APOSTILA - FINANçAS CORPORATIVAS

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Finanças Corporativas
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
Diretor Geral 
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Diretor Administrativo 
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de Educação a Distância
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Coordenador do Núcleo de Pesquisa
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Secretário Acadêmico
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Projeto Gráfico e Editoração
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Revisão Textual
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UNIFATECIE Unidade 1
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Centro, Paranavaí-PR
(44) 3045 9898
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Fortes, 2177, Centro
Paranavaí-PR
(44) 3045 9898
UNIFATECIE Unidade 3
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Centro, Paranavaí-PR
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UNIFATECIE Unidade 4
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Paranavaí-PR
(44) 3045 9898
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livro foram obtidas a partir
do site ShutterStock
FICHA CATALOGRÁFICA
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFATECIE. 
Credenciado pela Portaria N.º 527 de 10 de junho de 2020, 
publicada no D.O.U. em 15 de junho de 2020.
Núcleo de Educação a Distância;
SANCHES, Antonio Carlos Lázaro.
Finanças Corporativas.
Antonio. Carlos Lázaro Sanches.
Paranavaí - PR.: UniFatecie, 2020. 90 p.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária
Zineide Pereira dos Santos.
AUTOR
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
●	 Mestre em Desenvolvimento de Tecnologia (Institutos LACTEC/UFPR Paraná). 
●	 Bacharel em Ciências Contábeis (UEM). 
●	 Especialista em MBA Executivo (UEM). 
●	 Docente do curso de Administração, Gestão Comercial, Gestão da Produção 
Industrial e Logística (UniFCV).
●	 Professor de Pós-Graduação no Centro Universitário Cidade Verde (UniFCV). 
Longa	experiência	profissional	na	área	administrativa	em	empresas	da	região	de	
Maringá-PR, atuando no setor da indústria de confecção, atualmente na função de gerente 
de compras.
Link lattes: http://lattes.cnpq.br/3274140889873136
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Seja muito bem-vindo(a)! 
Prezado(a) aluno(a), que bom que você se interessou pelo assunto desta discipli-
na, será o começo de uma jornada de conhecimento e experiências novas, que trarão um 
novo	jeito	de	ver	as	finanças	e	como	a	utilizamos	no	dia	a	dia	e	nas	empresas.	Finanças	
Corporativas está presente em uma simples compra com desconto, em uma loja fazendo 
liquidação, e até nos complexos cálculos de juros compostos (exponenciais). Sugiro que 
se prepare e tenha em mãos uma boa calculadora para desvendar várias fórmulas da 
matemática	financeira,	análise	de	investimento	e	análise	de	sensibilidade.	
Nesta apostila, procurei abordar de forma prática esse conteúdo que é tão impor-
tante	em	nosso	cotidiano,	seja	na	vida	pessoal	ou	profissional.
Quem nunca comprou parcelado?
Quem	nunca	pensou	em	financiar	um	veículo?
Você sabe calcular se os juros anunciados são efetivamente os juros cobrados?
É	muito	 importante	que	você,	enquanto	 futuro	profissional	graduado	na	área	de	
gestão,	tenha	uma	calculadora	financeira.	Recomendo	HP12C.	Não	é	uma	calculadora	ba-
rata, então, se você não pode comprar no momento, pode optar por acessar gratuitamente 
um emulador através do link: https://epxx.co/ctb/hp12c.html. Há também a possibilidade de 
baixar em seu smartphone um aplicativo de HP12C nas plataformas Android e IOS.
Na	Unidade	I	começaremos	a	explorar	a	matemática	financeira	e	seus	conceitos	e	
importância	no	atual	cenário	financeiro.	Depois	serão	demonstrados	os	cálculos	de	percen-
tagem, taxa unitária e juros simples. E em seguida veremos o que é Desconto Racional e 
Desconto Comercial, um produto bancário muito utilizado pelas empresas no Brasil.
Na Unidade II vamos ampliar nossos conhecimentos aprofundando mais no concei-
to de juros e partir para os juros compostos e descontos compostos, além de tratar também 
da correção monetária.
Na Unidade III será conceituada a análise de investimento, seus métodos de análise 
e principalmente os tipos de formas, tais como: TMA (Taxa Mínima de Atratividade), VPL 
(Valor Presente Líquido) e TIR (Taxa Interna de Retorno), suas vantagens e desvantagens.
Na Unidade IV, a última e não menos importante, vamos aprender o que é análise 
de sensibilidade, os possíveis cenários para tomada de decisão e o processo de tomada 
de decisão.
Espero	contribuir	para	seu	crescimento	pessoal	e	profissional.
Muito obrigado e bom estudo!
https://epxx.co/ctb/hp12c.html
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 6
Matemática Financeira
UNIDADE II ................................................................................................... 29
Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e 
Depreciação
UNIDADE III .................................................................................................. 51
Análise de Investimentos
UNIDADE IV .................................................................................................. 72
Análise de Sensibilidade
6
Plano de Estudo:
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
- Percentagem
- Taxa de Juros
- Juros Simples 
- Simbologia
- Desconto Racional ou Por Dentro
- Desconto Comercial ou Por Fora
Objetivos da Aprendizagem:
- Estudar percentual e o uso em nossas vidas
- Conhecer a utilidade de taxas de juros
- Conhecer o que é juros simples
- Estudar a simbologia e a convenção utilizada
- Entender o que são os Descontos Racionais ou por dentro e sua utilidade para as 
empresas
- Entender o que são os Descontos Comerciais ou por fora e sua utilidade para as 
empresas
UNIDADE I
Matemática Financeira
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
7UNIDADE I Matemática Financeira
INTRODUÇÃO
É muito comum em nosso cotidiano lidarmos com os assuntos que serão abordados 
nesta unidade: cálculo percentual e de juros!
Você vai ao comércio e logo vê uma placa: 50% de desconto à vista!
Ou	ainda:	financie	seu	veículo	com	taxa	de	0,99%	ao	mês!
Você sabe fazer um cálculo de porcentagem? Usando a calculadora? Ou sabe 
fazer de cabeça ou através de fórmulas?
É muito comum fazermos tais contas de maneira intuitiva.
Uso um exemplo clássico que, com certeza, já ocorreu na sua família ou com algum 
conhecido: meu falecido avô paterno, quase sem nenhum estudo, mas a vida toda foi 
comerciante.	Fazia	contas	dificílimas	sem	o	auxílio	de	calculadora	e	ainda	ficava	bravo	com	
os netos que a utilizavam. Cálculos percentuais exatos!
Nós podemos treinar isto! Vamos lá?
8UNIDADE I Matemática Financeira
1 PERCENTAGEM
Como podemos calcular qual foi o nosso aproveitamento em um determinado exa-
me?
Suponhamos que você tenha acertado em um exame 12 das 15 questões apresen-
tadas. A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é: 
12
15
Isto	significa	que	se	dividirmos	12	por	15	chegaremos	ao	resultado	de	0,8.	O	valor	
0,8	significa	80%.	Sabe	por	quê?	Como	o	próprio	nome	já	diz	“PORCENTO”,	SE	MULTIPLI-
CARMOS	0,8	POR	100,	CHEGAMOS	A	80%.	Isto	significa	que	seu	aproveitamento	foi	de	
80% ao acertar 12 questões num exame que continha 15.
Vamos utilizar outro exemplo:
Se você conseguisse acertar 25 questões num exame de 50?
Divida o 25/50 e chegará ao resultado de 0,5 que se multiplicado por 100, revela 
seu aproveitamento de 50%.
Tosi	(2009)	nos	lembra	que,	na	fórmula	de	matemática	financeira,	a	taxa	de	juros	
deverá sempre ser informada na forma decimal, ou seja, dividida por 100.
9UNIDADE I Matemática Financeira
SAIBA MAIS
Na Calculadora HP-12C:
50 ENTER 25 %T
Note	que	na	HP-12C	existe	uma	tecla	“%T”	além	da	tecla	normal	“%”.
Nesse caso, em que queremos saber o quanto um número (por exemplo, 25) representa 
percentualmente de outro (50), digitamos primeiro o número 50 na sequência apertamos 
ENTER, lançamos o 25 e por último a tecla %T. 
Tente você mesmo!
Exercícios resolvidos de percentagem:
a) Quanto é 15% de 80?
Multiplique 15 por 80 e divida por 100.
15 x 80 = 1200
1200/100 = 12
12 é 15% de80
Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 15% na sua forma 
decimal, que é 0,15 por 80:
0,15 x 80 = 12
Resposta: 15% de 80 é igual a 12.
b) Quanto é 70% de 30?
Multiplique 70 por 30 e divida por 100:
21 é 70% de 30
Ou então você pode multiplicar 70% na sua forma decimal, que é 0,70 por 30:
0,7 x 30 = 21
Resposta: 70% de 30 é igual a 21.
10UNIDADE I Matemática Financeira
c) Quanto é 150% de 45?
Multiplique 150 por 45 e divida por 100:
67,5 é 150% de 45
Você também pode simplesmente multiplicar 150% na sua forma decimal, que é 
1,50 por 45:
1,50 x 45 = 67,5
Resposta: 150% de 45 é igual a 67,50.
d) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem.
A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas:
19 ou 19:25 
25
Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão:
19
25 = 0,76
Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar esse 
valor	decimal	por	100	e	acrescentar	o	símbolo	“%”	para	termos	a	representação	da	porcen-
tagem, na verdade o multiplicamos por 100%:
0,76 x 100% = 76% 
e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os 
demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas 
moram na ilha?
Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante, ou seja, 70% 
mora no continente. Como 70% corresponde a 337.799 habitantes, podemos montar uma regra 
de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30% que moram na ilha:
337.799 está para 70, assim como x está para 30:
Podemos resolver este exercício de uma outra forma. Se multiplicarmos 337.799 
por 100 e dividirmos este produto por 70, iremos encontrar o número total de habitantes da 
cidade:
337.799 x 100 = 482.570
 70 
Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha:
482.570 x 30% = 482.570 x 30 = 144.771
 100
11UNIDADE I Matemática Financeira
1.1 Elementos do Cálculo Percentual
Vimos no exemplo do início desta unidade que:
12/15 = 80/100
Nesse exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, 
temos:
Percentagem/principal = taxa/100
Daí,	obtemos	as	seguintes	definições:
● Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
● Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, propor-
cionalmente a uma taxa.
● Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
O principal, a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual.
FIQUE POR DENTRO
Na prática é muito comum:
— empregarmos as palavras desconto, comissão, multa, parte, quota, abatimento, pre-
juízo, lucro etc. em lugar de percentagem;
— designarmos a taxa percentual simplesmente por percentagem. Assim, tanto faz di-
zermos, em uma situação qualquer, que o lucro foi de R$ 80,00 ou de 20%.
12UNIDADE I Matemática Financeira
2 TAXA UNITÁRIA
Vimos que a taxa percentual se refere a 100, isto é:
25/100 = 25%
Porém, na resolução de muitas questões, é mais prático (e, algumas vezes, ne-
cessário) tomarmos como valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa 
unitária (simbolizada por i). Assim:
Temos então:
 25 = i => i = 25 = 0,25
100 1 100 
13UNIDADE I Matemática Financeira
3 JUROS SIMPLES
Juros	são	definidos	como	sendo	a	remuneração do capital a qualquer título.
Assim, são válidas as seguintes expressões como conceitos de juros:
A. remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
B. custo do capital de terceiros;
C.	remuneração	paga	pelas	instituições	financeiras	sobre	o	capital	nelas	aplicado.
Os	juros	são	fixados	por	meio	de	uma	taxa	percentual	que	sempre	se	refere	a	uma	
unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia).
Exemplos:
12% ao ano = 12% a.a.
4% ao semestre = 4% a.s.
1% ao mês = 1% a.m.
Os regimes de juros estudados na Matemática Financeira são conhecidos como 
juros simples e juros compostos.
No regime de juros simples apenas o capital inicial, também chamado de principal, 
rende juros. Juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros.
14UNIDADE I Matemática Financeira
No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para o 
cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render 
juros. O regime de juros compostos será apresentado na Unidade II.
Tosi (2009) nos lembra que o valor dos juros simples é igual em todos os períodos 
de cálculo, o que nos possibilita dizer que ele é linear em relação ao prazo. Veja a demons-
tração	gráfica:
Figura 1 - Juros Simples
Fonte: Tosi (2009).
FIQUE POR DENTRO
O Valor do Dinheiro no Tempo
A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por 
sua vez, está interligado à existência da taxa de juros.
Do ponto de vista da Matemática Financeira, $1.000,00 hoje não são iguais a $1.000,00 
em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido 
à taxa de juros por período.
Assim, um capital de $1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de 8% a.a., im-
plicará um rendimento anual de $80,00, proporcionando um montante de $1.080,00 no 
final	de	um	ano.	
Pode-se dizer que considerando uma taxa de juros de, por exemplo, 8% a.a., é indife-
rente termos $1.000,00 hoje ou $1.080,00 daqui a um ano. Um capital de $1.000,00 hoje 
somente será igual a $1.000,00 daqui a um ano na hipótese irreal da taxa de juros ser 
considerada igual a zero.
15UNIDADE I Matemática Financeira
4 A SIMBOLOGIA QUE ADOTAREMOS
A simbologia e a convenção utilizada em todo esse material didático serão idênticas 
àquelas adotadas por todas as calculadoras da marca HP, inclusive pela HP-12C.
As	grandezas	monetárias	podem	ser	representadas	no	fluxo	de	caixa	de	acordo	
com	as	convenções	de	final	de	período	e	de	 início	de	período,	que	são	apresentadas	a	
seguir.
A	calculadora	HP-12C	adota	as	seguintes	convenções	e	simbologias	para	definir	os	
elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa:
Número de períodos de capitalização de juros, expresso em anos, semes-
tres, bimestres, mês ou dias, podendo tomar os valores 0,1, 2, 3... 
Taxa de juros por período de capitalização, expressa e percentagem, 
sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, 
trimestre, bimestre, mês ou dia).
Valor presente (Presente Value), ou seja, valor do capital inicial (principal) 
aplicado. Representa, na escala horizontal do tempo, o valor monetário 
colocado na data inicial, isto é, no ponto correspondente a n = 0.
16UNIDADE I Matemática Financeira
Valor futuro (Future Value),	ou	seja,	valor	do	montante	acumulado	no	final	
de períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Representa, na escala 
horizontal do tempo, os valores monetários colocados nas datas futuras, 
isto é, nos pontos correspondentes a n = 1, 2, 3...
Valor de cada prestação da Série Uniforme (Periodic PaymenT) que ocor-
re	no	final	de	cada	período	(Série	Postecipada).	Representa,	na	escala	
horizontal	do	tempo,	o	valor	de	cada	prestação	igual	à	que	ocorre	no	final	
dos períodos 1, 2, 3...
No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação 
da taxa de juros i sempre sobre o principal PV, fazendo com que os juros tenham o mesmo 
valor em todos os períodos. Assim, temos:
●	 juros de cada período: PV x i
●	 juros de n períodos: n x PV x i
O valor futuro FV, também chamado de montante, é resultante da aplicação de um 
principal PV, durante n períodos, com uma taxa de juros i por período. No regime de juros 
simples, FV é obtido pela expressão:
FV = montante = principal + juros = PV + n x PV x i
ou seja:
FV = PV (1 + i x n)
Em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a 
unidade	referencial	de	tempo	utilizada	para	definir	o	número	de	períodos	n.
A	Expressão	Genérica	FV	=	PV	(1	+	i	x	n)	podeser	verificada,	considerando	PV	=	
1.000,00	e	i	=	8%	ao	ano,	o	montante	FV,	no	final	de	cada	ano	é:
●	 • n = 1 => FV = 1.000,00 (1 + 0,08 x 1) = 1.080,00
●	 • n = 2 => FV = 1.000,00 (1 + 0,08 x 2) = 1.160,00
17UNIDADE I Matemática Financeira
E	assim	por	diante.	Observe	que	o	montante	FV	corresponde	ao	saldo	no	final	de	
cada ano após o pagamento.
Exemplo: 
1. Um comerciante tomou emprestado num banco estatal a importância de R$ 
18.000,00 pelo prazo de dois anos a uma taxa de juros de 30% ao ano. Qual será o valor 
dos juros e o montante a serem pagos?
PV = R$ 18.000,00
FV = ?
n = 2 anos
i = 30% aa ou 30/100 = 0,3
FV = PV (1 + i x n)
FV = 18.000,00 (1 + 0,3 X 2)
FV = 18.000,00 x 1,6
FV = 28.800,00
18UNIDADE I Matemática Financeira
SAIBA MAIS 
Em relação aos elementos do Diagrama Padrão, são relevantes os seguintes comentários:
a) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais. Assim, por exemplo, to-
dos os meses têm a mesma duração de 30 dias; 
b) a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coincidir 
com	a	unidade	referencial	de	tempo	utilizada	para	definir	o	número	de	períodos	n;	
c) os problemas comuns de Matemática Financeira envolvem, em geral, apenas 
quatro elementos, sendo que dois deles são obrigatoriamente a taxa de juros i e 
o número de períodos n. Os outros dois elementos a serem relacionados podem 
ser PV com FV, PV com PMT, e FV com PMT;
d) as fórmulas desse compêndio são desenvolvidas apenas para esse Diagrama 
Padrão,	assumindo	a	convenção	de	final	de	período.	Os	problemas	que	se	en-
quadram nessa situação têm solução imediata. Os demais problemas deverão 
ser enquadrados nesse Diagrama Padrão mediante desdobramentos e outros 
artifícios que não alteram o enunciado do problema;
e) a Calculadora HP-12C está preparada para resolver os problemas que se enqua-
dram	nesse	Diagrama	Padrão,	com	a	convenção	de	final	de	período.
Ressaltamos os seguintes pontos:
●	 A	calculadora	está	preparada	para	utilizar	a	convenção	de	final	de	período	quan-
do	a	função	END	estiver	ativa	(acione	as	teclas	g	e	END	e	verifique	se	a	palavra	
BEGIN não aparece indicada no visor);
●	 A calculadora deve apresentar sempre a letra C indicada no visor (pressione 
concomitantemente as teclas STO e EEX), para que realize todos os cálculos 
a juros compostos, independentemente do valor de n ser um número inteiro ou 
fracionário;
●	 Os valores monetários, sejam de PV, FV ou PMT, devem ser registrados na cal-
culadora sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, as entradas de 
caixa (recebimentos) devem ter o sinal positivo (+), e as saídas de caixa (paga-
mentos) devem ter o sinal negativo (–); 
●	 Os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser resolvidos com 
o registro do número zero para o elemento monetário (PV, FV ou PMT) que não 
participa do problema;
●	 Os valores do número de períodos n podem ser números inteiros ou fracionários. 
Por exemplo, n pode ser registrado em anos, fração de ano, fração de mês etc.;
●	 O registro de uma taxa de juros de 8%, por exemplo, deve ser feito com a colo-
cação do número 8 na tecla correspondente a i. A calculadora, internamente, faz 
as operações com 8%, isto é, com 8/100 = 0,08;
●	 A calculadora sempre interliga os cinco elementos (n, i, PV, PMT e FV). Por exem-
plo, no caso de obtenção do PV, a HP-12C calcula a seguinte relação:
PV = valor presente de FV + valor presente de PMT
Fonte: Puccini e Puccini (2009).
19UNIDADE I Matemática Financeira
5 DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO
Tosi	(2009,	p.	98)	conceitua	que	“o	desconto	simples	é	efetuado	com	base	no	regime	
de capitalização simples, ou seja, utilizando-se taxas de juros lineares, nessa modalidade 
está	incluído	o	desconto	racional	(por	dentro)”.
A taxa de juros i, também denominada taxa de rentabilidade ou, ainda, taxa de 
desconto	“por	dentro”,	pode	ser	obtida	a	partir	da	relação	a	seguir,	que	fornece:
O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo. 
Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro FV, ou mon-
tante, e o valor presente PV, ou principal, ou seja:
Desconto = FV − PV
O	valor	do	desconto	“por	dentro”	(Dd),	ou	racional,	é	obtido	multiplicando-se	o	valor	
presente PV pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n, ou seja:
Dd = PV X i X n
20UNIDADE I Matemática Financeira
Na prática, entretanto, o valor presente é sempre a incógnita, sendo normalmente 
conhecidos o valor futuro FV, o prazo n e a taxa de desconto i. Vamos, a seguir, deduzir a 
fórmula que permite obter o valor do desconto racional a partir das variáveis conhecidas.
O	valor	do	desconto	“por	dentro”,	ou	racional,	é	também	obtido	pela	aplicação	da	
expressão geral para desconto, isto é:
Dd = FV – PV
A partir da expressão, podemos chegar na seguinte relação:
Substituindo o PV dessa última equação, na equação anterior, temos:
Vamos resolver alguns exercícios?
a) Calcule o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, 
com uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples.
Solução:
Supondo o valor de PV = $ 100,00, então teríamos FV = $ 200,00, e os dados do 
problema seriam os seguintes:
PV= $100,00;
21UNIDADE I Matemática Financeira
FV = 2 X 100,00 = $200,00;
i = 2% ao mês = 0,02;
n = ?
Pela Relação apresentada anteriormente temos:
FV = 200,00 = PV (1 + i X n) = 100,00 (1 + 0,02 X n)
200,00 = 100 + 2n
200 – 100 = 2n
2n = 100
n = 100
 2
Assim temos que n = 50 meses.
b) Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa 
operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é $ 
10.000,00 e cujo valor do principal é $ 9.750,00.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
PV= $9.750,00;
FV = $10.000,00;
n = 60 dias = 2 meses;
i = ? (% ao mês)
22UNIDADE I Matemática Financeira
 
i = FV - 1 x 1 
 PV n 
 
i = 10.000 - 1 x 1 
 9.750 2 
 
 
i = 0,01282 
Precisamos	multiplicar	o	resultado	por	100	para	ficar	em	percentual.
Assim, temos 1,282% ao mês.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Veja que sempre utilizamos as mesmas unidades 
de tempo, se nos derem o tempo em dias e a taxa em meses, temos que converter um ou 
outro para as mesmas unidades. Vai depender de como o problema pede. Se pedir em 
meses, transforme dias em meses, isto é, 60 dias = 2 meses.
Outra coisa importante é que quando fazemos o cálculo do i no problema anterior, 
o resultado sai na forma unitária e se quisermos apresentar na forma percentual é só mul-
tiplicar por 100, isto é, 0,01282 X 100 = 1,282%.
c) Calcule o valor do desconto simples de um título de $ 1.000,00, com vencimento 
para	60	dias,	sabendo-se	que	a	 taxa	de	desconto	“por	dentro”	é	de	1,2%	ao	
mês.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV = $1.000,00;
n = 60 dias;
i = 1,2% ao mês = 1,2%/30; temos ao dia = 0,04% a.d. = 0,0004
23UNIDADE I Matemática Financeira
Desconto = FV – PV = ?
PV = FV 
 (1 + i X n)
PV = 1.000,00 = $ 976,56
 (1 + 0,0004 X 60)
e, portanto, o desconto “por dentro” é igual a (1.000,00 − 976,56) = $23,44.
d) Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite 
saques a descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros 
simples,	pelos	dias	que	a	conta	ficar	descoberta.	
Calcule o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a conta 
tem	 saldo	 zero	 no	 final	 de	março	 e	 que	 em	 abril	 são	 emitidos	 os	 seguintes	
cheques:
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
i = 1,5% ao mês = 1,5%/30 = 0,05% ao dia = 0,0005 a.d.
I) Calculando os juros devidos por período:
●	 Juros de 1º de abril a 10 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de 
$ 2.000,00, portanto: Juros = 2.000,00 X 0,0005 X 10 = $10,00
●	 Juros de 11 de abril a 20 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de 
$ 3.000,00, portanto: Juros= 3.000,00 X 0,0005 X 10 = $15,00
●	 Juros de 21 de abril a 30 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de 
$ 4.000,00, portanto: Juros = 4.000,00 X 0,0005 X 10 = $20,00
24UNIDADE I Matemática Financeira
Assim, o total de juros devidos no mês de abril é igual a:
Juros do mês de abril = (10,00 + 15,00 + 20,00) = $45,00
II. Utilizando o conceito de saldo médio:
O saldo devedor médio no mês de abril é obtido pela relação:
SALDO MÉDIO = (2000 x 10 + 3000 x 10 + 4000 x 10) / 30
O que nos dá o valor de $ 3000,00
25UNIDADE I Matemática Financeira
6 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA
Tosi	(2009,	p.	117)	conceitua	que	“o	desconto	composto	é	efetuado	com	base	no	
regime	de	capitalização	composta,	ou	seja,	utilizando-se	taxas	de	juros	exponenciais”.
No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela aplica-
ção da taxa de desconto d sempre sobre o valor futuro FV, ou montante, fazendo com que 
os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim, temos:
desconto de cada período: FV x d
desconto de n períodos: n x FV x d
Observe	que	a	taxa	de	desconto	d	(“por	fora”)	é	aplicada	sobre	o	valor	futuro	FV	
para	produzir	o	valor	presente	PV,	ao	passo	que	a	taxa	de	desconto	i	(“por	dentro”),	ou	taxa	
de rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente PV para produzir o valor futuro FV.
Assim,	o	valor	do	desconto	“por	fora”	(Df),	ou	comercial,	é	obtido	multiplicando-se	
o valor futuro FV pela taxa de desconto d por período, e esse produto pelo número de 
períodos de desconto n, ou seja:
Df = FV x d x n
26UNIDADE I Matemática Financeira
O	valor	presente	PV,	ou	principal,	resultante	do	desconto	“por	fora”	sobre	o	mon-
tante FV, durante n períodos, com uma taxa de desconto d por período, é obtido, a juros 
simples, pela expressão:
PV = montante −descontos = FV − n x FV x d
ou seja:
PV = FV (1 − d x n)
Em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto d deve coincidir com a 
unidade	referencial	de	tempo	utilizada	para	definir	o	número	de	períodos	n.
Vejamos um exemplo
a) Calcule o valor do desconto simples de um título de $ 1.000,00, com vencimento 
para	60	dias,	sabendo-se	que	a	taxa	de	desconto	“por	fora”	é	de	1,5%	ao	mês.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV = $1.000,00;
n = 60 dias; d = 1,5% ao mês = 1,5%/30 ao dia = 0,05% a.d. = 0,0005 a.d.
Desconto = FV − PV = ?
Sabemos que:
PV = FV (1 − d x n) = $1.000,00 x (1 − 0,0005 x 60) = $970,00
portanto,	o	desconto	“por	fora”	é	igual	a	(1.000,00	-	970,00)	=	$	30,00.
27UNIDADE I Matemática Financeira
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), nesta unidade trabalhamos as principais fórmulas do regime de 
juros simples e demonstramos algumas de suas aplicações em diversos problemas do 
mercado.
É importante lembramos que, no regime de juros simples, a taxa de desconto d 
(“por	fora”,	ou	comercial)	é	comumente	utilizada	apenas	com	o	nome	de	taxa	de	desconto,	
por ser este o método consagrado pelo mercado nas operações de desconto de títulos 
comerciais.
A	taxa	de	juros	i	(taxa	de	desconto	“por	dentro”,	ou	racional)	é	mais	conhecida	como	
taxa de rentabilidade.
Tanto a taxa de desconto por dentro, quanto a taxa de desconto por fora são valores 
que	não	correspondem	à	“verdadeira”	taxa	de	juros	(taxa	efetiva)	da	operação,	pelo	fato	do	
regime de juros simples ser conceitualmente incorreto, na medida em que só remunera o 
capital inicial (principal) aplicado.
O valor nominal de um título (valor de resgate) descontado a juros simples (descon-
to comercial) representa o valor que será creditado na conta corrente do investidor.
Esse é o valor presente do título. Para conhecer a taxa efetiva de desconto da 
operação é preciso comparar o valor presente do título com o seu valor nominal, por meio 
do cálculo da taxa interna de retorno, que é feita a juros compostos.
A HP-12C dispõe de funções especiais para realizar cálculos no regime de juros 
simples. Entretanto os exemplos desta unidade foram desenvolvidos sem o uso dessas 
operações especiais da calculadora, pois as fórmulas e expressões de juros simples são de 
fácil solução com as operações convencionais de qualquer calculadora.
28UNIDADE I Matemática Financeira
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 
Autores: Abelardo de Lima Puccini e Adriana Puccini. 
Editora: Compacta. São Paulo: Saraiva. Ano: 2009. 
Sinopse: A maioria dos livros de Matemática Financeira tende 
a apresentar a matéria com uma simbologia complexa, e com o 
desenvolvimento	de	fórmulas	para	cada	situação	específica,	crian-
do,	assim,	um	mito	de	dificuldade	para	seu	aprendizado.	Em	sua	
10ª edição, este clássico do tema enfatiza o aspecto prático do 
assunto, apresentando os conceitos por meio de exemplos resol-
vidos pela calculadora HP-12C e pela planilha eletrônica Excel. 
Com este enfoque simples e prático, os conhecimentos adquiridos 
neste livro permitem a solução de problemas que envolvem o ma-
nuseio	de	qualquer	fluxo	de	caixa,	independentemente	do	grau	de	
complexidade.	Essa	especificidade	faz	da	obra	referência	no	meio	
acadêmico e em concursos públicos de relevantes instituições do 
governo.
FILME/VÍDEO
Título: Até que a sorte nos separe
Ano: 2012
Sinopse: Tino (Leandro Hassum) é um pai de família comum que 
vê sua vida virar de ponta a cabeça após ganhar na loteria. Le-
vando uma vida de ostentação ao lado da mulher, Jane (Danielle 
Winits), ele gasta todo o dinheiro em 15 anos. Ao se ver quebrado, 
Tino aceita a ajuda do vizinho Amauri (Kiko Mascarenhas), um 
consultor	de	finanças	super	burocrático	e	que	por	sinal	vive	seu	
próprio drama ao enfrentar uma crise no casamento com Laura 
(Rita Elmôr). Tentando evitar que Jane descubra a nova situação 
financeira,	afinal	ela	está	grávida	do	terceiro	filho	não	pode	passar	
por	fortes	emoções,	Tino	se	envolve	em	várias	confusões	para	fin-
gir que tudo continua bem. Para isso, conta com ajuda do melhor 
amigo,	Adelson	(Aílton	Graça),	e	dos	filhos.
29
Plano de Estudo:
- Capitalização e Desconto Compostos
- Depreciação 
- O que é Amortização? 
Objetivos da Aprendizagem:
- Conhecer o que é juros sobre juros (juros compostos)
- Conhecer sobre Depreciação (desgaste ou perda de utilidade pelo uso dos produtos)
- Estudar a perda do valor dos bens imateriais em razão do tempo (Amortização)
UNIDADE II
Juros Compostos, Descontos 
Compostos, Amortização e Depreciação
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
30UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
INTRODUÇÃO
Certa vez resolvi trocar meu veículo por um novo, mas como eu não tinha todo o 
dinheiro	para	pagar	à	vista,	resolvi	financiar	uma	parte.	A	concessionária	anunciava	em	sua	
vitrine	uma	taxa	de	juros	de	0,99%	ao	mês	para	o	financiamento	do	carro,	em	12	parcelas	
mensais.
Como ando sempre com minha HP-12C, fui conferir, fazendo os cálculos. Con-
versando	com	o	gerente	da	loja,	ele	me	informou	o	seguinte:	para	financiar	o	valor	de	R$	
15.000,00, que correspondia à metade do valor de um carro, eu iria pagar 12 parcelas 
mensais de R$ 1.375,00, sendo a primeira 30 dias após do fechamento do negócio.
Com essas informações e com a calculadora HP-12C, em alguns segundos, eu 
pude conferir se aquela taxa de 0,99% ao mês, divulgada pela empresa vendedora, era a 
taxa que realmente custava para mim, como consumidor.
Vamos lá, pegue a sua calculadora HP-12C ou no emulador on-line (que já passei 
o link na apresentação deste material) e faça junto comigo:
1. Primeiramente ligue a HP: tecla ON.
2. Apague	todas	as	memórias	financeiras	de	sua	HP,	pois	ela	poderá	pegar	dados	
armazenados e fazer o cálculo errado. Para isso aperte duas teclas: digite pri-
meiro a tecla f (amarela) e depois a tecla CLx. Faça isso sempre que você for 
começar um novo cálculo. (f CLx).
3. Digite a tecla f e a tecla do número 2 para aparecer duas casas decimais na 
HP. Se você quiser que apareça mais casas decimais é só teclar f e número 
desejado.(f 2)
4. Observe se no visor está aparecendo o termo BEGIN (ele não deve aparecer, 
pois ele serve para cálculos com uma parcela de entrada, que não é o caso, 
esse	financiamento	é	sem	entrada).	Assim,	se	você	digitar	a	 tecla	g	 (azul)	e	
depois a tecla do número 7 (BEG) irá aparecer o termo BEGIN que serve para 
cálculos quanto você já paga uma parcela no ato da compra. Nesse caso, digite 
31UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
a tecla g e depois 8 (END), o termo BEGIN irá desaparecer e o cálculo será feito 
considerando	um	financiamento	sem	entrada,	como	é	esse	caso.	(g	8)
5. Digite	12,	que	é	o	número	de	parcelas	do	financiamento	e	aperte	a	tecla	n.	(12	n)
6. Digite	15000,	que	é	o	valor	financiado,	aperte	a	tecla	CHS	para	ele	ficar	negativo	
(-15.000,00) e digite PV. (15000 CHS PV)
7. Agora digite 1375, que é o valor de cada parcela, e depois a tecla PMT. (1375 
PMT)
8. Por último, digite a tecla i, que é a informação que você deseja que a HP-12C 
calcule, ou seja, a taxa de juro. (i)
Observe	que	no	visor	apareceu	1,50.	Caso	não	tenha	aparecido	esse	valor,	fique	
tranquilo, refaça todos os passos bem devagar e com cuidado que vai dar certo.
Dessa forma, podemos concluir que a taxa custa 1,50% ao mês para quem comprar 
esse	carro	financiado.	Bem	diferente	da	taxa	de	0,99%	estampada	nas	vitrines	da	loja.
Mas, por que você acha que isso acontece?
Neste caso, foi porque a loja informou apenas a taxa de juro do negócio e não 
informou	que	havia	outros	custos	a	mais	para	fazer	o	financiamento,	como	o	Imposto	sobre	
Operações Financeiras, taxa para fazer o cadastro do cliente consumidor, taxa para a aber-
tura de crédito etc. Essas outras informações não são apresentadas de maneira clara para 
você que é o consumidor, mas estão todas escondidas e são acrescentadas diretamente 
no	valor	das	prestações.	Se	você	não	ficar	atento,	pagará	todas	elas	sem	perceber	e	sem	
saber que está pagando.
Por isso é muito importante que você saiba fazer o cálculo da taxa correta, pois, 
assim,	você	mesmo	descobrirá	se	há	mais	valores	sendo	cobrados	no	seu	financiamento	
e	não	ficará	dependendo	das	informações	que	lhe	forem	passadas.	Esse	é	um	exemplo	de	
armadilha que o mercado prepara para os consumidores. Se você estiver preparado, não 
será surpreendido(a) por nenhuma delas.
Tosi (2009) explica que a capitalização composta ocorre quando os juros de cada 
período são incorporados ao capital, de forma que o resultado renda juros no próximo 
período.	Veja	a	representação	gráfica:
32UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Figura 1 - Juros Compostos 
Fonte: Tosi (2009).
Vamos	agora	verificar	estas	situações	e	aprender	a	nos	preparar!
33UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
1 CAPITALIZAÇÃO E DESCONTO COMPOSTOS
Veremos nesta unidade que o conceito de juros compostos é muito importante, 
uma	vez	que	esse	é	o	sistema	indicado	para	efetuar	análises	e	transformações	de	fluxos	
de caixa de forma conceitualmente correta. Inicialmente, apresentaremos o problema da 
capitalização composta, que trata da valorização do dinheiro ao longo do tempo. Em segui-
da, apresentaremos o problema inverso, ou seja, o da diminuição das grandezas futuras, 
na medida em que são trazidas para o valor presente, mediante as operações de desconto 
composto.
Nos dois casos, os estudos incluem deduções de fórmulas genéricas e suas aplica-
ções em exemplos numéricos, cujas soluções são apresentadas pelo Simulador da HP-12C.
No regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagos no 
final	do	período,	devem	ser	somados	ao	capital	e,	consequentemente,	também	passam	a	
render juros. A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e como ele acontece 
no regime de juros compostos, costuma ser chamado de capitalização composta.
No regime de juros compostos, os juros de cada período são obtidos pela aplicação 
da taxa de juros i sobre o capital, aplicado no início do período de capitalização.
34UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Assim, temos:
A. no 1° período de capitalização (n = 1)
capital no início do período = PV
juros do período = PV x i
capital	no	final	do	período	=	FV	=	PV	+PV	x	i	=	PV	(1	+	i)
B. no 2° período de capitalização (n = 2)
capital no início do período = PV (1 + i)
juros do período = PV (1 +i) x i
capital	no	final	do	período	=	FV	=	PV	(1	+i)	+PV	(1	+	i)	x	i	=
= PV (1 +i) x (1 +i)
portanto:
FV = PV (1 +i)²
C. no 3° período de capitalização (n = 3)
A	expressão	para	o	valor	futuro	FV,	ou	montante,	no	final	do	3°	período	de	capitali-
zação pode ser deduzida de forma análoga, e toma o seguinte aspecto:
FV = PV (1 +i)³
D. no enésimo período de capitalização 
A expressão genérica do valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de 
um principal PV durante n períodos de capitalização, com uma taxa de juros i por período, 
no regime de juros compostos é:
FV = PV (1 +i)n
em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a 
unidade	referencial	de	tempo	utilizada	para	definir	o	número	de	períodos	n.
35UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
1.1 Desconto Racional ou Por Dentro
A taxa de desconto i (por dentro, ou racional) é usualmente denominada taxa de 
desconto	e	é	muito	utilizada	pelo	mercado	financeiro.
Temos que:
PV = FV 
 (1 + i) n
que fornece o valor do principal PV a partir de FV, em função dos parâmetros n e i. 
O	valor	do	desconto	“por	dentro”	(Dd),	ou	racional,	expresso	em	$,	é	obtido	pela	aplicação	
da Expressão Genérica para desconto, combinada com a Relação, isto é
Se temos PV, achemos, então, FV. O problema envolvendo o cálculo do valor futuro 
FV a partir do valor presente PV consiste na solução da Expressão Genérica (5.1), em que 
a relação (1 +i)n precisa ser calculada para os parâmetros i e n.
A expressão (1+i)n pode ser calculada para qualquer valor de i e de n, com a 
utilização da HP-12C, basta utilizar das teclas a seguir:
Vamos	exemplificar?
Calcule	o	valor	acumulado	no	final	de	seis	anos,	no	regime	de	juros	compostos,	
com uma taxa efetiva de 10% ao ano, a partir de um investimento inicial (principal) de $ 
1.000,00.
36UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Solução:
n = 6 anos;
i = 10% ao ano;
PV = $1.000,00;
FV = ?
O primeiro passo é limpar a calculadora: f Clx
O segundo passo é digitar 1000 (que é o valor principal), inverter o sinal clicando 
em CHS. Isso deve ser feito, pois a calculadora reconhece a partir da inversão do sinal, que 
isto foi a entrada, o principal, como se fosse uma saída de caixa.
Terceiro passo é digitar 10 i
Quarto passo é digitar 6 n
E,	por	fim,	tecle	em	FV.
A	calculadora	lhe	dará	o	número	1.771,56.	Isto	significa	que	após	6	anos,	o	capital	
de 1000 acumulará 771,56 de juros, permitindo um montante de 1.771,56.
Quando o problema pedir o contrário, dado FV para achar PV. Faça os mesmos 
passos, apenas trocando a tecla PV por FV, inclusive mantenha a troca de sinal utilizando 
CHS.
Vamos a mais um exercício?
O	montante	de	$	1.000,00,	colocado	no	final	do	4°	mês	do	diagrama	 indicado	a	
seguir, deve ser capitalizado e descontado com a taxa de 1% ao mês, no regime de juros 
compostos.
37UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Calcule:
a.	 o	 valor	 acumulado	 no	 final	 do	 7°	mês,	 pela	 capitalização	 do	montante	 de	 $	
1.000,00 indicado no diagrama;
b.	o	valor	que	deve	ser	investido	no	final	do	1°	mês,	para	se	obter	o	montante	de	$	
1.000,00 indicado no diagrama.
Solução:
a. montante no final do 7° mês
Assim,	o	valor	de	$	1.000,00	fica	colocado	no	ponto	zero	da	nova	escala	de	tempo	
e deve ser tratado como um valor presente PV, que precisa ser capitalizado três meses para 
atingir	o	final	do	7°	mês.
Na HP-12C:
●	 1000 CHS PV
●	 3 n●	 1 i
●	 FV
O resultado será 1.030,30.
b) principal no final do 1° mês
Nesse caso, para enquadrarmos o problema no Diagrama Padrão, precisaremos 
colocar o valor PV (a ser determinado) no ponto zero da nova escala de tempo, conforme 
indicado a seguir:
38UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Assim,	o	valor	de	$	1.000,00	fica	colocado	no	ponto	3	da	nova	escala	de	tempo,	e	
deve ser tratado como um valor presente FV, que precisa ser descontado três meses para 
atingir	o	final	do	1°	mês.
Na HP-12C:
●	 1000 CHS FV
●	 3 n
●	 1 i
●	 PV
O resultado será 970,59.
39UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
2 DEPRECIAÇÃO 
2.1 O que é Depreciação?
É a diminuição do valor dos bens corpóreos em decorrência de desgaste ou perda 
de utilidade pelo uso, ação da natureza ou obsolescência. Expressa a perda de valor que 
os valores imobilizados de utilização sofrem no tempo, por força de seu emprego na gestão.
O encargo da depreciação poderá ser computado como custo ou despesa operacio-
nal, conforme o caso. A depreciação dos bens utilizados na produção será custo, enquanto 
a depreciação dos demais bens há de ser registrada como despesa operacional.
O lançamento pode ser 
D = DESPESA DE DEPRECIAÇÃO 
Ou
C = DEPRECIAÇÃO ACUMULADA
Segundo as leis brasileiras, segue uma tabela de depreciação:
Tabela 1 - Tabela de Depreciação
 
Fonte: Dominium Contabilidade (2020).
Alguns bens não se depreciam, como:
●	 Terrenos, salvo em melhoramentos ou construções; 
●	 Bens que normalmente aumentam de valor com o tempo, como obra de arte; 
●	 Prédios e construções não alugados nem utilizados por seu proprietário na 
produção de seus rendimentos ou imóveis destinados à venda.
40UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
2.2 Como Calculamos Depreciação?
2.2.1 Método linear (ou quotas constantes)
É o método que contabiliza, como despesa ou custo, uma parcela constante do 
valor do bem em cada período.
Exemplo: 
A empresa comprou, no início de janeiro, um veículo com vida útil estimada de 5 
anos pelo valor de $ 30.000,00, sem valor residual estimado. Qual será o valor da depre-
ciação?
No	final	do	primeiro	ano,	deverá	reconhecer	a	despesa	de	depreciação	de	$30.000,00	
: 5 = $ 6.000,00 por ano.
Para calcularmos o valor da depreciação mensal, para efeito de apuração de resul-
tados mensais, basta dividir o valor da depreciação anual por 12:
R$ 6.000,00 : 12 = R$ 500,00 por mês.
Se considerarmos um valor residual de R$ 3.000,00, o valor anual da depreciação 
será:
($ 30.000,00 - $ 3.000,00) : 5 = $ 5.400,00 por ano.
41UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Para calcularmos o valor da depreciação mensal, para efeito de apuração de resul-
tados mensais, basta dividir o valor da depreciação anual por 12:
R$ 5.400,00 : 12 = R$ 450,00 por mês.
A contabilização do valor da depreciação mensal será efetuada da seguinte forma: 
débito de despesa de depreciação e crédito da conta Depreciação Acumulada, portanto o 
lançamento será:
Débito – Despesa de Depreciação $ 450,00
Crédito – Depreciação Acumulada $ 450,00
No	final	do	primeiro	ano,	o	Ativo	Imobilizado	da	empresa	deverá	ser	apresentado	no	
Balanço Patrimonial da seguinte forma:
Veículos $ 30.000,00
(-) Depreciação Acumulada ($ 6.000,00) $ 24.000,00
Dessa forma, o leitor do balanço saberá a idade aproximada do Ativo Imobilizado 
da empresa.
2.2.2 Método soma dos dígitos
Esse método consiste em somar os algarismos desde a unidade até o algarismo 
que representa o número de anos da vida útil do bem. No exemplo do item anterior, sem 
considerar o valor residual, teríamos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Quota do 1o. Ano = 5/15 x $ 30.000 = $ 10.000
Quota do 2o. Ano = 4/15 x $ 30.000 = $ 8.000
Quota do 3o. Ano = 3/15 x $ 30.000 = $ 6.000
Quota do 4o. Ano = 2/15 x $ 30.000 = $ 4.000
Quota do 5o. Ano = 1/15 x $ 30.000 = $ 2.000
soma = $ 30.000
42UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Nesse método, o valor mensal da depreciação:
no primeiro ano, seria de R$ 10.000,00 : 12 = R$ 833,33.
no segundo ano, seria de R$ 8.000,00 : 12 = R$ 666,67.
no terceiro ano, seria de R$ 6.000,00 : 12 = R$ 500,00.
no quarto ano, seria de R$ 4.000,00 : 12 = R$ 333,33.
no quinto ano, seria de R$ 2.000,00 : 12 = R$ 166,67
2.2.3 Método saldo decrescente
Também denominado método de Matheson ou Exponencial, ou ainda método da 
porcentagem	fixa	sobre	o	valor	contábil.
Em que n é o número estimado de anos da vida útil do bem.
Usando o exemplo anterior e supondo um valor residual de R$ 1.500, teríamos: 
% anual = 1 – 0,54928
% anual = 0,45072 ou 45,072%
Quota do 1o. Ano = 45,072% x 30.000 = $ 13.521,60
Quota do 2o. Ano = 45,072% x 16.478,40 = $ 7.427.15
Quota do 3o. Ano = 45,072% x 9.051,25 = $ 4.079,58
Quota do 4o. Ano = 45,072% x 4.971,67 = $ 2.240,83
Quota do 5o. Ano = 45,072% x 2.730,84 = $ 1.230,84
Total = $ 28.500,00
43UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Nesse caso, a depreciação mensal seria de:
No primeiro ano = R$ 13.521,60 : 12 = R$ 1.126,80
No segundo ano = R$ 7.427,15 : 12 = R$ 618,93
No terceiro ano = R$ 4.079,58 : 12 = R$ 339,97
No quarto ano = R$ 2.240,83 : 12 = R$ 186,74
No quinto ano = R$ 1.230,84 : 12 = R$ 102,57
O inconveniente desse método é a necessidade de um valor residual para proceder 
o cálculo da depreciação.
SAIBA MAIS 
Exemplo de depreciação de um Congelador
• Vida útil determinada pelo empresário = 4 anos
• Valor de aquisição = 4.800
• Valor residual (valor do mesmo congelador com 4 anos de uso) = 2.400
• Valor Depreciável = Valor contábil - Valor residual
• Valor Depreciável = 4.800 - 2.400 = 2.400
• Taxa anual de depreciação = 25% a.a.
• Depreciação no primeiro ano = 600
• No segundo ano:
• Valor contábil = 4.800 - 600 = 4.200
• Valor residual do congelador, agora para 3 anos = 1.800 (valor deve ser avaliado ano 
a ano)
• Valor depreciável = 4.200 - 1.800 = 2.400
• Taxa de depreciação no segundo ano = 33,3333%
• Depreciação no segundo ano = 800
• No terceiro ano:
• Valor contábil = 4.200 - 800 = 3.400
• Valor residual do congelador, agora com 2 anos de uso e mais dois anos a usar = 1.000
• Valor depreciável = 3.400 - 1000 = 2.400
• Taxa de depreciação no terceiro ano = 50%
• Depreciação no terceiro ano = 1.200
• No último ano:
• Valor contábil = 3.400 - 1.200 = 2.200
• Valor residual, nesta data, é igual ao valor de mercado = 1.100
• Valor Depreciável = 2.200 - 1.100 = 1.100
• Taxa de depreciação no quarto ano = 100%
• Depreciação no quarto ano = 1.100
Como	consequência,	o	valor	contábil	estará	refletindo	o	valor	recuperável	do	ativo.	Caso	
o empresário resolva continuar a usar o congelador, deverá ele estipular nova vida útil e 
o valor contábil de partida será os 1.100.
Autor (2020).
44UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
3 O QUE É AMORTIZAÇÃO?
É a perda do valor dos bens imateriais em razão do tempo. Enquanto a depreciação 
é usada para os bens materiais (tangíveis), a amortização é usada para os bens imateriais 
(intangíveis), como benfeitorias e imóveis de terceiros, marcas e patentes, despesa de 
organizações etc.
A amortização dos componentes do intangível sujeita-se a dois prazos:
●	 Um	mínimo	de	cinco	anos,	para	fins	fiscais;	
●	 Um máximo de dez anos, que é aplicável a todas as pessoas jurídicas que 
possuam escrituração contábil regular.
O LANÇAMENTO SER D = AMORTIZAÇÃO E C = AMORTIZAÇÃO ACUMULADA
3.1 Quais são os métodos de amortização?
Os dois métodos mais utilizados são: Sistema de Amortização Progressivo (SAP, 
PRICE ou Sistema Francês) e Sistema de Amortização Constante (SAC).
O primeiro método, conhecido também como Price ou Francês, utiliza-se da Tabela 
Price e é um método usado em amortização de empréstimo, cuja principal característica é 
apresentar prestações (ou parcelas) iguais. O método foi apresentadoem 1771 por Richard 
Price em sua obra Observações sobre Pagamentos Remissivos (em inglês: Observations 
on Reversionary Payments).
45UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
O método foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, 
foi a partir da 2ª Revolução Industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para 
cálculos de amortização de empréstimo.
A Tabela Price usa o regime de juros compostos para calcular o valor das parcelas 
de um empréstimo e, dessa parcela, qual é a proporção relativa aos pagamentos dos juros 
e a amortização do valor emprestado. 
Tomemos como exemplo um empréstimo de $ 1.000,00, com taxa de juros de 3% 
ao mês a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar 
a fórmula de juros compostos combinada com a da progressão geométrica, resultando em:
Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $ 1.030,00, 
porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo devedor passa a ser 
$ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $ 30,00 e também fez a 
amortização de $ 239,03 (269,03 - 30,00) do valor emprestado. O mesmo ocorre nos meses 
seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada mês, o valor das parcelas relativo 
ao pagamento dos juros é decrescente.
46UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Quadro 1 - Tabela de Amortização 
Fonte: o autor.
SAIBA MAIS 
Tabela Price no Brasil
No Brasil, a interpretação matemática da existência de juro composto na Tabela Price 
fica	condicionada	a	fórmula	anterior,	que	estabelece	como	regra	geral	na	formação	dos	
juros embutidos nas parcelas uma progressão Geométrica decrescente, ou seja, do 
maior para o menor. Vale ressaltar que juros compostos é uma unidade de medida, 
assim como juros contínuos ou juros simples. Em uma mesma série de pagamentos, 
podemos	medir	o	custo	financeiro	por	diversas	unidades	de	medida,	especialmente	ju-
ros compostos e juros contínuos. A proibição legal no Brasil é a cobrança de juros sobre 
juros já cobrados do mutuário.
Apesar de amplamente utilizada em todo o mundo ocidental, a metodologia de cálculo é 
discutida em alguns países do mundo, por ser o único sistema que permite o pagamento 
em parcelas iguais e periódicas ao longo do prazo do empréstimo.
Embora a tabela Price seja também muito utilizada no Brasil pelo mercado e segmentos 
financeiros,	seu	uso	tem	sido	contestado	perante	o	judiciário,	uma	vez	que	a	legislação	
brasileira permite o uso de juros compostos somente em determinadas operações que 
possuam previsão legal.
“A	 aplicação	 da	Tabela	Price	 aos	 contratos	 de	 prestações	 diferidas	 no	 tempo	 impõe	
excessiva onerosidade aos mutuários devedores do SFH, pois no sistema em que a 
mencionada Tabela é aplicada, os juros crescem em progressão geométrica, sendo que, 
quanto maior quantidade de parcelas a serem pagas, maior será a quantidade de vezes 
que os juros se multiplicam por si mesmos, tornando o contrato, quando não impossí-
vel de se adimplir, pelo menos abusivo em relação ao mutuário, que vê sua dívida se 
estender	indefinidamente	e	o	valor	do	imóvel	exorbitar	até	transfigurar-se	inacessível	e	
incompatível	ontologicamente	com	os	fins	sociais	do	Sistema	Financeiro	da	Habitação.”	
(Delgado, 2005) Porém, este é o único método que permite pagamentos iguais ao longo 
do período.
É	muito	conhecido	o	trecho	do	texto	de	Price	para	definir	a	transferência	de	renda	pelo	
juro composto de suas tabelas:
Um centavo de libra emprestado na data de nascimento de nosso Salvador a um juro 
composto de cinco por cento teria, no presente ano de 1781, resultado em um montan-
te maior do que o contido em DUZENTOS MILHÕES de Terras, todas de ouro maciço. 
Porém, caso ele tivesse sido emprestado a juro simples ele teria, no mesmo período, 
totalizado não mais do que SETE XELINS E SEIS CENTAVOS. (Nogueira, 2002, Tabela 
price da Prova Documental e Precisa elucidação de seu anatocismo)
Fonte: Wikipedia (2020b).
47UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
3.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um em-
préstimo por prestações que incluem os juros, amortizando, assim, partes iguais do valor 
total do empréstimo.
Nesse sistema o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. 
Dessa forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros dimi-
nuem a cada prestação. O valor da amortização é calculado dividindo-se o valor do principal 
pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas.
O	SAC	é	um	dos	 tipos	de	sistema	de	amortização	utilizados	em	financiamentos	
imobiliários.	A	principal	 característica	do	SAC	é	que	ele	amortiza	um	percentual	 fixo	do	
saldo	devedor	desde	o	início	do	financiamento.	Esse	percentual	de	amortização	é	sempre	
o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do 
financiamento,	fazendo	com	que	o	saldo	devedor	caia	mais	rapidamente	do	que	em	outros	
mecanismos de amortização.
Exemplo
Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte mil reais) a ser pago em 12 meses 
a uma taxa de juros de 1,0% ao mês (em juros simples), aplicando a fórmula para obtenção 
do valor da amortização iremos obter um valor igual a R$ 10.000,00. Essa fórmula é o valor 
do empréstimo solicitado dividido pelo período, sendo, nesse caso: R$ 120.000,00 / 12 
meses.	Logo,	a	tabela	SAC	fica:
Quadro 2 - Sistema de Amortização Constante
Fonte: o autor. 
48UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
Note que o juro é sempre 1,0% do saldo devedor do mês anterior, a prestação é 
a soma da amortização e o juro. Sendo assim, o juro é decrescente e diminui sempre na 
mesma quantidade, R$ 100,00. O mesmo comportamento tem as prestações. A soma das 
prestações é de R$ 127.800,00. Gerando juros de R$ 7.800,00.
Outra coisa a se observar é que as parcelas e juros diminuem em progressão 
aritmética (PA) de r = -100.
SAIBA MAIS 
Fórmulas:
A=cte
Rk=[(n-k+1).i+1].P/n
Rk=A+Jk
A=P/n
Jk=(n-k+1).i.P/n
em que:
P: Financiamento
n: Quantidade de Prestações
i: taxa de juros
Rk: Prestação
A: Parcela da Amortização
Jk: Parcela do Juro k
Fonte: Wikipedia (2020a).
49UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), esta unidade trouxe os conceitos mais importantes sobre capita-
lização e desconto compostos, bem como depreciação e amortização.
São	conceitos	que	você	utilizará	muito	em	sua	vida	profissional.	Atualmente	muitas	
empresas	de	assessoria	financeira	e/ou	contábil	contratam	profissionais	dessa	área,	pois	
muitas pessoas não gostam ou não sabem trabalhar com esses temas. Pense que isso 
pode ser um diferencial muito importante na sua carreira.
50UNIDADE II Juros Compostos, Descontos Compostos, Amortização e Depreciação
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Introdução À Matemática Financeira
Autores: Clovis de Faro; Gerson Lachtermacher; Jonathan Her-
nandes Marcantonio.
Editora: Saraiva
Ano: 2012
Sinopse: Este livro examina conceitos fundamentais da matemá-
tica	financeira:	juros	(simples	e	compostos),	regimes	de	capitaliza-
ção, diversos tipos de taxas (proporcionais, equivalentes, efetivas, 
nominais, reais, aparentes, over), operações de desconto, equiva-
lência	financeira,	anuidades	(constantes	e	variáveis),	amortização	
de débitos, correção monetária (indexação) e avaliação e seleção 
de projetos. Nos numerosos exercícios, muitos dos quais solucio-
nados	passo	a	passo,	adota-se	o	uso	da	calculadora	científica	HP	
12C e do Excel, aproximando o conteúdo à realidade do mercado. 
Fruto da organização conjunta de Clovis de Faro e Gerson La-
chtermacher, autores com vasta experiência no assunto, trata-se 
de	obra	 essencial	 para	 estudantes	 e	 profissionais	 das	 áreas	de	
administração, engenhariade produção, informática, economia e 
contabilidade.
FILME/VÍDEO
Título: JURO COMPOSTO - Vivendo a Matemática - Professora 
Angela
Data: 16/04/2020
Descrição do Vídeo:
Olá Pessoal!!!
A pedidos de inscritos o vídeo de hoje é sobre JURO COMPOSTO. 
Dando continuidade no estudo da semana passada, este conteúdo 
sobre	matemática	financeira	é	muito	estudado	para	as	avaliações	
de concursos.
Podemos dizer que a diferença entre Juro Simples e Juro Composto 
é que o juro simples é calculado sobre o capital a uma determina-
da taxa de juro em certo período de tempo, já o juro composto é 
calculado sobre o capital apenas no primeiro período; nos demais 
períodos é calculado sobre o montante obtido no período anterior. 
Neste vídeo temos três exemplos que irão explicar essa diferença 
de forma simples e fácil.
Espero que vocês gostem do vídeo e cliquem em gostei para que 
mais pessoas possam visualizá-lo e aprender com ele.
Obrigada e um grande abraço.
Professora Angela.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=PoPgLqVZKro
51
Plano de Estudo:
- Método determinístico de Análise de Investimentos 
- Método de Valor Anual Uniforme Equivalente
- Taxa de Atratividade (TMA)
- Método do Valor Presente Líquido (VPL)
- Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)
- Métodos não Exatos
- Árvore de Decisão
Objetivos da Aprendizagem:
- Conhecer qual método será utilizado para Análise de Investimento
- Conhecer uma série uniforme equivalente a todos os custos e receitas
- Medir a Taxa Mínima de Atratividade e analisar se o investidor está obtendo ganhos 
financeiros
- Conhecer as Vantagens e Desvantagens do Valor Presente Líquido
- Estudar os métodos não exatos
- Estudar a árvore de decisão
UNIDADE III
Análise de Investimentos
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
52UNIDADE III Análise de Investimentos
INTRODUÇÃO
Diversas pessoas que lidam com projetos de investimentos se deparam com a es-
colha de alternativas que envolvem estudos econômicos. E o pior, é muito comum vermos 
essas pessoas fazerem suas escolhas sem que o custo do capital empregado seja consi-
derado	de	maneira	correta.	Somente	um	estudo	econômico	pode	confirmar	a	viabilidade	de	
projetos tecnicamente corretos.
Neste	material,	nós	veremos	parte	do	que	os	estudiosos	chamam	de	“Engenharia	
Econômica”.	Tal	engenharia	objetiva	a	análise	econômica	de	decisões	sobre	investimentos	
e tem muitas aplicações, pois os investimentos poderão ser de empresas privadas, públicas 
ou mesmo investimentos pessoais.
Alguns exemplos de problemas que estudaremos são:
●	 Temos o dinheiro, é melhor comprar o veículo a vista ou a prazo
●	 Construir uma indústria com esteira para transportar materiais ou fazer o trans-
porte manualmente
●	 Utilizar tubo de maior ou menor diâmetro para a construção de uma rede de 
abastecimento de águas
REFLITA
É importante entender que as técnicas de avaliação de investimentos são tão somente 
instrumentos de apoio à tomada de decisão. Outros fatores de decisão, como objetivos 
estratégicos, aspectos econômicos, políticos e gerenciais, são também relevantes na 
seleção de projetos de investimentos.
Fonte: Puccini e Puccini (2011).
Sempre que formos fazer uma análise sobre investimentos, devemos considerar 
seus os aspectos econômicos, ou seja, devemos nos preocupar com a rentabilidade. Apli-
cando corretamente os critérios econômicos, poderemos saber quais investimentos são 
rentáveis ou não. Ou ainda como poderemos aplicar dinheiro de maneira a obter maior 
retorno.
53UNIDADE III Análise de Investimentos
Mas de nada adianta analisarmos a rentabilidade dos rendimentos se não possuir-
mos	o	dinheiro	para	aplicar,	nem	termos	a	possibilidade	de	conseguir	financiamentos.	Os	
investimentos	mais	rentáveis	deverão	ser	analisados	de	acordo	com	critérios	financeiros,	
os	quais	mostraram	os	efeitos	do	investimento	na	situação	financeira	da	empresa,	ou	seja,	
como o investimento poderá afetar o capital de giro da empresa.
Além do supracitado, existem fatores a serem analisados que não são conversíveis 
em dinheiro. A decisão de se implantar um projeto deve considerar três critérios relevantes:
●	 Econômico: rentabilidade do investimento;
●	 Financeiro: disponibilidade de recursos;
●	 Imponderáveis: fatores não conversíveis em dinheiro.
Esse último critério trata das repercussões de um investimento que não são direta-
mente conversíveis em dinheiro, por isso chamado de imponderáveis. Um exemplo: investir 
para manter o nível de emprego. Manter a satisfação do cliente, dentre outros. Geralmente 
quem faz a análise desse último critério não somos nós, gestores do projeto, mas sim a alta 
administração da organização.
De acordo com Filho e Kopittke (2008), é conveniente ter em mente que para se fazer 
um estudo econômico adequado, alguns princípios básicos devem ser considerados, como:
●	 Observar alternativas de investimento. De nada adianta calcular se é vantajoso 
comprar algo a vista se não há condição de conseguir dinheiro para isso.
●	 Expressar as alternativas sempre em dinheiro. Não há como comparar 200 ho-
ras/mensais de mão de obra com 200 Kwh de energia. Convertendo os dados 
em dinheiro teremos um denominador comum muito prático.
●	 Considerar apenas as alternativas. Por exemplo, numa análise para decidir 
sobre o tipo de motor a comprar, não é relevante saber o consumo de energia 
se for igual para os dois.
●	 Mensurar sempre os juros sobre o capital empregado. Sempre existe alguma 
maneira de empregar o dinheiro de modo que ele renda alguma coisa. Quando 
aplicamos o dinheiro em um projeto devemos ter certeza de ser esta a coisa 
mais rentável a se fazer.
●	 Não considerar o passado, pois o que interessa é o presente e o futuro. Não 
posso	dizer:	“este	carro	não	pode	ser	vendido	por	menos	que	30.000,00,	pois	
eu	gastei	muito	com	ele	em	oficina”.	Isto	não	existe.	O	que	realmente	importa	é	
o valor de mercado do carro.
54UNIDADE III Análise de Investimentos
1 MÉTODO DETERMINÍSTICOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Para	que	o	método	de	análise	de	um	projeto	seja	definido,	temos	antes	que	definir	
qual é o objetivo da empresa que está elaborando e analisando o projeto.
Não	faz	muito	tempo,	as	empresas	apenas	pensavam	no	lucro	ao	final	do	ano	ao	
fazerem um projeto. Porém os objetivos das empresas mudaram, assim como mudaram 
também os modelos de gestão com o passar dos tempos.
REFLITA
O método determinístico é um modelo matemático que resulta em um conjunto de saí-
das, com base no conjunto de entradas iniciais conhecidas.
Fonte: Render et al. (2017).
Para	uma	análise	sob	esse	enfoque,	é	necessário	utilizarmos	o	conceito	de	“custo	
de	recuperação	do	capital”.	De	acordo	com	Filho	e	Kopittke	(2008),	antigamente	as	empre-
sas	normalmente	utilizavam	a	contabilidade	de	custos	conjugada	à	contabilidade	financeira.	
Com isso, todo investimento feito era amortizado em determinada quantidade de anos, sob 
a forma de depreciação. A recuperação do capital era lançada a uma taxa zero.
55UNIDADE III Análise de Investimentos
Pelo conceito de equivalência, deve haver uma taxa tal que torne equivalente 
o investimento feito e sua recuperação. E é esta taxa que determina o custo do capital 
investido a ser lançado como despesa. Por isso é interessante que a empresa separe as 
contabilidades!
Utilizamos três1 métodos de análises de investimentos que se ajustam a tais 
conceitos:
1. Método do Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE): consiste em achar uma 
série uniforme equivalente a todos os custos e receitas para cada alternativa. A 
alternativa que tiver o maior saldo positivo é a melhor.
2. Método do Valor Presente Líquido (VPL): calcula o valor presente equivalente 
das	saídas	de	fluxo	de	caixa	de	cada	alternativa,	somando-o	ao	investimento	
inicial. A opção que apresentar o Valor Presente Líquido Total mais positivo é a 
melhor.	A	taxa	utilizada	para	descontar	o	fluxo	de	caixa	é	a	TMA2.
3. Método	da	Taxa	Interna	de	Retorno	(TIR):	taxa	para	qual	a	saída	dofluxo	de	
caixa proveniente de um investimento é equivalente ao valor inicial investido, ou 
seja, é a taxa que zera os ganhos do investidor. Esse método calcula a TIR de 
todas	as	alternativas	para	compará-las	com	a	TMA	definida.	Os	investimentos	
com TIR maior que a TMA são consideráveis rentáveis. 
Esses métodos são equivalentes e, se bem aplicados, conduzem ao mesmo resul-
tado. Porém cada um se adapta melhor a um determinado tipo de problema. Veremos cada 
um deles brevemente.
1 O nosso objetivo não é aprofundar nos métodos, pois você terá esses conteúdos aprofundados em 
seu curso mais adiante, em outras disciplinas.
2 Taxa Mínima de Atratividade é a taxa a partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos 
financeiros.	É	uma	taxa	associada	a	um	baixo	risco,	ou	seja,	qualquer	sobra	de	caixa	pode	ser	aplicada,	na	
pior das hipóteses, na TMA. Geralmente é utilizada a SELIC (taxa básica de juros da economia), a TJLP (Taxa 
de Juros de Longo Prazo) e/ou a TR (Taxa Referencial).
56UNIDADE III Análise de Investimentos
2 MÉTODO DE VALOR ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (VALUE)
Como já mencionado, o VALUE consiste em achar uma série uniforme equivalente 
a todos os custos e receitas para cada alternativa. A alternativa que tiver o maior saldo posi-
tivo é a melhor. Porém os mais utilizados são a TIR e o VPL. Como custo de oportunidade, 
temos o conceito de TMA que veremos adiante.
57UNIDADE III Análise de Investimentos
3 A TAXA DE ATRATIVIDADE (TMA)
Como já mencionado, ao considerarmos uma proposta de investimentos, devemos 
levar em conta que estamos perdendo a oportunidade de aplicarmos esses recursos em 
outras coisas. Por exemplo, se eu investir $ 100 mil na compra de um equipamento, eu 
posso ter que deixar de investir esse dinheiro em ações ou na própria poupança, e ainda 
quem sabe num outro projeto. Porém, como as oportunidades são várias, nós devemos 
levar em consideração algumas opções de fácil acesso e um tanto quanto seguras.
No Brasil, para pessoas físicas, é comum a TMA ser igual à rentabilidade da pou-
pança. Para pessoas jurídicas, a determinação da TMA é mais complexa e depende do 
prazo do investimento ou da importância estratégica das alternativas.
Agora, quando vamos fazer comparações de curto prazo, como comprar uma com-
ponente da produção hoje com desconto ou daqui a dez dias sem desconto, utilizamos a 
remuneração dos títulos bancários de curto prazo como os CDBs.
58UNIDADE III Análise de Investimentos
4 MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
De acordo com Groppelli e Nikbakht (2006), existem vantagens e desvantagens 
neste método.
O método do valor presente líquido tem três vantagens importantes. Primeira, ele 
usa	 os	 fluxos	 de	 caixa	 em	 lugar	 dos	 lucros	 líquidos.	 Fluxos	 de	 caixa	 (lucros	 líquidos	 +	
depreciação) incluem a depreciação como uma fonte de fundos. Isso funciona porque a de-
preciação não é um desembolso de caixa no ano em que o ativo é depreciado. Ao contrário 
da	contabilidade,	no	campo	das	finanças	considera-se	o	fluxo	de	caixa	em	lugar	dos	lucros	
líquidos. Portanto, a abordagem do VPL, ao contrário do método da taxa média de retorno, 
é	consistente	com	a	moderna	teoria	financeira.
Segunda, o método do VPL, ao contrário dos métodos da taxa média de retorno 
e do período de amortização (payback), reconhece o valor do dinheiro no tempo. Quanto 
maior	o	tempo,	maior	o	desconto.	Ou,	simplificando,	se	os	fluxos	de	caixa	de	um	projeto,	
com risco médio, são descontados a 10%, um outro projeto com um maior grau de risco 
deve ser descontado a uma taxa superior à de 10%. Portanto, o valor do dinheiro no tempo 
para	um	projeto	está	refletido	na	taxa	de	desconto	que	deve	ser	selecionada	com	cuidado	
pelo	analista	financeiro.	Geralmente,	a	taxa	de	desconto	tende	a	se	elevar	caso	a	oferta	
monetária esteja escassa e haja expectativa de elevação da taxa de juros.
Terceira, aceitando somente projetos com VPL positivos, a companhia também 
aumentará o seu valor. Um aumento no valor da companhia, na realidade, é um aumento no 
59UNIDADE III Análise de Investimentos
preço das ações ou na riqueza dos acionistas. O método do VPL do orçamento de capital 
deve,	portanto,	no	final	das	contas,	acarretar	maior	riqueza	aos	acionistas.	Já	que	o	objetivo	
da	moderna	administração	financeira	é	aumentar,	continuamente,	a	riqueza	dos	acionistas,	
o método do VPL deve ser visto como a técnica mais moderna de orçamento de capital. 
Existem, entretanto, algumas limitações à abordagem do VPL. O método supõe 
que	a	administração	seja	capaz	de	fazer	previsões	detalhadas	dos	fluxos	de	caixa	dos	anos	
futuros.	Na	realidade,	entretanto,	quanto	maior	o	período,	mais	difícil	a	estimativa	dos	fluxos	
de	caixa	futuros.	Os	fluxos	de	caixa	futuros	são	influenciados	pelas	vendas	futuras,	pelos	
custos da mão-de-obra, dos materiais e dos custos indiretos de fabricação, pelas taxas de 
juros, pelos gostos dos consumidores, pelas políticas governamentais, pelas mudanças 
demográficas	etc.	
A	 superestimação	 ou	 subestimação	 dos	 fluxos	 de	 caixa	 futuros	 podem	 levar	 à	
aceitação de um projeto que deveria ser rejeitado, ou à rejeição de um projeto que deveria 
ser aceito. Além do mais, o método do VPL supõe que a taxa de desconto seja a mesma 
durante	todo	o	projeto.	No	exemplo	precedente	você	descontou	os	fluxos	de	caixa	a	10%	
durante quatro anos, porém uma taxa de desconto de 10% pode não ser realista. A taxa 
de desconto de um projeto, tal como a taxa de juros, na realidade, muda de um ano para o 
outro.
A	taxa	de	desconto	pode	ser	afetada	por	oportunidades	de	reinvestimento	de	fluxos	
de caixa futuros, pelas taxas de juros futuras e pelos custos de levantamento de novos 
capitais. O problema pode ser resolvido pela previsão das taxas de juros futuras e, então, 
pelo	desconto	do	fluxo	de	caixa	de	cada	ano	futuro	pela	taxa	de	desconto	prevista.	Embora	
essa seja uma sugestão inteligente, você há de concordar que a predição de uma taxa de 
juros para os próximos cinco ou dez anos é tão incerta quanto os resultados de se lançar 
uma moeda cinco ou dez vezes! Contudo, não obstante tais limitações, o método do VPL é 
ainda o melhor método de orçamento de capital.
60UNIDADE III Análise de Investimentos
5 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
De acordo com Groppelli e Nikbakht (2006), existem vantagens e desvantagens 
nesse método, veja a seguir.
5.1 Vantagens e Desvantagens
Numerosas pesquisas têm mostrado que, na prática, o método da TIR é mais uti-
lizado que a abordagem do VPL. A razão disso pode ser atribuída à facilidade de cálculo 
da	TIR,	parecida	com	a	TMR;	porém,	ao	usar	os	fluxos	de	caixa	e	ao	reconhecer	o	valor	
do dinheiro no tempo, parece-se com o VPL. Em outras palavras, embora a TIR seja fácil e 
compreensível, ela não possui as restrições da TMR e do período de amortização (payba-
ck), pois ambos os métodos ignoram o valor do dinheiro no tempo.
O principal problema com o método da TIR é que ele, muitas vezes, fornece taxas 
de retorno não-realistas. Suponha uma taxa mínima de retorno de 11% e uma TIR calculada 
de	40%.	Isso	significa	que	a	administração	deve	aceitar	imediatamente	o	projeto	por	causa	
da sua TIR de 40%? A resposta é não! Uma TIR de 40% implica em a companhia ter uma 
oportunidade	de	reinvestir	seus	fluxos	de	caixa	futuros	à	taxa	de	40%.	Se	a	experiência	
passada e a economia indicarem que os 40% representam uma taxa não-realista para 
futuros investimentos, então uma TIR de 40% é suspeita. Falando francamente, uma TIR 
de 40% é muito boa para ser verdade! A menos que a TIR calculada seja uma taxa razoável 
61UNIDADE III Análise de Investimentos
para	reinvestimento	dos	fluxos	de	caixa	 futuros,	ela	não	deve	servir	como	parâmetro	de	
aceitação ou rejeição de um projeto.
Um outro problema com o método da TIR é que ele pode fornecer diferentes taxas 
de retorno. Suponha que haja duas taxas de desconto (duas TIRs) que tornem o valor pre-
senteigual ao investimento inicial. Nesse caso, qual taxa deve ser usada na comparação 
com	a	 taxa	mínima?	A	finalidade	dessa	pergunta	não	é	 resolver	os	casos	em	que	haja	
diferentes TIRs, mas que você saiba que o método da TIR, não obstante sua popularidade 
no	mundo	dos	negócios,	apresenta	mais	problemas	do	que	imagina	um	profissional.
62UNIDADE III Análise de Investimentos
6 MÉTODO NÃO EXATOS
Os três métodos exatos, VPL, VALUE e TIR são equivalentes e ajustam-se per-
feitamente	ao	conceito	de	 “equivalência”	da	matemática	financeira.	Alguns	analistas,	no	
entanto, ainda utilizam métodos não exatos. Não é nosso interesse nos aprofundar, mas 
sim passar brevemente por eles apenas para conhecimento.
O principal método não exato é o do tempo de recuperação do capital investido, o 
famoso PAYBACK. Ele mede o tempo necessário para que o somatório das parcelas anuais 
seja igual ao investimento inicial. Esse método não leva em consideração a vida do inves-
timento,	e	pode	ser	dificultada	sua	aplicação	quando	o	investimento	inicial	se	der	por	mais	
de um ano ou quando os projetos comparados tiverem investimentos iniciais diferentes.
Veja um exemplo baseado em Groppelli e Nikbakht (2006):
A Companhia ABC planeja investir num projeto que tem um desembolso inicial de 
$ 3.700. Ela previu que o projeto proporcionará entradas de caixa regulares de $ 1.000 
no ano 1, de $ 2.000 no ano 2, de $ 1.500 no ano 3 e de $1.000 no ano 4. Se a empresa 
tivesse como meta um período de amortização (payback) de três anos, você recomendaria 
que esse projeto fosse aceito?
63UNIDADE III Análise de Investimentos
Solução:
As informações anteriores devem ser reescritas no seguinte formato:
Quadro 1 - Fluxo de Caixa
 
Fonte: o autor.
Você pode ver por essa informação que após dois anos a empresa terá recuperado 
$ 3.000 dos seus $ 3.700 investidos. Então, calculemos a proporção do terceiro ano que a 
empresa precisará para recuperar os $ 700 restantes do seu investimento inicial ($3.700 
– $3.000 = $700). Para fazer isso, simplesmente dividimos os $ 700 pela entrada de caixa 
do terceiro ano:
700/1.500 = 0,47
Em termos redondos, 0,47 de um ano é, aproximadamente, 24 semanas (0,47 x 
52 semanas = 24 semanas), perfazendo um total de 2 anos e 24 semanas antes que o 
investimento seja recuperado.
A seguir, compare esse período de recuperação com o período-meta para ver se 
a empresa deve prosseguir com o investimento. Nesse caso, o período de recuperação 
efetivo (2 anos e 24 semanas) é menor que o período-meta de 3 anos. Portanto, o projeto 
é aceitável.
Ainda de acordo com os autores existem vantagens e desvantagens na utilização 
do método.
6.1 Vantagens e Desvantagens
O método do período de recuperação do investimento tem várias vantagens e des-
vantagens. A principal vantagem é que esse método é fácil de usar. Não é necessário fazer 
cálculos complicados para encontrar quantos anos um projeto demora para recuperar o seu 
investimento inicial. O período de recuperação do investimento também é fácil entender. 
64UNIDADE III Análise de Investimentos
Portanto, quando os analistas precisam de uma medida rápida do risco, eles podem usar o 
método do período de recuperação para ver se o capital investido será recuperado em um 
período razoável de tempo. 
O método do período de recuperação do investimento, não obstante sua simpli-
cidade, pode ser de valia mesmo para as maiores corporações multinacionais. Para tais 
empresas, eventos políticos — tais como a nacionalização de setores num país estrangeiro 
— são as principais fontes de risco. Em termos de possíveis eventos políticos, então, quanto 
menor o período de recuperação do investimento, menor o risco do projeto. O método do 
período de recuperação de investimento, portanto, pode ajudar as empresas a medir o risco 
de perder o capital em países estrangeiros. 
A principal desvantagem desse método é ignorar completamente o valor do dinhei-
ro no tempo. No método do período de recuperação de investimento, não existe diferença 
entre o valor de uma entrada de caixa de $ 100 no primeiro ano e o mesmo montante de 
entrada de caixa um ano depois. Além do mais, o método do período de recuperação não 
leva em consideração as entradas de caixa produzidas após o período em que o investi-
mento inicial foi recuperado. Por causa desses graves obstáculos, o método do período 
de recuperação de investimento não deve ser visto como uma abordagem muito boa ao 
orçamento de capital.
Vimos os métodos convencionais mais utilizados para a análise de um projeto. De 
acordo com esses métodos, o trabalho do gestor seria basicamente avaliar o risco, escolher 
uma	taxa	de	desconto	apropriada	e	calcular	o	valor	presente	dos	fluxos	de	caixa.
De acordo com Samanez (2009), na prática, essa tarefa não é tão simples e vai 
muito além disso. Uma vez conhecidas as possíveis falhas do projeto, o gestor pode decidir 
se investe mais em informação, como uma melhor pesquisa de mercado, por exemplo. 
Pode-se	decidir	investir	mais	em	um	novo	processo	tecnológico	com	o	objetivo	de	confirmar	
a qualidade, durabilidade, resistência etc. Ou seja, o projeto não é algo estático!
Sendo assim, abordaremos algumas técnicas usadas no planejamento e controle 
de um projeto de investimento, de modo que o gestor possa ter uma visão melhor da sen-
sibilidade do empreendimento às mudanças nas principais variáveis.
De acordo com Samanez (2009), para conseguir uma análise econômica robusta, 
deve-se examinar o impacto das diversas fontes de risco sobre o VPL do projeto. Isso pode 
ser feito por meio de algumas técnicas, das abordaremos nesta unidade.
65UNIDADE III Análise de Investimentos
7 ÁRVORE DE DECISÃO
A	árvore	de	decisão	é	uma	metodologia	gráfica	de	verificar	as	consequências	de	
decisões atuais e futuras, bem como os eventos aleatórios relacionados. Esse método 
nos possibilita o entendimento e o controle de um número expressivo de problemas de 
investimentos sujeitos a riscos.
De acordo com Samanez (2009), essa metodologia consiste num meio de mostrar 
a anatomia de uma decisão de investimento, assim como a interação entre decisão pre-
sente, eventos possíveis, atitudes de competidores e possíveis decisões futuras e suas 
consequências.
Esse método aborda dois elementos essenciais para a análise real de investimentos, 
sendo eles a incerteza e o investimento sequencial. Vejamos a estrutura da árvore de decisão:
Figura 1 - Árvore de Decisão 
Fonte: adaptado de Filho e Kopittke (2008).
66UNIDADE III Análise de Investimentos
Os nós quadrados representam as decisões e os nós redondos representam nós 
de incerteza, ou seja, eventos aleatórios.
De acordo com Filho e Kopittke (2008), nos ramos de uma árvore de decisão devem 
ser levados em conta:
●	 As probabilidades após os nós de incerteza
●	 Os valores de investimentos nos nós de decisão
●	 Os	retornos	no	final	dos	ramos
Veja o exemplo adaptado de Filho e Kopittke (2008):
Um vendedor ambulante está considerando a possibilidade de vender camisas 
esportivas. As camisas seriam compradas por $ 10.00 e vendidas por $ 35.00. Como a 
qualidade do material é baixa estima-se que haja 30% de perda para o vendedor ambulan-
te. Independentemente da quantidade adquirida, seus custos de transporte e manutenção 
serão de $ 1000.00 por dia. As camisas não vendidas terão um valor residual de $ 2.00.
A demanda diária pelas camisas depende das condições de vigilância nas ruas: 
se a vigilância for ostensiva, o vendedor somente consegue vender 50 camisas, vendendo 
4 vezes mais se a vigilância das ruas for fraca. Caso a vigilância for média, o vendedor 
consegue colocar 120 camisas.
As camisas só podem ser compradas em lotes pré-determinados: 80, 160, 240 ou 
320 unidades.
A experiência tem mostrado que há 40% de chance de que a vigilância seja fraca 
contra 30% de vigilância ostensiva. Em consequência ela é média 30% das vezes.
Calcule:
a. Qual a quantidade de camisas que