Aula 1 - Teoria das Estruturas

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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS
PROFª. DANIELLE FREIRE DE ARAÚJO
TEORIA DAS ESTRUTURAS – APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
UNIDADE I
1. FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
2. MATRIZ DE FLEXIBILIDADE
3. APLICAÇÕES EM VIGAS, PÓRTICOS, ARCOS E TRELIÇAS
4. FUNDAMENTOS DO PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS
5. FORMULAÇÃO MATRICIAL
6. APLICAÇÕES EM VIGAS, PÓRTICOS, ARCOS E TRELIÇAS
7. CONCEITOS BÁSICOS DE MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS
8. APLICAÇÕES EM ESTRUTURAS RETICULADAS
9. APLICAÇÕES EM ESTRUTURAS FORMADAS POR ELEMENTOS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
UNIDADE II
1. VIGAS CONTÍNUAS
2. FUNDAMENTOS DO PROCESSO DE CROSS
3. LINHAS DE INFLUÊNCIA
4. ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS
5. EQUILÍBRIO DE FORÇAS
6. DIAGRAMA DE ESFORÇOS
7. ESTRUTURAS PLANAS CARREGADAS FORA DO SEU PLANO
8. ARRANJOS RETICULADOS
TEORIA DAS ESTRUTURAS – APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
TEORIA DAS ESTRUTURAS – APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
BIBLIOGRAFIA
▪ Beer, P. Ferdinand. Resistencia dos Materiais – 3ª ed. – São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
▪ Beer, P. Ferdinand; Russel, Johnston Jr. Mecânica Vetorial para Engenheiros. Editora: McGraw-Hill
Companies, 2010.
▪ Martha, Luiz Fernando. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
▪ NotasdeAula:J. Walt Oler Texas - TechUniversity.(PublicadoporTERRA,Nicolas,P.,2018).
▪ Kassimali, Aslam. Analise Estrutural, São Paulo: Cengage, 2015.
▪ Süssekind 1977-1 J.C. Süssekind, Curso de Análise Estrutural – Vol. 1: Estruturas Isostáticas, Editora Globo,
Porto Alegre, 1977.
▪ Süssekind 1977-2 J.C. Süssekind, Curso de Análise Estrutural – Vol. 2: Deformações em Estruturas e Método
das Forças, Edi- tora Globo, Porto Alegre, 1977.
▪ J.C. Süssekind, Curso de Análise Estrutural – Vol. 3: Método das Deformações e Processo de Cross, Editora
Globo, Porto Alegre, 1977.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
A
V
A
LI
A
Ç
Õ
ES
1ª Avaliação: 13/04/2023
Conteúdo da Unidade I
Prova (8,0) + Atividades (2,0)
2ª Avaliação: 01/06/2023
Projetos e Estudos de Caso
Prova (10,0)
2ª Chamada: 15/06/2023
Conteúdo das Unidades I e II
Prova (10,0)
Avaliação Final: 22/06/2023
Conteúdo das Unidades I e II
Prova (10,0)
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
O PROCESSO DOS ESFORÇOS – CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1. Definição de Estrutura
Uma estrutura é um sistema destinado a proporcionar o equilíbrio de um conjunto de ações, capaz de suportar as
diversas ações que vierem a solicitá-la durante a sua vida útil sem que ela perca a sua função.
Estruturas Metálicas Estruturas de Concreto Tubagens
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
2016 – Desabamento da Ciclovia Tim Maia –
Rio de Janeiro: 2 Vítimas
2014 – Desabamento de Viaduto – Belo 
Horizonte: 2 Vítimas
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
2019 – Desabamento de Prédio Residencial –
Fortaleza: 8 Vítimas
2. Apoios ou Vínculos
➢ Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as forças externas que agem sobre ele,
mas também é necessário conhecer como este corpo rígido está apoiado.
➢ Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificação:
Impede movimento na direção normal
(perpendicular) ao plano do apoio;
Permite movimento na direção
paralela ao plano do apoio;
Permite rotação.
Impede movimento na direção
normal ao plano do apoio;
Impede movimento na direção
paralela ao plano do apoio;
Permite rotação.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
Impede movimento na direção
normal ao plano do apoio;
Impede movimento na direção
paralela ao plano do apoio;
Impede rotação.
Móvel Fixo Engastamento
IMPORTANTE:
▪ Um vínculo não precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o fará será o conjunto de
vínculos;
▪ As reações desenvolvidas pelos vínculos formam o sistema de cargas externas reativas;
▪ Somente haverá reação se houver ação, sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas, devendo ser
calculadas.
Os apoios ou vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo e, portanto,
se classificam em vínculos internos e externos.
➢ Vínculos Externos: São vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e se classificam quanto
ao número de graus de liberdade restringidos. No caso espacial os vínculos externos podem restringir até 6 graus de
liberdade (GL) e portanto podem ser classificados em 6 espécies.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
EXEMPLOS:
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
EXEMPLOS:
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
No caso plano o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e portanto se classifica em 3 espécies.
EXEMPLOS:
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
EXEMPLOS:
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
➢ Vínculos Internos: são aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. No caso plano podem ser de 2ª e
3ª espécie, como exemplificado nas duas barras abaixo:
➢ Vínculo de 3ª espécie ( solda )
Sejam duas barras livres no espaço com carregamento plano:
Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntas somam 6 GL. Unindo-as
rigidamente ,por exemplo, através de uma solda, o número de
GL do conjunto passa a ser 3, portanto 3 GL restringidos.
➢ Vínculo de 2ª espécie (pinos ou rótulas)
Representação Estrutural :
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
Rótulas:
São vínculos que tem reações internas verticais e horizontais podendo transmitir forças nestas direções que se
anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo entre as barras por ela unidas. Sejam duas barras livres no
espaço e submetidas a um carregamento plano. Cada barra possui 3 GL e portanto o conjunto apresenta 6 GL.
Se forem unidas por exemplo por uma rótula, o número de graus de liberdade do conjunto passa a ser 4.
Neste caso RT = 2 (vínculo de 2a espécie).
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
3. Tipos de Estruturas
• As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou vínculos que possuem;
• Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada;
• Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:
Estruturas Hipostáticas:
Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio
ou vínculos é inferior ao número de equações fornecidas pelas
condições de equilíbrio da Estática.
As incógnitas são duas: RA e RB. Esta estrutura não possui restrição a
movimentos horizontais.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
Estruturas Isostáticas:
Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é
igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática.
No exemplo da estrutura da figura, as incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta
estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente pelas equações
fundamentais da Estática.
Estruturas Hiperestáticas:
Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é
superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da
Estática. Na estrutura hiperestática ilustrada na figura ao lado, as incógnitas são
quatro: RA, RB, HA e MA.
As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolver as equações
de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao comportamento da
estrutura, como, p. ex., a sua deformabilidade para determinar todas as incógnitas.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
PROCESSO DOS ESFORÇOS – INTRODUÇÃO
▪ O Processo dos Esforços, também chamado “Método das Forças”, é um processo de cálculo paraa determinação dos esforços em
estruturas hiperestáticas. Este processo, assim como o Processo de Cross e o Processo dos Deslocamentos que serão vistos
oportunamente, baseiam-se nas hipóteses de cálculo do Método Clássico, fornecendo portanto os mesmos resultados após a
análise.
▪ As hipóteses fundamentais do Método Clássico para solução de problemas referentes às estruturas reticulares - formadas por
barras - são:
1. Validade das equações de equilíbrio da Mecânica Geral;
2. Continuidade da estrutura, caracterizada pelo fato de não apresentarem pontos angulosos as linhas elásticas das barras cujos
eixos também não tenham pontos angulosos (estes, se houver, serão considerados como nós) e de se conservarem constantes
os ângulos entre as tangentes às linhas elásticas nos nós;
3. Aplicabilidade das hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais elásticos(proporcionalidade entre tensões e
deformações, conservação das seções planas);
4. Superposição de efeitos, isto é, o efeito produzido por um conjunto de ações(cargas, temperatura, etc.) é igual a soma dos
efeitos destas ações atuando isoladamente.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
Estruturas Hiperestáticas
Estruturas Treliçadas: são estruturas compostas por cinco ou mais
unidades triangulares construídas com elementos retos cujas
extremidades são ligadas em pontos conhecidos como nós.
Estruturas Aporticadas : consistem de pilares e vigas, de diferentes
tamanhos e combinados para formar pórticos. São utilizadas para
construções industriais, armazéns, construções comerciais, etc.
Estrutura Treliçada Estrutura Aporticada
Princípio do Trabalho Virtual
P
P
 = F/A
 = P/A
Seja uma carga a ser aplicada sobre uma estrutura. Sob a ação dessa carga, ocorrerá uma deformação na peça, um
deslocamento no sentido vertical e horizontal. Um deslocamento virtual é imaginário, isto é, não realizado realmente.
Ele é um deslocamento infinitesimal dado na direção positiva das coordenadas de posição.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
Aplicações:
• Cálculo dos deslocamentos de estruturas
isostáticas;
• Cálculo das forças em estruturas
hiperestáticas;
• Equilíbrio de Mecanismos (Eng. Mecânica).
Princípio do Trabalho Virtual
A
F1
F2
Fi
Fn
Inicialmente temos o ponto A em equilíbrio.
A’F1
F2 Fi
Fn
Wi = Fi . 
Wi = (Fi . )
Wi =  . Fi
 = deslocamento virtual
Wi = 0
Princípio do Trabalho Virtual ou Princípio de d’Alembert:
Ao longo dos deslocamentos virtuais, o somatório dos trabalhos virtuais será sempre zero.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
Aplicação 1: Considerar a estrutura abaixo:
P
A A’
x
y
Fx = 0
Fy = 0
M = 0
F2
F1
F4
F3
P = 100N Pelo princípio dos trabalhos virtuais:
Wi = 0
P . y – F4 . x = 0
F4 = P . (y/ x) (I)
x
y
L L

2 m 2 m
2 m
y = dy/d = L. cos (II)
x = dx /d = 2L. sen  (III)
Substituindo em (I), temos:
F4 = P. (L. cos)/(2L.sen )
F4 = P/2 . cotg
F4 = 100/2 . (1/tg45º)
F4 = 100/2 = 50N
tg = 2/2
tg = 1
 = 45º
= 1
Aplicação 2: Considere a seguinte situação abaixo:
P = 100 N Fm = K.x
Fm
x
y
Princípio dos trabalhos virtuais:
Wi = 0
P . y – Fm . x = 0
Fm = P. (y/x)
3m 4m
4 m
x
y
y = dy/d = Ly . cos 
x = dx/d = Lx . sen 
Portanto:
Fm = (P).(Ly/Lx). cotg
tg = 4/3 =1,33
 = 53,1º
Assim:
Fm = (100) (4/7).cotg
Fm =152,3.(1/tg)
Fm = 152,3 . (1/1,33)
Fm = 114,5 N

TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
Princípio das Forças Virtuais
𝑀 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 ഥ𝑀 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑄 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 ത𝑄 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙
𝑁 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙 ഥ𝑁 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑇 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 ത𝑇 = 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙
Exemplo - Viga em balanço: calcular o deslocamento vertical no balanço para a viga abaixo, considerando apenas a 
parcela de flexão.
Para calcular o deslocamento no balanço,
será aplicada uma carga unitária no nó de
interesse, que será nossa carga virtual:
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
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Exemplo: Determine a força horizontal Cx que o apoio em C deve aplicar no elemento BC para manter o
mecanismo mostrado na figura abaixo na posição de equilíbrio quando  = 45º. Despreze o peso dos elementos de
ligação.
B = 200 N
C
A
0,7 m

d = 2 m
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
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Resposta:
B . x = 0,7.Cx + (0,7.Cx.d. B.sen.d)+ L.w/2+ B.sen
200. 0,7.cos 45º = 0,7Cx + 39,6Cx + 200.sen45º
98,99 = 39,67Cx + 141,42
Cx = -106,9 N
B = 200 N
C
A
0,7 m

d = 2 m
Treliças
Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades.
O ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça.
Os esforços externos são aplicados unicamente nos nós.
Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um mesmo plano.
Para se calcular uma treliça deve-se:
a) determinar as reações de apoio;
b) determinar as forças nas barras.
A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: 2n = b + v
Sendo:
b = número de barras
n = número de nós
v = número de reações de apoio
Adota-se como convenção de sinais:
barras tracionadas: positivo (+)
barras comprimidas: negativo (-)
TEORIA DAS ESTRUTURAS – FUNDAMENTOS SOBRE PROCESSO DOS ESFORÇOS
MÉTODO DO EQUILÍBRIO DOS NÓS
Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e analíticos. Um dos vários processos
analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós, abaixo exemplificado.
1º) Verificar se a treliça é uma estrutura isostática:
barras b = 9
nós n = 6
reações v = 3
2n = b + v
2 × 6 = 9 + 3 .: 12 = 12
Conclusão: a treliça é uma estrutura isostática
2º) Cálculo do ângulo de inclinação das barras:
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3º) Cálculo das reações de apoio:
• Equação de equilíbrio das forças na horizontal:
Fx = 0 → conclusão: HE = 0
• Equação de equilíbrio das forças na vertical:
Fy = 0 → RA + RE – 50 −100 − 50 = 0 → RA + RE = 200 kN (I)
• Equação de equilíbrio de momentos:
Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se
por exemplo o nó A como referência, tem-se:
MA = 0 → (4 x RE) + (− 50 x 4) + (−100 x 2) = 0 .: RE = 100 kN (II)
Substituindo o valor de RE na Equação (I), tem-se:
RA + 100 kN = 200 kN .: RA = 100 kN
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4º) Cálculo das forças nas barras
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N3 →
N4 →
N6 →
N5 →
N7 →
N8 →
N9 →
N1 →
N2 →
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1º) Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
2º) Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está tracionada ou comprimida.
(a) (b)
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(c) (d)
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