Pauta Ayudantia 7 MAT024 2022-02 - Alfredo Mallea (2)

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Ayudant́ıa 7
Matemática IV (MAT-024)
Jueves 20 de Octubre de 2022
Problema 1. Considerar la elipse
C : 9x2 + 4y2 = 36,
la cual se recorre en sentido positivo. Calcular∫
C
x+ y
x2 + y2
dx+
y − x
x2 + y2
dy .
Solución:
Se tiene que Nx = My =
x2 − 2xy − y2
(x2 + y2)2
, encerramos el punto de discontinuidad con una circun-
ferencia centrada en el origen y radio ϵ, llamaremos D a la región que se encuentra entre Cϵ en donde
el campo vectorial F⃗ = (P,Q) es de clase C1 y C. Podemos aplicar ahora el Teorema de Green para
DMC ∫
C∪C−ϵ
F⃗ · dr⃗ =
∫∫
D
(Nx −My) dA
observar que Cϵ está orientada positivamente y parametrizada por r⃗(t) = (ϵ cos(t), ϵ sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
Y aśı ∫
C
F⃗ · dr⃗ =
∫∫
D
(Nx −My) dA+
∫
Cϵ
F⃗ · dr⃗
=
2π∫
0
ϵ cos(t) + ϵ sen(t)
ϵ2
(−ϵ sen(t)) +
2π∫
0
ϵ sen(t)− ϵ cos(t)
ϵ2
(ϵ cos(t)) dt
= −π − π
= −2π.
Problema 2. Considere el campo vectorial F⃗ : R2 − {(0, 0)} → R2 dado por
F⃗ (x, y) =
(
y2 − 4x2
(4x2 + y2)2
,− 2xy
(4x2 + y2)2
)
y la curva γ = γ1 ∪ γ2 donde γ1 : x2 + y2 = 1 con punto inicial (1, 0), punto final (0,−1) (pasando por
el segundo cuadrante) en sentido antihorario y γ2 el segmento que une los puntos (0,−1) y (2, 0)
Calcular el valor de
∫
γ
F⃗ .dr⃗ donde la curva γ se recorre en sentido antihorario.
Solución:
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DomF⃗ = R2 − {(0, 0)}
Notar que la curva γ no es cerrada. Definamos el segmento γ3 el cual une los puntos (2, 0) con
(1, 0). Luego la curva C = γ ∪ γ3 si es una curva cerrada que encierra la singularidada del campo F⃗
Definamos la curva C1 : 4x
2 + y2 =
1
16
la cual queda al interior de C y contiene en el interior el
punto (0, 0). SeaD el conjunto interior a C y exterior a C1 por lo tantoD es un conjunto multiplemente
conexo y F⃗ es de clase C1 en D entonces por Teorema de Green para dominios múltiplemente conexo
se cumple: ∮
C
Pdx+Qdy =
∮
C1
Pdx+Qdy +
∫∫
D
(Qx − Py)dA
P =
y2 − 4x2
(4x2 + y2)2
⇒ Py =
24x2y − 2y3
(4x2 + y2)3
Q = − 2xy
(4x2 + y2)2
⇒ Qx =
24x2y − 2y3
(4x2 + y2)3
Luego Qx = Py para todo (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} lo que implica:∮
C
Pdx+Qdy =
∮
C1
Pdx+Qdy ⇔
∫
γ
Pdx+Qdy =
∮
C1
Pdx+Qdy −
∫
γ3
Pdx+Qdy = I1 + I2
Cálculo de I1 =
∮
C1
y2 − 4x2
(4x2 + y2)2
dx+
−2xy
(4x2 + y2)2
dy
Parametrización de C1 : 4x
2 + y2 =
1
16
x =
1
8
cos(t) ⇒ dx = −1
8
sen(t)dt
y =
1
4
sen(t) ⇒ dy = 1
4
cos(t)dt
Con t ∈ [−π, π]
I1 = 16
2
∮ π
−π
((
1
16
sen2(t)− 1
16
cos2(t))
−1
8
sen(t)− 1
16
cos(t) sen(t)
1
4
cos(t))dt = 0 ya que el inte-
grando es una función impar.
Cálculo de I2 = −
∫
γ3
y2 − 4x2
(4x2 + y2)2
dx+
−2xy
(4x2 + y2)2
dy
Parametrización de γ3
r⃗(t) = (2, 0) + t[(1, 0)− (2, 0)] = (2− t, 0), 0 ≤ t ≤ 1; r⃗′(t) = (−1, 0). Entonces∫
γ3
Pdx+Qdy =
∫ 1
0
(
−4(2− t)2
16(2− t)4
, 0
)
· (−1, 0) dt
= −1
4
∫ 1
0
1
(2− t)2
dt
= −1
8
finalmente: ∮
γ
F⃗ .dr⃗ =
1
8
.
Ayudant́ıa 7 de Matemática IV (MAT-024) 3
Problema 3. Calcule el valor de la integral de ĺınea∮
γ
x+ yx2 + y3
x2 + y2
dx+
y − y2x− x3
x2 + y2
dy
donde γ es la elipse de ecuación x2 + 2y2 = 1 recorrida en sentido antihorario.
Solución:
Escribiendo el campo vectorial F⃗ = (P, Q), se tiene que
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= −2.
Aplicando ahora el Teorema de Green para dominios múltiplemente conexos y obtener∮
γ
P (x, y)dx+Q(x, y)dy =
∫∫
R
(∂Q
∂x
(x, y)− ∂P
∂y
(x, y)
)
dA+
∮
γ1
P (x, y)dx+Q(x, y)dy︸ ︷︷ ︸
(∗)
donde γ1 es la circunferencia x
2 + y2 = ϵ2, con 0 < ϵ < 1/2, recorrida en sentido antihorario y R es la
región comprendida entre γ1 y γ, se tiene∫∫
R
(∂Q
∂x
(x, y)− ∂P
∂y
(x, y)
)
dA = −2
∫∫
R
dA = −2
( π√
2
− πϵ2
)
,
y en (∗) podemos aplicar el Teorema de Green para Dominios simplemente conexos, donde R1 es la
región encerrada por γ1. Entonces
(∗) =
∮
γ1
x+ yx2 + y3
ϵ2
dx+
y − y2x− x3
ϵ2
dy =
∮
γ1
P1dx+Q1dy
= − 4
ϵ2
∫∫
R1
(x2 + y2) dA
= −2πϵ2,
y aśı ∮
γ
x+ yx2 + y3
x2 + y2
dx+
y − y2x− x3
x2 + y2
dy = −
√
2π.
Problema 4. Sea L1 el segmento lineal que va desde el punto (1,−2) hasta el punto (−1, 0) y sea
L2 segmento lineal que va desde el punto (−1, 0) hasta el punto (1, 2). Use el teorema de Green para
calcular ∫
C
y
x2 + y2
dx− x
x2 + y2
dy, donde C = L1 ∪ L2
Solución:
Para usar el teorema de Green debemos cerrar la curva, para ello usaremos un segmento lineal
L3 que une el punto (1, 2) con el punto (1,−2)
Ahora la curva está cerrada, pero el campo F no está definido en (0, 0) que pertenece a la región
R cuya frontera es la curva cerrada L1 ∪ L2 ∪ L3. Asi que agreguemos una circunferencia Cε con un
radio pequeño de tal forma que no toque los segmentos lineales, como muestra la figura
Ayudant́ıa 7 de Matemática IV (MAT-024) 4
Orientando positivamente el borde de la región, tenemos:∫
L−1 ∪L
−
2 ∪L
−
3 ∪C
−
ϵ
F⃗ · dr⃗ =
∫∫
R
[
∂
∂x
(
− x
x2 + y2
)
− ∂
∂y
(
y
x2 + y2
)]
dA = 0,
donde L−3 es un camino recto que va desde (1,−2) hasta (1, 2), Cϵ tiene orientación positiva y R es la
región comprendida entre la circunferencia y el triángulo.
Es decir, ∫
L1∪L2
F⃗ · dr⃗ =
∫
L−3
F⃗ · dr⃗ +
∫
C−ϵ
F⃗ · dr⃗ =
∫
L−3
F⃗ · dr⃗ −
∫
Cϵ
F⃗ · dr⃗.
Calculemos
∫
L−3
F⃗ · dr⃗. Sea r⃗(t) = (1, 4t− 2) con t ∈ [0, 1] una parametrización de L−3 , entonces∫
L−3
F⃗ · dr⃗ =
∫ 1
0
(
4t− 2
1 + (4t− 2)2
,
−1
1 + (4t− 2)2
)
· (0, 4) dt =
∫ 1
0
−4
1 + (4t− 2)2
dt = −2 arctan(2).
Calculemos
∫
Cϵ
F⃗ ·dr⃗. Si r⃗(t) = (ε cos(t), ε sen(t)) con t ∈ [0, 2π] es una parametrización de Cε, entonces∫
Cϵ
F⃗ · dr⃗ =
∫ 2π
0
(
ε sen(t)
ε2
,
−ε cos(t)
ε2
)
· (−ε sen(t), ε cos(t))dt = −
∫ 2π
0
dt = −2π
Luego, ∫
L1∪L2
F⃗ · dr⃗ = −2 arctan(2) + 2π.
Adicional: Volver a resolver el problema anterior considerando ahora el campo
F⃗ (x, y) =
(
y
x2 + y2
, 2x− x
x2 + y2
)
.
Problema 5. Sea el campo vectorial F⃗ de clase C1 definido en en el dominio Ω = R2 − {(0, 0)}
F⃗ (x, y) =

(
− y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
si y ≥ 0,
(
− y
x2 + y
2
4
,
x
x2 + y
2
4
)
si y < 0,
a) Demuestre o refute si F⃗ es irrotacional en Ω.
b) Sea la curva C : x2 +
y2
4
= 1 orientada en sentido positivo. Calcule
∫
C
F⃗ · dr⃗
Solución:
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(a) Se comprueba que el campo vectorial F⃗ es irrotacional, tanto para y ≥ 0, como para y < 0.
(b) El campo F⃗ tiene singularidad sólo en el origen, por tanto la integral de ĺınea no va depender
de la curva seccionalmente suave que elijamos encerrando al origen. Para efectos de cálculo,
consideremos la curva
γ :
 γ1 : x
2 + y2 = 1 si y ≥ 0,
γ2 : x
2 +
y2
4
= 1 si y < 0,
y aśı ∫
γ
F⃗ · dr⃗ =
∫
γ1
F⃗ · dr⃗ +
∫
γ2
F⃗ · dr⃗ = π + 2π = 3π.
Se debe observar que si no se usa la curva que elegimos, el cálculo de la integral se complica para
y ≥ 0.