CadernoEO-MatemátiaV4_2022

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Caro aluno 
O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às melhores univer-
sidades do Brasil.
Ao elaborar o seu Sistema de Ensino, o Hexag Medicina considerou como principal diferencial em relação aos 
concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plan-
tão de dúvidas personalizado.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu os conteúdos 
estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios:
aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixação da matéria 
dada em aula. 
Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, buscando a con-
solidação do aprendizado. 
Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade. 
dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais vestibulares do 
Brasil. 
enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparando o 
aluno para esse tipo de exame. 
objetivas (unesp, Fuvest, uniCamp e uniFesp): exercícios de múltipla escolha das universidades 
públicas de São Paulo. 
dissertativas (unesp, Fuvest, uniCamp e uniFesp): exercícios dissertativos da segunda fase das 
universidades públicas de São Paulo 
uerj (exame de qualiFiCação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolidação do 
aprendizado para o vestibular da Uerj. 
uerj (exame disCursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do aprendizado para 
o vestibular da Uerj.
Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado receberão o encarte 
Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manuseio, a que conteúdo do livro teórico 
corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo a diagnosticar em quais assuntos você encontra mais 
dificuldade. Essa é uma inovação do material didático. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande 
aliado para seu sucesso nos vestibulares.
Bons estudos!
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
4
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA 3
AULAS 27 E 28: FUNÇÃO COMPOSTA 4
AULAS 29 E 30: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 11
AULAS 31 E 32: EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES 20
AULAS 33 E 34: FUNÇÕES MODULARES 24
ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA 35
AULAS 27 E 28: INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 36
AULAS 29 E 30: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 40
AULAS 31 E 32: FATORIAL, PERMUTAÇÃO SIMPLES E PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 50
AULAS 33 E 34: ARRANJOS 56
GEOMETRIA ESPACIAL 61
AULAS 27 E 28: VOLUME DE PRISMAS 62
AULAS 29 E 30: PIRÂMIDES E TRONCOS DE PIRÂMIDE 73
AULAS 31 E 32: CILINDROS 82
AULAS 33 E 34: CONES E TRONCOS DE CONE RETO 91
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
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ÁLGEBRA
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E.O. AprEndizAgEm
1. (UEPB) Dada f(x) = x2 + 2x + 5, o valor de f(f(–1)) é: 
a) –56.
b) 85.
c) –29.
d) 29.
e) –85.
2. (IFCE) Seja f: ] 1, +` [ ⊂ R→ R uma função dada 
por f(x) = x _____ x – 1 . A expressão da função composta 
g(x) = f(f(x + 1)) é:
a) g(x) = 1 _____ x – 1 .
b) g(x) = x _____ x – 1 .
c) g(x) = x + 1.
d) g(x) = x – 1.
e) g(x) = x + 1 _____ x – 1 .
3. (PUCRJ) Sejam f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3x + 1. Então 
f(g(3)) – g(f(3)) é igual a: 
a) –1
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 3 
4. (UERN) Sejam as funções f(x) = x – 3 e g(x) = x2 – 2x + 4. 
Para qual valor de x tem f(g(x)) = g(f(x))? 
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
5. (Espcex (Aman)) Sejam as funções reais f(x) = dXXXXXXX x2 + 4x 
e g(x) = x – 1. O domínio da função f(g(x)) é 
a) D = {x [ R | x ≤ –3 ou x ≥ 1}
b) D = {x [ R | –3 ≤ x ≤ 1}
c) D = {x [ R | x ≤ 1}
d) D = {x [ R | 0 ≤ x ≤ 4}
e) D = {x [ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4}
6. (UFSM) Os praticantes de exercícios físicos se preo-
cupam com o conforto dos calçados utilizados em cada 
modalidade. O mais comum é o tênis, que é utilizado em 
corridas, caminhadas, etc. A numeração para esses cal-
çados é diferente em vários países, porém existe uma 
forma para converter essa numeração de acordo com 
os tamanhos. Assim, a função g(x) = x __ 6 converte a nu-
meração dos tênis fabricados no Brasil para a dos tênis 
fabricados nos Estados Unidos, e a função f(x) = 40x + 1 
converte a numeração dos tênis fabricados nos Estados 
Unidos para a dos tênis fabricados na Coreia. A função 
h(x) que converte a numeração dos tênis brasileiros 
para a dos tênis coreanos é:
a) h(x) = 20 ___ 3 x + 
1 __ 6 .
b) h(x) = 2 __ 3 x + 1.
c) h(x) = 20 ___ 3 x + 1.
d) h(x) = 20x + 1 _______ 3 .
e) h(x) = 2x + 1 ______ 3 .
7. (IFCE) Sendo f(x) = 3x – a, onde a é um número real 
fixado, a expressão f(2a) – f(a – 1) é equivalente a:
a) 2a – 3.
b) 2a.
c) 3(a + 1).
d) 2a – 1.
e) 1 – a.
8. (UERN) Sejam as funções compostas f(g(x)) = 2x – 1 e 
g(f(x)) = 2x – 2. Sendo g(x) = x + 1, então f(5) + g(2) é:
a) 10.
b) 8.
c) 7.
d) 6.
9. (CFTCE) Se f (g(x)) = 5 x – 2 e f(x) = 5 x + 4, então g(x) 
é igual a:
a) x – 2.
b) x – 6.
c) x – 6 ___ 5 .
d) 5 x + 2.
e) 5 x – 2.
10. (UFU) Considere as funções polinomiais p(x) = x2 – 3x 
e q(x) = ax + b, onde a e b são números reais não nulos. 
 FUNÇÃO COMPOSTA
COMPETÊNCIA(s)
3, 4 e 5
HABILIDADE(s)
12, 15, 17, 18, 19, 20 e 21
MT
AULAS 
27 E 28
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Sabendo que 0 e –1 são raízes do polinômio h(x) = (poq)
(x), sendo que poq indica a composição das funções p e 
q, pode-se afirmar que a diferença b – a é igual a:
a) 6 c) −6
b) 0 d) −3
E.O. FixAçãO
1. (Mackenzie) O polinômio do 2º grau f(x) que verifica 
a identidade f(x + 1) = x2 - 7x + 6 é:
a) f(x) = x2 - 14 x + 9
b) f(x) = x2 + 9 x + 14
c) f(x) = x2 - 5 x
d) f(x) = x2 - 9 x + 14
e) f(x) = x2 - 7 x + 4
2. (Esc. Naval) Considere f e g funções reais de variável 
real definidas por, f(x) = 1 _______ 4x – 1 e g(x) = 2x
2. Qual é o 
domínio da função composta (f o g)(x)?
a) R
b) { x [ R | x ≠ – 1 ____ 2 dXX 2 , x ≠ 1 ____ 2 dXX 2 } 
c) { x [ R | x ≠ 1 __ 4 } 
d) { x [ R | x ≠ 1 __ 4 , x ≠ 1 ____ 2 dXX 2 } 
e) { x [ R | x ≠ – 1 __ 4 , x ≠ – 1 ____ 2 dXX 2 } 
3. (PUCRJ) Sejam f(x) = x2 + 1 e g(x) = x2 – 1. Então a 
equação f(g(x)) – g(f(x)) = –2 tem duas soluções reais. O 
produto das duas soluções é igual a: 
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
4. (ESPM) A figura abaixo representa o gráfico cartesia-
no da função f (x).
Sabendo-se que f (1) = 2, o valor de f (f(p)) é: 
a) 1
b) 3 __ 2 
c) 3 __ 4 
d) 2
e) 5 __ 2 
5. (UFV) Se f e g são funções reais tais que f(x) = 2x – 2 
e f(g(x)) = x + 2, para todo x [ R, então g(f(2)) é igual a: 
a) 4.
b) 1.
c) 0.
d) 2.
e) 3.
6. (UFPR) Dadas as funções f: R → R e g: R → R 
definidas por f(x) = ax + b e g(x) = x2, considere as 
seguintes afirmativas:
I. (g o f)(1) = (a + b)2.
II. (f o g)(-x) = (f o g)(x), para qualquer x [ R.
III. (g o f)(x) = (f o g)(x), para qualquer x [ R.
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
7. (UFPR) Considere a função f definida no conjunto dos 
números naturais pela expressão f(n + 2) = f(n) + 3, com 
n [ N, e pelos dados f(0) = 10 e f(1) = 5. É correto afirmar 
que os valores de f(20) e f(41) são, respectivamente: 
a) 21 e 65.
b) 40 e 56.
c) 21 e 42.
d) 23 e 44.
e) 40 e 65.
8. (UFU) Sobre a função f : [0, 2] → R sabe-se que:
• f é injetora;
• (f o f) (0) = f (0);
• O gráfico de f está representado em uma das alter-
nativas a seguir.
Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico de f.
a) 
y
xO 2
b) y
xO 2
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c) y
xO 2
d) y
xO 1
9. (CFTMG) Define-se acomposição de funções f e g, 
pela equação (gof)(x) = g(f(x)), para todo valor x, cuja 
imagem pela função f esteja no domínio de g.
Dadas as funções reais
f(x) = 1 – x, se x ≥ 1
x – 1, se x < 1
 e g(x) = x2 + 2x + 1,
a composição de f e g para o ponto 2 vale 
a) 0 c) –1
b) 1 d) –2
10. (UEL)Seja h(x) = [f o g](x) · [g o f](x), onde 
f(x) = (x + 0,5)(x – 0,5) e g(x) = 1 _________ 
x2 + 0,25
 . Qual o valor 
de h(0,5)?
a) 15
b) 15 ___ 8 
c) 16
d) – 3 __ 4 
e) – 15 ___ 4 
E.O. COmplEmEntAr
1. (IME) Sejam as funções f: R → R, g: R → R, 
h: R → R. A alternativa que apresenta a condição neces-
sária para que se f(g(x)) = f(h(x)), então é g(x) = h(x) é:
a) f(x) = x
b) f(f(x)) = f(x)
c) f é bijetora 
d) f é sobrejetora 
e) f é injetora 
2. (Epcar (AFA)) Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3,} e 
a função f: A → A tal que f(3) = 1 e f(x) = x + 1, se x ≠ 3. 
A soma dos valores de x para os quais (f o f o f)(x) = 3 é:
a) 2 c) 4
b) 3 d) 5
3. (IFAL) Considere o gráfico da função y = f(x) represen-
tado por segmentos de reta:
I. ( ) f(4) = f(21).
II. ( ) f(f(f(0))) = f(2).
III. ( ) f(f(6)) = 2f(f(f(8))).
Podemos afirmar que 
a) somente as afirmativas (I) e (II) são verdadeiras. 
b) somente as afirmativas (I) e (III) são verdadeiras. 
c) somente as afirmativas (II) e (III) são verdadeiras. 
d) todas as afirmativas são verdadeiras. 
e) todas as afirmativas são falsas. 
4. (FGV) Seja f uma função real tal que f ( x - 1 ______ x ) = x - 1, 
para todo x real não nulo.
Sendo 0 < θ < π __ 2 o valor de f(sen2θ) é:
a) sen2θ
b) cos2θ
c) tg2θ
d) sec2θ
e) cossec2θ
5. (CFTMG) Sendo f(x) = dXXXXXXXXXXX x2 + 2x + 1 definida em 
A = {x [ R | x ≥ –1} e g(x) = x2 definida em R+ o 
gráfico que representa a função(g o f)(x) é:
a) 
b) 
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d) 
E.O.dissErtAtivO
1. (UFU) Fixado um sistema de coordenadas cartesianas 
xOy, considere as funções reais de variável real 
y = f(x) = x2 + b · x + c e y = g(x) = k · x + 4, em que as 
constantes b, c, k são números reais.
Sabendo que o gráfico de f é dado pela parábola de 
vértice V = (1,1), determine todos os possíveis valores 
reais que k poderá assumir de maneira que a equação 
definida pela composição (g o f)(x) = 0 tenha raiz real. 
2. (UFPR) Considere as funções f e g, definidas por 
f(x) = x + 1 e g(x) = 2 · sen(x), com x real.
a) Esboce os gráficos de f e g.
 
 
b) Obtenha as expressões de f o g e g o f em função de 
x, e esboce o gráfico dessas duas funções compostas.
 
 
3. (CFTCE) Sendo g(f(x)) = 5x + 6 e g(x) = x + 3, determine f(x). 
4. (UFG) Considere as funções f(x) = mx +3 e g (x) = x2 – 2x +2, 
onde m [ R. Determine condições sobre m para que a 
equação f(g(x)) = 0 tenha raiz real.
5. (ITA) Considere as funções f: R → R, f(x) = eax em que 
a é uma constante real positiva, e g:[0, ∞[→ R, g(x) = dXX x . 
Determine o conjunto-solução da inequação 
(g o f)(x) > (f o g)(x).
6. (PUCRJ) Seja f(x) = x + 1 _______ –x + 1 .
a) Calcule f(2).
b) Para quais valores reais de x temos f(f(x)) = x?
c) Para quais valores reais de x temos f(f(f(f(x)))) = 2011? 
7. (UFU) Sejam f : [0,6] → R a função quadrática defini-
da por f (x) = x2 – 6 x + 5 e g: [-5, 5] → R a função, cujo 
gráfico está esboçado a seguir.
y - g(x)
x-5 -3 0 5
=
Sabendo-se que g o f denota a composição da função 
g com a função f, resolva a equação (g o f) (x) = 0, na 
variável x. 
8. (UFPR) O número N de caminhões produzidos em uma 
montadora durante um dia, após t horas de operação, é 
dado por N(t) = 20 · t - t2, sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha 
que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N 
caminhões seja dado por C(n) = 50 + 30n.
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a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de 
operação da montadora.
b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo 
alcançará o valor de 2300 milhares de reais?
9. (UFV) Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = 2x + 1 
e (fog)(x) = 2x3 – 4x + 1. Determine os valores de x para 
os quais g(x) > 0. 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condições 
ambientais de uma comunidade, com uma população p, 
em milhares de habitantes:
• C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, 
em partes por milhão, corresponde a C(p) = 0,5 p +1;
• em um determinado tempo t, em anos, p será igual 
a p(t) = 10 + 0,1 t2.
Em relação à taxa C,
a) expresse-a como uma função do tempo;
b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 
partes por milhão. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere as funções f e g, cujos gráficos 
estão representados na figura abaixo.
O valor de f(g(1)) – g(f(1)) é igual a:
a) 0.
b) –1.
c) 2.
d) 1.
2. (Fuvest) Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. 
A soma dos valores absolutos das raízes da equação 
f(g(x)) = g(x) é igual a:
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
3. (Fuvest - 2017) Considere as funções f(x) = x2 + 4 e 
g(x) = 1 + log 1/2 x, em que o domínio de f é o conjunto 
dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos nú-
meros reais maiores do que 0. Seja h(x) = 3f(g(x)) + 2g(f(x)), 
em que x > 0. Então, h(2) é igual a:
a) 4
b) 8
c) 12
d) 16
e) 20
4. (Unicamp - 2017) Considere as funções f(x) = 3x e 
g(x) = x3, definidas para todo número real x. O número 
de soluções da equação f(g(x)) = g(f(x)) é igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
5. (Unicamp) Considere a função afim f(x) = ax + b de-
finida para todo número real x, onde a e b, são núme-
ros reais. Sabendo que f(4) = 2, podemos afirmar que 
f(f(3) + f(5)) é igual a :
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Seja x o número de anos decorridos a partir 
de 1960 (x = 0). A função y = f(x) = x + 320 fornece, 
aproximadamente, a média de concentração de CO2 na 
atmosfera em ppm (partes por milhão) em função de x. 
A média de variação do nível do mar, em cm, em função 
de x, é dada aproximadamente pela função g(x) = ( 1 __ 5 ) x. 
Seja h a função que fornece a média de variação do 
nível do mar em função da concentração de CO2.
No diagrama seguinte estão representadas as funções 
f, g e h.
Determine a expressão de h em função de y e calcule 
quantos centímetros o nível do mar terá aumentado quan-
do a concentração de CO2 na atmosfera for de 400 ppm.
2. (Fuvest) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) 
para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se 
que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f(x – 1) + 1 
para todo o número real x.
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a) Calcule g(3).
b) Determine f(x), para todo x real.
c) Resolva a equação g(x) = 8. 
3. (Unesp) Considere as funções
f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b.
Determine o conjunto C, dos pontos (a,b) [ R2 tais que 
f o g = g o f.
4. (Unicamp) Seja a um número real positivo e considere 
as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 - 2x, definidas 
para todo número real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequa-
ção f(x)g(x) > 0.
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) = g(f(x)) para 
todo número real x.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. C 3. A 4. B 5. A
6. C 7. C 8. A 9. C 10. B
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. B 4. D 5. E
6. C 7. E 8. A 9. A 10. A
E.O. Complementar
1. E 2. B 3. D 4. C 5. A
E.O. Dissertativo
1. -4 ≤ k < 0
2. 
a) 
 
 
b) fog(x) = 2senx + 1
 
gof(x) = 2sen (x + 1)
 
3. f(x) = 5x + 3.
4. –3 ≤ m < 0.
5. S = ] 4, + ∞ [.
6. 
a) f(2) = 2 + 1 ______ 
–2 + 1
 = –3.
b) Não existe um valor de x tal que x2 = –1.
c) x = 2011.
7. S = {0, 2, 4, 6}
8. 
a) C(t) = –30t2 + 600 t + 50.
b) t = 5h.
9. ]– √
__ 
 2 , 0[ ∪ ] √
__ 
 2 , + `[.
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) C(t) = 6 + 0,05 t2.
b) 12 anos.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. D 3. B 4. C 5. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicampe Unifesp)
1. h(y) = 
(y – 320)
 _________ 5 e h(400) = 16 cm.
2. 
a) g(3) = 2.
b) f(x) = x ___ 
2
 .
c) S = {15}.
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3. 3a – b = 3.
4. 
a) x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, ou seja, a inequação possui 
7 soluções inteiras.
b) a = 1 ___ 
2
 .
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E.O. AprEndizAgEm
1. (CFTMG) O esboço do gráfico da função f(x) = a + b cos (x) 
é mostrado na figura seguinte.
Nessa situação, o valor de a · b é: 
a) 2. c) 5.
b) 3. d) 6.
2. (UECE) Se f : R ∫ R é a função definida por f(x) = 2senx + 1, 
então o produto do maior valor pelo menor valor que f assu-
me é igual a: 
a) 4,5. 
b) 3,0. 
c) 1,5. 
d) 0. 
3. (UFSM) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em 
excesso pelos veículos causam graves problemas a toda 
população. Durante o inverno, a poluição demora mais 
para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimen-
to de doenças respiratórias.
Suponha que a função
N(x) = 180 – 54 cos ( p __ 6 (x – 1) ) 
represente o número de pessoas com doenças respi-
ratórias registrado num Centro de Saúde, com x = 1 
correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, ao mês de 
fevereiro e assim por diante.
A soma do número de pessoas com doenças respira-
tórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e 
julho é igual a: 
a) 693. 
b) 720. 
c) 747. 
d) 774. 
e) 936. 
4. (Acafe) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a au-
mentar a produção de ostras e mexilhões, um engenhei-
ro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da 
água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, 
efetuou medições durante três dias consecutivos, em in-
tervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da 
manhã do primeiro dia (t = 0) e os dados foram represen-
tados pela função periódica T(t) = 24 + 3 cos ( pt ___ 6 + p __ 3 ) , em 
que t indica o tempo (em horas) decorrido após o início 
da medição e T(t), a temperatura (em °C) no instante t.
O período da função, o valor da temperatura máxima e 
o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro 
dia de observação valem, respectivamente: 
a) 6h, 25,5°C e 10h. 
b) 12h, 27°C e 10h. 
c) 12h, 27°C e 15h. 
d) 6h, 25,5°C e 15h. 
5. (UFSM) Cerca de 24,3% da população brasileira é hi-
pertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo 
excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em 
mmHg) de um certo indivíduo é expressa em função do 
tempo por P(t) = 100 – 20 cos ( 8p ___ 3 t ) , onde t é dado em 
segundos. Cada período dessa função representa um 
batimento cardíaco.
Analise as afirmativas:
I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 bati-
mentos por minuto.
II. A pressão em t = 2 segundos é de 110 mmHg.
III. A amplitude da função P(t) é de 30 mmHg. 
Está(ão) correta(s):
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
6. (FGV) Um triângulo isósceles tem os lados congruen-
tes com medida igual a 5. Seja a medida do ângulo da 
base, para a qual a área do referido triângulo é máxima. 
Podemos afirmar que: 
a) 10º ≤ a < 20º.
b) 20º ≤ a < 30º.
c) 30º ≤ a < 40º.
d) 40º ≤ a < 50º.
e) 50º ≤ a < 60º.
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
COMPETÊNCIA(s)
3, 4 e 5
HABILIDADE(s)
12, 15, 17, 18, 19, 20 e 21
MT
AULAS 
29 E 30
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7. (UERN) A razão entre o maior e o menor número in-
teiro que pertencem ao conjunto imagem da função 
trigonométrica y = –4 + 2 cos ( x – 2p ___ 3 ) é: 
a) 2.
b) 1 ___ 3 .
c) –3.
d) – 1 ___ 2 .
8. (PUC-RS) A figura a seguir representa um esboço do 
gráfico de uma função y = A + B sen ( x __ 4 ) , que é muito útil 
quando se estudam fenômenos periódicos, como, por 
exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o 
produto das constantes A e B é:
a) 6.
b) 10.
c) 12.
d) 18.
e) 50.
9. (PUC - 2017) A pressão arterial é a pressão que o san-
gue exerce sobre as paredes das artérias. Ela atinge o 
valor máximo (pressão sistólica) quando os ventrículos 
se contraem, e o valor mínimo (pressão diastólica) quan-
do eles estão em repouso. Suponhamos que a variação 
da pressão arterial (em mmHg) de um cidadão portoale-
grense em função do tempo (em segundos) é dada por 
P(t) = 100 - 20 ∙ cos ( 8π ___ 3 ∙ t ) . Diante disso, os valores 
da pressão diastólica e sistólica, em mmHg, são iguais, 
respectivamente, a:
a) 60 e 100.
b) 60 e 120.
c) 80 e 120.
d) 80 e 130.
e) 90 e 120.
10. (UFPB) Um especialista, ao estudar a influência da 
variação da altura das marés na vida de várias espécies 
em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, 
dada em metros, em um espaço de tempo não muito 
grande, poderia ser modelada de acordo com a função:
A(t) = 1,6 – 1,4 sen ( p __ 6 t ) .
Nessa função, a variável t representa o tempo decorri-
do, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse 
contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], 
está representada pelo gráfico:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
E.O. FixAçãO
1. (UFRGS) O gráfico da função f, definida por f(x) = cos x, 
e o gráfico da função g, quando representados no mes-
mo sistema de coordenadas, possuem somente dois pon-
tos em comum.
Assim, das alternativas abaixo, a que pode representar 
a função g é: 
a) g(x) = (senx)2 + (cosx)2.
b) g(x) = x2.
c) g(x) = 2x.
d) g(x) = log x.
e) g(x) = sen x.
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2. (UCS) Suponha que, em determinado lugar, a tempera-
tura média diária T, em °C, possa ser expressa, em função 
do tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por 
T(t) = 14 + 12 sen [ 2p(t – 105) ___________ 364 ] .
Segundo esse modelo matemático, a temperatura mé-
dia máxima nesse lugar, ocorre no mês de:
a) julho. d) dezembro. 
b) setembro. e) março.
c) junho. 
3. (UFRGS) O período da função definida por 
f(x) = sen ( 3x – p __ 2 ) é:
a) p __ 2 .
b) 2p ___ 3 .
c) 5p ___ 6 .
d) p.
e) 2p.
4. (UFSM) Sobre a função representada no gráfico, é 
correto afirmar:
a) O período da função é 2p.
b) O domínio é o intervalo [–3, 3].
c) A imagem é o conjunto R.
d) A função é par.
e) A função é y = 3 sen ( x __ 2 ) .
5. (UERN) Um determinado inseto no período de repro-
dução emite sons cuja intensidade sonora oscila entre 
o valor mínimo de 20 decibéis até o máximo de 40 de-
cibéis, sendo t a variável tempo em segundos. Entre as 
funções a seguir, aquela que melhor representa a varia-
ção da intensidade sonora com o tempo I(t) é: 
a) 50 – 10 cos ( p __ 6 t ) .
b) 30 + 10 cos ( p __ 6 t ) .
c) 40 + 20 cos ( p __ 6 t ) .
d) 60 – 20 cos ( p __ 6 t ) .
6. (UEPB) Sendo f(x) = –4 cos ( p __ 2 – x ) + 2 cos x, o valor 
de f ( – 7p ___ 4 ) é: 
a) dXX 2 .
b) 2.
c) – dXX 2 .
d) –1.
e) 
dXX 2 ___ 2 .
 7. (ITA - 2017) O maior valor de tgx, com x = 1 __ 2 arcsen ( 3 __ 5 ) e 
x ∈ [ 0, π __ 2 ] , é:
a) 1 __ 
4
 .
b) 1 __ 
3
 .
c) 1 __ 
2
 .
d) 2.
e) 3.
8. (Mackenzie) Considerando o esboço do gráfico da 
função f(x) = cos x, entre 0 e 2p a reta que passa pelos 
pontos P e Q define com os eixos coordenados um tri-
ângulo de área:
 
a) p __ 2 .
b) p __ 4 .
c) p.
d) p __ 8 .
e) p __ 6 .
9. (UFPA) O gráfico da função f dada por f(t) = cos [ t + ( p __ 2 ) ] 
no intervalo [0, 2p] é:
a) 
b) 
c) 
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d) f(t)
t
1
-1
0 2 π
e) 
10. (UFSM)
O gráfico mostra a quantidade de animais que uma 
certa área de pastagem pode sustentar ao longo de 12 
meses. Propõe-se a função Q (t) = a sen (b + ct) + d para 
descrever essa situação. De acordo com os dados, Q (0) 
é igual a: 
a) 100.
b) 97.
c) 95.
d) 92.
e) 90.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Cefet MG) A função
f(x) = sec x · sen (2x) · sen2 ( x + p __ 2 ) ·cos(p – x) · tg2 x
deve ser reescrita como produto de uma constante pe-
las funções seno e cosseno, calculadas no mesmo valor 
x, como f(x) = k · senm x · cosn x.
O valor de m é: 
a) –2.
b) –1.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
2. (Insper) A figura mostra o gráfico da função f, dada 
pela lei:
f(x) = (senx + cosx)4 – (senx – cosx)4.
O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a: 
a) 5p ___ 12 .
b) 4p ___ 9 .
c) 3p ___ 8 .
d) 5p ___ 6 .
e) 2p ___ 3 .
3. (Espcex (Aman)) A função real f(x) está representada 
no gráfico abaixo.
A expressão algébrica de f(x) é: 
a) f(x) = { –  sen x  , se x < 0  cos x  , se x ≥ 0 
b) f(x) = {  cos x  , se x < 0  sen x  , se x ≥ 0 
c) f(x) = { –  cos x  , se x < 0  sen x  , se x ≥ 0 
d) f(x) = {  sen x  , se x < 0  cos x  , se x ≥ 0 
e) f(x) = { –sen x, se x < 0 cos x, se x ≥ 0 
4. (UFF) Nas comunicações, um sinal é transmitido por 
meio de ondas senoidais, denominadas ondas portadoras.
Considere a forma da onda portadora modelada pela 
função trigonométrica
f(t) = 2 sen [ 3t – ( p __ 3 ) ] , t [ R
Pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa 
f(t) é:
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5. (Ime - 2017) Calcule o valor de sen
4a + cos4a _____________ 
sen6a + cos6a
 , saben-
do-se que sena cosa = 1 __ 5 .
a) 22 ___ 21 .
b) 23 ___ 22 .
c) 25 ___ 23 .
d) 13 ___ 12 .
e) 26 ___ 25 .
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPR) Suponha que, durante certo período do ano, a 
temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago 
possa ser descrita pela função F(t) = 21 – 4 cos ( p ___ 12 t ) , 
sendo t o tempo em horas medido a partir das 06h00 
da manhã.
a) Qual a variação de temperatura num período de 
24 horas?
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23 ºC? 
2. (UFPR) O pistão de um motor se movimenta para 
cima e para baixo dentro de um cilindro, como ilustra 
a figura.
Suponha que em um instante t, em segundos, a altu-
ra h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita 
pela expressão:
h(t) = 4 sen ( 2pt _____ 0,05 ) + 4
a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge. 
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, fun-
cionando durante um minuto?
3. (FGV) Uma fórmula que mede a magnitude M de um 
terremoto pode ser escrita como M = 0,67 ∙ log E - 3,25, 
sendo E a energia mecânica liberada pelo abalo, medi-
da em Joules.
a) Calcule, por meio da fórmula dada, a energia me-
cânica liberada por um terremoto de magnitude 2,11.
b) A figura a seguir mostra um modelo trigonométrico 
que, por meio da função cosseno y = A + B∙cos(mx + n), 
ajuda a prever a magnitude de terremotos em uma 
ilha do Pacífico. Nesse modelo, x indica a magnitude 
do terremoto, e y indica o ano de ocorrência, sendo 
x = 1 correspondente ao ano 1980, x = 6 correspon-
dente ao ano 1990, x = 11 correspondente ao ano 
2000, e assim sucessivamente.
 
Determine domínio, imagem e período da função cujo 
gráfico está indicado na figura. Em seguida, determine 
os valores dos parâmetros A, B, m e n da lei dessa função.
4. (UFPR - 2017) Considere a função f(x) = 4 cos ( xπ ___ 4 ) - 3, 
com x ∈ (- ∞, + ∞).
a) Qual é o valor mínimo que a função f atinge? 
b) Para que valores de x temos f(x) = - 1?
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5. (FGV) Construa o gráfico das funções f(x) = 2 + sen x e 
g(x) = 2 + cos 2x para 0 ≤ x ≤ 2p.
Admita que f(x) e g(x) indiquem as cotações das ações 
das empresas F e G na bolsa de valores de São Paulo 
no intervalo de horas 0 ≤ x ≤ 2p (x = 0 indica 12h00, e 
x = 2p ≈ 6,28 indica, aproximadamente, 18h17). De-
termine algebricamente (equações e/ou inequações) o 
intervalo de horas, com 0 ≤ x ≤ 2p, em que a cotação 
das ações da empresa F foi maior ou igual à cotação das 
ações da empresa G.
6. (UFC) Considere as funções definidas f: R∫ R e g: R ∫ R, 
respectivamente, por f(x) = x2 + 1 e g(x) = cosx - senx.
a) Explicite a função composta h(x) = f(g(x)). 
b) Determine o valor máximo da função composta 
h(x) = f(g(x)). 
7. (UFPE) Seja f uma função que tem como domínio o con-
junto dos números reais e é dada por f(x) = a · sen(v · x + b), 
com a, v e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o grá-
fico de f, restrito ao intervalo fechado [ - p __ 6 , 5p ___ 6 ] . A função 
f tem período p e seu conjunto imagem é o intervalo 
fechado [–5, 5]. 
Determine as constantes a e v e o menor valor positivo 
de b. Indique a2 + v2 + 3b ___ p . 
8. (UFRRJ) Determine os valores reais de k, de modo que 
a equação 2 – 3cos x = k – 4 admita solução. 
9. (IME). Determine o conjunto solução da equação:
(sen x) ( 1 + tg x tg x __ 2 ) = 4 - cotg x
10. (PUC-RJ)
a) Esboce os gráficos de y = sen(x) e de y = cos(x).
b) Para quantos valores de x entre 0 e 2p temos 
sen(x) = 2cos(x)?
E.O. EnEm
1. (Enem) Um satélite de telecomunicações, t minutos 
após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de dis-
tância do centro da Terra. Quando r assume seus valores 
máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apo-
geu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para 
esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por:
r(t) = 5865 ____________________ 
1 + 0,15 · cos (0,06t)
 .
Um cientista monitora o movimento desse satélite para 
controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para 
isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no 
apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge 
o valor de: 
a) 12 765 km. d) 10 965 km.
b) 12 000 km. e) 5 865 km.
c) 11 730 km.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ 2017) No esquema abaixo, estão representados 
um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, 
tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.
 
A medida θ do ângulo CÂP pode ser determinada a par-
tir da seguinte identidade trigonométrica:
tg (a - b) = 
tg(a) - tg(b)
 ________________ 
1 + tg(a) x tg(b)
 
O valor da tangente de θ é igual a: 
a) 0,65 b) 0,60 c) 0,55 d) 0,50
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Em situação normal, observa-se que os su-
cessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos 
pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem 
como na quantidade de ar inalada e expelida. A velo-
cidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de 
um indivíduo está representada pela curva do gráfico, 
considerando apenas um ciclo do processo.
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Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, 
um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a 
cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e 
exalação, em módulo, é 0,6 l/s, a expressão da função 
cujo gráfico mais se aproxima da curva representada 
na figura é:
a) V(t) = 2p ___ 5 sen ( 3 __ 5 t ) .
b) V(t) = 3 __ 5 sen ( 5 ___ 2p t ) .
c) V(t) = 0,6 cos ( 2p ___ 5 t ) .
d) V(t) = 0,6 sen ( 2p ___ 5 t ) .
e) V(t) = 5 ___ 2p cos (0,6t).
 2. (Unesp) Observe o gráfico.
Sabendo-se que ele representa uma função trigonomé-
trica, a função y(x) é: 
a) –2 cos (3x).
b) –2 sen (3x).
c) 2 cos (3x).
d) 3 sen (2x).
e) 3 cos (2x).
3. (Fuvest 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal 
é mantida a temperatura constante, e seu volume varia 
com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:
V(t) = log2(5 + 2 sen (πt)), 0 ≤ t ≤ 2,
em que t é medido em horas e V(t) é medido em m3. 
A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0,2] 
ocorre no instante
a) t = 0,4
b) t = 0,5
c) t = 1
d) t = 1,5
e) t = 2
4. (Unicamp 2017) Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal 
que a sequência (tg x, sec x, 2) é uma progressão aritmé-
tica (PA). Então, a razão dessa PA é igual a
a) 1.
b) 5/4.
c) 4/3.
d) 1/3.
E.O. dissErtAtivAs(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Do solo, você observa um amigo numa roda gi-
gante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao 
solo é dada pela expressão h(t) = 11,5 + 10 sen [ ( p ___ 12 ) · (t – 26) ] , 
onde o tempo t é dado em segundos e a medida angu-
lar em radianos.
a) Determine a altura em que seu amigo estava quan-
do a roda começou a girar (t = 0).
b) Determine as alturas mínima e máxima que seu 
amigo alcança e o tempo gasto em uma volta com-
pleta (período). 
2. (Unifesp) Considere a função y = f(x) = 1 + sen ( 2px – p __ 2 ) 
definida para todo x real.
a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.
b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], 
tais que y = 1. 
3. (Unesp) Considere a representação gráfica da função 
definida por f(x) = sen ( 3px ____ 2 ) . ( –1 + dXXXXX x – 1 ) .
gráfico da função f(x), sem escala
P Q R S
1.0 x
y
Os pontos P, Q, R e S denotam os quatro primeiros pon-
tos de interseção do gráfico da função f com o eixo das 
abscissas. Determine as coordenadas dos pontos P, Q, R 
e S, nessa ordem.
4. (Unifesp 2017) Os pontos T e U deslocam-se so-
bre retas paralelas r1 e r2 de tal forma que 

 TU passe 
sempre pelo centro C de um quadrado PQRS de lado 
2, e forme um ângulo de medida a com r1, conforme 
indica, como exemplo, a sequência de cinco figuras.
 
a) Calcule as medidas de 

 TU nas situações em que a = 45º 
e a = 90º.
b) Denotando TU por y, determine y em função de a e 
o respectivo domínio dessa função no intervalo de a 
em que a posição de T varia de P até Q.
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5. (Unifesp) Por razões técnicas, um armário de altura 
2,5 metros e largura 1,5 metro está sendo deslocado 
por um corredor, de altura h metros, na posição mostra-
da pela figura.
 
a) Calcule h para o caso em que a = 30º.
b) Calcule h para o caso em que x = 1,2 m.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. A 3. B 4. C 5. B
6. D 7. B 8. A 9. C 10. A
E.O. Fixação
1. B 2. A 3. B 4. E 5. B
6. C 7. B 8. B 9. D 10. C
E.O. Complementar
1. E 2. A 3. A 4. A 5. B
E.O. Dissertativo
1. 
a) A temperatura varia de 17 °C a 25 °C na superfície 
do lago.
b) 14h e 22h.
2. 
a) hmáx = 8 cm e hmin = 0 cm. 
b) 1200 ciclos completos.
3. 
a) E = 108 joules.
b) Domínio ⇒ D = {R}
Imagem ⇒ Im = {4; 8}
Período ⇒ T = 11 - 1 = 10
m = π/5
n = – π/5
A = 6
B = 2
4. 
a) - 7.
b) S = {x ∈ R | x = 4/3 + 8k ou x = 20/3 + 8k, k ∈ ℤ}.
5. 
a)
b) f(x) ≥ g(x)
2 + senx ≥ 2 + cos(2x)
2 + senx ≥ 2 + cos2 x – sen2x
senx ≥ cos2 x – sen2x
senx ≥ 1 – sen2x – sen2x
2 sen2x + senx – 1 ≥ 0
Resolvendo a inequação, temos:
senx = –1 logo x = 3p ___ 
2
 (16h e 43 min).
senx ≥ 1 __ 
2
 logo p __ 
6
 ≤ x ≤ 5p ___ 
6
 
(12h e 31min ≤ x ≤ 14h e 37 min).
6. 
a) h(x) = f(g(x)) = (cos x – sen x)2 + 1 ä
h(x) = cos2 x – 2 sen x cos x + sen2x + 1 ä
h(x) = 2 – sen 2x
b) 3
7. Sabendo que o período fundamental da função seno é 2p, e 
que o período de f é p, temos p = 2p __ v à  v  = 2.
Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo [–1, 1], 
e a imagem de f é o intervalo [–5, 5], temos [–5, 5] = a · [–1, 1] 
ä a = 5 (supondo senb > 0).
Finalmente, como f ( – p __ 6 ) = 0, temos:
0 = 5 · sen [ 2 · ( – p __ 6 ) + b ] à
à sen ( – p __ 3 + b ) = sen 0,
donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz 
a igualdade é b = p __ 
3
 .
Portanto, a2 + v2 + 3b ___ p = 5
2 + 22 + 3 __ p · 
p __ 
3
 = 30
8. 3 ≤ k ≤ 9 
9. S = {x ∈ R | x = π/12 + kπ ou x = 5π/12 + kπ, k ∈ ℤ}.
10. 
a) Observe o gráfico a seguir:
b) Para dois valores.
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E.O. Enem
1. B
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. B
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. B 3. D 4. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 6,5 m.
b) período: 24 segundos; altura mínima: 1,5 m; altura 
máxima: 21,5 m. 
2. 
a) P = 1; Im = [0; 2].
b) { 1 __ 4 , 3 __ 4 } .
3. P ( 4 __ 3 , 0 ) ; Q (2, 0), R ( 8 __ 3 , 0 ) e S ( 10 ___ 3 , 0 ) .
4. 
a) Com a=45º, TU=2√2. Com α=90º,  TU = 2
b) sena = 2 __ y ⇔ y = 2 cosseca, com a∈ [ π __ 4 , 3π ___ 4 ] .
5. 
a) A altura h será: h = 5 + 3 
dXX 3 _______ 
4
 m
b) A altura h será: h = 1,2 + 1,5 ⇒ h = 2,7 m
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E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-MG) O valor de  2 – dXX 5  +  3 – dXX 5  é:
a) 5 – 2 dXX 5 .
b) 5 + 2 dXX 5 .
c) 5
d) 1 + 2 dXX 5 .
e) 1.
2. (UECE) Seja W = { x [ R;  3x + 1  =  x – 2  } . A soma dos 
elementos de W é:
a) – 5 __ 4 . c) 
1 __ 4 .
b) – 3 __ 4 . d) 
7 __ 4 .
3. (UFPI) A soma das raízes da equação  x  2 + 2  x  – 15 = 0 é: 
a) 0. d) 6.
b) –2. e) 2.
c) –4.
4. (UEPB) A soma das raízes da equação modular 
   x – 2  – 7  = 6 é:
a) 15. d) 2.
b) 30. e) 8.
c) 4.
5. (UECE) Se f(x) = x
2
 __ 2 – 2, então as raízes irracionais da 
equação  f(x) – 6  = 8 são:
a) ±2 √
__
 2 . c) ±4 √
__
 2 .
b) ±3 √
__
 2 . d) ±5 √
__
 3 .
6. (PUC-MG) Os pesos aceitáveis do pãozinho de 50 g 
verificam a desigualdade  x – 50  ≤ 2, em que x é medi-
do em gramas. Então, assinale o peso mínimo aceitável 
de uma fornada de 100 pãezinhos, em quilogramas. 
a) 4,50
b) 4,80
c) 5,20
d) 5,50
7. (FGV) A soma dos valores inteiros de x que satisfazem si-
multaneamente as desigualdades:  x – 5  < 3 e  x – 4  ≥ 1 é: 
a) 25. d) 18.
b) 13. e) 21.
c) 16.
8. (Unitau) Se x é uma solução de  2x – 1  < 5 – x, 
então: 
a) 5 < x < 7.
b) 2 < x < 7.
c) -5 < x < 7.
d) 4 < x < 7.
e) - 4 < x < 2.
9. (PUC-MG) As alturas das mulheres adultas que ha-
bitam certa ilha do Pacífico satisfazem a desigualdade 
 h - 153 _______ 22 ≤ 1, em que a altura h é medida em centíme-
tros. Então, a altura máxima de uma mulher dessa ilha, 
em metros, é igual a: 
a) 1,60.
b) 1,65.
c) 1,70.
d) 1,75.
10. (PUC-RJ) O conjunto dos números reais x tais que 
 x – 2  <  x – 5  é: 
a) vazio.
b) finito.
c) o conjunto de todos os números reais menores que 7 __ 2 .
d) o conjunto de todos os números reais entre 2 e 5.
e) o conjunto de todos os números reais.
E.O. FixAçãO
1. (Udesc) A soma das raízes distintas da equação 
x2 – 5x + 6 =  x – 3  é:
a) 10. d) 3.
b) 7. e) 4.
c) 0.
2. (Esc. Naval) A soma das raízes reais distintas da equa-
ção   x – 2  – 2  = 2 é igual a: 
a) 0. d) 6.
b) 2. e) 8.
c) 4.
3. (ITA) O produto das raízes reais da equação 
|x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a:
a) –5. d) 2.
b) –1. e) 5.
c) 1.
 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19 e 21
MT
AULAS 
31 E 32
21
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4. (Fatec) A igualdade –  –x  = –(–x) é verdadeira para 
todos os elementos do conjunto: 
a) R.
b) {x [ R | x ≥ 0}.
c) {x [ R | x ≤ 0}.
d) {x [ R | 0 ≤ x ≤10}.
e) {x [ R | –3 ≤ x ≤ 3}.
5. (UFES) Se x = dXXXXXXXX (2x – 1) e y2 = 5, então  x3 y  é igual a:
a) dXX 5 .
b) 8 dXX 5 .
c) 5.
d) –5.
e) 1.
6. (Unioeste) Seja S o conjunto solução de;
   –2  + 4x – ( 3 __ 2 ) –2– dXXX 20 ____ dXX 5 _________________________ 2  < 1
É correto afirmar que S é igual a: 
a) S = {x [ R; –1 < x < 1}.
b) S = { x [ R; – 7 ___ 18 < x < 11 ___ 18 } .
c) S = {x [ R; x > – 1}.
d) S = { x [ R; – 1 __ 2 < x < 7 ___ 16 } .
e) S = {x [ R; x < 10}.
7. (Espcex (Aman)) Considerando a função real 
f(x) = (x – 1) ·  x – 2  , o intervalo real para o qual; f(x) ≥ 2 é: 
a) {x [ R | x ≥ 3}.
b) {x [ R | x ≤ 0 ou x ≥ 3}.
c) {x [ R | 1 ≤ x ≤ 2}.
d) {x [ R | x ≥ 2}.
e) {x [ R | x ≤ 1}.
8. (PUC-MG) Considere os conjuntos
A = {x [ z |  x + 1  < 5} e B = {x [ z |  x  > 3}.
O número de elementos do conjunto A ù B é:a) 2. d) 9.
b) 4. e) 11.
c) 8.
9. (UFC) A soma dos inteiros que satisfazem a desigual-
dade  x – 7  >  x + 2  +  x – 2  é: 
a) 14. d) –15.
b) 0. e) –18.
c) –2.
10. Na desigualdade dXXXXXXX (x – 1)2 + x > k, x e k são números 
reais. Então k pode ser:
a) log5 2.
b) log2 5.
c) p
d) p __ 2 .
e) 2,7.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Espcex (Aman)) O número de soluções da equação
 1 __ 2 
 x  ·  x – 3  = 2 ·  x – 3 __ 2  , no conjunto R é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
2. (ITA) Sobre a equação na variável real x, 
    x – 1  – 3  – 2  = 0 podemos afirmar que: 
a) ela não admite solução real.
b) a soma de todas as suas soluções é 6.
c) ela admite apenas soluções positivas.
d) a soma de todas as soluções é 4.
e) ela admite apenas duas soluções reais.
3. (Mackenzie) A soma das soluções reais da equação 
a seguir é:
  log2  x – 2   = 
  x  ___ x 
a) 8. d) 4.
b) 10. e) 2.
c) 6.
4. (Mackenzie) O número de soluções reais da equação 
  x + 1  – 2  = dXXXXXX (x + 4) é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
5. (Uespi) Se x varia no conjunto dos números reais, qual 
dos intervalos a seguir contém o conjunto solução da 
desigualdade 
|x| + 2 _______ 
|x| – 1
 > 4?
a) (–2, 0).
b) (–2, 2).
c) (–3, –1).
d) (1, 3).
e) (–3, 1).
6. (IFCE) Se escrevermos  x2 – 4  < N, para todo x, tal que 
 x – 2  < 0,01, então o menor valor que podemos usar 
para N é:
a) 0,0301.
b) 0,0349.
c) 0,0399.
d) 0,0401.
e) 0,0499.
7. (ITA) Os valores de x [ R, para os quais a função real 
dada por f(x) = dXXXXXXXXXXXXXX 5 –   2x – 1  – 6  está definida, formam 
o conjunto:
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a) [0, 1].
b) [–5, 6].
c) [ –5, 0 ] ø [ 1, ` ).
d) ( –`, 0 ] ø [ 1, 6 ].
e) [ –5, 0 ] ø [ 1, 6 ].
8. (UFRN) Considere a região S dos pontos (x, y) do pla-
no cartesiano, tais que
  x  ≤ 1 __ 2 e  y  ≤ 
1 __ 2 . 
A área de S é igual a: (u.a = unidade de área) 
a) 1 u.a.
b) 2 u.a.
c) 2 √
__
 2 u.a.
d) √
__
 2 u.a.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFRJ) Durante o ano de 1997, uma empresa teve seu 
lucro diário L dado pela função:
L(x) = 50 (  x – 100  +  x – 200  ) 
onde x = 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano e 
L é dado em reais.
Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de 
R$10.000,00.
2. (UFRJ) Considere uma quantidade Q > 0 e seja M um 
valor aproximado de Q, obtido através de uma certa 
medição. O erro relativo E desta medição é definido por:
E = 
|Q – M|
 _______ 
Q
 .
Considere ainda um instrumento com uma precisão de 
medida tal que o erro relativo de cada medição é de, no 
máximo, 0,02. Suponha que uma certa quantidade Q foi 
medida pelo instrumento e o valor M = 5,2 foi obtido.
Determine o menor valor possível de Q. 
3. Encontre o conjunto solução da equação  log2 (x – 4)  
= 2.
4. Encontre o conjunto solução da equação a seguir:
 
|x – 3|
 _______ 
|x – 2|
 = 6
5. Sabendo que f(x) =  x  e g(x) =  x – 5  , encontre as 
soluções da equação f(x) · g(x) = 6.
6. Encontre o conjunto solução da inequação  x2 – 3x – 4  ≤ 6.
7. Considere as funções f(x) = √
__
 x e g(x) = (x – 4)2. Encon-
tre o conjunto solução da inequação (f º g)(x) ≥ 2.
8. Considerando a função real f(x) =  2x – 6  , faça o que 
se pede:
a) Resolva a equação f(x) = 6.
b) Resolva a inequação f(x) ≤ 6.
9. Encontre o intervalo de x, em que a função 
f(x)=  x + 4  +  x – 3  – 2 em que temos f(x) > 5 .
10. (UFV) Considere as inequações:
I. 3 ≤ dXXXXX x + 1 ≤ 4.
II.  2x – 11  ≤ 9.
a) Determine os conjuntos soluções S(I) e S(II) das 
sentenças I e II respectivamente.
b) Represente os conjuntos S(I) e S(II) na reta real.
c) Determine S(I) ù S(II) e S(I) ø S(II).
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Sobre a equação
(x + 3) 2x2 – 9 log |x2 + x – 1| = 0
é correto afirmar que: 
a) ela não possui raízes reais.
b) sua única raiz real é –3.
c) duas de suas raízes reais são 3 e –3.
d) suas únicas raízes reais são –3, 0 e 1.
e) ela possui cinco raízes reais distintas.
2. (Unesp) No conjunto R dos números reais, o conjunto 
solução S da inequação modular |x| . |x - 5| ≥ 6 é:
a) S = {x ∈ R| - 1 ≤ x ≤ 6}.
b) S = {x ∈ R| x ≤ - 1 ou 2 ≤ x ≤ 3}.
c) S = {x ∈ R| x ≤ - 1 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 6}.
d) S = {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 3}.
e) S = {R}
E.O.dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Resolva a equação x2 – 3  x  + 2 = 0, tomando 
como universo o conjunto R dos números reais.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. A 3. A 4. E 5. C
6. B 7. E 8. E 9. D 10. C
E.O. Fixação
1. E 2. D 3. A 4. C 5. A
6. B 7. A 8. A 9. E 10. A
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E.O. Complementar
1. D 2. D 3. A 4. E 5. B
6. C 7. E 8. A
E.O.Dissertativo
1. x = 50 e x = 250.
2. Q ≈ 5,092.
3. S = { 17 ____ 4 , 8 } .
4. S = { 9 ___ 5 , 15 ___ 7 } 
5. S ={-1, 2, 3, 6}.
6. S = [–2, 1] ø [2, 5].
7. S = {x [ R | x ≤ 2ou x ≥ 6}.
8. 
a) S = {0, 6}.
b) S = [0, 6].
9. S = {x [ R | x < –4 ou x > 3}. 
10. 
a) S(I) = {x [ R | 8 ≤ x ≤ 15}.
S(II) = {x [ R | 1 ≤ x ≤ 10}.
b) 
c) 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. V = {–2; –1; 1; 2}.
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1. (Udesc) A alternativa que representa o gráfico da fun-
ção f(x) =  x + 1  + 2 é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. (Mackenzie) Na figura 1, temos o esboço do gráfico 
de uma função f, de R em R. O melhor esboço do grá-
fico da função g(x)=f(  x  ) é:
a) d) 
b) e) 
c) 
3. A respeito da função f(x) =  x  , é verdadeira a sentença: 
a) f(x) = x, se x < 0.
b) f(x) = – x, se x > 0.
c) f(x) = 1, se x [ R.
d) o gráfico de f tem imagem negativa.
e) o gráfico de f não possui imagem negativa.
4. (Ufrgs) Se
é o gráfico da função f definida por y = f(x), então, das 
alternativas a seguir, a que pode representar o gráfico 
da função z, definida por z =  f(x)  , é: 
 FUNÇÕES MODULARES
COMPETÊNCIA(s)
3, 4 e 5
HABILIDADE(s)
12, 15, 17, 18, 19, 20 e 21
MT
AULAS 
33 E 34
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. (UFMG) Considere a função f(x)= x  1 – x  .
Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função 
está CORRETO.
a) 
b) 
c) 
d) 
6. (PUC-RJ) Considere a função real f(x) = | –x + 1|. O gráfico 
que representa a função é: 
a) 
b) 
c) 
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7. (UFES)
O gráfico acima representa a função; 
a) f(x) =   x  – 1  .
b) f(x) =  x – 1  +  x + 1  – 2.
c) f(x) =   x  + 2  – 3.
d) f(x) =  x – 1  .
e) f(x) =   x  + 1  – 2.
8. (UFC) Dadas as funções f : R → R e g : R → R 
definidas por f(x) =  1 – x2  e g(x) =  x  , o número de 
pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de 
g é igual a: 
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
9. (FEI) O conjunto imagem da função f: R → R, definida 
por f(x) = 1 –  x – 2  ,é: 
a) {y [ R | y ≤ 1 }.
b) {y [ R | y ≥ 1 }.
c) {y [ R | y > 0 }.
d) {y [ R | y ≤ 2 }.
e) {y [ R | y ≥ 2 }.
10. (Cesgranrio) O conjunto imagem da função 
f(x) =  x2 - 4x + 8  + 1 é o intervalo: 
a) [ 5, + ∞ [. d) [ 1, + ∞ [.
b) [ 4, + ∞ [. e) [ 0, + ∞ [.
c) [ 3, + ∞ [.
E.O. FixAçãO
1. (PUC-RJ) Considere a função real:
f(x) =  x + 1  +  x – 1  
O gráfico que representa a função é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Para fazer um estudo sobre certo polinômio |P(x)|, um es-
tudante recorreu ao gráfico da função polinomial y = P(x), 
gerado por um software matemático.
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Na figura, é possível visualizar a parte da curva obtida 
para valores de x, de –5 até 2,7.
2. (UESC)O número de raízes da equação  P(x)  = 1, no 
intervalo [–5; 2,7], é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
3. (PUC-RS) Considerando a função f definida por f(x) = x2 – 1, 
a representação gráfica da função g dada por g(x) =  –f(x)  – 2 é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. (Ufrgs) A intersecção dos gráficos das funções f e g, 
definidas por f(x) =  x  e g(x)= 1 –  x  ,os quais são dese-
nhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, 
determina um polígono.
A área desse polígono é: 
a) 0,125. d) 1.
b) 0,25. e) 2.
c) 0,5.
5. (UFC) Seja f uma função real de variável real, cujo 
gráfico está representado adiante.
Se g(x) = 2 ∙ f(x) – 1, assinale a alternativa cujo gráfico 
melhor representa  g(x)  .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
6. (Epcar (Afa)) Considere a figura abaixo, que represen-
ta um esboço do gráfico da função real f :
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Sabe-se que g(x) = f(x) – 3u, h(x) = g(x + u) e j(x) =  h(x)  .
Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
7. (Insper) A figura a seguir mostra o gráfico da função 
f(x).
O número de elementos do conjunto solução da equa-
ção |f(x)| = 1, resolvida em R é igual a: 
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
8. (Mackenzie) Dadas as funções reais definidas por: 
f(x) =  x  2 – 4  x  e g(x) =  x2 – 4x  , considere I, II, III e IV abaixo.
I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em re-
lação ao eixo das ordenadas.
II. O número de soluções reais da equação f(x) = g(x) é 3.
III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4.
IV. Não existe x real, tal que f(x) < g(x).
O número de afirmações corretas é: 
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
9. (UPE) Dos gráficos abaixo, o que mais se assemelha ao 
gráfico da função f(x) = ||x + 2| – 2 | no intervalo –5 > x > 5 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
10. (UECE) Sobre o conjunto M dos pontos de intersec-
ção dos gráficos das funções definidas por f (x) =|2x – 1| 
e g (x) = x + 1, é possível afirmar, corretamente, que M:
a) é o único conjunto vazio. 
b) é um conjunto unitário. 
c) possui dois elementos. 
d) possui três elementos. 
E.O. COmplEmEntAr
1. (Mackenzie) Analise graficamente as funções (I), (II), 
(III) e (IV) a seguir.
I. f(x) = x + 2 
|x| ________ x de R* em R.
II. g(x) = 3x - x3 de [– dXX 3 , dXX 3 ] em [–2, 2]
 Obs.: g (-1) é mínimo. 
III. h(x) = ( 1 __ 3 ) 
x
 de R em R*+.
IV. t(x) = 3, de IR em {3}.
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O número de soluções reais da equação h(x) = f(x) é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
2. (Epcar 2017) Durante 16 horas, desde a abertura de 
certa confeitaria, observou-se que a quantidade q(t) de 
unidades vendidas do doce “amor em pedaço”, entre os 
instantes (t - 1) e t, é dada pela lei q(t) = ||t - 8| + t - 14|, 
em que t representa o tempo, em horas, e t ∈ {1, 2 3, ..., 16}.
É correto afirmar que: 
a) entre todos os instantes foi vendida, pelo menos, 
uma unidade de “amor em pedaço”.
b) a menor quantidade vendida em qualquer instante 
corresponde a 6 unidades.
c) em nenhum momento vendem-se exatamente 2 
unidades.
d) o máximo de unidades vendidas entre todos os 
instantes foi 10.
3. (FGV) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que satis-
fazem a equação  x  +  y  = 2 determinam um polígono, 
cujo perímetro é: 
a) 2 dXX 2 .
b) 4 + 2 dXX 2 .
c) 4 dXX 2 .
d) 8 + 4 dXX 2 .
e) 8 dXX 2 .
4. (Esc. Naval) O gráfico que melhor representa a função 
real f, definida por
f(x) = 
 
– | x + 1 | | x |
 ____________ x + 1 + x se x > –1
x  x  se x ≤ – 1
 
é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. (Esc. Naval) A reta no R² de equação 2y – 3x = 0 inter-
cepta o gráfico da função f(x) =  x  x
2 – 1 ______ x nos pontos P 
e Q. Qual a distância entre P e Q?
a) 2 dXXX 15 .
b) 2 dXXX 13 .
c) 2 dXX 7 .
d) dXX 7 .
e) 
dXX 5 ___ 2 .
E.O. dissErtAtivO
1. (Unirio) Sejam as funções f: R → R;
x → y= |x| e g: R → R; x → y = x2 – 2x – 8.
Faça um esboço gráfico da função fog. 
2. (UEG) Dada a função: f(x) =  x – 1  + 1, x [ [–1, 2],
a) esboce o gráfico da função f ;
b) calcule a área da região delimitada pelo gráfico da 
função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = –1 
e x = 2.
3. (Cftrj 2017) Seja uma função real que tem o gráfico 
ao lado, onde y = f(x). Por exemplo, para x = 4, y assume 
o valor 6, como no ponto destacado.
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Determine x, de modo que a expressão |y| + 5 tenha 
valor mínimo. 
4. (Ita 2017) Esboce o gráfico da função f:  → R dada 
por f(x) = |2|- x| – 1/2|.
5. (UFRJ) Considere a função f: R → R definida por 
f(2x) =  1 – x  . Determine os valores de x para os quais f(x) = 2.
6. (PUC-RJ) Seja f(x) = | x2 __ 2 - 2|
a) Para quais valores reais de x temos f(x) = 1?
b) Para quais valores reais de x temos f(x) ≤ 1?
7. (UFRJ) Seja f a função real dada por f(x) = ax2 + bx + c, com 
a > 0. Determine a, b e c sabendo que as raízes da equação 
|f (x)| = 12 são –2, 1, 2 e 5. Justifique. 
8. Dada a função f(x) = ||x + 2| - 4| faça o que se pede 
em cada item:
a) Trace o gráfico da função f(x).
b) Através do gráfico, encontre quantas raízes possui 
a equação f(x) = 3. Justifique.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) O volume de água em um tanque varia com o 
tempo de acordo com a seguinte equação:
V = 10 –  4 – 2t  –  2t – 6  , t [ R+
Nela, V é o volume medido em m3 após t horas, conta-
das a partir de 8h de uma manhã.
Determine os horários inicial e final dessa manhã em 
que o volume permanece constante. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) O módulo  x  de um número real x é definido 
por  x  = x, se x ≥ 0, e  x  = –x, se x < 0. Das alternativas 
a seguir, a que melhor representa o gráfico da função 
f(x) = x ·  x  – 2x + 2 é:
a) d) 
 
b) e)
 
c) 
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere a função f(x) = 2x +  x + p  , 
definida para x real. 
a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor 
específico de p. Determine esse valor. 
b) Supondo, agora, que p = –3, determine os valores 
de x que satisfazem a equação f(x) = 12. 
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2. (Fuvest) Seja f(x) =  x  – 1, ; x [ , e considere tam-
bém a função composta g(x) = f(f(x)),; x [ .
a) Esboce o gráfico da função f, indicando seus pon-
tos de intersecção com os eixos coordenados.
b) Esboce o gráfico da função g, indicando seus pon-
tos de intersecção com os eixos coordenados.
c) Determine os valores de x para os quais g(x) = 5.
3. (Fuvest) Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g funções 
reais definidas por f(x) = x2 – 2 |x| + 1 e g(x) = mx + 2m.
a) Esboçar, no plano cartesiano representado a seguir, 
os gráficos de f e de g quando m = 1 __ 4 e m = 1.
b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = 1 __ 2 .
c) Determinar, em função de m, o número de raízes da 
equação f(x) = g(x). 
4. (Fuvest)
a) Esboce, para x real, o gráfico da função: 
f(x) = | x – 2 | + |2x + 1| – x – 6. O símbolo  a  indica 
o valor absoluto de um número real a e é definido por 
  a  = a, se a ≥ 0 e  a  = – a, se a < 0.
b) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2?
5. (Unicamp) Considere a função f(x) = |2x - 4| + x - 5, 
definida para todo número real x.
a) Esboce o gráfico de y = f(x) no plano cartesiano 
para – 4 ≤ x ≤ 4.
 
b) Determine os valores dos números reais a e b para 
os quais a equação loga(x + b) = f(x) admite como 
soluções x1 = – 1 e x2 = 6.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. E 3. E 4. D 5. B
6. A 7. A 8. B 9. A 10. A
E.O. Fixação
1. A 2. D 3. A 4. C 5. E
6. A 7. B 8. B 9. C 10. C
E.O. Complementar
1. A 2. D 3. E 4. E 5. B
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E. O. Dissertativo
1. fog: R → R
x → x2 – 2x – 8  
Observe a figura a seguir;
2. 
a) 
b) 5,5 u.a.
3. Os valores de x para os quais a função |y| +5 assume valor 
mínimo são x = 1 ou x = 3.
4. 
 
5. x = – 2 ou x = 6.
6. 
a) x = ± dXX 6 , x = ± dXX 2 .
b) – dXX 6 ≤ x ≤ – dXX 2 ou dXX 2 ≤ x ≤ dXX 6 .
7. Temos duas equações: (I) ax2 + bx + c = 12 e (II) ax2 + bx + c = –12. 
Em ambos os casos, a soma das raízes é – b __ a . Na equação (I), o produto 
das raízes é c – 12 ______ a ; na (II), o produto é 
c + 12 ______ a > 
c – 12 ______ a . Logo, 
a equação (I) tem raízes –2 e 5 e a (II) tem raízes 1 e 2. Portanto: 
– b __ a = 3, 
c – 12 ______ a = –10, 
c + 12 ______ a = 2.
R.: a = 2, b = –6, c = – 8
8. 
a) 
b) Considerando a função g(x) = 3, o número de raí-
zes da equação f(x) = g(x) é o número de intersecções 
entre os gráficos de f(x) e g(x).
Pelo gráfico, podemos ver que há 4 intersecções; por-
tanto, 4 raízes da equação f(x) = 3.
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. Entre 10h e 11h.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Tomando como referência o ponto (1, 2) destacado 
no gráfico, temos:
 2 = 2 · 1 +  1 + p  ⇔  1 + p  = 0 ⇔ p = –1.
b) 2x +  x – 3  = 12 ⇔  x – 3  = 12 – 2x ⇔ 
⇔ x – 3 = 12 - 2x ou x – 3 = 2x – 12 ⇔
⇔ x = 5 ou x = 9.
 x = 9 não convém, pois 12 – 2 · 9 < 0.
Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5.
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a) 
b) 
c) || x | – 1| – 1 = 5 ⇔ || x| – 1 | = 6 ⇔
 ⇔
 | x | – 1 = 6 ⇔ |x | = 7 ⇔ x = ±7
 | x | – 1 = –6 ⇔ |x | = –5 (não convém)
S = {- 7;7}.
3. 
a) Observe a figura:
b) – 3 ___ 2 ; 0 e 
5 ___ 
2
 
c) m = 0 → 2 raízes distintas.
 0 < m < 1 __ 
2
 → 4 raízes distintas.
 m = 1 ___ 
2
 → 3 raízes distintas.
 m > 1 ___ 
2
 → 2 raízes distintas.
4. 
a) Observe os gráficos a seguir:
b) S = { x [ R | x < -7 __ 6 } .
5. 
a) 
b) Os valores dos números reais a e b são dXX 2 e 2, res-
pectivamente.
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ANOTAÇÕES
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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
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ÁLGEBRA E
TRIGONOMETRIA
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E.O. AprEndizAgEm
1. O conjunto solução da inequação sen x ≤ 
dXX 3 ____ 2 , x [ [0, 2p], é:
a) 0 ≤ x ≤ p __ 3 ou 
2p ___ 3 ≤ x ≤ 2p.
b) 0 < x < p __ 3 ou 
2p ___ 3 < x < p.
c) 0 ≤ x ≤ p __ 3 .
d) 2p ___ 3 ≤ x ≤ 2p.
2. Sendo x [ R, o conjunto solução de sen x ≥ 0 é:
a) 0 ≤ x ≤ p.
b) 2kp ≤ x ≤ p + 2kp, k [ Z.
c) kp ≤ x ≤ p + 2kp, k [ Z.
d) p __ 2 + 2kp ≤ x ≤ 
3p ___ 2 + 2kp, k [ Z.
3. Determine o conjunto solução da inequação – 1 __ 2 ≤ sen x ≤ 
 dXX 2 ___ 2 , 
onde x [ [0, 2π].
a) 0 ≤ x ≤ p __ 4 ou 
2p ___ 4 ≤ x ≤ 
7p ___ 6 ou 
11p ____ 6 ≤ x ≤ 2p.
b) 0 ≤ x ≤ p __ 3 ou 
2p ___ 3 ≤ x ≤ 
7p ___ 6 ou 
11p ____ 6 ≤ x ≤ 2p.
c) 0 ≤ x ≤ p __ 4 ou 
3p ___ 4 ≤ x ≤ 
7p ___ 6 ou 
11p ____ 6 ≤ x ≤ 2p.
d) 0 ≤ x ≤ p __ 4 ou 
3p ___ 4 ≤ x ≤ 
4p ___ 3 ou 
5p ___ 3 ≤ x ≤ 2p.
4. Resolvendo a inequação tg x ≥ dXX 3 para todo x real, 
obtemos o conjunto solução:
a) kp ≤ x ≤ p __ 2 + kp, k [ Z.
b) p __ 6 + kp ≤ x ≤ 
p __ 2 + kp, k [ Z.
c) p __ 4 + kp ≤ x ≤ 
p __ 2 + kp, k [ Z.
d) p __ 3 + kp ≤ x ≤ 
p __ 2 + kp, k[ Z.
5. O conjunto solução da inequação sen x ≥ 1 __ 2 , sendo 
0 ≤ x ≤ 2p, é:
a) S = [ p __ 3 , 5p ___ 6 ] .
b) S = [ p __ 4 , 3p ___ 4 ] .
c) S = [ p __ 3 , 2p ___ 3 ] .
d) S = [ p __ 6 , 11p ____ 6 ] .
e) S = [ p __ 6 , 5p ___ 6 ] .
6. No universo [0; 2π], o conjunto solução da inequação 
0 ≤ sen ( x – p __ 3 ) ≤ 
1 __ 2 é:
a) [ 0; p __ 6 ] ø [ 5p ___ 6 ; p ] . d) [ 0; p __ 3 ] ø [ 5p ___ 3 ; 7p ___ 3 ] .
b) [ 0; p __ 6 ] . e) [ 
p __ 6 ; 5 
p __ 6 ] .
c) [ p __ 3 ; p __ 2 ] ø [ 7p ___ 6 ; 4p ___ 3 ] .
7. (UEG - 2017) A inequação sen (x) cos (x) ≤ 0, no inter-
valo de 0 ≤ x ≤ 2π e x real, possui conjunto solução:
a) p __ 2 ≤ x ≤ p ou 
3p ___ 2 ≤ x ≤ 2π.
b) 0 ≤ x ≤ p __ 2 ou π ≤ x ≤ 
3p ___ 2 
c) p __ 4 ≤ x ≤ 
3p ___ 4 ou 
5π ___ 4 ≤ x ≤ 
7π ___ 4 
d) 3π ___ 4 ≤ x ≤ 
5p ___ 4 ou 
7π ___ 4 ≤ x ≤ 2π
e) 0 ≤ x ≤ p __ 3 ou 
2p ___ 3 ≤ x ≤ π
8. O conjunto solução S da inequação sen x · cos x < 1 __ 4 , 
sendo x [ [0, p[ , é tal que S é igual a:
a) 0 ≤ x ≤ p ___ 12 ou 
5p ___ 12 ≤ x < p.
b) 0 ≤ x ≤ p __ 6 ou 
5p ___ 6 ≤ x < 2p.
c) p __ 6 ≤ x ≤ 
5p ___ 6 .
d) p __ 6 ≤ x ≤ 
5p ___ 6 ou 
7p ___ 6 ≤ x < 
11p ____ 6 .
9. A inequação 32 sen (x) – 1 ≥ 1, supondo x [ [0, p], apre-
senta o seguinte conjunto solução:
a) p __ 3 ≤ x ≤ 
2p ___ 3 . c) 
p __ 4 ≤ x ≤ 
3p ___ 4 .
b) p __ 6 ≤ x ≤ 
5p ___ 6 . d) 0 ≤ x ≤ 
p __ 6 .
10. Determinando o(s) valor(es) de x [ R que satisfaz(em) 
a desigualdade cos2 x ≥ 2(sen x + 1), onde x pertence ao 
intervalo [0,2p), encontramos:
a) 3p ___ 2 + 2kp, onde k [ Z.
b) 3p ___ 4 + kp, onde k [ Z.
c) 3p ___ 2 + kp, onde k [ Z.
d) 5p ___ 3 + 2kp, onde k [ Z.
 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
21 e 22
MT
AULAS 
27 E 28
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E.O. FixAçãO
1. O conjunto solução da inequação
 1 __ 4 ≤ sen x · cosx ≤ 1 __ 2 supondo x [ [0, p], é:
a) p __ 6 < x < 
5p ___ 6 .
b) p __ 3 ≤ x ≤ 
2p ___ 3 .
c) p __ 12 ≤ x ≤ 
5p ___ 12 .
d) 0 ≤ x ≤ p.
2. Considerando x [ [ 0, p __ 2 ] , o conjunto solução da ine-
quação log0,5 (cos(3x)) ≥ log0,5 ( dXX 3 ___ 2 ) é dado por:
a) p __ 6 ≤ x ≤p __ 2 . c) 
p __ 3 ≤ x ≤ 
p __ 2 .
b) p ___ 18 ≤ x ≤ 
p __ 6 . d) 
p __ 9 ≤ x ≤ 
p __ 6 .
3. (PUC-CAMP) Seja f a função de R em R definida por 
f(x) = sen x. O conjunto solução da inequação f(x) ≥ 0, no 
universo U = [0,2p], é: 
a) [0, π].
b) [ p __ 2 , 3p ___ 2 ] .
c) [p, 2p].
d) [ p __ 2 , p ] ø [ 3p ___ 2 , 2p ] .
e) [ 0, p __ 2 ] ø [ 3p ___ 2 , 2p ] .
4. (UEL) Se x [ [0, 2p], então cos x > 1 __ 2 se, e somente se, 
x satisfazer à condição: 
a) p __ 3 < x < 
5p ___ 3 .
b) p __ 3 < x < 
p __ 2 .
c) p < x < 2p.
d) p __ 2 < x < 
3p ___ 2 ou 
5p ___ 3 < x < 2p.
e) 0 ≤ x < p __ 3 ou 
5p ___ 3 < x ≤ 2p.
5. (Mackenzie) Quando resolvida no intervalo [0; 2p], o nú-
mero de quadrantes nos quais a desigualdade 2 cos x < dXX 3 
apresenta soluções é: 
a) 0. d) 3.
b) 1. e) 4.
c) 2.
6. (UFAL) O mais amplo domínio real da função defini-
da por y = log[sen(x)] é o conjunto dos números reais 
x tais que, para todo k [ Z: 
a) –kp < x < kp.
b) kp < x < (k – 1)p.
c) kp < x < (k + 1)p.
d) 2kp < x < (2k – 1)p.
e) 2kp < x < (2k + 1)p.
 7. (UFRGS) No intervalo real [ 0, p __ 2 ] , o conjunto solução 
da desigualdade sen x cos x ≤ 1 __ 4 é: 
a) [0, p/15]. d) [0, p/8].
b) [0, p/12]. e) [0, p/6].
c) [0, p/10].
8. (Cefet MG) A solução da inequação
0 < 2 sen
2 x + sen 2x ________________ 1 + tg x < 1 para x [ [0, p __ 2 [ é o conjunto: 
a) [0, p __ 4 [. d) ]0, p __ 2 [.
b) ]0, p __ 4 [. e) [ p __ 4 , p __ 2 [.
c) [0, p __ 2 [.
9. (Mackenzie) Em R, o domínio da função f, definida 
por f(x) = dXXXXXXX sen 2x ______ sen x , é: 
a) {x [ R | x ≠ kp, k [ Z}.
b) {x [ R | 2kp < x < p + 2kp, k [ Z}.
c) { x [ R | p __ 2 + 2k p ≤ x ≤ 3p ___ 2 + 2kp, k [ Z } .
d) {x [ R | 2kp < x ≤ p __ 2 + 2kπ ou
 3p ___ 2 + 2kp ≤ x < 2p + 2kp, k [ Z}.
e) {x [ R | 2kp ≤ x ≤ p __ 2 + 2kp ou
 3p ___ 2 + 2kp ≤ x < 2p + 2kp, k [ Z}.
E.O. COmplEmEntAr
1. (FEI) Se 0 < x < 2p e sen x > cos x, então: 
a) p __ 4 < x < 
5p ___ 4 .
b) p __ 4 < x < 
7p ___ 4 .
c) p __ 8 < x < 
7p ___ 8 .
d) p __ 2 < x < 
3p ___ 2 .
e) p __ 4 < x < 
3p ___ 2 .
2. (ITA) Para x no intervalo [ 0, p __ 2 ] , o conjunto de todas as 
soluções da inequação sen (2x) – sen [ 3x + ( p __ 2 ) ] > 0 é o 
intervalo definido por: 
a) p ___ 10 < x < 
p __ 2 .
b) p ___ 12 < x < 
p __ 4 .
c) p __ 6 < x < 
p __ 3 .
d) p __ 4 < x < 
p __ 2 .
e) p __ 4 < x < 
p __ 3 .
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3. (Espcex (Aman)) Seja b = 1 __ 2 · 
log103 _____________ 
log103 – log107
 .
O conjunto solução da desigualdade 3cos(x) ≤ ( 3 __ 7 ) 
b
 no in-
tervalo [0, 2p) é igual a: 
a) [0, p __ 3 ).
b) [ p __ 3 , 5p ___ 3 ].
c) [ p __ 3 , 2p].
d) [ p __ 3 , 2p).
e) [ 3p ___ 2 , 2p).
4. (Epcar (AFA)) Sendo x [ [0, 2p] a interpretação grá-
fica no ciclo trigonométrico para o conjunto solução da 
inequação –8 sen4 x + 10 sen2 x – 3 < 0 é dada por: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
E.O. dissErtAtivO
1. Resolva a inequação 0 < tg(x) < 
dXX 3 ___ 3 , para x [ [0,2p[.
2. (ITA) Determine o maior domínio D , R da função
f: D é R, f(x) = log (4 senx cosx –1).
3. (UFF) Determine o(s) valor(es) de x [ R que satisfa-
z(em) à desigualdade:
cos2 x ≥ 2(sen x + 1)
4. (Unirio) Resolva a sentença 
2 cos2 x – 3 cos x + 1 ≤ 0, sendo 0 ≤ x < 2p. 
5. (UFJF) Considere a função f : [0, 2p] é R definida por 
f(x) = 2 + cos x.
a) Determine todos os valores do domínio da função f 
para os quais f(x) ≥ 3 __ 2 .
b) Seja g : [0, p] é R a função definida por g(x) = 2x. 
Determine a função composta h = fog, explicitando 
sua lei de formação, seu domínio e contradomínio.
c) Verifique que a lei da função composta h pode ser 
escrita na forma h(x) = 3 – 2sen2 x. 
6. (ITA) Determine para quais valores de x [ ( – p __ 2 , 
p __ 2 ) vale 
a desigualdade logcosx(4 senx
2 – 1) – logcosx
 (4 – sec2x) > 2. 
7. (ITA) Determine o conjunto de todos os valores de 
x [ [0, 2p] que satisfazem, simultaneamente, às se-
guintes equações:
I. 2 sen
2 x + sen x – 1 __________________ cos x – 1 < 0
II. tg x + dXX 3 < ( 1 + dXX 3 cotg x ) cotg x.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) A temperatura média diária, T, para um deter-
minado ano, em uma cidade próxima ao polo norte é 
expressa pela função abaixo:
T = 50sen [ ( 2p ____ 365 ) (t – 101) ] + 7
Nessa função, t é dado em dias, t = 0 corresponde ao 
dia 10 de janeiro e T é medida na escala Fahrenheit. 
A relação entre as temperaturas medidas na escala 
Fahrenheit (F) e as temperaturas medidas na escala 
Celsius (C), obedece, por sua vez, à seguinte equação:
C = ( 5 __ 9 ) (F – 32)
Em relação a esse determinado ano, estabeleça:
a) o dia no qual a temperatura será a menor possível;
b) o número total de dias em que se esperam tempe-
raturas abaixo de 0 °C.
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E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) O conjunto solução de |cos x| < ( 1 __ 2 ) , para 0 < x < 2p, 
é definido por: 
a) (p/3) < x < (2p/3) ou (4p/3) < x < (5p/3).
b) (p/6) < x < (5p/6) ou (7p/6) < x < (11p/6).
c) (p/3) < x < (2p/3) e (4p/3) < x < (5p/3).
d) (p/6) < x < (5p/6) e (7p/6) < x < (11p/6). 
e) (p/6) < x < (2p/3) ou (4p/3) < x < (11p/6).
2. (Fuvest) O triângulo AOB é isósceles, com 

 OA = 

 OB , e 
ABCD é um quadrado. Sendo u a medida do ângulo A 
 ̂ 
 O B, 
pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que 
a área do triângulo se: 
Dados os valores aproximados:
tg 14º j 0,2493, tg 15º j 0,2679
tg 20º j 0,3640, tg 28º j 0,5317
a) 14º < u < 28º.
b) 15º < u < 60º.
c) 20º < u < 90º.
d) 25º < u < 120º.
e) 30º < u < 150º.
3. (UNESP) O conjunto solução (S) para a inequação 
2 ⋅ cos2x + cos(2x) > 2, em que 0 < x < π, é dado por:
a) S = {x∈ (0, π)|0 < x < π __ 6 ou 
5π ___ 6 < x < π}
b) S = {x∈(0, π)| π __ 3 < x < 
2π ___ 3 }
c) S = {x∈(0, π)|0 < x < π __ 3 ou 
2π ___ 3 < x < π}
d) S = {x∈(0, π)| π __ 6 < x < 
5π ___ 6 }
e) S = {x∈(0, π)}
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unifesp) A função
D(t) = 12 + (1,6) · cos [ p ____ 180 (t + 10) ] 
fornece uma aproximação da duração do dia (diferença 
em horas entre o horário do pôr do sol e o horário do 
nascer do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 
2010. A variável inteira t, que representa o dia, varia de 
1 a 365, sendo t = 1 correspondente ao dia 1º de janei-
ro e t = 365 correspondente ao dia 31 de dezembro. O 
argumento da função cosseno é medido em radianos. 
Com base nessa função, determine:
a) a duração do dia 19.02.2010, expressando o resul-
tado em horas e minutos.
b) em quantos dias no ano de 2010 a duração do dia 
naquela cidade foi menor ou igual a doze horas. 
2. (Fuvest) Determine os valores de x no intervalo ] 0,2p [ 
para os quais cos x ≥ dXX 3 sen x + dXX 3 . 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. B 3. C 4. D 5. E
6. C 7. A 8. A 9. B 10. A
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. A 4. E 5. E
6. E 7. B 8. B 9. D
E.O. Complementar
1. A 2. A 3. B 4. B
E.O. Dissertativo
1. S = { 0 < x < p __ 6 ou p < x < 7p ___ 6 } .
2. D = ] p ___ 12 , p __ 4 [.
3. x = 2kp – p __ 
2
 , k [ Z.
4. 0 ≤ x ≤ p __ 
3
 ou 5π ___ 
3
 ≤ x < 2p. 
5. 
a) { x [ R | 0 ≤ x ≤ 2p ___ 3 ou 4p ___ 3 ≤ x ≤ 2p } .
b) h : [0, p] é R onde h(x) = 2 + cos (2x). 
D = [0, p] ; Im = [1,3]
c) h(x) = 2 + cos 2x = 2 + (cos2 x – sen2 x) = 
= 2 + (1 – 2sen2 x) = 3 – 2sen2 x. 
6. S = { x [ R | – p __ 4 < x < – 
p __ 
6
 ou p __ 
6
 < x < p __ 
4
 } .
7. {x [ R | p __ 6 < x < p __ 4 ou p __ 2 < x < 2p ___ 3 ou 3p ___ 4 < x < 5p ___ 6 }.E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) 10 de janeiro. b) 243 dias.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. E 3. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 12 h 48 min. b) 181 dias.
2. S = { x e R | 3p ___ 2 ≤ x ≤ 
11p ____ 
6
 }.
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E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-RS) Uma melodia é uma sequência de notas mu-
sicais. Para compor um trecho de três notas musicais 
sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas 
que existem na escala musical. O número de melodias 
diferentes possíveis de serem escritas é: 
a) 3.
b) 21.
c) 35.
d) 210.
e) 5040.
2. Por questão de segurança, os bancos instalaram ao 
lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por 
trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo.
Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua pró-
pria senha. Suponha que esta senha seja composta por 
quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser 
criadas se forem usados apenas os números primos que 
aparecem no teclado? 
a) 6.
b) 24.
c) 80.
d) 120.
e) 720.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS
O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em con-
tato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja 
menor do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não 
é reposto, e as partes mais moles e internas do dente 
logo apodrecem. A acidez de vários alimentos e bebi-
das comuns é surpreendentemente alta; as substâncias 
listadas a seguir, por exemplo, podem causar danos aos 
seus dentes com contato prolongado. 
BREWER. 2013, p. 64.
comida/bebida pH
Suco de limão/lima 1,8 – 2,4
Café preto 2,4 – 3,2
VinagrE 2,4 – 3,4
Refrigerantes de cola 2,7
Suco de laranja 2,8 – 4,0
Maçã 2,9 – 3,5
Uva 3,3 – 4,5
Tomate 3,7 – 4,7
maionese/molho de salada 3,8 – 4,0
Chá preto 4,0 – 4,2
3. (UNEB) Considere que em um laboratório foram ve-
rificadas, por um técnico, duas amostras de alimentos 
que constam na tabela e verificado, por ele, que o pH 
dessas substâncias era, respectivamente, 3,2 e 4,2.
Nessas condições, de posse dessa tabela, pode-se afir-
mar que o número de maneiras distintas que esse técni-
co tem para tentar identificar, de maneira correta, quais 
foram os dois alimentos examinados é igual a:
a) 9.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
e) 15.
4. (Unisinos) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de 
carne, 5 tipos de massa, 8 tipos de salada e 6 tipos de 
sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos 
escolher uma refeição composta por 1 carne, 1 massa, 1 
salada e 1 sobremesa? 
a) 23.
b) 24.
c) 401.
d) 572.
e) 960.
 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
COMPETÊNCIA(s)
1
HABILIDADE(s)
2 e 3
MT
AULAS 
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5. (Mackenzie) Cada um dos círculos da figura deverá 
ser pintado com uma cor, escolhida dentre três dispo-
níveis. Sabendo que dois círculos consecutivos nunca 
serão pintados com a mesma cor, o número de formas 
de se pintar os círculos é:
a) 72.
b) 68.
c) 60.
d) 54.
e) 48.
6. (UCS) Em uma prova, as seis primeiras questões eram 
do tipo C/E, em que o candidato devia optar entre certo 
ou errado para sua resposta. Nas outras quatro ques-
tões, o candidato devia escolher, entre três alternativas, 
a verdadeira. 
Quantas sequências de respostas são possíveis na reso-
lução da prova? 
a) (6 · 2)2.
b) (6 · 2) + (4 · 3).
c) 62 · 43.
d) 102 + 3.
e) 26 · 34.
7. (UEPB) Com os números naturais n, 1 ≤ n ≤ 9, 
o total de números inteiros que podemos obter com 
três algarismos distintos, não divisíveis por 5, é:
a) 448.
b) 446.
c) 444.
d) 348.
e) 346.
8. (PUC - 2017) Uma pessoa dispõe das seguintes co-
res de tinta: amarela, azul, verde, vermelha e branca, 
e irá utilizá-las para pintar um pote. Nesse pote serão 
pintadas a tampa, a lateral e uma lista na lateral, de 
modo que a tampa e a lateral poderão ter a mesma cor 
ou cores diferentes. O número de maneiras distintas de 
pintar esse pote é:
a) 100. c) 60.
b) 80. d) 40.
9. (UFSCar) Um encontro científico conta com a partici-
pação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 quí-
micos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do 
encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois 
cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo 
sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por 
cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas 
que podem representar o grupo no congresso é igual a: 
a) 46. d) 83.
b) 59. e) 91.
c) 77.
10. (UFC) A quantidade de números inteiros, positivos 
e ímpares, formados por três algarismos distintos, es-
colhidos dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, 
é igual a: 
a) 320.
b) 332.
c) 348.
d) 360
e) 384.
E.O. FixAçãO
1. (FGV) Usando as letras do conjunto {a, b, c, d, e, f, g, h, 
i, j }, quantas senhas de 4 letras podem ser formadas de 
modo que duas letras adjacentes, isto é, vizinhas, sejam 
necessariamente diferentes?
a) 7 290. d) 6 840.
b) 5 040. e) 11 220.
c) 10 000.
2. (UEMG - 2017) Os números 258 e 179 têm seus alga-
rismos escritos em ordem crescente. Os números 558 e 
496 não têm seus algarismos escritos em ordem cres-
cente. Quantos são os números de três algarismos no 
qual esses algarismos aparecem em ordem crescente?
a) 84. c) 504.
b) 120. d) 720.
3. (UPF) Alice não se recorda da senha que definiu no 
computador. Sabe apenas que é constituída por quatro 
letras seguidas, com pelo menos uma consoante. 
Se considerarmos o alfabeto como constituído por 
23 letras, bem como que não há diferença para o 
uso de maiúsculas e minúsculas, quantos códigos 
dessa forma é possível compor?
a) 234. d) 234 – 54.
b) 233 · 18. e) 184 + 54.
c) 233 · 72.
4. (UFJF) Uma empresa escolherá um chefe para cada 
uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve ser es-
colhido entre os funcionários das respectivas reparti-
ções e não devem ser ambos do mesmo sexo.
Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das re-
partições A e B.
Funcionários
Repartições
A B
Mulheres 4 7
Homens 6 3
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De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos?
a) 12. d) 54.
b) 24. e) 72.
c) 42.
5. (PUC-SP) Na sala de reuniões de certa empresa há 
uma mesa retangular com 10 poltronas dispostas da 
forma como é mostrado na figura abaixo.
Certo dia, sete pessoas foram convocadas para participar 
de uma reunião a ser realizada nessa sala: o presidente, 
o vice-presidente, um secretário e quatro membros da 
diretoria. Sabe-se que: o presidente e o vice-presidente 
deverão ocupar exclusivamente as poltronas das cabe-
ceiras da mesa; o secretário deverá ocupar uma poltrona 
ao lado do presidente.
Considerando que tais poltronas são fixas no piso da 
sala, de quantos modos as sete pessoas podem nelas se 
acomodar para participar de tal reunião? 
a) 3.360. d) 1.240.
b) 2.480. e) 840.
c) 1.680.
6. (Cesgranrio) No código Morse, as letras são . e –, e as 
palavras contêm de uma a quatro letras. O número de 
palavras distintas que podem ser formadas neste códi-
go é de: 
a) 16. d) 26.
b) 20. e) 30.
c) 24.
7. (FGV - 2017) O total de números de cinco algarismos 
que possuem pelo menos dois dígitos consecutivos 
iguais em sua composição é igual a:
a) 6.581.
b) 9.590.
c) 18.621.
d) 27.930.
e) 30.951.
8. (UECE) Paulo possui 709 livros e identificou cada um 
destes livros com um código formado por três letras 
do nosso alfabeto, seguindo a “ordem alfabética” as-
sim definida: AAA, AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,... 
Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o se-
gundo com AAB,... Nestas condições, considerando o 
alfabeto com 26 letras, o código associado ao último 
livro foi: 
a) BAG. c) BBC.
b) BAU. d) BBG.
9. (Cefet MG) Um grupo de amigos, ao planejar suas férias 
coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem co-
nhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no inte-
rior do país. O critério estabelecido foi de alternar as férias, 
em cada ano, ora em cidades