Herramientas algenbra lineal (16)

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46 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
1 =< (1, 1, 1), (1,−1, 1) > =< α(1, 0,−1) + β(0, 1, 1) + γ(1,−1, 1), (1,−1, 1) >=
= γ < (1,−1, 1), (1,−1, 1) >= 3γ.
Por lo tanto
1 = γ3 ⇒ γ = 1
3
y v2 =
1
3
(1,−1, 1).
Aśı pues, la proyección ortogonal de (1, 1, 1) sobre F es: πF (v) = v − v2 = (23 ,
4
3
, 2
3
).
b) Calculemos F⊥.
F⊥ = [(1,−1, . . . ,−1,−1)], v = v1 + v2 ∈ F ⊥ F⊥ con v2 = λ(1,−1, . . . , ,−1)
< (1, 2, . . . , n), (1,−1, . . . ,−1) >=< v1 + λ(1,−1, . . . ,−1), (1,−1, . . . ,−1) >.
Esto es
1− 2− . . .− n = λ(1 + 1 + . . .+ 1) = λ · n.
Aśı, la proyección ortogonal de (1, 2, . . . , n) sobre F es:
πF (v) = v − v2 = (1, 2, . . . , n)−
4− n− n2
2n
(1,−1, . . . , n).
— — —
23. En E = R4 considerar el subespacio vectorial
F = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 + x2 − x3 − x4 = 0}
Estudiar si se cumple que:
a) 2 · ((1, 0, 1,−1) + F )− 3 · ((0, 1,−1, 2) + F ) = (−2, 1,−5, 2) + F ,
b) 2 · ((1, 0, 1,−1) + F )− 3 · ((0, 1,−1, 2) + F ) = (3, 0, 7,−6) + F .
Solución:
Recordemos que a+ F = b+ F si y sólo si a− b ∈ F .
a) 2 · ((1, 0, 1,−1)+F )−3 · ((0, 1,−1, 2)+F ) = ((2, 0, 2,−2)+F )+((0,−3, 3,−6)+
F ) = (2,−3, 5,−8) + F .
Veamos si (2,−3, 5,−8)+F = (−2, 1,−5, 2)+F , para ello veamos si (2,−3, 5,−8)−
(−2, 1,−5, 2) = (4,−4, 10,−10) ∈ F .
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4− 4− 10 + 10 = 0. Por lo que śı se cumple.
b) 2 · ((1, 0, 1,−1)+F )−3 · ((0, 1,−1, 2)+F ) = ((1, 0, 1,−1)+F )+((0,−3, 3,−6)+
F ) = (1,−3, 4,−7) + F .
Veamos si (1,−3, 4,−7) +F = (3, 0, 7,−6) +F , para ello veamos si (1,−3, 4,−7)−
(3, 0, 7,−6) = (−2,−3,−3,−1) ∈ F
−2− 3 + 3 + 1 6= 0. No se verifica.
— — —
24. Si E = R3[t] i F = {P (t) |P (t) = P (1) + P (0)t + P (−1)t2}, estudiar la depen-
dencia o independencia lineal de los vectores (t+ t2) + F y 1 + F . Dar una base de
E/F .
Solución:
F = {a+ bt+ ct2 + dt3 ∈ E | b+ c = d = 0, a = b} = [1 + t− t2]
(t+t2)+F y 1+F son linealmente independientes si los vectores de E 1, t+t2, 1+t−t2
también lo son.
λ1 · 1 + λ2 · (t+ t2 + λ3(1 + t− t2 = 0,
es decir
λ1 + λ3 = 0
λ2 + λ3 = 0
λ2 − λ3 = 0
⇒
λ1 = 0
λ2 = 0
λ3 = 0
Estos tres vectores son independientes. Luego (t+ t2) + F y 1 + F son linealmente
independientes.
— — —
25. Calcular la dimensión y encontrar una base de R4/F , siendo
F = [(1, 0,−1, 1), (0, 1, 1,−2), (1, 1, 0,−1)]
Solución:
Observamos que (1, 0,−1, 1) + (0, 1, 1,−2) = (1, 1, 0,−1) y (1, 0,−1, 1), (0, 1, 1,−2)
son linealmente independientes, por lo tanto son una base de F .
48 CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
Aśı pues, dimR4/F = 4− dimF = 2.
Una base de R4/F es u1 + F, u2 + F con {u1, u2} base de un complementario cual-
quiera de F .
Un complementario es: F c = [(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)] y
R4/F = [(0, 0, 1, 0) + F, (0, 0, 0, 1) + F ].
— — —
26. Sea E el espacio vectorial (Z/5Z)4. Estudiar en E la dependencia/independencia
lineal de los conjuntos de vectores:
{(1, 1, 2, 0), (2, 1, 1, 0)}
{(1, 1, 0, 3), (2, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1)}
Solución:
λ1(1, 1, 2, 0) + λ2(2, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0) con λi ∈ Z/5Z.
Utilizando las tablas de sumar y multiplicar obtenidas en el ejercicio 22 del caṕıtulo
1, obtenemos λ1 = λ2 = 0.
Luego {(1, 1, 2, 0), (2, 1, 1, 0)} son linealmente independientes.
λ1(1, 1, 0, 3) + λ2(2, 1, 1, 1) + λ3(0, 1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0) con λi ∈ Z/5Z.
Resolviendo el sistema obtenemos λ1 = λ2 = λ3 = 0.
Luego {(1, 1, 0, 3), (2, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1)} son linealmente independientes.
— — —
27. Siendo E el espacio vectorial del ejercicio anterior, determinar la dimensión y
una base del subespacio vectorial F formado por los vectores (x1, x2, x3, x4) tales
que x1 + 2x2 = 3x3 + 4x4 = 0.
Escribir todos los vectores de este subespacio.
Solución:
E = (Z/5Z)4 = [(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)]