Tensores e a Métrica em Relatividade

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Aula 8: 15 de abril 8-1
Curso: Relatividade 01/2019
Aula 8: 15 de abril
Profa. Raissa F. P. Mendes
8.23 Tensores 0-2
Já vimos que o produto escalar entre dois vetores é um exemplo de tensor do tipo ( 02 ). De modo
geral, tensores do tipo ( 02 ) são mapas (bi)lineares de dois vetores nos reais. O tensor mais simples
desse tipo é o produto externo de duas 1-formas: o tensor p̃⊗ q̃, que, aplicado em dois vetores ~A e
~B, produz o número p̃( ~A)q̃( ~B). (Note que o produto externo não é comutativo!)
Para especificar um tensor do tipo ( 02 ) qualquer, precisamos especificar 16 números, correspon-
dentes, por exemplo, à atuação do tensor em todas as combinações dos vetores de base: f(~eα, ~eβ).
Com as noções naturais de adição e multiplicação por escalar, o espaço de vetores ( 02 ) é um espaço
vetorial de dimensão 16.
Base: Da mesma forma que escolhemos uma base de 1-formas {ω̃α} dual à base de vetores {~eβ},
podemos escolher uma base conveniente de tensores ( 02 ): os 16 tensores definidos como
wαβ = ω̃α ⊗ ω̃β. (8.15)
Escrevemos f = fαβw
αβ, onde fαβ são as componentes do tensor f nessa base. Note que as
componentes fµν podem ser obtidas simplesmente como (mostre! )
fµν = f(~eµ, ~eν).
Atuação: A atuação de f em dois vetores quaisquer é dada por
f( ~A, ~B) = f(Aµ~eµ, B
ν~eν) = A
µBνf(~eµ, ~eν) = A
µBνfαβω
α(~eµ)ω
β(~eν) = A
µBνfαβδ
α
µδ
β
ν = A
µBνfµν .
Transformação das componentes: Como as componentes de um tensor ( 02 ) se transformam
quando vamos de um referencial inercial para outro? Temos:
fµ̄ν̄ = f(~eµ̄, ~eν̄) = f(Λ
α
µ̄~eα,Λ
β
ν̄~eβ) = Λ
α
µ̄Λ
β
ν̄f(~eα, ~eβ) = Λ
α
µ̄Λ
β
ν̄fαβ.
Tensor métrico: O produto escalar entre dois vetores define o que chamaremos do tensor métrico
em Relatividade Restrita (e que será generalizado mais à frente!). Vimos que g( ~A, ~B) = ηµνA
µBν ,
de modo que as componentes do tensor métrico em Relatividade Restrita são gµν = ηµν . Como
qualquer tensor do tipo ( 02 ), as componentes do tensor métrico devem se transformar da forma
ηµ̄ν̄ = Λ
α
µ̄Λ
β
ν̄ηαβ. No entanto, vimos que as componentes do tensor métrico são as mesmas
(diag(−1, 1, 1, 1)) em todos os referenciais inerciais! De fato, é fácil verificar, com a forma expĺıcita
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da matriz de Lorentz, que η = ΛT ηΛ. As transformações de Lorentz podem ser definidas dessa
forma, pelo fato de que deixam o tensor métrico invariante.
Simetrias. Um tensor ( 02 ) é dito simétrico se
f( ~A, ~B) = f( ~B, ~A)
para todo ~A e ~B. Ou, em termos de componentes, fαβ = fβα. Definimos a parte simétrica de um
tensor como o tensor com componentes
h(αβ) :=
1
2
(hαβ + hβα).
Da mesma forma, um tensor anti-simétrico obedece
f( ~A, ~B) = −f( ~B, ~A)
para todo ~A e ~B. Ou, em termos de componentes, fαβ = −fβα. Definimos a parte anti-simétrica
de um tensor como o tensor com componentes
h[αβ] :=
1
2
(hαβ − hβα).
Note que hαβ = h(αβ) + h[αβ].
O tensor métrico é simétrico, pois vimos que g( ~A, ~B) = −A0B0 +A1B1 +A2B2 +A3B3 = g( ~B, ~A).
Comparando linguagens: (a) Linguagem geométrica: g(~u,~v); (b) Linguagem de componentes:
ηµνu
µvν ; (c) Linguagem geométrica baseada em coordenadas: g = ηµν d̃x
µ ⊗ d̃xν . Note que existe
uma correspondência entre a métrica, escrita como em (c) e o conceito de elemento de linha,
ds2 = ηµνdx
µdxν . O elemento de linha, assim como a métrica, representa o módulo ao quadrado
de um deslocamento infinitesimal numa direção não especificada.
8.23.1 A métrica como um mapa entre vetores e 1-formas
Um papel muito importante da métrica é agir como um mapa entre vetores e 1-formas. Para todo
vetor ~V , podemos construir o objeto g(~V , ). O que ele faz? Ele admite como argumento um vetor
e expele um número, ou seja, é uma 1-forma! Chamamos essa 1-forma de Ṽ :
Ṽ ( ) = g(~V , ) = g( , ~V ).
Temos que Ṽ ( ~A) = ~V · ~A. Quais são as componentes de Ṽ ? Elas são:
Vα = Ṽ (~eα) = g(~V ,~eα) = g(V
β~eβ, ~eα) = V
βg(~eβ, ~eα) = ηαβV
β.
Ou seja, se ~V →O (a, b, c, d), então Ṽ →O (−a, b, c, d). Mais tarde, quando a métrica for mais
complicada, essa regra também será!
Temos que Vα = ηαβV
β. Podemos inverter essa relação, escrevendo:
(η−1)αγVα = (η
−1)αγηαβV
β = δγβV
β = V γ .
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Por simplicidade, vamos chamar as componentes da métrica inversa simplesemente de ηαβ. No
espaço-tempo plano, e em coordenadas cartesianas, a métrica inversa tem as mesmas componentes
da métrica.
Em particular, podemos associar à 1-forma d̃f o vetor ~df , que é o vetor gradiente. Como mostrar
que ele corresponde à noção usual, sendo ortogonal às superf́ıcies de ńıvel de f? Seja ~V um vetor
paralelo a uma superf́ıcie de ńıvel de f , de modo que d̃f(~V ) = dfνV
ν = 0. Temos que ~df · ~V =
ηµνdf
µV ν = dfνV
ν = 0. Como d̃f →O (∂tf, ∂xf, ∂yf, ∂zf), temos que ~df →O (−∂tf, ∂xf, ∂yf, ∂zf):
as componentes tridimensionais são as mesmas e é por isso que identificamos esses objetos no espaço
Euclideano.
Note que a dualidade entre vetores e 1-formas é a mesma que aparece entre vetores coluna e vetores
linha em álgebra, ou, em Mecânica Quântica, entre bras e kets: 〈φ|ψ〉 =
∫
φ∗(~x)ψ(~x)d3x.
Magnitude de 1-formas. Definimos a magnitude de uma 1-forma como a magnitude do vetor
associado:
p̃2 = ~p2 = ηαβp
αpβ = pβpγη
γβ = −(p0)2 + (p1)2 + (p2)2 + (p3)2.
8.23.2 Formas diferenciais
Uma forma diferencial ou p-forma é um tensor do tipo ( 0p ) que é antissimétrico em todos os ı́ndices.
Formas diferenciais são úteis porque podem ser derivadas e integradas sem o aux́ılio de estruturas
geométricas adicionais. É nessa linguagem também que as leis do Eletromagnetismo assumem
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sua forma mais elegante. No nosso curso, não veremos p-formas em mais detalhes. Para mais
informações, ver a discussão no livro do Sean Carroll!
8.24 Tensores N-0
Um tensor do tipo (N0 ) é definido como uma função multilinear de N 1-formas nos reais. Se
definirmos a atuação de um vetor em uma 1-forma como
~V (p̃) = p̃(~V ) = pαV
α,
então vetores serão exemplos de tensores do tipo ( 10 ). Toda a nossa discussão anterior se aplica a
como construir tensores do tipo (M0 ); uma base para vetores do tipo (
2
0 ) é ~eα ⊗ ~eβ, e assim por
diante.
8.25 Tensores M-N
Por fim, definimos um tensor do tipo (MN ) como um mapa multilinear de M 1-formas e N vetores
nos números reais. Por exemplo, se R é um tensor ( 11 ), ele atua numa 1-forma p̃ e num vetor
~V
produzindo o número R(p̃, ~V ). Uma base para esse espaço é {~eµ⊗ ω̃ν}. As componentes do tensor
R nessa base são R(ω̃α, ~eβ) = R
α
β. Em outro referencial inercial,
Rᾱβ̄ = R(ω̃
ᾱ, ~eβ̄) = R(Λ
ᾱ
µω̃
µ,Λνβ̄~eν) = Λ
ᾱ
µΛ
ν
β̄R(ω̃
µ, ~eν) = Λ
ᾱ
µΛ
ν
β̄R
µ
ν .
A transformação é simples: cada ı́ndice traz um Λ com ı́ndices nas posições adequadas para permitir
a convenção de soma.
Note que podemos também interpretar um tensor ( 11 ) como um mapa de vetores em vetores:
Tµν : V ν → Tµν V ν e pode-ser verificar que este último se transforma como um vetor.
É interessante que alguns livros vão definir tensores como um conjunto de números que se trans-
forma apropriadamente por transformações de Lorentz. Essa definição é operacionalmente útil, mas
obscurece o significado mais profundo de tensores como entidades geométricas. Note também que
alguns tensores, como a métrica, a métrica inversa, a delta de Kronecker e o śımbolo de Levi-Civita
(�µνρσ é igual a 1 se µνρσ é uma permutação par de 0123, −1 se é uma permutação ı́mpar e 0
caso contrário), são tais que, embora suas componentes se transformem de acordo com a lei de
transformação de tensores, elas são invariantes por essas transformações.
8.25.1 Levantando e baixando ı́ndices
Da mesma forma que a métrica oferece um mapa entre um vetor ~V e uma 1-forma Ṽ , ela mapeia
um tensor (MN ) num tensor (
M−1
N+1 ). De forma semelhante, a métrica inversa mapeia um tensor do
tipo (MN ) em um do tipo (
M+1
N−1 ) . Geralmenteindicamos os tensores relacionados dessa forma com a
mesma letra, só os distinguindo pela posição dos ı́ndices. Por exemplo, se Tαβγ são as componentes
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de um tensor ( 21 ), T
α
βγ = ηβµT
αµ
γ são as componentes de um tensor ( 12 ) (existem outros tensores
do mesmo tipo associados aquele; quais são?).
Essas operações são chamadas de levantar e baixar os ı́ndices; quando dizemos isso, nos referimos
ao mapa fornecido pela métrica. Às vezes nos referimos aos ı́ndices de cima como “contravariantes”
e aos ı́ndices de baixo como “covariantes”.
O que seria o tensor ηαβ = η
αµηµβ? É η
α
β = δ
α
β. Levantando outro ı́ndice, obtemos a identidade
ηαβ = ηαβ. Então podemos considerar ηαβ como componentes de um tensor ( 20 ) obtido a partir de
g por g−1. (Pergunta: quanto dá ηµνη
µν?)
Observações: (i) Existem espaços sem métrica, como o espaço de fase em Mecânica Clássica. (ii)
A métrica é uma estrutura adicional na álgebra vetorial. (iii) A métrica da Relatividade Restrita
é simétrica. Se fosse antissimétrica, teŕıamos um espaço espinorial.
8.26 Derivando tensores
Vamos lembrar o nosso objetivo, que é escrever as leis da F́ısica (Eletromagnetismo, Mecânica, Hi-
drodinâmica, Gravitação, etc.) de uma forma que seja explicitamente invariante (ou covariante) por
transformações de Lorentz. Para isso, gostaŕıamos de escrevê-las em termos de tensores. Embora
talvez seja mais elegante usar a linguagem geométrica, como F = 0, é equivalente escrevemos em
termos de coordenadas Fα...γ... = 0. Note que se essa expressão é válida em um referencial inercial, é
válida em todos os outros: pela lei de transformação de tensores, F ᾱ...γ̄... = Λ
ᾱ
µ . . .Λ
ν
β̄
. . . Fµ...ν... = 0
em outro referencial. A forma da lei é a mesma, dizemos que a lei está escrita de forma covariante.
As leis da F́ısica são geralmente expressas como equações diferenciais parciais. Para isso, vamos
precisar discutir bastante a noção de derivadas, especialmente quando estivemos interessados em
espaços-tempos mais gerais. Qual é a dificuldade em se definir uma derivada? Em cada ponto do
nosso espaço-tempo, podemos definir um espaço vetorial e nesse espaço sabemos somar e comparar
vetores. Mas derivada envolve a comparação de vetores ou tensores definidos em pontos diferentes.
Nesse caso, não é óbvio como somar ou comparar esses objetos. Uma opção é estabelecer uma
forma de carregar vetores de um ponto a outro, para fazer a mesma comparação no mesmo local.
Discutiremos isso mais à frente!
Por hora, vamos considerar derivadas em Relatividade Restrita. Vimos que uma função é um vetor
( 00 ) e o gradiente é um tensor (
0
1 ). Derivar uma função produz um tensor de ordem maior. E isso
se aplica a tensores de qualquer tipo.
Suponha, por exemplo, um campo tensorial do tipo ( 11 ), T = T
α
β~eα ⊗ ω̃β. Suponha que nos
movamos ao longo de uma curva parametrizada por um parâmetro τ (como o tempo próprio ao
longo de uma linha de mundo). Podemos definir
dT
dτ
= lim
∆τ→0
T(τ + ∆τ)−T(τ)
∆τ
.
Como a base de vetores e 1-formas é a mesma em toda parte (por exemplo, ω̃α(τ + ∆τ) = ω̃α(τ)),
temos que
dT
dτ
=
dTαβ
dτ
~eα ⊗ ω̃β = (∂γTαβ ~eα ⊗ ω̃β)Uγ ,
onde Uγ é o vetor tangente à curva. Agora, o tensor dT/dτ é do tipo ( 11 ). Mas podemos definir o
tensor “gradiente” como o tensor ( 12 )
∇T = (∂γTαβ ~eα ⊗ ω̃β ⊗ ω̃γ).
Note que as componentes desse tensor, ∂γT
α
β se transformam adequadamente sob transformações
de Lorentz. Isso não será verdade em geral!
8.26.1 Outras operações com tensores
Contração: reduz o rank em 2. Por exemplo, M(~u,~v) = R(~eα, ~u, ω̃
α, ṽ) transforma um tensor do
tipo ( 22 ) em um tensor do tipo (
1
1 ). Em componentes, M
ν
µ = R
αν
αµ .
Outras operações são o divergente, em que o ı́ndice da derivada é contráıdo com um dos ı́ndices
originais do tensor, transposta, simetrização e antissimetrização, etc.
Para casa: Ler o caṕıtulo 3 do Schutz. Fazer as questões 1, 2 e 3 da Lista 3!
8-6
	Tensores 0-2
	A métrica como um mapa entre vetores e 1-formas
	Formas diferenciais
	Tensores N-0
	Tensores M-N
	Levantando e baixando índices
	Derivando tensores
	Outras operações com tensores