Herramientas algenbra lineal (25)

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D =

1 −2 3 2
1 −2 1 0
0 1 2 1
−1 1 −2 1
 ∼

1 −2 3 2
0 0 −2 −2
0 1 2 1
0 −1 1 3
 ∼

1 −2 3 2
0 1 2 1
0 0 −2 −2
0 0 3 4
 ∼
∼

1 −2 3 2
0 1 2 1
0 0 1 1
0 0 0 1
 ,
el rango de la matriz A es 4, luego dimF4 = 4.
— — —
20. Estudiar cuál es la dimensión de los subespacios vectoriales de R5 siguientes:
F1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 − x2 + x3 = 2x4 − x5 = 0}
F2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | 2x1 − x2 + x3 = 0}
F3 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 + 2x2 = x2 + 2x3 = x3 + 2x4 = 0}
F4 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | 2x1 − x2 + 3x3 = 4x1 − x2 + 4x4 =
= 2x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = 0}
Solución:
Calcularemos los rangos de los sistemas que definen estos subespacios, ya que dimF =
n− rango.
rango
(
1 −1 1 0 0
0 0 0 2 −1
)
= 2
dimF1 = 5− 2 = 3.
rango
(
2 −1 1 0 0
)
= 1
dimF2 = 5− 1 = 4.
74 CAPÍTULO 3. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
rango
1 2 0 0 00 1 2 0 0
0 0 1 2 0
 = 3
dimF3 = 5− 3 = 2.
rango
2 −1 3 0 04 −2 0 4 0
2 −2 −3 4 0
 ∼
2 −1 3 0 02 0 3 0 0
2 −2 −3 4 0
 ∼
0 −1 0 0 02 0 3 0 0
2 −2 −3 4 0
 = 3
dimF1 = 5− 3 = 2.
— — —
21.
Calcular la dimensión de los subespacios vectoriales de R[t] siguientes:
F = [1− t+ 2t2, 1 + t2 − t3, t4 − t5]
G = [1 + t, t2 − t4, 1 + t5,−t− t2 + t4 + t5]
H = [2− t2, 1 + t4, 1 + t6, t2 + t4 + t6]
Solución:
Observamos que ∀p(t) ∈ F grado p(t) ≤ 5, por lo que F ⊂ R5[t],
Sea {1, t, t2, t3, t4, t5} una base de R5[t], entonces
1− t+ 2t2 = (1,−1, 2, 0, 0, 0)
1 + t2 − t3 = (1, 0, 1,−1, 0, 0)
t4 − t5 = (0, 0, 0, 0, 1,−1)
rango

1 1 0
−1 0 0
2 1 0
0 −1 0
0 0 1
0 0 −1
 = 3
75
Luego dimF = 3.
Al igual que para F , G ⊂ R5[t], considerando la misma base para R5[t] tenemos
1 + t = (1, 1, 0, 0, 0, 0)
t2 − t4 = (0, 0, 1, 0,−1, 0)
1 + t5 = (1, 0, 0, 0, 0, 1)
−t− t2 + t4 + t5 = (0,−1,−1, 0, 1, 1)
rango

1 0 1 0
1 0 0 −1
0 1 0 −1
0 0 0 0
0 −1 0 1
0 0 1 1
 = 3
Luego dimG = 3.
Ahora observamos que, ∀p(t) ∈ H, grado p(t) ≤ 6, por lo que H ⊂ R6[t],
Sea {1, t, t2, t3, t4, t5, t6} una base de R6[t], entonces
2− t2 = (2, 0,−1, 0, 0, 0, 0)
1 + t4 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0)
1 + t6 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 1)
t2 + t4 + t6 = (0, 0, 1, 0, 1, 0, 1)
rango

2 1 1 0
0 0 0 0
−1 0 0 1
0 0 0 0
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 1 1

= 3
Luego dimH = 3.
— — —