Projeto de Controladores via LGR [Versão com anotações]

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Projeto de Controladores via LGR
Jeferson Vieira Flores
jeferson.flores@ufrgs.com
Departamento de Engenharia Elétrica
ENG04073 - Sistemas de Controle Eletroeletrônicos
Porto Alegre - RS - Brasil
1 / 39
Introdução
• Assuntos:
⋄ Efeito dos polos e zeros;
⋄ Projeto de Controladores PID via LGR.
• Conceitos anteriores:
⋄ Zeros e dominância;
⋄ Desempenho em regime permanente;
⋄ Requisitos de desempenho no LGR.
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Sumário
1. Efeito dos polos e zeros
2. Projeto de controladores PID
3. Exerćıcios
3 / 39
Efeito dos polos e zeros
• Avaliação do efeito da adição de polos no controlador.
• Planta: G (s) =
2
s + 2
e H(s) = 1;
• Três controladores:
Ca(s) = kp, Cb(s) = kp
1
s + 4
, Cc(s) = kp
1
(s + 4)(s + 6)
,
• LGR dos polos da Tr (s) = Y (s)/R(s).
4 / 39
Efeito dos Polos
• Ca(s) = kp
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
−
1
)
⋄ margem de ganho infinita;
⋄ ts tão pequeno quanto necessário/posśıvel.
5 / 39
Efeito dos Polos
• Cb(s) = kp
1
s + 4
−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
−
1
)
⋄ margem de ganho infinita;
⋄ menor ts de 4/3 = 1,33s. 6 / 39
Efeito dos Polos
• Cc(s) = kp
1
(s+4)(s+6)
−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
−
1
)
⋄ margem de ganho finita;
⋄ menor ts de 6/2,84 = 2,11s.
7 / 39
Efeito dos Polos
• Adição de Polos ⇒ tende a deslocar o LGR para a direita.
⋄ altera o número, centro e ângulo das asśıntotas;
⋄ deixa o sistema mais lento;
⋄ diminui a margem de ganho.
8 / 39
Efeito dos zeros
• Avaliação do efeito da adição e posição dos zeros do contro-
lador.
• Planta: G (s) =
4
s(s + 2)
e H(s) = 1;
• Quatro controladores:
Ca(s) = kp
1
s + 6
, Cb(s) = kp
s + 8
s + 6
,
Cc(s) = kp
s + 5
s + 6
, Cd(s) = kp
s + 1
s + 6
• É posśıvel adicionar apenas um zero para que C (s) seja causal;
• LGR dos polos de Tr (s) = Y (s)/R(s).
9 / 39
Efeito dos zeros
• Ca(s) = kp
1
s + 6
−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4
−6
−4
−2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
−
1
)
⋄ margem de ganho finita;
⋄ σ = −2,67 e menor ts de 6/0,9 = 6,67s. 10 / 39
Efeito dos zeros
• Cb(s) = kp
s + 8
s + 6
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
25
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
−
1
)
⋄ margem de ganho infinita;
⋄ σ = 0 e menor ts de 6/0,97 = 6,18s. 11 / 39
Efeito dos zeros
• Cc(s) = kp
s + 5
s + 6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
−15
−10
−5
0
5
10
15
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
−
1
)
⋄ margem de ganho infinita;
⋄ σ = −1,5 e menor ts de 4/1,5 = 2,67s. 12 / 39
Efeito dos zeros
• Cc(s) = kp
s + 1
s + 6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Root Locus
Real Axis (seconds
−1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
−
1
)
⋄ margem de ganho infinita;
⋄ σ = −3,5 e menor ts de 4/3,5 = 1,14s. 13 / 39
Adição de Zeros
• Efeito dos zeros ⇒ tende a deslocar o LGR para a esquerda.
⋄ aumenta a margem de ganho;
⋄ deixa o sistema mais rápido;
⋄ posição do zero ⇒ altera o centro das asśıntotas σ.
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Sumário
1. Efeito dos polos e zeros
2. Projeto de controladores PID
3. Exerćıcios
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Projeto de controladores PID
• Controlador Proporcional
Cp(s) = kp
⋄ não introduz polos ou zeros;
⋄ análise da variação de kp via LGR.
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Projeto de controladores PID
• Controlador Proporcional-Integral
Cpi (s) = kp
(
1 +
1
Ti s
)
= kp
(
s + 1
Ti
)
s
=
kp (s + z)
s
⋄ Introduz:
◮ polo “fixo” em s = 0.
◮ zero “livre” em s = − 1
Ti
.
⋄ Análise:
◮ variação de kp por LGR e Ti determinado pela posição do zero.
17 / 39
Projeto de controladores PID
• Controlador Proporcional-Derivativo
Cpd(s) = kp (1 + pTd)
(
s + p1+pTd
)
s + p
= k̃
(s + z)
s + p
⋄ Introduz:
◮ polo em altas frequências em s = −p.
◮ zero “livre” em s = − p
1+pTd
.
⋄ Análise:
◮ escolher p 10x ou 20x maior que |Re{polos dominantes}|;
◮ variação de k̃ via LGR e Td determinado pela posição do zero;
18 / 39
Projeto de controladores PID
• Controlador Proporcional-Integral-Derivativo paralelo
Cpid(s) = kp (1 + pTd)
(
s2 + 1+pTi
Ti (1+pTd )
s + p
Ti (1+pTd )
)
s (s + p)
Cpid(s) = k̃
(
s2 + b1s + b0
)
s (s + p)
⋄ Introduz:
◮ 2 polos “fixos” em s = 0 e s = −p (altas frequências);
◮ 2 zeros “livres” reais ou complexos que dependem de p, Ti e
Td .
⋄ Análise:
◮ escolher p 10x ou 20x maior que |Re{polos dominantes}|;
◮ Variação de k̃ via LGR e Ti e Td determinados pela posição
dos zeros.
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Projeto de controladores PID
• Controlador Proporcional-Integral-Derivativo série
C spid(s) = kp (1 + pTd)
(s + 1
Ti
)(s + p1+pTd )
s (s + p)
C spid(s) = k̃
(s + z1)(s + z2)
s (s + p)
⋄ Introduz:
◮ 2 polos “fixos” em s = 0 e s = −p (altas frequências);
◮ 2 zeros “livres” reais, em s = − 1
Ti
e s = − p
1+pTd
.
⋄ Análise:
◮ escolher p 10x ou 20x maior que |Re{polos dominantes}|;
◮ Variação de k̃ via LGR e Ti e Td determinados pela posição
dos zeros.
20 / 39
Cancelamento de polos e zeros
• Dinâmicas lentas canceladas no seguimento de referência rea-
parecem na rejeição a perturbações q1(t) na entrada da planta.
• Exemplo
C (s) =
10 (s + 1)
s
, G (s) =
40
(s + 1) (s + 104)
, H(s) = 1
21 / 39
Cancelamento de polos e zeros
• Referência:
T (s) =
400
s2 + 104s + 400
p = −4, p = −100
⋄ sem influência do polo em s = −1 ⇒ ts ≈ 1s
Q(s) =
400s
(s + 1) (s2 + 104s + 400)
p = −1, p = −4, p = −100
⋄ influência do polo em s = −1 ⇒ ts ≈ 4s
• Nunca cancelar polos instáveis ou sobre o eixo imaginário!
⋄ erros de precisão no cancelamento;
⋄ resposta instável à perturbação.
• Não cancelar polos se for exigida dinâmica ao distúrbio de en-
trada idêntica à da referência.
22 / 39
Exemplo
• Exemplo:
Considere um sistema descrito por G (s) =
10
s(s + 10)
. Projete
um controlador de estrutura PID tal que o sistema em malha
fechada apresente resposta à referência com es(∞) = 0, ts ≤
0,2s e Mp ≤ 20%.
23 / 39
Exemplo
• Mapeamento dos requisitos:
⋄ es(∞) = 0 ⇒ Ḡ (s) deve ser tipo 1 ou maior;
⋄ ts ≤ 0,2s ⇒ |Re{polos dominantes}| ≥
4
0,2 = 20;
⋄ Mp ≤ 20% ⇒ βd = atan
(
−π
ln(0.2)
)
= 1,09rad ou 62,87◦;
• Escolha da estrutura do controlador:
⋄ G (s) tipo 1, logo es(∞) = 0 ⇒ não precisa inserção de uma
ação integral.
⋄ Estruturas candidatas:
◮ P
◮ PD
⋄ Caso não seja posśıvel atender os requisitos com essas estru-
turas, testar o PID ou adicionar mais polos e zeros;
24 / 39
Exemplo
• Controlador P:
C (s) = kp ⇒ F (s) = G (s)
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root Locus
Real Axis (seconds
-1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
-1
)
• No melhor caso |Re{polos dominantes}| = 5 ⇒ não atende
requisito de ts .
25 / 39
Exemplo
• Controlador PD:
C (s) = k̃
(s + z)
s + p
F (s) =
10(s + z)
s(s + 10)(s + p)
⋄ p deve ter dinâmica muito mais rápida que a dinâmica desejada
p ≥ 10× ou 20× |Re{polos dominantes}| ⇒ p = 200;
• Escolha da posição do zero e análise de k̃ via LGR:
(i) z < 0
(ii) z = 0
(iii) 0 < z < 10
(iv) z = 10
(v) 10 < z < 200
(vi) z = 200
(vii) z > 200
26 / 39
Exemplo
• Caso (iii): 0 < z < 10:
⋄ teoricamente não atende ts por causa do polo lento entre 0 e
10;
⋄ se k̃ for grande o suficiente, o seu efeito é cancelado pelo zero;
⋄ quanto é grande o suficiente? Determinação numérica;
27 / 39
Exemplo
• Caso (iii): 0 < z < 10 ⇒ exemplo para z = 9;
-250 -200 -150 -100 -50 0 50
-60
-40
-200
20
40
60
Root Locus
Real Axis (seconds
-1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
-1
)
28 / 39
Exemplo
• Caso (iv): z = 10
F (s) =
10(s + 10)
s(s + 10)(s + 20)
=
10
s(s + 200)
⋄ cancelamento do polo lento da planta com o zero do controlador;
⋄ escolhendo polo dominante em s = −40 ⇒ k̃ = 1/|F (−40)| =
640 ⇒ kp = 32 e Td = 0,095
-250 -200 -150 -100 -50 0 50
-150
-100
-50
0
50
100
150
Root Locus
Real Axis (seconds
-1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
-1
)
29 / 39
Exemplo
• Caso (iv): z = 10
• Resposta atende ts para a referência, mas não atende para o
distúrbio de entrada:
Tr (s) =
6400
(s + 40)(s + 160)
⇒ ts ≈ 0,1s
TQ1(s) =
10(s + 200)
(s + 10)(s + 40)(s + 160)
⇒ ts ≈ 0,4s
30 / 39
Exemplo
• Caso (v): 10 < z < 200:
⋄ quanto maior o valor de z , mais o centro das asśıntotas se
desloca para a direita;
⋄ dependendo do valor do zero, o número de pontos de entrada e
sáıda (PES) do eixo real se altera;
◮ 10 < z ≤ 27 ⇒ três PES;
◮ 27 < z < 200 ⇒ um PES;
31 / 39
Exemplo
• Caso (v): 10 < z < 200 ⇒ exemplo para z = 20;
-250 -200 -150 -100 -50 0 50
-60
-40
-20
0
20
40
60
Root Locus
Real Axis (seconds
-1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
-1
)
32 / 39
Exemplo
• Caso (v): 10 < z < 200 ⇒ exemplo para z = 50;
-250 -200 -150 -100 -50 0 50
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
Root Locus
Real Axis (seconds
-1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
-1
)
33 / 39
Exemplo
• Caso (v): 10 < z < 200 ⇒ exemplo para z = 20;
⋄ PES: s = −5,79 s = −37,73 e s = −91,48;
⋄ escolhendo polos duplos no segundo PES:
◮ não preciso me preocupar com a restrição de sobressinal ⇒
polos reais;
◮ ts ≈ 6/37,73 ≈ 0,16s
⋄ k̃ = 1/|F (−37,73)| = 957,56 ⇒ kp = 95,8 e Td = 0,045
• Mesma dinâmica para a referência e o distúrbio de entrada:
Tr (s) =
9576(s + 20)
(s + 37,37)2(s + 134,5)
⇒ ts ≈ 0,16s
TQ1(s) =
10(s + 200)
(s + 37,37)2(s + 134,5)
⇒ ts ≈ 0,16s
34 / 39
Exemplo
• Caso (v): 10 < z < 200 ⇒ exemplo para z = 20;
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
From: r To: y
Resposta ao salto
Tempo (seconds)
A
m
p
lit
u
d
e
35 / 39
Exemplo
• Caso (vii): z > 200 ⇒ exemplo para z = 250;
-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
Root Locus
Real Axis (seconds
-1
)
Im
a
g
in
a
ry
 A
x
is
 (
s
e
c
o
n
d
s
-1
)
36 / 39
Sumário
1. Efeito dos polos e zeros
2. Projeto de controladores PID
3. Exerćıcios
37 / 39
Exerćıcios
• Exerćıcio 1: Considere um sistema de controle em malha fechada
com realimentação unitária onde
G (s) =
10
s(s + 10)
.
⋄ Projete um controlador de estrutura PID tal que er (∞) = 0,
ts ≤ 4s e Mp ≤ 30%. Considere que o centro das asśıntotas
do LGR do polos da Tr (s) deve estar obrigatoriamente em σ =
−4,5;
⋄ Analise o efeito do zero do controlador na resposta ao salto do
sistema em malha fechada.
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Exerćıcios
• Exerćıcio 2: Considere um sistema de controle em malha fechada
com realimentação unitária onde
G (s) =
(s + 5)
(s − 1)(s − 5)
⋄ Assumindo C (s) = kp, analise através do LGR o comporta-
mento dos polos do sistema em malha fechada considerando
como parâmetro variante o ganho kp > 0;
⋄ Para o LGR do item anterior, qual o menor tempo de aco-
modação que pode ser atingido tal que os polos sejam reais?
Justifique a sua resposta e determine o valor de kp onde o isso
acontece;
⋄ Projete um controlador PD tal que os polos do sistema em
malha fechada sejam reais e a resposta deste sistema a um salto
unitário em r(t) apresente tempo de acomodação menor que 4s
e sinal de controle limitado a 150 em t = 0+;
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