Operador adjunto em espacos normados e espacos de Hilbert

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Capítulo 7
Operadores em espaços normados
Neste capítulo vamos introduzir uma série de operadores em espaços normados
os quais são muito úteis, nomeadamente, na resolução de equações envolvendo
operadores. Vamos dar especial atenção aos operadores (auto)-adjuntos definidos
num espaço de Hilbert.
7.1 Operadores adjuntos. Definição e propriedades
Nesta secção vamos considerar X, Y espaços normados quaisquer, T : X → Y um
operador linear limitado e g ∈ Y ′ um funcional. É claro que g está definido sobre
todo Y . Definimos a aplicação f em X por
f : X → R, x $→ f (x) := g(T x).
A aplicação f possui as seguintes propriedades:
X
T !!
f
""!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
! Y
g
##
R
1. f é linear, visto que, g e T o são.
2. f é limitada, pois
| f (x)| = |g(T x)| ≤ ‖g‖ |T x| ≤ ‖g‖ ‖T‖ |x|,
assim, tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos
‖ f ‖ ≤ ‖g‖ ‖T‖ < ∞. (7.1)
155
Portanto, f ∈ X′, isto é, f é um funcional em X. Deste modo, a cada funcional
g ∈ Y ′ corresponde um funcional f ∈ X′ o qual é chamado operador adjunto de
T e denotado por T ∗.
Definição 7.1 (Operador adjunto) Sejam X, Y dois espaços normados e T : X →
Y um operador linear limitado dado. Então o operador adjunto T ∗ : Y ′ → X′ é
definido por
f (x) = (T ∗g)(x) := g(T x). (7.2)
O operador adjunto está bem definido, isto é, a correspondência
Y ′ ) g $→ T ∗g ∈ X′
é uma aplicação. De facto, já vimos que f = T ∗g ∈ X′. Assim, só falta verificar
que, para cada g ∈ Y ′ existe uma única imagem T ∗g. Suponhamos que g ∈ Y ′
está associado a dois funcionais distintos f1 e f2 em X′. Como f1 ! f2, então
existe x ∈ X tal que f1(x) ! f2(x). Mas, ao mesmo tempo, por (7.2) temos
f1(x) = f2(x) = g(T x), ∀x ∈ X. Assim, f1 = f2.
Proposição 7.2 (Norma do operador adjunto) O operador adjunto T ∗ do ope-
rador T definido em (7.2) é linear, limitado e
‖T ∗‖ = ‖T‖ . (7.3)
Prova. Vamos verificar a linearidade de T ∗. Para quaisquer g1, g2 ∈ Y ′, !, " ∈ K e
x ∈ X temos
(T ∗(!g1 + "g2))(x) := (!g1 + "g2)(T x)
= !g1(T x) + "g2(T x)
= !(T ∗g1)(x) + "(T
∗g2)(x).
Da arbitrariedade de x ∈ X resulta
T ∗(!g1 + "g2) = !T
∗g1 + "T
∗g2,
ou seja, T ∗ é linear. Para mostrar que T ∗ é limitado procedemos do seguinte modo.
De (7.2) e (7.1) resulta
‖T ∗g‖ = ‖ f ‖ ≤ ‖g‖ ‖T‖
e, tomando o supremo sobre todos g ∈ Y ′ com norma 1, obtemos a desigualdade
‖T ∗‖ ≤ ‖T‖ .
156
Para provar a desigualdade contrária consideramos x ∈ X\ {0} um elemento arbi-
trário dado e denotamos y = T x. Usamos o seguinte resultado: existe um elemento
g ∈ Y ′ tal que ‖g‖ = 1 e g(T x) = |T x|. Portanto, temos
|T x| = |g(T x)| = (T ∗g)(x)
≤ ‖T ∗g‖ |x|
≤ ‖T ∗‖ ‖g‖ |x|
= ‖T ∗‖ |x|,
pelo que |T x| ≤ ‖T ∗‖ |x|, para qualquer x ∈ X\ {0}. Como temos sempre |T x| ≤
‖T‖ |x|, sendo ‖T‖ a menor constante tal que |T x| ≤ ‖T‖ |x|, então terá de ser
‖T‖ ≤ ‖T ∗‖.
Em resumo
X
T !!
$$
Y
X′ Y ′,
T ∗
%% ‖T ∗‖ = ‖T‖
Exemplo 7.3 Sejam X = Y = Rn e T o operador associado à matriz
T : A =
!
"""""""""""""""#
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
$
%%%%%%%%%%%%%%%&
relativamente à base canónica (ei)ni=1 em R
n. A forma geral de um funcional em
Rn é
f (x) =
n'
i=1
xi fi, fi := f (ei), f ∈ (Rn)′.
Para cada x ∈ Rn y = T x é dado por
y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn
...
...
...
yn = an1x1 + an2x2 + . . . + annxn.
157
Seja (ei)n
i=1 a base dual de (ei)
n
i=1, assim, se g ∈ (R
n)′, então
g =
n'
i=1
gie
i.
Portanto, temos
f (x) = g(T x) = g(y)
=
n'
i=1
giyi =
n'
i=1
gi
n'
j=1
ai jx j
=
n'
j=1
!
"""""#
n'
i=1
ai jgi
$
%%%%%&
x j.
Deste modo, f é um funcional em X dado em termos de g. Tendo em conta que
f = T ∗g, então
(T ∗g)(x) =
n'
j=1
bjx j, bj =
n'
i=1
ai jgi,
ou seja
b1 = a11g1 + a21g2 + . . . + an1gn
b2 = a12g1 + a22g2 + . . . + an2gn
...
...
...
bn = a1ng1 + a2ng2 + . . . + anngn.
Assim, a matriz associada a T ∗ é da forma
T ∗ :
!
"""""""""""""""#
a11 a21 . . . an1
a12 a22 . . . an2
...
...
. . .
...
a1n a2n . . . ann
$
%%%%%%%%%%%%%%%&
= A!.
Vemos, pois, que a matriz associada a T ∗ não é mais do que a matriz transposta
A! da matriz A associada a T .
Exemplo 7.4 Seja K : [0, 1] × [0, 1] → R uma aplicação contínua dada e con-
sideremos o espaço de Hilbert real X = Y = L2([0, 1], ds) =: L2(ds). Seja T o
operador integral, com núcleo K, definido em L2(ds) por
T : L2(ds)→ L2(ds), x $→ (T x)(t) :=
( 1
0
K(t, s)x(s)ds. (7.4)
158
A forma geral de um funcional linear contínuo f em L2(ds) é dada em termos do
produto interno em L2(ds), isto é,
(x, h) =
( 1
0
x(s)h(s)ds, x, h ∈ L2(ds).
Assim, se x ∈ L2(ds) é tal que y = T x, então para todo g ∈ L2(ds), temos
f (x) = g(T x) =
( 1
0
(T x)(s)g(s)ds
=
( 1
0
( 1
0
K(s, t)x(t)dtg(s)ds
=
( 1
0
)( 1
0
K(s, t)g(s)ds
*
x(t)dt
= (x, T ∗g),
onde
(T ∗g)(t) :=
( 1
0
K(s, t)g(s)ds.
Assim, vemos que T ∗ é um operador integral definido em L2(ds) com núcleo
K∗(t, s) = K(s, t). Note a troca das variáveis s e t.
Observação 7.5 No exemplo anterior, se o espaço de Hilbert considerado L2(ds)
for sobre o corpo dos complexos C, então todo o funcional linear contínuo em
L2(ds) é da forma
h(x) = (x, h) =
( 1
0
x(s)h(s)ds, x, h ∈ L2(ds).
Neste caso o adjunto do operador T definido em (7.4) é dado por
(T ∗g)(t) :=
( 1
0
K(s, t)g(s)ds,
ou seja, T ∗ é um operador integral, com núcleo K∗, onde K∗(t, s) = K(s, t).
Vamos de seguida apresentar algumas propriedades dos operadores adjuntos
sobre espaços normados.
Proposição 7.6 Sejam X, Y espaços normados e S , T ∈ B(X, Y) dados. Então
159
1. (S + T )∗ = S ∗ + T ∗.
2. (!T )∗ = !T ∗.
Prova. 1. Seja g ∈ Y ′ um funcional arbitrário com vista a mostrar que (S +T )∗g =
(S ∗ + T ∗)g. De acordo com a definição, para todo x ∈ X, usando a linearidade de
g, obtemos
((S + T )∗g)(x) := g((S + T )x) = g(S x) + g(T x) = (S ∗g)(x) + (T ∗g)(x).
Isto implica que (S + T )∗g = S ∗g + T ∗g, ∀g ∈ Y ′, pelo que (S + T )∗ = S ∗ + T ∗.
2. Do mesmo modo, se g ∈ Y ′, então
((!T )∗g)(x) := g((!T )x) = g(!T x) = !g(T x) = !(T ∗g)(x), ∀x ∈ X.
De onde resulta que (!T )∗g = !T ∗g, para todo g ∈ Y ′, assim temos (!T )∗ = !T ∗.
Proposição 7.7 Sejam X, Y, Z espaços normados, T ∈ B(X, Y) e S ∈ B(Y, Z) da-
dos. Então
1. o adjunto do produto S T é dado por
(S T )∗ = T ∗S ∗. (7.5)
2. Se T−1 existe e T−1 ∈ B(Y, X), então (T ∗)−1 também existe, (T ∗)−1 ∈ B(X′, Y ′)
e
(T ∗)−1 = (T−1)∗.
Prova. 1. Seja g ∈ Z′ um elemento dado com vista a mostrar que (S T )∗g =
(T ∗S ∗)g. Então para todo x ∈ X, temos
((S T )∗g)(x) = g((S T )x) = g(S (T x)) = (S ∗g)(T x),
como S ∗g ∈ X′, então o último termo é igual a
T ∗(S ∗g)(x).
Assim, mostramos que (S T )∗g = T ∗(S ∗g), ∀g ∈ Z′. Da arbitrariedade de g resulta
a igualdade (7.5).
2. Queremos mostrar que (T ∗)−1 = (T−1)∗, ou seja que
T ∗(T−1)∗ = (T−1)∗T ∗ = I,
pois temos a seguinte composição de aplicações:
160
X′
(T−1)∗ !! Y ′
T ∗ !! X′
Assim, sejam h ∈ X′ e x ∈ X dados. Então temos
(T ∗(T−1)∗h)(x) := ((T−1)∗h)(T x) := h(T−1T x) = h(x) = (Ih)(x).
Inversamente
((T−1)∗T ∗h)(x) := (T ∗h)(T−1x) := h(TT−1x) = h(x) = (Ih)(x).
Proposição 7.8 Sejam X, Y espaços normados reflexivos e T ∈ B(X, Y) dados.
Então (T ∗)∗ = T.
Prova. Sendo T : X → Y , então o seu adjunto T ∗ é um operador de Y ′ em X′,
isto é, T ∗ : Y ′ → X′. Deste modo, concluímos que (T ∗)∗ será um operador linear
limitado de X′′ em Y ′′: T ∗∗ : X′′ → Y ′′. Pela reflexividade dos espaços X e Y ,
temos T ∗∗ ∈ B(X, Y). Assim, resta mostrar que os operadores T ∗∗ e T coincidem.
Recordemos o operador canónico de X em X′′:
C : X → X′′, x $→ C(x) = Fx,
onde Fx é definido por Fx(l) := l(x), para qualquer l ∈ X′. Assim, para qualquer
g ∈ Y ′ e x ∈ X, temos
((T ∗)∗Fx)(g) = Fx(T
∗g) = (T ∗g)(x) = g(T x),
e, por outro lado
C◦T◦C−1(Fx)(g) = (C(T x))(g) = FTx(g) = g(T x).
X′′
T ∗∗ !! Y ′′
X
C
&&
T !! Y
C
&&
Exemplo 7.9 Consideremos o espaço de Hilbert complexo X = Y = L2([0, 1]) e
! : [0, 1]→ C uma função mensurável limitada. Definimos T ∈ B(X, Y) por
(T x)(t):= !(t)x(t).
Mostre que o operador adjunto T ∗ de T é definido por
(T ∗g)(t) = !(t)g(t).
161
Prova. Sabemos, pelo teorema de Riesz, que o dual de qualquer espaço de Hilbert
é isomorfo a si próprio, assim T ∗ ∈ B(X, Y). Temos ainda que, qualquer funcional
linear limitado é representável pelo produto interno, isto é,
(x, h) =
( 1
0
x(t)h(t)dt, h, x ∈ L2([0, 1]).
Assim, para quaisquer g, x ∈ L2([0, 1]) obtemos
f (x) = (T x, g) =
( 1
0
(T x)(t)g(t)dt =
( 1
0
!(t)x(t)g(t)dt
=
( 1
0
x(t)!(t)g(t)dt = (x, !̄g)
= (x, T ∗g).
Portanto, o operador adjunto é dado por (T ∗g)(t) = !(t)g(t). No caso de ! ser real,
isto é !(t) = !(t), então teríamos (T ∗g)(t) = !(t)g(t) = (Tg)(t), ou seja, T ∗ = T .
Na próxima secção vamos estudar este tipo particular de operadores, chamados
auto-adjuntos.
Exemplo 7.10 Seja X = Y = #2(R) o espaço de Hilbert real das sucessões cujo
quadrado do módulo é somável. Em #2(R) definimos o operador de deslocamento
direito U da forma usual, isto é, para cada x = (x1, x2, . . .) ∈ #2(R)
Ux = (0, x1, x2, . . .).
Prove que o operador adjunto U∗ de U é o operador de deslocamento esquerdo V .
Qual será o adjunto do operador V?
Prova. Os funcionais lineares limitados em #2(R) são da forma
(x, y) =
∞'
i=1
xiyi, x, y ∈ #2(R).
Portanto, se g ∈ #2(R), então para qualquer x ∈ #2(R) temos
f (x) = (Ux, g) =
∞'
i=1
(Ux)igi =
∞'
i=1
gi+1xi = (x,U
∗g),
onde U∗g = (g2, g3, · · · ), ou seja, o adjunto do operador de deslocamento direito
é o operador de deslocamento esquerdo V . Usando o Proposição 7.8 temos U∗∗ =
V∗ = U, ou seja, o operador dual de V é U.
162
Exercícios
Exercício 7.1 Calcule o adjunto de cada um dos seguintes operadores definidos
sobre #p(R), p ≥ 1:
1. T x := (x1, x2, . . . , x j, 0, . . .), j ≥ 1.
2. T x := (0, . . . , 0, x1, 0 . . .), onde x1 está na posição j.
3. T x := (!1x1,!2x2, . . .), onde (!i)∞i=1 ∈ #
∞(R) é uma sucessão fixa.
4. T x := (0, 0,!1x1,!2x2, . . .).
5. T x := (! j x j,! j+1x j+1, . . .), j ≥ 1.
Exercício 7.2 Seja T ∈ B(X), onde X é um espaço normado. Mostre que para
qualquer n ∈ N temos
(T ∗)n = (Tn)∗.
7.2 Operador adjunto num espaço de Hilbert
Nesta secção vamos analisar o caso particular em que os espaços normados X e Y
são espaços de Hilbert. Assim, sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : H1 → H2
um operador linear limitado. O operador adjunto T ∗ de T é, depois dos resultados
da secção anterior, tal que
T ∗ : H ′2 → H
′
1, g $→ (T
∗g)(x) := g(T x) = f (x). (7.6)
Mas como sabemos, pelo teorema de Riesz, os funcionais g ∈ H ′2, f ∈ H
′
2 admi-
tem representantes, digamos x0, y0, isto é,
f (x) = (x, x0)1, (7.7)
g(y) = (y, y0)2. (7.8)
Vamos denotar por R1,R2 os operadores que realizam estes operadores
R1 : H ′1 → H1, f $→ R1( f ) = x0,
R2 : H ′2 → H2, g $→ R2(g) = y0.
Os operadores R1,R2 possuem as seguintes propriedades:
163
1. bijectivos,
2. preservam a norma, isto é, |R1( f )|1 = |x0|1 = ‖ f ‖,
3. são lineares conjugados, isto é, se f (x) = (x, x0)1 e h(x) = (x, x̂0)1, então
para qualquer x ∈ H1, !, " ∈ K temos
(! f + "g)(x) = ! f (x) + "g(x)
= !(x, x0)1 + "(x, x̂0)1
= (x, !̄h0 + "̄x̂0)1,
pelo que !̄x0 + "̄x̂0 é o representante de ! f + "g, de onde resulta que
R1(! f + "g) = !̄x0 + "̄x̂0.
O mesmo raciocínio para R2.
Consideremos o operador T ′ definido por
T ′ : H2 → H1, T ′ := R1 ◦ T ∗ ◦ R−12 .
Temos
T ′y0 = R1(T
∗g) = R1( f ) = x0.
T ′ é linear, pois envolve dois operadores lineares conjugados e o
operador linear T ∗.
H1
T !!
T ′
%% H2
H ′1
R1
&&
H ′2
R2
&&
T ∗
%%
Por outro lado, de (7.6)-(7.8) resulta
(T x, y0)2 = g(T x) = f (x) = (x, x0)1 = (x, T
′y0)1,
ou seja
(T x, y)2 = (x, T
′y)1.
Definição 7.11 Seja T : H1 → H2 um operador linear limitado. Então o adjunto
T ∗ de T é um operador T ∗ : H2 → H1 definido por
(T x, y)2 = (x, T
∗y)1, ∀x ∈ H1, y ∈ H2.
Os exemplos apresentados até agora, foram todos sobre espaços de Hilbert.
Vamos em seguida coleccionar algumas das propriedades e relações típicas do
operador adjunto de um operador linear limitado definido num espaço de Hilbert.
164
Proposição 7.12 Sejam T,U ∈ B(H1,H2) operadores lineares limitados. Mostre
que
1. (T + U)∗ = T ∗ + U∗.
2. T ∗∗ = T,
3. (!T )∗ = !̄T ∗, ! ∈ K.
4. N(T ) = R(T ∗)⊥.
5. N(T ∗) = R(T )⊥.
6. R(T ) = N(T ∗)⊥.
7. R(T ∗) = N(T )⊥.
TH1 H2
H2H1
N(T!)
R(T )"R(T )
T !
N(T )"
R(T!) R(T!)" N(T!)"
N(T )
Prova. Ver Exercício 7.7.
Exercícios
Exercício 7.3 Seja X = Y = L2(R, dt) o espaço de Hilbert das funções comple-
xas mensuráveis de quadrado integrável. Para cada constante k ∈ R definimos o
operador T ∈ B(X, Y) por
(T x)(t) := x(t − k)
o qual é chamado operador de deslocamento ou operador de translação. Calcule
o operador adjunto T ∗ do operador T .
Exercício 7.4 Calcule o adjunto de cada um dos seguintes operadores definidos
sobre L2(R):
1. (T x)(t) := !(t)x(t + k), onde ! é uma função limitada e k ∈ R está fixo.
2. (T x)(t) := 12(x(t) + x(−t)).
Exercício 7.5 Seja H um espaço de Hilbert e y, z ∈ H fixos. Definimos T ∈
B(H) por
T x := (x, y)z.
Calcule o adjunto de T .
165
Exercício 7.6 Seja H um espaço de Hilbert e (en)∞n=1 uma base ortonormada em
H . Definimos o operador T por
T : H → H , en $→ Ten := en+1.
1. Calcule o núcleo, a imagem e a norma de T .
2. Encontre o operador adjunto T ∗ de T .
Exercício 7.7 Prove a Proposição 7.12.
Exercício 7.8 Prove que se (Tn)∞n=1 é uma sucessão de operadores lineares limita-
dos num espaço de Hilbert tais que Tn → T , então T ∗n → T ∗.
7.3 Operadores auto-adjuntos
De entre os operadores definidos num espaço de HilbertH existem algumas clas-
ses de especial interesse, uma delas vamos estudar nesta secção. Assim, nesta
secção vamos supor queH1 = H2 = H e o espaço linear dos operadores lineares
limitados sobreH B(H).
Definição 7.13 Seja operador T ∈ B(H) um operador dado. Então T chama-se
1. auto-adjunto se e só se T ∗ = T, isto é,
(T x, y) = (x, Ty), ∀x, y ∈ H ,
2. unitário se e só se T é bijectivo e T ∗ = T−1, isto é,
(T x, y) = (x, T−1y), ∀x, y ∈ H ,
3. normal se e só se TT ∗ = T ∗T.
Observação 7.14 1. Se T ∈ B(H) é um operador unitário, então T preserva o
produto interno, pois
(T x, Ty) = (x, T ∗Ty) = (x, T−1Ty) = (x, y), ∀x, y ∈ H .
166
2. Por seu lado, se T é auto-adjunto ou unitário, então T é normal. De facto,
suponhamos que T é auto-adjunto, então temos T ∗ = T e evidentemente
que TT ∗ = T ∗T = T 2. Se T é unitário, então T ∗ = T−1, pelo que TT ∗ =
T ∗T = I.
3. Do Exemplo 7.3 resulta que T é auto-adjunto se e só se ai j = aji, ∀i, j =
1, . . . , n, ou seja a matriz é simétrica. Se a matriz (ai j)ni, j=1 for complexa,
então o operador é auto-adjunto se e só se a matriz for Hermiteana, isto
é, ai, j = ā j,i, ∀i, j = 1, . . . , n. Já no Exemplo 7.4 o operador T será auto-
adjunto se e só se a função K for simétrica, isto é, K(s, t) = K(t, s), ∀s, t ∈
[0, 1]. No caso complexo teríamos K(s, t) = K(t, s).
4. Se T ∈ B(H) é um operador auto-adjunto, então H = N(T ) ⊕ R(T ∗). De
facto, como N(T ) é fechado, então pelo teorema sobre a decomposição de
um espaço de Hilbert na soma directa de espaços mutuamente ortogonais,
temos
H = N(T ) ⊕ (N(T ))⊥.
Mas pela Proposição 7.12-7, temos (N(T ))⊥ = R(T ∗), de onde o resultado.
Teorema 7.15 (critério T ∗ = T ) Seja T : H → H um operador linear limitado
no espaço de HilbertH . Então
1. se T é auto-adjunto, (T x, x) é real para todos x ∈ H ,
2. se H é complexo e (T x, x) é real para todos x ∈ H , o operador T é auto-
adjunto.
Prova. 1. Por hipótese T ∗ = T e
(T x, x) = (x, T x) = (T x, x),
ou seja, (T x, x) é igual ao seu conjugado, pelo que (T x, x) ∈ R, ∀x ∈ H .
2. Como (T x, x) ∈ R ∀x ∈ H , então
(T x, x) = (T x, x) = (x, T ∗x) = (T ∗x, x).
Deste modo temos ((T − T ∗)x, x) = 0, ∀x ∈ H . Em particular para x = !y + z,
obtemos
((T − T ∗)(!y + z),!y + z) = |!|2((T − T ∗)y, y) + !((T − T ∗)y, z)
+!̄((T − T ∗)z, y) + ((T − T ∗)z, z),
167
tendo em atenção que ((T − T ∗)y, y) = ((T − T ∗)z, z) = 0, obtemos
((T − T ∗)(!y + z),!y + z) = !((T − T ∗)y, z) + !̄((T − T ∗)z, y) = 0.Escolhendo ! = 1 e ! = i obtemos
+
((T − T ∗)y, z) + ((T − T ∗)z, y) = 0
((T − T ∗)y, z) − ((T − T ∗)z, y) = 0 ⇔ ((T − T
∗)y, z) = 0, ∀y, z ∈ H ,
fazendo z = (T − T ∗)y resulta (T − T ∗)y = 0, ∀y ∈ H , ou seja T − T ∗ = 0. Isto
prova que T é auto-adjunto.
Exemplo 7.16 Sejam (!n)∞n=1, ("n)
∞
n=1, ($n)
∞
n=1 ∈ #
∞(R) sucessões fixas e T ∈ B(#2(R))
um operador definido de seguintemodo: para cada x ∈ #2(R) T x = ((T x)1, (T x)2, . . .),
onde
(T x)1 = !1x1 + "1x2,
(T x)n = $n−1xn−1 + !nxn + "nxn+1, n ≥ 2.
Que condições devem verificar os números !n, "n e $n, n ≥ 1 para que T ∗ = T .
Prova. Temos de ver em que condições sobre os coeficientes das sucessões dadas
temos
(T x, y)#2(R) = (x, Ty)#2(R).
Assim, temos
(T x, y)#2(R) =
∞'
n=1
(T x)nyn = (!1x1 + "1x2)y1 +
∞'
n=2
($n−1xn−1 + !nxn + "nxn+1)yn
= (!1y1 + $1y2)x1 +
∞'
n=n
($nyn+1 + !nyn + "n−1yn−1)xn
= (x, T ∗y)#2(R).
Assim, T ∗y é dado por
(T ∗y)1 = !1y1 + $1y2,
(T ∗y)n = $nyn+1 + !nyn + "n−1yn−1, n ≥ 2.
Portanto, para que T ∗ = T , isto é T ∗x = T x, ∀x ∈ H terá de ser
!1x1 + $1x2 = !1x1 + "1x2 ⇒ $1 = "1,
$nxn+1 + !nxn + "n−1xn−1 = $n−1xn−1 + !nxn + "nxn+1, ⇒ $n = "n, n ≥ 2.
Assim, concluímos que a sucessão (!n)∞n=1 ∈ #
∞(R) é qualquer e ("n)∞n=1 = ($n)
∞
n=1.
168
Exercícios
Exercício 7.9 Sejam T,U ∈ B(H) dois operadores dados. Mostre que
1. se T,U são auto-adjuntos e !, " ∈ K, então !T + "U é auto-adjunto,
2. se T,U são auto-adjuntos, então o operador TU é auto-adjunto se e só se T
e U comutam, isto é, [T, S ] = TU − UT = 0,
3. os operadores R = 12(T +T
∗) eC = 12i(T −T
∗) são auto-adjuntos. T = R+ iC
e T ∗ = R− iC, o operador R chama-se a parte real do operador T e C a parte
imaginária de T ,
4. se T é um operador normal, então RC = CR, onde R,C são os operadores
definidos em 3.
Exercício 7.10 Seja (Tn)∞n=1 uma sucessão de operadores lineares limitados auto-
adjuntos definidos Tn : H → H sobre um espaço de HilbertH . Suponhamos que
(Tn)∞n=1 converge uniformemente para o operador T , isto é,
‖Tn − T‖ → 0, n→∞.
Prove que o operador limite T é linear limitado e auto-adjunto.
Exercício 7.11 Seja Tn : H → H , n ∈ N uma sucessão de operadores normais
(TnT ∗n = T
∗
nTn) tais que Tn → T . Mostre que T é um operador linear normal.
Exercício 7.12 Mostre que se T : H → H é um operador isométrico, isto é,
|T x| = |x|, ∀x ∈ H , então T ∗T = I.
7.4 Operadores de projecção
Recordemos que, dado um espaço de HilbertH e um subespaço L deH , entãoH
pode representar-se como soma directa de L e o seu ortogonal L⊥, isto é,
H = L ⊕ L⊥.
Assim, dado x ∈ H existem y ∈ L e z ∈ L⊥ tais que
x = y + z.
169
Dado que a soma é directa, y é único para qualquer x ∈ H . Portanto, a cada x ∈ H
associamos um único elemento y ∈ L, isto é, definimos um operador linear
P : H → H , x $→ Px = y,
o qual é chamado projecção ortogonal ou projecção em H . Mais precisamente,
P é chamado projecção de H sobre L. É claro que P está definido sobre todoH e
a sua imagem é exactamente o subespaço L. Por outro lado, se x ∈ H é da forma
x = y + z, com y ∈ L e z ∈ L⊥, então
Px = P(y + z) = Py + Pz = y,
isto é, Py = y, ∀y ∈ L e Pz = 0, ∀z ∈ L⊥. Concluímos, pois, que N(P) = L⊥.
Temos a seguinte definição.
Definição 7.17 Um operador linear P : H → H é uma projecção emH se existe
um subespaço L deH tal que R(P) = L, N(P) = L⊥ e P|L é o operador identidade
em L.
O próximo teorema dá um critério para caracterizar os operadores de projecção
emH o qual pode ser usado como definição.
Teorema 7.18 Um operador linear limitado P : H → H num espaço de Hilbert
H ! {0} é uma projecção se e só se P é auto-adjunto e idempotente, isto é, P2 = P.
Temos ainda que ‖P‖ = 1.
Prova. Suponhamos que P é uma projecção em H e denotemos P(H) = L com
vista a mostrar que P é auto-adjunto, idempotente com norma 1. Para qualquer
x ∈ H com Px = y ∈ L temos
P2x = P(Px) = Py = y = Px,
logo P é idempotente. Sejam x1, x2 ∈ H tais que
x1 = y1 + z1, y1 ∈ L, z1 ∈ L⊥,
x2 = y2 + z2, y2 ∈ L, z2 ∈ L⊥.
É claro que (y1, z2) = (y2, z1) = 0. Por outro lado
(Px1, x2) = (y1, y2 + z2) = (y1, y2) + (y1, z2) = (y1 + z1, y2) = (x1, Px2),
e, portanto, P é auto-adjunto.
170
A norma de P pode calcular-se do seguinte modo: para todo x ∈ H com x = y+ z,
Px = y e de acordo com o teorema de Pitágoras, temos
|x|2 = |y|2 + |z|2 ⇒ |y| ≤ |x|⇔ |Px| ≤ |x|.
Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos
‖P‖ ≤ 1.
Para mostrar a desigualdade contrária notemos que se x ∈ L e x ! 0, então Px = x,
pelo que
|x| = |Px| ≤ ‖P‖ |x|
de onde resulta que ‖P‖ ≥ 1. Das duas desigualdades obtemos ‖P‖ = 1.
Inversamente, suponhamos que P2 = P = P∗ e denotamos P(H) = L com vista a
mostrar que P é uma projecção. Cada x ∈ H pode escrever-se como
x = Px + (I − P)x.
Vamos mostrar que L = P(H) ⊥ (I − P)(H). De facto, temos
(Px, (I − P)y) = (x, P(I − P)y) = (x, Py − P2y) = (x, Py − Py) = (x, 0) = 0.
Com vista a mostrar que L = P(H) é um subespaço de H vamos provar que
L = N(I − P) e usar o resultado que diz: o núcleo de um operador linear limitado
é fechado. Assim, seja x ∈ L, então
(I − P)x = x − Px = x − x = 0,
logo x ∈ N(I − P), logo L ⊂ N(I − P). Por outro lado, se y ∈ N(I − P), então
Py = y,
pelo que y ∈ P(H) = L. Deste modo obtemos L = N(I − P). Portanto, L é um
subespaço de H . Notemos que L⊥ = N(P), pois, se z ∈ L⊥, então para qualquer
y ∈ L temos (z, y) = 0, mas como L = P(H), então y = Px, x ∈ H . Assim,
(z, y) = (z, Px) = (Pz, x) = 0⇒ Pz = 0⇒ z ∈ N(P).
Finalmente P|L é o operador identidade em L, pois se x ∈ L = P(H), então x = Py,
y ∈ H . Pelo que
Px = P2y = Py = x,
ou seja P|L = I.
171
Exemplo 7.19 Sejam P1 e P2 projecções em H sobre L1 e L2, respectivamente,
tais que P1P2 = P2P1. Mostre que P = P1 + P2 − P1P2 é uma projecção de H
sobre L1 + L2.
Prova. Temos de mostrar que P é auto-adjunto e idempotente. De facto, aten-
dendo a que P1 e P2 são projecções e P1P2 = P2P1, então
P∗ = P∗1 + P
∗
2 − P
∗
2P
∗
1 = P1 + P2 − P2P1 = P1 + P2 − P1P2 = P.
logo P é auto-adjunto. Falta mostrar que P2 = P. Mas, para qualquer x ∈ H ,
temos
P2x = (P1 + P2 − P1P2)2x
= (P21 + P1P2 − P
2
1P2 + P2P1 + P
2
2 − P2P1P2 − P1P2P1 − P1P
2
2
+P1P2P1P2)x.
Usando o facto de P21 = P1, P
2
2 = P2 e P1P2 = P2P1 a última igualdade dá lugar a
(P1 + P
2
2 − P1P2)x = Px,
logo P é idempotente. É fácil ver que P é uma projecção deH sobre L1+L2, pois,
se x ∈ H , então
Px = (P1 + P2 − P1P2)x = P1(x − P2x) + P2x ∈ L1 + L2.
Exercícos
Exercício 7.13 Seja T = S −1PS : H → H , onde S , T ∈ B(H) tais que P é uma
projecção e S unitário. Prove que T é uma projecção.
Exercício 7.14 Sejam P1, P2 ∈ B(H) projecções emH . Mostre que P = P1 + P2
é uma projecção se e só se P2P1 = 0.
172
7.5 Operadores compactos
O estudo dos operadores compactos foi motivado pelo uso das equações inte-
grais como tentativa para resolver os problema com valores de fronteira da Física-
Matemática, também chamado problema de Dirichlet. Este problema consiste no
seguinte. Consideremos uma região D aberta de R3 com uma fronteira %D dife-
renciável. O problema de Dirichlet para a equação de Laplace é: dada uma função
contínua f sobre %D, encontrar uma função u ∈ C2(D) e contínua em D̄ tal que
!u(x) = 0, x ∈ D,
u(x) = f (x), x ∈ %D.
Recordemos que um conjuntoM diz-se compacto se qualquer sucessão (xn)∞n=1 ⊂
M tem uma subsucessão (xnk)
∞
k=1 convergente em M, isto é, xnk → x ∈ M, k → ∞.
Definição 7.20 (Operador compacto) Sejam X, Y espaços normados e T : X →
Y um operador linear. Então T chama-se compacto (ou completamente contínuo)
se e só se para qualquer sucessão limitada (xn)∞n=1 ⊂ X a sucessão (T xn)
∞
n=1 ⊂ Y
possui uma subsucessão convergente em Y.
Proposição 7.21 Sejam X, Y espaços normados. Então
1. todo o operador linear compacto T : X → Y é limitado, logo contínuo.
2. Se dimX = ∞, então nem todo o operador limitado é compacto.
Prova. 1. Seja (xn)∞n=1 ⊂ X uma sucessão limitada tal que |xn| = 1 e (xnk)
∞
k=1 uma
subsucessão qualquer da sucessão (xn)∞n=1. Suponhamos por absurdo que T não
é limitado, isto é, |T xnk | → ∞, k → ∞.Mas isto implica que (T xnk)∞k=1 não é
convergente em Y , pelo que T não é compacto, absurdo. Assim, T é limitado.
Como T é linear limitado T é contínuo.
2. Consideremos X = Y = #2(R), (en)∞n=1 a base canónica em #
2(R) e o operador
identidade I. É claro que a sucessão (en)∞n=1 é limitado, pois, |en| = 1, ∀n ∈ N e
‖I‖ = 1. Temos
|Ien − Iem| =
√
2,
pelo que (Ien)∞n=1 não é uma sucessão de Cauchy, logo (Ien)
∞
n=1 não possui uma
subsucessão convergente.
173
Observação 7.22 A última proposição diz que a compactidade (continuidade com-
pleta) de um operador é uma propriedade mais forte do que a continuidade habi-
tual, a limitação.
A próxima proposição dá a relação entre operadores compactos e a dimensão
do domínio e imagem.
Proposição 7.23 Sejam X, Y espaços normados e T : X → Y um operador linear
dado. Então
1. se T é limitado e dimT (X) < ∞, o operador T é compacto,
2. Se dimX < ∞, o operador é compacto.
Prova. 1. Seja (xn)∞n=1 uma sucessão limitada qualquer em X com vista a mostrar
que (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. Como T é limitado assim
como (xn)∞n=1, então a desigualdade
|T xn| ≤ ‖T‖ |xn|
mostra que a sucessão (T xn)∞n=1 é limitada. Atendendo a que dimT (X) < ∞,
então, digamos T (X) é isomorfo a Ck, k ∈ N. Assim, de acordo com o teorema
de Bolzano a sucessão limitada (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente.
Portanto T é compacto por definição.
2. Como dim X < ∞, então todo o operador linear é limitado e temos sempre
dimT (X) < dim X < ∞, pelo Teorema 4.3-3. O resultado é uma consequência de
1.
Teorema 7.24 (Sucessão de operadores compactos) Seja X um espaço normado,
Y um espaço de Banach e (Tn)∞n=1 ∈ B(X, Y) uma sucessão de operadores li-
neares compactos. Se Tn converge uniformemente para o operador T (isto é,
‖Tn − T‖ → 0, n→∞), então o operador T é compacto.
Prova. Seja (xn)∞n=1 uma sucessão qualquer limitada em X com vista a mostrar
que (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. Como T1 é compacto, existe
uma subsucessão (x1
k
)∞
k=1 de (xn)
∞
n=1 tal que (T1x
1
k
)∞
k=1 é convergente, em particular
de Cauchy. Do mesmo modo, existe uma subsucessão (x2j)
∞
j=1 de (x
1
k
)∞
k=1 tal que
174
(T2x2j)
∞
j=1 é convergente, logo de Cauchy. Continuando este processo obtemos o
seguinte diagrama
T1x1 T1x2, . . . , T1xn, . . .
T1x
1
1 T1x
1
2, . . . , T1x
1
n, . . . −→ x
1
T2x
2
1 T2x
2
2, . . . , T2x
2
n, . . . −→ x
2
...
...
...
Tmx
m
1 Tmx
m
2 , . . . , Tmx
m
m, . . . −→ xm
...
...
...
Consideremos a sucessão “diagonal” (ym)∞m=1, ym = x
m
m, m ∈ N e vamos mostrar
que a sucessão (Tym)∞m=1 é de Cauchy e, portanto, convergente, pois Y é completo.
Notemos que a sucessão (ym)∞m=k é uma subsucessão da sucessão (x
k
m)
∞
m=1 e que
(Tkxkn)
∞
n=1 é convergente, pelo que (Tkym)
∞
m=1 é convergente para qualquer k ∈ N.
Por outro lado, como a sucessão inicial (xn)n∈N é limitado, digamos |xn| ≤ C para
todos n ∈ N, então também |ym| ≤ C, para todos m ∈ N. Seja & > 0 dado. Então
como Tn → T existe uma ordem n = p tal que
,
,
,Tp − T
,
,
, <
&
3C
.
Por outro lado, como (Tpym)m∈N é de Cauchy, logo existe N tal que
|Tpym − Tpym′ | <
&
3
, m,m′ > N.
Assim, para m,m′ > N obtemos
|Tym − Tym′ | ≤ |Tpym − Tym| + |Tpym − Tpym′ | + |Tpym′ − Tym′ |
≤
,
,
,Tp − T
,
,
, |ym| +
&
3
+
,
,
,Tp − T
,
,
, |ym′ |
<
&
3C
C +
&
3
+
&
3C
C = &.
Isto mostra que (Tym)m∈N é uma sucessão de Cauchy a qual é convergente, pois Y é
um espaço de Banach. Da arbitrariedade da sucessão (xn)n∈N e visto que (Tym)m∈N
é uma subsucessão de (T xn)n∈N, resulta a compactidade de T .
175
Exemplo 7.25 Seja X = Y = #2(R) e T ∈ B(#2(R)) definido por
T x =
-
x1
1
,
x2
2
,
x3
3
, . . . ,
xn
n
, . . .
.
.
Então T é compacto.
Prova. É fácil verificar que T está bem definido, pois
|T x|2 =
∞'
i=1
/
/
/
/
/
xi
i
/
/
/
/
/
2
≤
∞'
i=1
|xi|2 = |x|2 < ∞.
Para cada n ∈ N definimos a sucessão (Tn)n∈N por
Tn : #
2(R) → #2(R), x $→ Tnx :=
-
x1
x2
2
,
x3
3
, . . . ,
xn
n
, 0, . . .
.
.
É claro que os operadores Tn são lineares e limitados. Como dimTn(#2(R)) < ∞,
então pelo Proposição 7.23-1, Tn é compacto. Temos ainda que
|(Tn − T )x|2 =
∞'
i=n+1
/
/
/
/
/
xi
i
/
/
/
/
/
2
≤
1
n + 1
∞'
i=n+1
|xi|2 ≤
1
n + 1
|x|2.
Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos
‖Tn − T‖ ≤
1
n + 1
,
portanto Tn → T e T é compacto pelo Teorema 7.24 dado que #2(R) é um espaço
de Hilbert, logo de Banach.
O próximo teorema é muito importante em aplicações da análise funcional.
Teorema 7.26 Seja X um espaço normado e T, S : X → X dois operadores
lineares tais que T é compacto e S é limitado. Então TS e S T são compactos.
Prova. Seja (xn)∞n=1 ⊂ X uma sucessão limitada qualquer com vista a mostrar que
a sucessão (TS xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. De facto, como S é
limitado, então a sucessão (S xn)∞n=1 é limitada. Assim, dado que T é compacto, a
sucessão (TS xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. Isto mostra que TS é
compacto.
176
Inversamente, a sucessão (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão (T xnk)
∞
k=1 convergente,
digamos
lim
n→∞
T xn = y ∈ X
por T ser compacto. Da continuidade de S vem que a sucessão (S T xnk)
∞
k=1 é
convergente
lim
k→∞
S T xnk = S lim
k→∞
T xnk = S y ∈ X.
Portanto, o operador S T é compacto.
Na Proposição 7.21-2. vimos que o operador identidade num espaço de dimen-
são infinita não é compacto. Usando este resultado e o teorema anterior obtemos
o seguinte corolário.
Corolário 7.27 Seja X um espaço normado com dimensão infinita. Então se T ∈
B(X) é um operador compacto o seu inverso T−1 não pode ser limitado.
Teorema 7.28 SejaH um espaço de Hilbert e A ∈ B(H). Então A é compacto se
e só se o seu adjunto A∗ é compacto.
Prova. Seja A um operador compacto com vista a mostrar que A∗ é compacto.
Pelo Teorema 7.26 o operador AA∗ é compacto. Então se (xn)∞n=1 ⊂ H é uma su-
cessão limitada qualquer, a sucessão (AA∗xn)∞n=1 possui uma subsucessão (AA
∗xnk)
∞
k=1
convergente. Vamos mostrar que a sucessão (A∗xnk)
∞
k=1 é de Cauchy e, portanto,
converge emH . De facto, temos
|A∗xnk − A
∗xnl |
2 = (AA∗(xnk − xnl), xnk − xnl)
≤ |AA∗(xnk − xnl)||xnk − xnl |
≤ 2C|AA∗(xnk − xnl)|,
pois |xnk − xnl | ≤ |xnk | + |xnl | ≤ 2C, por (xn)∞n=1 ser limitada. Como a sucessão
(AA∗xnk)
∞
k=1 é convergente ela é de Cauchy emH , portanto, (A
∗xnk)
∞
k=1 é de Cauchy.
Como H é completo (A∗xnk)∞k=1 converge em H . De acordo com a definição de
operador compacto (ver Definição 7.20) A∗ é compacto.
Inversamente, suponhamos que A∗ é compacto com vista a mostrar que A é com-
pacto. De acordo com a prova anterior (A∗)∗ = A∗∗ é compacto. Mas pela Propo-
sição 7.12-2 temos A∗∗ = A, logo A é compacto.
177
Exercícios
Exercício 7.15 Seja H um espaço de Hilbert separável e (en)∞n=1 uma base orto-
normada de H . Um operador T : H → H diz-se de Hilbert-Schmidt se e só se
|T |HS < ∞, onde
|T |2HS :=
∞'
n=1
|Ten|2 =
∞'
n=1
∞'
k=1
|(Ten, ek)|2.
Prove que se T ∈ B(H) é de Hilbert-Schmidt, então T é compacto.
Sugestão: prove que T é o limite de uma sucessão (Tn)∞n=1 de operadores compac-
tos e use o facto de ‖Tn − T‖ ≤ |Tn − T |HS .
Exercício 7.16 Mostre que o operador T : #2(R)→ #2(R) definido por
T x :=
-
x1
2
,
x2
22
, . . . ,
xn
2n
, . . .
.
é compacto. Sugestão: use um processo análogo ao Exemplo 7.25.
Exercício 7.17 Mostre que o operador T : #p(R) → #p(R), 1 ≤ p ≤ ∞ definido
por
T x :=
-
x1
1
,
x2
2
, . . . ,
xn
n
, . . .
.
é compacto.
Exercício 7.18 Sejam X, Y espaços de Banach e (B(X, Y), ‖·‖) o espaço de Banach
dos operadores lineares limitados de X em Y . Denotamos por C(X, Y) o conjunto
dos operadores compactos de X em Y . Mostre que C(X, Y) é um subespaço fe-
chado de B(X, Y).
Exercício 7.19 Seja H um espaço de Hilbert e y, z ∈ H fixos. Mostre que o
operador
T : H → H , x $→ T x := (x, y)z
é compacto.
178