Superficies 01 Identificación - Axel

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SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
 
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Existen muchas maneras diferentes y válidas para definir a una superficie. Para los fines de este curso, se presenta 
la siguiente definición: 
 
 
“Es el lugar geométrico de todos los puntos que se mueven en el espacio de tres dimensiones con dos grados de 
libertad de acuerdo con su ecuación” 
 
𝐹(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 0 
 
 
Lo anterior implica que un punto perteneciente a la superficie se puede definir si conocemos el valor de dos de 
sus coordenadas cartesianas, y la tercera deberá encontrarse utilizando la ecuación. 
 
 
Esto nos dice que una superficie sólo requiere de una ecuación cartesiana para estar perfectamente definida. 
 
 
Pero cuidado, no todas las ecuaciones del tipo 𝐹(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) = 0 representan a una superficie. 
 
 
𝑥2 + 2𝑦2 + 5𝑧2 = 0 
 
Es sólo un punto 
2𝑥2 + 3𝑦2 + 7𝑧2 = −4 
 
No representa nada 
𝑥2 + 4𝑦2 + 2𝑧2 = 16 
 
Es un elipsoide 
 
 
Por supuesto que cuando empezamos el estudio de las superficies, nos atemoriza el no saber reconocer la 
superficie que representa una ecuación cartesiana. 
 
 
Para ir afianzando las ideas, necesitamos aprender cómo se construye cualquier superficie, y después empezar 
por conocer superficies a partir de curvas que ya dominamos. 
 
 
En geometría analítica de dos dimensiones, ya utilizamos una directriz que servía de guía a todos los puntos de 
una curva que cumplieran con alguna relación pre-establecida. 
 
 
En superficies haremos algo completamente similar, pero como los puntos se mueven en tres dimensiones, 
tendremos que apoyarnos en dos tipos de curva para poder describir a la superficie. 
 
SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
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CURVA DIRECTRIZ Y CURVA GENERATRIZ 
 
 
Curva directriz: es una curva fija, que define la dirección en la que habrá de moverse otra curva, para con ese 
desplazamiento definir a la superficie. 
 
 
Curva generatriz: es una curva que se desplaza tocando siempre a la directriz, y al hacerlo modifica su tamaño y 
posición, y con ello dando origen a una superficie. 
 
 
En algunas ocasiones, se necesitara más de una directriz que guie a la generatriz. Eso depende de la complejidad 
de la superficie. 
 
 
Empecemos con un ejemplo sencillo, un cilindro circular recto. 
 
 
 
En este cilindro, la directriz es la línea recta horizontal en color rojo. 
 
 
La generatriz es la circunferencia en color morado, que cuando se desplaza paralelamente a ella misma, tocando 
siempre a la recta directriz, genera el cilindro circular recto. 
 
 
En la imagen podemos ver muchas circunferencias paralelas a la generatriz, que en su desplazamiento generan la 
superficie del cilindro. 
 
 
Pero el mismo cilindro puede generarse de otra forma diferente. 
 
SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
 
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Ahora utilizaremos como directriz a la circunferencia en color rojo. 
 
 
 
 
La generatriz es la recta en color morado, perpendicular al plano que contiene a la circunferencia. 
 
 
Cuando la recta se mueve paralelamente a ella misma, pero tocando siempre a la circunferencia, se genera el 
cilindro circular recto. 
 
 
Este ejemplo ya nos brinda una conclusión importante: existen muchas maneras de generar a una superficie, basta 
con elegir directriz y generatriz diferentes. 
 
 
Sin embargo, una adecuada selección de la directriz y la generatriz, harán nuestro trabajo algebraico mucho más 
amigable. 
 
 
¿Cómo se eligen las curvas directriz y generatriz? Es absolutamente necesario conocer de antemano la geometría 
de la superficie. 
 
 
Para conocerlas, haremos uso de la siguiente clasificación, que aunque no es completamente universal, nos 
ayudará en nuestro estudio. 
 
 
SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
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CLASIFICACIÓN DE SUPERFICIES 
 
 
Superficies alabeadas. Se llaman así a aquellas que no puedan estar contenidas en un plano. 
 
 
 
 
 
Superficies cilíndricas. Son aquellas que tienen por directriz a una curva contenida en un plano, y por generatriz, 
rectas paralelas entre sí. 
 
 
 
 
 
 
Superficies cónicas. Son aquellas que tienen por directriz a una curva contenida en un plano, y generatriz, rectas 
coincidentes en un punto llamado vértice. 
 
 
 
 
 
SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
 
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Superficies regladas. Son aquellas que se generan utilizando rectas. En automático, todas las superficies 
cilíndricas y cónicas caen dentro de este apartado, pero no son las únicas. 
 
 
 
 
 
 
 
Superficies de revolución. Son aquellas que se generan al hacer girar una curva, llamada meridiana, alrededor 
de un eje de giro. Por lo tanto, tienen contenidas muchas circunferencias paralelas entre sí, perpendiculares al eje 
de giro. 
 
 
 
 
SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
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Superficies cuádricas. Son las superficies que provienen de la utilización de las curvas cónicas en dos 
dimensiones (parábola, elipse e hipérbola) para construir mediante una combinación de ellas a la superficie. 
 
Por lo tanto, su ecuación cartesiana es una generalización de la ecuación cartesiana de las cónicas pero ahora en 
tres dimensiones, la cual luce así: 
 
 
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑥𝑧 + 𝐹𝑦𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 
 
 
Los términos mixtos indican una rotación con relación a los ejes de referencia que se estén utilizando. Si la 
superficie se alinea con los ejes cartesianos, estos términos mixtos no aparecerán en la ecuación. 
 
 
Los términos lineales indican traslación con relación a los ejes de referencia que se estén utilizando. Si el centro 
de la superficie se encuentra en el origen de coordenadas, estos términos lineales no aparecerán en la ecuación. 
 
 
Los términos cuadráticos junto con el término independiente, son los que determinan el tipo de superficie 
cuadrática que se forma, como ocurre con las cónicas en dos dimensiones. 
 
 
Si las tres variables son cuadráticas, tendremos combinación de elipses y/o hipérbolas. 
 
 
Si tenemos dos variables cuadráticas pero la tercera no es cuadrática, aparecerán parábolas en la superficie. 
 
 
Con todo esto en mente, podremos distinguir las siguientes superficies cuádricas: 
 
 
Esfera. Todos los puntos de la superficie se 
encuentran a la misma distancia r, conocida como 
radio, desde el centro C. 
 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2 
 
En la figura podemos ver las tres circunferencias 
centrales de la esfera, alineadas con los planos 
cartesianos de referencia. 
 
Una esfera nunca tendrá términos mixtos. 
 
 
 
SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
 
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Elipsoide. Desde el centro C, se forman radios de 
diferentes tamaños a la superficie. 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
En la figura podemos ver las tres elipses centrales del 
elipsoide, alineadas con los planos cartesianos de 
referencia. 
 
Si las elipses centrales no se alinean con los ejes 
coordenados, aparecen términos mixtos en la 
ecuación. 
 
 
 
Hiperboloide de un manto. Desde el centro C, se 
forman una elipse y dos hipérbolas. Con los ejes que 
se muestran, la ecuación cartesiana es 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
El valor de c, nos sirve para determinar la pendiente 
de las asíntotas de cada una de las hipérbolas centrales. 
 
Si la elipse y las hipérbolas centrales no se alinean con 
los ejes coordenados, aparecen términos mixtos en la 
ecuación. 
 
 
 
Hiperboloide de dos mantos. Desde el centro C, se 
forman dos hipérbolas. Con los ejes que se muestran, 
la ecuación cartesiana es 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
Los valores de b y c sirven para determinar la 
pendiente de las asíntotas de cada una de las hipérbolas 
centrales. 
 
Cuando el valor de x es mayor al valor a, se forman 
elipses perpendiculares al eje X. 
SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
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Paraboloide elíptico. A partir del vértice V, se forman 
dos parábolas con el mismo vértice cóncavas hacia el 
mismo lado. 
 
Tocando siemprea ambas parábolas, se forman elipses 
paralelas al plano XY. 
 
Con los ejes que se muestran, la ecuación cartesiana es 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 𝑧 
 
 
 
Paraboloide hiperbólico. También conocido como 
“silla de montar”, es una superficie con un centro C 
 
Desde el centro C, se forman dos parábolas con el 
mismo vértice pero opuestas una a la otra, y con un 
giro de 90° entre ambas. 
 
Tocando siempre a la parábola roja, se forman 
hipérbolas cóncavas hacia X paralelas al plano XY. 
 
Tocando siempre a la parábola verde, se forman 
hipérbolas cóncavas hacia Y paralelas al plano XY. 
 
Con los ejes que se muestran, la ecuación cartesiana es 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 𝑧 
 
 
Degeneraciones de todas las anteriores. Dependiendo de la combinación de coeficientes en la ecuación general 
 
 
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑥𝑧 + 𝐹𝑦𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 
 
 
Se podrían formar planos sencillos o en parejas, conos, rectas, puntos e incluso ecuaciones que no representan 
ningún lugar geométrico real. 
 
SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
 
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IDENTIFICACIÓN DE UNA SUPERFICIE EN FORMA CARTESIANA 
 
En Geometría Analítica, una de las actividades básicas es identificar el lugar geométrico que representa una 
ecuación. A partir de ello, se pueden establecer de manera más adecuada otros conceptos físicos y matemáticos. 
 
 
Actualmente, la tecnología a nuestro alcance permite visualizar rápidamente estas gráficas de superficies. Sin 
embargo, debemos tener presente que los programas de cómputo sólo son herramientas para facilitarnos el trabajo 
cotidiano, pero bajo ninguna circunstancia sustituyen al ingenio y el razonamiento humano. 
 
 
Si entendemos como es una superficie y como se forma, podremos elegir las ecuaciones más convenientes para 
un problema en particular. Esto incluso, podrá ayudarnos a optimizar el uso del programa de cómputo elegido 
para trabajar. 
 
 
¿Es difícil identificar una superficie? Puede ser una tarea tan simple o tan complicada, como la complejidad de 
su ecuación, ya que se trata de saber cuál es su forma y desarrollo en toda su extensión. 
 
 
No existe un método universal para identificar una superficie. Incluso se han elaborado guías para identificar 
superficies cuadráticas. 
 
 
Pero nada puede re-emplazar a la imaginación y el razonamiento del analista, por lo que esas son las mejores 
herramientas para una buena identificación de superficies. 
 
 
Por ejemplo, nos piden identificar la superficie de ecuación 36𝑥2 + 16𝑦2 − 9𝑧2 − 144 = 0 
 
 
Como no tiene mixtos la superficie se encuentra alineada con los ejes cartesianos X, Y, Z. 
 
 
También se observa la falta de términos lineales, por lo tanto se encuentra centrada con el origen de coordenadas. 
 
 
Finalmente, para ayudarnos en el análisis, dividimos toda la ecuación entre 144 y reacomodamos los términos así 
 
𝑥2
4
+
𝑦2
9
−
𝑧2
16
= 1 
 
 
 
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Para reconocer las curvas centrales, basta con hacer cero a cualquiera de los tres términos cuadráticos: 
 
Si 𝑥 = 0 
 
𝑦2
9
−
𝑧2
16
= 1 
 
Hipérbola cóncava hacia Y 
 
Si 𝑦 = 0 
 
𝑥2
4
−
𝑧2
16
= 1 
 
Hipérbola cóncava hacia X 
Si 𝑧 = 0 
 
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 1 
 
Elipse radio 2 en X, radio 3 en Y 
 
 
 
 
 
Con esta información podemos concluir que se trata de 
un hiperboloide elíptico de un manto con centro en el 
origen 𝐶( 0 , 0 , 0 ) y el eje Z es el eje del hiperboloide. 
 
 
Los intervalos de trabajo para cada variable son: 
 
𝑥 ∈ (−∞ , −2 ] ∪ [ 2 , ∞ ) 
 
𝑦 ∈ (−∞ , −3 ] ∪ [ 3 , ∞ ) 
 
𝑧 ∈ ℝ 
 
 
 
 
 
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Si en nuestro ejemplo trasladamos al centro a las 
coordenadas 𝐶( −2 , 1 , −3 ) la ecuación del 
hiperboloide luce así 
 
( 𝑥 + 2 )2
4
+
( 𝑦 − 1 )2
9
−
( 𝑧 + 3 )2
16
= 1 
 
 
Los intervalos de trabajo para cada variable son: 
 
𝑥 ∈ (−∞ , −4 ] ∪ [ 0 , ∞ ) 
 
𝑦 ∈ (−∞ , −2 ] ∪ [ 4 , ∞ ) 
 
𝑧 ∈ ℝ 
 
 
 
Es el mismo hiperboloide pero se encuentra en una posición diferente respecto del sistema cartesiano de referencia 
utilizado. 
 
 
 
 
Ahora analicemos la siguiente ecuación 9𝑥2 + 4𝑧2 − 36𝑦 = 0 
 
 
Lo primero que se observa es la ausencia del término cuadrático en la variable y, por lo tanto, la superficie tiene 
parábolas en su construcción. 
 
 
Para ayudarnos en el análisis, reacomodamos la ecuación de manera que los términos cuadráticos se encuentren 
de un lado de la igualdad, mientras que en el otro estarán los términos lineales e independientes. 
 
 
9𝑥2 + 4𝑧2 = 36𝑦 
 
 
Como ninguna de las tres variables presenta traslaciones, el vértice de la superficie se encuentra en el origen 
cartesiano 𝑉(0 , 0 , 0) 
 
 
 
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Para reconocer las curvas centrales, basta con hacer cero a cualquiera de los tres términos cuadráticos: 
 
Si 𝑥 = 0 
 
4𝑧2 = 36𝑦 
 
Parábola cóncava hacia Y 
 
Si 𝑦 = 0 
 
9𝑥2 + 4𝑧2 = 0 
 
Elipse de radios cero (un 
punto) 
Si 𝑧 = 0 
 
9𝑥2 = 36𝑦 
 
Parábola cóncava hacia Y 
 
 
 
 
Con esta información podemos concluir que se trata de 
un paraboloide elíptico cóncavo hacia las Y positivas 
con vértice en el origen 𝑉( 0 , 0 , 0 ) y el eje del 
paraboloide es el eje Y 
 
 
Los intervalos de trabajo para cada variable son: 
 
𝑥 ∈ ℝ 
 
𝑦 ∈ [ 0 , ∞ ) 
 
𝑧 ∈ ℝ 
 
 
 
A medida que nos alejamos del vértice hacia la variable y, se forman elipses paralelas al plano XZ concéntricas 
sobre el eje Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUPERFICIES: IDENTIFICACIÓN 
 
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En resumen, cuando identificamos una superficie cuadrática en forma cartesiana, primero agrupamos todos los 
binomios al cuadrado existentes, y el resto de las variables y constantes se dejan en la segunda parte de la igualdad. 
 
 
Desde ahí, sólo debemos recordar y asociar nuestros conocimientos de cónicas en dos dimensiones, para ir 
trazando las curvas centrales de la superficie. 
 
 
Con un poco de sentido común, podremos identificar las combinaciones de las curvas y, por lo tanto, identificar 
a la superficie. 
 
 
En las siguientes ilustraciones podemos ver algunas superficies cotidianas, que con un poco de práctica, todos 
podremos analizar con el método anteriormente descrito. 
 
 
Para la ecuación cartesiana 𝑦2 − 4𝑥2 − 8𝑥 − 4𝑧 = 12 
 
 
Completando los cuadrados se tiene la ecuación 
 
 
𝑦2 − 4(𝑥 + 1)2 = 4(𝑧 + 2) 
 
 
Que es un paraboloide hiperbólico con centro en 
𝐶(−1 , 0 , −2) y el eje del paraboloide es una recta 
paralela al eje Z 
 
 
Sus parábolas centrales son cóncavas hacia Z. La 
parábola verde es paralela al plano YZ y cóncava 
hacia arriba, mientras que la parábola amarilla es 
paralela al plano XZ y es cóncava hacia abajo. 
 
 
Ambas comparten al mismo vértice y al eje del paraboloide, pero entre ellas hay una rotación de 90° 
 
 
Las tres variables se mueven libremente en todos los números reales. 
 
 
 
 
 
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Para la ecuación cartesiana 𝑥2 − 4𝑦2 − 9𝑧2 = 36 
 
Su forma ordinaria luce así 
 
 
𝑥2
36
−
𝑦2
9
−
𝑧2
4
= 1 
 
 
Que es un hiperboloide elíptico de dos hojas con 
centro en 𝐶(0 , 0 , 0) y el eje del paraboloide es el 
eje X 
 
 
Sus hipérbolas centrales son cóncavas hacia X, compartiendo a los vértices y al eje del hiperboloide. Cuando nos 
alejamos más allá de los vértices sobre el eje X, se forman elipses concéntricas paralelas al plano YZ. 
 
 
Sus intervalos de variación son: 𝑥 ∈ (−∞ , −6 ] ∪ [ 6 , ∞ ) ; 𝑦 ∈ ℝ ; 𝑧 ∈ ℝ 
 
 
 
 
Para la ecuación cartesiana ordinaria 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 25 
 
Podríamos pensar que se trata de una circunferencia con centro 
en el origen y radio 5. 
 
 
Sin embargo, trabajando con tres dimensiones, la variable z que 
no aparece en la ecuación tendrá completa libertad de 
movimiento, por loque tenemos muchas circunferencias de radio 
5, paralelas al plano XY y concéntricas con el eje del cilindro. 
 
 
Estamos ante un cilindro circular recto de radio 5, y sus 
intervalos de trabajo son 
 
𝑥 ∈ [ −5 , 5 ] ; 𝑦 ∈ [ −5 , 5 ] ; 𝑧 ∈ ℝ 
 
 
 
 
 
 
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Para la ecuación ordinaria 3𝑦2 + 12𝑦 + 6𝑧 + 18 = 0 empezamos por agruparla en su forma ordinaria 
 
 
(𝑦 + 2)2 = −2(𝑧 + 1) 
 
Trabajando con tres dimensiones, la variable x que 
no aparece en la ecuación tendrá completa libertad 
de movimiento, por lo que tenemos muchas 
parábolas cóncavas hacia Z negativas, paralelas al 
plano YZ, con sus vértices sobre la recta amarilla 
que es paralela al eje X 
 
 
Es un cilindro parabólico, con intervalos de trabajo 
 
𝑥 ∈ ℝ ; 𝑦 ∈ ℝ ; 𝑧 ∈ (−∞ , −1 ] 
 
 
 
El estudio sobre la descripción de una superficie es un trabajo constante y disciplinado, pero el esfuerzo bien vale 
la pena cuando llevamos esta información al campo de Cálculo Diferencial, Integral y Vectorial, porque a partir 
de ahí, el infinito se abre ante nuestros ojos.