discretas

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Introdução à Probabilidade e à Estatística
Variáveis Aleatórias Discretas
Prof. Carlos da Silva dos Santos
carlos.ssantos@ufabc.edu.br
(Baseado em material cedido pelo Prof. Jair Donadelli Jr.)
C. S. Santos Introdução à Probabilidade e à Estatística
carlos.ssantos@ufabc.edu.br
Valor médio de uma V.A.
Se um par de moedas é lançado 16 vezes e o número de caras
por lançamento é 0 em 4 deles, é 1 em 7 deles e é dois em 5
deles, qual é o número médio de caras por lançamento?
0
4
16
+1 7
16
+2 5
16
= 17
16
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Esperança Matemática
Se X é uma v.a. discreta com função de (massa) de
probabilidade p então valor médio (ou valor esperado, ou
esperança matemática) da v.a. X é
se X assume valores x1,x2, . . .
E(X ) def= ∑
i≥1
xip(xi)
desde que a soma esteja bem definida.
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Exemplo:variável aleatória indicadora
Seja IA variável aleatória indicadora da ocorrência do evento A,
i.e., IA = 1 se A ocorre e IA = 0 se Ac ocorre, ou ainda, para todo
s ∈Ω
IA(s)=
{
1 se s ∈A;
0 se s 6∈A.
Então E(IA)= 1P(A)+0P(Ac)=P(A).
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Exemplo
Seja X o resultado de um lançamento de um dado,
E(X )= 11
6
+21
6
+31
6
+41
6
+51
6
+61
6
= 7
2
.
Qual a probabilidade P(X = 7/2)?
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Variância
A variância da v.a. X é uma medida de quão dispersos estão
os valores que a variável assume com relação ao valor médio,
é dada pelo valor esperado da v.a. g(X )= (X −E(X ))2, sempre
que −∞< E(X )<∞
Var(X ) def= E[(X −E(X ))2]
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Da definição temos
Var(X )=∑
x
(x −E(X ))2 ·p(x)
Pode-se provar que:
Var(X )= E(X 2)− (E(X ))2.
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O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da
variância
σX =
√
Var(X ).
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Distribuição de Bernoulli
Na prática, ocorrem muitas situações com experimentos que
admitem apenas dois resultados, por exemplo
1 uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2 o resultado de um exame médico é positivo ou negativo;
3 um paciente submetido a um tratamento é curado ou não
da doença;
4 um entrevistado concorda ou não concorda com a
afirmação feita;
5 no lançamento de um dado ocorre ou não ocorre a face
“5”.
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Distribuição de Bernoulli (cont.)
Nessas situações podemos representar, genericamente, os
resultados do experimento com o espaço amostral
Ω= {sucesso, fracasso} e o modelo probabilístico fica
determinado dado p =P(sucesso). Esses experimentos
recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e a v.a. indicadora do
evento “sucesso” é uma variável aleatória de Bernoulli com
parâmetro p.
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Distribuição de Bernoulli (cont.)
A notação X ∼ Bernoulli(p) indica que X é uma v.a. de Bernoulli
com parâmetro p; ela assume dois valores
1 se ocorre sucesso,
0 se ocorre fracasso;
e sua f.m.p. é bep(x)= px (1−p)1−x ∀x ∈ {0,1} e vale 0 para
outros valores de x .
A média e a variância de uma v.a. X ∼ Bernoulli(p) são dadas
por
E(X )= p e Var(X )= p(1−p).
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Distribuição Binomial
Consideremos n repetições independentes de um Ensaio de
Bernoulli. Seja X o número de sucessos nas repetições.
Um dado equilibrado é lançado 3 vezes. Qual é a
probabilidade de se obter a face 5 duas vezes? Se S denota
sucesso, i.e., “ocorre face 5” e F denota fracasso, “não ocorrer
face 5” então podemos representar o espaço amostral por
Ω= {SSS,SSF ,SFS,FSS,SFF ,FSF ,FFS,FFF } e
p =P(sucesso)= 1/6 e 1−p =P(fracasso)= 5/6. Como
podemos determinar, por exemplo, P(X = 2)?
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Distribuição Binomial (cont)
Como podemos determinar, por exemplo, P(X = 2)?
A função de massa de probabilidade é
k P(X = k)
0 (1−p)3
1 3p(1−p)2
2 3p2(1−p)
3 p3
e podemos escrever essa função como
b(k ;3,p)= (3k)pk (1−p)3−k para todo k ∈ {0,1,2,3}. Assim,
P(X = 2)= (32)p2(1−p)3−2 = 0,0694.
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Distribuição Binomial (cont)
Uma variável aleatória binomial de parâmetros n ∈N e p ∈ (0,1)
é uma v.a. com f.m.p.
b(k ;n,p)=
(
n
k
)
pk (1−p)n−k , ∀k ∈ {0,1,2, . . . ,n}
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Distribuição Binomial (cont)
Uma variável aleatória binomial pode ser vista como o número
de sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli e com
mesma probabilidade p de sucesso.
De fato, se Y1,Y2, . . . ,Yn são as v.a. indicadoras de sucesso em
cada um dos ensaios, então X =∑ni=1 Yi é a quantidade de
sucessos ocorridos.
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Distribuição Binomial (cont)
A notação X ∼ b(n,p) indica que X é uma v.a. com distribuição
binomial com parâmetros n e p. A média e a variância de X
são dadas por E(X )= np e Var(X )= np(1−p).
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Exemplo
Um equipamento resiste a um teste de choque com
probabilidade 3/4. Qual é probabilidade de que em 4 testes 2
equipamentos sobrevivam ao choque?
b(2;4,3/4)=
(
4
2
)(
3
4
)2 (1
4
)2
= 27
128
.
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Exemplo
Um fabricante garante que seu produto tem uma taxa de itens
defeituosos de 3%.
Numa seleção de 20 itens a serem inspecionados, qual é a
probabilidade de ao menos um ser defeituoso?
Se X é a quantidade de itens defeituosos
P(X ≥ 1)= 1−P(X = 0)= 1−
(
20
0
)
(0,03)0(0,97)20 = 0,4562.
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Exemplo (cont.)
Se 10 carregamentos por mês deixam a fabrica e de cada
carregamento 20 itens são inspecionados, com que
probabilidade 3 carregamentos tem pelo menos um item
defeituoso? (
10
3
)
(0,4562)3(1−0,4562)7 = 0,1602.
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