Herramientas algenbra lineal (36)

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106 CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
18. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K de dimensión n, y
sea f ∈ End(E). Probar que los subespacios vectoriales Ker f y Im f son invariantes
por el endomorfismo f .
Solución:
Recordemos que un subespacio F es invariante por el endomorfismo f , si y sólo si
f(F ) ⊂ F .
Veamos pues, si se verifica la condición para los subespacios dados.
Sea v ∈ Ker f , entonces f(v) = 0 ∈ Ker f , luego este subespacio es invariante.
Sea v ∈ Im f , por lo tanto f(v) ∈ Im f = {w ∈ E | ∃u ∈ E con f(u) = w}. Luego
este subespacio también es invariante.
— — —
19. Sean f : E −→ F y g : F −→ G dos aplicaciones lineales, con E, F i G
espacios vectoriales sobre un cuerpo conmutativo K de dimensión finita. Probar que
rango (g ◦ f) ≤ rango f . Si g es inyectiva, entonces se tiene la igualdad.
Solución:
Observamos que ∀v ∈ Ker f es f(v) = 0 por lo tanto (g ◦f)(v) = 0 y v ∈ Ker (g ◦f).
Esto es, Ker f ⊂ Ker (g ◦ f) y dim Ker f ≤ dim Ker (g ◦ f).
Teniendo en cuenta que dimE = dim Ker f+rango f = dim Ker (g◦f)+rango (g◦f)
tenemos que rango (g ◦ f) ≤ rango f .
Supongamos que g es inyectiva y sea v ∈ Ker (g ◦ f), entonces g(f(v)) = 0 y al
ser g inyectiva es f(v) = 0 es decir v ∈ Ker f . Tenemos pues que si g es inyectiva,
Ker (g ◦ f) ⊂ Ker f , de donde deducimos la contención en sentido contrario, y por
tanto la igualdad.
— — —
20. Sea f : R2[t] −→ R2[t] la aplicación lineal definida por:
f(p(t)) = 2(p(0)− p′′(0))t+ (p′′(0)− p′(0)− p(0))t2
¿Es el subespacio vectorial F = [1 + 2t, 1− t2], invariante por f?
107
Solución:
Busquemos las imágenes de los vectores de la base de F .
f(1 + 2t) = 2t− 3t2, f(1− t2) = 6t− 3t2
Veamos si estos vectores están o no en F ,
rango
1 1 | 0 02 0 | 2 6
0 −1 | −3 −3
 = rango
1 1 | 0 00 −2 | 2 6
0 0 | 4 6
 = 3 > 2
por lo que el subespacio no es invariante.
— — —
21. Sean f : M2(R) −→ M3(R), g : M3(R) −→ M2(R) las aplicaciones lineales
definidas por:
f
((
a b
c d
))
=
a b ac d c
a c d

g
a b cd e f
g h i
 = (a b
d e
)
¿Es invertible la aplicación f ◦ g? ¿y g ◦ f?
Solución:
Observamos que la aplicación g nunca puede ser inyectiva pues la dimensión del
espacio de salida es mayor que el espacio de llegada, por lo tanto f ◦ g tampoco
puede ser inyectiva (observamos que si g(v) = 0 entonces f(g(v)) = f(0) = 0).
La composición g ◦ f será invertible si Ker g ∩ Im f = {0}.
Haciendo la composición vemos que
(f ◦ g)
(
a b
c d
)
= f
a b ac d c
a c d
 = (a b
c d
)
.
Es decir f ◦ g es la identidad y por tanto invertible.
108 CAPÍTULO 4. APLICACIONES LINEALES
22. Sea f un endomorfismo de R4 tal que f(e1) = e1 + e2, e1 − e2 ∈ Ker f . Probar
que el subespacio vectorial F = [e1, e2] es invariante por f y dar la matriz del
endomorfismo restricción f|F en la base (e1, e2) de F .
Solución:
Puesto que e1− e2 ∈ Ker f , tenemos que f(e2) = f(e1) y puesto que f(e1) = e1 + e2
tenemos que f(e1), f(e2) ∈ [e1, e2] y el subespacio es invariante.
La matriz de la aplicación restricción es
AF =
(
1 1
1 1
)
.
— — —
23. Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial E de dimensión n y sea F
un subespacio vectorial de E engendrado por los vectores {v1, . . . , vm} tales que
f(vi) = αivi ∀i ∈ {1, . . . ,m}. Probar que F es un subespacio invariante por el
endomorfismo f .
Solución:
Claramente f(vi) ∈ F , por lo que el subespacio es invariante.
— — —
24. Sea f el endomorfismo de M2(R) definido por:
f
((
a b
c d
))
=
(
3a+ b −4a− b
7a+ b+ 2c+ d −17a− 6b− c
)
¿Es el subespacio F =
[(
2 −4
7 −17
)
,
(
1 −2
1 −6
)]
invariante por f?
Solución:
Escribamos la matriz de la aplicación en la base
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
0 0
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}