MODELOS_DINAMICOS_SLIDE03

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Transformada de Laplace
Dr. Francisco Javier Triveno Vargas
UNIARA
Aula 3 2
Teorema da Derivação Real(1)
Aula 3 3
Teorema da Derivação Real(2)
Aula 3 4
Teorema da Derivação Real(demo)
Aula 3 5
Teorema da Derivação Real (extensão 1)
Aula 3 6
Teorema da Derivação Real (extensão 2)
Aula 3 7
Exemplo 2.1
Aula 3 8
Teorema do Valor Final
Aula 3 9
Exemplo 2.2
Aula 3 10
Teorema do Valor Inicial
• É a contraparte do teorema do valor final.
• Este teorema não fornece o valor de f(t) em t=0, mas em 
um instante mínimo maior que zero.
Aula 3 11
Teorema da Integração Real(1)
Aula 3 12
Teorema da Integração Real(2)
Aula 3 13
Teorema da Integração Real(3)
Aula 3 14
Teorema da Derivada Complexa
Aula 3 15
Integral de Convolução(1)
Aula 3 16
Integral de Convolução(2)
Aula 3 17
Integral de Convolução(3)
Interpretação Gráfica (1)
Aula 3 18
Interpretação Gráfica (2) –
Deslocamento para Direita
Aula 3 19
( ) ( )ττφ −= g
( ) ( )( ) ( )τττφ −=−−=− tgtgt
Interpretação Gráfica (3) –
Deslocamento para Esquerda
Aula 3 20
Interpretação Gráfica (4) –
Deslocamento para Esquerda t<-3
Aula 3 21
Interpretação Gráfica (5)
Aula 3 22
Aplicação Importante
• A operação de convolução pode ser utilizada 
para encontrar a resposta de um sistema 
linear de equações diferenciais. A saída de 
um sistema linear pode ser dada pela 
convolução da entrada pela resposta ao 
impulso do sistema.
• Entre outras…
Aula 3 23
Aula 3 24
Transformada de Laplace do Produto de Duas 
Funções no Domínio de Tempo
Aula 3 25
Propriedade da Transformada de Laplace(1)
Aula 3 26
Propriedade da Transformada de Laplace(2)
Aula 3 27
Propriedade da Transformada de Laplace(3)
Aula 3 28
Transformada Inversa de Laplace
• Integral de Inversão
• Devido a dificuldade de resolução analítica desta integral, sua 
utilização não é recomendada para encontrar transformadas 
inversas de funções comumente encontradas na engenharia 
de controle.
• Tabela de Transformadas
• Outra solução: Expandir em frações parciais e escrever F(s) 
em termos de funções simples de s.
Aula 3 29
Método da Expansão para Determinação da 
Transformada Inversa de Laplace
Na análise de sistemas de controle, F(s), a transformada de Laplace de f(t), 
apresenta-se frequentemente do seguinte modo:
Onde A(s) e B(s) são polinômios de s. Na expansão em frações parciais é 
importante que a maior potência de s em A(s) seja maior que a maior 
potência de s em B(s). Caso contrário, o numerador B(s) deve ser dividido 
pelo denominador A(s).
Aula 3 30
Expansão em Frações Parciais quando F(s) 
envolve somente pólos distintos
Cálculo de ak
Aula 3 31
Resumo da Expansão em Frações Parciais
Aula 3 32
Aula 3 33
Exemplo 2.3
Aula 3 34
Exemplo 2.4
Aula 3 35
Exemplo 2.5
Exemplo 2.5 (cont.)
Aula 3 36
Aula 3 37
Expansão em Frações Parciais Quando F(s) 
inclui pólos múltiplos(1)
Aula 3 38
Expansão em Frações Parciais Quando F(s) 
inclui pólos múltiplos(2)
Aula 3 39
Expansão em Frações Parciais Quando F(s) 
inclui pólos múltiplos(3)
Aula 3 40
Expansão em Frações Parciais Quando F(s) 
inclui pólos múltiplos(4)
Aula 3 41
Expansão em Frações Parciais Quando F(s) 
inclui pólos múltiplos(5)
Aula 3 42
Expansão em Frações Parciais Quando F(s) 
inclui pólos múltiplos(6)