AULA 05 - Métodos de Energia

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Eimi Suzuki
CONVERSA INICIAL
Nesta etapa, veremos Métodos de Energia, o que é energia de deformação e como resolver problemas
usando esse conceito. Também aprenderemos sobre conservação de energia e como resolver problemas
envolvendo impacto em elementos estruturais.
TEMA 1 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Um material armazena energia quando é deformado por uma carga, essa energia é chamada de energia de
deformação. Se a barra da Figura 1 se alongar devido à carga axial P que cresce lentamente, podemos obter seu
gráfico tensão-deformação (Figura 2).
Figura 1 – Barra com alongamento provocado por força axial
Fonte: Beer et al., 2015.
Figura 2 – Gráfico tensão-deformação, aonde a área abaixo de gráfico é igual ao trabalho realizado pela força P
Fonte: Beer et al., 2015.
Mas também temos o fato de que a força P está realizando um trabalho, e enquanto isso acontece uma
energia, a energia de deformação aumenta.
(5.1)
Se a deformação for elástica, a energia de deformação é:
(5.2)
Já para o caso do que realiza o trabalho for um momento, a equação pode ser escrita como:
(5.3)
(5.4)
onde θ é o ângulo de deslocamento rotacional causado pelo momento e dado em radianos.
Para que não seja necessário associar a energia com a área e o comprimento do corpo, criou-se a
densidade de energia de deformação (u), dividindo a energia de deformação (U) pelo volume (V).
(5.5)
Vale relembrar que quando temos um gráfico tensão-deformação, a área abaixo do gráfico representa o
valor da energia de deformação, que para o gráfico todo, até a ruptura, é chamada de módulo de tenacidade, e
se for apenas da parte elástica do gráfico, chama-se módulo de resiliência.
(5.6)
(5.7)
1.1 EXEMPLO
Exemplo 01: (Beer et al., 2015). A barra BC é feita de um aço para o qual a tensão de escoamento é σE =
300MPa e o módulo de elasticidade é E = 200GPa. Sabendo que a energia de deformação de 10J deve ser
adquirida pela barra quando lhe for aplicada a força axial P, determine o diâmetro da barra para o qual o
coeficiente de segurança com relação à deformação permanente seja 6.
Fonte: Beer et al., 2015.
Solução: Utilizando o coeficiente de segurança na energia de deformação:
Como temos a tensão de escoamento e o módulo de elasticidade, podemos achar o módulo de resiliência,
ou seja, a densidade de energia de deformação no ponto do escoamento.
Mas sabemos que a densidade de energia de deformação é a energia de deformação dividida pelo volume
do corpo.
E com a área, podemos achar o diâmetro.
TEMA 2 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
A energia de deformação, que é o trabalho externo que foi realizado pelas cargas e transformado em
trabalho interno, sempre é positivo e pode ser causado pela tensão normal ou ainda pela tensão de
cisalhamento.
2.1 TENSÃO NORMAL
A tensão normal pode ser relacionada à energia de deformação pela seguinte equação.
(5.8)
Vamos ver dois casos específicos, carga axial e flexão.
Quando uma barra é carregada axialmente e sua seção transversal é uniforme, carregada com forças iguais
e opostas P, podemos calcular sua energia de deformação com a equação abaixo.
(5.9)
Já nos casos de flexão, nos quais σx=My/I a equação pode ser escrita como:
(5.10)
2.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO
Ainda para deformações elásticas, se forem causadas por cisalhamento, podemos usar uma equação
semelhante à usada na tensão normal.
(5.11)
No caso específico de torção, e a seção transversal do corpo for uniforme, carregada com momentos
torsores iguais e opostas T, podemos calcular sua energia de deformação com a equação abaixo.
(5.12)
2.3 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Beer et al., 2015). Cada elemento da treliça mostrada é feito de alumínio e tem a seção
transversal mostrada. Utilizando E = 72 GPa, determine a energia de deformação da treliça para o carregamento
mostrado.
Solução: Substituindo os apoios pelas reações.
Precisaremos do comprimento (L) das barras:
Com isso, achamos os ângulos:
Vamos calcular as resultantes axialmente.
Agora vamos calcular a energia de deformação.
Exemplo 02: (Hibbeler, 2015). Determine a energia de deformação por torção no eixo de aço A-36. O eixo
tem raio de 30 mm. (G = 75 GPa).
Solução: Vamos começar calculando o momento polar de inércia.
Achando os momentos torsores resultantes para cada trecho, contando o ponto A como o mais distante do
apoio, e D o ponto do apoio:
Agora vamos calcular a energia de deformação.
Exemplo 03: (Hibbeler, 2015). Determine a energia de deformação por flexão na viga de aço A-36
decorrente da carga mostrada. Obtenha a resposta usando as coordenadas (a) x1 e x4 e (b) x2 e x3.I = 21(10
6)
mm4. E = 200GPa.
Fonte: Hibbeler, 2015.
Solução: Reações de apoio.
Fonte: Hibbeler, 2015.
(a)  Equações de momento para cada trecho.
Fonte: Hibbeler, 2015.
Fonte: Hibbeler, 2015.
Usando a equação (5.8).
(b)  Equações de momento para cada trecho.
Fonte: Hibbeler, 2015.
Fonte: Hibbeler, 2015.
Usando a equação (5.8).
TEMA 3 – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO PARA UM ESTADO GERAL DE
TENSÃO
Aprendemos sobre como calcular a energia de deformação para quando temos tensão uniaxial, e
cisalhamento puro, já quando temos um estado geral de tensão, ou seja, as tensões σx, σy, σz, τxy, τyz e τxz a
densidade de energia de deformação pode ser:
(5.13)
Se apenas as tensões principais atuarem no corpo, e as tensões de cisalhamento se tornando assim nulas, a
equação pode ser reescrita como:
(5.14)
Com base nessa equação, podemos dizer que na teoria da energia de distorção máxima temos o critério de
máxima energia de deformação como:
(5.15)
3.1 EXEMPLO
Exemplo 01: (Beer et al., 2015). O estado de tensão mostrado na figura ocorre em um componente de
máquina feito de um tipo de latão para o qual σE = 160 MPa. Usando o critério da máxima energia de distorção,
determine se ocorre o escoamento quando (a) σz = +45 MPa e (b) σz = -45 MPa.
Fonte: Beer et al., 2015.
Solução:
Vamos encontrar a tensão média:
Para achar o raio usamos o teorema de Pitágoras:
Achando as tensões principais:
(a) σz = +45 MPa
Não ocorre o escoamento.
(b) σz = -45 MPa
Ocorre o escoamento.
TEMA 4 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
Quando temos apenas uma força interna, ou momento interno resultante agindo no elemento estrutural,
podemos usar a seguinte lógica.
(5.16)
Ou seja, o trabalho, ou energia de deformação, interno deve ser igual ao trabalho, ou energia de
deformação, externo. Para isso, vamos desconsiderar as perdas por calor e fazer com que a carga seja aplicada
lentamente no corpo, desprezando assim a energia cinética também.
O trabalho externo que será considerado para o equilíbrio de energias será o mecânico. Se estivermos
trabalhando com carga axial, e o força interna resultante na seção for N podemos usar:
(5.17)
Onde P é carga externa que será aplicada lentamente. y é o deslocamento vertical do ponto (Figura 3); e N
é a força interna resultante. Se a carga P provocar um momento na viga:
(5.17)
Caso a viga esteja carregada com um momento fletor e o momento interno provocar um deslocamento
rotacional θ (Figura 3), temos a equação (5.16).
(5.18)
Figura 3 – Cargas e deslocamentos para vigas em balanço
Fonte: Beer et al., 2015.
4.1 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Hibbeler, 2015). Determine a inclinação na extremidade B da viga de aço A-36. I = 80(106)
mm4. E = 200 GPa.
Fonte: Hibbeler, 2015.
Solução: Reações de apoio.
Fonte: Hibbeler, 2015.
Fazendo uma seção a uma distância x do ponto A:
Fonte: Hibbeler, 2015.
Exemplo 02: (Beer et al., 2015). Usando o método do trabalho e da energia, determine a deflexão no ponto
D provocada pela força P.
Fonte: Beer et al., 2015.
Solução: Vamos começar calculando as reações de apoio.
Fonte: Beer et al., 2015.
Seção entre A e D.
Fonte: Beer et al., 2015.
Seção entre D e B.
Fonte: Beer et al., 2015.
O total para a viga será:
E como:
TEMA 5 – CARGAS DE IMPACTO
Estudamos até agora, nesta etapa, casos nos quais a carga era aplicada lentamente,agora vamos ver o que
acontece quando há uma carga muito grande em um período de tempo bem pequeno, o chamado impacto
(Figura 4).
Figura 4 – Impacto em um eixo em balanço
Fonte: Beer et al., 2015.
As equações que veremos a seguir partem do pressuposto de que nenhuma energia é perdida durante o
impacto e que o diagrama tensão-deformação que foi formado quando realizado um teste estático também é
correto sob carga de impacto.
Com isso, temos que a energia de deformação máxima será:
(5.19)
Se a barra for uniforme, ou seja, a seção transversal não variar ao longo da barra, podemos escrever a
equação (5.17) como:
(5.20)
Outra maneira de solucionar esse tipo de problema de impacto é resolver como um problema já visto em
conteúdos anteriores, como se a carga fosse estática, e multiplicar o deslocamento e a tensão achados com a
carga estática pelo fator de impacto n, para achar o deslocamento e a tensão provocadas pelo impacto. A carga
estática a ser usada será o peso do corpo m (W) (Figura 4).
(5.21)
Sendo que h é a distância inicial entre o corpo m e a viga ou eixo e yest é a deformação devido a carga
estática, de modo que:
(5.22)
(5.23)
Figura 4 – Peso m será solto a uma altura h da viga
Fonte: Hibbeler, 2015.
5.1 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Beer et al, 2015). O anel D de 35 kg é abandonado de repouso na posição mostrada e é
parado por uma placa conectada na extremidade em C da haste vertical ABC. Sabendo que E = 200 GPa para
ambas as porções da haste, determine a distância h para que a máxima tensão na haste seja de 250 MPa.
Fonte: Beer et al., 2015.
Solução: Se queremos que a máxima tensão na haste seja 250 MPa, vamos usar a parte com menor
diâmetro. E = 200 GPa.
Usando a equação (5,18) para casa trecho da haste.
Como temos uma única carga e trabalharemos no regime elástico.
Então sabemos que o ponto B teve uma deformação em y de 3,28 mm. Agora usando a fórmula do
trabalho para o peso do anel D.
Exemplo 02: (Hibbeler, 2015). O saco de cimento pesa 450 N (≈ 45 kg). Determine a altura máxima h da
qual ele pode cair a partir do repouso sobre o centro da viga de perfil W 250 x 58 de aço estrutural A-36, de
modo que a tensão de flexão máxima resultante do impacto não ultrapasse 210 MPa. E = 200GPa.
Fonte: Hibbeler, 2015.
Solução: Para uma viga de perfil W250x58, olhamos em uma tabela de propriedades geométricas de perfis
estruturais, como a da Figura 5.
Figura 5 – Propriedades geométricas de perfis estruturais, para perfis em W
Fonte: Hibbeler, 2015.
Vamos calcular o deslocamento substituindo a carga de impacto por uma carga estática, e para isso vamos
usar os dados desta tabela que foi vista em conteúdo anterior.
Figura 6 – Inclinações e deslocamentos de vigas simplesmente apoiadas
Fonte: Hibbeler, 2015.
O máximo momento ocorre no centro da viga onde:
Também sabemos que:
Substituindo a tensão estática pela fórmula da flexão:
Olhando na figura da Figura 5, pode-se deduzir que c=0,5d, já que na flexão a tensão máxima está no
ponto mais distante da linha neutra.
Descoberto o fator de impacto vamos descobrir a altura utilizando a equação (5.21).
FINALIZANDO
Nesta etapa, aprendemos sobre métodos de energia, ou seja, resolvemos problemas que envolvem
deflexão usando métodos de energia. Vimos também conservação de energia e carga de impacto. Foram feitos
exemplos dos assuntos apresentados, mas, para melhor fixar o conteúdo, faça mais exercícios dos assuntos
desta etapa.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH Editora LTDA, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
_____. Mecânica dos Materiais. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil LTDA, 2015.