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Caṕıtulo 7
Endomorfismos ortogonales y
simétricos
Cuando los matemáticos posteriores a Descartes desarrollaron la geometŕıa anaĺıtica
no se dieron cuenta que el concepto de perpendicularidad era independiente del
concepto de paralelismo. Fue a principios del siglo XIX, con el estudio de la geometŕıa
proyectiva y las geometŕıas no eucĺıdeas cuando se observó su independencia del
espacio métrico y se desarrollaron los conceptos de producto escalar, vectorial y
producto interno que se culminaron con los trabajos de Hilbert (1862-1943), en los
que definió el concepto de perpendicularidad y norma, en base a los ya iniciados por
Grassmann y de Gram (1850-1916) con su proceso de ortogonalización que construye
un conjunto ortogonal de vectores a partir de un conjunto independiente.
Cauchy valoró el problema del valor propio en la obra de Euler, Lagrange y Laplace
para determinar los “ejes principales”de una forma cuadrática con n variables. En
1826, abordó el problema de la reducción de la forma cuadrática en tres variables y
demostró que la ecuación caracteŕıstica es invariante para cualquier cambio en los
ejes rectangulares.
En 1829 Cauchy prueba que los valores propios de una matriz simétrica son reales.
Las matrices Hermı́ticas (A = Āt) fueron introducidas por Hermite (1822-1901). Fro-
benius, en 1878, prueba la diagonalizabilidad ortogonal de las matrices simétriacas,
extendiendo en 1883 la demostración a matrices unitarias (AĀt = I). El teorema
para matrices normales (AĀt = ĀtA) es debido a Toeplitz (1881-1940).
163
164 CAPÍTULO 7. ENDOMORFISMOS ORTOGONALES Y SIMÉTRICOS
Ejercicios
1. Dados los endomorfismos f1, f2 de R2, las matrices de los cuales, en la base
canónica de R2, son:
A1 =
(
4 6
9 1
)
, y A2 =
(
14 6
1 9
)
Determinar sus endomorfismos adjuntos.
Solución:
Puesto que la base canónica es ortonormal, las matrices en dicha base, de las apli-
caciones adjuntas son las traspuestas de las matrices dadas.
Esto es, la matriz en la base canónica de la aplicación adjunta de f1 es
At1 =
(
4 9
6 1
)
.
Y la matriz en la base canónica de f2 es
At2 =
(
14 1
6 9
)
.
— — —
2. Dados los endomorfismos f1, f2 de R3 cuyas matrices en la base canónica de R3,
son:
A1 =
4 −8 30 1 0
4 3 7
 , A2 =
1 2 −34 1 2
0 0 1

determinar sus endomorfismos adjuntos.
Solución:
Al igual que en el problema anterior, puesto que la base canónica es ortonormal las
matrices en dicha base, de los endomorfismos adjuntos de los dados son las matrices
traspuestas de las dadas.
165
Por lo que la matriz en la base canónica de la aplicación adjunta de f1 es
At1 =
 4 0 4−8 1 3
3 0 7
 .
Y la matriz en la base canónica de la aplicación adjunta de f2 es
At2 =
 1 4 02 1 0
−3 2 1
 .
— — —
3. Estudiar si son, o no, ortogonales, los endomorfismos f1, f2, f3, f4 de R2 cuyas
matrices, en la base canónica de R2, son:
a) A1 =
(
2 1
1 1
)
, b) A2 =
(
0 −1
1 0
)
,
c) A3 =
(
1√
2
− 1√
2
1√
2
1√
2
)
, d) A4 =
(
1
2
√
3
2
−
√
3
2
1
2
)
En caso afirmativo, decir que transformación representan.
Solución:
Puesto que las matrices están expresadas en bases ortonormales, para saber si los
endomorfismos son o no ortogonales basta calcular el producto de cada una de ellas
por su traspuesta y ver si el resultado es la identidad.
a)
At1A1 =
(
2 1
1 1
)(
2 1
1 1
)
=
(
5 3
3 2
)
6=
(
1 0
0 1
)
.
Luego f1 no es ortogonal.
b)
At2A2 =
(
0 1
−1 0
)(
0 −1
1 0
)
=
(
1 0
0 1
)
.