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FÍSICA
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1. O que é Mecânica
Mecânica é a ciência que es tu da
os movimentos.
Por razões didáticas, a Mecânica
cos tuma ser dividida em três ca pí tu los:
I. Cinemática
II. Dinâmica 
III.Estática
A Cinemática é a descrição geo -
métrica do movimento por meio de
funções matemáticas, isto é, é o equa -
cionamento do movimento.
Na Cinemática, usamos apenas os
conceitos da Geometria as so cia dos à
ideia de tempo; as grandezas fun -
damentais utilizadas são apenas o
comprimento (L) e o tempo (T).
A Dinâmica investiga os fatores
que produzem ou alteram os mo vi -
men tos; traduz as leis que ex pli cam
os movimentos.
Na Dinâmica, utilizamos como
gran dezas fundamentais o compri-
men to (L), o tempo (T) e a massa (M).
A Estática é o estudo das condi -
ções de equilíbrio de um corpo.
2. Ponto Material ou Partícula
Ponto material (ou par tí cu la) é
um corpo de tamanho des pre zí vel em
comparação com as dis tân cias
envolvidas no fenômeno es tu da do.
Quando as dimensões do corpo
são relevantes para o equa cio na men to
de seu movimento, ele é cha ma do de
corpo extenso.
Exemplos
(I) Um automóvel em uma via -
gem de São Paulo ao Rio de Janeiro
(dis tân cia de 400km) é tratado como
pon to material, isto é, o seu ta ma nho
não é importante no equa cio na mento
de seu movimento.
(II) Um automóvel fazendo ma -
no bras em uma garagem é tratado co -
mo corpo extenso.
(III) Um atleta disputando a cor ri -
da de São Silvestre (extensão de
15km) é tratado como ponto ma te rial.
(IV) Um bailarino executando pi -
rue tas é tratado como corpo ex ten so.
(V) O planeta Terra em seu mo -
vimento de translação em torno do
Sol é tratado como ponto ma terial.
(VI) O planeta Terra em seu mo -
vi mento de rotação é tratado como
cor po extenso.
Quando se estuda a rotação de
um corpo, suas dimensões não são
des prezíveis e o corpo é sempre tra -
tado como corpo extenso.
Ponto material tem ta ma nho
desprezível, porém sua mas sa não
é desprezível.
3. Posição de 
um Ponto Material
A posição de um ponto material é
definida pelas suas coordenadas car -
tesianas (x, y, z).
O conjunto de eixos Ox, Oy e Oz,
de mesma origem O e per pen di cu la -
res entre si, é chamado sistema car -
 te siano triortogonal.
Se o ponto material estiver sem -
pre no mesmo plano, sua posição po -
derá ser definida por apenas duas co -
 or denadas cartesianas: x e y.
Se o ponto material estiver sem -
pre na mesma reta, sua posição po de -
rá ser definida por uma única
co or de na da cartesiana: x.
4. Referencial ou Sistema de
Referência
O sistema cartesiano triortogonal
deve ser fixado em um local, em rela-
ção ao qual pretendemos estudar a
posição do ponto material.
Esse local é chamado siste ma de
referência ou referen cial.
Quando o referencial for omitido, va -
mos assumi-lo como su per fície ter restre.
5. Repouso – Movimento
Repouso e movimento são con -
 ceitos relativos, isto é, dependem do
referencial adotado.
Não existe repouso absoluto nem
movimento absoluto.
Uma partícula está em re pou so,
para um dado re fe ren cial, quan do
sua posição per ma nece invariável,
is to é, as três coorde nadas cartesia -
nas (x, y e z) perma necem cons tan -
 tes no decurso do tem po.
Uma partícula está em mo vi -
mento, para um dado re fe ren cial,
quando sua posição va ria no decur -
so do tempo, is to é, pe lo menos
uma das co or de na das cartesianas
está va riando.
Exemplos
(I) Considere um carro em uma
rua e um poste. O velocímetro do car -
ro marca 100km/h. O motorista do car -
 ro está em repouso ou em
mo vi men to? A resposta correta é: de -
pen de do referencial.
Se o referencial for a superfície ter -
Mecânica
MÓDULO 1 Fundamentos da Cinemática
FRENTE 1
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 res tre, o poste estará em repouso e o
mo torista estará em movimento a
100km/h.
Se o referencial for o carro, o moto -
 rista estará em repouso e o poste
estará em movimento a 100km/h.
(II) Considere um avião em ple no
voo e um passageiro dormindo em
uma poltrona. 
Se o referencial for o avião, o pas -
sageiro estará em repouso, e, se o re -
fe rencial for a superfície terrestre, o
passageiro estará em movimento.
6. Trajetória
Trajetória de um ponto ma te rial é
o lugar geométrico das po si ções ocu -
 padas pelo ponto material no de cur so
do tempo, isto é, é a união de todas as
posições por onde o ponto ma terial
passou.
P1: posição no instante t1
P2: posição no instante t2
•
•
•
Pn: posição no instante tn
A linha geométrica P1, P2, ...., Pn
(união de todas as posições por onde
o ponto material passou) é a trajetória
do ponto material.
Para uma trajetória plana, a equa -
ção da trajetória é a equação que
relaciona as coordenadas car te sia nas
x e y entre si.
Se o ponto material estiver em re-
pouso, ele ocupará uma única po si ção
no espaço, e a sua trajetória se
reduzirá a um ponto.
Como a trajetória está ligada ao
con ceito de posição, concluímos que:
Exemplo
Considere um avião voando em li -
nha reta, paralela ao solo horizontal,
com velocidade constante de inten si -
da de 500km/h, em um local onde o
efei to do ar é desprezível.
Num dado instante, o avião aban -
do na uma bomba.
Qual a trajetória descrita pela
bom ba?
• Para um referencial ligado ao
avião, a bomba terá apenas a queda
vertical provocada pela ação da gra-
vidade e sua trajetória será um seg -
mento de reta vertical.
• Para um referencial ligado à su -
 perfície terrestre, a bomba terá dois
movimentos simultâneos:
(1)movimento horizontal para
fren te com a mesma velocidade do
avião (500km/h), mantido graças a
uma propriedade chamada inércia;
(2)movimento de queda ver ti cal
provocado pela ação da gra vi dade.
A superposição destes dois mo vi -
 mentos origina uma trajetória pa ra -
bólica.
• Para um referencial ligado à
pró pria bomba, ela está em repouso e
sua trajetória será um ponto.
7. Espaço (s)
Considere uma trajetória orien ta -
da e um ponto O, es co lhido arbi tra ria -
mente como refe rên cia.
Seja A a po sição do pon to ma te rial
em um ins tan te t.
Define-se es paço (s), no ins tan te
t, como a medida al gé bri ca (leva em
conta o sinal) do arco de trajetória OA.
O espaço (s) indica apenas onde
está o móvel na trajetória, isto é, o es -
pa ço é um indicador da posição do
mó vel.
O espaço não indica a dis tância
que o móvel percorreu, mas apenas
o lo cal onde ele se encontra.
O espaço pode ser positivo (pon to
A), negativo (ponto B) ou nu lo (pon -
 to O).
O ponto de referência (O) é de no -
minado origem dos es pa ços.
Dizer que o espaço (s) é nu lo,
num dado instante, sig ni fica ape nas
que, naquele ins tante, o móvel está
posicio nado na origem dos espaços.
8. Função Horária 
dos Espaços: s = f(t)
Quando um ponto material está
em repouso, o seu espaço per ma ne -
ce constante, podendo ser igual a ze -
ro (parado na origem dos espa ços) ou
diferente de zero (parado fora da ori -
gem dos espaços).
Quando um ponto material está
em movimento, o seu espaço (s) va ria
com o instante (t).
A função que relaciona o espaço (s)
com o tempo (t) é denominada fun ção
horária dos espaços ou, sim plesmente,
equação horária do mo vimento,
denominação equi vo ca da, pois trata-se
de uma função, e não de uma equação.
Quando a equação horária é do
1.° grau, temos o movimento chama do
uni forme.
Quando a equação horária é do
2.° grau, temos o movimento cha mado
uniformemente variado.
Exemplos
Movimentos Uniformes
(1)s = 2,0 + 5,0t (Sl)
(2)s = 4,0t (Sl)
Movimentos Uni forme mente
Variados
(3)s = – 3,0 + 8,0t – 5,0t2 (Sl)
(4)s = 4,0 + 2,0t2 (Sl)
(Sl) – Sistema Inter na cio nal de
Unidades: o tempo (t) é me di do em
segundos; o espaço (s) é me dido em
metros.
A trajetória depende
do referencial adotado.C1_3a_serie_DCH_LARANJA_FISICA_Carlos_2023.qxp 01/12/2022 09:28 Página 2
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9. Espaço Inicial (s0) 
Denomina-se origem dos tem pos, instante inicial ou instante de re ferência o instante t = 0.
Na origem dos tempos, o móvel ocupa uma posição (P0), que é de fi ni da por um espaço (s0) denominado es paço
inicial.
Observe que o espaço inicial (s0) indica apenas onde está o móvel no instante t = 0.
Nas equações de (1) a (4) cita das, o espaço inicial va le, respectiva men te:
(1) s0 = 2,0m; (2) s0 = 0; (3) s0 = – 3,0m; (4) s0 = 4,0m.
Um instante t positivo significa pos terior à origem dos tempos, e um ins tante t negativo significa anterior à origem
dos tempos.
Não se pode confundir a origem dos tempos (instante t = 0) com a ori gem dos espaços (posição em que 
s = 0).
Quando o espaço inicial é nulo (s0 = 0), então, na origem dos tem pos (t = 0), o móvel está posicionado na origem
dos espaços (s = 0).
1. Um carro fúnebre desloca-se em linha reta com velocidade
constante 
→
V , em relação ao solo terrestre, sendo seguido por um
conjunto de quatro carros que se deslocam ao longo da mesma reta
com a mesma velocidade do carro fúnebre.
É correto afirmar que:
a) Devemos ter necessariamente d0 = d1 = d2 = d3
b) O cadáver está em repouso
c) Os carros estão em movimento
d) O cadáver está em movimento em relação aos carros A, B, C e D
e) O cadáver está em repouso em relação a qualquer um dos carros,
porém está em movimento em relação ao solo terrestre
RESOLUÇÃO:
a) (F) As distâncias permanecem constantes porém não são
necessariamente iguais
b) (F)
c) (F) Os conceitos de repouso e movimento são relativos, isto é,
dependem do referencial adotado
d) (F) Em relação aos carros o cadáver está em repouso
e) (V)
Resposta: E
2. Considere um referencial R e um sistema de coor de nadas car -
tesianas de posição (x, y, z) fixo em R.
Descreva o que ocorre com uma partícula quando
a) x, y e z forem constantes.
b) z for constante e x e y forem variáveis.
c) x e y forem constantes (não nulas) e z variável.
RESOLUÇÃO:
a) A partícula estará em repouso.
b) A partícula estará em movimento em um plano paralelo ao
plano (xy).
c) A partícula estará em movimento ao longo de uma reta paralela
ao eixo z.
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3. (MODELO ENEM) – Considere um trem movendo-se em trajetória
retilínea e horizontal com velocidade constante.
Uma pessoa A parada em relação ao trem abandona uma pequena
esfera de uma altura H acima do piso do trem. Despreze o efeito do ar.
Considere uma pessoa B parada em relação ao solo terrestre e uma
pessoa C correndo no solo terrestre paralelamente ao movimento do
trem e com velocidade constante igual à do trem.
Assinale a opção que representa corretamente a forma da trajetória da
esfera em relação aos observadores A, B e C
RESOLUÇÃO:
1) A esfera mantém, por inércia, uma velocidade horizontal igual
à do trem e, portanto, em relação a A e a C, a trajetória é
retilínea e vertical.
2) Em relação a B, a esfera tem um movimento horizontal mantido
por inércia e um movimento vertical sob ação da gravidade
originando uma trajetória parabólica.
Resposta: D
4. Uma partícula descreve uma trajetória circular de comprimento 
C = 80,0m partindo da posição A no instante t = 0 e movendo-se no
sentido horário.
A função horária dos espaços no movimento da partícula é dada pela
relação:
Determine
a) a posição da partícula no instante t1 = 2,0s.
b) o instante t2 em que a partícula completa uma volta pela primeira
vez.
RESOLUÇÃO:
a) t1 = 2,0s ⇒ s1 = 5,0 . (2,0)
2 (m) ⇒
A partícula percorreu um quarto de volta e está posicionada em
B.
b) Para uma volta completa, temos:
s2 = 80,0m
80,0 = 5,0t2
2
t2
2 = 16,0 (SI)
Respostas: a) posição B
b) t2 = 4,0s
s = 5,0t2 (SI) válida para t � 0
s1 = 20,0m
t2 = 4,0s
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A1. Velocidade Escalar Média
A palavra escalar significa ape nas
que não há envolvimento de di re ção;
escalar é o oposto da expressão ve -
torial.
Sejam:
P1 = posição no instante t1, de fi -
ni da pelo espaço s1.
P2 = posição no instante t2, defi -
ni da pelo espaço s2.
�s = s2 – s1 = variação de es pa ço.
�t = t2 – t1 = intervalo de tempo.
Define-se velocidade escalar
média (Vm), entre os instantes t1 e t2
(ou entre as posições P1 e P2), pela
relação:
Notas
(1)O valor absoluto de �s só re -
presenta a distância que o móvel
percorreu, se o móvel não inverter o
sentido de seu movimento.
(2)Se o móvel avançar e, em se -
guida, recuar, voltando ao ponto de
partida, seguindo a mesma tra je tó ria,
então �s = 0 e Vm = 0.
(3)Se o móvel voltar ao ponto de
partida, através de uma trajetória fe -
chada, sem inverter o sentido de seu
movimento, então �s não será nu lo, e
sim igual à distância per cor ri da. Se,
por exemplo, a trajetória fe cha da for
uma circunferência, per cor rida sem pre
no mesmo sen ti do, ao com pletar uma
volta te re mos �s = 2πR em que R é o
raio da cir cun ferência des crita.
(4)A velocidade escalar média tra -
duz a velocidade escalar cons tan te
que o móvel deveria ter para partir da
mesma posição inicial e chegar à
mesma posição final, no mesmo in ter -
va lo de tempo �t, com o mesmo
deslocamento escalar.
2. Unidades de Velocidade
• No Sistema Internacional, temos:
u(L) = metro (m)
u(T) = segundo (s)
• No Sistema CGS (centímetro-gra -
ma-segundo), temos: 
u(L) = centímetro (cm)
u(T) = segundo (s)
• Unidade prática: 
u(L) = quilômetro (km)
u(T) = hora (h)
• Relações:
3. Equação Dimensional 
da Velocidade
Na Cinemática, adotamos como
gran dezas fundamentais o com pri -
men to (L) e o tempo (T).
Qualquer grandeza da Cine má ti ca
pode ser escrita em função de L e T.
Denomina-se equação dimen sio -
nal de uma grandeza cinemática G a
sua expressão em função das
grandezas fundamentais L e T.
A equação dimensional é simboli -
zada por um colchete.
[G] lê-se: equação dimensional
de G.
Sendo [ G ] = Lx Ty, os expoen tes
x e y são cha mados de dimen sões de G
em relação a L e a T, res pec ti va men te.
A velocidade tem equação di men -
 sional dada por:
As dimensões da velocidade são:
1 em relação ao comprimento e –1 em
relação ao tempo.
4. Velocidade Escalar Instantânea
A velocidade escalar instantânea
tra duz a rapidez de movimento, isto é,
a rapidez com que a posição (es pa ço)
varia no decurso do tempo.
Uma grande velocidade escalar
significa movimento rápido, pequena
velo cidade escalar significa mo vi men -
to lento e velocidade escalar nula
significa que não há movimento.
Admitamos que se pretenda cal -
cu lar a velocidade escalar de um mó -
vel, em um instante t, em que ele
pas sa por uma posição P de sua traje -
tó ria.
�s s2 – s1
Vm = –––– = ––––––––
�t t2 – t1
m
u(V) = –––– = m . s
–1
s
cm
u(V) = ––––– = cm . s
–1
s
km
u(V) = –––– = km . h
–1
h
km 1000m 1 m
1 ––––– = –––––––– = –––– ––––
h 3600s 3,6 s
m cm
1 –––– = 102 –––––
s s
[�s] L 
[V] = –––––– ⇔ [V] = –––– 
[�t] T
[V] = LT –1
MÓDULO 2 Velocidade Escalar
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Para tanto, calculamos sua velo ci dade escalar média
entre a posição P (instante t) e a posição P’ (instante 
t + �t).
Se fizermos o intervalo de tempo �t ir diminuindo e
tendendo a zero (�t → 0), o valor da velocidade es ca-
�s
lar média �Vm = –––– � vai tender para o valor da veloci-�t
dade escalar no ins tante t, isto é:
A velocidade escalar ins tan tânea é o limite para
onde ten de a velocidade escalar mé dia, quando o
intervalo de tem po considerado tende a ze ro.
O cálculo desse limite é uma fun-ção matemática
chamada deri va ção.
ds
Escreve-se V = –––– e lê-se: 
dt
A velocidade escalar é a de ri va da do espaço em
rela ção ao tem po.
5. Derivada de uma Função Polinomial
Calculemos, em um caso par ti cu lar, a derivada de
umafunção po li no mial para, por meio de uma in du ção
vulgar, apresentarmos a regra ge ral para a derivação de
uma fun ção polinomial de grau n.
Consideremos a função horária dos espaços:
s = 2,0t2 + 8,0t + 2,0 (SI)
Em um instante t, o espaço vale s.
Em um instante t’ = t + �t, o es pa ço vale s’.
Calculemos a velocidade escalar média entre os
instantes t e t’:
s’ = 2,0 (t + �t)2 + 8,0(t + �t) + 2,0
s’ = 2,0t2 + 4,0t �t + 2,0 (�t)2 + 8,0t + 8,0 �t + 2,0
s’ = 2,0t2 + (4,0t + 8,0) �t + 2,0 (�t)2 + 8,0t + 2,0
�s = s’ – s = (4,0t + 8,0) �t + 2,0 (�t)2
�s
Vm = –––– = 4,0t + 8,0 + 2,0 �t�t
Quando �t tende a zero, o resul tado é:
(SI)
Portanto:
1) a derivada de 2,0t2 é 4,0t;
2) a derivada de 8,0t é 8,0;
3) a derivada de uma constante (2,0) é zero.
Por meio de uma indução vulgar, con cluímos:
1) a derivada de atn é natn – 1 (com a e n constantes);
2) a derivada de bt é b (com b constante);
3) a derivada de qualquer cons tante é nula.
Assim, para s = atn + bt + c com a, b, c e n cons -
tantes, temos:
6. Exemplos
(I) s = 5,0t3 + 8,0t2 – 9,0t + 10,0 (SI)
ds
V = –––– = 15,0t2 + 16,0t – 9,0 (SI)
dt
(II) s = – 3,0t2 + 1,0t – 8,0 (SI)
ds
V = –––– = – 6,0t + 1,0 (SI)
dt
(III) s = – 4,0 + 2,0t (SI)
ds
V = –––– = 2,0m/s (constante)
dt
�s
V = lim Vm = lim –––––�t
�t → 0 �t → 0
V = 4,0t + 8,0
ds
V = –––– = n atn – 1 + b
dt
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A1. (PUCC-2022-MODELO ENEM) – Num grupo de idosos foi feita
uma avaliação física na qual um dos testes era percorrer, correndo e/ou
andando, uma pista circular de 60m, dando o máximo de voltas possível
num intervalo de tempo pré-determinado. Um atleta da terceira idade,
correndo, percorre a pista em 25 segundos e, andando, em 40 segun -
dos. A diferença entre as velocidades escalares médias desse atleta,
correndo e andando, é, em metros por segundo, de: 
a) 3,9 b) 2,4 c) 1,5 d) 1,1 e) 0,9 
RESOLUÇÃO:
Vm = 
V1 = e V2 =
V1 – V2 = d � – � = d 
V1 – V2 = 60 . (m/s)
V1 – V2 = (m/s)
Resposta: E
2. Um móvel percorre a trajetória ABC, indicada na figura,
caminhando sempre no mesmo sentido e sem parar.
No trajeto de A para B a velocidade escalar média do móvel vale V1 e
no trajeto de B para C vale V2.
Determine a velocidade escalar média entre A e C, em função de V1 e
V2 nos seguintes casos:
a) o tempo gasto de A para B é igual ao tempo gasto de B para C.
b) a distância percorrida de A para B é igual à distância percorrida de B
para C.
RESOLUÇÃO:
a) 1) V1 = e V2 = 
2) Δs1 = V1T e Δs2 = V2T
3) Vm = = ⇒
(média aritmética)
b) 1) V1 = e V2 = 
2) T1 = e T2 = 
3) T = T1 + T2 = + = 
4) Vm = = 2d . 
(média harmônica)
Respostas: a) b)
Δs
––––
Δt
d
––––
T1
V1 – V2 = 0,9m/s
d
––––
T2
1
––––
T1
1
––––
T2
(T2 – T1)
––––––––
T1 T2
(40 – 25)
––––––––
40 . 25
60 . 15
––––––––
40 . 25
Δs1 + Δs2
––––––––––
2T
V1T + V2T
––––––––––
2T
V1 + V2
Vm = ––––––––––
2
d
––––
T1
d
––––
T2
d
––––
V1
d
––––
V2
d
––––
V1
d
––––
V2
dV2 + dV1
––––––––––––
V1 V2
d (V2 + V1)
T = –––––––––––
V1 V2
Δs
––––
Δt
V1 V2
–––––––––
d(V1 + V2)
2 (V1 V2)
Vm = ––––––––––
V1 + V2
V1 + V2
Vm = ––––––––––
2
2 V1 V2
Vm = ––––––––––
V1 + V2
Δs2
––––
T
Δs1
––––
T
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3. Uma partícula descreve uma trajetória retilínea e sua coordenada
de posição x varia com o tempo t conforme a relação: 
A partícula passa pelas posições que correspondem aos pontos de
inversão de movimento nos instantes t1 e t2 tais que:
a) t1 = 1,0s e t2 = 2,0s b) t1 = 1,0s e t2 = 5,0s
c) t1 = 2,0s e t2 = 6,0s d) t1 = 4,0s e t2 = 5,0s
e) t1 = 0 e t2 = 5,0s
RESOLUÇÃO:
1) V = = 3,0 t2 – 18,0 t + 15,0 (SI)
2) Pontos de inversão: V = 0
3,0 t2 – 18,0 t + 15,0 = 0
1,0 t2 – 6,0 t + 5,0 = 0 
Resposta: B
4. Um projétil é lançado verticalmente para cima, a par tir do solo
terrestre, e sua altura h varia com o tempo de movimento t, de acordo
com a relação:
Determine
a) o instante T em que o projétil volta ao solo.
b) o tempo de subida TS.
b) as velocidades escalares nos instantes t1 = 2,0s e t2 = 4,0s.
RESOLUÇÃO:
a) t = T ⇔ h = 0
0 = 30,0T – 5,0T2
5,0T2 = 30,0T
5,0T = 30,0 ⇒
b) 1) V = = 30,0 – 10,0t (SI)
2) V = 0 ⇒ 0 = 30,0 – 10,0 TS
10,0 TS = 30,0 ⇒
c) V = 30,0 – 10,0t (SI)
1) t1 = 2,0s ⇔ V = V1
V1 = 30,0 – 10,0 . 2,0 (SI)
V1 = 30,0 – 20,0 (SI)
V1 = 10,0 m/s (subindo)
2) t2 = 4,0s ⇔ V = V2
V2 = 30,0 – 10,0 . 4,0 (SI)
V2 = 30,0 – 40,0 (SI)
V2 = –10,0 m/s (descendo)
O fato de ⎥V1⎥ = ⎥V2⎥ indica que a altura do projétil nesses dois
instantes é a mesma.
Respostas:a) T = 6,0s
b) TS = 3,0s
c) V1 = 10,0m/s (subindo)
V2 = –10,0m/s (descendo)
x = 1,0 t3 – 9,0 t2 + 15,0 t + 5,0 (SI)
dx
––––
dt
t1 = 1,0s
t2 = 5,0s
h = 30,0t – 5,0t2 (SI)
T = 6,0s
ds
–––
dt
TS = 3,0s
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A1. Aceleração Escalar Média (�m)
Sejam:
V1 = velocidade escalar no instante t1
V2 = velocidade escalar no instante t2
Define-se aceleração esca lar
média (�m), entre os instantes t1 e t2,
pela relação:
2. Aceleração Escalar Instantânea
A aceleração escalar instantânea
traduz a rapidez com que a velo ci da de
escalar varia no decurso do tem po,
isto é, traduz “a velocidade” da ve lo -
cidade.
Uma grande aceleração escalar si -
g nifica que a velocidade escalar va ria
rapidamente, uma pequena ace -
 leração escalar significa que a ve lo -
cidade escalar varia lentamente e
aceleração escalar nula significa que a
velocidade escalar não varia.
A aceleração escalar ins tan tânea
é o limite para o qual ten de a
aceleração escalar mé dia, quando o
intervalo de tem po considerado
tende a ze ro.
Portanto:
A aceleração escalar (ins tan tâ -
nea) é a derivada da ve lo cidade es -
ca lar (instan tâ nea) em relação ao
tem po.
Exemplos
3. Unidades de Aceleração
• No Sl:
• No CGS:
 
• Relação entre as unidades:
4. Equação Dimensional 
da Aceleração
A aceleração tem dimensão 1 em
re lação ao comprimento e dimen -
são –2 em relação ao tempo.
5. Relações entre as 
Grandezas Cinemáticas
s indica a posição do móvel (local).
V traduz a rapidez de movimento.
� traduz a rapidez com que a velo ci -
dade escalar varia.
�V V2 – V1
�m = –––– = –––––––––
�t t2 – t1
�V
� = lim �m = lim ––––�t
�t → 0 �t → 0
dV
� = –––––
dt
s = 2,0t3 + 4,0t2 – 7,0t + 10,0 (SI)
ds
V = –––– = 6,0t2 + 8,0t – 7,0 (Sl)
dt
dV
� = –––– = 12,0t + 8,0 (Sl)
dt
s = 10,0 + 20,0t – 3,0t2 (SI) 
ds
V = –––– = 20,0 – 6,0t (Sl)
dt
� = – 6,0 m/s2 (constante)
u(V) m/s
u(�) = ––––– = –––––u(t) s
m
u(�) = –––– = m . s
–2
s2
u(V) cm/s
u(�) = ––––– = ––––––u(t) s
cm
u(�) = –––– = cm . s
–2
s2
m cm
1 –––– = 102 –––––
s2 s2
[�V] LT–1
[�] = ––––– ⇔ [�] = ––––– 
[�t] T
[�] = LT–2
s = f(t)
Vm = ––––
�s
�t
V = ––––
ds
dt
(veloc. média) (veloc. instantânea)
�m = ––––
�V
�t
� = ––––
dV
dt
(acel. média) (acel. instantânea)
(eq. horária)
MÓDULO 3 Aceleração Escalar e Classificação dos Movimentos
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3. Classificação dos Movimentos
1.° Critério
Quanto à equação horária:
• 1.° grau: movimento uni for me
• 2.° grau: movimento uni for me men te varia do
2.° Critério
Quanto ao sentido de mo vi men to (sinal da
velocidade es calar):
• V > 0: movimento pro gres sivo
• V < 0: movimento retró gra do
3.° Critério 
Quanto ao módulo da velo ci dade:
• I V I aumenta: mo vi men to ace le rado 
(V . � > 0) 
• I V I diminui: movimento re tar da do 
(V . � < 0) 
• I V I constante: mo vi men to uni for me 
(� = 0)
a) Propriedades do gráfico espaço x tempo
(I) A velocidade escalar é posi tiva quando o espaço
for crescente (0 ≤ t < t1 e t3 < t ≤ t4).
(II) A velocidade escalar é ne gativa quando o
espaço for decres cente (t1 < t < t3).
(III) A aceleração escalar épo si ti va quando o arco de
parábola tiver con cavidade voltada para cima (t2 < t < t4).
(IV) A aceleração escalar é ne ga tiva quando o arco
de parábola ti ver concavidade voltada para baixo 
(0 < t < t2).
b) Propriedades do gráfico 
velocidade escalar x tempo
(I) A velocidade escalar é po si ti va quando o gráfico
estiver acima do eixo dos tempos (0 ≤ t < t1 e t3 < t ≤ t4).
(II) A velocidade escalar é ne ga tiva quando o
gráfico estiver abai xo do eixo dos tempos (t1 < t < t3).
(III) A aceleração escalar é po sitiva quando a
velocidade escalar for crescente (t2 < t < t4).
(IV) A aceleração escalar é ne gativa quando a
velocidade escalar for decrescente (0 < t < t2).
Nos intervalos de tempo des ta ca dos no gráfico,
temos as seguintes clas sificações:
1) Para 0 < t < t1:
a) Movimento Unifor memente Va riado 
b) Movimento Pro gres sivo (V > 0)
c) Movimento Retar da do (V > 0 e � < 0)
2) Para t1 < t < t2:
a) Movimento Unifor memente Varia do
b) Movimento Retró grado (V < 0)
c) Movimento Acelerado (V < 0 e � < 0)
3) Para t2 < t < t3:
a) Movimento Unifor memente Va ria do
b) Movimento Retró grado (V < 0)
c) Movimento Retar da do (V < 0 e � > 0)
4) Para t3 < t < t4:
a) Movimento Unifor memente Va riado
b) Movimento Pro gres sivo (V > 0)
c) Movimento Acele rado (V > 0 e � > 0)
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1. (VUNESP-UNIFIMES-2022-MODELO ENEM) – Durante uma
competição em um autódromo, um carro de corrida entrou em uma reta
com velocidade escalar de 144 km/h e, após 7,5 s, chegou ao final da
reta com velocidade escalar de 252 km/h. A aceleração escalar média
desse carro de corrida nessa reta foi de
a) 2,5 m/s2 b) 4,0 m/s2 c) 6,0 m/s2
d) 8,6 m/s2 e) 14,4 m/s2
RESOLUÇÃO:
1) V0 = 144 = m/s = 40,0 m/s
2) Vf = 252 = m/s = 70,0 m/s
3) �m = = 
Resposta: B
2. (MODELO ENEM) – Considere uma estrada retilínea orientada
para direita conforme indica a figura. 
Um carro A desloca-se para direita e o seu velocímetro dá indicações
decrescentes. 
Um outro carro B desloca-se para esquerda e o seu velocímetro dá
indicações crescentes. 
Complete as lacunas a seguir e escolha a opção correta. 
O movimento de A é (progressivo ou retrógrado), e
(acelerado ou retardado) e sua aceleração escalar é
(positiva ou negativa). 
O movimento de B é (progressivo ou retrógrado) e
(acelerado ou retardado) e sua aceleração escalar é
(positiva ou negativa). 
RESOLUÇÃO: 
A: VA > 0 (progressivo); ⎥VA⎥ diminui (retardado); VA > 0 ⇔ �A < 0
B: VB < 0 (retrógrado); ⎥VB⎥ aumenta (acelerado); VB < 0 ⇔ �B < 0
Resposta: A
144
––––
3,6
km
––––
h
252
––––
3,6
km
––––
h
m
–––
s2
70,0 – 40,0
–––––––––––
7,5
ΔV
––––
Δt
�m = 4,0 m/s
2
lacuna 1
.........................
lacuna 2
.........................
lacuna 3
.........................
lacuna 4
.........................
lacuna 5
.........................
lacuna 6
.........................
lacuna 1 lacuna 2 lacuna 3 lacuna 4 lacuna 5 lacuna 6 
a) progressivo retardado negativa retrógrado acelerado negativa 
b) progressivo acelerado positiva retrógrado retardado negativa 
c) retrógrado retardado positiva progressivo acelerado positiva 
d) retrógrado acelerado negativa retrógrado retardado positiva 
e) progressivo acelerado negativa retrógrado acelerado negativa 
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3. O gráfico a seguir representa a coordenada de posição (espaço)
em função do tempo para uma partícula que descreve uma trajetória
retilínea.
O gráfico tem a forma de um arco de parábola.
a) Classifique o movimento no instante t = t1.
b) Indique o que ocorre no instante t = t2.
c) Classifique o movimento no instante t = t3.
RESOLUÇÃO:
No gráfico s = f (t), temos:
1) A concavidade da parábola indica o sinal da aceleração escalar:
concavidade para cima ⇔ � > 0
concavidade para baixo ⇔ � < 0
2) O fato de o espaço ser crescente ou decrescente indica o sinal
da velo cidade escalar.
Espaço crescente ⇔ V > 0
Espaço decrescente ⇔ V < 0
a) t = t1 progressivo e retardado
b) t = t2⇒V = 0, ponto de inversão do movimento 
c) t = t3 retrógrado e acelerado
4. Um carro descreve uma trajetória retilínea e sua velocidade escalar
V varia com o tempo t conforme o gráfico a seguir, formado por dois
arcos de parábola com vértices nos instantes t1 e t3.
0 → t1: trecho I
t1 → t2: trecho II
t2 → t3: trecho III
t3 → t4: trecho IV
a) Quanto vale a aceleração escalar nos instantes t1 e t3? 
b Classifique o movimento nos trechos I, II, III e IV.
RESOLUÇÃO: 
a) Quando uma função é máxima (instante t1) ou mínima (ins tante
t3) a sua derivada é nula e, portanto: 
b) 1) A velocidade escalar será positiva ou negativa conforme o
gráfico esteja acima ou abaixo do eixo dos tempos. 
2) A aceleração escalar será positiva ou negativa conforme a
velocidade escalar seja crescente (trechos I e IV) ou
decrescente (trechos II e III).
3) O movimento será acelerado ou retardado conforme o módu -
lo da velocidade aumente (trechos I e III) ou diminua (trechos
II e IV) .
trecho I � � progressivo e acelerado
trecho II � � progressivo e retardado
trecho III � � retrógrado e acelerado
trecho IV � � retrógrado e retardado
� V > 0� < 0 �
� V < 0� < 0 �
�1 = �3 = 0
V > 0
� > 0
V > 0
� < 0
V < 0
� < 0
V < 0
� > 0
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A1. Definição
Um movimento é chamado uni for -
me quando a relação espaço-tem po é do
1.° grau, isto é, da forma:
em que A e B são parâmetros cons -
tan tes, com B � 0.
2. Parâmetro A
Para t = 0 (origem dos tempos),
temos s0 = A e, portanto, o parâmetro
A representa o espaço inicial.
3. Parâmetro B
A velocidade escalar V é dada por:
ds
V = –––– = 0 + B
dt
O parâmetro B representa a ve lo -
 ci dade escalar.
4. Propriedades do Movimento
Uniforme
• Equação horária dos espaços:
• A velocidade escalar média é
igual à velocidade escalar instan tâ nea,
é constante e diferente de zero:
• A aceleração escalar média é
igual à aceleração escalar instan tâ nea,
é constante e igual a zero:
• O movimento pode ser pro gres -
sivo (V > 0) ou retrógrado (V < 0), po -
rém não é nem acelerado nem
re tar dado, pois a velocidade escalar é
cons tante (� = 0).
5. A denominação uniforme de riva
do fato de a velocidade es ca lar ser
constante, isto é, é um mo vi men to
que se processa sem pre da mes ma
forma, com o mó vel per cor rendo
dis tâncias iguais em in ter va los de
tem po iguais.
6. Podemos ter movimento uni -
forme em qualquer tra je tó ria.
7. Gráficos do movimento uniforme
8. Interpretações Gráficas
Gráfico espaço x tempo
No gráfico espaço x tempo, a
declividade da reta s = f (t) me de a
velocidade escalar.
Gráfico 
velocidade escalar x tempo
No gráfico velocidade es ca lar x
tempo, a área sob o grá fico mede a
variação de espaço �s.
s = A + Bt
A = s0
B = V
s = s0 + Vt
�s
Vm = V = –––– = constante � 0�t
�m = � = constante = 0
�s
tg �
N
= –––– = V
�t
Área 
N
= V . �t = �s 
MÓDULO 4 Movimento Uniforme
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1. (OBF-2021-MODELO ENEM) – Em uma cena para um filme de
ação, uma carreta de 30,0 metros de comprimento se aproxima de um
cruzamento com uma linha férrea. Quando ela está a 20,0 metros do
trilho, o motorista vê um trem muito longo e a 50,0 metros do
cruzamento se aproximando com uma velocidade escalar de 36,0 km/h.
Considere a velocidade escalar do trem constante, que as duas vias são
perpendiculares entre si e que o trem tem uma largura de 5,0 m.
A cena exige que a carreta atravesse o cruzamento na frente do trem,
sem colidir com ele. Qual é a menor velocidade escalar, considerada
constante e em m/s, que a carreta deve ter?
a) 20,0 b) 11,0 c) 10,0 d) 5,0 e) 4,0
RESOLUÇÃO:
1) Tempo gasto pelo trem para chegar no cruzamento
Δs = VT . t ⇒ 50,0 = 10,0 . T ⇒ 
2) A traseira da carreta deveráchegar no ramo direito do trilho em
5,0 s percorrendo 55,0 m (ver figura).
VC = ⇒ ⇒ 
Resposta: B
2. (VUNESP-UNISA-2021-MODELO ENEM) – Para transportar as
peças de um gerador eólico, foi empregado um comboio de carretas e
veículos batedores. Por razões técnicas, o comboio, com 160 m de
comprimento, teve de realizar uma parada em determinado ponto de
seu trajeto. Nesse ponto, o comboio ocupava quase toda a pista,
deixando apenas uma faixa estreita para que outros veículos pudessem
realizar sua ultrapassagem, conforme a ilustração.
Como a fila de veículos atrás do comboio já possuía 500 m,
providenciou-se a ultrapassagem desses veículos, mantendo-os sob a
velocidade escalar constante de 2,0 m/s.
Sob essas condições, a operação de ultrapassagem demorou
a) 3,0 min b) 4,5 min c) 5,5 min
d) 8,0 min e) 8,5 min
RESOLUÇÃO:
Δs = V t (MU)
500 + 160 = 2,0 T
660 = 2,0 T
T = 330 s
T = min = 5,5 min 
Resposta: C
55,0 m
––––––––
5,0 s
Δs
––––
Δt
T = 5 min + 30 s
330
––––
60
VC = 11,0 m/s
T = 5,0 s
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3. (VUNESP-FMJ-2021-MODELO ENEM) – O ônibus P sai de São
Pau lo com destino a Jundiaí mantendo velocidade escalar constante de
80 km/h. Quinze minutos depois, o ônibus R sai de Jundiaí com destino
a São Paulo, também com velocidade escalar constante de módulo 
80 km/h e percorrendo, em sentido contrário, o mesmo trajeto retilíneo
do ônibus P. Sa bendo-se que a distância, ao longo da estrada, entre as
duas cidades é de 50 km, os ônibus se encontrarão no km:
a) 30km b) 32km c) 35km d) 38km e) 40km
Nota: O km zero está em São Paulo
RESOLUCÃO:
1) Montagem das equações horárias:
s = s0 + V t
sP = 80t ; sR = 50 – 80 (t – 0,25)
2) Condição de encontro: sP = sR
80 tE = 50 – 80 (tE – 0,25)
80 tE = 50 – 80 tE + 20
160 tE = 70 ⇒ tE = h = h
3) Posição de encontro:
sP = sE = 80 tE ⇒ sE = 80 . km
Resposta: C
4. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – A figura seguinte exibe
o gráfico do movimento de duas partículas A e B, seguindo uma mesma
trajetória retilínea. De acordo com o diagrama os movimentos ocorrem
simultaneamente com sentidos opostos oriundos de pontos diferentes
do mesmo trajeto. 
Determine.
a) o instante tE de encontro
b) a posição sE de encontro
RESOLUÇÃO:
a) 1) Cálculo das velocidades escalares:
VA = = = 1,0 m/s
VB = = = – 1,5 m/s
2) Montagem das equações horárias:
s = s0 + V t
sA = 1,0t (SI)
sB = 15,0 – 1,5t (SI)
3) Condição de encontro:
sA = sB
1,0tE = 15,0 – 1,5tE
2,5tE = 15,0 ⇒
b) t = tE = 6,0s
sA = sE = 1,0 . 6,0(m) ⇒
Respostas: a) tE = 6,0s
b) sE = 6,0m 
70
––––
160
7
–––
16
7
–––
16
sE = 35km
15,0
10,0
5,0
0 5,0 10,0 15,0
espaço (m)
tempo (s)
A
B
m
–––
s
10,0
–––––
10,0
ΔsA
–––––
Δt
m
–––
s
–15,0
–––––
10,0
ΔsB
–––––
Δt
tE = 6,0s
sE = 6,0m
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1. Definição
 
Um movimento é chamado uni -
for memente variado quando a re -
lação espaço-tempo é do 2.o grau, is to
é, da forma:
em que A, B e C são parâmetros cons -
 tan tes, com C � 0.
2. Parâmetro A
Para t = 0 (origem dos tempos),
te mos s0 = A e, portanto, o parâmetro
A representa o espaço inicial.
3. Parâmetro B
A velocidade escalar V é dada por:
Para t = 0 (origem dos tempos),
te mos V0 = B e, portanto, o parâ metro
B representa a velocidade es calar ini -
cial.
4. Parâmetro C
A aceleração escalar � é dada por:
O parâmetro C representa me ta -
de da aceleração escalar.
5. Propriedades Do MUV
• Equação horária dos espaços:
ou
• Equação horária das velocida -
des:
• A aceleração escalar média é
igual à aceleração escalar instan tâ nea,
é constante e diferente de zero:
• Equação de Torricelli:
• A velocidade escalar média po -
 de ser calculada pela média arit mé tica
entre a velocidade escalar ini cial (V0) e a
velocidade escalar final (V):
• Os deslocamentos escalares, em
in tervalos de tempo sucessivos e iguais,
variam em progressão aritméti ca.
6. A denominação uniforme mente
va riado deriva do fato de a ve lo ci da de
escalar ser variável (mo vi mento va riado),
porém com ace le ra ção es ca lar
constante, isto é, a ve lo ci dade es calar
varia, porém de uma ma neira uni forme
(em uma taxa cons tante).
7. Podemos ter movimento uni for -
me mente variado em qualquer tra -
jetória.
8. Gráficos do movimento uni for me -
 mente variado:
s = A + Bt + Ct2
A = s0
ds
V = ––––– = B + 2Ct
dt
B = V0
dV
� = ––––– = 2C
dt
�
C = ––––
2
�
s = s0 + V0t + –––– t
2
2
�
�s = V0t + –––– t
2
2
V = V0 + � t
�V
�m = � = –––– = constante � 0�t
V2 = V0
2 + 2��s
V0 + V
Vm = ––––––––
2
MÓDULO 5 Movimento Uniformemente Variado
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1. (VUNESP-CUSC-2022-MODELO ENEM) – Durante uma corrida,
uma motocicleta a 50 m/s perde a aderência com a pista quando iniciaria
uma curva, seguindo em linha reta e entrando na área de frenagem,
onde avança por 50 m, até que as pequenas pedras desse local cessem
completamente o movimento da motocicleta. Admitindo-se que a desa -
celeração tenha sido uniforme, o tempo necessário para que a moto -
cicleta, a partir de sua velocidade inicial, atinja a parada total é 
a) 1,0s b) 2,0s c) 2,5s d) 3,0s e) 3,5s 
RESOLUÇÃO:
= (MUV)
= 
25 �t = 50
Resposta: B
2. (VUNESP-ADAMANTINA-2021-MODELO ENEM) – Os trens do
metrô da cidade de São Paulo são compostos por seis vagões, cada um
com 22 m de comprimento. Considere que uma dessas composições
se aproximou de uma estação a 20 m/s e iniciou o processo de
frenagem a 68 m da extremidade inicial da plataforma, com aceleração
escalar constante. A figura mostra uma visão aérea dessa situação.
Sabendo-se que essa plataforma foi construída para que os trens,
quando parados, ocupem exatamente sua extensão, o módulo da
aceleração escalar do trem, durante a frenagem, foi de
a) 0,30 m/s2 b) 0,40 m/s2 c) 0,60 m/s2
d) 0,80 m/s2 e) 1,0 m/s2
RESOLUÇÃO:
1) Até o trem parar a sua dianteira percorre uma distância 
�s = 132 m + 68 m = 200 m
2) Equação de Torricelli:
V2 = V0
2
+ 2 � �s 
0 = (20)2 + 2 (–a) 200 
400 a = 400
Resposta: E
V0 + Vf
––––––––
2
�t = 2,0s
�s
–––
�t
50
–––
�t
50 + 0
––––––
2
a = 1,0 m/s2
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3. (COLÉGIO NAVAL-2022-MODELO ENEM) – Em uma estrada
reta, um automóvel encontra-se parado em sinal fechado. No momento
em que o sinal “abre”, o motorista pisa o acelerador e o carro arranca
com uma aceleração escalar constante de 0,40 m/s2. Nesse mesmo
instante, uma moto ultrapassa o veículo com velocidade escalar
constante de 36 km/h. Determine a distância percorrida pelo carro até
alcançar a moto a partir da abertura do sinal, e assinale a opção correta.
a) 300 m b) 350 m c) 400 m
d) 450 m e) 500 m
RESOLUÇÃO:
1) Montagem das equações horárias:
Moto: s = s0 + V t ⇒ sM = 10 t (SI)
Carro: s = s0 + V0 t + t
2 ⇒ sC = 0,20 t
2 (SI)
2) Condição de encontro:
sM = sC
0,20tE
2
= 10 tE ⇒ 
3) Local de encontro: 
t = tE = 50 s
sM = sE
sE = 10 . 50 (m) ⇒ 
Resposta: E
4. (VUNESP-USCS) – Em uma estrada retilínea, dois auto móveis se
deslocam com velocidade escalar constante de 25 m/s e a distância
entre eles é de 32 m. Em certo instante, o automóvel que se encontra
atrás passa a se mover com aceleração escalar constante de 4,0 m/s2.
Desprezando-se as dimensões dos automóveis, a partir desse instante,
a distância percorrida pelo automóvel de trás até que ele alcance o outro
é, em metros, igual a
a) 64 b) 96 c) 132 d) 164 e) 256
RESOLUÇÃO:
1) Automóvel A1:
s1 = s0 + V0 t + t
2 (MUV)
s1 = 25 t + 2,0 t
2 (SI)
2) Automóvel A2:
s2 = s0 + V t
s2 = 32 + 25 t (SI)
3) Condição de encontro:
s1 = s2
25 tE + 2,0 tE
2 = 32 + 25 tE
2,0 tE
2 = 32 ⇒ tE
2 = 16 (SI) ⇒
4) Deslocamento de A1:
Δs = V0 t + t
2 (MUV)
Δs1 = 25 . 4,0 + 2,0 . (4,0)
2 (m) ⇒
Resposta: C
Nota: O carro e a moto se movimentam em uma mesma
trajetóriaretilínea.
0
V0 = 0
� = 0,40 m/s2
Carro
km
V = 36 ––– = 10 m/s 
h
Moto
�
––
2
tE = 50 s
sE = 500 m
�
–––
2
tE = 4,0 s 
�
–––
2
Δs1 = 132 m
18 –
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5. (MODELO ENEM) – Define-se tempo de reação TR de um
motorista como sendo o intervalo de tempo desde a visão de um perigo
até o ato de acionar o freio. O tempo de reação se explica porque a
ordem de frear vem do cérebro e leva um certo tempo para chegar ao
pé do motorista. 
Um carro se desloca em linha reta com velocidade escalar V0 = 20,0 m/s
quando o motorista percebe um pedestre atravessando a pista e freia
até o repouso. O gráfico a seguir representa a velocidade escalar do
carro em função do tempo para o evento descrito.
Durante o tempo de reação o carro percorreu 14,0 m e durante a freada
o carro percorreu 50,0 m.
Os valores de TR e T são:
a) TR = 0,7s e T = 5,0s b) TR = 1,4s e T = 6,4s
c) TR = 0,7s e T = 5,7s d) TR = 0,5s e T = 5,0s
e) TR = 0,4s e T = 6,4s
RESOLUÇÃO:
1) Durante o tempo de reação o movimento é uniforme
Δs = V t
14,0 = 20,0 TR ⇒
2) Durante a freada o movimento é uniformemente variado
= 
= ⇒
3) T = TR + Tf = 5,7s
Resposta: C
TR = 0,7s
V0 + Vf
–––––––––
2
Δs
––––
Δt
Tf = 5,0s
20,0 + 0
–––––––––
2
50,0
–––––
Tf
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20 –
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1. (VUNESP-FMJ-2022-MODELO ENEM) – A velocidade escalar de
um automóvel nos primeiros instantes após a largada de uma corrida
está representada no gráfico.
A distância percorrida pelo automóvel até atingir a velocidade escalar
máxima foi de:
a) 50m b) 100m c) 150m d) 200m e) 300m
RESOLUÇÃO:
Δs = área (V x t)
Δs = (m)
Resposta: C
6,0 . 50
–––––––
2
Δs = 150m
1. Gráfico Espaço x Tempo
A declividade da reta tan gen te à
curva s = f(t), em um ins tante t1,
mede a ve lo ci da de es calar no
instante t1.
2. Gráfico Velocidade 
Escalar x Tempo
Propriedade I
A declividade da reta V = f(t) 
mede a aceleração escalar.
Propriedade II
A área sob o gráfico ve lo ci dade
escalar x tempo me de a varia -
ção de espaço �s.
(V + V0)Área (V x t) N= –––––––––– �t
2
�s
Área (V x t) N= Vm Δt = –––– . �t�t
3. Gráfico Aceleração 
Escalar x Tempo
A área sob o gráfico ace leração
escalar x tem po me de a varia -
ção de velo ci dade escalar �V.
�V
Área (� x t) N= � . �t = –––– . �t
�t
Área (� x t) 
N
= �V
Área (V x t) 
N
= �s
ds
tg� N= �––––� t1 = V1
dt
�V
tg�
N
= ––––= �
�t
MÓDULO 6 Propriedades Gráficas
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2. (UNESP-2022-MODELO ENEM) – Quando a luz de um semáforo
fica verde, um veículo pa rado parte com aceleração escalar constante,
a1, e se move por uma rua retilínea até atingir uma velocidade escalar
máxima, Vmáx, em um intervalo de tempo T1. A partir desse ins tante,
inicia um processo de frenagem, também com ace leração escalar
constante, até parar novamente, no se má foro seguinte, em um intervalo
de tempo T2. O grá fico representa a variação da velocidade escalar
desse veículo em função do tempo, nesse movimento.
No trajeto entre os dois semáforos, a velocidade escalar média desse
veículo foi de:
a) 2 a1 T1 b) c) 2 a1 (T1 + T1)
d) e) a1 T1
RESOLUÇÃO:
1) Cálculo de Vmáx
V = V0 + � t (MUV)
Vmáx = 0 + a1 T1 ⇒
2) �s = área (V x t)
�s = (T1 + T2) 
3) Cálculo da velocidade escalar média
Vm = = 
Resposta: D
3 (UECE-2022-MODELO ENEM) – Um trem parte de uma estação A
em direção a uma estação B separada de A por uma distância de 4,0km.
Sabe-se que, partindo do repouso a partir de A, o trem acelera unifor -
memente até alcançar um ponto do trajeto a partir do qual passa a
desacelerar uniformemente parando finalmente em B. 
Sabendo-se que o percurso entre A e B é realizado em linha reta em
apenas 6,0 min, a velocidade escalar máxima, em km/h, alcançada pelo
trem no referido percurso é
a) 40 b) 60 c) 80 d) 120 e) 160
RESOLUÇÃO:
Δs = área (V x t)
4,0 = 6,0 ⇒ Vmáx = km/min
Vmáx = = km/h
Resposta: C
a (T1 + T2)
–––––––––
2
a1 T1
–––––
2
Vmáx = a1 T1
Vmáx
–––––
2
�s = (T1 + T2) 
a1 T1
––––––
2
(T1 + T2) a1 T1
–––––––––––––
2 (T1 + T2)
�s
–––
�t
Vm = 
a1 T1
––––––
2
4,0
––––
3,0
Vmáx
–––––
2
60 . 4,0
––––––––
3,0
km
–––––––
1
––– h
60
4,0
––––
3,0
Vmáx = 80km/h
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4. (OBF-MODELO ENEM) – Um trem de metrô, em trajetória
retilínea, parte de uma estação com aceleração constante até atingir,
após 10s, a velocidade escalar de 90 km/h, que é mantida durante 30s.
Após os 30s, desacelera uniformemente durante 10s, até parar na
estação seguinte.
A distância entre as duas estações vale:
a) 0,50km b) 0,75km c) 1,0km
d) 12,0km e) 13,0km
RESOLUÇÃO:
1) Gráfico velocidade escalar x tempo
V = 90 = = 25m/s
2) Δs = área (V x t)
Δs = (50 + 30) (m)
Δs = 1,0 . 103m
Resposta: C
5. (UFES) – Uma partícula, partindo do repouso, ao lon go de uma
trajetória retilínea, é submetida a ace lerações esca lares, conforme
mostra o gráfico a x t da figura.
a) Construa o gráfico da velocidade escalar da partí cula em função do
tempo.
b) Calcule a distância percorrida pela partícula no intervalo de 0 a 4,0s.
RESOLUÇÃO:
a) ΔV = área (a x t)
ΔV1 = 2,0 . 10,0 (m/s) = 20,0m/s
ΔV2 = –2,0 . 10,0 (m/s) = –20,0m/s
b) Δs = área (V x t)
Δs = (m) ⇒
Respostas: a) ver gráfico
b) 40,0m
km
–––
h
90
–––
3,6
m
––
s
25
–––
2
Δs = 1,0km
Δs = 40,0m
4,0 . 20,0
–––––––––
2
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A1. Queda Livre
Um corpo é dito em queda li vre
quando está sob ação exclusiva da
gravidade terrestre (ou da gra vi da de
de outro corpo celeste).
Foi Galileu quem estudou corre -
tamente, pela primeira vez, a queda li -
vre dos corpos.
Galileu concluiu que todos os cor -
pos em queda livre, isto é, livres do
efei to da resistência do ar, têm uma
pro priedade comum:
Esta aceleração de queda livre é
de nominada ACELERAÇÃO DA GRA -
VIDADE e, nas proximidades da
Terra, é suposta constante e com in -
tensidade g = 9,8m/s2, valor es te que,
comumente, é aproximado para 
g = 10m/s2.
Na realidade, a aceleração da gra -
 vidade, embora seja indepen den te da
massa do corpo em queda li vre, varia
com o local, dependendo da la titude e
da altitude do lugar.
Se o corpo em queda livre tiver
uma trajetória retilínea, seu mo vi -
mento será uniformemente va ria do;
neste ca so, a aceleração esca lar do
corpo será constante e valerá � = +g,
se a trajetória for orien tada pa ra baixo,
ou � = – g, se a traje tória for orientada
para cima.
2. Tempo de Queda 
e Velocidade Escalar Final
Em um local onde o efeito do ar é
desprezível e a aceleração da gravi da -
de é constante e com intensidade g,
um corpo é abandonado a partir do re -
 pouso de uma altura H acima do so lo.
Calculemos o tempo de queda e o
módulo da velocidade do corpo ao
atin gir o solo.
Sendo o movimento uniforme -
men te variado, tem-se:
1)
g
H = 0 + ––– t2Q2
t2Q = ⇒
2)
V2f = 0 + 2g H
3. Gráficos Cartesianos
Para a trajetória orientada para
baixo, os gráficos do movimento de
queda livre, a partir do repouso e da
origem dos espaços, estão repre sen -
tados a seguir:
Corpos em queda livre têm a
mesma acelera ção, quaisquer
que sejam suas massas.
Vf = ����2gH
V2 = V2
0
+ 2 � � s
2H
tQ = ���––––g2H–––g
�
�s = V0 t + ––– t
2
2
MÓDULO 7 Queda Livre e Lançamento Vertical para Cima
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4. Lançamento Vertical para Cima
Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a
aceleração da gravi da de é constante e com módulo igual
a g, um projétil é lançado verti cal mente para cima com
velocidade de módulo igual a V0.
Estudemos as propriedades as so cia das a este
movimento:
1) O movimento do projétil é unifor memente variado
porquea acele ração escalar é constante e dife rente
de zero.
2) Orientando-se a trajetória para ci ma, a aceleração
escalar vale –g tanto na subida e na des cida, como no
ponto mais al to da tra je tória.
3) A partir do ponto mais alto da tra jetória, o projétil in -
ver te o sentido de seu mo vimento e, portanto, sua
ve lo cidade é nula no pon to mais alto (ponto de in -
ver são).
4) O tempo de subida do projétil é calculado como se
segue:
t = ts ⇔ V = 0 
0 = V0 – g ts ⇔
5) A velocidade escalar de re tor no ao solo é calculada
como se segue:
V = Vr ⇔ �s = 0
V 2r = V
2
0
⇒
6) O tempo de queda do projétil é calculado como se
segue:
t = tq ⇔ V = Vr = – V0
– V0 = 0 – g tq ⇒
Portanto, concluímos que:
7) A altura máxima atingida pelo pro jétil é calculada
como se segue:
�s = H ⇔ V = 0
0 = V 20 + 2 (– g) H ⇒
8) Na subida, o movimento é pro gres sivo e retardado
(V > 0 e � <0); na descida, o movimento é re tró grado e
acelerado (V < 0 e � < 0).
Observe que, durante todo o mo vi mento (subida e
descida), a tra jetória é sempre orientada pa ra cima.
9) Gráficos cartesianos
Para a trajetória orientada para ci ma e o móvel partindo
da ori gem dos espaços, os gráficos do mo vi mento de
lançamento verti cal es tão repre sen tados a seguir:
V = V’
0
+ � t
Vr = –V0
V2 = V 2
0
+ 2 � �s
V0
ts = ––––
g
V = V0 + � t
V0
tq = ––––
g
O tempo de subida é igual ao tempo de queda.
V2 = V 2
0
+ 2 � �s
V
2
0
H = ––––
2g
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1. (UECE-2022-MODELO ENEM) – Um objeto em queda livre a partir
do repouso per corre uma distância X durante o primeiro segundo de
queda. Des prezando-se as forças resistivas e considerando-se a ace -
leração da gravidade constante ao longo de todo o percurso, a dis tância
percorrida por esse objeto durante o quarto segundo da queda
corresponde a
a) 3,0X b) 4,0X c) 5,0X d) 7,0X e) 10,0X
RESOLUÇÃO:
s = s0 + V0t + t
2 ↓�
s = t2
Para t1 = 1,0s ⇒ X = s1 = (SI)
Para t2 = 3,0s ⇒ X = s2 = . 9,0 (SI)
Para t3 = 4,0s ⇒ X = s3 = . 16,0 (SI)
Durante o 4.o segundo de queda (entre t2 e t3)
d4 = s3 – s2 = 3,5g = 3,5 . 2X
Resposta: D
2. (UNICHRISTUS-MODELO ENEM) – Considere a seguinte
situação, de um jogo de videogame. No momento, Felizberto (persona -
gem) encontra-se a uma distância horizontal de 20,0 cm de uma fonte
de poderes, cujas gotas lhe fornecem atributos. A altura vertical da fonte
é de 22,0 cm. Felizberto deve desenvolver uma velocidade constante
que faça que a primeira gota que se desprenda da torneira atinja a parte
superior de sua cabeça em um ponto da linha vertical de queda da gota. 
Sabendo-se que irá iniciar seu trajeto no mesmo instante em que a gota
deixa a fonte e que, no jogo, não há influência do ar, qual velocidade
escalar Felizberto deve desenvolver?
a) 20,0cm/s. b) 40,0cm/s. c) 60,0cm/s.
d) 80,0cm/s. e) 100cm/s.
RESOLUÇÃO:
1) Tempo de queda da gota
�s = V0t + t
2 ↓ �
20,0 . 10–2 = 5,0 T2
T2 = 4,0 . 10–2 (SI) ⇒
2) Cálculo da velocidade escalar
V = = 
Resposta: E
�
–––
2
g
––
2
g
––
2
g
––
2
g
––
2
d4 = 7,0X
Considere g = 10,0m/s2
�
–––
2
T = 2,0 . 10–1s
�s
––––
�t
20,0 . 10–2
––––––––––
2,0 . 10–1
m
––
s
V = 1,0m/s = 100cm/s
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3. (VUNESP-UEA-MODELO ENEM) – Um objeto, após ser
abandonado do repouso do alto de um edifício, cai verticalmente. Na
figura, ele é mostrado em cinco instantes diferentes.
Desprezando-se a resistência do ar, adotando-se g = 10m/s2 e sabendo-se
que o objeto percorreu 8,75m no último 0,5s antes de tocar o solo, o tempo
total de sua queda foi de
a) 1,5s b) 2,0s c) 2,5s d) 3,0s e) 3,5s
RESOLUÇÃO:
Δs = V0 t + t
2
AC: H = 5,0T2 (1)
AB: H – 8,75 = 5,0 (T – 0,5)2 (2)
(1) em (2):
5,0T2 – 8,75 = 5,0 (T2 – T + 0,25)
1,0T2 – 1,75 = 1,0T2 – 1,0T + 0,25
1,0T = 1,75 + 0,25
1,0T = 2,0
Resposta: B
4. (UNICAMP-SP-MODELO ENEM) – Uma pesquisa publicada iden -
ti fica um novo recordista de salto em altura entre os seres vivos (em
comparação com o seu tamanho). Trata-se de um inseto, conhecido
como cigarrinha-da-espuma, cujo salto atinge uma altura máxima de
45cm.
Qual é a velocidade escalar inicial da cigarrinha, ao abandonar o solo,
supondo-se que o seu salto seja vertical?
a) 1,0m/s b) 2,0m/s c) 3,0m/s
d) 4,0m/s e) 5,0m/s
RESOLUÇÃO:
Usando-se a Equação de Torricelli:
V2 = V0
2 + 2 � Δs 
0 = V0
2 + 2 (– 10,0) 0,45
V0
2 = 9,0 (SI) ⇒
Resposta: C
�
–––
2
T = 2,0s
Despreze o efeito do ar e adote g = 10,0m/s2.
V0 = 3,0m/s
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5. (MODELO ENEM) – Para obter o módulo da aceleração da
gravidade em Marte, um astronauta lança, a partir do solo marciano, um
projétil verticalmente para cima e constrói o gráfico da altura do projétil
em função do tempo, obtendo o resultado mostrado a seguir. O efeito
da atmosfera foi desprezado.
A função que relaciona h e t é dada por:
h = 4,0t – t2 (SI)
na qual gM = módulo da aceleração da gravidade em Marte.
Com base nos dados apresentados, os valores de gM e da altura máxima
H atingida pelo projétil, em unidades do SI, são iguais respec tivamente
a:
a) 4,0 e 2,0 b) 2,0 e 4,0 c) 4,0 e 4,0
d) 2,0 e 2,0 e) 8,0 e 4,0
RESOLUÇÃO:
1) De acordo com o gráfico:
t = 2,0s ⇔ h = 0 ⇒ 0 = 4,0 . 2,0 – (2,0)2
2,0gM = 8,0 ⇒
2) Para t = 1,0s ⇔ h = H
H = 4,0 . 1,0 – . (1,0)2 (SI)
H = 4,0 – 2,0 (SI) ⇒
Resposta: A
gM
–––
2
gM–––
2
gM = 4,0m/s
2
4,0
–––
2
H = 2,0m
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1. Grandezas 
Escalares e Vetoriais
As grandezas físicas podem ser
clas sificadas em dois grupos: as gran -
dezas escalares e as gran dezas ve -
 toriais.
Uma grandeza é escalar quan do
tem apenas intensidade, isto é, fi ca
perfeitamente definida e carac te rizada
pelo seu valor numérico, defi nido por
um número real e uma uni da de.
Ex.: comprimento, área, volu me,
densidade, massa, tempo, ener gia,
pres são, potência etc.
Assim, quando dizemos que a
mas sa de uma pessoa vale 50kg, es-
gotamos o assunto, não cabendo mais
nenhuma indagação sobre a massa.
Uma grandeza é vetorial quan do
exige, para sua completa carac -
te ri zação, além de sua intensidade, a
sua orientação, isto é, a sua di re ção e
sentido. Ex.: velocidade (
→
V ), ace le ra -
ção (
→
a ), força (
→
F), impulso (
→
I ), quan -
 tidade de movimento (
→
Q), vetor
cam po elétrico (
→
E), vetor indução mag -
né tica (
→
B).
Para caracterizar o efeito da ace -
leração da gravidade, por exem plo,
devemos informar que sua inten si -
dade vale 9,8 m/s2, sua dire ção é ver -
tical e seu sentido é dirigido para
baixo.
Nota: É fundamental a distinção
entre direção e sentido. 
Direção é a propriedade co mum
a retas paralelas, isto é, re tas parale -
las têm a mesma direção. 
O sentido é a orientação so bre
uma direção.
Assim, falamos em: direção verti -
cal, sentido para baixo ou para cima;
direção horizontal, sentido para direita
ou para esquerda.
Dois carros em uma mesma rua
reta, vindo um de encontro ao outro,
ca minham na mesma direção e com
sentidos opostos.
2. Aspecto Escalar e Vetorial
Existem grandezas físicas, como
a velocidade e a aceleracão, que, con -
 forme o estudo que se faça, inte res sa
serem observadas em seu as pec to es -
calar ou em seu aspecto ve torial.
Quando o movimento é estudado
independentemente da trajetória, não
há envolvimento do conceito de dire ção
e, então, é relevante apenas o as pec to
escalar e falamos em veloci da de escalar
(V) e aceleração escalar (�).
Quando a trajetória é relevante em
nosso estudo, o conceito de dire ção
tor na-se fundamental e, então,
destacamos o aspecto vetorial e fala -
mos em velocidade vetorial (
→
V ) e ace -
lera ção vetorial (
→
a ).
Já adiantamos que a veloci da de
ve torial (
→
V ) e a velocidade escalar (V)
têm valores instantâneos com inten -
sidades iguais (�→
V �= �V�), porém a ace -
 leração vetorial (
→
a ) e a acelera ção
escalar (�) somente terão valo res ins -
tantâneos com intensidades iguais
(�
→
a�=���) quando a trajetória for reti lí -
nea ou quando a velocidade for nula
ou ainda no ponto de inflexão de uma
trajetória curva.
3. Vetores
Para estudar as grandezas es ca la -
res, usamos o conjunto dos nú meros.
Para estudar as grandezas ve to -
riais, necessitamos de outro con junto
cujos elementos envolvam os con -
ceitos de módulo (ou valor nu mérico),
direção e sentido. Tais ele mentos são
chamados de vetores.
Assim, um vetor é uma asso -
ciação de três atributos: mó du lo,
direção e sen tido.
Dois vetores são iguais quan do
ti verem o mesmo mó dulo, a mes -
ma di re ção e o mes mo sen tido.
Um vetor é constante quan do ti -
ver módulo constan te, di re ção
cons tante e sen tido cons tante.
O vetor é simbolizado geometri -
camente por um segmento de reta ori -
entado; a direção e o sentido do
seg mento orientado são os mesmos
da gran deza vetorial, e a medida do
seg mento orientado é proporcional à
in ten sidade da grandeza vetorial.
→
F1: força horizontal dirigida para a di -
reita.
→
F2: força vertical dirigida para cima.
4. Soma de Vetores
Consideremos duas grandezas ve -
 toriais representadas pelos vetores 
→
F1
e 
→
F2.
Para somar as grandezas ve to -
riais, devemos somar os vetores 
→
F1 e→
F2 e obter o vetor soma ou re sul tan -
te 
→
F.
A soma de vetores é feita pela re -
gra do paralelogramo e o vetor soma
ou resultante tem módulo calculado
pe la aplicação da lei dos cossenos no
triângulo OAC, da figura adiante.
Em particular:
• Quando � = 0, temos:
�
→
F � = �
→
F1 � + �
→
F2 � e o vetor resul -
tante tem módulo máximo.
B
A
O
3,0cm
1,5cm
F
F2
1
�
�
�
→
F1 � = 2 �
→
F2 �
�
→
F� = �
→
F
1�
2
+ �
→
F
2�
2
+2 �
→
F
1� �
→
F
2� cos �
MÓDULO 8 Vetores 
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– 29
FÍ
S
IC
A
• Quando � = 180°, temos:
�
→
F� = �
→
F1� – �
→
F2�, supondo �
→
F1� > �
→
F2�,
e o vetor resultante tem módulo mí ni mo.
• Quando � = 90°, o cálculo de
�
→
F� recai no Teorema de Pitágoras.
Do exposto, concluímos que, pa ra
qualquer valor de �, com �
→
F1� > �
→
F2 �, te -
mos:
Exemplificando
Se �
→
F1� =10,0N e �
→
F2� =8,0N, en -
tão:
5. Soma de n Vetores
Para somarmos vários vetores, é
mais simples usar a regra do po lígo no.
Escolhemos um ponto qualquer
(O) para começar o polígono. A par tir
de O, colocamos o vetor que re pre -
senta
→
F1 ; a partir da extre midade A
desse vetor, colocamos o ve tor que
representa
→
F2; a partir da extre mi dade
B desse vetor, colocamos o vetor que
representa
→
F3; e assim su ces sivamen -
te. O vetor soma é o vetor que fecha o
polígono, isto é, sua ori gem é o ponto
O e sua extre mida de é a extremidade
do último vetor re pre sentado.
6. Soma Nula
Consideremos n vetores 
→
F1, 
→
F2,→
F3, …, 
→
Fn cuja soma seja nula.
Se usarmos o método do polí -
gono, a condição de soma nula im -
plica que o polígono de vetores seja
fechado.
Um caso importante, na Estática,
é a condição de equilíbrio de um pon -
to material: a soma de todas as forças
atuantes é nula e, por isso, o po lígono
de forças deve ser fechado.
Para o caso particular de três for -
ças, com direções diferentes, tere -
mos, por exemplo:
Observe que: para o equi lí brio de
um ponto material sob ação de três
forças, a con di ção de polígono de
forças fe chado (triân gulo) implica
que as três forças sejam copla na res.
7. Produto de um Escalar 
por um Vetor
Consideremos uma grandeza es -
calar e e uma grandeza vetorial 
→
V.
O produto e 
→
V tem como resul -
ta do uma grandeza vetorial
→
G = e
→
V
com as seguintes características:
• | 
→
G | = | e | . | 
→
V |
• direção: a mesma de 
→
V
• sentido: depende do si nal de
e:
e > 0: mesmo sentido de 
→
V
e < 0: sentido oposto ao de
→
V
8. Vetor Oposto
Dois vetores são opostos quan -
 do têm mesmo módulo, mes ma
direção e sentidos opos tos.
A soma de vetores opostos é o 
vetor nulo (
→
0 ).
O vetor –V1
→
é o vetor oposto de →
V1, isto é, o vetor –V1
→
é o produto de
→
V1 por –1.
É usual representarmos um vetor
indicando sua extremidade e sua ori -
gem, como se segue:
9. Diferença de Vetores
A diferença de vetores 
→
V2 – 
→
V1
pode ser transformada em uma soma:
→
V2 + (–
→
V1), isto é, para subtrairmos 
um vetor
→
V1 de um vetor
→
V2, basta so-
marmos 
→
V2 com o oposto de 
→
V1.
Representando
→
V2 e
→
V1 com a 
mes ma origem, o vetor �
→
V =
→
V2 –
→
V1 é
representado, geometricamente, pe lo
segmento orientado que vai da ex tre -
mi dade do segmento orientado de 
→
V1
para a extremidade do segmen to orien -
tado de
→
V2, como ilustra a figura:
�
→
F1� – �
→
F2� � �
→
F � � �
→
F1� + �
→
F2�
2,0N � �
→
F � � 18,0N
→
F = 
→
F1 + 
→
F2 + 
→
F3 + 
→
F4
→
V1 = 
⎯→
OA = A – O
–
→
V1 = 
⎯→
OB = B – O
→ → → → →
�V = V2 – V1 = V2 + (–V1)
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30 –
FÍS
IC
A
Para
→
V1 e
→
V2, for mando um ân gu -
lo � genérico e aplicando a lei dos
cossenos, ob temos o mó du lo de �
→
V.
10. Decomposição de um
Vetor em Duas Direções
Perpendiculares
Seja o vetor
→
F inclinado de � em
relação ao eixo Ox e inclinado de �
em relação ao eixo Oy.
→
Fx = componente de 
→
F segundo Ox.
→
Fy = componente de 
→
F segundo Oy.
Da figura, temos:
Fy Fxsen � = –––; cos � = –––
F F
Fx Fysen � = –––; cos � = –––
F F
Portanto:
11. Versor
Denomina-se versor um vetor uni -
 tário (módulo igual à unidade) usa do
para definir uma direção e sen tido.
→
x = versor do eixo Ox 
→
y = versor do eixo Oy
O vetor 
→
V pode ser representa do
como se segue: 
→
V = 
→
Vx + 
→
Vy = Vx
→x + Vy
→y
O módulo de 
→
V é obtido por Pitá -
goras:
O uso de versores é útil no caso
de soma ou subtração de vetores.
A título de exemplo, conside -
remos os vetores 
→
V1 e 
→
V2 indi cados
em escala, na figura anterior.
Adotando os versores 
→
x e 
→
y as -
si nalados, temos:
→
V2 = 5,0 
→
x + 7,0 
→
y (cm/s)
→
V1 = –2,0 
→
x + 7,0 
→
y (cm/s)
→
V2 + 
→
V1 = 3,0 
→
x + 14,0 
→
y (cm/s)
→
V2 – 
→
V1 = 7,0 
→
x (cm/s)
|�
→
V| 2 = |
→
V1|
2 + |
→
V2|
2 – 2 |
→
V1| |
→
V2| cos �
Fx = F cos � = F sen �
Fy = F cos � = F sen �
F 2 = F 2x + F
2
y
| 
→
V |2 = V
x
2 + V
y
2
1. (UNIFOR-CE-MODELO ENEM) – Grandezas físicas são aquelas
que podem ser medidas, ou seja, que descrevem quantita tivamente a
propriedade observada no estudo do fenômeno físico. Em estudos
físicos, elas se apresentam nas formas vetoriais ou escalares. Analise as
proposições abaixo e assinale a alternativa que apresenta apenas
grandezas vetoriais.
a) Força, tempo, trabalho e massa.
b) Energia, área, campo elétrico e volume.
c) Volume, pressão, energia e temperatura.
d) Velocidade, aceleração, força e campo elétrico.
e) Aceleração, área, velocidade e pressão.
RESOLUÇÃO:
Grandezas vetoriais:
a) deslocamento 
→
d
b) velocidade 
→
V
c) aceleração 
→
a
d) Força 
→
F
e) Impulso 
→
I =
→
F Δt
f) Quantidade de movimento: 
→
Q = m
→
V
g) Campo elétrico:
→
E
h) Campo magnético:
→
B
Resposta: D
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– 31
FÍ
S
IC
A
2. Considere duas forças, 
→
F1 e 
→
F2, de inten sidades constantes 
F1 = 6,0N e F2 = 8,0N. Seja θ o ângulo formado entre 
→
F1 e 
→
F2.
Responda aos quesitos que se seguem:
a) Por que a força é uma grandeza vetorial?
b) Quais são os valores máximo e mínimo da intensidade da resultante
entre 
→
F1 e 
→
F2? In dique os respectivos valores de θ.
c) Para θ = 90°, qual a intensidade da resul tante entre 
→
F1 e 
→
F2?
RESOLUÇÃO:
a) A força é uma grandeza vetorial por que, para caracte rizá-la, pre -
cisamos conhecer a sua intensidade, a sua dire ção e o seu
sentido, isto é, a força é uma grandeza orien tada (tem direção
e sentido).
b) 	 = 0° ⇒ Rmáx= F1 + F2 = 14,0N
	 = 180° ⇒ Rmín = F2 – F1 = 2,0N
c)
R2 = F1
2 + F
2
2
R2 = (6,0)2 + (8,0)2 (SI)
R2 = 100 (SI)
Respostas:a) Força tem direção e sentido.
b) 14,0N e 2,0N
c) 10,0N
3. Considere as forças indicadas na figura.
Obter
a) o módulo de 
→
F2 para que a resultante entre 
→
F1 e 
→
F2 tenha direção do
eixo y;
b) o módulo da resultante entre 
→
F1 e 
→
F2 nas condições do item (a).
RESOLUÇÃO:
a) �
→
F2x� = �
→
F1x�
F1 cos 45° = F2 cos 37°
20��2 . = F2 . 0,80
b) R = �
→
F1y� + �
→
F2y�
R = F1 cos 45° + F2 cos 53°
R = 20��2 . ��2/2 + 25 . 0,60 (N) ⇒
Respostas: a) F2 = 25N
b) R = 35N
R = 10,0N
Dados: �
→
F1� = 20��2N
sen 37° = 0,60
cos 37° = 0,80
sen 45° = cos 45° = 
��2
–––
2
��2
–––
2
F2 = 25N
R = 35N
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4. Na figura, representamos duas forças,
→
F1 e 
→
F2. Sejam
→
i e
→
j os ve -
tores unitários que definem as direções horizontal e ver tical, respec -
tivamente. Estes vetores unitários são cha ma dos de versores.
a) Obter as expressões de 
→
F1 e 
→
F2 em função dos ver sores 
→
i e 
→
j. 
b) Obter a expressão da força resultante entre 
→
F1 e 
→
F2 em função dos
versores 
→
i e 
→
j e calcular o seu mó dulo.
RESOLUÇÃO:
a)
→
F1 = –7,0
→
i + 2,0
→
j (N)
F2 = 3,0
→
i – 5,0
→
j (N)
b)
→
R = – 4,0
→
i – 3,0
→
j (N)
�
→
R �
2
= �
→
R x�
2
+ �
→
R y�
2
�
→
R � = 5,0N
32 –
FÍS
IC
A
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IC
A1. Considerações Gerais
Na Cinemática Escalar, a posi ção
(s), a velocidade (V) e a ace lera ção (�)
eram abordadas em seu as pecto
escalar, isto é, sem envolvi men to do
con ceito de direção e, por tanto, sem
preocupação com a forma da tra -
jetória.
Na Cinemática Vetorial, os con cei -
 tos de posição, velocidade e ace -
 leração serão abordados sob um
pris ma vetorial, isto é, com envol vi -
men to das noções de direção e sen -
 tido e, portanto, torna-se rele van te
saber se a trajetória é reta ou cur va.
2. Posição
Na Cinemática Vetorial, a po si ção
é definida por um vetor, cha ma do
vetor posição, cuja ori gem é um
ponto fixo O’ (origem do sis tema de
coordenadas cartesia nas) e a ex tre -
 midade é a posição P do móvel.
3. Deslocamento
Na Cinemática Vetorial, a varia ção
de posição é medida por um ve tor
que tem como origem a posi ção
inicial (P1) e como extre mi dade a
posição final (P2).
Tal vetor P1 P2 é chamado de ve -
tor deslocamento ou deslo ca mento
vetorial.
4. Velocidade
Velocidade média
A velocidade escalar média é
dada pela razão entre a variação de
espaço (�s) e o intervalo de tem po
gasto:
A velocidade vetorial mé dia é
dada pela razão entre o vetor des lo -
camento (� r
→
) e o intervalo de tem po
gasto:
Notas
Velocidade instantânea
A velocidade vetorial instan -
 tânea (
→
V) e a ve lo ci dade es ca lar ins -
tantânea (V) têm in ten sidades iguais.
• A velocidade vetorial tem di -
reção sempre tan gen te à traje -
tória.
• A velocidade vetorial tem o
mesmo sen ti do do mo vimento
do corpo.
→� r→
Vm = ––––�t
CINEMÁTICA ESCALAR
�s s2 – s1
Vm = –––– = ––––––––�t t2 – t1
�s
Vm = –––––
�t
�
→
r = 
→
r2 – 
→
r1
DESLOCAMENTO VETORIAL
CINEMÁTICA VETORIAL
→
r = 
⎯→
O’P = vetor posição
�
→
r 
→
r2 – 
→
r1→
Vm = –––– = ––––––––�t t2 – t1
CINEMÁTICA VETORIAL
|
→
V| = |V|
Trajetória reta:
|�s| = |�
→
r | ⇔ |Vm| = |
→
Vm|
Trajetória curva:
|�s| > |�
→
r | ⇔ |Vm| > |
→
Vm|
MÓDULO 9 Cinemática Vetorial
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34 –
FÍS
IC
A
5. Aceleração
Aceleração média
A aceleração escalar mé dia é
dada pela razão entre a varia ção de
velocidade escalar (�V) e o intervalo
de tempo gasto.
A aceleração vetorial mé dia é
dada pela razão entre a va ria ção da
velocidade vetorial (�V
→
) e o in tervalo
de tempo gasto.
Como �t é escalar e positivo, en -
tão
→
am terá a mesma direção e sentido
de �
→
V.
Aceleração vetorial instantânea
• Definição
É o limite para o qual tende a ace -
leração vetorial média (
→
am) quan do o
intervalo de tempo considerado (�t)
tende a zero.
• Componentes da acelera ção
vetorial
Para um caso genérico de mo vi -
mento curvo e variado, a aceleração
vetorial admite uma componente na 
direção da tangente à trajetória, →a t, e
uma componente na direção da 
normal à trajetória,
→
acp.
Estudemos separadamente as
com ponentes da aceleração vetorial.
• Componente tangencial 
→
at
A componente tangencial está li -
gada à variação da intensidade da ve -
locidade vetorial.
Ela é nula nos movimentos uni -
formes e está presente nos mo -
 vimentos variados, não im por tando a
trajetória.
Sua direção é a mesma da ve -
locidade vetorial e o seu sentido con -
 corda com o da velocidade nos
mo vimentos acelerados e é opos to
ao da velocidade nos mo vimentos
retardados.
Sua intensidade é igual ao valor
absoluto da aceleração escalar:
• Componente centrípeta
→
acp
A componente centrípeta está li -
gada à variação de direção da velo -
cidade vetorial.
Ela é nula nos movimentos re -
 tilíneos e está presente nos mo -
vimentos curvos.
Sua direção é normal à velo ci da de
vetorial e o seu sentido é sem pre
dirigido para o interior da curva, isto é,
para o centro da traje tória.
Sua intensidade é dada por:
em que V é a velocidade escalar e R é
o raio de curvatura da trajetória.
�V
�m = ––––
�t
�V
→
→
am = ––––
�t
→
a = lim 
→
am
�t → 0
→ → →
a = at + acp
→ → →
| a |
2
= | at|
2
+ | acp|
2
|
→
at| = | � |
MOVIMENTO ACELERADO
MOVIMENTO RETARDADO
→ V2
| acp | = –––––
R
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– 35
FÍ
S
IC
A
6. Estudo vetorial de alguns movimentos
• Movimento retilíneo e uniforme
• Movimento retilíneo e variado
• Movimento circular e uniforme
• Movimento circular e variado
• Movimento de um projétil
Um projétil, sob ação exclusiva da aceleração da
gravidade, suposta constante, pode ter dois tipos de
movimento:
a) O projétil é abandonado do re pouso, de uma certa
altura acima do solo, ou lançado verticalmente para cima
ou para baixo: o movi men to se rá retilíneo e uniforme -
men te va riado.
b) O projétil é lançado em uma direção não vertical:
neste caso, a trajetória terá a forma de um arco de pará -
bola e o movimento não é unifor me men te variado.
A aceleração vetorial 
→
a, neste movimento, chamado
ba lístico, é constante e tem uma componente tangencial
e uma componente centrí peta, ambas variáveis em inten -
si dade e direção. No ponto mais alto da trajetória, a com -
ponente tangen cial da aceleração vetorial se anula e a
com ponente centrípeta é igual à acele ração da gravidade.
Observemos que 
→
at e 
→
acp variam em intensidade e
direção e a soma 
→
at + 
→
acp = 
→
g permanece constante.
Estados cinemáticos com aceleração vetorial
constante
(1) 
→
a = 0
→
(2) →a � 0
→
→
at �
→
0 e 
→
acp �
→
0
→
at = 
→
0 e 
→
acp �
→
0
→
at �
→
0 e 
→
acp = 
→
0
→
V = constante � 
→
a = 
→
0
MOVIMENTO CURVO
→
a = 
→
g = 
→
at + 
→
acp
• Repouso
• Movimento retilíneo uniforme�
• Movimento retilíneo uniformemente
varia do
• Trajetória parabólica e não é MUV
�
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FÍS
IC
A
1. Um automóvel deslocou-se de uma localidade, A, a outra, B,
distante 25km, por uma estrada E, orientada de A para B, sem inverter
o sentido de seu movimento.
O hodômetro do automóvel, que indicava zero no ponto A, indica 50km
em B. O tempo gasto no percurso entre A e B foi de 30 minutos.
Determine, entre as posições A e B:
a) a velocidade escalar média do automóvel;
b) o módulo da velocidade vetorial média do automóvel.
RESOLUÇÃO:
a) Vm = = = 100km/h
b) �V
→
m � = = = 50km/h
Respostas: a) 100km/h
b) 50km/h
2. Um carro descreve uma trajetória circular e o seu velocímetro
indica um valor constante de 100km/h.Podemos afirmar que:
(1) a velocidade escalar do carro é constante.
(2) a velocidade vetorial do carro é constante. 
(3) a velocidade vetorial e a velocidade escalar do carro têm módulos
iguais a 100km/h.
(4) o movimento do carro é uniforme.
Estão corretas apenas:
a) (1), (3) e (4) b) (1) e (2) c) (3) e (4)
d) (1) e (3) e) (1) e (4)
RESOLUÇÃO:
(1) (V) O velocímetro indica a velocidade escalar do carro.
(2) (F) A velocidade vetorial tem módulo constante (MU), porém
varia em direção (trajetória curva).
(3) (V) �V
→
� = �V � para qualquer movimento (valores instantâneos.)
(4) (V)
Resposta: A
50km
––––––
0,5h
�s
–––
�t
25km
––––––
0,5h
�d
→
�
–– ––
�t
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– 37
FÍ
S
IC
A
3. Uma partícula percorre uma trajetória circular de cen tro O, no
sentido anti-horário, em movimento retardado.
Quando a partícula estiver passando pela posição B, qual dos vetores,
indicados na figura (I a V), repre sen ta
a) a orientação da sua velocidade vetorial;
b) a orientação da sua aceleração vetorial.
Justifique suas respostas.
RESOLUÇÃO:
a) Vetor I: a velocidade vetorial é tan gente à trajetória e tem o
mesmo sentido do movimento.
b) Vetor IV:
1) Como o movimento é re tar dado, exis te aceleração tan gencial
com sentido opos to ao da velocidade.
2) Como a trajetória é curva, existe ace leração centrípe ta.
3) O vetor aceleração é a soma vetorial (regra do paralelogramo)
das acelerações tangencial e centrípeta.
4. Uma partícula descreve uma trajetória de raio
R = 0,50m em movimento uniformemente variado. Representamos, na
figura, a aceleração vetorial da partícula em um instante t0.
São dados:
| a→A| =10m/s
2; sen 37° = 0,60;
cos 37° = 0,80
Calcule:
a) o módulo da velocidade da partícula, no instante t0.
b) o módulo da aceleração escalar da partícula, no instante 2t0.
RESOLUÇÃO:
a) |a
→
cp| =
| a
→
| . cos 37° = 
10 . 0,80 = 
V2 = 4,0 (SI) ⇒
b) | γ | = | a→t | = | a
→
| cos 53° 
| γ | = 10 . 0,60 (m/s2)
Observe que, como o movimento é uniformemente variado, γ é
constante. 
Respostas: a) 2,0m/s
b) 6,0m/s2
→
a = 
→
at + 
→
acp
V2
–––
R
V2
–––
R
V2
––––
0,50
|V| = 2,0m/s
|γ | = 6,0m/s2
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38 –
FÍS
IC
A
1. Ângulo Horário ou Fase (
)
Considere um ponto material des -
 crevendo uma circunferência de cen -
tro C e raio R, com origem dos
espa ços em O.
Seja P a posição do móvel em um
instante t. A medida algébrica do arco
de tra jetória OP é o valor do espaço s,
no ins tante t.
Define-se ângulo horário, po si -
ção angular ou fase (
) co mo o 
ân gu lo formado en tre o ve tor posi ção
CP
⎯→
e o eixo de re fe rência CO
⎯→
. .
A medida do ângulo 
, em radia -
nos, é dada por:
O ângulo horário (
) é adimen sio -
nal:
2. Velocidade Angular Média (�m)
Seja �
 = 
2 – 
1 a variação do
ângulo horário em um intervalo de
tempo �t = t2 – t1.
Define-se velocidade angular
média (�m) pela relação:
No SI, �t é medido em segundos
e �m é medido em rad/s.
A equação dimensional da velo ci -
 dade angular é:
3. Velocidade Angular Instantânea
A velocidade angular ins tan -
tânea é o limite para o qual tende a
velocidade angular mé dia quando o
intervalo de tem po considerado
tende a ze ro:
�
� = lim �m = lim ––––
�t�t → 0 �t → 0
A velocidade angular (ins tan -
tânea pode ficar subentendido) é a de -
rivada do ângulo horário em
relação ao tempo.
No movimento circular e uni for -
me, a velocidade angular é cons tante
e, portanto, a velocidade an gular
instan tânea é igual à velo cidade
angular mé dia (� = �m).
4. Movimento Periódico
Conceito
Um movimento é chamado pe rió -
dico quando todas as suas ca rac te rís -
ticas (posição, velocidade e ace le ra -
ção) se repetem em interva los de tem -
po iguais.
O movimento circular e uniforme é
um exemplo de movimento perió dico,
pois, a cada volta, o móvel re pe te a
posição, a velocidade e a ace leração.
Período (T)
Define-se período (T) como o
menor intervalo de tempo pa ra que
haja repetição das carac te rís ticas do
movimento.
No movimento circular e uni -
forme, o período é o in ter va lo de
tempo para o móvel dar uma volta
completa.
Frequência (f)
Define-se frequência (f) como o
número de vezes que as ca racterís -
ticas do movimento se re pe tem na
uni dade de tempo.
No movimento circular e uni -
forme, a frequência é o nú mero de
voltas realizadas na unidade de
tempo.
Se o móvel realiza n voltas em
um intervalo de tempo �t, a fre quên -
cia f é dada por:
Relação entre 
período e frequência
Quando o intervalo de tempo é igual
ao período ( �t = T), o móvel rea li za uma
volta (n = 1) e, portanto, te mos:
Unidades e dimensões
As equações dimensionais de
período e frequência são:
[ T ] = L0 T e [ f ] = L0 T–1
�
�m = ––––�t
[
] = L0 T 0
s
 = –– (rad)
R
[ � ] = L0T–1
d
� = ––––
dt
n
f = ––––
�t
1
f = ––
T
MÓDULO 10 Movimento Circular Uniforme
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– 39
FÍ
S
IC
A
As unidades SI de período e fre -
quên cia são:
e
5. Relações Fundamentais no
Movimento Circular Uniforme
Velocidade escalar linear (V)
Para uma volta completa, temos 
�s = 2πR e �t = T, das quais:
Nota: A velocidade escalar linear é
também chamada de velocidade tan -
gencial.
Velocidade escalar angular (�)
Para uma volta completa, te mos
�
 = 2 π e �t = T, das quais:
Relação entre V e �
Da expressão
V = 2 π f R, sendo � = 2 π f, vem:
V = � R
linear angular
6. Equação Horária Angular
Sendo o movimento uniforme, te -
mos a equação horária na forma li near:
Dividindo-se toda a expressão por
R, vem:
s s0 V
–– = –– + –– t
R R R
(
0 = ângulo horário inicial)
7. Vetores no Movimento
Circular Uniforme
Velocidade vetorial
No movimento circular e unifor -
me, a velocidade vetorial tem módulo
constante, porém direção variável e,
portanto, é variável.
Aceleração vetorial
Sendo o movimento uniforme, a
componente tangencial da acele ração
veto rial é nula (
→
at =
→
0 ).
Sendo a trajetória curva, a com po -
nente centrípeta da aceleração ve torial
não é nula (
→
acp �
→
0).
Aceleração centrípeta
O módulo da aceleração centrí -
peta pode ser calculado pelas se guin -
tes expressões:
(I)
(II)
(III)
Para obtermos a relação (II), bas ta
substituir em (I) V por � R.
Para obtermos a relação (III), bas-
V
ta substituir em (I) R por –– .
�
• Observe que, no movimento cir -
cular e uniforme, a aceleração ve torial
(centrípeta) tem módulo cons-
tan te , porém direção variável 
e, por tan to, é variável.
• Observe ainda que, no movi men -
 to circular uniforme, a velo ci da de
vetorial (tangente à trajetória) e a ace -
 leração vetorial (normal à traje tó ria)
têm direções perpendicu lares entre si.
�s 2πR
V = –––– = –––––– = 2 π f R
�t T
�
 2π
� = –––– = –––– = 2 π f
�t T
↙↙
s = s0 + V t
 = 
0 + � t
V2
acp = ––––
R
acp = �
2 R
acp = � . V
V2�–––�R
u(T) = segundo (s)
u(f) = s–1 = hertz (Hz)
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40 –
FÍS
IC
A
1. (UFVJM-2022-MODELO ENEM) – Um modelo atômico do início
do século XX propôs que elétrons se movem em órbitas circulares em
torno de um núcleo atômico positivo, sendo que os níveis de energia
permitidos para estas órbitas são quantizados. Isso implica em valores
discretos para os possíveis raios das órbitas dos elétrons no átomo.
Considere: o raio da órbita de menor energia é de 5,3 . 10–9m, a
velocidade escalar do elétron é de 2,2 . 106 m/s e π = 3,14.
O período de translação do elétron e o modelo atômico descrito acima
são respectivamente:
a) 1,5 . 10–14s e modelo de Bohr.
b) 7,6 . 10–15s e modelo de Bohr.
c) 7,6 . 10–15s e modelo de Rutherford.
d) 1,5 . 10–14s e modelo de Rutherford.
e) 1,5 . 10–14s e modelo de Thomson.
RESOLUÇÃO:
1) O átomo descrito é o modelo de Bohr.
2) V = = 
T = = (s)