Herramientas algenbra lineal (5)

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Solución:√
(1 +
√
3i)60
(−1 + i)20
=
√
z1 · z2 con
z1 = (1 +
√
3i)60 y
z2 =
1
(−1 + i)20
=
(−1− i)20
(−1 + i)20(−1− i)20
=
(
−1− i
2
)20
z1 = (r1(cosα1 + isenα1))
60 = (2(cos
π
3
+ isen
π
3
))60 = 260(cos
60π
3
+ isen
60π
3
) = 260
z2 = (r2(cosα2 + isenα2))
20 = (
√
2
2
(cos
5π
4
+ isen
5π
4
))20 = (
√
2
2
)20(cos 20
5π
4
+
isen 20
5π
4
) = − 1
210
√
z1z2 =
√
260(− 1
210
) =
√
−250 = ±225i.
— — —
5. Encontrar z ∈ C tales que z2 = (1 + i)2.
Solución:
z =
√
(1 + i)2 = ±(1 + i).
— — —
6. Calcular las ráıces cuartas de z = −16i.
Solución:
r =
√
(−16)2 = 16 = 24 y α = 3π
2
.
Por lo tanto las ráıces cuartas de dicho número son:
4
√
z =
4
√
24(cos
3π
2
+ 2kπ
4
+ isen
3π
2
+ 2kπ
4
) para k = 0, 1, 2, 3.
14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES: NÚMEROS COMPLEJOS, POLINOMIOS
Esto es:
z1 = 2(cos
3π
8
+ isen
3π
8
), z3 = 2(cos
11π
8
+ isen
11π
8
),
z2 = 2(cos
7π
8
+ isen
7π
8
), z4 = 2(cos
15π
8
+ isen
15π
8
).
— — —
7. Si u es una de las tres ráıces cúbicas de −1
2
+
√
3
2
i, y w es una ráız cuadrada de
1
2
−
√
3
2
i, determinar 2iwu2.
Solución:
u =

cos
2π
9
+ isen
2π
9
= e
2π
9
i
cos
8π
9
+ isen
8π
9
= e
8π
9
i
cos
14π
9
+ isen
14π
9
= e
14π
9
i
w =

cos
5π
6
+ isen
5π
6
= e
5π
6
i
cos
11π
6
+ isen
11π
6
= e
11π
6
i
Realizando el producto 2iwu2, tenemos:
2iwu2 ∈ {2ei
16π
9 , 2ei
25π
9 , 2ei
28π
9 , 2ei
37π
9 , 2ei
22π
9 , 2ei
31π
9 }.
— — —
8. Probar que sólo existen dos números complejos tales que su suma es igual a 2 y
su producto es igual a
3
4
.
Solución:
Pongamos z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i.
z1 + z2 = 2
z1z2 =
3
4
}
⇒
(a1 + a2) + (b1 + b2)i = 2
(a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i =
3
4
}
15
b1 + b2 = 0
a1 + a2 = 2
a1a2 − b1b2 =
3
4
a1b2 + a2b1 = 0
 ⇒ b1 = b2 = 0, a1 =
1
2
, a2 =
3
2
Luego dichos números son reales y son:
z1 =
1
2
, z2 =
3
2
.
— — —
9. Determinar el valor de α ∈ R para el cual 3 + 2i
1− i
+ αi es un número real.
Solución:
3 + 2i
1− i
+ αi =
3 + 2i
1− i
+
αi(1− i)
1− i
=
(3 + α) + (2 + α)i
1− i
=
((3 + α) + (2 + α)i)(1 + i)
2
=
1
2
+
5 + 2α
2
i
Para que este número sea real ha de ser 5 + 2α = 0. Por lo que
α = −5
2
.
— — —
10. ¿Para qué valores de la constante a ∈ R el polinomio p(t) = t5 +at4 +7t3−2t2 +
4t − 8, tiene 2 como ráız múltiple? Análogamente para q(t) = t5 − 6t4 + at3 − 8t2.
¿Cuál es su multiplicidad en cada caso?
Solución:
Apliquemos Ruffini con t = 2
1 a 7 -2 4 -8
2) 2 4+2a 22+4a 40+8a 88+16a
1 2+a 11+2a 20+4a 44+8a (80+16a