Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, NATURAIS E TECNOLOGIAS 
Curso de Engenharia Química 
 
 
 
 
Disciplina: Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
 
Estática dos Fluidos e Balanços Integrais 
para Engenharia Química 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Reinaldo Pisani Jr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ribeirão Preto 
2014 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
2 
1 Introdução 
 
1.1 Importância da Mecânica dos Fluidos para Engenharia Química 
 
A técnica de transporte de fluido por escoamento é muito importante no âmbito 
da Engenharia Química por ser costumeiramente mais econômica. O processamento de 
líquidos é normalmente mais simples e barato que o de sólidos ou de gases. 
Consequentemente, os engenheiros químicos tendem a optar por processos em via 
líquida envolvendo líquidos puros, soluções e suspensões. 
 A Mecânica dos Fluidos é uma área do conhecimento que estuda o 
comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento (escoamento), que 
correspondem respectivamente à Estática dos Fluidos e à Dinâmica dos Fluidos. A 
Mecânica dos Fluidos por sua vez faz parte da Mecânica do Contínuo que também 
envolve o estudo da deformação e tensionamento dos sólidos. Fluido é um estado da 
matéria que permite deformação contínua quando aplicada uma tensão de cisalhamento 
(força tangencial distribuída em uma área de aplicação). 
 O Processo Químico é o principal objeto de análise da Engenharia Química, 
sendo este definido como uma sequência ordenada de transformações físicas (Operações 
Unitárias) e químicas (Processos Unitários) com o intuito de converter matérias-primas 
e energia em produtos e emissões, efluentes e resíduos. Cada uma das etapas 
elementares de transformação constitui uma operação ou um processo unitário. 
As técnicas de projeto de operações unitárias são baseadas em princípios 
teóricos ou empíricos de transferência de massa, transferência de calor, transferência de 
quantidade de movimento, termodinâmica, biotecnologia e cinética química. Desta 
forma, os processos podem ser estudados de forma simples e unificada. Cada Operação 
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Unitária é sempre a mesma operação, independente da natureza química dos 
componentes envolvidos. Por exemplo, a filtração, separação de uma fase particulada de 
uma fase fluida pela ação de uma barreira física (meio filtrante), é um caso particular do 
escoamento em um meio poroso, independentemente se ocorre em uma indústria de 
alimentos ou em uma petroquímica. No Quadro 1 são listados os principais processos e 
operações unitários da Engenharia Química. 
 
Quadro 1.1 Principais operações e processos unitários da Engenharia Química 
Operações Unitárias Processos Unitários 
Transporte de líquidos Combustão 
Transporte de gases Oxidação 
Transporte de sólidos Neutralização 
Transmissão de calor e Trocadores de calor Eletrólise 
Fragmentação e Moagem Calcinação 
Agitação e Mistura Desidratação 
Classificação e Peneiramento Nitração 
Fluidização Esterificação 
Extração líquido-líquido Redução 
Lixiviação Halogenação 
Sedimentação e Espessamento Sulfonação 
Filtração Hidrólise 
Centrifugação Hidrogenação 
Evaporação Alquilação 
Secagem Polimerização 
Destilação Fermentação 
Cristalização Pirólise 
Absorção Aromatização 
Adsorção Isomerização 
Pervaporação 
 
1.2 Conceitos Fundamentais 
 
 A Mecânica dos Fluidos é uma área do conhecimento que estuda o 
comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento (escoamento), que 
correspondem respectivamente à Estática e à Dinâmica dos Fluidos. 
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 Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a 
uma tensão de cisalhamento (força tangencial, com direção e sentido, distribuída em 
uma área de atuação no fluido, ou seja, por unidade de área). De maneira geral: 
 
Fluido → Gases, Líquidos, Vapores e Pastas 
 
 Nos estudos da Estática e da Dinâmica dos Fluidos, os fluidos são considerados 
meios contínuos, infinitamente divisíveis de forma a não alterar suas propriedades 
intensivas (massa específica, temperatura, viscosidade, pressão, etc.), deixa-se de lado 
que sejam formados por átomos e moléculas. Dessa forma, o equacionamento aplicado 
poderá envolver os conceitos de derivada e integral. 
 Considere duas placas horizontais e paralelas, conforme indica a Figura 1.1, 
sendo o espaço entre elas preenchido com um fluido “bem comportado” em repouso. 
Ft
y
x
Ft
y
x
Ft
y
x
t = 0
t ≈ 0
t >> 0
Ft
y
x Ft
y
x
Ft
y
x
Ft
y
x
t = 0
t ≈ 0
t >> 0
 
Figura 1.1 Esquema do escoamento entre placas horizontais no regime permanente 
 
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 Repentinamente, a placa superior é movimentada com velocidade constante pela 
ação de uma força tangencial (Ft). Instantaneamente, a camada de fluido que está em 
contato direto com esta placa adquire a sua velocidade (não escorregamento na interface 
sólido – fluido). Esta lâmina de fluido tende a deslizar sobre a lâmina de fluido inferior 
adjacente, mas o atrito entre elas, devido ao comportamento elástico e viscoso do fluido, 
imprime movimento a esta segunda camada e assim sucessivamente, até a placa inferior 
que permanece fixa. Por outro lado, a interação cisalhante entre as camadas de fluido 
implica na existência de transferência de quantidade de movimento entre as camadas 
pelo atrito. A tensão de cisalhamento pode ser interpretada como um fluxo de 
quantidade de movimento devido ao caráter viscoso do fluido. 
 A força tangencial aplicada na área de cada lâmina de fluido é um tensor 
chamado tensão de cisalhamento () A nomenclatura para os índices da tensão de 
cisalhamento obedece ao seguinte critério: o primeiro índice é a direção da transferência 
e o segundo, corresponde a direção do escoamento. No exemplo da Figura 1.1, a tensão 
de cisalhamento (yx) entre as lâminas do fluido “bem comportado” se relaciona com a 
velocidade de cada lâmina para a maioria dos líquidos e gases através da relação de 
Newton (fluido de Newton ou newtoniano): 
 
dy
dVx
yx  = (1.1) 
 
sendo  a viscosidade do fluido (kg/m.s) e dVx/dy a taxa de deformação (1/s), diferença 
de velocidade entre dois pontos na vertical no caso da Figura 1.1, e  é a viscosidade do 
fluido (kg/m.s). 
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 No caso em análise, tomando-se como ponto de partida a Equação 1.1 e o 
sistema de coordenadas da Figura 1.1, o sinal apropriado é negativo, pois a velocidade 
do fluido na direção x é decrescente com a variável y. Então, a Equação 1.1 ficaria na 
forma da Equação 1.2: 
 
dy
dVx
yx  −= (1.2) 
 
 A constante de proporcionalidade das equações 1.1 e 1.2 é a viscosidade 
(viscosidade absoluta, viscosidade dinâmica ou viscosidade de Newton), está 
relacionada à resistência do fluido ao escoamento (atrito entre as camadas adjacentes de 
fluido no escoamento laminar) e é proveniente de interações intermoleculares das 
espécies químicas que compõem o fluido. De maneira geral, a viscosidade dos líquidos 
diminui com o aumento da temperatura, enquanto que para gases, aumenta com a 
temperatura. É comum expressar os valores da viscosidade m em kg.m-1.s-1, o mesmo 
que Pa.s, no Sistema Internacional ou em centpoise (cP, lê-se centpoase, 10-2 g.cm-1.s-1) 
no Sistema CGS. 
Os fluidos que não obedecem ao comportamento descrito pela Equação 1.1, na 
qual a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional com a taxa de deformação, 
são denominados fluidos não-newtonianos, como por exemplo, creme dental, tinta, 
suspensão de amido em água, suspensãode argila em água, lamas de perfuração, 
ketchup, maionese, chocolate, sangue e polímeros amolecidos. A relação entre a tensão 
de cisalhamento e a taxa de deformação para diferentes condições, como a deformação 
oscilatória ou o fluxo extensional, que são medidos em diferentes dispositivos 
denominados reômetros. As propriedades reológicas são estudadas através do uso de 
equações constitutivas. 
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7 
Os fluidos não-newtonianos cujas propriedades não são dependentes do tempo 
são: 
- Dilatante: a viscosidade aumenta com o aumento da tensão, partindo da 
origem. 
- Pseudoplástico: a viscosidade diminui com o aumento da tensão, partindo da 
origem 
- Binghamianos: fluidos que requerem a aplicação de uma tensão mínima para 
que ocorra o escoamento (deformação). Se submetidos a pequenas tensões se 
comportam como sólidos. 
Os fluidos cujas propriedades reológicas são dependentes do tempo são: 
- Reopético: a viscosidade aparente aumenta quando a taxa de deformação 
aumenta. Por exemplo, o sangue. 
- Tixotrópicos: a viscosidade aparente diminui com o tempo, após a taxa de 
deformação ser aumentada. Por exemplo, tintas. 
A Figura 1.2 contém o comportamento da tensão de cisalhamento em função da 
taxa de deformação para fluidos não-newtonianos, cujas propriedades reológicas não 
apresentam dependência temporal. 
 
Tensão 
mínima
Taxa de deformação
pseudoplástico com tensão 
mínima
binghamiano
pseudoplástico
newtoniano
dilatante
dy
dV
:
 
Figura 1.2 Diagrama reológico para fluidos não-newtonianos sem dependência temporal 
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Um exemplo de um fluido não-newtoniano pode ser feito adicionando-se amido 
de milho a uma xícara de água. Adicione o amido em porções pequenas e misture 
devagar. Quando a suspensão estiver próxima da concentração crítica, com a 
consistência de um creme de leite, a propriedade "dilatante" fica evidenciada. 
 A viscosidade cinemática ( letra grega “ni”) é a relação entre a viscosidade de 
Newton e a massa específica do fluido () (Equação 1.3): 
 


 = (1.3) 
 
A viscosidade cinemática é expressa em m2.s-1 no SI, ou em centstokes (cSt, 
equivalente a 10-2 cm2.s-1) no CGS. 
 É importante ressaltar que a tensão de cisalhamento pode ser interpretada como 
um fluxo de quantidade de movimento causado pelo atrito entre as camadas adjacentes 
de fluido. Note que na situação apresentada na Figura 1.1 ocorre transferência de 
quantidade de movimento da região de maior velocidade (próxima à placa superior) 
para a região de menor velocidade (próxima à placa inferior). O mecanismo é análogo à 
transferência de calor por condução, na qual o fluxo de calor (q/A) se dá da região de 
maior temperatura (T) para a de menor temperatura (Equação 1.4). E o mesmo ocorre na 
transferência de massa (transferência de soluto) por difusão, em que o fluxo de soluto 
(JA) ocorre da região de maior para a de menor concentração (CA) (Equação 1.5): 
 
dy
dT
k
A
q
−= (1.4) 
 
na qual k é a condutividade térmica do material. 
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dy
dC
DJ AABA −= (1.5) 
 
sendo que DAB é a difusividade mássica do soluto A no meio B. 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício 1.1 Comente, conceitue e dê exemplos com suas palavras: a) fluido; b) meio 
contínuo; c) tensão de cisalhamento; d) quantidade de movimento; e) viscosidade; f) 
fluido newtoniano e não-newtoniano; g) não escorregamento na parede. 
 
Exercício 1.2 A viscosidade absoluta do ar atmosférico a 20oC e 1 atm é igual a 1,8.10-5 
Pa.s, sendo assim, calcule a viscosidade cinemática do ar nessas condições em m2.s-1 e 
em cSt. Dados: massa molar média do ar 29 g/mol. Constante universal dos gases igual 
a 0,082 atm.L.mol-1.K-1. 
 
Exercício 1.3 Faça uma pesquisa na rede mundial de computadores para identificar 
fluidos não-newtonianos que são classificados como: dilatante, pseudoplástico, 
binghamianos, reopéticos e tixotrópicos. 
 
Exercício 14 Explique o que é fluido newtoniano. Inclua na sua resposta os conceitos de 
fluido, viscosidade e taxa de deformação. 
 
2 Estática dos Fluidos 
 
 Um fluido em repouso (sem movimento relativo e sem deformação angular) 
implica na ausência de tensões cisalhantes, No entanto, em repouso, quanto em 
movimento de corpo rígido (por exemplo, água sendo transportada em um balde), os 
fluidos são capazes de suportar tensões normais. 
 A tensão normal é resultante da ação de uma força normal (perpendicular) à 
superfície e distribuída na área do ponto de aplicação. Pode ser positiva ou negativa, 
respectivamente a favor ou contra o sistema de eixos de referência (normalmente os 
eixos cartesianos). A Figura 2.1 contém uma força dF sendo aplicada em um ponto de 
dA. 
 
dA
dFn
dFt
dF
dA
dFn
dFt
dF
 
Figura 2.1 Esquema de aplicação de uma força dF em um meio contínuo de área dA 
com suas componentes normal e tangencial 
 
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Note que a força dF pode ser decomposta em uma componente normal (dFn) e 
em uma componente tangencial (dFt). As tensões normal () e cisalhante () são 
definidas respectivamente pelas equações 2.1 e 2.2. 
 
dA
dFn= (2.1) 
 
dA
dFt= (2.2) 
 
 Considere um volume de controle de dimensões x, y e z, conforme indica a 
Figura 2.2. O fluido na condição estática preenche o volume de controle e contempla 
toda a vizinhança, ou seja, o volume de controle está imerso e preenchido pelo fluido. 
A condição estática do fluido no interior do volume de controle aliada à 2ª Lei 
de Newton resulta em (Equação 2.3): 
 
0. == amR

 (2.3) 
 
em que, R

 é a força resultante que atua no fluido, m é a massa de fluido presente no 
volume de controle e a

 é a aceleração da massa de fluido contida no volume de 
controle. 
 
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z
z + z
x
y
z
x x + x
y
y + y

y
z
x
Fluido
z
z + z
x
y
z
x x + x
y
y + y

y
z
x
z
z + z
x
y
z
x x + x
y
y + y

y
z
x
Fluido
 
Figura 2.2 Volume de controle infinitesimal fixo no espaço com dimensões x, y e z, 
com fluido estático nas vizinhanças 
 
 Nos casos de interesse da Engenharia Química, as forças que exercem influência 
no fluido são a força proveniente do campo gravitacional (Fg) e a força oriunda da 
diferença de pressão (Fp) nas faces do volume de controle. Não estão presentes forças 
de atrito, pois não há solicitação ou tendência ao escoamento, uma vez que o fluido está 
estático. Sendo assim, a Equação 2.3 pode ser escrita como (Equação 2.4): 
 
0=+= pg FFR

 (2.4) 
 
 A Equação 2.4 envolve uma soma vetorial, na qual é prática a decomposição das 
forças nas três direções, x, y e z para coordenadas cartesianas: 
 
0=+=
xpxgx
FFR

 
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0=+=
ypygy
FFR

 
 
0=+=
zpzgz
FFR

 
 
 O caso geral, em que há aceleração da gravidade nas três direções, corresponde 
ao não alinhamento de um dos eixos coordenados com a direção vertical, uma vez que a 
aceleração da gravidade é sempre vertical (direção) e voltada para baixo (sentido). 
Nesse momento é necessário abstrair que o eixo z na Figura 2.2 esteja na vertical. Nessa 
figura, o volume de controle está submerso no fluido e pode haver ação da pressão nas 
seis faces, conforme indica a Figura 2.3. 
 
z
z + z
x
y
z
x x + x
y
y + y
x
P
xx
P
+
zz
P
+
z
P
y
P
yy
P
+
z
z + z
x
y
z
x x + x
yy + y
x
P
xx
P
+
zz
P
+
z
P
y
P
yy
P
+
 
Figura 2.3 Volume de controle infinitesimal com indicação das pressões nas direções x, 
y e z 
 
A força proveniente da ação da gravidade (força peso) na massa de fluido no 
volume de controle é o produto de sua massa (mf) pela aceleração da gravidade (g), 
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enquanto que a força de diferença de pressão atuante no fluido localizado nas faces 
volume de controle é o produto da pressão na face pela área da face. Ou seja: 
 
0..... =−+=
+ xxxxfx
PzyPzygmR

 
 
para a direção x. 
 
0..... =−+=
+ yyyyfy
PzxPzxgmR

 
 
para a direção y. 
 
0..... =−+=
+ zzzzfz
PyxPyxgmR

 
 
para a direção z. 
 Mas, a massa de fluido no volume de controle é o produto do volume (x.y.z) 
pela sua massa específica (). Então: 
 
0........ =−+=
+ xxxxx
PzyPzygzyxR 

 
 
para a direção x. 
 
0........ =−+=
+ yyyyy
PzxPzxgzyxR 

 
 
para a direção y. 
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0........ =−+=
+ zzzzz
PyxPyxgzyxR 

 
 
para a direção z. 
 A definição de derivada parcial de uma função f(x,y,z) é dada por 
( ) ( ) ( )
x
ff
Lim
x
f
xzyxxxzyx
x
zyx

−
=


+
→
,,,,
0
,,
. Então, o próximo passa será dividir as equações 
por x.y.z e posteriormente multiplicá-las por -1: 
 
zyxzyx
Pzy
zyx
Pzy
zyx
gzyx xxxx

=


−


+

 +
..
0
..
..
..
..
..
.... 
 
 
para a direção x. 
 
zyxzyx
Pzx
zyx
Pzx
zyx
gzyx yyyy

=


−


+

 +
..
0
..
..
..
..
..
.... 
 
 
para a direção y. 
 
zyxzyx
Pyx
zyx
Pyx
zyx
gzyx zzzz

=


−


+

 +
..
0
..
..
..
..
..
.... 
 
 
para a direção z. 
Logo, multiplicando-se as equações por -1 e simplificando os termos presentes 
nos numeradores e nos denominadores: 
 
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0. =

−
+− +
x
PP
g xxxx 
 
para a direção x. 
 
0. =

−
+−
+
y
PP
g
yyy
y 
 
para a direção y. 
 
0. =

−
+− +
z
PP
g zzzz 
 
para a direção z. 
 A aplicação dos limites de x, y e z tendendo a zero fornece que: 
 
0.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
→
→
→
+
→
→
→
→
→
→
=

−
+−
z
y
x
xxx
z
y
x
x
z
y
x
Lim
x
PP
LimgLim  
 
para a direção x. 
 
0.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
→
→
→
+
→
→
→
→
→
→
=

−
+−
z
y
x
yyy
z
y
x
y
z
y
x
Lim
y
PP
LimgLim  
 
para a direção y. 
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0.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
→
→
→
+
→
→
→
→
→
→
=

−
+−
z
y
x
zzz
z
y
x
z
z
y
x
Lim
z
PP
LimgLim  
 
para a direção z. 
 Mas, os primeiros termos das equações não são dependentes de x, y e z. 
Lembre-se também que o limite de uma constante é o próprio valor da constante. E note 
que os segundos termos são dependentes de x, y ou z: 
 
0.
0
=

−
+− +
→ x
PP
Limg xxx
x
x 
 
para a direção x. 
 
0.
0
=

−
+−
+
→ y
PP
Limg
yyy
y
y 
 
para a direção y. 
 
0.
0
=

−
+− +
→ z
PP
Limg zzz
z
z 
para a direção z. 
 O caso geral corresponde à pressão ser dependente (variar) das três direções 
P(x,y,z). Portanto, aplicando-se a definição derivada parcial: 
 
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18 
0. =−


xg
x
P
 (2.5a) 
 
para a direção x. 
 
0. =−


yg
y
P
 (2.5b) 
 
para a direção y. 
 
0. =−


zg
z
P
 (2.5c) 
 
para a direção z. 
 O conjunto de equações 2.5 pode ser representado pelo gradiente de pressão 
(grad) e pela força peso (Equação 2.6): 
 
0. =−


+


+


g
z
P
y
P
x
P 
 (2.6) 
 
0g.-P grad =

 (2.6) 
 
0g.-P =

 (2.6) 
 
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19 
 A Equação 2.6, assim como o conjunto de equações 2.5, é denominada de 
Equação Fundamental da Estática. Ela explicita que haverá diferença de pressão em 
uma dada direção se houver ação do peso do fluido nessa direção. 
Normalmente, é conveniente alinhar um dos eixos com a vertical (por exemplo, 
o eixo z), pois assim g = ± gz = 9,8 m/s
2 e gx=gy = 0 (Figura 2.4). 
z
g = 9,8 m/s2
z1
z2 P2
P1 P1> P2
h
z
g = 9,8 m/s2
z1
z2 P2
P1 P1> P2
z
g = 9,8 m/s2
z1
z2 P2
P1 P1> P2
h
 
Figura 2.4 Eixo z alinhado com a vertical e vetor aceleração da gravidade na mesma 
direção e sentido oposto 
 
Nesse caso, a Equação 2.6 se reduz a (Equação 2.7): 
 
0. =−


g
z
P 
 (2.7) 
 
Além disso, a derivada parcial de P coincide com sua derivada absoluta, pois: 
 
z
P
dz
dz
z
P
dz
dy
y
P
dz
dx
x
P
dz
dP


=


+


+


= 
 
Porém, 0=


=


y
P
x
P
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
20 
Então: 
 
0. =− g
dz
dP 
 
 
Mas, gg −=

 
 
0. =+ g
dz
dP
 
 
Separando-se as variáveis: 
g
dz
dP
.−= 
dzgdP ..−= 
 −=
2
1
2
1
..
z
z
P
P
dzgdP  
 
 Nesse momento, é necessário verificar o comportamento do fluido em função da 
coordenada z e da pressão. Caso o fluido seja incompressível ( = constante) e a 
aceleração da gravidade também o seja (g = constante, fato bastante razoável em 
Engenharia Química): 
 
 −=
2
1
2
1
..
z
z
P
P
dzgdP  
2
1
2
1
..
z
z
P
P
zgP −= 
).(.)( 1212 zzgPP −−=−  
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
21 
 
Fazendo-se (z2 – z1) = h: 
 
hgP ..−= (2.8) 
 
 Caso o eixo de referência (eixo z estivesse alinhado para baixo), gg +=

 e a 
equação resultante seria: 
 
hgP ..+= (2.9) 
 
Portanto, é conveniente representar as equações 2.8 e 2.9 através da Equação 2.10: 
 
hgP ..= (2.10) 
 
 O sinal positivo deve ser utilizado quando P2 > P1 enquanto que o sinal negativo 
deve ser empregado para P2 < P1. A Equação 2.10 é válida para fluidos estáticos, 
incompressíveis e para sistemas com g constante em que os pontos de análise estão 
localizados no mesmo fluido. Caso haja mais de um fluido envolvido, não se pode 
escolher dois pontos localizados em pontos com  diferentes. 
 
 Exemplo 1: Calcule a pressão manométrica e absoluta (em Pa e psi) no centro da 
tubulação mostrada em corte (ponto A das Figuras 2.5 e 2.6) se h1 = 40 cm e h2 = 50 
cm. 
 
a) 
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22 
A
h1
h2
Mercúrio
 =13.600 kg/m3
Água
 =997 kg/m3
A
h1
h2
Mercúrio
 =13.600 kg/m3
Água
 =997 kg/m3
 
Figura 2.5 Esquema de manômetro de tubo em U do item a 
 
b) 
A
h1
h2
Mercúrio
 =13.600 kg/m3
Água
 =997 kg/m3
A
h1
h2
Mercúrio
 =13.600 kg/m3
Água
 =997 kg/m3
 
Figura 2.6 Esquema de manômetro de tubo em U do item b 
 
Exemplo 2: Calcule a diferença de pressão entre os pontos A e B (Figura 2.7). Dados: h1 
= 5 pol; h2 = 6 pol; h3 = 12 pol; h4 = 9 pol; h5 = 4 pol; h6 = 6 pol. 
A
h1
h2
Mercúrio
Hg =13.600 kg/m
3
Água
água = 997 kg/m
3
B
h4
h3 h5
h6
Óleo
óleo = 919 kg/m
3
Água
água = 997 kg/m
3
A
h1
h2
Mercúrio
Hg =13.600 kg/m
3
Água
água = 997 kg/m
3
BB
h4
h3 h5
h6
Óleo
óleo = 919 kg/m
3
Água
água = 997 kg/m
3
 
Figura 2.7 Manômetro de fluidos múltiplos do Exemplo 2 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
23 
 
 A integração da Equação 2.6, para o caso de eixo z alinhadocom a vertical 
(conforme a Figura 2.4) e fluido com comportamento de gás ideal isotérmico 
(temperatura uniforme), fornece que: 
 
g
dz
dP
.−= 
 
Porém, a massa específica () de gases ideais é obtida pela Equação 2.11: 
 
TR
MP
.
.
= (2.11) 
 
na qual, P é a pressão, M é a massa molar média do gás ou mistura de gases ideais, R é 
a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta. Então: 
 
g
TR
MP
dz
dP
.
.
.
−= 
 
Mas, a separação das variáveis fornece que: 
 
dz
TR
gM
P
dP
.
.
.
−= 
 
Integrando-se em relação à coordenada z, entre z1 e z2, com P variando entre P1 e P2 
(Figura 2.4): 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
24 
 −=
2
1
2
1
.
.
.
z
z
P
P
dz
TR
gM
P
dP
 
 
Mas, como M , g, R e T são constantes: 
 
 −=
2
1
2
1
.
.
.
z
z
P
P
dz
TR
gM
P
dP
 
2
1
2
1
.
.
. z
z
P
P
z
TR
gM
LnP −= 
).(
.
.
1212 zz
TR
gM
LnPLnP −−=− 
).(
.
.
1221 zz
TR
gM
LnPLnP −=− 
 
Portanto, fazendo (z2 – z1) = h (Equação 2.12): 
 
TR
hgM
P
P
Ln
.
..
2
1 =





 (2.12) 
 
Na Equação 2.12, em função das condições estipuladas na Figura 2.4, P1 > P2. 
Essa equação é válida para gases ideais estáticos presentes em sistemas com 
temperaturas uniformes, nos quais a aceleração da gravidade (g) pode ser considerada 
constante em relação à diferença de altitude dos pontos avaliados. 
 
Exemplo 3: Sabe-se que a pressão atmosférica ao nível do mar é igual a 760 
mmHg. Sendo assim, utilize a Equação 2.12 para estimar a pressão atmosférica em 
Ribeirão Preto, que está a situada a 518 m acima do nível do mar e possui temperatura 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
25 
média anual igual a 25oC. Compare o valor estimado com medidas experimentais que 
forneceram o valor médio de 712 mmHg. Dados: constante universal dos gases = 0,082 
atm.L/mol.K = 8,314 Pa.m3/mol.K. Resp.: 716 mmHg; desvio percentual de 0,6%. 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício 2.1: Determine a altura total do nível de solução de soda cáustica no tanque de 
estocagem indicado na Figura 2.8. A massa específica da solução de soda cáustica é de 
1005 kg/m3. 
 
1,00 m
Pm = 0,4 kgf/cm
2
1,00 m
Pm = 0,4 kgf/cm
2
 
Figura 2.8 Esquema de tanque com manômetro de Bourdon para indicação de nível 
 
Exercício 2.2: Determine a pressão manométrica na base do tanque de lavagem da 
Figura 2.9. O tanque é cilíndrico com diâmetro igual a 2,0 m. As massas específicas da 
solução ácida de lavagem e do biodiesel são respectivamente 1000 kg/m3 e 900 kg/m3. 
 
Pm
2
,4
0
 msolução 
ácida
biodiesel
6785 kg
2,0 m
Pm
2
,4
0
 msolução 
ácida
biodiesel
6785 kg
2,0 m
2
,4
0
 msolução 
ácida
biodiesel
6785 kg
2,0 m
 
Figura 2.9 Esquema do tanque de lavagem de biodiesel do Exercício 2 
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(2014) 
26 
 
Exercício 2.3: Os manômetros de tubo inclinado são úteis para a medida de pressões ou 
variações de pressão mais moderadas, quando comparados com os manômetros de tubo 
em U. Considere o manômetro de tubo inclinado (figuras 2.10 e 2.11) para calcular a 
pressão (manométrica e absoluta) no ponto de interesse (ponto A). O fluido 
manométrico é água a 25oC ( = 997 kg/m3) e o fluido em escoamento no ponto A 
(visto em corte) é ar comprimido a 25oC e 2,0 atm. 
a) 
 
30o
A
ar 30
 cm
água 30o
A
ar 30
 cm
água
 
Figura 2.10 Esquema de medida de pressão com tubo inclinado do item a 
 
b) 
 
3,5 cm 30o
A
ar
30
 cm
água3,5 cm 30o
A
ar
30
 cm
água
 
Figura 2.11 Esquema de medida de pressão com tubo inclinado do item b 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
27 
Exercício 2.4: Calcule a pressão manométrica no ar pressurizado nos sistemas indicados 
nas figuras 2.12 e 2.13. As massas específicas do óleo e do glicerol a 25oC são 
respectivamente 919 kg/m3 e 1126 kg/m3. 
 a) 
 
1,60 m = h1
h2 = 0,80 m
Ar
Óleo
tanque
1,60 m = h1
h2 = 0,80 m
Ar
Óleo
tanque
 
Figura 2.12 Tanque fechado com manômetros referente ao item a 
 
 b) 
 
0,80 m
2
,0
 m
 
Glicerol
ar
glicerol
0,80 móleo
0,80 m
2
,0
 m
 
Glicerol
ar
glicerol
0,80 móleo
 
Figura 2.13 Tanque fechado com manômetro referente ao item b 
 
Exercício 2.5: Ar comprimido escoa através de um tubo horizontal (Figura 2.14), no 
qual foi instalado um manômetro de tubo em U com água a 25oC no seu interior (massa 
específica de 997 kg/m3). Nessas condições, determine: 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
28 
a) O sentido do escoamento. 
b) A queda de pressão entre os pontos A e B. 
 
1
,0
 m
A B
água
ar
1
,0
 m
A B
água
ar
 
Figura 2.14 Tubo horizontal com manômetro de tubo em U preenchido com água 
 
Exercício 2.6: Água a 25oC (massa específica de 997 kg/m3) escoa através de um tubo 
horizontal (Figura 2.15), no qual foi instalado um manômetro de tubo em U com 
mercúrio no seu interior (massa específica de 13600 kg/m3). Nessas condições, 
determine a queda de pressão entre os pontos A e B. 
 
1
,0
 m
A B
mercúrio
água
1
,0
 m
A B
mercúrio
água
 
Figura 2.15 Tubo horizontal com manômetro de tubo em U preenchido com mercúrio 
 
Exercício 2.7: Determine as pressões absolutas nos pontos indicados para os itens a e b. 
As massas específicas do óleo e da água são respectivamente 900 kg.m-3 e 997 kg.m-3. 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
29 
Já no item c, determine o valor de h sabendo que a massa específica do mercúrio é de 
13600 kg.m-3. Lembre-se hgP ..= . 
 
a) Patm local = 750 mmHg. b) Patm local = 750 mmHg. 
1,2 m
óleo
Pm = 0,30 kgf/cm2
P = ?
 
1,2 m
Pm = 0,30 kgf/cm2
óleo
P = ?
 
Figura 2.16 Esquema de instalações de manômetros de Bourdon em tubos 
horizontais com escoamento de óleo para os itens a e b 
 
c) A pressão atmosférica local é desconhecida. 
 
5
,0
0
 m água óleo
Hg
h
1
,0
 m
5
,0
0
 m
 
Figura 2.17 Tanques de estocagem interligados por um manômetro de tubo em U para 
resolução do item c 
 
Exercício 2.8 Calcule a pressão manométrica na câmara A. Note que a pressão 
atmosférica local não está disponível. 
Dados: 
1 kgf = 9,8 N 
1 m = 100 cm 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
30 
1 atm = 760 mmHg = 101,35 kPa 
 
Pm = 100 mmHg
BA
Pm = ?
ar ar
Pm = 0,10 kgf/cm2
 
Figura 2.18 Câmaras adjacentes nas quais foram instalados manômetros de Bourdon 
 
Exercício 2.9 Calcule a diferença de pressão entre os pontos A e B. 
Dados: 
- massa específica da água a 25oC de 997 kg/m3; 
- massa específica do óleo de 900 kg/m3. 
 
1
,2
0
 m
óleoóleo
45º
1,00 m
 
Figura 2.19 Tubo inclinado com escoamento de água com manômetro de tubo em U 
invertido 
 
Exercício 2.10 Determine a pressão manométrica do ar aprisionado no interior do 
reservatório. 
 
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(2014) 
31 
2
,6
 m
água
25°C
ar
1
,4
 m
1
,8
 m
Hg
óleo
Pm
 
Figura 2.20 Reservatório fechado com manômetro de tubo em U instalado na base e 
manômetro de Bourdon instalado no topo 
 
3 Dinâmica dos Fluidos 
 O transporte de fluidos por escoamento está presente na quase totalidade dos 
processos industriais por ser normalmente mais econômico. No entanto, há a 
preocupação em quantificar adequadamente a quantidade de energia gasta em máquinas 
geratrizes (bombas, ventiladores e compressores) para que o fluido seja transportado 
envolvendo condições de vazão, desnível, pressão e perdas por atrito devido á 
movimentação do fluido. 
ADinâmica dos Fluidos é uma parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o 
comportamento dos fluidos em escoamento. O escoamento é produto da ação de uma 
tensão de cisalhamento atuante no fluido. Da mesma maneira que na Estática dos 
Fluidos, utiliza-se a suposição que o fluido se comporte como um meio contínuo. 
Na análise do escoamento, defini-se uma região do espaço ocupado pelo fluido 
como volume de controle, que é um espaço arbitrário através do qual o fluido escoa, 
cuja fronteira geométrica (real ou imaginária, estática ou móvel) é chamada de 
superfície de controle. A Figura 3.1 mostra esquemas de volumes e superfícies de 
controle. 
 
volume de controle
superfície de controle
volume de controle
superfície de controle 
(a) 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
33 
 
1
0
 m
DN = 4 in.
Válvula de 
gaveta 100% 
aberta
Válvula de 
gaveta 100% 
aberta
Cotovelo 90º
de raio curto
volume de controle
superfície de controle
1
0
 m
DN = 4 in.
Válvula de 
gaveta 100% 
aberta
Válvula de 
gaveta 100% 
aberta
Cotovelo 90º
de raio curto
volume de controle
superfície de controle
 
(b) 
Figura 3.1 Esquemas de volume e superfície de controle: a) escoamento no interior de 
um tubo e b) transporte de líquido entre dois reservatórios em desnível interligados por 
um tubo 
 
Os princípios básicos úteis para a Dinâmica dos Fluidos são: 
- Princípio de Conservação da Massa; 
- Princípio de Conservação da Energia (1ª lei da Termodinâmica); 
- Segunda Lei da Termodinâmica (nem todo calor pode ser convertido em trabalho); 
- Segunda Lei de Newton; 
- Princípio de Conservação de Quantidade de Movimento. 
Pode-se analisar um sistema aplicando os princípios supracitados (formulação) a 
partir do enfoque integral (global) e do enfoque diferencial (ponto a ponto). Isto é, 
aplicar os balanços de massa, energia e quantidade de movimento em volumes de 
controle macroscópico (finito) e microscópico (infinitesimais), respectivamente. 
Nos balanços integrais utilizam-se os valores médios representativos de uma 
propriedade de interesse nas superfícies de controle que representam a entrada e saída 
de fluido do sistema. Por exemplo, considere o escoamento de um fluido conforme 
mostra a Figura 3.2: 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
34 
ub1
nível de referência (datum)
Z1
D1
P1
ub2
D2
P2
Z2
ub1
nível de referência (datum)
Z1
D1
P1
ub2
D2
P2
Z2
 
Figura 3.2 Esquema de escoamento de um fluido em uma expansão com indicação de 
valores médios representativos de algumas propriedades de interesse 
 
 Note que P1 é a pressão que se adota representativa da seção 1 de diâmetro 
interno D1, no entanto, existe a coluna de fluido que na realidade implica em uma 
diferença de pressão estática entre o topo e a base da seção 1. As velocidades médias 
dos escoamentos nas seções 1 e 2 (ub1 e ub2) são também ilustrativas desse 
comportamento, pois sabe-se que as velocidades são nulas nas paredes e máximas nos 
centros das tubulações. Portanto, como será demonstrado posteriormente, adotam-se 
valores médios representativos das variáveis nas superfícies de controle. 
 O regime de escoamento pode ser classificado quanto à trajetória fluido presente 
no escoamento. Se o escoamento ocorrer como o deslizamento de lâminas de fluido, 
sem que ocorra mistura macroscópica das camadas adjacentes de fluido, o escoamento é 
chamado laminar. 
 No escoamento turbulento, ocorre a formação de turbilhões (redemoinhos) que 
provocam a mistura macroscópica das porções de fluido e a velocidade do fluido em 
cada ponto oscila em torno de um valor médio. Ao se medir a velocidade local do fluido 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
35 
no interior de um tubo com os dois tipos de escoamento no estado estacionário em 
função do tempo, o comportamento esperado seria o descrito na Figura 3.3. 
 
tempo (min)
V
el
o
ci
d
ad
e 
-
u
 (
m
/s
)
__
u
u’
(média)
(oscilação)
u = + u’
__
u
turbulento
laminaru
tempo (min)
V
el
o
ci
d
ad
e 
-
u
 (
m
/s
)
__
u
u’
(média)
(oscilação)
u = + u’
__
u
turbulento
laminaru
 
Figura 3.3 Velocidade instantânea de uma partícula de fluido em função do tempo no 
escoamento: a) laminar e b) turbulento 
 
 O critério utilizado para se determinar o regime de escoamento entre laminar e 
turbulento é o número adimensional de Reynolds (Re), que representa a relação entre os 
efeitos de inércia e o efeito viscoso do escoamento do fluido. Para o escoamento de um 
fluido newtoniano no interior de um tubo Re é definido por (Equação 3.1): 
 

 bb
d
uDuD ...
Re == (3.1) 
 
sendo que D é o diâmetro interno do tubo, ub é a velocidade média do escoamento,  é a 
massa específica do fluido,  é a viscosidade do fluido e  é a viscosidade cinemática 
do fluido (/). 
 O limite convencionado para o escoamento em tubos é: 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
36 
 
2100
...
Re ==

 bb
d
uDuD
 , laminar 
2100
...
Re ==

 bb
d
uDuD
 , turbulento 
 
 No escoamento externo de um fluido newtoniano sobre uma placa horizontal 
(Figura 3.4), o número de Reynolds é definido por (Equação 3.2): 
 

 xuxu
x
...
Re  == (3.2) 
 
sendo que u∞ é a velocidade do fluido não perturbado pela placa e x é a posição sobre a 
placa a partir da borda de ataque (Figura 3.4). 
 
y
x
u 

y
x


u∞
laminar turbulento
y
x
u 

y
x


u∞
laminar turbulento
 
Figura 3.4 Escoamento sobre uma das faces de uma placa horizontal com indicação das 
camadas limites laminar e turbulenta 
 
 A transição entre as camadas limites laminar para turbulenta normalmente 
ocorre para: 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
37 
510.0,5
...
Re == 

 xuxu
x
 , camada limite laminar 
510.0,5
...
Re == 

 xuxu
x
 , camada limite turbulenta 
 
Na realidade existe uma região de transição entre os escoamentos laminar e 
turbulento e os limites citados anteriormente podem variar de acordo com a rugosidade 
da parede e o formato da região de entrada. 
Nos itens que seguem serão utilizados os princípios que fundamentam a 
Dinâmica dos Fluidos: conservação da massa, princípio de conservação da energia (1ª 
lei da Termodinâmica), 2ª lei da Termodinâmica (nem todo calor pode ser convertido 
em trabalho) e 2ª lei de Newton; aplicados a um elemento macroscópico representativo 
do sistema (volume de controle - VC). 
 Esse enfoque global é bastante útil, uma vez que permite a resolução de 
problemas práticos de Engenharia sem, no entanto, conhecer minuciosamente o que 
acontece com o fluido ponto a ponto no escoamento. 
 
3.1 Balanço Global de Massa 
 Uma das leis (princípios) fundamentais das ciências que encerram a Engenharia 
é a lei da Conservação da Massa. Esse princípio estabelece que a massa não pode ser 
criada ou destruída. Então, o balanço material total das correntes envolvidas em um 
sistema pode ser enunciado na forma da Equação 3.3, ou ainda na Equação 3.4: 
 
Taxa de massa
que entra no VC
Taxa de massa
que sai do VC
- =
Taxa de massa
que acumula no VC
 (3.3) 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
38 
 Note que os termos ligados a reações químicas não devem estar presentes no 
balanço material total e que esse princípio não é válido na ocorrência de reações 
nucleares. 
 
012 =+−
dt
dM
ww (3.4) 
 
na qual w2 é a vazão mássica de saída, w1 é a vazão mássica de entrada, M é a massa no 
interior do volume de controle e t é o tempo. Introduzindo a notação de variação, a 
Equação 3.4 setransforma em: 
 
0=+
dt
dM
w (3.5) 
 
Exemplo 3.1 da página 29 de Bennett e Myers (1978) 
 Um tanque cilíndrico tem área de seção transversal de 0,372 m2 e está cheio com 
água até a profundidade de 1,83 m. Uma válvula é aberta no fundo do tanque e a vazão 
que sai é reduzida a medida que a altura do nível diminui, segundo a equação: 
hw 44,16= 
sendo w a vazão mássica de água (kg/min) e h a altura do nível d’água no tanque (m). 
Deseja-se conhecer qual o tempo necessário para a água atingir a altura de 0,61 m. 
 
Caso exista mais de um componente no sistema (componente A), a equação do 
balanço de massa para a ausência de reações químicas é (equações 3.6 e 3.7): 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
39 
Taxa de massa de 
A que entra no VC
Taxa de massa de
A que sai do VC
- =
Taxa de massa de A
que acumula no VC
 (3.6) 
 
0
12
=+−
dt
dM
ww AAA (3.7) 
 
na qual wA2 é a vazão mássica de A na saída, wA1 é a vazão mássica de A na entrada, MA 
é a massa de A no interior do volume de controle. Essa equação expressa em função das 
frações mássicas das correntes de entrada, saída e no interior do sistema (Equação 3.7): 
 
0
).(
..
12 12
=+−
dt
xMd
xwxw AAA (3.8) 
 
sendo que xA2 é a fração mássica de A na corrente de saída, xA1 é a fração mássica de A 
na corrente de entrada e xA é a fração mássica de A acumulada no sistema. Utilizando a 
notação de variação (Equação 3.9): 
 
( ) 0
).(
. =+
dt
xMd
xw AA (3.9) 
 
Exemplo 3.2 da página 31 de Bennett e Myers (1978) 
Água e sal de cozinha entram em um tanque com agitação mecânica com as 
vazões de 68,1 kg/h e 13,62 kg/h respectivamente. A solução resultante com a vazão de 
54,48 kg/h é retirada do tanque. Sabendo-se que no instante inicial havia 45,40 kg de 
água no tanque, calcule a fração mássica de saída após 1 h do início da operação. 
Assuma o modelo de mistura completa no tanque com agitação mecânica. 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
40 
 
Exemplo 3.3 da página 54 de Geankoplis (1993) 
Inicialmente, um tanque contém 500 kg de uma solução 10% em massa de sal. 
Instantaneamente, uma corrente de vazão mássica de 10 kg/h com 20% em massa de sal 
entra e outra corrente de 5 kg/h sai do tanque. Ache uma equação que relacione a fração 
mássica de sal que sai do tanque em função do tempo, considerando o sistema bem 
homogeneizado por agitação. 
 
3.1.1 Equação Geral para o Balanço Material 
 Imagine um volume do controle fixo no espaço, através do qual existe um 
escoamento com velocidade 
→
u em cada ponto de elemento de área 
→
dA , cujo ângulo  é 
o ângulo entre o vetor normal 
→
n (perpendicular à superfície em cada ponto e 
direcionado para fora) e o vetor velocidade (Figura 3.5). 
 
dAdA
n
u
dAdA
n
u
 
Figura 3.5 Volume de controle com indicação dos vetores velocidade e normal, o 
ângulo a entre eles, aplicados em um elemento de área 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
41 
 A diferença entre as vazões mássicas que entram e que saem do volume de 
controle é representada matematicamente por: 
 
wdAu
A
= .cos..  
 
Note que o produto .
→
u é o fluxo total de massa em cada ponto (vazão mássica por 
unidade de área, kg.m-2.s-1). 
 A quantidade total de massa acumulada no interior do volume de controle, 
originada pela diferença entre as vazões mássicas totais de saída e entrada, é: 
 
dt
dM
dV
dt
d
VC
= . 
 
Combinando-se as duas contribuições, chega-se na Equação 3.10: 
 
0..cos.. =+ 
VCA
dV
dt
d
dAu  (3.10) 
 
Que é a equação geral do balanço total de massa. 
 Considere o escoamento em um bocal, conforme indicado na Figura 3.6 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
42 
n2
u2
n1
u1
 
1 2
A1 A2
n2
u2
n1
u1
 
1 2
A1 A2 
Figura 3.6 Bocal com indicação dos vetores velocidade e normal com o ângulo  entre 
eles em cada face 
 
 Na área de entrada (A1): 
o1801 = e 1cos 1 −= . Já na área de saída (A2): 
o02 = e 1cos 2 += . Então: 
 
 +=
21
22221111 .cos...cos...cos..
AAA
dAudAudAu  
 ++−=
12
222111 ).1.(.).1.(..cos..
AAA
dAudAudAu  
 −=
12
111222 .....cos..
AAA
dAudAudAu  
 
 Pode-se assumir que as massas específicas do fluido (1 e 2) sejam uniformes 
nas áreas de entrada e saída. Logo: 
 
 −=
12
111222 .....cos..
AAA
dAudAudAu  
 
 O Teorema da Média do Cálculo Diferencial e Integral fornece que (Equação 
3.11) as velocidades médias nas faces de entrada e saída (ub1 e ub2) são obtidas por: 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
43 
=
1
11
1
1
..
1
A
b dAu
A
u e =
2
22
2
2
..
1
A
b dAu
A
u 
 
 Então: 
 
=
1
1111
...
A
b dAuAu e =
2
2222
...
A
b dAuAu 
 
 Portanto: 
 
111222 .....cos.. AuAudAu bb
A
 −= 
 
 No caso do regime ser permanente: 
 
0. == dt
dM
dV
dt
d
VC
 
 
 Assim, o balanço material total se resume a: 
 
111222 ......cos.. AuAudV
dt
d
dAu bb
VCA
 −=+  
 
Ou seja, a vazão mássica de entrada é igual a vazão mássica de saída: 
 
111222 .... AuAu bb  = 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
44 
 Analogamente ao realizado para o balanço material total, a Equação 3.10 pode 
ser adaptada para representar o balanço material de um componente para um sistema 
não reacional (Equação 3.11): 
 
0..cos.. =+ 
VC
A
A
A dV
dt
d
dAu  (3.11) 
 
sendo que A é a concentração mássica do componente A na mistura. 
 No caso do sistema ser binário, formado pela mistura das substâncias A e B, e na 
ausência de reações químicas, a Equação 3.11 fica na forma: 
 
0..cos.. =+ 
VC
A
A
A dV
dt
d
dAu  
0..cos.. =+ 
VC
B
A
B dV
dt
d
dAu  
 
 Pode-se então somar as duas equações para chegar na equação do balanço 
material total: 
 
0...cos...cos.. =+++ 
VC
B
VC
A
A
B
A
A dV
dt
d
dV
dt
d
dAudAu  
 
 Como a integral da soma é a soma das integrais, assim como para as derivadas: 
 
0).().cos..cos..( =+++ 
VC
BA
A
BA dV
dt
d
dAuu  
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
45 
 
 Colocando-se u e cos em evidência: 
 
0).()..(cos. =+++ 
VC
BA
A
BA dV
dt
d
dAu  
 
 Portanto, como a concentração mássica total  é a soma das concentrações 
mássicas das partes (A e B), pode-se retornar à Equação 3.10: 
 
0...cos.).()..(cos. =+=+++ 
VCAVC
BA
A
BA dV
dt
d
dAudV
dt
d
dAu  
 
3.2 Balanço Global de Energia 
 A Primeira Lei da Termodinâmica enuncia o Princípio de Conservação da 
Energia. Este princípio não é rigorosamente válido em sistemas com reações nucleares, 
nos quais parte da massa se transforma em energia. 
 É comum a utilização da equação geral do balanço na forma da Equação 3.12 
para representar o balanço global de energia, de maneira análoga à representação do 
Princípio de Conservação da Massa pela Equação 3.10: 
 
Taxe de energia
que sai do VC
Taxe de energia
que entra no VC
- +
Taxe de energia
que acumula no VC
=
Taxe de calor
que entra no VC
proveniente das 
vizinhanças
-
Taxe de trabalho
que sai do VC
para as vizinhanças
Taxe de energia
que sai do VC
Taxe de energia
que entra no VC
- +
Taxe de energia
que acumula no VC
=
Taxe de calor
que entra no VC
proveniente das 
vizinhanças
-
Taxe de trabalho
que sai do VC
para as vizinhanças
 (3.12) 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química,UNAERP 
(2014) 
46 
 A convenção de sinais utilizadas na Equação 3.12 foi baseada no funcionamento 
das máquinas a vapor: o calor que entra no volume de controle é positivo e o trabalho 
que sai do volume de controle é positivo (Figura 3.7). 
 
q > 0w > 0 q > 0w > 0
 
Figura 3.7 Esquema de máquina a vapor com a entrada de calor e saída de trabalho 
 
 A Equação 3.12 é representada matematicamente, introduzindo-se um termo de 
energia total específica (E) no balanço global de massa (Equação 3.10) de forma a 
resultar na Equação 3.13: 
 
wq−=+ 
VCA
dVE
dt
d
dAEu ....cos..  (3.13) 
 
 O primeiro termo da Equação 3.13 representa a variação de energia no volume 
de controle vinculada à entrada e à saída de massa (escoamento) no sistema. O segundo 
termo, expressa o acúmulo de energia pelo acúmulo de massa no volume de controle. O 
termo q é a quantidade de calor recebida por unidade de tempo pelo sistema 
proveniente das vizinhanças. Enquanto que w é o trabalho por unidade de tempo que o 
sistema realiza sobre as vizinhanças. 
 A energia E de um sistema contendo fluidos em escoamento pode ser subdivida 
como sendo a soma das energias interna (U), cinética do escoamento (u2/2) e potencial 
gravitacional (z.g). Não serão aqui abordadas as contribuições devido às ações de 
campos elétricos e magnéticos (Equação 3.14): 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
47 
 
gz
u
UE .
2
2
++= (3.14) 
 
Em que E é energia específica total do fluido por unidade de massa ( J/kg no SI); U é a 
energia interna por unidade de massa do fluido referente à energia de vibração, ligação e 
rotação das espécies químicas que formam o fluido (J/kg no SI), é dependente da 
quantidade de matéria e da temperatura; u é a velocidade do fluido em relação às 
fronteiras do volume de controle para uma dada posição e u2/2 é a energia cinética do 
fluido devido ao movimento da massa do fluido (J/kg no SI); z é a altura relativa a um 
plano de referência arbitrário (datum) e o produto de z pela aceleração da gravidade (g) 
representa a energia potencial devido à exposição da massa do fluido ao campo 
gravitacional terrestre (J/kg no SI). 
 Na Equação 3.13 pode-se expressar o trabalho realizado pelo sistema sobre as 
vizinhanças na forma de algumas contribuições: 
a) ws, trabalho pela existência de um eixo (shaft) que atravessa a superfície do volume 
de controle, geralmente eixo com movimento rotativo ou alternativo que pode adicionar 
(como é o caso de máquinas geratrizes, isto é, bombas, compressores, ventiladores e 
sopradores) ou retirar trabalho do sistema (para máquinas motoras, ou turbinas). 
b) 
A
dAVPu .cos....  , trabalho ocasionado pelo deslocamento de um volume V ao 
vencer uma pressão P quando uma massa de fluido escoa da entrada para a saída do 
sistema. 
c) 
As
s dAsPu .cos..  , trabalho transferido pela movimentação não cíclica da superfície 
do volume de controle (expansão ou contração das paredes) a uma velocidade us com 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
48 
inclinação  e área dAs. Em geral, em Engenharia Química us é nula, pois as paredes são 
rígidas. 
 Então, o balanço global de energia fica na forma (Equação 3.15): 


 −−−=

+
As
s
A
VC
A
dAsPudAVPu
t
dVE
dAEu .cos...cos....
..
.cos... 

 swq (3.15) 
 
Uma vez que gz
u
UE .
2
2
++= , logo a Equação 3.15 se transforma na Equação 3.16: 
 



−−−=


+++
As
s
A
VC
A
dAsPudAVPu
t
dVE
dAgz
u
Uu
.cos...cos....
..
.cos)..
2
.(.
2



swq
 (3.16) 
 
Rearranjando: 
 



−−=


++++
As
s
VC
AA
dAsPu
t
dVE
dAVPudAgz
u
Uu
.cos..
..
.cos.....cos)..
2
.(.
2



swq
 
 
Como a integral da soma é a soma das integrais (Equação 3.17): 
 


 −−=

++++
As
s
VC
A
dAsPu
t
dVE
dAgz
u
VPUu .cos..
..
.cos)..
2
..(.
2


 swq (3.17) 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
49 
Substituindo na Equação 3.17 a definição de entalpia (H), H = U + P.V, a equação do 
balanço global de energia fica (Equação 3.18): 
 


 −−=

+++
As
s
VC
A
dAsPu
t
dVE
dAgz
u
Hu .cos..
..
.cos)..
2
.(.
2


 swq (3.18) 
 
 No caso da superfície do volume de controle ser rígida, us é nula (Equação 3.19): 
 
swq−=


+++

 t
dVE
dAgz
u
Hu VC
A
..
.cos)..
2
.(.
2

 (3.19) 
 
 Para processos em regime permanente, a Equação 3.19 se transforma na 
Equação 3.20: 
 
swq−=++
A
dAgz
u
Hu .cos)..
2
.(.
2
 (3.20) 
 
 O uso da Equação 3.20 é pouco prática e por isso, serão utilizados valores 
médios representativos das propriedades através do Teorema da Média. Nesse sentido, 
como a integral da soma é a soma das integrais (Equação 3.21): 
 
swq−=++ 
AAA
dAgzudA
u
udAHu .cos.....cos.
2
..cos...
2
 (3.21) 
 
 Se as correntes de entrada e saída de fluido forem perpendiculares às áreas de 
entrada (A1) e saída (A2): 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
50 
o1801 = e 1cos 1 −= 
o02 = e 1cos 2 += 
Então: 
 
swq−=++
+++


2
22222
1
11111
2
22
2
2
2
1
11
2
1
1
2
22222
1
11111
.cos.....cos.....cos.
2
.
.cos.
2
..cos....cos...
AAA
AAA
dAgzudAgzudA
u
u
dA
u
udAHudAHu


 
 
swq−=++−++
+−+++−


2
2222
1
1111
2
2
2
2
22
1
1
2
1
11
2
2222
1
1111
).1.(...).1.(...).1.(
2
.
).1.(
2
.).1.(..).1.(..
AAA
AAA
dAgzudAgzudA
u
u
dA
u
udAHudAHu


 
 
swq−=−
+−+−


1
1111
2
2222
1
1
2
1
11
2
2
2
2
22
1
1111
2
2222
........
.
2
..
2
.......
AA
AAAA
dAgzudAgzu
dA
u
udA
u
udAHudAHu


 
 
 Se as massas específicas nas áreas de entrada e saída de fluido forem uniformes 
(1 e 2) e se g for constante: 
 
swq−=−
+−+−


1
1111
2
2222
1
1
2
1
11
2
2
2
2
22
1
1111
2
2222
........
.
2
...
2
........
AA
AAAA
dAzugdAzug
dA
u
udA
u
udAHudAHu


 
 
 O Teorema da Média fornece que: 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
51 
( ) =
1
111
1
11 ...
1
.
A
med
dAHu
A
Hu  ( )
med
A
HuAdAHu 111
1
111 .... = 
( ) =
2
222
2
22 ...
1
.
A
med
dAHu
A
Hu  ( )
med
A
HuAdAHu 222
2
222 .... = 
( )
=
1
1
3
1
1
3
1
.
2
1
2
A
med dA
u
A
u
  
( )
2
..
2
3
1
1
1
1
3
1 med
A
u
AdA
u
= 
( )
=
2
2
3
2
2
3
2
.
2
1
2
A
med dA
u
A
u
  
( )
2
..
2
3
2
2
2
2
3
2 med
A
u
AdA
u
= 
( ) =
1
111
1
11 ..
1
.
A
med
dAzu
A
zu  ( )
med
A
zuAdAzu 111
1
111 .... = 
( ) =
2
222
2
22 ..
1
.
A
med
dAzu
A
zu  ( )
med
A
zuAdAzu 222
2
222 .... = 
 
 Então: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) swq−=−
+−+−
medmed
medmed
medmed
zuAgzuAg
u
A
u
AHuAHuA
11112222
3
1
11
3
2
2211112222
........
2
..
2
........

 
 
Como o regime é permanente, o escoamento é perpendicular às superfícies de 
entrada e saída e as massas específicas do fluido são uniformes, o balanço material se 
resume a: 
 
1111 .. Aubw =  
1
1
11.
ub
w
A = 
2222 .. Aubw =  
2
2
22 .
ub
w
A = 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
52 
 Logo: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
swq−=
−+−+−
1
111
2
222
1
3
11
2
3
22
1
111
2
222 ......
2.
.
2.
.....
ub
zuwg
ub
zuwg
ub
uw
ub
uw
ub
Huw
ub
Huw
medmedmedmedmedmed
 
 Assumindo que as temperaturas, as pressões e a composições sejam uniformes 
nas áreas de entrada e saída. E também que se possam representaras posições das 
regiões de entrada e saída em relação a um plano de referência com base nos pontos 
médios (z1 e z2, respectivamente). Então: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
swq−=
−+−+−
1
111
2
222
1
3
11
2
3
22
1
111
2
222 ....
2.
.
2.
....
b
med
b
med
b
med
b
med
b
med
b
med
u
uzwg
u
uzwg
u
uw
u
uw
u
uHw
u
uHw
 
 
 Como ( ) 11 bmed uu = e ( ) 22 bmed uu = : 
 
( ) ( )
swq−=−+−+− 1122
1
3
11
2
3
22
1122 ....
2.
.
2.
.
.. zwgzwg
u
uw
u
uw
HwHw
b
med
b
med 
 
 Nos termos de variação de energia cinética, há o valor médio de uma função ao 
cubo, que não coincide com o valor médio ao cubo, ou seja: ( ) ( )3131 ubu med  e 
( ) ( )3232 ubu med  . No entanto, pode-se introduzir um coeficiente de desvio () de 
maneira que: ( ) ( )

3
13
1
ub
u
med
= e ( ) ( )

3
23
2
ub
u
med
= . Nos casos de escoamentos 
laminares e turbulentos, os valores de  são: 
- Escoamento laminar em tubos  
2
1
= 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
53 
- Escoamento turbulento em tubos  19,0 = 
 Portanto, introduzindo a notação de variação (), a equação do balanço global de 
energia fica (Equação 3.22): 
 
( ) ( ) swq−=++ zwg
ubw
Hw ..
.2
.
.
2

 (3.22) 
 
 No caso do sistema possuir apenas uma corrente de entrada e uma corrente de 
saída: 
 
21 www == 
 
pois o regime é permanente. Sendo assim, a Equação 3.22 se transforma na Equação 
3.23: 
( ) ( ) swq−=++ zwg
ubw
Hw ..
.2
.
.
2

 
( ) swq−=++ zgw
ub
wHw ..
.2
..
2

 
Que dividida por w: 
( )
ww
zg
w
wub
w
w
H
w
w swq −=++ ..
.2
..
2

 
Fazendo Q
w
=
q
 e s
s W
w
=
w
: 
 
sWQ −=++ zg
ub
H .
.2
2

 (3.23) 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
54 
 Muitos dos problemas de Engenharia Química empregam o vapor d’água 
saturado (vapor condensante) como fonte de calor em sistemas de aquecimento. Nas 
tabelas 3.1 e 3.2 são mostradas as propriedades da água saturada com valores de entrada 
em função da temperatura e da pressão respectivamente. 
 Ao utilizar as tabelas 3.1 e 3.12, cabe lembrar que a entalpia de líquido é pouco 
dependente da pressão, assim a entalpia de água líquida insaturada possui praticamente 
a mesma entalpia da água líquida na pressão de saturação para a mesma temperatura. 
 No caso do ponto de interesse nas tabelas cair entre duas linhas, pode-se realizar 
a interpolação linear para obter valores intermediários. 
 Caso o vapor esteja em temperatura superior à temperatura de equilíbrio na 
pressão estabelecida, o vapor está na condição de superaquecimento (supersaturação). A 
entalpia de vapor superaquecido (HV), especificadas a pressão (Pv) e a temperatura (tv), 
pode ser calculada levando-se em consideração as quantidades necessárias para se 
atingir a condição de equilíbrio (saturação) (Hteb) e para superar a condição de equilíbrio 
no estado vapor de teb a tv à pressão constante. Ou seja: 
 
).( ebVptebV ttCHH V −+=
 (3.24) 
 
em que 
Vp
C é a capacidade calorífica média à pressão constante do vapor entre as 
temperaturas tV e teb. O Teorema da Média fornece que: 
 
dtC
tt
C
V
eb
VV
p
t
t
p
ebV
−= )(
1
 (3.25) 
 
 A capacidade calorífica à pressão constante pode ser obtida pela correlação 3.26: 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
55 
 
2
2
.. Td
T
c
TbaC Vp +++= (3.26) 
 
com T em K e CpV em kJ.kg
-1.K-1. Na Figura 3.8 são mostradas as capacidades 
caloríficas experimentais e calculadas pela correlação para o vapor d’água. O 
coeficiente de determinação (R2) de 0,993 indica a concordância entre os valores 
medidos e correlacionados. 
 As constantes de ajuste são: a = 1,630, b = 7,358.10-4, c = 2,415.103 e d = -
7,843.10-8 para intervalo de temperatura absoluta (T) de 175 K< T < 6000 K. 
Então: 
 
 





+++
−
=
V
eb
Vp
T
TebV
dTTd
T
c
Tba
TT
C ...
)(
1 2
2
 






+++
−
=  
V
eb
V
eb
V
eb
V
eb
Vp
T
T
T
T
T
T
T
TebV
dTTddT
T
c
dTTbdTa
TT
C ......
)(
1 2
2
 
 
como a, b, c e d são constantes: 
 






+++
−
=  
−V
eb
V
eb
V
eb
V
eb
Vp
T
T
T
T
T
T
T
TebV
dTTddTTcdTTbdTa
TT
C .......
)(
1 22 
( ) 






 −
+
−
−
−
+−
−
=
3
)(
.
)(
1
.
2
)(
.).(
)(
1
3322
ebV
ebV
ebV
ebV
ebV
TT
d
TT
c
TT
bTTa
TT
C Vp (3.27) 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
56 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
C
p
 (
k
J
/k
g
.K
)
T (K)
R2 =0,993
Experimental calculado
 
Figura 3.8 Capacidade calorífica à pressão constante para o vapor d’água 
 
Exemplo 3.3 Sabe-se que o calor específico da água líquida a 25°C é de 0,9989 cal/g°C. 
Então utilize a Tabela 3.1 para calcular o desvio percentual entre a entalpia da água 
líquida insaturada a 25°C e 1 atm com a da saturada na mesma temperatura. Identifique 
também a pressão na qual a água a 25°C deveria estar para se encontra em equilíbrio 
termodinâmico. 
 
Exemplo 3.4 Utilize a interpolação linear para achar as entalpias da água líquida e vapor 
a 1,0 kgf/cm2 de pressão manométrica para uma pressão atmosférica local de 712 
mmHg. 
 
Exemplo 3.5 Água a 85°C, armazenada em um tanque isolado termicamente e à pressão 
atmosférica, é bombeada em regime permanente pela ação de uma bomba com a vazão 
de 0,6 m3/min. A bomba fornece ao fluido a potência de 7,5 kW nas condições fixadas. 
A água passa através de um trocador de calor que retira 1400 kW da água. A água 
líquida resfriada é então armazenada em um segundo tanque aberto, cujo nível é 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
57 
mantido constante e 20 m acima do nível do primeiro, também com nível constante. 
Calcule a temperatura da água no tanque de descarga. 
 
Tabela 3.1 Propriedades da água saturada com entrada em temperatura 
 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
59 
Tabela 3.2 Propriedades da água saturada com entrada em pressão absoluta 
 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
60 
3.3 Balanço Global de Energia Mecânica 
 A equação do balanço global de energia mecânica, também conhecida como 
equação de Bernoulli modificada, pode ser obtida tomando-se como ponto de partida a 
equação do balanço global de energia (Equação 3.28): 
 
sWQ −=++ zg
ub
H .
.2
2

 (3.28) 
 
que foi obtida mediante a adoção das seguintes hipóteses: 
- validade do Princípio de Conservação da Massa, ou seja, ausência de reações 
nucleares no sistema; 
- inexistência de campos elétricos e magnéticos interferindo no escoamento; 
- volume de controle rígido (us = 0); 
- escoamento perpendicular à superfície do volume de controle nas regiões de entrada e 
saída de fluido (cos  = +1 e cos  = -1); 
- aceleração da gravidade constante; 
- regime permanente; 
- validade do Teorema da Média para representar a velocidade, posição em relação a um 
plano de referência e entalpia das correntes nas regiões de entrada e saída de fluido do 
sistema. 
 Nas aplicações de Engenharia é útil expressar os termos do balanço global de 
energia em contribuições de energia mecânica, que estão explicitamente associadas às 
variáveis velocidade média, posição e pressão das correntes de entrada e saída de fluido 
do volume de controle. Para isso, serão utilizados o Princípio da Conservação da 
Energia, a 2ª Lei da Termodinâmica e a definição de entalpia. 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química,UNAERP 
(2014) 
61 
 Quando uma unidade de massa de fluido passa através do volume de controle 
(da entrada para saída), o fluido vence uma pressão de oposição (P) e desloca um 
volume correspondente (V), cujo trabalho realizado é 
2
1
.
V
V
dVP (trabalho reversível e 
positivo, pois sai do sistema). No entanto, a 2ª Lei da Termodinâmica determina que o 
atrito dissipa uma quantidade de energia na forma de calor (lw), quantidade de energia 
mecânica irreversivelmente perdida na forma de calor, que no seu estado final entra no 
fluido. Logo: 
 
lwdVPW
V
V
−= 
2
1
. (3.29) 
 
 Por outro lado, o Princípio da Conservação de Energia enuncia que: 
 
WQU −= (3.30) 
 
Ou seja, substituindo a Equação 3.29 na Equação 3.30, tem-se que: 
 








−−=  lwdVPQU
V
V
2
1
. (3.31) 
lwdVPQU
V
V
+−= 
2
1
. (3.32) 
 
Mas, as definições de entalpia (H) e de variação de entalpia fornecem que: 
 
VPUH .+= (3.33) 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
62 
 
( )VPUH .+= (3.34) 
 
A Equação 3.34 expressa na integral do produto fornece que: 
 
 ++=
2
1
2
1
..
P
P
V
V
dPVdVPUH (3.35) 
 
 A junção das equações 3.32 e 3.35 resulta em: 
 
 +++−=
2
1
2
1
2
1
...
P
P
V
V
V
V
dPVdVPlwdVPQH 
++=
2
1
.
P
P
dPVlwQH (3.36) 
 
que substituída na equação do balanço global de energia (Equação 3.28) fornece que: 
 
sWQ −=++++  zg
ub
dPVlwQ
P
P
.
.2
.
22
1

 
0..
.2
2
1
2
=++++  sW
P
P
b dPVlwzg
u

 (3.37) 
 
 O volume por unidade de massa do fluido (V) que percorreu o volume de 
controle é o inverso da massa específica (1/). Então: 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
63 
0.
.2
2
1
2
=++++  sW
P
P
b dPlwzg
u

 (3.38) 
 
 Note que o termo 
2
1
.
P
P
dPV também tem a dimensão de energia por unidade de 
massa. Ou seja, no SI: 
 
kg
J
kg
mN
m
N
kg
m
dPV
P
P
===









.
..
2
32
1
 
 
 Nesse momento, é preciso verificar o comportamento da massa específica do 
fluido em relação à diferença de pressão ao longo do sistema. No caso de fluido 
incompressível ( constante), hipótese realística para líquido com temperatura uniforme 
e para gases com temperatura constante e velocidade de escoamento bastante inferior à 
velocidade do som, isto é, para quedas de pressão da ordem de mmH2O a cmH2O. 
Nesses casos, a Equação 3.38 se transforma em: 
 
0
1
.
.2
2
1
2
=++++  sW
P
P
b dPlwzg
u

 (3.39) 
 
Então: 
 
0.
.2
2
1
2
=++++ sW

P
Pb
P
lwzg
u
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
64 
( )
0.
.2
12
2
=+
−
+++ sW

PP
lwzg
ub 
0.
.2
2
=++

++ sWlw
P
zg
ub

 (3.40) 
 
É importante notar que na obtenção da Equação 3.34 não foi prevista à variação 
de entalpia devido à existência de reação química. 
 Como visto anteriormente, nas aplicações do balanço global de energia, o termo 
Ws está vinculado à existência de trabalho de eixo proveniente de máquinas geratrizes 
ou motoras: 
 
Bombas, 
Ventiladores, 
Sopradores e 
Compressores 

Adicionam 
trabalho aos 
fluidos
 Ws < 0
Bombas, 
Ventiladores, 
Sopradores e 
Compressores 

Adicionam 
trabalho aos 
fluidos
 Ws < 0
 
Turbinas 
Retiram 
trabalho dos 
fluidos
 Ws > 0Turbinas 
Retiram 
trabalho dos 
fluidos
 Ws > 0
 
 
 A energia que o eixo transfere ao fluido, decorrente de movimentos rotativos ou 
alternativos, não é totalmente recebida pelo fluido. Defini-se então uma eficiência de 
troca (), uma vez que há perdas decorrentes da vibração, liberação de som e calor 
quando o fluido passa através da máquina. 
 Pode-se também separar a perda de energia por atrito (lw) devido ao escoamento 
através da tubulação (lwf), na bomba (lwp) ou na turbina (lwt). Então: 
 
lwplwflw += (3.41) 
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
65 
lwtlwflw += (3.42) 
 
Que substituídas na Equação 3.40 fornecem que: 
 
0.
.2
2
=+++

++ sWlwplwf
P
zg
ub

 (3.41) 
 
para bombas. 
 
0.
.2
2
=+++

++ sWlwtlwf
P
zg
ub

 (3.42) 
 
para turbinas. 
 Uma vez que a eficiência deve expressar uma fração entre 0 e 100% e da forma 
da transferência de energia no interior das máquinas,  é definida diferentemente para 
máquinas geratrizes (p)e motoras (t): 
 
s
s
p
W
lwpW +
==
eixo doenergia 
fluido pelorecebida energia 
 (3.43) 
e 
lwtW
W
s
s
t
+
==
turbinapela fluido doretirada energia 
eixo peloabsorvida energia 
 (3.44) 
 
Logo: 
 
lwpWW ssp +=. (3.45) 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
66 
 
e 
 
lwtW
W
s
t
s +=

 (3.46) 
 
 As equações 3.45 e 3.46 respectivamente substituídas nas equações 3.41 e 3.42 
fornecem que: 
 
0..
.2
2
=++

++ sWp
b lwf
P
zg
u


 (3.47) 
 
para máquinas geratrizes. 
 
0.
.2
2
=++

++
t
b lwf
P
zg
u

sW (3.48) 
 
para máquinas motoras. 
 As equações 3.47 e 3.48 são as duas principais formas das equações do balanço 
global de energia mecânica. 
 A utilização das equações 3.47 e 3.48 aplicadas a situações práticas requer a 
quantificação da perda de carga do fluido ao escoar por trechos retos (perda de carga 
distribuída), por conexões e acessórios (perda de carga localizada) do sistema contendo 
tubulações. 
 O fator de atrito (f) é um parâmetro definido para a determinação da perda de 
carga em dutos e acessórios. Essa relação é estabelecida segundo a equação de Darcy-
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
67 
Weisbach, proposta em 1845, também conhecida por fórmula racional ou equação 
universal: 
 
2
..
2V
D
L
flwf T= (3.49) 
 
sendo, LT o comprimento total retilíneo da tubulação, incluindo o comprimento 
equivalente em trecho reto de tubo de cada acessório e conexão presente na tubulação, 
D o diâmetro interno do tubo e V a velocidade média do escoamento no duto. 
 É possível prever teoricamente a equação do fator de atrito de Darcy para o 
escoamento laminar (Equação 3.50). Essa demonstração será realizada na disciplina de 
balanços diferenciais de massa e quantidade de movimento (Fenômenos de Transporte 
1). 
 


..
.64
Re
64
VD
f
d
== (3.50) 
 
sendo que D é o diâmetro interno do tubo, V é a velocidade média do escoamento,  é a 
massa específica do fluido,  é a viscosidade do fluido. A Equação 3.50 é válida para o 
escoamento laminar de fluidos newtonianos (Red < 2100), tanto pata tubo de parede lisa 
quanto rugosa. 
 A rugosidade do tubo é caracterizada pela altura média das protuberâncias, 
chamada de rugosidade absoluta ou equivalente (), que é função do tipo de material 
construtivo e do acabamento dado à peça. A rugosidade relativa é a relação entre a 
rugosidade absoluta e o diâmetro do tubo (/D). 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
68 
 O fator de atrito para o escoamento turbulento não é dependente somente do 
número de Reynolds, mas também da rugosidade da superfície da parede interna do 
duto. Historicamente, a determinação de f em função da rugosidade () tem sido feita 
empiricamente e representada na forma de gráficos ou de correlações (explícitas ou 
implícitas em f). O Diagrama de Moody de 1939 a 1944 foi baseado nos resultados de 
Nikuradse de 1933, obtidos com escoamento de fluido newtoniano em dutos de seção 
circular revestidos internamente com grãos de areia, de formaa variar artificialmente a 
rugosidade da parede interna exposta ao fluido em escoamento. No Diagrama de Moody 
(Figura 3.9) pode-se obter f no eixo das ordenadas em função do número de Reynolds 
do escoamento de um fluido newtoniano em tubos (eixo das abscissas) e da rugosidade 
relativa (/D) (diferentes curvas do gráfico). 
 No escoamento laminar, o efeito da rugosidade é desprezível pela formação de 
uma camada de estagnação sobre à superfície rugosa de modo que as “lâminas” de 
fluido deslizam uma sobre as outras no interior de um tubo de diâmetro interno real 
igual a (D-2.). 
 A rugosidade relativa de tubos pode ser obtida através da Figura 3.10, que 
relaciona o diâmetro interno do tubo ou nominal de um tubo padronizado 40S (no eixo 
das abscissas) com o material e com o acabamento de sua confecção nas diversas linhas 
do gráfico. 
 Foi visto até o momento que a perda de carga em trechos retos da tubulação 
pode ser calculada através da equação de Darcy e do fator de atrito. No entanto, se a 
velocidade do escoamento mudar de módulo ou de direção, uma perda de energia 
adicional deve acontecer (perda de carga localizada). 
 A perda de carga em expansões, contrações, curvas, cotovelos, válvulas, 
entradas, saídas e demais acessórios pode ser computada na forma de comprimentos 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
69 
adicionais de trechos retos do tubo em questão para cada tipo de acidente. Atribui-se 
assim, a perda de carga a um trecho reto imaginário de comprimento LT de forma que: 
 
+= LeqLL
real
retoT (3.51) 
 
 Uma das maneiras de se determinar os comprimentos equivalentes de cada 
acessório é através do Ábaco da Crane Co. (Figura 3.11). Deve-se unir o ponto referente 
ao acessório no eixo da esquerda ao diâmetro interno da tubulação na escala da direita 
do eixo também à direita através de um segmento de reta. O comprimento equivalente 
da peça, em pés, é lido no eixo central. No caso da tubulação ser do tipo “Schedule 40” 
(40S), a escala a ser utilizada é a da esquerda no eixo da direita. 
 No caso do duto não ser de seção circular, pode-se utilizar as mesmas equações 
descritas, porém substituindo o diâmetro interno do tubo pelo diâmetro hidráulico do 
duto (Dh). A definição de Dh é: 
 

A
Dh
.4
= (3.52) 
 
em que A é a área da seção transversal formada pelo fluido no duto e  é o perímetro 
molhado do duto (soma dos comprimentos da seção transversal da parede do duto). 
 
fluido
a
afluido
a
a
 
fluido
a
bfluido
a
b
 
a
fluido b
a
fluido b
 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
70 
a
aaaa
a
Dh =
+++
=
)(
.4 2
 
).2.2(
..4
ba
ba
Dh
+
= 
).2(
..4
ba
ba
Dh
+
= 
 
 O número de Reynolds tem de ser então calculado por: 
 

..
Re
VDh
d = (3.53) 
 
 A velocidade média do escoamento no duto ( )V deve ser calculada com base na 
área de seção transversal obtida com o diâmetro hidráulico do duto: 
 
2
.
.4
h
V
D
q
V

= (3.54) 
 
sendo que Vq é a vazão volumétrica do escoamento. 
 A perda de carga no duto de seção não circular é obtida por: 
 
2
..
2
V
D
L
flwf
h
T= (3.55) 
 
 
 
Figura 3.9 Diagrama de Moody para escoamento de fluido newtoniano em tubos 
R
u
g
o
si
d
ad
e 
re
la
ti
v
a
–
/
D
Diâmetro nominal de tubo 40S ou interno (in.)
R
u
g
o
si
d
ad
e 
re
la
ti
v
a
–
/
D
Diâmetro nominal de tubo 40S ou interno (in.)
 
Figura 3.10 Rugosidade relativa em função do diâmetro do tubo 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
73 
 
Figura 3.11 Ábaco da Crane Co. para determinação do comprimento equivalente dos 
principais acessórios 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício 3.1: Um tanque de estocagem (sem corrente de saída) tem a capacidade total 
de armazenamento de 15.352 kg. Inicialmente, existe no interior do tanque 1.537 kg de 
uma solução 7 % em massa de ácido acético. Repentinamente, são alimentadas ao 
tanque uma corrente de 2.355 kg.h-1 de água e outra de 1.177,5 kg.h-1 de ácido acético. 
A agitação mecânica permite assumir que a composição no interior do tanque é igual em 
qualquer ponto. Nestas condições, determine: 
 a) O tempo de preencher o tanque; 
 b) A equação que relaciona a composição de saída com o tempo de operação; 
c) A composição para o tempo equivalente a metade do tempo de enchimento e a 
composição no instante final. 
 
Exercício 3.2: Um tanque com agitação mecânica, contendo 3,8 m3 de uma solução de 
95% em massa de etanol, opera em regime permanente com um escoamento contínuo de 
entrada e saída de 0,38 m3.min-1 de álcool 95% em massa (massa específica de 0,804 
g.mL-1). O escoamento de álcool é repentinamente interrompido e substituído por um de 
água com a mesma vazão (massa específica de 997 kg.m-3). Se a massa total de material 
no tanque permanece constante, qual o tempo necessário para a porcentagem de álcool 
cair a 50% em massa. 
 
Exercício 3.3: Um tanque de volume total igual a 20 m3 possui no seu interior 1000 kg 
de uma solução de salmoura a 10% em massa. Repentinamente, uma corrente com 
vazão de 1000 kg.h-1 de água é alimentada ao tanque enquanto que outra de 500 kg.h-1 
sai do mesmo tanque. Calcule o tempo necessário para preencher completamente o 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
75 
reservatório e obtenha a equação que relacione a composição da salmoura no seu 
interior em função do tempo. Assuma que a massa específica da salmoura no tanque 
seja constante e igual a 1100 kg.m-3. 
 
Exercício 3.4: Deseja-se preparar uma solução de soda cáustica 25% em massa a partir 
de uma corrente de NaOH sólida (100%) e uma corrente de água, ambas com vazão de 
1750 kg.h-1. No instante inicial, o tanque contém 1.000 kg de solução 5% de soda. O 
sistema de agitação mecânica permite assumir que a composição no interior do tanque é 
igual a composição de saída. Nestas condições, determine: 
 a) O tempo necessário para preparar a solução 25% em massa se não houver 
corrente de saída enquanto se procede a diluição; 
 b) A massa de solução final produzida nas condições do item a; 
c) O tempo necessário para preparar a solução 25% em massa se houver uma 
corrente de saída de vazão constante igual a 800 kg.h-1 enquanto se procede a 
diluição; 
 d) A massa de solução final produzida nas condições do item c. 
 
Exercício 3.5: O tanque mostrado na Figura 3.12 armazena água a 25ºC (massa 
específica de 997 kg.m-3). Repentinamente, a válvula localizada na saída é aberta, sendo 
que a velocidade média do escoamento d’água se relaciona com a altura do nível no 
reservatório por: hgub .2 = , na qual g é a aceleração da gravidade (9,8 m.s
-2). O 
tanque tem formato cilíndrico com diâmetro interno de 3,00 m. O diâmetro interno do 
bocal de descarga é igual a 10,0 cm. Sendo assim pede-se: 
a) A equação que relaciona a vazão mássica de saída com a altura do 
reservatório. Não deixe de indicar a unidade da vazão mássica; 
Reinaldo Pisani Jr – Estática dos Fluidos e Balanços Integrais para Engenharia Química, UNAERP 
(2014) 
76 
b) A equação que relaciona a altura do nível d’água com o tempo de 
esvaziamento; 
c) O tempo necessário para o nível d’água diminuir de 3,00 m para 1,00 m. 
 
h 3,00 m
hgub .2 =
D2 = 0,100 m
 
Figura 3.12 Esquema representativo do reservatório 
 
Exercício 3.6: Um tanque com agitação mecânica contém 10 m3 de uma solução de 
ácido acético a 20% em massa. Repentinamente, é introduzida uma corrente de solução 
de ácido acético a 2,0 % em massa com a vazão de 1,0 m3.h-1 a 25oC. Além disso, uma 
corrente de saída com a vazão de 1000 kg.h-1 a 25oC é estabelecida. Nessas condições, 
determine: 
 
20 m3 a 20 %
W2 = 1000 kg/h
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