
 
 
A equação da linha elástica pela tabela é: 
𝑣 =
𝑀𝑥
6𝐸𝐼𝐿
(𝑥2 − 3𝐿𝑥 + 2𝐿2) +
𝑤𝐿
384𝐸𝐼
(8𝑥3 − 24𝐿𝑥2 + 17𝐿2𝑥 − 𝐿3) 
 
A deflexão maxima é dada por: 
𝑣𝑚á𝑥 =
𝑀0𝑙
2
√243𝐸𝐼
+
0,006563𝑤𝐿4
𝐸𝐼
 
 
𝑣𝑚á𝑥 =
60(6)2
√243𝐸𝐼
+
0,006563(30)(6)4
𝐸𝐼
 
 
𝑣𝑚á𝑥 =
393,73
𝐸𝐼
 
d) 
 
 
Equação de rotação: 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
𝐸𝐼
{−
2𝛾
3𝑡2𝐸
𝑥3 −
2𝛾𝐿3
3𝑡2𝐸
} 𝑘𝑁/𝑚² 
 
Equação da linha elástica: 
𝑣 =
1
𝐸𝐼
{−
𝛾
6𝑡2𝐸
𝑥4 −
2𝛾𝐿3
3𝑡2𝐸
𝑥 −
𝛾𝐿4
2𝑡2𝐸
} 𝑘𝑁/𝑚³ 
Rotação máxima em x = 0. 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
𝐸𝐼
{−
2𝛾𝐿3
3𝑡2𝐸
} 𝑘𝑁/𝑚² 
Deslocamento máximo em x = L. 
𝑣 =
1
𝐸𝐼
{−
𝛾𝐿4
6𝑡2𝐸
−
2𝛾𝐿4
3𝑡2𝐸
−
𝛾𝐿4
2𝑡2𝐸
} 𝑘𝑁/𝑚³ 
 
𝑣 =
1
𝐸𝐼
{−
4𝛾𝐿4
3𝑡2𝐸
} 𝑘𝑁/𝑚³ 
 
2º) 
a) 
 
 
 
𝑃𝑐𝑟 =
𝑘𝐿
4
 
 
b) 
 
 
 
cos 𝜃 = 1 => 𝑃𝑐𝑟 = 𝑘𝐿 
 
3º) 
 
Flambagem no eixo x-x: 
 
Escoamento no eixo y-y: 
 
 
 
 
𝑃 = 320.08 𝑘𝑁 
 
4º) 
 
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
coefi cientes constantes. Podemos mostrar, pelo método das equações 
diferenciais ou por substituição direta na equação acima, que a solução 
geral é: 
 
As duas constantes de integração são determinadas pelas condições de 
contorno nas extremidades da coluna. Visto que y = 0 em x = 0, então C2= 
0. E, considerando y = 0 em x = L. 
 
Essa equação é satisfeita se C1 = 0; porém, y = 0, o que é uma solução trivial 
que exige que a coluna permaneça sempre reta, ainda que a carga faça com 
que a coluna torne-se instável. 
 
5º) Para provar que nenhuma tensão de cisalhamento age nos planos 
principais podemos usar a equação: 
𝜏𝑥′𝑦′ = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 (1) 
 
𝑡𝑎𝑛𝑔(2𝜃𝑃) =
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
=
𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
cos(2𝜃)
=
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
=> 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) =
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
cos(2𝜃) (2) 
Substituindo (2) na (1): 
 
𝜏𝑥′𝑦′ = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
cos(2𝜃) + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 
𝜏𝑥′𝑦′ = −𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 
𝜏𝑥′𝑦′ = 0 
Ou seja, nenhuma tensão de cisalhamento age nos planos principais. 
 
6º) 
os planos para tensão de cisalhamento máxima podem ser determinados 
orientando um elemento a 45° em relação à posição de um elemento que 
define os planos da tensão principal. 
Podemos provar por meio das equações: 
𝜏𝑥′𝑦′ = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 (1) 
𝑡𝑎𝑛𝑔2𝜃 = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2𝜏𝑥𝑦
 (2) 
Substituindo e realizando as devidas adequações chegamos a equação da 
tensão máxima de cisalhamento: 
𝜏𝑚á𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 = √(
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦² 
 
7º) 
 
a) 
 
 
𝜎𝑥 = −4,052 𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
𝜎𝑦 = 0,404 𝑀𝑃𝑎 
 
b) 
𝜎1,2 =
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦² =
5+3
2
± √(
5−3
2
)
2
+ 8² 
𝜎1,2 = 4 ± 8,062 𝑀𝑃𝑎 
𝜎1 = 12,062𝑀𝑃𝑎 
𝜎2 = −4,062 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑡𝑎𝑛𝑔(2𝜃𝑃) =
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
=
8
5+3
2
= 2 => 𝜃𝑃1 = 31,72° 
𝜃𝑃2 = 31,72° − 90° = −58,28° 
 
𝜎𝑥′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
cos(2𝜃) + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 
𝜎𝑥′ =
5 + 3
2
+
5 − 3
2
cos(2 ∗ 31,72°) + 8𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 31,72°) 
𝜎𝑥′ = 11,60𝑀𝑃𝑎 
 
c) 
𝜏𝑚á𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 = √(
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦² = √(
5 + 3
2
)
2
+ 8² 
𝜏𝑚á𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 = 8,062 𝑀𝑃𝑎 
Plano onde ocorre a tensão máxima: 
𝑡𝑎𝑛𝑔(2𝜃𝑠) = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2𝜏𝑥𝑦
=
5 − 3
2 ∗ 8
= 0,125 
𝜃𝑠1 = 14,25° 
𝜃𝑠2 = 14,25° − 90° = −75,75° 
 
8º) 
 
 
 
 
 
𝜎𝑚á𝑥 = 93,94 MPa 
𝜎𝑖𝑛𝑡 = −88,94 MPa 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −100 MPa 
𝜏𝑚á𝑥,𝑎𝑏𝑠 =
𝜎𝑚á𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛
2
=
93,94 − [−100]
2
 
𝜏𝑚á𝑥,𝑎𝑏𝑠 = 99,47 𝑀𝑃a 
 
9º) 
 
 
𝑅 = 657,31(10−6) 
 
𝜖𝑥 = [230 − 657,31 cos(66,574°)]( 10
−6) = −31,32(10−6) 
𝜖𝑦 = [230 + 657,31 cos(66,574°)](10
−6) = 491,32(10−6) 
𝛾𝑥′𝑦′
2
= 657,31(10−6)𝑠𝑒𝑛(66,574°) => 𝛾𝑥′𝑦′ = 1.206(10
−6) 
 
 
 
 
10º) 
 
𝜖𝑥′ + 𝜖𝑦′ = 𝜖𝑥 + 𝜖𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒