Pauta Certamen 1 sp - Alfredo Mallea (2)

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MATEMÁTICA - 024.
Pauta Certamen I
15/septiembre/2022
DATOS PERSONALES:
Apellido Paterno Apellido Materno Nombres
Rut Rol Firma
Paralelo Nombre del Profesor
INDICACIONES GENERALES:
Tiempo 70 minutos.
Escriba con lápiz pasta o tinta. Los desarrollos con lápiz grafito no tienen derecho a apelación.
Escriba con claridad y justifique cada uno de sus desarrollos.
No está permitido el uso de calculadoras, celulares ni hojas adicionales.
Quienes sean sorprendidos cometiendo actos de deshonestidad académica tendrán nota 0 en
esta prueba.
CALIFICACIÓN:
PREGUNTA
P1 P2 P3 P4 CALIFICACIÓN
(33 Pts) (33 Pts) (34 Pts) (-) CERTAMEN
PUNTAJE
1
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
Fórmula de Wallis
En el desarrollo de algún ejercicio podŕıan necesitar la siguiente fórmula.
Para n > 2 natural, se cumple:
π/2∫
0
senn(x) dx =
π/2∫
0
cosn(x) dx =

1 · 3 · · · · · (n− 1)
2 · 4 · · · · · n
· π
2
si n es par
2 · 4 · · · · · (n− 1)
1 · 3 · · · · · n
si n es impar
2
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
P1) [33 Pts] Sea a > 0 . Considere el disco D , de ecuación x2 + (y − a)2 ≤ a2 . La densidad
de masa por unidad de área en cualquier punto P del disco es igual a la distancia de P al origen
(0, 0) . Calcule:
(a) La masa del disco.
(b) El centro de masa del disco.
Solución:
(a) En coordenadas polares el disco es r ≤ 2a sen(θ) el cual es simétrico respecto del eje y .
Por otra parte la densidad de masa corresponde a δ(x, y, z) =
√
x2 + y2 la cual respeta la
simetŕıa del disco.
Luego la masa es:
m =
∫∫
x2+y2≤2ay
√
x2 + y2 dA = 2
π/2∫
0
2a sen(θ)∫
0
r2 dr dθ
=
2
3
π/2∫
0
8a3 sen3(θ) dθ =
32a3
9
.
(b) Por la simetŕıa del disco y de la densidad de masa se tiene x̄ = 0 .
Por otra parte:
Mx =
∫∫
D
y
√
x2 + y2 dA = 2
π/2∫
0
2a sen(θ)∫
0
r3 sen(θ) dr dθ
3
=
1
2
π/2∫
0
16a4 sen5(θ) dθ =
64a4
15
.
Por lo tanto las coordenadas del centro de masa son (x̄ , ȳ) =
(
0 ,
6a
5
)
.
4
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
P2) [33 Pts] Considere el sólido acotado por las superficies z = 0 , y + z = 3 , x2 + y2 = 2x y
x2 + y2 = 4x . Calcule ∫∫∫
Ω
z dV .
Solución:
En coordenadas ciĺındricas se tiene:
x2 + y2 = 2x ↔ r = 2 cos(θ)
x2 + y2 = 4x ↔ r = 4 cos(θ)
y + z = 3 ↔ z = 3− r sen(θ)
con −π
2
≤ θ ≤ π
2
.
Luego
∫∫∫
Ω
z dV =
π/2∫
−π/2
4 cos(θ)∫
2 cos(θ)
3−r sen(θ)∫
0
zr dz dr dθ
=
π/2∫
−π/2
4 cos(θ)∫
2 cos(θ)
1
2
(3− r sen(θ))2r dr dθ = 1
2
π/2∫
−π/2
4 cos(θ)∫
2 cos(θ)
(
9r − 6r2 sen(θ) + r3 sen2(θ)
)
dr dθ
5
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
=
1
2
π/2∫
−π/2
(
9
2
r2 − 2r3 sen(θ) + 1
4
r4 sen2(θ)
) ∣∣∣∣ 4 cos(θ)
2 cos(θ)
dθ
=
π/2∫
0
(
54 cos2(θ) + 60 cos4(θ) sen2(θ)
)
dθ =
123π
8
.
6
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
P3) [34 Pts] Sea D el sólido determinado por las ecuaciones
1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ,
√
x2 + y2 ≤ z , y ≥ 0
Calcule la integral
∫∫∫
D
dV
(x2 + y2 + z2)3/2 + 1
.
Solución:
En coordenadas esféricas el sólido queda expresado como
1 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π
4
, 0 ≤ θ ≤ π
La integral queda
∫∫∫
D
dV
(x2 + y2 + z2)3/2 + 1
= 2
π∫
0
π/4∫
0
2∫
1
ρ2 sen(ϕ)
ρ3 + 1
dρ dϕ dθ
= 2
π∫
0
dθ ·
π/4∫
0
sen(ϕ) dϕ ·
2∫
1
ρ2
ρ3 + 1
dρ
= 2π
(
1−
√
2
2
)
1
3
ln
(
9
2
)
7
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Certamen 1 - MAT024
(hoja en blanco para calculos. No retirar)
8