Herramientas algenbra lineal (54)

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160 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
Solución:
Observamos que f 2 − 2f + I = (f − I)2 = 0.
Por lo que (t − 1)2 es un polinomio tal que al cambiar la variable por el endomor-
fismo obtenemos el endomorfismo cero. Por lo que dicho polinomio es múltiplo del
polinomio anulador mı́nimo.
Ahora bien por hipótesis sabemos que f 6= I. Por lo que el polinomio anulador
mı́nimo no puede ser t− 1 (de lo contrario f − I = 0 contra la hipótesis).
Aśı pues polinomio anulador mı́nimo es: pf (t) = (t− 1)2 .
En cuanto al polinomio caracteŕıstico, sabemos que es de grado n, múltiplo del
polinomio anulador mı́nimo y con las misma ráıces.
Por lo tanto, el polinimio caracteŕıstico es
Qf (t) = (t− 1)n.
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29. Construir un endomorfismo de R3 tal que su polinomio anulador mı́nimo sea
t2(t− 3).
Solución:
Puesto que el polinomio anulador mı́nimo no es producto de factores lineales de
multiplicidad uno, este endomorfismo no diagonaliza.
Los valores propios de dicho endomorfimo son 0 de multiplicidad 2 y 3 de multi-
plicidad 1. Por lo que un posible endomorfismo con estas condiciones puede ser el
siguiente
f : R3 −→ R3
(x, y, z) −→ (0, x, 3z)
cuya matriz en la base canónica es
A =
0 0 01 0 0
0 0 3

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en la que es fácil probar que verifica las condiciones exigidas.
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30. Sea A ∈M3(R) una matriz que tiene a 1 como valor propio doble y a 1/2 como
valor propio simple. Utilizando el teorema de Cayley-Hamilton, calcular:
2A4 − 7A3 + 9A2 − 5A+ I.
Solución:
Como que las ráıces del polinomio caracteŕıstico deA son los valores propios contados
con su multiplicidad tenemos que
P (λ) = (1− λ)2(1/2− λ)) = −(λ3 − 5/2λ2 + 2λ− 1/2)
Por el Teorema de Cayley-Hamilton se verifica que
−(A3 − 5/2A2 + 2A− 1/2I) = 0
⇒ 2A3 − 5A2 + 4A− I = 0 ⇒ 2A4 − 5A3 + 4A2 − A = 0
Por tanto
2A4 − 7A3 + 9A2 − 5A+ I = (2A4 − 5A3 + 4A2 − A)− (2A3 − 5A2 + 4A− I) = 0.
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162 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS