Herramientas algenbra lineal (11)

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Entonces 2a = a si y sólo si a = 0.
Impongamos ahora que a = 0 y comprobemos si λ(x1, x2, x3, x4) ∈ F2
λx1 − λx2 = λ(x1 − x2 = λ(x3 − x4) = λx3 − λx4 = 0
Luego F2 es un subespacio vectorial si y sólo si a = 0.
iii) Sean (x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3, y4) ∈ F3 y λ ∈ R.
Como (x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3, y4) ∈ F3, entonces (x1 − x2)(x2 − x3) = ab y (y1 −
y2)(y2 − y3) = ab.
Veamos si (x1, x2, x3, x4) + (y1, y2, y3, y4) ∈ F3
((x1+y1)−(x2+y2))((x2+y2)−(x3+y3)) = ((x1+y1)−(x2+y2))((x2+y2)−(x3+y3)) =
(x1−x2)(x2−x3)+(y1−y2)(y2−y3)+(x1−x2)(y2−y3)+(y1−y2)(x2−x3) 6= ab ∀a, b ∈ R
Luego F3 no es un subespacio vectorial.
4. Consideremos las siguientes familias de vectores de R4:
a) {(1, 1, 2, 2), (2, 1, 3, 4), (1, 0, 7, 1)}
b) {(1,−1, 2, 2), (−2,−1, 3, 4), (1, 0, 7, 1)}
c) {(1, 1, 2, 2), (−2, 1,−3, 4), (−1, 2,−1, 6)}
Dar la dimensión del subespacio que engendran, aśı como una base de este subes-
pacio.
Solución:
a) Planteamos la siguiente ecuación vectorial:
λ1(1, 1, 2, 2) + λ2(2, 1, 3, 4) + λ3(1, 0, 7, 1) = (0, 0, 0, 0)
Resolviendo el sistema tenemos λ1 = λ2 = λ3 = 0. Luego, los tres vectores son
linealmente independientes y, por tanto, forman una base de este subespacio.
b) Planteamos la siguiente ecuación vectorial:
λ1(1,−1, 2, 2) + λ2(−2,−1, 3, 4) + λ3(1, 0, 7, 1) = (0, 0, 0, 0)
Resolviendo el sistema tenemos λ1 = λ2 = λ3 = 0. Luego, los tres vectores son
linealmente independientes y, por tanto, forman una base de este subespacio.
c) Observamos que:
32 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
(1, 1, 2, 2) + (−2, 1,−3, 4) = (−1, 2,−1, 6)
Luego, el tercer vector es dependiente de los dos primeros. Ahora planteamos la
ecuación vectorial siguiente.
λ1(1, 1, 2, 2) + λ2(−2, 1,−3, 4) = (0, 0, 0, 0).
Resolviendo el sistema tenemos λ1 = λ2 = 0. Luego, los dos vectores son linealmente
independientes y, por tanto, una base de este subespacio es la formada por esos dos
vectores: {(1, 1, 2, 2), (−2, 1,−3, 4)}.
— — —
5. En R5 consideremos los subespacios vectoriales siguientes:
F = [(1, 0, 1, 2,−2), (3, 1,−1, 0, 2), (2, 1,−2,−2, 4), (0, 0, 0, 2, 1)],
G = [u].
a) Encontrar una base de F .
b) ¿Es dim(F + [u])− dimF = dim[u]?
Solución:
a) Observamos que −(1, 0, 1, 2,−2)+(3, 1,−1, 0, 2) = (2, 1,−2,−2, 4), luego el tercer
vector es dependiente de los dos primeros.
Ahora bien resolviendo el sistema λ1(1, 0, 1, 2,−2)+λ2(3, 1,−1, 0, 2)+λ3(0, 0, 0, 2, 1) =
(0, 0, 0, 0, 0), tenemos λ1 = λ2 = λ3 = 0.
Luego una base de F es {(1, 0, 1, 2,−2), (3, 1,−1, 0, 2), (0, 0, 0, 2, 1)}
b) dim(F + [u])− dimF = dimF + dim[u]− dim(F ∩ [u])− dimF =
= dim[u]− dim(F ∩ [u]).
Por lo que dim(F + [u])− dimF = dim[u] si y sólo si F ∩ [u] = {0}.
— — —
6. Encontrar la dimensión del subespacio vectorial de R6:
Fa = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) | ax1 + x4 = ax2 + x5 = ax3 + x6 = 0}
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según los diferentes valores de a ∈ R.
Solución:
Calculemos la dimensión del espacio Fa.
Las condiciones que definen F dicen x4 = −ax1, x5 = −ax2 y x6 = −ax3, por lo
que, todo vector v = (x1, x2, x3, x4, x5, x6) ∈ F es de la forma
v = (x1, x2, x3,−ax1,−ax2,−ax3) =
x1(1, 0, 0,−1, 0, 0) + x2(0, 1, 0, 0,−a, 0) + x3(0, 0, 1, 0, 0,−a).
Obviamente los vectores (1, 0, 0,−a, 0, 0), (0, 1, 0, 0,−a, 0), (0, 0, 1, 0, 0,−a) pertene-
cen a F , son independientes y generan el subespacio, son pues una base de F .
Por lo que dimF = 3.
— — —
7. Determinar la dimensión y una base de los subespacios vectoriales de E = R4[t]:
a) F1 = {p(t) ∈ E | p′(0) = 0}
b) F2 = {p(t) ∈ E | p(0) = p′(0)− p′(1) = 0}
c) F3 = {p(t) ∈ E | p(t) = p(0) + p′(0)t+ p′′(0)t2}
d) F4 = {p(t) ∈ E | p(t) = p(1) + p′(0)t+ p(0)t2 + p(0)t3}
Solución:
Dado un espacio vectorial E de dimensión n, y un subespacio F definido a través
de un sistema de r ecuaciones y n incógnitas, si las ecuaciones son linealmente
independientes entonces dimF = n− r.
En nuestro caso dimE = 5 y una base es {1, t, t2, t3, t4}.
a) Escribamos F1 mediante un sistema de ecuaciones F1 = {p(t) ∈ E | p′(0) = 0} =
{a+ bt+ ct2 + dt3 + et4 ∈ E | b = 0}.
Tenemos un sistema de una sola ecuación, luego