Operações Matemáticas e Teoria dos Conjuntos

Prévia do material em texto

mapasdaLoli
Feito por:
Caroline de Vargas Pereira
e Luis Eduardo Diehl Gonçalves
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Operações 
Matemáticas
Adição
potenciação
Subtração
multiplicação
divisão
5 x 8 = 40
fatores produto
Minueto DiferençaSubtraendo
Resultado
3 + 4 = 7
9 - 4 = 5
Parcelas
20
=
5
4
dividendo
divisor
quociente
Regra de Sinais
(+) + (+) = +
(-) + (-) = -
(+) + (-) = 
(+3) + (+4) = + 7 
(-3) + (-4) = - 7 
(-3) + (+4) = + 1 
Predomina o 
número com
maior valor
(+3) x (+4) = + 12 
Expoente par com parênteses 
Expoente ímpar com parênteses 
Quando não tiver parênteses 
(-3) x (-4) = +12 
(-3) x (+4) = - 12 
(+3) - (+4) = +3 - 4 = -1
(-3) - (-4) = -3 + 4 = +1
(+3) - (-4) = +3 + 4 = + 7 
(-2) = + 16, 
porque (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = +16
(-2) = - 8, 
porque (-2) x (-2) x (-2) = - 8
-2 = -4
-2 = -8
+3 = 9
+5 = +125
2
2
3
3
(+2) = + 4
porque (+2) x (+2) = +4
(+2) = + 32, 
porque (+2) x (+2) x (+2) x (+2) x (+2) = +32
4 
3 
2 
5 
Quando o sinal for negativo
muda o sinal do próximo número
Soma
Subtração
Multiplicação e Divisão
Positivo
(+) x (+) = +
(-) x ( -) = +
(-) x (+) = -
a potência é sempre positiva
a potência terá o mesmo sinal da base
conservamos o sinal da base independente
do expoente
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
CONJUNTOSN
Q
I
R
2 3
N
1
2
3
Z-5
9
0
7
-7
1
-100
-3
Q
- 0,8
5,6
- 1/1000,45
0,15 1/3
R
I
2
(Naturais)
z
(Inteiros)
-
z sem o zero
inteiros positivos
inteiros negativos
*=
=
=
+zz
(Racionais)
(Irracionais)
(Reais)
= 0,1,2,3,4,...
= ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...
= ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, + Frações
= , , ,Só o que não é fração
* Zero é o primeiro número natural
* Acrescenta os negativos
* Dizimas Periódicas também são frações 
* Raízes não inteiras, * Dízimas não periódicas 
Todos @mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Teoria dos Conjuntos
Por Enumeração ou Extensão
Classificações
Por propriedade ou compreensão
Por diagrama de venn
Apresentado pela citação de seus elementos
 entre chaves e separados por vírgula
Nessa representação, o conjunto é apresentado por uma
lei de formação que caracteriza todos os seus elementos.
Nessa representação, o conjunto é apresentado
linha fechada de forma que todos os seus elementos
estejam no seu interior.
‘‘A’’ das vogais é dado por:
Assim, o conjunto ‘‘A’’ das vogais é dado por
 A = { x/x é vogal do alfabeto}
Lê-se: A é o conjunto dos elementos 
x, tal que x é uma vogal
B = { x/x é número natural menor que 5}
C = {x/x éestado da região Sul do Brasil}
Conjunto ‘‘A’’ das vogais - A ={ a, e, i, o, u}
Conjunto ‘‘B’’ dos números naturais menores que 5 - ‘‘B’’ ={0, 1, 2, 3, 4, 5}
Conjunto ‘‘C’’ dos estados da região Sul do Brasil - ‘‘C’’ = {RS, SC, PR}
Os conjuntos podem ser representados 
de formas distintas
a.
e.
i.
o.
u.
Conjunto Unitário: possui apenas um elememto
ex: Conjunto formado pelos números primos pares
Conjunto Vazio: Não possui elementos, é representado
por 0
Conjunto Universo (U) - Possui todos os elementos necessários
para a realização de um estudo ( pesquisa, entrevista, etc.)
Conjunto Finito: um conjunto é finito quando seus elementos
podem ser contados um a um, do primeiro ao último, e o processo
chega ao fim. Indica-se n(A) o número (quantidade) de elementos
do conjunto ‘‘A’’.
Conjunto Infinito: um conjunto é infinito quando não é possível
contar seus elementos do primeiro ao último
A = {2} - único primo par
/
ex: Um conjunto formado por elementos par, primo
diferente de 2.
ex: A = {1, 3, 7, 10} é finito e n(A) = 4
= ao número de termos dentro do conjunto
@mapasdaLoli
CONJUNTOS
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Relação de Inclusão
União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos
A U B A - B B - A
A B
É uma relação que estabelecemos entre dois conjuntos, para 
essa relação, fazemos uso dos símbolos
U
U
U
U
/
/
U
U
U
U /
U/
Quando falamos que o conjunto A está contido no conjunto B, então todo elemento de A pertence a B e usamos o símbolo: A � B;
Quando falamos que B contém A, usamos o símbolo: B � A
Quando falamos que o conjunto A não está contido em B, usamo o símbolo: A � B;
Quando falamos que o conjunto B não contém A, usamos o símbolo: B � A;
@mapasdaLoli
CONJUNTOS
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Números
Primos
Nº Composto
:-
:-
6 = 6 1 = 6
 6 2 = 3
 6 3 = 2
 6 6 = 1
:-
:-
:-
:-
Pode ser dividido por 
mais de 2 números
O número 1 
não é primo
Se tiver final
0,2,4,6,8, 
não será nº primo,
pois esses números
 são divisíveis por 2
Se o final for 
não é primo,
pois será 
divisivel por
Se não é primo,
é composto
Exemplo de
nº primo
Não existe outro divisor
para o número 5
Só é divisível
 por 
ou por 
ele mesmo
 5 1 = 5
 5 5 = 1
 =
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97...
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
zero é múltiplo de 
todos os números0
Todo número inteiro
é múltiplo de si mesmo
1x0 = 0
2x0 = 0
3x0 = 0
1x1= 1
1x2 = 2
1x3 = 3
1x4 = 4
Exemplos
 de 
múltiplos
múltiplos
de 2 de 3
1 = 2
2 = 4
3 = 6
2 3x x
1= 3
2 = 6
3 = 9
Se os números x 
são múltiplos de y,
então a divisão
de x por y é exata
Ex: 6 é múltiplo de 3,
 logo 6:3 = 2, resto 0
números que resultam 
da multipl icação
de um número
ex: 21 e 70 são múltiplos de 7. 
21 + 70 = 91, que também é
múltiplo de 7.
Múltiplos
1º Propriedade:
2º Propriedade:
3º Propriedade:
4º propriedade
A soma ou subtração
de dois múltiplos de
um número x é igual a 
um número que também
 é múltiplo de x
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Escrever o Número na 
forma decomposta
logo 12.600 = 2 . 3 . 5 . 7
3 2 2
Ex: 12.600
12600
6300
3150
1575
525
175
35
7
1
2
2
2
3
3
5
5
7
cálculo de raízes
9604
2
2
2
7
7
7
7
7
7
retira da raiz e multiplica
Logo raiz quadrada
de 9604 é 98
2
2
2
.
.
.
.
2 7 7 = 98 . .
2
2
2
2
2
2
2 2
29604
4802
2401
343
49
7
1
2
2
7
7
7
7
1º Passo
Fatora o número 
dentro da raiz
2º Passo
Junta os números
conforme o expoente
da raiz para cortar
3º Passo
todos os divisores
com o mesmo expoente
 podem ser cortados
e retirados da raiz 
Quantos divisores tem 90?
90
45
15
5
1
2
3
3
5
90 = 2 . 3 . 5
2 . 3 . 2 = 12 divisores
90 possui 12 divisores
2 11
Quantidade de Divisores
A quantidade de divisores de um número inteiro 
positivo pode ser determinada pelo produto entre os 
expoentes dos fatores primos que correspondem a 
este número, quando acrescidos de uma unidade.
+1 +1 +1
Soma +1 a 
cada expoente
Fatoração
utilidades
A fatoração nu
mérica corresp
onde à decomp
osição de um nú
mero em 
fatores primos,
 para isso é ne
cessário obede
cer a uma sequ
ência. O 
número a ser f
atorado deverá
 ocupar a colun
a da esquerda 
e a coluna 
da direita será 
preenchida com
 os fatores prim
os.
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Fatoração
MDC MMC x MDC MMC
maximo divisor comum
fatora simultaneamente fatora simultaneamente 
minimo múltiplo comum
24
12
6
3
1
1
40
20
10
5
5
1
18
9
9
3
1
1
2
2
2
3
5
2
2
2
3
5
2
2
3
3
5
40
20
10
5
5
1
60
30
15
15
5
1
20
10
5
5
5
1
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
circula os
divisores
comuns
e multiplica
MDC ( 24;40) = 2.2.2
MDC (24;40) = 8
Multiplica tudo
MMC (18;20) = 2.2.3.3.5
MMC (18.20) = 180
O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C) e o 
máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) podem 
ser calculados simultaneamente através da 
decomposição em fatores primos.
Por meio da fatoração, o MMC de dois ou mais 
números é determinado pelamultiplicação dos 
fatores. Já o MDC é obtido pela multiplicação 
dos números que os dividem ao mesmo tempo.
Multiplica apenas os 
divisores comuns!
Outro exemplo de MDC
Na fatoração de 40 e 60, 
podemos perceber que o 
número 2 foi capaz de dividir 
duas vezes o quociente 
da divisão e o número 5 uma vez.
Portanto o MDC de 40 e 60 é: 2 x 2 x 5 = 20 @mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Frações
1
48
437 9645
6 403 10
365
98
4 4876678
2
6
=
=
6
10
10 100
14 127 3
100
1000
100 100010
6
9
O inteiro foi dividido em 6 partes 
onde 1 delas foi pintada
O inteiro foi dividido em 4 partes 
onde 1 delas foi pintada
O inteiro foi dividido em 9 partes 
onde 6 delas foram pintadas
numerador
denominador
Indica quantas partes
 do inteiro foram utilizadas
Indica a quantidade máxima
de partes em que fora
dividido o inteiro e nunca
pode ser Zero
Relação entre frações e decimais Simplificação 
de Frações
Para transformação contrária 
( Decimal em Fração decimal)
colocamos no denominador tantos zeros quantos
forem os números à direita da vírgula no decimal
Para transformar uma fração( de denominador 10) em
um número decimal, escrevemos o numerador da fração
e o separamos com uma vírgula, deixando tantas casas
decimais à direita quanto forem os zeros do denominador
=
= =
= =
=
=
= ==
4,8
43,7 964, 53,65
0,098
0,04 4,87667,8
Para simplificar uma fração, se possível,
basta dividir o numerador e o denominador
por um mesmo número se eles não são
números primos entre si.
Divide 
por 2
Divide 
por 4
Divide 
por 2
Divide 
por 4
Adição e Subtração
Denominadores Iguais
Denominadores Diferentes
Sendo os denominadores iguais, basta somar ou subtrair
os numeradores e manter o denominador
Se os denominadores forem diferentes será necessário 
encontrar frações equivalentes (proporcionais) que
sejam escritas no mesmo denominador comum.
Usaremos o M.M.C
13
21 49 9-+ +
3
6 6
21 26 13214 49 9- -+ += = =6 6 36 6 6
denominadores iguais mantem
Simplifica por 2
Simplifica por 2
2
2x5=10 4x3=12
- 2
15
4- = =3 15
10 - 12
35
5
MMC entre 3 e 5 é 15
agora divide o MMC entre os
denominadores e multiplica o
resultado pelo numerador
multiplica o resultado pelo numerador
passa os resultados
pa
ss
a 
o 
re
su
lta
do
 p
ar
a 
cim
a
e 
mu
ltip
lic
a 
pe
lo 
de
no
mi
na
do
r
15
/3
 = 
5 15
/5
 = 
3
pa
ss
a 
o 
re
su
lta
do
 p
ar
a 
cim
a
e 
mu
ltip
lic
a 
pe
lo 
de
no
mi
na
do
r
É o modo de expressar uma quantidade a partir 
de uma razão de dois números inteiros
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Multiplicação e Divisão Potenciação e Radiciação
Potenciação
Radiciação
Multiplicação
Divisão
Para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores entre si
e fazer o mesmo entre os denominadores, independente de serem
iguais ou não.
Para elevarmos uma fração à determinada potência, basta
aplicarmos a potência no numerador e no denominador,
respeitando as regras dos sinais da potenciação.
Caso seja necessário aplicar um radical numa fração
basta entender que: 
A Raiz da fração é a fração das raízes.
Para Dividir as frações, basta multiplicar a primeira
fração pelo inverso da segunda fração
2 2
4
16
0,001
16
11
100
4
1
0,1
2
4
4
16
2 2 2 x 4 8
1
1
3
5 5
15
2
2
5
3 6
-
- -x
5 x 3
3
3
3
x
6 32 x 3x =
= =
= =
=
= =
5 3
9
25 25
100
5
10
3
9
9
81
5 5
4
4
4
20 105 x 4
simplific
a por 2
Invertemos
a 2� Fração
e multiplicamos normalExeplo 1
Exeplo 2
(
(
(
(
(
(
(
(
2
2
- +
2
2
2
2
=
=
=
= = = =
=
=
=
expoente par fora do parêntese Par fração sempre positiva
 conforme mapa mental
 das regras de sinais 
( (
Frações
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Produtos NotáveisProdutos Notáveis
Existem alguns produtos que se notabilizaram por algumas
particularidades, chamam-se de PRODUTOS NOTÁVEIS.
Essas multiplicações são frequentemente usadas e,
para evitar a multiplicação de termo a termo, existem
algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
o quadrado da soma de dois números
é igual ao quadrado do primeiro somado
duas vezes o primeiro pelo segundo, somando
o quadrado do segundo
O quadrado da diferença de dois números é igual
ao quadrado do primeiro subtraído duas vezes 
o primeiro pelo segundo, somando o
quadrado do segundo.
O produto da soma de dois termos pela sua diferença
é igual ao quadrado do primeiro termo subtraído o
quadrado do segundo termo.
 
+
 
+
Quadrado da Soma de Dois Números
Quadrado da diferença de dois números
Produto da soma pela diferença 
entre dois números
Na teoria parece difícil, porém na prática é fácil, vamos lá!
( a + b) = a + 2.a.b + b
2 2 2
Quadrado 
do primeiro
Duas vezes
o primeiro 
pelo segundo
Quadrado
do Segundo
Assim que passamos da teoria para
a fórmula fica mais fácil
Exemplo
(x + 4) = x + 2.x.4 +4
(3x + 1) = 3x+2.3x.1 +1
x + 8x +16
9x + 6x +1
(x+y)
(a+b) (a+b) (a+b)x
x + y
2
2 2 2
2 2
2
2
2
2
22
Cuidado:
Não é necessário decorar a fórmula
basta lembrar que:
Aplica a distributiva e terá a fórmula
=
=
/
!!
 a + 2.a.b + b2
2
a + ab + ab + b
2 2
Pronto conseguimos achar a fórmula1º passo
2º passo
3º passo
( a - b) = a - 2.a.b + b
2 2 2
( a + b) . (a - b) = a - b
22
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Regra de Três Simples
A definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado.
Como exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço idade, etc...
As grandezas diretamente proporcionais estão ligadas de modo que, à medida que 
uma grandeza aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional.
Entendemos por grandezas inversamente proporcionais as situações
em que ocorrem operações inversas, isto é, se dobrarmos uma grandeza,
a outra é reduzida à metade. São grandezas que quando uma aumenta a 
outra diminui e vice-versa.
Um automóvel percorre 300Km 25 litros com de combustível.
Caso o proprietário desse automóvel queira percorrer
, quantos litros de combustível serão gastos?120 Km
12 operários 6 semanas.constroem uma casa em
, nas mesmas condições, construíram8 operários
a mesma casa em quanto tempo?
Devemos pensar: Se diminuiu o número 
de funcionários, será que a velocidade 
da obra vai aumentar? É claro que não!
Se um lado diminui enquanto o outro 
aumenta, é inversamente proporcional 
e, portanto devemos multiplicar lado por lado
Exemplo:
Vamos começar pensando com a ideia que
se foram percorridos com 25 litros,300 Km
para percorrer serão usados menos litros120 Km 
Transformando em fração Transformando em fração
300 12
300 . x = 25 . 120
300x = 3000
x = 3000
x = 10 litros
= =25
6
12 . 6 = 8 . x
72 = 8x
x = 72
x = 9
8
120 8x x
Se 300 Km 
12 operários 
então 120 Km 8 operários 
Gastou 25 litros 6 semanas 
Gastou X litros x semanas 
Multiplica
cruzado
Multiplica
Reto
Multiplica
cruzado
300
Re
spo
sta
Grandezas Diretamente Proporcionais Grandezas Inversamente Proporcionais
Multiplica 
Cruzado
Multiplica 
Reto
Multiplicação Reta
a
=
c
b d
Exemplo:
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Regra de Três composta
A regra de três composta é ultilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
Para não vacilar, temos que montar um esquema com base na análise das colunas completas em relação à coluna do ‘‘x’’.
Identificando as relações quanto à coluna que contém o X:
Se, em carregam a areia, em , para8 horas, 20 caminhões 5 horas
carregar o mesmo volume, serão necessários caminhões. MAIS
Então se coloca o sinal de sobre a coluna Horas. +
Se são transportados por , serão transportadospor160m 20 caminhões 125 m
MENOS caminhões. Sinal de para essa coluna.-
+ -
Em descarregam ,8 horas, 20 caminhões 160m de areia
em , quantos caminhões serão necessários5 horas
para descarregar ?125m
3
3
33
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Assim, basta montar a equação com a seguinte orientação:
Ficam no , acompanhando o valor da coluna do ,numerador X
o valor da coluna com sinal de , e da coluna com MAIOR +
sinal de , o valor, assim: - MENOR
8 20
Horas Caminhões Volume
160
1255 x
20 x 125 x 8 20.000= = 25 
160 x 5 800
Numa fábrica de brinquedos, montam em .8 homens 20 carrinhos 5 dias
Quantos carrinhos serão montados por em ?4 homens 16 dias
Se, em montam-se , então, em montam-se5 dias 20 carrinhos 16 dias
 carrinhos. Sinal de +.MAIS
Montando a equação X = 
Logo, serão montados 32 carrinhos
Observe que se montam , então8 homens 20 carrinhos
 montam carrinhos.4 homens MENOS
Sinal de nessa coluna -
- +
8 20
Homens Carrinhos Dias
5
164 x
20 x 4 x 16 1.280= = 32 8 x 5 40
logo, serão necessários 25 caminhões
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Média
Média ponderada
 Moda Mediana
determinando a posição da mediana
A média aritmética é uma das formas de obter um valor
intermediário entre vários valores. É considerada uma
medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano
É o valor central dos dados estatísticos dispostos em ordem
crescente ou decrescente. Se o número de dados do rol 
for par, temos que a mediana é a média aritmética
dos dois valores centrais.
A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre 
com maior frequência. A moda pode não existir e também
não ser única.
O conjunto de números: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 9
O conjunto de números: 7, 6, 6, 8, 8, 9 
Seja o rol de dados: 1, 3, 7, 9, 10 
A maior frequencia é do número 6, portanto a moda é 6
A maior frequencia é dos números 6 e 8, então é bimodal
Como todos os dados têm a mesma frequência, não existe moda.
Caso o rol de dados seja muito grande, há uma maneira de 
localizar a posição exata da mediana nesse rol
(quando disposto em ordem crescente ou decrescente)
Nesse caso, já sabemos que a mediana será calculada 
pela média artmética dos dois termos centrais, logo:
Posição dos termos centrais = 
Se tivermos 90 elementos, a mediana será 
calculada pela média entre os termos de posição: 
 90 
e seu sucessor 
Posição = (n + 1)
Posição = (73 + 1) Posição = (74)
n
Posição = 37
Sendo n = número de elementos
Se tivermos 73 elementos, a mediana ocupará a posição:
2
2 2
2
2
Se a quantidade de elementos for ímpar
Se a quantidade de elementos for par
A mediana dos dados 1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 16, 17 é 5
A mediana de 15, 12, 10, 2 é 11
Soma os meios e 
divide por 2
terá a mediana
12 + 10
2
No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor
do conjunto por seu isto é, sua importância relativapeso,
Facilitando: Soma Todos os Dados e Dividi pelo número de dados
Exemplo:
Exemplo:
Calcule a média anual de Carlos na disciplina de
Português com base nas seguintes notas bimestrais:
M = 
x + x+ ... + x 1 2 n 
a n
1º B = 6,0
2º B = 9,0
3º B = 7,0
4º B = 5,0
Soma todas 
as notas
Divide pelo
número de
disciplinas
M
M
=
=
a
a
6 + 9 + 7 + 5
4
Notas
número de
disciplinas
6,75
M = 
x . x + x . x+ ... + x . P 1 
2 1 
p p 2 n n 
n 
p 
P + P +... + P
Paulo teve as seguintes notas nas prova de Português no ano
de 2010: , nas quais os pesos das provas foram8,5 ; 7,0 ; 9,5 ; 9,0
, respectivamente. Para obter uma nota que 1, 2 , 3 , 4
representará seu aproveitamento no bimestre, calculamos
a média aritmética ponderada (MP)
MP = 
MP = MP = 
87 8,7 
10 
8,5.1 + 7,0.2+ 9,5.3 + 9,0.4 
1+2+3+4 
nota peso
peso
mediana
90 Elementos = logo será 45 e seu sucessor 
esse recurso permite o cálculo da POSIÇÃO da mediana e não de seu valor! !!
1 -
2 -
3 -
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Conversão de
UnidadesCapacidade (Litro)
kl hl dal l dl cl ml
X10
10 10 10 10 10 10
X10 X10 X10 X10 X10
..- ..- ..- ..- ..- ..-..- ..- ..- ..- ..- ..-
Grandeza
kl = quilolitro
hl = hectolitro
dal = decalitro
l = litro
dl = decilitro
cl = centilitro
ml = mililitro @mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Conversão de
Unidadesárea (Metro Quadrado)
volume ( Metro Cúbico)
 dam² m² dm² cm² mm²
 dam³ m³ dm³ cm³ mm³
X100
X1000
100
1000
100
1000
100
1000
100
1000
100
1000
100
1000
X100
X1000
X100
X1000
X100
X1000
X100
X1000
X100
X1000
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
km² hm²
km³ hm³
Grandeza
Grandeza
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Conversão de
UnidadesComprimento ( Metro)
Massa (Grama)
km hm dam m dm cm mm
kg hg dag g dg cg mg
X10
X10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
X10
X10
X10
X10
X10
X10
X10
X10
X10
X10
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
..-
Grandeza
Grandeza
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1.000 
Multiplicação de 
números com vírgula
Taxa unitária
Taxa de juros
100
= 0,7
70
100
Divisão de números
 com vírgula
Fator de Capitalização
Fator de descapitalização
Desconto de 30%
logo um produto que vale 100%
estará valendo 70% do valor inicial.
Um produto sofreu aumento
de 30%
Produto valia 100%
aumentou 30%
logo está valendo 130%
Desconto de 30% = 100% - 30% = 70% = 70/100 = 0,7
130% = 1,3
100x3,756
3,45
0,0345
100
1.000x0,2
375,6
200
Vamos lembrar
potências de 10:
Multiplicar um número com
vírgula por uma potência de
10 basta deslocar a vírgula 
para a direita
Dividir um número com
vírgula por uma potência de
10 basta deslocar a vírgula 
para a esquerda
2 Zeros
3 Zeros
corre 2 ‘‘vírgulas’’ 
para a direita
corre 3 ‘‘vírgulas’’ 
para a direita
Quando não tiver casa decimal 
a direita complete com zero
..-..-
Vírgula corre para esquerda
2 casas
_____________ 
_____________ 
30%
0,2%
0,3
0,002
30
0,2
100
100
_____________ 
_____________ 
Tx.Juros Fração Tx.Unitária
Multiplica o valor pelo fator de
capitalização
logo teremos
Produto desconto Novo preço
R$ 1.500,00 30%
multiplica por
0,7
R$ 1.050,00
Produto Aumento Novo preço
R$ 1.500,00 R$ 1.950,00
30%
multiplica por
1,3
100% + 30%
Multiplica-se sobre
o valor do produto
para obter o seu 
novo preço
Porcentagem e
números com v
írgula 
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Juros Simples
J = C.i.t
M = C + J
Juros
Montante Capital
juros
taxa tempo de juros
(ano,mês.dia)
1 Ano 
1 Mês 
12 meses 
6 bimestres
3 trimestres
2 semestres
2 quinzenas
30 dias
360 dias 
Capital
Juros Compostos
Montante
Montante
Capital
Capitaljuros
tx.juros
tempo de juros
M = C (1+i)
t
J = M - C
Tx.Equivalente
tx.anual tx.mensal
t
1 + ia = (1+im)
Tx.Real 
 
tx.nominal(aparente)
inflação
tx.real =
__________________
x Tx.Aparente
tx. proprocional
Proporção de Tx de Juros x Período
3% em 6 meses = 18%
• Juros: é a remuneração cobrada em um empréstimo de dinheiro; 
 é apresentado como um percentual sobre o valor emprestado. • Taxa de juros:
 valor aplicado em uma transação financeira. • Capital:
 é o total do valor acumulado após a entrada dos juros. • Montante:
simples
composto
Matemática 
 Financeira
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Desconto comercial simplesDesconto comercial composto
Desconto Racional Simples
formula para valor do desconto
formula para valor do desconto
formula para valor do desconto
formula do valor atual
formula do valor atual
formula do valor atual
D = N x i x tc d D = N - Ac
A = N x (1 - i ) 
t 
d 
D = A x i x tr d
A = N x (1-i x t)d
D =
A =
N = 
i =
t =
c
d
D =rDesconto Comercial Desconto racional
Valor Atual ou Valor Liquido
Valor Nominal ou Valor de Face
Tx. de desconto
PrazoA =
N
d( 1 + i x t )
___________
Matemática 
 Financeira
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Razão e
proporção
A entre Razão
duas grandezas é 
o quociente entre
elas.
E geral, dois números reais
usamos
para indicar a razão entre os 
números a e b, respectivamente
coma b e b = 0/
ou
a 
b
a = b__
a b e a 
b= 
__
a 
b
c 
d= 
__ __
Razão entre
a b está para , assim
como está para c d
é uma igualdade entre duas razões
dizemos que os números reais
formam uma proporção
não nulos
nesta ordem
com a seguinte igualdade
a b c d
Produto dos meios
Produto dos Extremos
 = 
c 
d
a 
b
e 
f
k= = = ____ __
Grandezas Diretamente Proporcionais
Grandezas inversamente
 Proporcionais
Quando as razões entre os 
correspondentes forem iguais
quando os números são 
diretamente proporcionais 
ao inverso do correspondente
Ex:
Constante de 
Proporcionalidade
Quanto mais ônibus (↑) uma empresa coloca para levar 
uma quantidade específica de pessoas, menor será a 
quantidade de viagens feitas (↓).
 Quanto mais alguém estuda (↑), 
menor a chance de reprovação (↓).
 Quanto mais torneiras (↑) utilizamos para encher 
um tanque, menor o tempo de enchimento (↓).
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Primeiramente, o que é um expoente?
2 = 2 . 2 = 4
3 = 3 . 3 . 3 = 27
5 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 15625
Exemplo:
O valor do expoente equivale a quantas vezes a base é multiplicada.
As funções exponenciais usam a mesma ideia, 
porém a base é fixa e o expoente é variável.
Seja a função f(x) = 2 , calcule f(2), f(5) e f(10):
f(2) = 2 = 2x2 = 4
f(5) = 2 = 2x2x2x2x2 = 32
f(10) = 2 = 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 1024.
Exemplo:
x
2
5
10
Propriedades
se x = 0, logo f(x) = 1
f(x) = 3�
f(0) = 3�
f(0) = 1
x
0 Todo número elevado 
a 0 é igual a 1
se a > 1, a função 
será crescente
Toda vez que x1 < x2, e que a > 1, 
teremos como consequência ax1 < ax2.
Por exemplo: 
f(x) = 2. 
Observe que a = 2, 
que é maior que 1. 
Assim, essa função é crescente. 
Uma função é considerada decrescente quando dados 
os dois valores distintos do domínio 
x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) > f(x2)
1� propriedade: ª
3� propriedade: ª
2� propriedade: ª
Se “a” for menor que 1 e maior que zero, 
então, a função exponencial será decrescente.
Por isso, tomando 
x1 = 1 e x2 = 2, teremos:
a < a
2 < 2
2 < 4
Toda vez que x1 < x2, e que 0 < a < 1, 
teremos como consequência ax1 > ax2.
x
x1 < x2
a > a
0,5 > 0,5
0,5 > 0,25
x1
1 2
x2
x1
1 2
x2
Função 
Exponencial 
Por exemplo: f(x) = 0,5.
 Nesse exemplo, a = 0,5 
e está no intervalo 
referente a essa 
propriedade. 
Como essa função é 
decrescente, 
se x1 = 1 e x2 = 2, 
teremos:
Importante
@mapasdaLoli
6
²
3
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Propriedades
a . a = a
m n m+n
Função 
Exponencial a n m-na-= a
a a ( (
n n
n
b b
- -= 
a b ( (( (
- n n
b a
- -= 
m
( (
n m.n
a = a
( (
n n n
a.b = a.b - n
/
na a = 0
1 
a
-= 
a a 
n
m
m 
n
-
= 
1º Propriedade 6º Propriedade
2º Propriedade 7º Propriedade
3º Propriedade3º Propriedade 8º Propriedade
4º Propriedade
5º Propriedade
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Função de
1� Grauº-Forma Geral:
f(x) = ax+b y = ax+bou
a Coeficiente Angular
Coeficiente Linear
Termo independente
Ponto de intersecção entre 
a reta e o eixo das ordenadas
b
É toda função que pode 
ser escrita nas formas
Sendo a e números reaisb
e a = 0 /
Exemplo:
função y=x+1
Para x = 2
x = 1Para 
Para x= 0
Para x= -1
Para x= -2
y= 2+1 y= 3 
y= 1+1 y= 2 
y= 0+1 y= 1 
y= -1+1 y= 0 
y= -2+1 y= 1 
Atribuímos valores quaisquer a e obtemosx
pela subistituição os valores correspondentes de .y
Substitui pelo
valor atribuido a X
x x
y y
b b
a 0 a 0v v
Gráfico Reta
Crescente
Decrescente @mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Função de
2� Grau
Ou Função Qua
drática
º-
f(x) = ax²+bx+cf(x) = ax²+bx+c
a = 0/
Forma Geral:
Fórmula do Delta
Fórmulas X e Y Vértice 
 = b² -4xaxc
Delta
Fórmula da Báscara 
-b
2xa
+
-
Delta
-b
-
Xv=
Yv=
2xa
4xa
X Vértice 
Y Vértice 
x
a 0
0
0
0
v
v
v
=
xa 0v
2 raízes reais
 e distintas
2 raízes iguais
não possui raízes
xv
v
x1 x1x2 x2
a 0v
xa 0v
x xx1
x1
=
=
x2
x2
a 0
a 0
v
v
x
x
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Progressão 
Aritmética - P. 
A
Termo Geral da PA:
Soma dos termos da PA:
Termo do meio da PA:
a = a + (n-1).r
S = 
a = 
n
n
4
1
( a + a ) . n 
2 
n1
 a + a 
2 
53
Razão = a - a
a = a + r
a = a + 2r
a = a + 3r
2
2 1
1
1
3
4
1
( x - r, x, x+r)
Vamos representar 
3 termos
PA ( a , a , a , a , a , a .....)1 2 3 4 5 6
termo
Exemplos de PA
É uma PA de termo inicial
 a = 5 e razão r=2
É uma PA de termo inicial
 a = 9 e razão r= -4
razão
5,7,9,11,13,...
9,5,11-3,-7,...
1
1
4º termo
3º termo 5º termo
sempre a cada três termos consecutivos de uma PA, o termo
 central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja a soma dos 
extremos é o dobro do termo central.
11 , x , y, 26, 31 estão em uma progressão aritmética (PA).
Qual o valor de y?
Em vez de encontrar o valor da razão, podemos fazer: y = 11+31
2 
Qual o décimo termo da 
progressão aritmética: 8,11,14,17,20,… ?
Exemplo de Termo Geral da PA
a = 8
1 110
10
10
10
10
r = 11 - 8 = 3
a = a + (n -1) . r
a = 8 + (10 - 1) . 3
a = 8 + 9.3
a = 8 + 27
a = 35
1º termo fórm
ula geral
razão
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Progressão 
Geométrica - P.
 G
Termo Geral da PG:
exemplo:
Termo geral ou médio
Constante
(razão)
Soma dos finitos termos:
Soma dos infinitos termos:
a = a . q
a = a . q
a = a . q
n
nn = 8
q = 3
a = 4
a = 4 . 3
a = 4 . 3
a = 4 . 2187
a = 4 . 2187
a = 
a = 4 . 3
a = 4 . 
a = 4 . 
a = 8.748 
8-1
77
88
8
8
8
8
8
8
8
8
1
n
n-1
n-1
n-p
a = 
S = 
S = 
a ( q - 1 ) 
a 
q - 1 
1 - q 
n 
n
n
8
1
1
1
1
p
a . a 
n-1 n+1
ou expresso pela letra q
Basta dividir um termo qualquer pelo seu antecessor
A partir do segundo termo, o termo central é a
média geométrica do termo antecessor e do
sucessor:
Em uma progressão geométrica, temos que 
o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. 
Determine o 8º termo dessa PG.
1,2,4,8,16,...
Razão q = 2
4
2
= 2
PG (2,4,8,16,...)
4 = 2.8 8 = 4.16
É usada quando o texto confirma o desejo
pela soma de uma quantidade infinita de
termos e também quando temos 0 q 1.v v
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Analise 
Combinatória
Princípio da Contagem
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e 
independentes, de tal modo que as possibilidades da 
primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa 
é y, resulta no número total de possibilidades de o evento 
ocorrer, dado pelo produto (x) . (y).
 multiplica-se o número de opções entre as escolhas 
que lhe são apresentadas.
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, 
estão incluídos São oferecidos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa.
três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetarianoe 
cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: 
 Para a sobremesa, existem quatro opções: suco de maçã ou guaraná.
cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de 
baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um 
cliente pode escolher o seu lanche?
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos 
tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos 
que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para 
saber quais as diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o 
número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na 
promoção.
O fatorial de um número natural é 
definido como o produto deste número 
por todos os seus antecessores. 
Utilizamos o símbolo ! para indicar o 
fatorial de um número.
Fatorial
tem que saber para 
entender a matéria!
!!
Define-se ainda que o fatorial de zero é 
igual a 1.
Exemplo
O! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.54. .3.2.1 = 5 040
10! = 109. .8.7.6.54. .3.2.1 = 3 628 800
Note que o valor do fatorial cresce 
rapidamente, conforme cresce o 
número. Então, frequentemente usamos 
simplificações para efetuar os cálculos 
de análise combinatória.
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da 
ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados,
 p a p (p n), utiliza-se a seguinte expressão:
Arranjos
v-
An,p=
n!
(n-p)!
-
n = 20
p = 2n,p
= n!
(n-p)!
-
Exemplo
Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para 
escolher um representante e um vice-representante de uma 
turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o 
representante e o segundo mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá 
ser feita? Observe que nesse caso, a ordem é importante, visto 
que altera o resultado final.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
A20,2= = = 380
20! 20 . 19 . 18!
(20-2)! 18!
--
A
aplicação da fórm
ula
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos 
(n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de 
elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o 
denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo
Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas
podem se sentar em um banco com 6 lugares.
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é 
igual ao número de pessoas, iremos usar a permutação
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas sentarem neste 
banco.
Analise 
CombinatóriaPermutações
Combinações
Pn = n!
P6 720= =6! 6 . 5 .4 . 3 . 2 . 1 =
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é 
importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Cn,p=
n!
(n-p)!
-
p!Exemplo
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão organizadora de um 
evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer dizer que 
escolher Maria, João e José é equivalente à escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos 
o fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
C10,3 = = = =
10!
(10-3)! . 7!
---
3! 3! 3. 2. 1
12010. 9. 8. 7! 10. 9. 8
≤ 
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p 
a p (p n), utiliza-se a seguinte expressão:
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Todo sistema linear é classificado de 
acordo com o número de soluções
apresentadas por ele 
Consiste em somar as equações, que 
podem ser previamente multiplicadas
por uma constante, com objetivo de
eliminar uma das variáveis 
Para achar o valor de y basta trocar
o valor de x obtido em qualquer das
equações do sistema linear 
Multiplica-se as equações de maneira 
que se criem valores opostos da mesma
 variável que será eliminada quando 
somarmos as equações
 
multiplica por 2 
Criamos números opostos
que podem ser cortados 
logo teremos a equação 
Na prática: 
Sistema
Linear
Método da Adição
Possível ou compatível
Determinado
Indeterminado
Impossível ou Incompatível
quando admite solução
admite uma única solução
Admite infinitas soluções
quando não admite solução
x + 2y = 16
3x - y = 13
x + 2y = 16
6x - 2y = 26
x + 2y = 16
6 + 2y = 16
2y = 16-6
2y = 10
y = 10 y = 5
2
x = 6
logo:
substitui pelo valor de x
passa para o outro lado
com a operação inversa
passa para o outro lado com a operação 
inversa: está multiplicando, passa dividindo
x + 2y = 16
6x - 2y = 26
7x = 42
x = 
x = 6 
42 
7 
{
{
{
co
n
tin
u
a
@mapasdaLoli
Escolhemos uma equação do sistema
Sistemas
Lineares
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Raciocínio 
Lógico
Proposição Proposições Compostas
Um argumento é uma sequência de na qualpreposições
uma delas é a conclusão e as demais são premissas.
As premissas justificam a conclusão.
É a união de proposições simples por meio de um conector
lógico. Este conector irá ser decisivo para o valor lógico
da expressão.
Preposições podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lógicos.
Conectores que criam novas sentenças mudando ou não seu valor lógico
Toda frase que você consiga atribuir um valor lógico
é preposição, ou seja, frases que podem ser 
verdadeiras ou falsas.
Dica
Loli
da
Helena é feliz
Sofia estuda
Osvaldo é desdentado
Vai estudar?
Mas que legal!
Aquele cantor é famoso
Ela viajou
A + B + C = 60
Não são Proposições
Sentenças Abertas
Negação Simples
negação de Osvaldo é feio é:
Importante
Não são proposições frases onde você
não consegue julgar, se é verdadeira ou 
falsa, por exemplo:
São sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito.
uma forma simples de identificá-las é o fato de que não 
podem ser nem VERDADEIRAS nem FALSAS.
Essas sentenças também não são PROPOSIÇÕES
Frases interrogativas, 
no imperativo, exclamativas
e com sujeito indeterminado, 
não são proposições.
x
x
x
x
x
 ou V
V V
f
f f
Verdadeiro
Proposição Simples - Apenas dois valores lógicos ( Verdadeiro ou Falso)
Proposição Composta - Terá mais do que 2 possibilidades distintas
Consideramos as duas proposições, e ‘‘chove’’ ‘‘faz frio’’
Cada proposição existe duas possibilidades distintas,
 falsa ou verdadeira, numa sentença composta 
teremos mais de duas possibilidades.
É possível identificar quantas possibilidades distintas teremos de
acordo com o número de proposição. Para isso devemos elevar
o número 2 a quantidade de proposições conforme tabela abaixo.
‘‘chove’’ e ‘‘faz frio’’
Proposições Compostas
Falso
V f
V V
f f
f v
Chove faz frio
Chove faz frio
Chove faz frio
Chove faz frio
Um total de 4 possibilidades
 distintas em uma sentença 
composta com duas proposições
Proposições
1 2
2 4
3
n
n
8
2
Possibilidades
Osvaldo é feio
Osvaldo NÂO é feio
A negação de uma proposição é uma nova proposição que é
verdadeira se a primeira for falsa e é falsa se a primeira
for verdadeira.
Para negar uma sentença acrescentamos o NÂO, 
sem mudar a estrutura da frase
Dica
Loli
da
Para simbolizar a negação usaremos ou ~
Atribuímos a proposição uma letra:
Osvaldo é feio atribuímos a letra Z Z 
Então a Simbologia da negação de Osvaldo é feio 
representadopela letra será: 
~
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Raciocínio 
Lógico
Conectivos Lógicos Disjunção - ‘‘ou’’
Conjunção - ‘‘E’’
Tabela Verdade
Um conectivo lógico é um símbolo ou palavra usado para conectar 
duas ou mais sentenças, de maneira gramaticalmente válida, de
modo que o sentido da sentença composta produzida dependa
apenas das sentenças originais.
Recebe o nome de disjunção toda a proposição composta em que as
partes estejam pelo unidas pelo conectivo ou, representaremos esse
conectivo por ‘‘v’’ 
Exemplo:
Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother
Proposição 1: Estudo para o concurso
Proposição 2: Assisto o Big Brother
Representação: p v q.Conectivo: ou.
Proposições compostas ligadas entre si pelo conectivo ‘‘e’’.
Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ‘‘^’’
É uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas possibilidades,
o que aconteceria se cada caso acontecesse.
Fui aprovado no concurso da PF Serei aprovado no concurso da PRFe 
Vamos chamar a primeira proposição de ‘‘p’’ a segunda de ‘‘q’’ e o conectivo de ‘‘^’’. 
Assim podemos representar a Frase acima da seguinte forma: p^q. 
H1:
p: Não fui aprovado no concurso da PF.
q: Serei aprovado no concurso da PRF
H2:
p: Fui aprovado no concurso da PF
q: Não serei aprovado no concurso da PRF
H3:
p: Não fui aprovado no concurso da PF.
q: Não serei aprovado no concurso da PRF
H4:
p: Fui aprovado no concurso da PF.
q: Serei aprovado no concurso da PRF 
Proposição 1: Fui aprovado no concurso da PF.
Preposição 2: Serei aprovado no concurso da PRF
Conectivo: e.
Exemplo:
Exemplo:
Chove e faz frio
I - ‘‘e’’ ( conjunção).
II - ‘‘ou’’ (disjunção).
III - ‘‘se...então’’ (implicação).
IV - ‘‘se e somente se’’ (equivalência).
Tabela Verdade da conjunção ‘‘e’’
Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo,
considerando cada uma das hipóteses.
Tabela Verdade da disjunção ‘‘v’
Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo,
considerando cada uma das hipóteses.
Uma conjunção só é verdadeira 
quando ambas as proposições 
forem verdadeiras.
A disjunção somente será
falsa quando as duas
proposições forem falsas
H1
H1
F
V
p
p
q
q
p^q
p v q
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
H2
H2
H3
H3
H4
H4
Dica
Dica
Loli
Loli
da
da
@mapasdaLoliLicenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Raciocínio 
Lógico
Disjunção - ‘‘ou...ou’’ Condicional - ‘‘se...então...’’
Bicondicional - ‘‘... Se Somente Se...’’
Recebe o nome de disjunção exclusiva toda a proposição composta
em que as artes estejam unidas pelo conectivo ou ‘‘ primeira proposição’’
ou ‘segunda proposição’’. Simbolicamente, representaremos esse conectivo
por ‘‘V’’
Recebe o nome de toda proposição composta em quecondicional 
as partes estejam unidas pelo conectivo Se...então, simbolicamente
representaremos esse conectivo por ‘‘ ’’ 
Exemplo:
Exemplo:
Exemplo:
Proposição 1: Vou a Praia
Proposição 2: Estudo para o concurso.
Proposição 1: Estudo (condição Suficiente)
Proposição 2: Sou aprovado ( condição necessária)
Proposição 1: Maria compra o sapato
Proposição 2: O sapato combina com o bolsa.
‘‘ vou a praia estudo para o concurso’’Ou ou 
‘‘Se estudo, então sou aprovado’’
‘‘Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa’’.
Representação: p v q.
Representação: p q.
Conectivo: ou...ou
Conectivo: Se...Então
Conectivo: Se e somente se
Tabela Verdade da disjunção ‘‘v’
Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo,
considerando cada uma das hipóteses.
Tabela Verdade da disjunção ‘‘ ’’
Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo,
considerando cada uma das hipóteses.
Tabela Verdade da disjunção ‘‘ ’’
Aqui vamos analisar o resultado da sentença como um todo,
considerando cada uma das hipóteses.
A disjunção exclusiva somente
será falsa quando as duas
proposições forem iguais,
ou seja, tiver o mesmo valor
lógico ( VV ou FF)
Uma condicional só será falsa
se a primeira proposição for
verdadeira e a segunda falsa.
O bicondicional só será verdadeiro quando 
ambas as proposições possuírem o mesmo valor
lógico, ou quando as duas forem verdadeiras ou
as duas proposições forem falsas
H1
H1
H1
V
V
V
p
p
p
q
q
q
p v q
p q
p q
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
H2
H2
H2
H3
H3
H3
H4
H4
H4
Dica
Dica
Loli
Loli
da
da
Dica
Loli
da
Recebe o nome de bicondicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas
pelo conectivo ...se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por ‘’ ‘’
Representação: p q.
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Raciocínio 
Lógico
Tautologia Contradição
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições
p, q, r..... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira,
independentemente dos valores lógicos das proposições 
p, q, r ... que a compõem.
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições
p, q, r..... será dita uma Contradição se ela for sempre falsa,
independentemente dos valores lógicos das proposições 
p, q, r ... que a compõem.
Assim podemos representar a sentença acima da seguinte forma: p v p
Assim podemos representar a sentença acima da seguinte forma: p ^ p
Grêmio cai para segunda divisão ou o Grêmio não cai para a segunda divisão
Exemplo:
Agora vamos construir as hipóteses:
p: Grêmio cai para segunda divisão
p: Grêmio não cai para segunda divisão
Como os valores lógicos encontrados foram
 todos verdadeiros,
logo temos uma TAUTOLOGIA!
p: Grêmio não cai para segunda divisão
p: Grêmio cai para segunda divisão
Hipótese 1:
Hipótese 2:
Vamos chamar a primeira proposição de ‘‘p’’ a segunda de ‘‘ p ’’ e o conectivo de ‘‘V’’.~
~
~
~
~
~ ~p
V
V
V
V
F
F
H1
H2
p vp p
Osvaldo é o presidente do Brasil e Osvaldo não é o presidente do Brasil
Exemplo
Vamos chamar a primeira proposição de ‘‘p’’ a segunda de ‘‘ p ’’ e o conectivo de ‘‘^’’.~
Temos uma CONTRADIÇÃO
~ ~p
V
V
F
F
F
F
H1
H2
p ^p p
Sempre Verdadeiro = Tautologia
Sempre Falso = Contradição
Verdadeiro e Falso = Contigência
Dica
Loli
da
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Raciocínio 
Lógico
Negação de Todo, 
Negação Negação 
Negação Negação 
Toda mulher é vaidosa 
Algum aluno da sala será aprovado 
Nenhum aluno da sala vai ser reprovado Algum estudante trabalha
Alguma mulher não é vaidosa 
 Negação de Nenhum
 Nenhum atleta é campeão
Pelo menos um atleta é campeão
Negação de Algum
Negação de Todos
Todos os Estudantes não trabalham
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Algum Todo
Nenhum
Existem elementos em A que são B.
Existem elementos em B que são A.
Existem elementos A que não são B.
Existem elementos B que não estão em A
Todo A é B
Alguns elementos de B é A ou existem B que são A
Nenhum A é B
Nenhum B é A
A A
A
B
B
B
Raciocínio 
Lógico
Quantificadores
Lógicos @mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Triângulo 
Perímetro = a+b+c
a.h
2
Área= 
a
bb c
h
Triângulo Equilátero 
Perímetro = 3
l
l
l
l
h
2
4
Área = 
l 3
Quadrado 
Perímetro = 4.a
Área = a2
a
a
Retangulo 
Perímetro = 2a + 2b
Área = a.b
a
b
Paralelogramo 
Perímetro = 2a + 2b
Área = a.h
a
b h
Perímetro = 4.a
Área = 
Losango 
a
D
D.d
d
a
aa
2
Perímetro = c+b+d+B
Área = 
Trapézio 
(B+b).h
B
c
b
d h
2
Circunferência 
r
r2
Comprimento = 2 r
Área = 
�
�
Geometria Plana
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Pirâmide Cubo
Cilindro
h
r
g
. . 
. . 
. 
. 
. . 
2 2
3
2
Cone
Cone RetoCone Equilátero
A A
A A
A
= =
= =
= =
= =
A A
A 3+A A
V V
B B
B B
B
L L
LT T
r r
r
r2
h
3 3
r g
3
. 
. 
2
Cilindro Reto : g= h
A
A
A
=
=
=
=
A
A +A
V
B
B
B
L
LT
r
h
rh2
2
gh
r
r
h=2r
r. . 
. 
. 
. 
. 
2
2
3
Cilindro Equilátero: h=2r
A =
=
=
=
A
6
2
A
V
B
L
T
r
r
r
rh4
g
m
m’
p b
b
2
2
h
b
b
b
L
Lt
A
A
A
A
AA
V
(m’) ==
=
b.m’
b.h . n
. n
. h
h + mh + r
(m’) + b
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
+=
=
=
Apótema lateral
Aresta Lateral
Aresta Lateral ( (2
DF
D
V
AT
a
a
a
6a2
3
=
=
=
=
a
DF
D
a
a
rC
Área = 4
Volume = 4
r 2
r 3
3
Esfera
Geometria Espacial
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
Triangulo Retângulo 
relações métricas
Triângulo Equilátero: possui os três lados iguais.
Triângulo Isósceles: possui dois lados iguais, e um diferente.
Triângulo Escaleno: possui os três lados diferentes.
O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa. 
Esse é o maior dos três lados da figura.
Os demais lados são denominados de cateto adjacente e cateto oposto.
Note que a hipotenusa é representada como (a) e os catetos como (b) e (c) �
(Hipotenusa)
CatetoCateto
A soma dos ângulos
 internos do triângulo 
retângulo é de 180º.
Os vértices dos ângulos são
 representados por (A), (B)
 e (C). O "h" é a altura relativa
 à hipotenusa.
A é um ângulo reto: 90º
B e C são ângulos agudos, 
ou seja, são menores que 90º
Possui dois ângulos 
complementares, e 
a soma dos dois ângulos 
medem 90º.
Triângulo Retângulo: possui um ângulo interno reto (90º).
Triângulo Acutângulo: todos os ângulos internos são agudos, 
ou seja, as medidas dos ângulos são menores que 90º.
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, ou seja, 
possui um ângulo com medida maior do que 90º.
Teorema de Pitágoras
a² = b² + c²
Hip² = cat² + cat²
O quadrado da hipotenusa equivale 
à soma dos quadrados dos catetos.
Seno =
Cosseno =
Tangente =
Cateto oposto
Cateto oposto
Cateto Adjacente
Cateto Adjacente
hipotenusa
hipotenusa
Trigonometria
@mapasdaLoli
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com
mapasdaLoli
Feito por:
Caroline de Vargas Pereira
e Luis Eduardo Diehl Gonçalves
Somos estudantes 
obstinados por conhecimento
www.mapasdaloli.com.br
Indicado para:
Concurso
Vestibular
Enem
Redes sociais:
@mapasdaloli 
@mapasdaloli
(55) 98428-3728 
Licenciado para - Nágela Moreira de Abreu - 77012593334 - Protegido por Eduzz.com