Variáveis Aleatórias Contínuas

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Introdução à Probabilidade e à Estatística
Variáveis Aleatórias Contínuas
Prof. Carlos da Silva dos Santos
carlos.ssantos@ufabc.edu.br
Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC) –
UFABC
(Baseado em material cedido pelo Prof. Jair Donadelli Jr.)
C. S. Santos Introdução à Probabilidade e à Estatística
carlos.ssantos@ufabc.edu.br
Variável Aleatória contínua
Uma v.a. X é contínua se
FX (a)=
∫ a
−∞
f (u)du (∀a ∈R)
para alguma função integrável p : R→ [0,+∞) chamada função
de densidade de probabilidade de X .
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Uma variável aleatória X é contínua se sua função de
distribuição acumulada F pode ser escrita como
FX (a)=
∫ a
−∞
f (u)du.
para alguma função integrável f chamada função de densidade
de probabilidade (f.d.p.) de X e valem
1 f (x)≥ 0 para todo x ∈R;
2
∫ +∞
−∞
f (u)du = 1;
3 P(a≤X ≤ b)=
∫ b
a
f (u)du =F (b)−F (a) para todo a≤ b;
4 P(X = a)= 0, para qualquer a ∈R.
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u
f (u)
a b
P(a≤X ≤ b)= área da região
delimitada pelo gráfico e pelo eixo u
no intervalo [a,b]
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Esperança e Variância de v.a. contínua
O valor esperado de X e a variância de X são dados,
respectivamente, por
E(X )=
∫ +∞
−∞
xf (u)du
e
Var(X )=
∫ +∞
−∞
(u−E(X ))2f (u)du = E(X 2)−E(X )2.
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Distribuição uniforme contínua
Uma v.a. contínua X é uniforme no intervalo [a,b], para a< b,
denotado
X ∼ Uniforme([a,b])
se sua f.d.p. é
f (u)=
{
1
b−a , se u ∈ [a,b]
0 caso contrário
e denotamos esse fato por X ∼ Uniforme([a,b]).
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Distribuição uniforme no intervalo [a,b]
Se Z : Ω→R é uma v.a. contínua uniforme, sua função de
distribuição acumulada é dada por
FZ (x)=

0, se x < a
x−a
b−a , se a≤ x < b
1, se x ≥ b x
y
a b
1
FZ (x)
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Exemplo
Num teste, tubos de PVC de 6m são submetidos a grande
pressão d’água até que o primeiro vazamento ocorra. A
distância do início do tubo até o vazamento é anotada.
X ∼ Uniforme([0,6]) denota a distância anotada para um tubo
escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o vazamento
esteja a ≤ 1m das extremidades?
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Exemplo (cont.)
P
(
{0≤X ≤ 1}∪ {5≤X ≤ 6})=P(0≤X ≤ 1)+P(5≤X ≤ 6)
P
(
{0≤X ≤ 1}∪ {5≤X ≤ 6})= ∫ 1
0
1
6
dx +
∫ 6
5
1
6
dx
P
(
{0≤X ≤ 1}∪ {5≤X ≤ 6})== 1
3
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