Exercícios de Homomorfismo e Isomorfismo em Álgebra I

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4a Lista de exerćıcios de Álgebra I - MTM 7103
Assunto: Homomorfismo e isomorfismo.
1) Considere o anel C[0, 1] = {f : [0, 1]→ R : f é cont́ınua} com as operações (f+g)(x) = f(x)+g(x)
e (f · g)(x) = f(x)g(x) para todo x ∈ [0, 1].
Seja F : C[0, 1]→ R definida por F (f) = f(a),∀f ∈ C[0, 1] e para a ∈ [0, 1] fixo.
(i) Prove que F é um homomorfismo.
(ii) Calcule Im(F ) e Ker(F ).
(iii) Usando o teorema do homomorfismo, identifique o anel quociente C[0, 1]/Ker(F ).
2) Sejam A e A
′
anéis. Considere A × A′ = {(a, a′) : a ∈ A e a′ ∈ A′} com as operações: (a, a′) +
(b, b
′
) = (a+ b, a
′
+ b
′
) e (a, a
′
) · (b, b′) = (a · b, a′ · b′). É fácil ver que A×A′ é um anel. Prove que
π1 : A×A
′ −→ A e π2 : A×A
′ −→ A′
(a, a
′
) 7−→ a (a, a′) 7−→ a′
são homomorfismos sobrejetores. Calcule os núcleos de π1 e de π2. Usando o teorema do homomorfismo,
identifique os anéis quocientes A×A′/Ker(π1) e A×A
′
/Ker(π2).
3) Prove que 2Z× 3Z é um ideal de Z× Z. Usando o teorema do homomorfismo, identifique o anel
quociente Z× Z/2Z× 3Z.
4) Sejam A um anel com unidade 1A e B um anel. Se f : A → B é um homomorfismo sobrejetor,
prove que:
(i) f(1A) é a unidade de B.
(ii) Se a é invert́ıvel em A então f(a−1) = (f(a))−1.
5) Seja f : K → A um homomorfismo de um corpo K num anel A. Então f é o homomorfismo nulo
ou f é um monomorfismo.
6) Calcule Aut(Q[√p ]) e Aut(Z[√p ]) em que p é um número primo.
7) Mostre que os únicos homomorfismos de Z são o homomomorfismo nulo e a identidade.
8) Seja ϕ : R→ S um homomorfismo de anéis.
(i) Prove que se J é um ideal de S então ϕ−1(J) = {r ∈ R : ϕ(r) ∈ J} (imagem inversa de J pela
ϕ) é um ideal de R.
(ii) Se ϕ é sobrejetora e I é um ideal de R então é claro que ϕ(I) é um ideal de S. Retire a hipótese
de que ϕ é sobrejetora, dê então um contra-exemplo para o resultado que acabou de provar.
9) Seja ϕ : R → S um isomorfismo de anéis. Mostre que o função inversa ϕ−1 : S → R é também
um isomorfismo de anéis.
10) Prove que os corpos Q[
√
2 ] e Q[
√
3 ] não são isomorfos.
11) Prove que o único automorfismo de Zp em que p é um número primo é a identidade. Sugestão:
muito parecido com a maneira como determinamos Aut(Z), observe além disso que x = x · 1 =
1 + 1 + · · ·+ 1 x vezes em que 0 < x ≤ p− 1.
12) Mostre que nenhuma aplicação de Z4 em Z2×Z2 é um isomorfismo. Sugestão: suponha que exista
tal aplicação f , então f é bijetora e dáı pelo exerćıcio 4), f(1) = 1Z2×Z2 e por ser f um homomorfismo,
f(0) = 0Z2×Z2 . Conclua que haverá um absurdo, pois assim f não será injetora e nem sobrejetora.
13) Seja f : K → A um homomorfismo de um corpo K num anel A. Então f é o homomorfismo
nulo ou f é um monomorfismo. Sugestão: considere os casos f(1K) = 0A ou f(1K) 6= 0A. Esta é a
generalização de uma das propriedades de homomorfismo dada em aula.
14) Prove o seguinte teorema
(Terceiro Teorema do Isomorfismo para anéis) Sejam I e J ideais de R com I ⊆ J . Então J/I é um
ideal de R/I e (R/I)/(J/I) ∼= R/J .
Veja, um exemplo deste isomorfismo seria: R = Z, I = 4Z e J = 2Z, é claro que 4Z ⊆ 2Z e portanto,
(Z/4Z)/(2Z/4Z) ∼= Z/2Z.