Problemas de calculo vectorial-13

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1.1 Funciones de varias variables 37
242 Considerar la función z = |y| (en el plano Y Z). Probar que la superficie
de revolución que se obtiene al girar esta función alrededor del eje Z
es el cono z =
√
x2 + y2.
243 Determinar la superficie de revolución que se obtiene al girar el se-
mićırculo superior z =
√
a2 − y2 alrededor del eje Z.
244 Determinar la superficie de revolución que se obtiene al girar la cate-
naria z = cosh y alrededor del eje Z.
245 Probar que la superficie z = e−(x
2+y2) es una superficie de revolución.
Esbozar su gráfica.
246 ¿Podŕıa considerarse un plano como una superficie de revolución?
Solución:
241 En este caso la función que gira es f(y) = y2, de modo que la
superficie de revolución que genera será
z = f
(√
x2 + y2
)
=
(√
x2 + y2
)2
= x2 + y2.
242 Del mismo modo que en el apartado anterior, ahora f(y) = |y|,
luego
z =
∣∣∣√x2 + y2∣∣∣ = √x2 + y2.
243 f(y) =
√
a2 − y2 luego
z = f(
√
x2 + y2) =
√
a2 −
(√
x2 + y2
)2
=
√
a2 − x2 − y2,
que corresponde a la superficie esférica para z ≥ 0.
244 f(y) = cosh(y), por tanto z = cosh(
√
x2 + y2).
245 Si consideramos la función f(y) = e−y
2
entonces la superficie de
revolución que genera es precisamente z = e−x
2−y2 . La función e−y
2
se esboza en la Figura 8a, y la superficie de revolución generada al
girar esta curva respecto del eje OZ se muestra en la Figura 8b.
246 La única forma de ver un plano como superficie de revolución seŕıa
rotando una recta perpendicular al eje de giro.
� Para cada una de las curvas siguientes situadas en uno de los planos
coordenados encontrar la ecuación de la superficie generada al girar dicha
curva alrededor del eje indicado. (Indicación: usar los Ejercicios 241–246).
38 Capı́tulo 1 Funciones de varias variables. Lı́mite y continuidad38 Capı́tulo 1 Funciones de varias variables. Lı́mite y continuidad38 Capı́tulo 1 Funciones de varias variables. Lı́mite y continuidad
−2 −1 0 1 2
0
0.5
1
(a) Función f(y) = e−y
2
−2
0
2−2
0
2
0
0.5
1
(b) Superficie e−x
2−y2
Figura 8: Ejercicio 245
247 x = 2z2, eje X.
248 4x2 + 9y2 = 36, eje Y .
249 y2 − z2 = 1, eje Z.
250 yz = 1, eje Z.
251 z = 2x, eje Z.
252 z = 2x, eje X.
� Esbozar la gráfica de las siguientes funciones, estudiando previamente sus
curvas de nivel y secciones.
253 f(x, y) = x+ y.
254 f(x, y) = x2 − y2.
255 f(x, y) =
√
xy.
256 f(x, y) = x2 + 4y2.
257 f(x, y) = x2 + y2 + 1.
258 f(x, y) = 1− x2 − y2.
259 f(x, y) = x3 − x.
260 f(x, y) =
√
100− x2 − y2.
261 f(x, y) = (x2 + y2)1/2.
262 f(x, y) = 1− |x| − |y|.
263 f(x, y) = log(x2 + y).
264 f(x, y) = senx.
� Describir las superficies de nivel de las siguientes funciones:
265 f(x, y, z) = x+ y + z.
266 f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
267 f(x, y, z) = x2 + y2 − z2.
268 f(x, y, z) = x+ y2 + z2.
1.2 Lı́mites y continuidad 39
1 2
ĹIMITES Y CONTINUIDAD
� Calcular los siguientes ĺımites dobles:
269 ĺım
(x,y)→(0,1)
x2y2.
270 ĺım
(x,y)→(0,1)
exy.
271 ĺım
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2y2
.
272 ĺım
(x,y)→(0,0)
sen(xy)
xy
.
273 ĺım
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
.
274 ĺım
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
.
275 ĺım
(x,y)→(0,0)
2xy3
x2 + y4
.
276 ĺım
(x,y)→(0,0)
x6
(x2 − y)2 + y6 .
277 ĺım
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
.
278 ĺım
(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y2
.
279 ĺım
(x,y)→(0,0)
exy − 1
xy
.
280 ĺım
(x,y)→(0,0)
xy + y2
x2 + y2
.
281 ĺım
(x,y)→(0,1)
(1 + |x|)|xy|
−1
.
282 ĺım
(x,y)→(0,0)
x2y3
x4 + y6
.
283 ĺım
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y4
.
284 ĺım
(x,y)→(0,0)
x3y2
x2 + y2
.
285 ĺım
(x,y)→(0,0)
exy − 1
x
.
286 ĺım
(x,y)→(0,0)
x4 − y
x− y4 .
287 ĺım
(x,y)→(0,0)
xy
2x2 + y2
.
288 ĺım
(x,y)→(0,0)
x2y + xy2
x3 + y3
.
289 ĺım
(x,y)→(0,0)
(
1 + x2 + y2
)(x2+y2)−1
.
290 ĺım
(x,y)→(−1,1)
x2 + 2xy2 + y4
x+ y2
.
291 ĺım
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) log(x2 + y2).
292 ĺım
(x,y)→(1,−1)
x2 + y2 − 2x− 2y
x2 + y2 − 2x+ 2y + 2 .
293 ĺım
(x,y)→(0,0)
√
1 + x3 − y3 − 1
arc sen(x2 + y2 + x)− arc senx .
294 ĺım
(x,y)→(0,0)
6xy3 − x2y
y4 + x2
.
	Funciones de varias variables. Límite y continuidad
	Límites y continuidad