Herramientas algenbra lineal (15)

Vista previa del material en texto

43
d) {(1, 0, 0), 1√
2
(−1, 1, 0), 1√
3
(1,−1, 1)}.
Solución:
Si una familia de vectores es ortonormal necesariamente es una familia independien-
te. Para que además sean base el número de vectores tendrá que coincidir con la
dimensión del espacio.
a) Calculemos el valor de la norma de cada uno de los vectores:
‖(0, 1, 0)‖ =
√
12 = 1
‖(
√
2
2
, 0,
√
2
2
)‖ =
√
(
√
2
2
)
2
+ (
√
2
2
)
2
=
√
2
4
+ 2
4
= 1
‖(
√
2
2
, 0,−
√
2
2
)‖ =
√
(
√
2
2
)
2
+ (−
√
2
2
)
2
=
√
2
4
+ 2
4
= 1
Calculemos el producto escalar dos a dos:
< (0, 1, 0), (
√
2
2
, 0,
√
2
2
) >= 0
< (0, 1, 0), (
√
2
2
, 0,−
√
2
2
) >= 0
< (
√
2
2
, 0,
√
2
2
), (
√
2
2
, 0,−
√
2
2
) >= (
√
2
2
)
2
− (
√
2
2
)
2
= 0
Luego tenemos tres vectores ortonormales por lo que tenemos una base ortonormal.
b) Calculemos las normas de los vectores:
‖(1,−1, 0)‖ =
√
12 + (−1)2 =
√
2 6= 1. La familia no puede ser ortonormal
c) Esta familia de vectores no puede ser una base pues la dimensión del espacio es
tres y sólo tenemos dos vectores.
d) {(1, 0, 0), 1√
2
(−1, 1, 0), 1√
3
(1,−1, 1)}.
Calculemos el valor de las normas:
‖(1, 0, 0)‖ =
√
12 = 1
‖ 1√
2
(−1, 1, 0)‖ =
√
(− 1√
2
)
2
+ ( 1√
2
)
2
=
√
1
2
+ 1
2
= 1
44 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
‖ 1√
3
(1− 1, 1)‖ =
√
( 1√
3
)
2
+ (− 1√
3
)
2
+ ( 1√
3
)
2
=
√
1
3
+ 1
3
+ 1
3
= 1
Calculemos el producto escalar dos a dos:
< (1, 0, 0),
1√
2
(−1, 1, 0) >= − 1√
2
.
Los dos primeros vectores no son ortogonales, por lo que la familia no puede formar
una base ortonormal.
Calculemos de todas formas los otros dos productos escalares
< (1, 0, 0),
1√
3
(1,−1, 1) >= − 1√
3
<
1√
2
(−1, 1, 0), 1√
3
(1,−1, 1) >= − 1√
2
· 1√
3
− 1√
2
· 1√
3
= − 2√
6
.
Tampoco son ortogonales.
— — —
20. Sea E un espacio vectorial sobre K y sean F1 . . . Fr subespacios vectoriales tales
que
E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr
. Estudiar si es cierto que para todo subespacio vectorial G de E se tiene:
G = (G ∩ F1)⊕ · · · ⊕ (G ∩ Fr)
Solución:
Supongamos E = R2, y F1 = [e1], F2 = [e2] y G = [e1 + e2].
Se tiene:
E = F1 ⊕ F2,
G ∩ F1 = {0},
G ∩ F2 = {0}.
Por lo que (G 6= G ∩ F1)⊕ (G ∩ F2) = {0}.
Por lo tanto, en general es falso.
— — —
45
21. Consideremos el espacio euclideo ordinario R3. Encontrar la proyección ortogo-
nal sobre F = [(2,−1, 0), (0, 0, 1)] del vector (0, 5, 4).
Solución:
Dado un subespacio F de un espacio vectorial E, la proyección ortogonal de un
vector v ∈ E cualquiera se define como πF (v) = v1 siendo v1 tal que v = v1 + v2 con
v1 ∈ F y v2 ∈ F⊥.
Calculemos pues F⊥.
F⊥ = {(x, y, z) ∈ R3|2x− y = z = 0} = [(1, 2, 0)].
Determinemos ahora v1 y v2
(0, 5, 4) = α(2,−1, 0) + β(0, 0, 1) + γ(1, 2, 0), entonces:
< (0, 5, 4), (1, 2, 0) > =< α(2,−1, 0) + β(0, 0, 1) + γ(1, 2, 0), (1, 2, 0) >=
= γ < (1, 2, 0), (1, 2, 0) >
por lo que
10 = 5γ ⇒ γ = 2
.
Por lo tanto v2 = (2, 4, 0) y πF (v) = v1 = v − v2 = (−2, 1, 4).
— — —
22. Dar la proyección ortogonal sobre el subespacio vectorial F de los vectores
indicados en cada uno de los casos siguientes:
a) E = R3, F = [(1, 0,−1), (0, 1, 1)], v = (1, 1, 1)
b) E = Rn, F = {(x1, . . . , xn) |x1 − · · · − xn = 0}, v = (1, 2, . . . , n).
Solución:
a) Calculemos F⊥.
F⊥ = {(x, y, z) ∈ R3|x− z = y + z = 0} = [(1,−1, 1)]
(1, 1, 1) = α(1, 0,−1) + β(0, 1, 1) + γ(1,−1, 1), entonces: