Termodinâmica 06

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TERMODINÂMICA I
CAPÍTULO 6 - ENTROPIA
Até este ponto nosso estudo de Entropia tem se restringido aos sistemas que percorrem um ciclo.
Neste capítulo serão introduzidos meios para analisar processos não cíclicos.
Energia e Entropia são conceitos abstratos. O conceito de energia á mais familiar e de uso diário, enquanto o conceito de
Entropia raramente aparece em publicações diárias e menos ainda nos aspectos quantitativos.
6.1 - Inequação de Clausius. (Desigualdade de Clausius).
A desigualdade de Clausius é aplicada a qualquer ciclo, independente do corpo ou dos corpos dos quais o ciclo recebe ou
rejeita calor.
A desigualdade de Clausius fornece as bases para a introdução de duas idéias instrumentais para a avaliação quantitativa
de sistemas fechados ou volumes de controle, de uma perspectiva da 2a. lei da termodinâmica: a propriedade ENTROPIA e o
conceito de PRODUÇÃO DE ENTROPIA.
A desigualdade de Clausius estabelece que
d Q
T b
æ
èç
ö
ø÷ £ò 0
onde ( )d Q representa o calor transferido em uma parte da fronteira (boundary) do sistema, durante uma porção do ciclo e T é a
temperatura absoluta daquela parte da fronteira.
O subscrito “b” serve para lembrar que o integrado é avaliado na fronteira (boundary) do sistema que executa o ciclo.
O símbolo ò significa que a integral precisa ser avaliada em toda a fronteira e no ciclo completo.
A igualdade se aplica quando não há irreversibilidades internas e a desigualdade quando há irreversibilidades internas.
SISTEMA
Fronteira do Sistema
Ciclo Intermediário
Reservatório a
Fronteira do Sistema + Ciclo
T
d
d
d
d
Q'
Q
W'
W
Ilustração usada para mostrar a desigualdade de Clausius.
Sistema recebe d Q em uma fronteira a T e realiza um trabalho d W.
Para garantir que o calor recebido do Reservatório Térmico não está associado a irreversibilidades, supor um ciclo
reversível entre o sistema e o reservatório térmico.
Este Ciclo recebe d Q1 do reservatório térmico e fornece d Q ao sistema realizando um trabalho dW 1 .
Pela definição da escala Kelvin de Temperatura temos
d dQ
T
Q
TRES b
1 = æèç
ö
ø÷
Um balanço de energia para o sistema combinado (sistema + ciclo) mostrado pela linha pontilhada fornece:
dEc Q W W
Wc T QT dEc
Wc
s b
= - +æè
çç
ö
ø
÷÷
= æèç
ö
ø÷ -
d d d
d d
d
1 1
1 24 34
Re
Para o sistema combinado realizando um ciclo e o sistema intermediário um ou mais ciclos tem-se
Wc = T QT dEc T QTRES b RES b
d dæ
èç
ö
ø÷ - =
æ
èç
ö
ø÷ò ò
Como o sistema combinado troca calor com um único reservatório térmico
Wciclo £ 0 (troca de calor com um simples RT)
T QTRES b
dæ
èç
ö
ø÷ £ò 0
Esta desigualdade pode ser escrita como
d sQT b
æ
èç
ö
ø÷ = -ò ciclo
ondes ciclo representa o tamanho da desigualdade, sendo que:s ciclo = 0 não há irreversibilidades dentro do sistemas ciclo > 0 irreversibilidades presentes dentro do sistemas ciclo < 0 impossível.
Assim, s ciclo é uma medida das irreversibilidades que ocorrem dentro do sistema quando este passa por um ciclo. É a
Entropia produzida pelas irreversibilidades.
6.2 - Definição da Variação de Entropia
Uma quantidade é uma propriedade se sua variação entre dois estados for independente do processo.
2
1
C
B
A
Dois ciclos executados por um sistema fechado estão
representados na figura.
ciclos AC e BC
Para o ciclo AC
d d sQT
Q
T cicloA C
æ
èç
ö
ø÷ +
æ
èç
ö
ø÷ = -ò ò12 21
Para o ciclo BC
d d sQT
Q
T cicloB C
æ
èç
ö
ø÷ +
æ
èç
ö
ø÷ = -ò ò12 21
s ciclo = 0 para ambos os ciclos, pois são reversíveis.
Assim,
d dQ
T
Q
TA B
æ
èç
ö
ø÷ =
æ
èç
ö
ø÷ò ò12 12
Como os valores de
d Q
T
æ
èç
ö
ø÷ são os mesmos para os dois ciclos, serão iguais para quaisquer outros ciclos reversíveis
operando entre os estados 1 e 2.
Conclui-se que os valores de
d Q
T
æ
èç
ö
ø÷ dependem apenas dos estados 1 e 2 e representam uma propriedade (pela própria
definição de propriedade).
Esta propriedade é chamada de Entropia e é usualmente representada pela letra (S).
Dessa forma, a variação de Entropia entre os estados 1 e 2, para um ciclo internamente reversível pode ser obtida por:
S S QT2 1 1
2- = æèç
ö
ø÷ò d
Se tivermos um sistema executando um ciclo irreversível entre os estados 1 e 2, a variação da Entropia entre 1 e 2 será a
mesma pois a Entropia é uma propriedade e portanto função do estado, apenas.
Entretanto a variação da Entropia não poderá ser calculada por S S QT2 1 1
2- = æèç
ö
ø÷ò d irreversível .
6.3 - Entropia de uma substância, pura, compressível simples.
A equação S S QT ernamentereversível2 1 1
2- = æèç
ö
ø÷ò d int serve como base para a construção de tabelas e diagramas para a avaliação
da Entropia.
S S QTy x x
y= + æèç
ö
ø÷ò d internamente reversível
Sx é a Entropia do estado de referência, arbitrariamente escolhido.
A utilização dos valores de Entropia relativos a um estado de referência arbitrário para cálculo de variações de Entropia é
satisfatória porque o valor de referência desaparece.
Quando ocorrem reações químicas é necessário trabalhar em termos de valores absolutos de Entropia que são
determinados da 3a. lei da Termodinâmica que será vista no capítulo 13.
6.3.1- Tabelas de Entropia
As tabelas de Entropia são similares às de h, u, v e os valores de Entropia são listados nas mesmas tabelas.
Os procedimentos para determinação dos valores da Entropia são os mesmos empregados para determinação das outras
propriedades.
EXEMPLOS
1) Considere água em 2 estados, mostrados na Figura
s
T
1
2
.
. P2=0,3MPa
P1=3MPa T1=500 C
Determinar T2
1 3 4 7 2338
2 0 3
7 2338 183
1 1
2
2 1 2
) . ,
) ,
,
P MP Tab s kJkgK
P MP
s s kJkgK T C
a
a
= =
=
= = = °
Na região de saturação os valores são determinados através do título, e dos valores de sg
Entropia do vapor saturado e sl Entropia do líquido saturado
s = (1-x) sl + xsg = sl + x (sg - sl)
Para líquidos comprimidos o procedimento é também análogo, ao já visto para energia interna e entalpia..
Se existirem dados tabelados de propriedades do líquido comprimido, os valores da Entropia são obtidos diretamente da
tabela.
Quando essas tabelas não forem disponíveis usam-se os valores do líquido saturado à temperatura de saturação.
( ) ( )s T P s Tl1 @
6.3.2- Gráficos de Entropia
São úteis para a solução de problemas e são apresentados com a Entropia na abcissa e temperatura ou entalpia na
ordenada.
(T-s) ou (h-s)
Diagrama Temperatura x Entropia (Txs)
s
T
h const
P cont
v cont
P const
v const
.P.C.
L.S.
vs
Diagrama Entalpia x Entropia
.P.C.
V.S. x=0,96x=0,90
P cont
t=const
h
s
6.3.3- Equações TdS
As variações de Entropia entre 2 estados podem ser obtidos através da equação
Sy Sx QTx
y= + æèç
ö
ø÷ò d internamente
reversível
ou através das relações TdS.
A importância das relações TdS é entretanto maior que a simples determinação dos valores de Entropia.
Será visto no Capítulo 11 que elas são o ponto de partida para a derivação de importantes propriedades para substâncias
puras, compressíveis simples, incluindo meios para a obtenção das tabelas que fornecem u, h e s.
Considere um sistema constituído por uma substância pura, compressível simples, que passa por um processo
internamente reversível. A equação da 1ª lei para esse sistema é
dE = dQ - dW
Considerando KE e PE = 0 , dE = dU
( ) ( )
( )
( )
d d
d
d d
Q dU W
W pdV
dS QT Q TdS
Assim
TdS dU pdV
H U pV dH dU PdV VdP
dU pdV dH VdP
TdS dH VdP
INTREV INTREV
INTREV
INTREV rev
= +
=
= æèç öø÷ ® =
= +
= + ® = + +
+ = -
\ = -
int
Por unidade de massa essas relações ficam
Tds = du + pdv
Tds = dh - vdp
ou em base molar
Tds du pdv
Tds dh vdp
= +
= -
Umavez que a Entropia é uma propriedade, ela depende somente dos estados. Assim, embora essas expressões tenham
sido obtidas a partir da hipótese de processo internamente reversível elas podem ser utilizadas para calcular as variações de
Entropia entre dois estados, qualquer que tenha sido o processo ligando esses dois estados.
Como exercício considere a mudança de fase de líquido saturado para vapor saturado, em um processo onde a pressão e
temperatura seja constantes
( )
Tds dh vdp vdp pcons te
ds dhT sg sl
hg hl
T T cons teconsidere R a C
Tab A hg hl kJkg
sg sl kJkgK
sg sl kJkgK
= - =
= Þ - = - =
°
® - = Þ
- = - =
- = =
0
0
7 151 48
0 6965 0 1420 0 5545
151 48
273 15 0 5546
12
, tan
tan
. . ,
, , ,
,
,
,
6.3.4. - Variação de Entropia para um gás Ideal
Partindo das equações
Tds du Pdv ds duT
P
T dv
Tds dh vdP ds dhT
v
T dP
= + Þ = +
= - Þ = -
Para gás ideal
du Cv T dT T duT Cv T
dT
T
dh Cp T dT T dhT Cp T
dT
T
Pv RT PT
R
vR
P
= ¸ = =
= ¸ = =
= =
=
( ) ( )
( ) ( )
v
T
Substituindo em ds
ds Cv T dTT R
dv
v
ds Cp T dTT R
dP
P
= +
= -
( )
( )
Entre dois estados 1 e 2
ds Cv T dTT R
dv
v s s T v
s T v s T v cv T dTT R
v
v
ds Cp T dTT R
dP
P s s T P
s T P s T P Cp T dTT R
P
P
v
v
T
T
T
T
P
P
T
T
T
T
1
2
2 2 1 1
2
1
1
2
2 2 1 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 6 23
ò òò
ò
ò òò
ò
= + =
- = +
= - =
- = -
( ) ( , )
( , ) ( , ) ( ) ln
( ) ( , )
( ( , ) ( ) ln ( . )
, )
Da mesma forma utilizada para energia interna e entalpia, a avaliação da variação de Entropia para os gases ideais pode
ser efetuada através de tabulação dos valores.É selecionado um estado de referência e um valor de referência para Entropia neste estado.
Estado de referência T K sREF REF= =0 0 P atmREF = 1
Assim, para determinar a Entropia a uma temperatura T e pressão de l atm, tem-se:
( )s T s Cp T dTT R
s T s T Cp T dTT
T
o
o
T
( , ) , ( ) ln
( , ) ( ) ( )
1 0 1
1
1
1
0
- = -
ß
= =
ò
ò
0
Como a pressão está fixada em 1 atm so depende somente da temperatura.
Para gás Ideal so está na Tab A.16
Para outros gases comuns so está nas Tabs. A.17 a A.22
Expressando a equação 6.23 em termos de so
Cp T dTT Cp T
dT
T Cp T
dT
T
s T s T
Tv
T
T
o o
( ) ( ) ( ) )
( ) ( )
= -
= -
òòò 00
2 1
12
1
2
Assim a equação 6.23 pode ser escrita
s T P s T P s T s T R PP
ou
s T P s T P s T s T R PP
o o
o o
( , ) ( , ) ( ) ( ) ln
( , ) ( , ) ( ) ( ) ln
2 2 1 1 2 1
2
1
2 2 1 1 2 1
2
1
- = - -
- = - -
6.3.5 -Variação de Entropia para uma Substância Incompreensível.
Quando o modelo de substância incompressível é adotado v= constante, o calor específico à volume constante fica cv =
c(T) e
du c T dT
ds duT
P
T dv
ds c TT dT
s s c T dTT substância imcompressívelAdmitindo c T cons te
s s c TT
T
T
=
= +
=
- =
=
- =
ò
( )
( )
( ) ( )
( ) tan
ln
2 1
2 1
2
1
1
2
Exemplo 6.1
Vapor de água a 400 k e 0,1 Mpa passa por um processo até 900 k e 0,5 MPa. Determine a variação da Entropia
específica em kJkmolK utilizando
a) as tabelas de vapor superaquecido
b) a tabela de gás ideal para vapor d’água
c) integração com cp T( ) da tab. A.15
Solução
Estado Estado
T K C T K C
P MPa P MPa
s kJkgK s
kJ
kgK
a s s kJkgK M
kg
kmol
s s kJkgK x
kg
kmol
kJ
kmolK
s s kJkmolKb
agua
1 2
400 127 900 627
0 1 0 5
7 501 8 418
0 917 18 02
0 917 18 02 16 524
16 524
1 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2 1
Água M = 18,02
Tc = 647,3K
Pc =
= = ° = = °
= =
= =
- = =
- = =
- =
, ,
, ,
) , ,
, , ,
,
)
220,0 bars
comportamento de gás ideal
ln 5
Tr
z
Tr
z
s
s
kJ
kmolK
s T P s T P s T s T R PP
s s
o o
2
2
2
2
1
2
2 2 1 1 2 1
2
1
2 1
400
647 3 0 618
1 0
220 9 0 005
0 95
900
647 3 2 008
5
220 9 0 023
10
198 673
228 321
228 321 198 673 8 314
= =
= =
ü
ýïï
þïï
>
= =
= =
ü
ýïï
þïï
-
° =
° =
- = - -
- = - -
,
,
Pr
,
,
,
,
,
,
Pr
,
,
~
.
,
,
( , ) ( , ) ( ) ( ) ln
, , ,
s s kJkmolK
s s kg
kmol
kJ
kmolK
kg
kgK
2 1
2 1
16 267
16 627
18 02
0 903
- =
- = =
,
,
,
,
c) Integrando, com utilização de Cp da Tabela A - 15
( )
( )
s T P s T P s s
s s Cp T dTT R
P
P
Cp T
R T T T TR
M R R MR
s s Cp T dTT R
P
P R
s s
R
Cp T
R
dT
T
P
P
s s
R
T T T T
T
T
T
T
T
T
T
T
( , ) ( , )
( ) ln
( )
( ) ln
( )
ln
2 2 1 1 2 1
2 1
2
1
2 3 4
2 1
2
1
2 1 2
1
2 1
2 3 4
1
2
1
2
1
2
- = -
- = -
= + Ã +
= =
- = - ¸
- =
- = + Ã +
ò
ò
ò
a b d e
a b d e
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
1
2 1 2
1
2 1 2
2
1
2
2
3
1
3
2
4
1
4 2
12 3 4
T dT PP
s s
R
T
T T T T T T T T T
P
P
ò -
- = + - +Ã - +Ã - + - -
ln
ln lna b e
a
b
=
= -
Ã=
-
-
4 07
110810
4 15210
3
6
,
, .
, .
Ã= -
=
-
-
2 96410
0 80710
9
12
, .
, .e
T
T21
900
400
=
=
1 2 3
4 5 6
s s
R
s s
R
s s kJkmol
kJ
kmol s s
2 1
3
2 2
6
3 3 4 4
12
2 1
2 1 2 1
4 07
900
400
1108
900 400
10
4 152
2
900 400
10
2 964
3
900 400
109
0 807
4
900 400
10
5
1 957
8 314 1 957 16 267
- = - -æèç öø÷ +
-æ
èç
ö
ø÷
- -æèç
ö
ø÷ +
-æ
èç
ö
ø÷ -
- =
- = × = = -
, ln ,
,
, ,
ln
,
, , ,
OBS.: Os resultados da variação de Entropia, calculados pelos 3 processos são praticamente coincidentes porque o vapor
d’água nestas condições se comporta como um gás ideal.
6.4. Variação de Entropia nos processos internamente reversíveis
Nesta seção a relação entre variação de Entropia e transferência de calor é considerada.
Inicialmente será tratado o caso de Sistema Fechado, e posteriormente o caso de Volume e Controle.
Quando um sistema passa por um processo internamente reversível, sua Entropia pode diminuir, aumentar ou permanecer
constante.
dS QT INTREV=
æ
èç
ö
ø÷
d
( )d Q TdSINTREV =
Se o sistema recebe calor sua Entropia aumenta, se perde calor, sua Entropia diminui. Se o processo é adiabático (e
internamente reversível), não ocorrerá variação na Entropia do sistema.
Transferência de calor ® Transferência de Entropia
possuem a mesma direção e sentido
Processo adiabático ® Calor transferido = 0
Entropia transferida = 0
Se o processo for também internamente reversível ele é dito isoentrópico.
Para um processo entre dois estados 1 e 2
Q TdSINTREV = ò12 Em um diagrama T x S o calor transferido será a Área sob acurva. Notar que isso é válidoSOMENTE PARA PROCESSOS REVERSÍVEIS
T
S
TdS
1
2
ò
d Q TdS=
1
2
ÁREA = 
Observar que a temperatura deve ser a temperatura absoluta e que a Área não representa o calor para os processos
irreversíveis.
Ilustração para o Ciclo de CARNOT
O ciclo de CARNOT é composto por 4 processos , sendo 2 ISOTÉRMICOS e 2 ADIABÁTICOS.
T
s
2 3
1
2
4
3
1
®
®
®
®
Isotérmicos
Adiabáticos
3
1
4
24
b a
Processos 2 ® 3 Sistema recebe calor ® Entropia aumenta
4 ® 1 Sistema perde calor ® Entropia diminui
3 ® 4 Transferência de calor nula = variação na Entropia = 0
1 ® 2 Transferência de calor nula = variação na Entropia = 0
( )
( )
2 3
4 1
2 3 4 1
2 3
2 3 4 1 2
2 3 2
2
3
3 2
4
1
1 4
Q TdS TH s s
Q TcdS Tc s s
Q Q
Q
Q Q
Q
Área
Área a bc H cH
= = -
= = -
= - = - = - - - --- - -
ò
ò
h
2 3
4 1
3
1 4
Q T s s
Q T s sH sc
= -
= -
( )
( )
s s
s s3 42 1
=
=
( )( )( )
2 3 4 1
1
3 2
3 2
3 2
Q Q T T s s
T T s s
T s s
T
T
H c
c
H c
H
c
H
- = - -
= - -- = -
( )( )
h
Considerando o ciclo de refrigeração teremos
4 3
21 Qc
QH
EXEMPLO 6.2
PROBLEMA: Água está contida como líquido saturado em um conjunto pistão cilindro a 100ºC. A água passa por um processo
até ficar no estado de vapor saturado. Durante esse processo o pistão se movimenta livremente no cilindro. Se a mudança de
estado acontece por fornecimento de calor a pressão e temperatura constantes, com a água passando por um processo
internamente reversível, determine o calor transferido e o trabalho realizado, por unidade de massa, em kJkg
Água Fronteira do sistema
P
v
100oCWm Cm
T
s
Q
100 oC f g
P=constante
f g
W
m Pdv
Q
m Tdsf
g
f
gò ò
Hipóteses: 1 - a água é o sistema fechado
2 - o processo é internamente reversível
3 - pressão e temperatura são constantes no processo
4 - não há variação de energia cinética e potencial.
a) calor transferido por unidade de massa
( )
( ) ( )[ ]
Q
m TdS T sg sf
f sf kJ kgK g kJ kgK
vf m kg
hf kJ kgK kJ kgK
Q
m K
kJ
kgK
Q
m
kJ
kg
f
g= = -
=
=
=
= + -
=
ò
-
) , / ) /
, . /
, / /
, , ,
. ,
1 3069
1 043510
419 04
100 273 15 7 3549 1 3069
2 256 81
3 3
sg = 7,3549
vg = 1,673
hg = 2676,1
b) trabalho realizado ( )Wm Pdv P vg vffg= = -ò
( )
P bars kNm
W
m
kN
m
m
kg
W
m
kN m
kg
kJ
kg
= =
= × -
= =
-
1 014 101 4
101 4 1 673 1 043510
169 54 169 54
2
2
3
3
, ,
, , , .
,
.
,
c) equacionamento pela 1a. lei
d E Q W com dKE dPE
u u kJkg
Q
m
Q
m
kJ
kg
g f
f g
f g
= - = =
- = - =
=
d d 0
2676 1 419 04
2257 1
( , , )
,
6.5 - Balanço de Entropia para Sistemas Fechados
Como decorrência da desigualdade de Claussius, vimos que
( )
d s s
s
s
s
d
Q
T b ciclo ciclo
INTREV
æ
èç
ö
ø÷ = -
=
<
>
ò onde representa o " tamanho" da desigualdade.
processo internamente reversível
impossível
irreversibilidades presentes dentro do sistema
Esta equação, juntamente com a equação da variação da entropia
Tds = Q serão utilizadas para desenvolver o balanço de entropia para sistemas fechados.
c
c
c
0
0
0
O balanço de entropia é uma expressão da 2a. lei que é particularmente conveniente para a análise termodinâmica.
6.5.1 - Desenvolvimento do Balanço de Entropia
A figura mostra um ciclo executado por um sistema fechado.
2
1
R
I
O ciclo é constituído por dois
processo. O processo I no qual pode
haver irreversibilidades presentes e o
processo R que é um processo
internamente reversível.
Para esse ciclo d d sQT
Q
Tb INTREV
æ
èç
ö
ø÷ +
æ
èç
ö
ø÷ = -ò ò12 21
O subscrito “b” da 1a. integral serve para indicar que o integrando é avaliado ao longo da fronteira do sistema.
O subscrito não é requerido para a segunda integral porque o processo sendo internamente reversível a temperatura deve
ser uniforme através do sistema, a cada estado intermediário.
O termo s refere-se somente ao processo I, pois o processo R é internamente reversível
Para o processo R
{
d
d s
d s
Q
T s s
ocessos R I
Q
T s s
s s QT
INTREV
b
b
æ
èç
ö
ø÷ = -
+
æ
èç
ö
ø÷ + - = -
- = æèç
ö
ø÷ +
ò
ò
ò
1 22
1
1 21
12
1 2 1
2
6 31
Pr ..
( , )
variação de entropia
entre os estados 1 e 2 Entropia
transferida
produção de
entropia
123
1 24 34
Se os estados inicial e final estão fixados, a variação de entropia pode ser avaliada independentemente dos detalhes do
processo.
Os dois termos do lado direito da equação dependem explicitamente da natureza do processo e não podem ser
determinados somente a partir dos estados inicial e final.
O termo
d Q
T b
æ
èç
ö
ø÷ò12 representa a transferência de calor em direção e sinal.
O termo s representa a entropia gerada internamente.
Reservatório
a Tb
Fronteira a Tb
s
Q
GasouLiq
Isolamento Para o sistema constituído pelo gás ou líquido
s
como Tb = constante
s
Para o reservatório
Tb
os processos nos RT são internamente Rev por definição
Tb
O reservatório perde calor portanto sua entropia diminui
2
2
RES
RES
- = æèç
ö
ø÷ +
- = +
= + /
/ = ®
= -
òs QT
s QTb
S Q
S Q
b
RES
1 1
2
1
1 2
0
d s
s
s
s
D
D
A entropia do Res. diminui na mesma quantidade que a entropia do sistema aumenta por causa do calor transferido.
No entanto, o aumento da entropia do sistema é maior que a entropia transferida pela transferência de calor, devido as
irreversibilidades internas.
s
s
> 0 irreversibilidades presentes dentro do sistema
= 0 sem irreversibilidades internas
A variação global da entropia do sistema pode ser
s s2 1
0
0
0
-
>
=
<
ì
íï
îï
:
dependendo das magnitudes da entropia gerada internamente e das entropias associadas ao fluxo de calor (+ ou -).
6.5.2 - Formas do balanço de entropia para Sistema Fechado
O balanço de entropia pode ser expresso em várias formas que podem ser convenientes para casos particulares.
Por exemplo, se a transferência de calor ocorre em várias regiões da fronteira e não varia com o tempo ou com a posição,
a equação 6.31 fica
s s QT jjj2 1- = +å s
Para expressar a variação da entropia em função do tempo podemos fazer
dS
dt
Q
T jjj= +å
&
&s
Na forma diferencial
dS QT b=
æ
èç
ö
ø÷ +
d ds
Independentemente da forma da expressão para o balanço de entropia, o objetivo em muitas aplicações é determinar o
valor do termo de produção de entropia s .
No caso dos sistemas, a produção de entropia de um componente isolado não possui muita significância. É necessário
efetuar os cálculos para todos os componentes e ordená-los segundo a produção de entropia, para determinar para aquele sistema
quais componentes são mais significativos na contribuição para a ineficiência global.
6.5.3 - Ilustrações
Os exemplos seguintes ilustram o uso dos balanços de energia e entropia para análise de sistemas fechados.
Exemplo 6.3 - Água inicialmente um líquido saturado a 100oC está contida em um conjunto cilindro pistão. A água passa por
um processo até o estado de vapor saturado e durante o processo, o pistão se move livremente no cilindro. Não há transferência de
calor com o ambiente. Se a mudança de estado for provocada pela ação de uma hélice, determine o trabalho em kJkg e a quantidade
de entropia em
kJ
kg .
Figura
Hipóteses: 1) A água é o sistema fechado
2) Processo adiabático
3) Estados inicial e final são de equilíbrio
4) Não há variação de KE e PE
( )
( )
( )
a) 1a. lei = - = + +
100 C Sat f u
W
m
s = 1,3069
g) u
s
b Entropia produzida
S =
Q
f
f
g
g
D D D D
D
D
E Q W U KE PE
U m u u
u u
W
m
kJ
kg
g f
g f
= - ° =
= - -
= - - = - =
=
) ,
, , , ,
,
)
418 94
2506 5 418 94 2087 56 2506 5
7 3549
d
( )
( )
T
S = = m s
S
m
f
g
g
æ
èç
ö
ø÷ +
-
= - =
ò b
fs
kJ
kgK
s
sD
D
7 3549 1 3069 6 05, , ,
Comentários: 1) Observar que, embora os estados inicial e final sejam estados de equilíbrio, nada se pode afirmar sobre os
estados intermediários. O caminho não é bem definido. Dessa forma, nos diagramas Pxv e Txs, as áreas não representam trabalho
e calor.
2) Notar que os estados inicial e final dos exemplos 6.2 e 6.3 são os mesmos. No entanto, no ex. 6.2 não há
geração de entropia pois o processo é internamente reversível e a entropia é transferida do ambiente para o sistema pelo calor
transferido. No ex. 6.3, nenhuma entropia é transferidae toda variação é devida aos efeitos da produção de entropia
(irreversibilidades internas).
Exemplo 6.4 - R 12 é comprimido adiabaticamente em um conjunto pistão cilindro, da condição de vapor saturado a 10ºF até a
pressão de 120 PSI. Determine o trabalho teórico mínimo por unidade de massa de refrigerante em Btu/lbm.
Figura
Hipóteses: 1) Para o caso (a) a temperatura da fronteira é Tb (uniforme).
2) Para o caso (b) a temperatura da fronteira é To (uniforme) e igual a temp. ambiente.
Solução:Equação do balanço de entropia
( ) ( )
( )
( )
dS
dt
Qj
Tj
dS
dt
Q
Tb
Q W Q W
W kw kw kw
To
Tb kwkw
m K m
K
Tb
j
= +
=
= -
= - Þ -
= - + = -
+
= - - +
=
å & &
&
&
&
& & & &
&
&
, . ,
,
s
s
s
j = 1
Tj = Tb
R.P.
Para avaliar é necessário conhecer Q e Tb
Balanço de 1a. lei R.P.
dE
dt
Utilizando a expressão para transferência de calor
Q = -hA Tb - To podemos calcular Tb
Tb = - Q
hA
0
600 588 12
12
0 17 18
293
12
0 17
2
2
( )
( )
x K
Q
Tb
kw
K
kw
K
a kwK
b QTo
kw
K
kw
K
1 8
293 332
12
332
0 0361
0 0361
12
293
0 0410
,
&
&
,
) & ,
) &
&
& ,
+ =
= - = - - =
= +
= - Þ = - - = +
s
s
s s
Comentários: A variação total de entropia do sistema e do ambiente deve ser a mesma nos dois casos.
No caso (a) só está sendo considerada a geração de entropia que ocorre dentro da caixa de engrenagens. A
geração de entropia devido a transferência de calor com diferença finita de temperatura Tb®To está sendo deixada para o
ambiente.
TERMODINÂMICA I
(final do Cap. 6 - não inclui o item 6.9)
6.5.4 - Princípio do Aumento de Entropia
Nosso estudo da 2a. lei começou com a indicação da direção dos processos. No presente desenvolvimento será mostrado
que os balanços de 1a. e 2a. leis podem ser usados conjuntamente para determinar a direção do processo.
A presente discussão será centrada em um sistema aumentado, que compreende o sistema e a parte da vizinhança que é
afetada pelo processo pelo qual passa o sistema.
Esse sistema aumentado é um sistema isolado, e para sistemas isolados, o balanço de 1a. lei fica]DE ISOL = 0
pois não ocorre nenhuma transferência de energia através da fronteira do sistema aumentado.
A energia de um sistema isolado permanece constante. Como a energia é uma propriedade extensiva, seu valor para o
sistema isolado é a soma da energia do sistema + a energia da parte da vizinhança incorporada ao sistema aumentado, de modo
que ] ]D DE ESIST VIZ. .+ = 0
Para que um processo ocorra é necessário que a energia do sistema isolado permaneça constante.
No entanto, nem todos os processos que atendem os preceitos da 1a. lei podem ocorrer. É necessário que a 2a. lei também
seja satisfeita
Balanço da 2a. lei
]
]
D
D
S QT
Q
T sistema isolado
S
ISOL b ISOL
b
ISOL ISOL
= æèç
ö
ø÷ +
æ
èç
ö
ø÷ = - -
=
ò
ò
d s
d
s
1
2
1
2
0 .
Como em todos os processos reais ocorre produção de entropia, os únicos processos que podem ocorrer são aqueles para
os quais a entropia do sistema isolado aumenta.
]
] ]
D
D D
S
S
ISOL ISOL
SIST VIZ ISOL
= ³ º
ì
íï
îï
+ =
s
s
0
Princípio do
aumento da
entropia
Desmembrando em Sistema Isolado = Sistema + Vizinhança
S
Observar que as variações de entropia para o sistema ou para a vizinhança podem ser individualmente positivas,
negativas ou nulas, mas sua soma deverá sempre necessariamente ser positiva para os processos reais e nula para os processos
reversíveis.
Exemplo 6.6 - Uma barra de metal com 0,8 libras massa inicialmente a temperatura de 1900ºR é removida de um forno, esfriada
por imersão em um tanque isolado que contém água, inicialmente a 530ºR. Cada substância pode ser considerada incompressível.
Adotar cw=1,0 BTU/lbmºR para água e cm = 0,1 BTU/lbmºR para o metal como calores específicos constantes.
Determine:
a) A temperatura de equilíbrio final entre a barra de metal e a água em ºR
b) A quantidade de entropia gerada em BTU/R
Solução
Figura
Hipóteses
a) A barra de metal e a água formam o sistema
b) O sistema é isolado
c) D DKE PEe = 0
d) A água e o metal são considerados incompressíveis e com calores específicos constantes.
(a) Temperatura de equilíbrio
( )( )
( )
1
0 0
0
0
a lei E Q W U KE PE
U U U
U U U U U U
U U U U
U U
U m c T T
U m c T T
m c T m c T m c T m c T
T m c m c m
f i
f i fm fw im iw
fm im
U
fw iw
U
m w
m m m f im
w w w f iw
m m f m m im w w f w w iw
f m m w w
m w
. D D D D
D
D D
D
D
D D
= - = + +
= Þ - =
- = + - -
+ + - =
+ =
= -
= -
- + -
+ =
1 24 34 1 24 34
m m im w w iw
f m m im w w iwm m w w
f
f
f
c T m c T
T m c T m c Tm c m c
T lb
BTU
lb R R lb
BTU
lb R x R
lb BTUlb R lb
BTU
lb R
T R R
T R
+
= ++
= +
+
= + +
æ
èç
ö
ø÷ =
=
0 8 0 1 1900 20 1 0 530
0 8 0 1 20 1 0
152 10 600
0 08 20
535 5
535 5
, , º º , º º
, , º , º
.
,
º , º
, º
(b) Quantidade de entropia gerada
]
] ] ]
]
]
D
D D D
D
D
S QT
S S S
S m c TT lb
BTU
lb R
S m c TT lb
BTU
lb R
BTU
R
ISOL b ISOL
ISOL ISOL m w
m m m
f
im
w w w
f
iw
ISOL
= æèç
ö
ø÷ +
= = +
= = = -
= = = +
= - + =
ò d s
s
s
1
2
0 8 0 1
535 5
1900
0 193
20 0 1
535 5
530
0 2065
0 103 0 2065 0 1035
ln , , º .ln
,
,
ln , º .ln
,
,
, , , º
A entropia da barra de metal diminui 0,103
BTU
Rº e
a entropia da água aumenta 0,2065 BTURº
O resultado final é um aumento de 0,1035 BTURº na entropia do sistema isolado.
6.6 - Balanço de Entropia para Volumes de Controle.
A entropia é uma propriedade extensiva e portanto depende da massa e assim pode ser transferida para dentro ou para
fora do volume de controle.
Dessa forma o balanço de entropia para v.c. pode ser derivado de modo muito similar ao usado para a obtenção do
balanço de energia e massa, partindo do sistema fechado.
Balanço de entropia para um sistema fechado, em função do tempo
{
dS
dt
Q
T
Svc QT misi mese v
mi si
j
jj
j
j eij v c
= +
= + - +
å
ååå
å
&
&
&
& & &
& .
. .
s
s
Para um volume de controle a expressão fica
d
dt
Taxa de variação
de entropia Taxa de transferência de entropia
Taxa de produção
de entropia
123 1 244444 344444
Esta equação representa a forma geral para o balanço de entropia e será a mais empregada neste capítulo.
No entanto, seus termos podem ser escritos de modo a contemplar desuniformidades locais
( )S t s dV
Q
T
q
T dA
q
v c v
v
j
j Aj b
. .
& &
&
=
=
=
= æèç öø÷ ×
ò
ò
òå
r
r densindade local
s = entropia local
dV = elemento de volume
integral sobre todo o v.c.
= fluxo de calor
Taxa de transferência de calor por
unidade de área de superfície, onde
a temperatura instantânea é T
&
&
m s s V dA
m s s V dA
i i nAii i
e e nAee
= æèç
ö
ø÷
= æèç
ö
ø÷
òåå
òåå
r
r
Fluxos de entropia
associados aos fluxos
de massa, avaliados
em cada área de
entrada e saída do v.c.
Agrupando todos os termos tem-se
d
dt psdv
q
T dA s V dA s V dA v cAV b nAi i nAe e=
æèç öø÷ +
æ
èç
ö
ø÷ -
æ
èç
ö
ø÷ +òò òå òå& &r r s
6.6.1 - Análise do volume de controle para Regime Permanente
Conservação da massa
& &m mi eei =åå
Balanço de energia
0
2 2
2 2= - + + +æèç
ö
ø÷ - + +
æ
èçç
ö
ø÷÷å å& & & &Q W m h V gZ me h V gZVC VC i i i ii e ee e
Balanço de entropia
0 = + - +ååå & & & &QT m s m sjj i i e e VCeij s
Essas equações precisam, muitas vezes, serem resolvidas simultaneamente, junto com as relações entre as propriedades.
Massa e energia são quantidades que se conservam.
Entropia,em geral, não se conserva. A taxa de entropia transferida para fora do v.c. precisa exceder a taxa de entropia
transferida para o v.c. A diferença é a taxa de produção de entropia dentro do volume de controle devido a irreversibilidades.
Em muitos casos existe somente uma entrada e uma saída de massa no v.c. e expressão para o balanço de entropia
assume a forma.
( )0
0
1
1
= + - + ¸
= + - +
- = +
å
å
å
&
& & &
&
& &
&
&
& &
&
Q
T m s s m
m
Q
T s s m
s s m
Q
T m
j
j i e VCj
j
jj i e
VC
e i
j
jj
VC
s
s
s
Observar que s2 só poderá ser menor que s1 se o fluxo de entropia associado ao fluxo de calor que sai for maior que o
fluxo de entropia associado ao calor que entra mais o fluxo de entropia gerado internamente (que é sempre maior).
Ilustrações
Os exemplos seguintes ilustram a utilização dos balanços de massa, energia e entropia para volumes de controle em
regime permanente.
Exemplo 6.7 - Vapor entra em uma turbina com a pressão de 30 bar e temperatura de 400ºC, com uma velocidade de 160 m/s.
Vapor saturado a 100ºC sai com uma velocidade de 100 m/s. Em regime permanente a turbina desenvolve 540 kJ/kg de vapor.
Transferência de calor entre a turbina e a vizinhança ocorre a temperatura média de superfície de 500K. Determine a taxa de
produção de entropia dentro da turbina, por kg de vapor que escoa, em kJ/kg K. Despreze a variação de energia potencial entre
entrada e saída.
Figura
Hipóteses: 1) V.C. especificado na figura
2) Temperatura de transferência de calor conhecida
3)D PE=0
( )
( )
continuidade
Conservação da Energia
+ 540,0 -554,8 - 7.800 m
2
& &
&
&
&
&
&
&
&
&
, ,
&
&
,
.
.
m m
Q
m
W
m h
V h V
Q
m W h h
V V
Q
m
kJ
kg
s
Q
m
kJ
kg
m
s
J
kg
Nm
kg
kg m
s
m
VC VC
VC VC
VC
VC
1 2
1
1
2
2
2
2
2 1
2
2
1
2
2 2
2
2
2 2
0
2 2
2
540 2676 1 3230 9 100 160
2
22 6
=
= - + + - -
= + + - + -æèç
ö
ø÷
= + - + -æèç
ö
ø÷
= = = =
{
( )
( )
( )
kg
Q
T m s m s
Tb m s s
m
Q m
Tb s s
m
kJ
kg
kJ
kgK
m
kJ
kgK
j
j VCj
VC
VC VC
VC
VC
Balanço de Entropia
0 =
QVC
0
1
500
22 6 7 3549 6 9212
0 479
1 1 2 2
1 2
2 1
= + - +
+ - +
= - + -
= - -æèç
ö
ø÷ + -
æ
èç
ö
ø÷
= +
å & & & &
&
& &
&
&
& / &
&
&
, , ,
&
&
,
s
s
s
s
s
Obs.: Se a fronteira do v.c. fosse escolhida de modo a conter a vizinhança imediata até o ponto onde a temperatura é igual a do
ambiente, digamos 293 K, a produção de entropia do v.c. aumentado seria de &
&
, / .
s VCm kJ kgK= 0 511 Explicar porque.
Exemplo 6.8 : Dois sistemas alternativos para aquecimento de ar, são imaginados. Ambos aquecem o ar de 17ºC até 52ºC a
pressão de 1 bar.
Sistema 1 - O ar é aquecido ao passar por um tubo envolto em um líquido fortemente agitado.
Sistema 2 - O ar é aquecido ao passar por um trocador de calor que recebe vapor d’água saturado a 1 bar. A água deixa o
trocador de calor na forma de líquido saturado, também a 1 bar.
Ambos os sistemas operam em R.P. Os efeitos de energia cinética e potencial são desprezados e não há troca de calor
com o ambiente. Determinar a taxa de produção de entropia para cada caso, em kJ/K por quilo de ar que passa pelos sistemas.
Figura
Hipóteses: 1) Para ambos os dispositivos RP
2) Não há transferência de calor para a vizinhança
3) D KE = D PE = 0
4) Ar considerado gás ideal
5) A pressão é constante, tanto para o vapor que condensa, quanto para o ar que escoa
Sistema 1
Conservação da massa & & &m m m1 2= =
Balanço de entropia 0 1 1= + - +å & & & &QT m s m sjj s s VCj s
( ) ( )
( )
s s m
s s s T s T R PP
s s kJkgK
kJ
kgK
m
kJ
kgK
VC
2 1
2 1 2 1
2
1
2 1 1 78249 1 66802 0 1145
0 1145
- =
- = - -
- = - =
=
&
&
º º ln
, , ,
&
&
,
s
s
Tab.16 sº (325K) = 1,78249
sº (290K) = 1,66802
VC
Sistema 2
Conservação da massa &m m1 2=
&m m3 4=
Balanço de Entropia
( ) ( )
( ) ( )
0 1 1 2 2 3 3 4 4
1 1 4 3 3 1
1
1
3
1
4 3
= + - + - +
= - + - ¸
= - + æèç
ö
ø÷ -
å QT m s m s m s m s
s s m s s m m
m s s
m
m s s
j
jj VC
VC
VC
& & & & &
& & & &
&
&
&
&
s
s
s
A relação & / &m m3 1 deve ser obtida através do balanço de energia.
( ) ( )0 1 1 2 2 3 3 4 41 2 1 3 3 4
3
1
2 1
3 4
= - + - + -
- = -
= --
æ
èç
ö
ø÷
& & & & &
& &
&
&
Q w m h m h m h m h
m h h m h h
m
m
h h
h h
VC VC
Tab. A.16 =
Tab. A.3 = s
s
3
4 4
h kJ kg
h kJ kg
h kJkg kJ kg
h
1
2
3
290 16
325 31
2675 5 7 3594
417 46 1 3026
=
=
= =
= =
, /
, /
, , /
, ,
( )
&
&
, ,
, ,
,
&
&
, , , , , /
m
m
m kJ kgKVC
3
1
325 31 290 16
2675 5 417 46 0 0156
0 1145 0 0156 1 3026 7 3594 0 02
= -- =
= + - =s
Obs.: 1) A taxa de produção de entropia no sistema 1 é consideravelmente maior que no sistema 2.
( )
( )
&
&
,
&
&
,
,
s
s
VC
VC
m
m
sistema 1
sistema 2
sist. 1
sist. 2
=
=
=
0 1145
0 02
5 725
O sistema 2 é termodinamicamente muito melhor que o 1.
2) As considerações de ordem econômica tem um papel decisivo na escolha das alternativas.
6.7 - Processos Isentrópicos
Processos que ocorrem com entropia constante.
O objetivo dessa sessão é apresentar como as variações de propriedade podem ser avaliadas entre 2 estados quaisquer de
um processo no qual não há variação de entropia específica.
6.7. 1 - Uso de Gráficos e Tabelas de Propriedades
Se a entropia permanece constante durante o processo, essa informação deverá ser usada para identificar o estado,
juntamente com uma outra propriedade independente.
Figura
6.7.2 - Utilização de Modelo de Gás Ideal
Figura
A figura mostra dois estados de um gás ideal, com a mesma entropia específica.
Vamos considerar as relações entre pressão, volume específico e temperatura nesses dois estados.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
2 2 1 1 2 1
2
1
2 1
2
1
2 1
= - = ° - ° -
° - ° - =
s T P s T P s T s T R PP
s T s T R PP
S S123 123
ln
ln
Esta equação envolve 4 propriedades T , T , P , P1 2 1 2 . Se 3 delas forem conhecidas, a quarta poderá ser determinada.
Por exemplo, se a temperatura T1 e a relação P P2 1/ são conhecidas, a temperatura do estado 2 T2 poderá ser
determinada, por
( ) ( )s T s T R PPº º ln2 1 21= +
Com (T1) obtêm-se da tabela apropriada (Tab.A.16 P. exemplo) o valor de sº (T1) e com a relação P P2 1/ calcula-se sº
(T2). Da mesma tabela obtêm-se por interpolação o valor de T2.
Se T1 P1 e T2 são especificados, P2 obtêm-se de
( ) ( )P P s T s TR2 1 1 2= -éëêê
ù
ûúúexp
º º
Esta expressão serve para produzir uma tabela alternativa relacionando pressões e temperaturas entre 2 estados para um
gás ideal com mesma entropia específica.
( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]PP s T s TR s T Rs T R21 2 1 21= -éëêê ùûúú =exp º º exp º /exp º /
A quantidade ( )[ ]exp º /s T R é somente função da temperatura. É comumente chamada de pressão relativa ( )P Tr .
Esta quantidade ( )P Tr é tabelada versus temperatura para o ar, como gás ideal (Tab.A.16).
( )PP PP s srr21 21 2 1= =
Observar que Pr não é realmente uma pressão, de modo que o nome pressão relativa é enganoso. Assim, não confundirPr com a pressão reduzida dos diagramas de compressibilidade
A relação entre os volumes específicos e duas temperaturas para dois estados de uma gás ideal com a mesma entropia
pode ser desenvolvida
Pv=RT (gás ideal)
Para os estados (1) e (2) ® =v RTP
RT
P1 11
2
2
,
( ) ( )
v
v
RT
P
P
RT
P
P
T
T
R
R
v
v
P
P
T
T
R
R
RT
P
P
RT
P P TP P T
r
r r
r r r r
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1 1 2 2
= æèç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷ =
= = æèç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
= =
. .
. .
Como os dois estados tem a mesma entropia específica
A razão ( )RTPr T é somente função da temperatura e é comumente chamada de volume relativo ( )v Tr , e para o ar está
tabelado na Tab. A.16.
Assim
( )vv vv s srr21 21 1 2= =
Do mesmo modo que a pressão relativa não é uma pressão, o volume relativo ( )v Tr também não é um volume. É
necessário tomar cuidado para não confundir com o pseudo específico reduzido do diagrama de compressibilidade
Vamos considerar como as propriedades estão para os processo isentrópicos de um gás ideal, quando os calores
específicos são constantes.
s s C TT R
P
P
s s C TT R
V
V
p
v
2 1
2
1
2
1
2 1
2
1
2
1
0
0
- = = -
- = = +
ln ln
ln ln
Recordando para gás ideal Cap. 3h u P u RTv= + = +
( ) ( )h T u T RT
dh
dT
du
dT R
= +
= +
C dhdT
C dudT
p
v
=
=
ì
íïï
îïï
( )
C C R
k CC
p v
p
v
= +
= gás ideal
C kRk
C Rk
p
v
= -
= -
ì
íïï
îïï
1
1
Para processos isentrópicos, as equações podem ser escritas
( )
C TT R
P
P
T
T
P
P R
T
T
P
P R
T
T
P
P
R
C
RkR
k
k
k
T
T
P
P s s k
C TT R
v
v
p
C
C RC
p
k
k
v
p
p p
ln ln
ln ln
,
ln ln
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2 1
2
1
2
1
1
1
=
æ
èç
ö
ø÷ =
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷ =
æ
èç
ö
ø÷ Þ
æ
èç
ö
ø÷ =
æ
èç
ö
ø÷
=
-
= -
= æèç
ö
ø÷ =
+ æèç
ö
ø÷
-
const.
( )
=
- æèç
ö
ø÷ = Þ
æ
èç
ö
ø÷ =
æ
èç
ö
ø÷
= æèç
ö
ø÷
=
-
= -
= æèç
ö
ø÷ =
-
0
0
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2 1
C TT R
v
v
T
T
v
v
T
T
v
v
R
C
RR
k
R
T
T
v
v s s k
v
C R
R
C
v
k
v
v
ln ln
, const.
Eliminando as razões de temperaturas nas equações tem-se
P
P
v
v21
1
2
= æèç
ö
ø÷
k
Dessa equação pode ser concluído que um processo politrópico com Pvk = constante, para um gás ideal é um processo
isentrópico
Figura
Como visto no capítulo 3, o processo politrópico para um gás ideal com n=1 é um processo isotérmico
Para qualquer fluido, n=0 corresponde a um processo isobárico, e n+ ¥ corresponde a um processo isométrico.
Exemplo 6.9
Ar passa por um processo isentrópico de P atmT R1 11 540= = ° até o estado final onde a temperatura éT R2 1160= ° . Usando o modelo de gás ideal, determine a pressão final em atmosferas. Resolva, usando:
a) Dados de Pr da tabela A.16E e
b) Relação de calor específico k = constante, avaliada à temperatura média de 850ºR, da Tab. A. 14E.
Figura
Hipóteses: 1) o ar é o sistema
2) o ar pode ser modelado como gás ideal
3) na parte (b) os calores específicos são constantes
a)
( )
P
P
P
P p p
P
P
T R P
T R P
P atm atm
r
r
r
r
r
r
2
1
2
1
2 1
2
1
1 1
2 2
2
540 1 3860
1160 2118
1
2118
1 3860 15 28
= Þ = æèç
ö
ø÷
= ° Þ =
= ° Þ =
= =
,
,
.
,
,
,
Tab. A.16 E
b)
P P TT
k Tab A E
T R F k
P atm atm
k
k
média
2 1
2
1
1
2
1 39
0 39
14
850 390 1 39
1
1160
540 15 26
= æèç
ö
ø÷
Þ
= = =
= æèç öø÷ =
-
. .
º º ,
,
,
,
Obs.: Os resultados de (a) e (b) são muito próximos devido à escolha adequada do valor de k.
Exemplo 6.10
Um tanque rígido bem isolado, é enchido com 5 kg de ar a uma pressão de 5 bar e temperatura de 500K. Um pequeno
vazamento se desenvolve e o ar escapa vagarosamente até que a pressão final do ar remanescente atinja 1 bar. Empregando o
modelo de gás ideal, determine a massa remanescente no tanque e sua temperatura.
Solução:
Hipóteses: (1) O sistema fechado é a massa que permanece no tanque
(2) Tanque isolado 1 2 0Q =
(3) Ignorar as irreversibilidades dentro do tanque, uma vez que o processo é lento
(4) O ar é modelado como gás ideal
(1) estado inicial
(2) estado final
massa final m
massa final m
Balanço de entropia
Process isentrópico
Eq.6.48
2
1
= æ
èç
ö
ø÷
= æ
èç
ö
ø÷
=
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
= æèç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
= ×
= æèç öø÷ + =
Þ =
ò
PV
R
M T
PV
R
M T
m
m
PV
R
M TPV
R
M T
m
m
P
P
T
T
m m PP
T
T
S QT
P
P
P
b
R
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2 1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
0D d s
( )
P
P
K P
P PP P P
P T K
m barbars
K
K kg kg
R
R
r
r r R
R
1
1
1
2
2
1
1 2
2 2
2
500 8 411
1
58 411 1 6822
1 6822 317
1
5
500
317
5 0 1 58
æ
èç
ö
ø÷
®
= =
= æèç
ö
ø÷ × = =
= Þ =
= æèç öø÷ =
Tab.A 16
T
Da tab. A.16 com por interpolação
1
,
, ,
, ,
, ,
Obs.: Considerar um volume de controle em torno do tanque e resolver.
Figura
Hipóteses: (1) V.C. constituído pelo tanque
(2) Tanque isolado termicamente 1 2 0Q =
(3) Ar considerado gás ideal
(4) Processo internamente reversível
( ) ( )
Equação conserv.massa dM
Balanço 1a. lei
Equação 2a. lei
continuidade
VC
1
2
dt mi me
dE
dt Q W m h m h
dS
dt
Q
T m s m s
dM m
m m m
m m m
i e
VC j VCj k VCk i ii e ee
VC j
jj i ii e ee VC
Vc e
e
= -
= - + -
= æèçç
ö
ø÷÷ + - +
= +
- = -
= -
å å
å å å å
å å å
ò
& &
& & & &
&
& & s
0
2 1
2 1
( )
( )
e
VC
j VCj
k VC
i i
e e e e
dE U U
Q
W
m h m
m h m h
Balanço de 1a. lei desprezando KE, PE
tanque isolado
não há interação tipo trabalho
k
i
i
e
= - Þ
= Þ
= ®
= =
=
ò
å
å
å
å
2 11
2
0
0
0 0
D D
&
&
&
& &
Figura
Durante o vazamento a temperatura do ar vai de T T1 2a
Como o ar se comporta como um gás perfeito
( )h h Te =
6.8. Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas
Os engenheiros usam frequentemente o conceito de eficiência e diferentes definições são empregadas para expressar o
conceito de eficiência.
Eficiência isentrópica envolve a comparação entre o desempenho real de um dispositivo e o desempenho que esse
mesmo dispositivo teria se operasse em condições idealizadas para o mesmo estado na entrada e mesma pressão na saída.
Figura
Comparação entre as expansões reais e isentrópicas para turbina Diagrama de Mollier.
Considerando: uma turbina que opera entre as pressões P P1 2e , com o estado (1) definido por P T1 1e .
: transferência de calor para o ambiente
1 2 0
0
&
: & &
Q
KE PE
=
= =D D
Figura
Volume de Controle na Turbina para balanço de 1a. lei
Balanço de Energia: 0
2 21 2 1 1
1
2
1 2 2
2
2
2= - + + +æèç
ö
ø÷ - + +
æ
èç
ö
ø÷& & & &Q W m h
v gz m h v gzVC
Regime Permanente
Conservação da massa
& & &
&
&
m m m
W
m h hVC
1 2
1 2
= =
= -
Como o estado (1) está fixado e portanto o valor de h1 está definido, o trabalho específico depende apenas do valor deh2 . O trabalho específico será máximo para h2 mínimo.
Balanço de 2a. lei: R.P.
0
0
1 2
1 1 2 2
2 1
= + - +
= - ³
&
& & &
&
&
Q
T m s m s
m s s
a VC
VC
s
s
Nos casos reais todos os processos resultarão em s s2 1> .
O menor valor s2 será obtido para um processo internamente reversível com &sVC = 0 e nesse caso s s2 1= , que
corresponde ao ponto (2s) na figura.
Para essa condição
&
&
W
m h hVC s s
æ
èç
ö
ø÷ = -1 2
A eficiência isentrópica é definidacomo a razão entre o processo real e o processo isentrópico.
ht
VC
VC
s
s
W
m
W
m
h h
h h=
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
= --
&
&
&
&
1 2
1 2
Os valores de h t situam-se na faixa 0,7 - 0,9 (70% a 90%).
Para bocais, usando uma abordagem similar a esta para turbinas obtêm-se
hbocais
s
V
V= æ
èç
ö
ø÷
2
2
2
2
2
2
Lembrar que as condições (estado) de entrada estão fixadas e a pressão na saída é a mesma.
Figura
Bocal operando em regime permanente: (1) entrada e (2) saída
Balanço de massa: R.P. & & &m m m1 2= =
Balanço de energia: 0
2 21 2 1 2 1 1
1
2
1 2 2
2
2
2= - + + +æèç
ö
ø÷ - + +
æ
èç
ö
ø÷& & & &Q W m h
V gz m h V gz
( )h h V V1 2 22 122 2- = -æèç öø÷
Figura
Diagrama T s mostrando o processo (1) - (2)
Como o objetivo dos bocais é proporcionar a maior velocidade de saída ( )v2 , a maior velocidade será obtida para o valor
mínimo de h2 , que de modo similar ao caso das turbinas será obtido em um processo isentrópico.
( )h h V V
V
Vs s boc
s
1 2
1
2
2
2
2
2
2
22 2
2
2
- + = æèç
ö
ø÷ = æ
èç
ö
ø÷
h
Eficiências isentrópicas de 95% ou maiores são comuns para bocais, indicando que para os bons projetos as
irreversibilidades internas são pequenas.
Figuras
Compressor. Ponto (1) entrada, Ponto (2) saída e Diagrama h s,
mostrando os processos, real e isentrópico.
Com D DKE PE= = 0 , o trabalho requerido pelo compressor em Regime Permanente é
0 1 2 1 1 2 2
1 2 2 1
= - + -
= - æèç
ö
ø÷ = -
& & & &
&
&
&
&
Q W m h m h
W
m h h m h h
VC
VC
ou
- WVC
Como h1 está fixado, o menor trabalho requerido será obtido para um menor valor de h2 , que corresponde ao processo
isentrópico s s2 1=
( )( )
-æ
èç
ö
ø÷ = -
= Þ = --
W
m h h
W m
W m
h h
h h
VC
s s
c
VC s
VC
c s
&
& / &
& /
2 1
2 1
2 1
Assim
h h
Lembrar que ambos, numerador e denominador são avaliados para o mesmo estado de entrada e mesma pressão de saída.
Para os compressores h c tem valores típicos na faixa de 75% a 85%.
Para bombas, a eficiência isentrópica é definida de modo similar ( )h b .
Exemplo 6.11 - Uma turbina a vapor opera em R.P. para as condições de entrada P1 = 5 bar, T1 = 320ºC. O vapor deixa a turbina
na pressão de 1 bar. Não há troca de calor significativa entre a turbina e a vizinhança e as variações de energia cinética e potencial
entre a entrada e saída são negligíveis. Para uma eficiência isentrópica de 75% determine o trabalho por unidade de massa,
realizado pela turbina, em (kJ/kg).
Figura
Esquema da turbina e Diagrama h s
( )
h
h
h
tb s
VC
VC
s
VC tb VC
s
VC tb s
h h
h h
W
m
W
m
W
m
W
m
W
m h h
= -- =
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷ = ×
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷ = -
1 2
1 2
2
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
( )
º
1 5
320
1
1
P bars
T C
=
=
h kJ kg
s kJ kgK11
3105 6
7 5308
=
=
, /
, /
( )
( )
,
,
&
&
, , , ,
2 1
7 5308 2743 0
0 75 3105 6 2743 0 271 95
2
1
2s2s
P bar
s kJkgK
h kJkg
W
m
kJ
kg
s
VC
=
= = =
æ
èç
ö
ø÷ = - =
Obs.: Observar que as irreversibilidades atuam como uma penalidade sobre o trabalho da turbina. Neste caso, reduziu em 25%
o trabalho.
Exemplo 6.12 - Uma turbina operando em Regime Permanente recebe ar a uma pressão P1 = 3,0 bars e a uma temperatura T1 =
390 K. O ar deixa a turbina a uma pressão P2 = 1,0 bar. O trabalho realizado é de 74 kJ/kg de ar que escoa pela turbina. A turbina
opera adiabaticamente e as variações de energia cinética e potencial entre a entrada e saída são desprezíveis.
Utilizando o modelo de gás ideal para o ar, determine a eficiência da turbina
Figura
Volume de controle para a Turbina e Diagrama T s
Hipóteses: 1) V.C. mostrado no esquema
2) &Q KE PEVC = = =0 0D D
3) O ar é modelado como gás ideal
A eficiência é a razão entre os trabalhos realizados na expansão real e na expansão isentrópica
Estado (1) definido P bars
T K11
3 0
390
=
=
, h kJ kg
s kJ kgK
Pr
1
1
1
390 88
1 96633
3 481
=
=
=
, /
º , /
,
Como a pressão relativa Pr é função apenas da temperatura, determinando-se Pr 2 , localiza-se o estado (2s).
P
P
P
P
P PP P
P
r
r
r r
r
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1 0
3 0
3 481 11603
=
= ×
= × =,
,
, ,
Da tab. A.16 por interpolaçãoh kJ kgs2 285 27= , /
( )( )
&
&
, , , /
& /
& /
,
,
,
W
m h h kJ kg
W m
W m s
VC s
tb
tb
æ
èç
ö
ø÷ = - = - =
= = =
=
1 2 390 88 285 27 105 61
74 0
105 61 0 70
70%
h
h
Exemplo 6.13
Vapor entra em um bocal que opera em Regime Permanente. As condições de entrada são:P lbl pol e T F eV pé s s1 2 1 1140 600 100= = =/ º / e as condições de saída são: P PSI e T F2 240 350= = º . Não há
troca de calor significativa entre o bocal e a vizinhança e as variações de energia potencial podem ser desprezadas. Determine a
eficiência do bocal.
Figura
Bocal e Diagrama h s
Hipóteses: 1) Volume de controle específico na figura
2) &W PEVC = =0 0D
Solução:
Balanço de energia
( )
( )
( )
h h V V
V h h V
V h h V
V
V
s
s
boc
s
1 2
2
2
1
2
2
2
1 2
1
2
2
2
1 2
1
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
- = -æèç
ö
ø÷
= - +
æ
èç
ö
ø÷ = - +
= æ
èç
ö
ø÷
h
Estados (1)
Tab.A 4E
T F
P PSI11
600
140
=
=
º h BTU lbm
s BTU lbm R11
1326 4
1 7191
=
=
, /
, / º
(2) T F
P PSI22
350
40
=
=
º h BTU lbm2 12118= , /
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
v pes
BTU
lbm
BTU pe lbf BTU pe lbm pes
lbf lbm pes
BTU lbm pes
pe
s
BTU
lbm
V BTU
lbm
BTU
lbm BTU lbm
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
1 778 1 778 1 32 2
1 1 32 2
1 778 32 2
1
778 32 2
2
1326 4 1211 8
100
2 778 32 2
114 8
¢é
ëê
ù
ûú =
é
ëê
ù
ûú
= ¢ Þ = ¢ × × ¢
= × ¢
= × × × ¢
¢æ
èç
ö
ø÷ = ×
æ
èç
ö
ø÷
= - + × =
. ,
,
,
,
, ,
,
, /
v BTU
lbm2
2
2
114 8= ,
O ponto 2s é determinado pela pressão P2 e entropia ( )s ss2 1=
( )
( )
( )
( )
( )
, / º , /
, ,
,
, /
,
,
, ,
. /
. /
2 40
1 7191
1202 3
2
1326 4 1202 3 100
2 779 32 2
124 3
114 8
124 3
0 924 92 4%
2 398
2 495
2
2
2
2
2 2
2
2
s P PSI
s BTU lbm R h BTU lbm
V
x x BTU lbm
V pe s
V pe s
s
s
s
s
bocal
s
=
= =
æ
èç
ö
ø÷ = - + =
= =
=
=
h
Obs.: Um fator importante para as irreversibilidades em bocais é o atrito do fluído que escoa, com as paredes do bocal.
A consequência é uma redução na velocidade de saída.
Exemplo 6.14 - Um compressor de ar operando em Regime Permanente recebe ar a P1 = 0,95 bar e T1 = 22ºC. A razão entre as
pressões de saída e entrada é 6. Não há transferência de calor significativa entre o compressor e a vizinhança e as variações de
energia cinética e potencial entre a entrada e a saída são desprezíveis. Se a eficiência isentrópica do compressor é 82%, determine
a temperatura do ar na saída do compressor. Utilize o modelo de gás ideal para o compressor.
Figura
Volume de controle no Compressor e Diagrama T s, mostrando
o processo.
Hipóteses: 1) O V.C. está mostrado no esquema
2) D DKE PE= = 0
3) Usar modelo de gás ideal
( )
( )
- = -
= -- =
- = -
=
&
,
&
W h h
h h
h h
W h h
P
P
P
P
VC
c s
VC s
r
r
2 1
2 1
2 1
2 1
2
1
2
1
0 82
3
h
Como o estado (1) está definido, da Tabela A-16, com T1 = 295 K, tem-se
h1=295,17 kJ/kg.
A entalpia do ponto 2s, é obtida através de Pr2
Pr2 = 7,841. Com Pr2 obtêm-seda Tabela A-16, por interpolação h2 = 536,4 kJ e T2 = 532 K.
Obs. Por causa das irreversibilidades, o compressor requer um trabalho maior que aquele necessário para o processo isentrópico.