Factorización de Números y Polinomios

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Factorización total de los números naturales. 
 
Cualquier número diferente de cero y de uno puede escribirse 
como un producto de números primos, teniendo en cuenta que 
empezamos del mayor al menor. 
56 2 6 =3x2 
28 2 factorización con números primos 
14 2 
7 7 56 = 23x7 factorización 
1 
 
Ejercicio: factoriza los siguientes números. 
a) 126= 2x32x7 
b) 240=24x3x5 
c) 256=28 
d) 122=2x61 
e) 188=22x47 
f) 1024=210 
g) 256=28 
h) 512=29 
i) 2048=211 
j) 315=32x5x7 
k) 724=22x181 
 
 
Factorización 
 
a) Factor común monomio 
 
Cuando todos los factores de un polinomio tienen un término común, se 
encuentra el máximo común divisor de los coeficientes, de las literales se toma 
la letra que se repita en todos los términos y el de grado más chico, este será el 
factor común monomio. 
 
Cada térmono del monomio se divide entre este factor. 
 
 
 cbaabcaba 2435 47(52035 +=+
TIPS. 
 
Buscar el común divisor más 
grande de los números. 
 
Buscar el término común más 
chico y dividirlos entre el término 
común. 
 
El mismo número de resultado es 
el mismo número de términos del 
polinomio inicial. 
 
Para encontrar el máximo común 
denominador, factorizar cada 
término en sus factores primos y 
determinar el factor común de 
 
)(
)32(48
1444896
)632(17
685134
)42(14
562814
)322(
322
)142(2
284
)1(
)32(18
543618
22222
222222222
32
3
22
222
2222
4322
22
2
2
2
23
22
22222
yxbca
ycaxcacba
nmn
nmn
yayxa
ayyaax
xxyx
xxyx
xaax
axaxxa
xx
xx
aaa
aaa
mxxmy
yxmmymxy
+−
+−
+−
+−
−+
−+
+−
+−
−+
−+
+−
++
++
++
−+
−+
+ 
 
b) Factor común polinomio – 1 
 
Son los monimios comunes en un 
parentesis, multiplicados por los 
otros dos términos de afuera 
 
Los dos de afuera con los dos de 
afuera y el de adentro 
 
Siempre reducir al máximo 
)1()1(1)1(
)2)(1(2)2(
)2)(1()1()1(2
))(()(
+−+=−−+
++=+++
−−=−−−
++++
xxaxxa
xmxxm
yxaayax
xmbambax
 
 
 (x+1)(a-1) 
 
 
 
)2)(13(
)2](13[
)2(3)2)(1(
)1)(34(
)1(3)1(4
)1)((
)1()1(
)1)(12(
)1(21
)1)(1(
)1(1
)2)(1(
2)2(
))((
)()(
)1)(3(
)1(3)1(
2
22
23
23
2
22
−++
−++
−+−+
−++
+−+−+
+−−
+−−+−
−+
−+−
+−
+−+
++
+++
−+
−+−
+−
+−+
xxy
xxy
xyxx
xanm
axnxam
baba
babbaa
xa
xax
ab
aba
na
nna
banm
banbam
ax
aax
 
)4)(1
)3231)(1(
)1(3)1(2)1)(31(
)223)(1(
)1(2)1(2)1(3
)2)(3(
))(3(
)3)(()3)((
)2)(3(
)44)(3(
)4)(3()4)(3(
)2)(1(
))((
)()(
))(())((
)4)((
)(2))(2(
2222
2
2
++
+−++
+++−++
+−−
−+−−−
−
++−−+−
−−−−−−+
−
+−−
+−+−−
−
+−+−
−−−
−−−−+
+−
−+−+
ax
aax
xxaxa
yxx
xxyxx
ax
acbcbax
xacbxcba
xx
xxx
xxxx
ba
bababa
baba
babababa
xnm
nmnmx
 
 
c) Factor común polinomio - 2 
 Por agrupación de términos 
 
 
b)y)(a(x 
b)y(ab)x(a
by)(aybx)(ax
byaybxax
++
+++
+++
+++
 
Agrupar en dos parentesis 
En cada parentesis hacer 
factor común monomio 
luego factor común 
polinomio - 1
 
2n)-4)(m(3m 
2n)4(m)23m(m
)8(4m)6(3m
8n4m6mn3m
2
2
+
++−
−+−
−++
n
nmn 
 
3y)-(2x 2)-(x 
3y)-2(2x)3x(2x
)6(4x)3(2x
64x3xy2x
2
2
−−
+−−
+−+
y
yxy
y
 
)y(x 2)-(3ab 
)(2)3ab(x
)y2(-x-)y3ab(x
)2x-2()3(3abx
3223abx
22
2222
2222
2222
2222
+
+−+
++
−+
+−−
yxy
yaby
abyxy
 
1)-(a 4y)-(3x 
1)-4y(a)13x(a
a))-1(4y(1)13x(a
)4(4y)3(3ax
44y3x3
−−
−−
++−
−+−
ayx
ayax
 
b)-3m)(ax-(4a 
)(3)(4a
)(3)(4a
)3amx-3()4(4a
3344a
2
2
2
23
23
baxmbax
axbmbax
bmbax
amxbmbax
−−−
−+−
+−
−+−
 
 
 
3b)-(a )y(x
)3(a)3(x
)3b-y()3bx(a
222
2222
222222
+
−+−
++
byba
yax
 
 
b)(a x)(a
aba2
++
+++ bxax 
 
 
 
 
d) Trinomio cuadrado perfecto 
 
 
Regla para identificarlo 
 
• Son tres términos, dos de ellos cuadrados perfectos. 
• Un cuadrado perfecto es más,su coeficiente tiene raíz cuadrada exacta y 
los exponentes de los literales son pares. 
• El otro término es el doble producto y va a dar el signo. 
 
Para factorizarlo, se extrae la raíz cuadrada de los dos términos cuadrados 
perfectos, se toma únicamente el signo del término doble producto, se encierra 
en un parentesis y se eleva al cuadrado. 
 
 
TIPS. 
 
Se busca llegar al binomio al 
cuadrado. 
Siempre hay que checar la 
respuesta. 
 
Para comprobar y no hacer todo 
el meollo multiplicar por 2 el 
primer término, ese producto 
por el segundo y debe dar el de 
en medio. 
 
Los dos perfectos nunca son 
negativos. 
2
22
222
)52(
25204
)(
yx
yxyx
baababa
−
+−
++=+
 
 
)4/4(16/216
)6/55/1(3/36/2525/1
)2/(4/
)3/1(9/3/21
)2/(4/
)1(21
)53(25309
)32(9124
)81(64161
)3/2/1(9/3/4/1
)2/(4/
234236
224
224224
22
222
25510
22422
222
22422
22
222
yxyyxx
xxx
babbaa
bbb
bababa
aaa
ababab
yxyxyx
axxaax
bbb
bxbbxx
−=+−
−=−+
+=++
+=++
+=+−
−=−+
−=+−
−=+−
−=+−
+=++
+=++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Caso especial del trinomio cuadrado 
 
 
222
2
2
2
22
)()())((2)(
)2(
)(
)]([
)()(2
ayxaxayxyx
ba
baa
baa
babaaa
−=++++−+
−
−+
−+
−+−+
 
Raíz Raíz como en el trinomio al
Se simplifica 
Se simplifica 
 
 
 
TIP. 
 
La diferencia es que se simplifica 
por lo demás se siguen los mismos 
pasos que el trinomio cuadrado 
perfecto. 
 
En lo que hay que fijarse es en 
cambiar los signos cuando el 
término de en medio es negativo.222
22
222
2
2
22
)3()2()](2[
)()(44
)1()12()]21(2[
)21()21(44
)2()]([
)()(2a
nmmnmmnm
mnmnmm
aa
babaa
babaa
−=+−=−−
−+−−
+=+−=−−
−+−−
+=++
+++−
 
 
2
22
22
22
2
2
)2()]([
)())((2)(
)()]([
)())((2)(
)3](3)[(
9)(6)(
anmmanm
manmmanm
yayxxa
yxyxxaxa
nmnm
nmnm
−+=−−+
−++−−+
−=+−+
++++−+
+−+−
+−+−
 
 
2
2
2
22
)5(
)2233(
)](2)(3[
)(4))((12)(9
yx
yxyx
yxyx
yxyxyxyx
−
++−
=++−
+++−+−
 
 
 
 
f) Diferencia de cuadrados perfectos 
 
 
b)-b)(aa(a 22 +=− b 
 
)10/1)(10/1(100/1
)7/24/1)(7/24/1(49/416/1
)2/32/1)(2/32/1(/94/1
)31)(31(91
)115)(115(12125
)10)(10(100
))((
)3)(a3b-a(9b-a
)6x(5 )x6(536x-25
)92)(32(94a
mm2m
2
2
4324328642
242
3362
4444882
2mn2mn4m2n
224
2
xxx
xxx
a
dcabdcabdcba
xyxyyx
xyxyyx
cabcabcba
b
aa
+−=−
+−=−
−+=−
−+=−
+−=−
+−=−
+−=−
+=
−+=
−+=−
 
TIP. 
Productos de binomios conjugados (Es 
el inverso) 
Siempre hay que simplificar 
 
 
g) Diferencias de cuadrados, caso especial 
 
 
)2)(22(]2][2[)2()(
))(3()2)(2()](2)][(2[)(4x
c)bc)(a-ba()b(a
22
22
222
−++=−−++++=+−+
−+=++−−=+++−=+−
+++=−+
axaxxaxxaxxa
yxyxyxxyxxyxxyxxyx
c
 
 
 
)](1166)][(1166[)(121)(36
)722)(722(]7)(2][7)(2[49)(4
)251)(251()25(1
)9)(3()36)(36()3(36
)3)(2()2)(2()(c)-(2a
))(()(b)-(a
)28)(28()2(64x
)22)(22(4)2a(x
]3][3[)n(m-9
22
22
2
22
22
22
2222
22
2
nmnmnmnmnmnm
yaxyaxyaxyaxyax
xaxaxa
axaxxxxxxax
acacacacacaca
dcbadcbadc
nmxnmxnm
xaxxaxx
nmnm
−−+−−+=−−+
++−+=++−+=−+
++−−=+−
+−=+−=+−
−=++−−−−=+−
+−−−+−=−−
−−+−=−−
−+++=−+
−−++=+
 
 
5n)-17n)(17m(-5m
11n)11m6n11n)(6m11m-6n(6m
+
−++++
 
 
h) Combinación del caso d y f 
 
 
2
2222
2222
22
222
222
222
22
)2(
)2()44(
244
)2)(2(
4)(
4)2(
24
)1)(1(
1)(
12
yx
babayxyx
babxyyax
bmabma
bma
bmama
ambma
baba
ba
baba
−
+−−+−
−+−+−
+−−−
−−
−+−
−−+
−+++
−+
−++
 
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto
Factorizar como en diferencia de cuadrados, caso especial 
Si son 6 términos hay 2 cuadrados perfectos 
 
9x +4y -a -12xy-25b -10ab 2 2 2 2
(9x -12xy+4y )-(a -25b -10ab) 2 2 2 2
 
 
)3)(3(
)3(
)96(
96
22
22
22
cncn
cn
cnn
cnn
++−+
−+
−++
−++
 
 
)23)(23(
4)3(
496
22
222
xyaxya
xya
xyaya
+−−−
−−
−+−
 
 
)357)(357(
)357)(357(
))35(7(
)30925(49
3092549
22
22
22
24
224
yxxyxx
yxxyxx
yxx
xyyxx
xyyxx
−++−
+−−−
+−
+−−
+−−
 
 
i) Trinomio cuadrado perfecto con adición y sustracción. 
 
 Debe ser 12 para que sea trinomio cuadrado 
perfecto, por eso sumamos y restamos la diferencia 
 
 
)232)(232(
4)32(
49124
4494
984
2222
22222
224224
22224224
4224
abbaabba
baba
babbaa
bababbaa
bbaa
−+++
−+
−++
−+++
++
 
Sumamos el 8 con el 4 para llegar al 12 
Factorizamos, ver d
Ver diferencia de cuadrados (g)
Debe ser 12 paraque sea trinomio cuadrado 
perfecto, por eso sumamos y restamos la 
 
 
 
 
 
)26)(26(
4)6(
43612
443616
3616
2222
22222
224224
22224224
4224
abbaabba
baba
babbaa
bababbaa
bbaa
+−−−
−−
−+−
−++−
+−
 
 
)332)(332(
9)32(
99124
99934
934
2222
22222
224224
22224224
4224
abbaabba
baba
babbaa
bababbaa
bbaa
+−−+
−+
−++
−+++
++
 
TIPS. 
 
Despúes de arreglarlo; hacemos 
la diferencia de cuadrados, caso 
especial, ver caso g. 
 
Para saber cual es el número 
que falta: la raíz cudrada de los 
de afuera multiplicados entre 
ellos por dos 
 
Ordenar.
 
)42)(42(
)24)(24(
4)4(
44164
164
42244224
22442244
44244
44448448
8448
yyxxyyxx
yxyxyxyx
yxyx
yxyxyyxx
yyxx
+++−
++−+
−+
−+++
++
 
 
j) Caso especial de la suma de los cuadrados 
 
La suma de dos cuadrados no se descompone en factores racionales ( los que 
no tienen raíz ), porque hay suma de cuadrados, que sumandoles y restandoles 
una misma cantidad puede hacerse como el caso anterior . 
 
 
)22)(22(
4)2(
444
4)2)((2
4
2222
22222
224224
2222
44
abbaabba
baba
yabbaa
baba
ba
−+++
−+
−++
=
+
 
Obtener el trinomio al cuadrado 
perfecto 
 
 
)84)(84(
)48)(48(
16)8(
166416
64
2222
2222
22222
224224
44
yxyxyxyx
xyyxxyyx
yxyx
yxyyxx
yx
+++−
++−+
−+
−++
+
 )22)(22(
4)2(
4
42244224
44244
88
yyxxyyxx
yxyx
yx
+++−
−+
+
 
)962)(962(
36)92(
814
2222
22222
44
nmnmnmnm
nmnm
nm
+++−
−+
+
 
)48)(48(
16)8(
64
6363
626
12
aaaa
aa
a
+++−
−+
+
 
 
k) (vi) Trinomio de la forma x + bx + c = 0 2
 
 
Tiene tres términos. El coeficiente del primero (x) es 1. El segundo su exponente 
es la mitad del exponente del primero. El tercero es independoente. 
 
Para resolverlo: hay dos factores, en cada parentesis se pone la raíz cuadrada 
del primero, se buscan dos números que sumados den el coeficiente del 
primero, y multiplicados el término independiente; para encontrarlos se 
descompone el independiente en factores primos. 
 
 
 
 
 
 
 
623 523
)2)(3(
652
=•=+
++
++
xx
xx
 →
→
2
3
|
|
|
1
2
6
Raíz cuadrada del primero más 
números raros 
 
 
 
)5)(2(
1072
++
++
xx
xx
 
)3)(8(
2452
−+
−+
cc
cc
 
24 2 
12 2 
6 2 
3 3 
1 
Para reconocerlo, ver si los 
coeficientes en el primero y 
segundo. Y el exponente del 
segundo la mitad del 
primero. 
21 7 
3 3 
1 
)3)(7(
21102
++
++
xx
xx
 
35 5 
7 7 
1 )7)(5(
3522
−+
−−
aa
aa
 
60 2 
30 5 
6 2 
3 3 
1 
)8)(7(
56152
++
++
xx
xx
 
)3)(20(
60172
++
++
xx
xx
 
180 2 
90 2 
45 3 
15 3 
5 5 
1 
)10)(18(
18082
−+
−+
xx
xx
 
)10)(4(
4062
−+
−+
mm
mm
 
 
 
 
 
 
l) Caso especial del VI 
 
 
)4)(11(
447
)5)(10(
505
33
36
22
24
−+
−+
+−
−−
xx
xx
xx
xx
 
)15)(55(
8)5(9)5(
)7)(6(
42
2
22
−−
+−
−+
−−
xx
xx
abab
abba
 
 
)54)(34(
15)4(2)4(
)10)(8(
802
2
44
48
−+
−−
−+
−−
xx
xx
xx
xx
 
)4)(5(
20
)3)(7(
214
55
510
22
−+
−+
+−
−−
xx
xx
baba
baba
 
m) Caso VII Trinomios de la forma ax + bx + c 2
 Para hacerlo como caso VI 
 
 
)13)(32(
)26)(96(
)26)(96(
18)6(736x
 
)3(6)7)(6()6(6
376
2
2
2
+−
+−
+−
−−
−−
−−
xx
xx
xx
x
xx
xx
 Resolver como el caso 6
Multiplicar por el coeficiente del primero
Simplificamos dividiendo cada parentesis entre 2 factores del 6
Resultado
 
 
)25)(32(
)
4
820x()
5
1520x(
120)20(7)20(
6720
2
2
−+
−+
−+
−+
xx
xx
xx
 
Saltando pasos TIP 
 
Nunca se pueden dividir los dos 
paréntesis entre un mismo factor. Si es 
un número primo, entonces se divide 
uno entre el número y el otro entre 1. 
 
 
)13)(2(
)23)(1(
1
23x
3
33x
253 2
−−
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−−
xx
xx
xx
 
33
26
)73)(54(
4
28-12m
3
1512m
351312 2
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−−
mm
mm
 
33
515
575
2150
2210
2420
 
)25)(3(
1
25x
5
155x
6135 2
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−+
xx
xx
 
55
210
330
)15)(14(
4
4-20y
5
120y
120 2
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−+
yy
yy
 
 
)23)(32(
2
46x
3
96x
656 2
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−+
xx
xx
 
33
26
212
336
 
)12)(35(
5
510a
2
610a
31110 2
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
++
aa
aa
 
55
210
330
 
)34)(3(
1
34a
4
124a
9154 2
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
++
aa
aa
 
22
36
212
336
 
 
 
n) Caso especial del VII 
 
 
121115 24 −− xx 12 2022 −+ xyyx
 
180)15(11)15( 222 −− xx 240)12(1)12( 2 −+ xyxy
 
)35)(43( 22 +− xx )54)(43( −+ xyxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolver como anterior
TIP 
• Tiene dos literales el 
primer término. 
• El primer término es 
negativo. 
 
La diferencia..... 
• Tiene otro exponente 
el primer término. 
• El último tiene 1 a 2 
 
 
22 10116 aaxx −− 2039 2 +−− xx
 Primero hay que volver al 1er 
 término. 22 60)6(11)6( axax −− )2039( 2 +−−− xx
Se resuelve igual 
 − )2039( 2 −+− xx
)23)(52( axax +− 
 )53)(43( +−− xx 
 
 
 
 
)65)(2(
1
65
5
105
1245
33
33
26
−+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
±−+
xx
xx
xx
 
55
210
220
360
)3)(25(
5
515
3
615
25 22
axax
axax
aaxx
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
±−+
 
22
510
330
 
)32)(73(
3
96
2
146
2156 22
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
±−+
axax
axax
axxa
 
33
39
763
2126
)56)(3(
1
56
6
186
15136 22
amam
amam
aamm
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
±−+
 
55
210
330
390
 
 
o) (VIII) Cubo perfecto de binomios 
 
 
32233 33)( babbaaba +++=+ 
32233 33)( babbaaba −+−=− 
TIP 
 
Es lo mismo que cubo de 1 
binomio (ver), pero alrevés. 
 
Saca el cubo del primero, 
más signo del último y 
cuadrado del último. 
 
Los exponentes se dividen 
entre 3. 
 
Pueden estar en desorden. 
 
Para distinguirlo... 
• 4 términos. 
• 2 cubos perfectos 
( Al coeficiente y literal raíz cubica ) 
 
962346 2754368 yyxyxx −+− 
 
332 )32( yx − 
 
34322 36)3()2(3 yxyx −=− 
62322 54)3()2(3 yxyx =− 
 
 
 
3
23
)12(
16128
+
+++
x
xxx
 
3
3223
)225(
860150125
ba
babbaa
+
+++
 
3
32
)3(
92727
x
xxx
−
−+−
 
332
962346
)(
33
ba
bbabaa
+
+++
 
3
32
)1(
331
a
aaa
−
−−+
 
363
1283469
)3(
27279
yx
yyxyxx
−
−+−
 
3
23
)15(
15751125
+
+++
x
xxx
 
36
18612
)1(
3313
a
aaa
+
+++
 
3
3223
)43(
6414410827
nm
nmnnmm
+
+++
 
 
133 23 ++− xxx 
No es cubo perfecto 
 
 
 
 
p) (IX) Suma o diferencia de cubos 
 
 
 F O R M U L A S 
 
))(( 2233 babababa +−+=+ 
 
))(( 2233 babababa ++−=− 
 
6327 ba − 1258 3 −x
 
)39)(3( 422 bababa +−+ )25104)(52( 2 ++− xxx
 
 
)16129)(43(
6427
632434
46
nnmmnm
nm
+−+
+
 
)92464)(38(
27512
633
9
aaa
a
+−+
+
 
))(( 632432
96
bbxxbx
bx
++−
−
 
)42)(2(
8
842442
126
yyxxyx
yx
++−
−
 
)3661)(61(
2161
2
3
mmm
m
++−
−
 
 
 
q) Caso especial Mismas fórmulas 
Sumamos términos comunes
 
)1)())((1(1)( 223 ++−+++=++ babababa 
 
 )12)(1( 22 +−−++++ babababa
Binomio al cuadrado
 
])3()3(24)][3(2[)3(8 23 −+−+−−=−− xxxx 
 
 )96624)(32( 2 +−+−++− xxxx
 
 )74)(5( 2 +−− xxx
 
])2()2)(1()1)][(2()1[( 22 −+−+−+−++ xxxxxx 
 
 
r) (Caso x) Dos potencias iguales 
 
))(( 4032230455 nmmnnmnmnmnmnm +−+−+=+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
A los 2 términos sacamos la misma raíz. 
Empezamos con el primero una potencia menor y el 
segundo en 0 
El exponente de m baja hasta llegar a 0 
El exponente de n sube hasta llegar a 4 
 
Simplificamos
 )( nm + )( 432234 nmnnmnmm +−+−
 
)2)(2222222(2128 6054233241606777 −++++++=−=− xxxxxxxxxx 
 
Con el segundo positivo: 
(+)(+ - + - + - + - ............) 
Con el segundo negativo: 
( - )( + + + + + + .............) 
Un número elevado a cero potencia es 1 
 
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	factorizacion1.pdf
	Factorización 
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